física i un enfoque constructivista - antonio lara-barragán y héctor núñez

Antonio Lara-Barragn

Hctor Nez

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Fsica1Unenfoqueconstructivista


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iiiContenido

Antonio Lara-Barragn GmezLicenciatura y maestra en fsica; maestra en pedagoga.

Profesor e investigador de tiempo completo del Departamento de Fsica del Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenieras

de la Universidad de Guadalajara.

Hctor Nez TrejoIngeniero Qumico. Profesor de medio tiempo del Departamento de Fsica

del Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenieras de la Universidad de Guadalajara.

REVISIN TCNICAIng. Roberto Lpez Cruz Profesor de Fsica en el Centro de Estudios de Bachillerato 4/1 Mxico, D.F.Profesor de Fsica en Escuelas Preparatorias O ciales del Estado de Mxico

Fsica1Unenfoqueconstructivista


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iv Contenido

Editor: Enrique Quintanar Duartee-mail: [email protected]

Editor de desarrollo: Felipe Hernndez CarrascoSupervisor de Produccin: Rodrigo Romero VillalobosPRIMERA EDICIN, 2006D.R. 2006 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.

Atlacomulco 500-5o. piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de Mxico E-mail: [email protected]

Cmara Nacional de la Industria Editorial mexicana. Reg. Nm. 1031Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.ISBN 970-26-0823-6Impreso en Mxico. Printed in Mexico.1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 09 08 07 06

LARA-BARRAGN, ANTONIO;NEZ, HCTORFSICA 1: Un enfoque constructivista

PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2006 ISBN: 970-26-0823-6 rea: Bachillerato

Formato: 20 x 25.5 cm Pginas: 184


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vContenido

Unidad1 IntroduccinalconocimientodelaFsica1 11.1. Generalidades.Ciencia:caractersticasdelaciencia

yconocimientocientco 31.1.1. Lafsicacomociencia 41.1.2. Elcampodeestudiodelafsica 61.1.3. Elmtododelafsica 6

1.1.3.1. Pasosdelmtodocientco 71.1.4. Lafsicaysurelacinconlasociedad 10

1.2. Magnitudesfsicasysumedicin 111.2.1. Elsistemainternacionaldeunidades 121.2.2. Notacincientca 141.2.3. Otrossistemasdeunidades 151.2.4. Transformacindeunidades 15

1.3. Cantidadesvectorialesyvectores 221.3.1. Cantidadesescalaresycantidadesvectoriales;vectores 231.3.2. Sistemasdereferencia 231.3.3. Operacionesconvectores:sumayrestavectorial 251.3.4. Multiplicacindeunacantidadvectorialporunescalar 291.3.5. Vectoresunitariosycomponentesrectangularesdeunvector

endosdimensiones 291.3.6. Sumayrestaanalticadevectores 31

Unidad2 Movimiento 412.1. Movimientoenunadimensin 42

2.1.1. Aceleracin 512.1.2. Cinemticavectorial 592.1.3. Cadalibre 642.1.4. Tirovertical 68

2.2. Movimientoendosdimensiones 732.2.1. Movimientodeproyectiles 732.2.2. Movimientocircular 82

2.2.2.1. Descripcingeneraldelmovimientocircular 822.2.3. Cinemticacircularvectorial 882.2.4. Movimientocircularuniforme 902.2.5. Movimientocircularuniformementeacelerado(MCUA) 91

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vi Contenido

Unidad2 Dinmica 973.1. LaprimeraleydeNewton 99

3.1.1. Masa 1033.1.2. Fuerza 105

3.2. LasegundaleydeNewton 1063.3. LaterceraleydeNewton 1113.4. Laleydelagravitacinuniversal 116

3.4.1. Peso 1213.4.2. Friccinyresistencia 1243.4.3. Formulacinvectorialdelafriccin 1273.4.4. Solucindeproblemasenformulacinvectorial 131

3.5. Trabajoyenerga 1363.5.1. Trabajo 1363.5.2. Energacintica 1403.5.3. Energapotencialgravitacional 143

3.6. Energamecnicaysuconservacin 1473.7. Potencia 152APNDICEA 160

JohannesKepleryTychoBrahe 160APNDICEB 161

Numeraliafsica 161Algunosfactoresdeconversin 162Alfabetogriego 162

APNDICEC 163Solucionesapreguntasyproblemasselectos 163


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Presentacin

Las ltimas dcadas han visto avances tecnolgicos y cientcos decididamente acelerados. En los ltimos 30 aos, el avance ha sido mucho mayor que en los 400 aos precedentes. Esta situacin ha afectado notablemente a la sociedad en su conjunto en cuanto a la relacin del ser humano con su entorno. En particular, la educacin en nuestro pas ha visto serios cambios a nivel mundial, que nos colocan en situaciones de reexin profunda. Programas de evaluacin estudiantil como el Programme for International Student Assessment (PISA), que la Organizacin para la Cooperacin y el Desarrollo Econmico (OCDE) realiza peri-dicamente, arroja resultados que dejan mucho que desear respecto de las aptitudes y los conocimientos cientcos de los estudiantes mexicanos. Creemos que una de las causas es la obsolescencia de contenidos en cursos tradicionales particularmente de fsica impartidos en nuestro medio.

El libro que tienes en tus manos, apreciado lector, es una respuesta al clamor por un texto acorde con las exigencias de la poca actual, segn los cnones establecidos por la co-munidad cientca internacional. Presentamos, s, la fsica desarrollada entre los siglos XVII y XIX, por lo que podra cuestionarse: dnde est la actualidad de los contenidos? Resulta que la fsica de esos siglos, la llamada fsica clsica, es tan vigente entonces como ahora. Sin embargo, algunos de los conceptos han cambiado radicalmente y algunas de sus leyes se han ampliado en signicado. El lenguaje ha sido cuidado especialmente para concordar con todos estos cambios con los que hemos llegado al siglo XXI. Pero no se trata slo de conte-nidos, sino tambin de la metodologa de presentacin. Un libro para el nuevo milenio debe presentarse con la metodologa que ste reclame.

En cada captulo y en cada seccin se presentan, al inicio, una serie de preguntas o actividades tienen que contestarse o realizarse antes de proceder al estudio del material co-rrespondiente. No dejes de hacerlo. Asimismo, intercaladas en la exposicin de contenidos, hay preguntas y/o actividades a contestar o realizar en ese preciso momento. Te sugerimos, amable lector, que trates de contestar las preguntas antes de leer las respuestas y contrastar tus respuestas con las dadas en el libro. El objetivo de estas preguntas o actividades es que t mismo evales tu comprensin del material estudiado. Adems, cada pregunta o actividad tiene otra intencin: lograr la prctica de determinada habilidad o competencia necesaria en el quehacer cientco.

Esperamos que este libro cumpla con tus expectativas y deseamos que te sirva de gua para una experiencia agradable, la experiencia de hacer ciencia.

A.L.B.G.H.N.T.


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SugerenciasparaestudiantesdefsicaEn el primer libro de la serie, Cinemtica, presentamos una serie de sugerencias para que tus estudios de fsica resultaran lo ms fructferos posible. En este libro volvemos a presen-tarlas, ya que creemos que es muy importante que no las olvides y las sigas practicando. Comencemos por recordar que la meta acadmica de la fsica es describir el nmero mximo de hechos que suceden en la naturaleza, en trminos del nmero mnimo de principios ge-nerales, los que, a la vez, deben ser tan simples como sea posible. Newton expres la idea as: la naturaleza se complace en la simplicidad. Con esta idea en mente, la primera sugerencia y punto de partida para usarse a travs de todo tu periodo escolar es:

Trata de identicar los principios generales bsicos y considera las dems ideas discuti-das como extensiones y aplicaciones de estos principios.

La segunda sugerencia es igualmente importante:

El estudio fuera de clase debe comenzar con el primer da de clases. Segn los expertos, por cada hora de clase se necesitan dos horas de estudio. Nunca, nunca dejes que se te acumule material con la idea de que lo estudiars en los dos das anteriores al examen.

Deboleermilibrooestudiarmisnotas?En la mayora de los cursos de Fsica, tu principal fuente de informacin es un libro de texto. El papel del profesor es poner en perspectiva el material del libro, amplindolo, aclarndo-lo, demostrndolo e ilustrando las ideas del texto. El tiempo que permanezcas en clase lo pasars mejor si, de alguna manera, te has familiarizado moderadamente con el material de la sesin del da leyendo previamente las secciones correspondientes del libro. Slo una nota precautoria: No todo lo que se encuentra escrito en los libros es una verdad absoluta e irrefutable. Los libros los escribimos seres humanos falibles, por lo que siempre son sus-ceptibles de mejorarse o incluso de corregirse. Tambin es papel del profesor hacer de tu conocimiento las erratas del libro y la manera en que debers interpretar el texto o, en su caso, precisarlo.

Y sobre tomar apuntes? Algunos estudiantes intentan escribir todo lo que el profesor dice o escribe en el pizarrn. Si eso te es de utilidad, hazlo. Sin embargo, hay que adver-tir que algunas veces es conveniente dejar de tomar notas y atender, observar y escuchar atentamente, especialmente si los conceptos se encuentran en el libro. Si el profesor est explicando una gura complicada, haciendo una demostracin o cualquiera cosa difcil de capturar como notas, mejor trata de absorberla mientras se est llevando al cabo. En una situacin como sa, lo ms probable es que tus notas carezcan de sentido cuando llegues a tu casa o a la biblioteca; entonces, aqu lo ms probable es que el libro le refresque lo que se hizo en clase. El hecho de saber cundo tomar notas y cundo no, es algo que slo se aprende de la experiencia con cada profesor. Tu estudio anterior a la clase te ayudar inmen-samente con este problema.

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ix

UnprocedimientogeneralparaestudiarComo cada individuo aprende de diferente manera, sintete en entera libertad de modicar estas sugerencias para adaptarlas a tu estudio particular. Sin embargo, te exhorto a que sigas los linea-mientos generales dados a continuacin, o cualesquiera otros semejantes, de forma seria.

1. Antes de comenzar a estudiar procrate las condiciones ms propicias. Un lugar con relativamente pocos (o mejor ninguno) distractores. Lleva y ten a la mano todos los utensilios que crees necesitars: lpices o puntillas, borrador, plumas, marcadores, hojas para escribir, cuadernos de notas, libros, algn bocadillo, etctera. Respecto de esto ltimo, debemos recordar que para que el cerebro funcione adecuadamente debemos alimentarlo: carbohidratos de buena calidad como los que encontramos en ctricos (naranjas especialmente). Si fumas, es un buen momento de alejarte de tan nociva prctica; el humo del cigarro envenena la sangre e impide una adecuada irri-gacin sangunea al cerebro. Fumar es lo peor que se puede hacer durante horas de estudio o durante un examen.

2. Antes de que se analice un tema en clase, lee en el libro el material relevante con su-ciente seriedad como para introducirte en los fenmenos y principios que describe.

3. Despus de clase, lee cuidadosamente las secciones del libro que contienen el tema. Cuidadosamente signica frase por frase, asegurndote de que entiendes perfec-tamente la frase 37 antes de pasar a la frase 38, por ejemplo. Claro est que habr ocasiones en necesitars continuar y regresar a la idea ms adelante. Convncete de haber comprendido el tema de la clase aun antes de pasar a los problemas o pregun-tas asignados de tarea. Mientras vayas leyendo el libro, compara y estudia los tpicos correspondientes en tus notas de clase. Cuando llegues a un ejemplo en el libro, antes de leer la solucin, piensa en cmo responderas la pregunta o resolveras el proble-ma. Luego siempre realiza los pasos algebraicos, es decir, repite el procedimiento de solucin completo; ello te dar soltura y habilidad matemtica. A llegar al estudio o lectura de una ecuacin o una frmula, di los nombres o palabras que signiquen cada uno de los smbolos. Verbalizar las palabras usadas para las diferentes cantidades en una relacin matemtica ayuda enormemente a jar en su cerebro el signicado de la relacin.

4. Pon mucha atencin a las deniciones de nuevos trminos en el captulo y aprndete-las. Pero no nada ms las memorices, comprndelas. Algunas cosas pueden derivarse de ideas ms simples y, como stas estn denidas, entonces tan slo tendrs que recordarlas. Ser ms fcil para ti que las cosas tengan un sentido cuando tu profesor o el libro las utilicen.

5. Despus de que hayas comprendido los detalles del tema del captulo, ve en retros-pectiva y pregntate: cul es la cosa principal que el captulo o seccin trata de decirme? Una vez que la tengas, considera el resto del material como aplicaciones o extensiones de esa idea central.

6. Slo despus de que sientas que tienes el mejor entendimiento posible de los prin-cipios fsicos del captulo o seccin, ve a los problemas o preguntas. Regresa a las secciones del texto slo cuando sea necesario y slo para conrmar que lo que ests haciendo es lo correcto. Trabajar con los problemas y preguntas de esta manera so-lidica los principios en tu mente. Recuerda que los problemas son meras aplica-ciones especcas de los principios generales y stos son lo que necesitas para poder entender una amplia gama de situaciones. Al resolver un problema, siempre trata de referirte al principio general bsico y evita, a toda costa, insertar datos en alguna

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xfrmula ya derivada. No olvides leer, pensar y discutir las preguntas cualitativas, se las dejen o no de tarea. Ellas ayudan a interpretar y entender los signicados y apli-caciones de estos principios.

7. Anota tus preguntas y llvaselas a tu profesor o asesor inmediatamente. No resolver dudas en el momento slo te llevar a ms y ms profundas dudas en temas subse-cuentes.

Si sigues los lineamientos sugeridos anteriormente, cuando llegue el periodo de ex-menes lo nico que tendrs que hacer es repasar brevemente el material y refrescarte en procedimientos de solucin de problemas. Nota que nunca se dijo que el estudio de Fsica sera fcil. El programa descrito es riguroso; pero tambin har que tu curso de Fsica sea satisfactorio para tu intelecto y graticante a la hora de recibir calicaciones.

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xiContenido

ReactivacindeconocimientospreviosEste icono representa el primer paso del mtodo, en el que recordars los conocimientos que ya posees sobre un tema, lo que te ayudar a vincular esta informacin con los nuevos conocimientos que vas a adquirir.

SituacinproblemticaEste icono es representativo del segundo paso, en el cual se te dar la oportunidad de resolver un problema relativamente sencillo mediante el apoyo del profesor.

Antesdeiniciarelestudiodetulibro,esimportantequeconozcascmoseestructuryorganiz.Aslesacarsmsprovecho,puestaleselementostepermitirntrabajarenformaprcticacadaunodelosapartadosquelointegran


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xii

AplicacindelosconocimientosEste icono, representativo del cuarto paso, muestra la manera de poner en prctica en forma sistemtica la solucin de problemas relacionados con el tema, proceso que te llevar a automatizar la prctica del procedimiento o habilidad matemtica.

Conocetulibro

ConstruccindeconocimientosEste icono pertenece al tercer paso, el cual te permitir construir signi cados, es decir, identi car y seleccionar aquella informacin ms relevante respecto al tema que ests estudiando.

ConclusinEste icono representa al quinto y ltimo paso del proceso, durante el cual tendrs la oportunidad de extraer tus propias conclusiones acerca del conocimiento adquirido de cada tema, momento que te facilitar, en determinadas circunstancias, la toma de tus propias decisiones.


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INTRODUCCINALCONOCIMIENTODELAFSICA

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2 UNIDAD1Introduccinalconocimientodelafsica

La fsica inici en aquellas remotas eras cuando el hombre se encontraba superando su ascendencia salvaje con la adquisicin de cualidades emocionales y mentales, las cuales, de ah en adelante, se convirtieron en sus rasgos caractersticos. Tales rasgos fueron, primero, una curiosidad intelectual, que gener la losofa y, despus, una curiosidad prctica, de la que naci la ciencia.

El hombre primitivo, que habitaba un mundo que no comprenda, pronto se dio cuenta de que su comodidad, su bienestar y su vida se encontraban en juego por su deseo de com-prenderlo. A veces, la naturaleza era generosa y le ayudaba, pero en otras ocasiones, cuando el Sol, dador de vida, y la lluvia suave cedan su lugar al rayo y al huracn, provocando en l sentimientos de reverencia y temor, se volva hostil. La primera reaccin de este ser fue proyectar sus ideas, pensamientos y acciones a los objetos inanimados que lo rodeaban; asi-mismo, pobl su mundo de espritus y demonios, de diosas y dioses, grandes y pequeos.

Este producto de la imaginacin no fue slo propio de caverncolas y salvajes, Tales de Mileto (640-546 a. C.), astrnomo, gemetra y lsofo, tambin sostena que todas las cosas estaban llenas de dioses.

El hombre primitivo dotaba a lo que le rodeaba de caractersticas y cualidades como las que posean sus amigos y sus enemigos. Que lo haya hecho de esa manera no signi ca que estuviera del todo equivocado, pues como criatura de hbitos era factible que lo que hizo una vez lo repitiera de nuevo. Hasta los animales comprenden esto; por lo mismo, evitan estar en el lugar donde sufrieron algn dolor en el pasado, por la probabilidad de que si algo los lastim una vez quiz lo haga en otra ocasin, y regresan a donde hallaron comida por si quedara algo de alimento.

Lo que en el cerebro de los animales es una simple asociacin de ideas, en la mente del hombre rpidamente toma la forma de leyes de la naturaleza; lo anterior, en el pasado, lo condujo al descubrimiento del principio de la uniformidad de la naturaleza: lo que sucedi una vez, en circunstancias semejantes ocurrir de nuevo; los eventos de la naturaleza no se producen al azar o bajo la voluntad de un ser caprichoso, lo hacen siguiendo un patrn invariable. Cuando ocurre este descubrimiento, la ciencia fsica se hizo posible. El principal propsito era descubrir el patrn de eventos, ya que es lo que gobierna al Universo.

o Alnalizarelprimertemadelaunidaduno,respondanlassiguientespreguntasdemaneraindividualyposteriormenteenequiposdecuatroocincoalumnos,yconfrontatusrespuestas.

1. Cuando escucho que alguien es cientco, qu imagen seme viene a lamente?,esdecir,cmomeimaginolaaparienciadeesapersona?________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Cuandoescucholapalabraciencia, loprimeroquesemevienealamentees...________________________________________________________________________________________________________________________________

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33. Cuando pienso en la actividad que desarrollan los cientcos,me imaginoque...________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Leecadaunodelossiguientesnombresdeciencias;escribes,siescientcaonosicreesquenoloes.

_______Astrologa _______Qumica _______Estudiodeovnis_______Ingeniera _______Fsica _______Historiografa_______Astronoma _______Biologa _______Fenmenosparanormales

1.1. Generalidades.Ciencia:caractersticasdelacienciayconocimientocientco

De nir o caracterizar la ciencia es una labor a la que han dedicado su vida una gran cantidad de hombres y mujeres, en especial en el campo de la losofa. Por lo tanto, no sorprende encontrar tantas de niciones como lsofos o corrientes los cas. En general, lo que cada uno de estos hombres y mujeres han hecho es considerar un marco de referencia propio, es decir, de nir un fenmeno desde su punto de vista personal. En tal caso, puesto que se trata de un mtodo general, haremos lo mismo. Comenzaremos diciendo que para nuestro objetivo hablar de ciencia es hablar de un tipo de actividad humana preponderantemente intelectual. En nuestro contexto, el propsito esencial de tal actividad humana es conocer. No en balde las palabras ciencia y conocimiento surgen de la misma raz etimolgica. Aqu conviene aclarar que en ciencia, como la entenderemos en este curso, no se trata de cual-quier conocimiento ni, mucho menos de adquirirlo de cualquier manera.

El trmino conocimiento se re ere a la informacin que obtenemos de cualquier fuente: de plticas con los amigos, de la lectura del peridico, de libros o de revistas, de la radio y la televisin, etctera. No obstante, el tipo de conocimiento (un concepto muy amplio) al que nos referimos tiene una caracterstica esencial:1 es veri cable.

Que un conocimiento sea veri cable signi ca, primero, que puede discutirse su validez; segundo, que puede refutarse y que fue obtenido metdicamente tambin de fuentes veri -cables; tercero, que puede repetirse en cualquier lugar y producir los mismos resultados; por ltimo, que se puede llegar a un consenso generalizado sobre su validez.

A este tipo de conocimiento lo llamamos conocimiento cient co. Cualquier tipo de co-nocimiento que no admita alguna o varias de las anteriores pruebas, no puede considerarse como cient co. Por ejemplo, es cient ca la astronoma, pero no la astrologa; lo es, asimis-mo, la teora de la relatividad, pero no las teoras que aseguran la presencia de ovnis.

Es importante recalcar la presencia de lo que denominamos sentido comn, o intui-cin, la cual aparece en casi todos los intentos por explicar los acontecimientos de nuestro

1 Una caracterstica esencial es aqulla sin la cual el concepto o la de nicin no logran existir.

1.1.Generalidades.Ciencia:caractersticasdelacienciayconocimientocientco

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mundo. La comprensin intuitiva o de sentido comn implica que nos debemos sentir cmodos con las ideas generadas sobre los acontecimientos que suceden a nuestro alrede-dor. Tenemos la sensacin de comodidad porque tales ideas se ajustan muy bien a nuestras experiencias cotidianas. Parte de esa comodidad, surge porque vivimos con ellas durante periodos relativamente largos.

El sentido comn se basa en nuestros sentidos y en nuestras experiencias, de manera que tal experiencia se evala a travs de mecanismos que combinan arte y ciencia. Por consiguiente, el sentido comn no puede ser cien por ciento con able, aunque posea una parte positiva, ya que por medio de ste llegamos a comprender adecuadamente algunas cuestiones con algo de esfuerzo. El problema es que recibimos demasiada informacin del mundo exterior y no tenemos tiempo para procesarla y analizarla con todo cuidado y rigor cient co.

El uso del lenguaje y su frecuente abuso es crucial para el desarrollo de un concep-to intuitivo. Esta es una de las razones por las que el sentido comn llega a ser peligroso. Podemos constatar que en nuestra poca hay personajes que, utilizando frases engaosas con terminologa cient ca que apelan a la intuicin, causan serios daos, sobre todo a nivel intelectual. En contraste, la ciencia y el conocimiento cient co requieren de un razona-miento riguroso y responsable que necesita un poco ms de trabajo y esfuerzo, dentro de lo que se incluye un uso preciso del lenguaje.

o Enlneasanterioressedieronejemplosdeconocimientocientcoydeconocimientonocientco.Explicalasrazonesdelporqusehanconsideradodeestamanera.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1.1.1. Lafsicacomociencia

o Responde con tus propias palabras las siguientes preguntas. Posteriormente,comparatusrespuestasconlainformacinqueobtuvistedelalectura.

o Durantelasecundariaestudiastefsica.Queslafsica?________________________________________________________________________________________________________________________________

o Qusignicaexactamentelapalabrafsica?________________________________________________________________________________________________________________________________

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El modelo universal de ciencia est representado por la fsica, considerada por muchos como la ciencia madre, en el sentido de que todas las dems ciencias se han originado o tienen su fundamento en ella. Quiz tengan razn. En sus orgenes remotos, la fsica era una actividad a la que se dedicaban los lsofos o los hombres sabios, esto es, los llamados magos. Aristteles y Arqumedes son de uno y otro tipos de cientcos ancestrales.

Hasta el siglo XIX, la fsica llev el nombre de losofa natural, por lo que, estrictamente, todos los cientcos hasta entonces fueron ms bien lsofos. El trmino fsica, acuado e introducido a principios del siglo XX, signica relativo a la naturaleza, por lo que entende-mos a la fsica como el estudio de la naturaleza, la cual, por ser la ciencia, posee los atributos ya mencionados.

Porque el conocimiento cientco es vericable, tenemos que restringir el campo de accin de la fsica, asegurando que dicha ciencia estudia todos los aspectos mensurables de la naturaleza; esto es, todo lo que es factible de medirse es su objeto de estudio. Lo anterior signica que hay fsica en la siologa, porque cmo explicar el funcionamiento del corazn y la transmisin del impulso nervioso, por ejemplo, si no conocemos al menos temas bsicos de electricidad? Sin ello, no se hubieran logrado desarrollar las tecnologas que llevaron al desarrollo del marcapasos, de la electrocardiografa y de la encefalografa. Pero tambin hay fsica en la paleontologa, porque cmo fechar fsiles sin el debido conocimiento de ma-teriales radiactivos y sus aplicaciones? Cmo armar un esqueleto sin entender conceptos como palancas y centro de masa? Sera posible que nos pasramos enumerando aplicaciones en campos del conocimiento tradicionalmente fuera de las llamadas ciencias exactas. En tal sentido, hay que destacar la importancia de la fsica en la vida cotidiana, por ello, mencio-naremos cuatro ejemplos que representan los hechos que han convertido a nuestra sociedad en lo que es.

El primero es el efecto fotoelctrico, que fue descubierto accidentalmente a nales del siglo XIX y por cuya explicacin terica Albert Einstein recibi el Premio Nobel de Fsica. El efecto es la base de toda la tecnologa solar. El segundo es la invencin del transistor, el cual origin la electrnica moderna y cuyas consecuencias observamos por todas partes: telfo-nos celulares, computadoras, satlites articiales, etctera. Dicho invento fue desarrollado por un equipo de tres fsicos liderado por John Bardeen. El tercero es el proyecto Apolo, cuyas ltimas misiones tripuladas fueron a la Luna y fue dirigido al principio por el fsico de origen alemn Werner von Braun. El cuarto, en el que sera ocioso abundar, es la invencin del lser por el fsico Maiman.

Los anteriores son slo algunos ejemplos de cmo la fsica ha contribuido a transformar nuestro mundo de medieval en moderno y de cmo, en los ltimos 50 aos, este cambio ha sido vertiginoso. De todo esto concluimos que en realidad la fsica es la ciencia y que la encontramos en todo nuestro entorno.

o En tu cuadernohaz una lista deotras aportaciones de la fsica a la tecnologa yal desarrollo de la sociedad, luego disctelas en equipo con tus compaeros yresponde.

o Considerasquelafsicaesimportanteparalasociedad?Porqu?

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1.1.2. El campo de estudio de la fsicaFalta destacar los aspectos de la segunda parte de la denicin, aquella que se reere a los aspectos mensurables de la naturaleza. Al hablar de aspectos mensurables, tenemos ne-cesariamente que referirnos a los conceptos de cantidad mensurable y de medicin. Una cantidad mensurable es aquella a la que se le puede asociar un nmero que nos habla de su magnitud o su tamao y una unidad de medida, la cual expresa en forma comparativa la magnitud y, en otros casos, nos habla del concepto fsico relacionado con tal cantidad. Por ejemplo, una cantidad mensurable es la longitud y su unidad de medida es el metro, lo que da lugar a una comparacin con un estndar de medicin concebido por un comit que, por acuerdo internacional, dicta las normas de medidas y cuya sede est en Pars. En cambio, te-nemos que en la aceleracin sus unidades expresan en cuntos metros por segundo cambia la rapidez de un mvil cada segundo. Claro que por cuestiones de manipulacin algebraica se escriben como metro sobre segundo cuadrado (m/s2). Ms adelante, cuando se trate el tema del sistema internacional de unidades, veremos un poco ms de esto.

Llegamos al punto lgido de nuestra discusin. Si la fsica slo se ocupa de los aspectos mensurables de la naturaleza, entonces, en esencia, es una ciencia experimental, es decir, no se basa, en modo alguno, en la simple observacin y en la experiencia ordinaria, como si sus conocimientos se obtuviesen y justicasen razonando a partir de observaciones pa-cientemente recogidas y acumuladas. Por el contrario, la fsica busca conocimientos que se relacionan con el dominio controlado de los fenmenos, por lo que recurre a la experimen-tacin.

La naturaleza maniesta a la experiencia ordinaria algunos fenmenos superciales que pueden ser observados en forma directa. Si se desea conocer ms a fondo, hay que inte-rrogarla; para ello hay que utilizar un lenguaje comn. El lenguaje de la naturaleza son los hechos. Cuando Galileo deca que ese lenguaje eran las matemticas y comparaba a la naturaleza con un libro abierto escrito en caracteres matemticos, expresaba, de modo metafrico, la importancia de las matemticas para estudiar los aspectos cuantitativos de la realidad, pero se trata de una metfora que no debe tomarse al pie de la letra. La naturaleza slo responde con hechos; por lo tanto, hay que interrogarla con hechos, pues interviene en el desarrollo de los acontecimientos naturales.

Es importante considerar que la fsica, como ciencia experimental, nada puede decir a favor o en contra de que haya realidades fuera de su control, ya que, en principio, slo le competen realidades que sean controlables de manera experimental. Por consiguiente, si se pretende apoyar sobre bases cientcas la negacin o armacin de realidades de tipo espiritual, se realiza una extrapolacin injusticada que va en contra del verdadero carcter cientco. La ciencia tiene limitaciones. Una de ellas es que, en particular la fsica, es me-ramente descriptiva. Esto es, la fsica slo describe fenmenos, pero no explica las causas ltimas del porqu suceden. El porqu que contesta la ciencia slo es descriptivo; por ejem-plo, por qu es azul el cielo? Por la dispersin de la luz. En este caso, lo que hacemos, al explicar la dispersin de la luz, es una bella descripcin del fenmeno; entonces la siguiente pregunta sera: por qu ocurre la dispersin? Para contestar, describimos las interacciones electrodinmicas cunticas. En cambio, para saber por qu se dan ese tipo de interacciones con nombre tan rimbombante, ya no hay respuesta fsica. La razn: la causa ltima no es objeto de estudio de la ciencia.

1.1.3. El mtodo de la fsicaLa experimentacin supone una intervencin activa y manipulaciones con objeto de obtener respuestas a las preguntas formuladas hipotticamente, de acuerdo con un plan establecido.

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La experimentacin utiliza la observacin y la experiencia. Esto es, un experimento es una actividad planeada que permite observar lo que sucede en condiciones especcas y bajo con-trol. Los resultados de un experimento deben ser registrados, lo cual supone la observacin de fenmenos y el uso de instrumentos de medicin.

Ya se arm que el conocimiento cientco no puede ser adquirido de cualquier modo. Tal idea es posible sintetizarla en dos aspectos: el conocimiento cientco se obtiene met-dicamente del anlisis lgico matemtico riguroso y de la experimentacin, siendo sta una actividad planeada. Respecto de este ltimo aspecto, la planeacin implica la utilizacin de uno o varios mtodos, situacin que nos conduce a discutir el llamado mtodo cientco.

1.1.3.1. PasosdelmtodocientcoTradicionalmente, se dice que el mtodo cientco consta de varios pasos, que, segn el contexto, pueden variar, pero en general seran los siguientes: observacin, elaboracin de hiptesis, experimentacin y prediccin. Aunque sta es una manera vlida de concebir la forma de proceder de los cientcos, el mtodo no es una receta nica y universal vlida para todos los casos. El mtodo cientco, como un procedimiento nico con caractersticas de panacea intelectual para obtener conocimiento cientco, no existe.

Hace cerca de 50 aos, la polmica termin. De lo ms que podemos hablar es de meto-dologa cientca, entendida como un conjunto de mtodos diferentes entre s cuyo objetivo comn es la obtencin y validacin del conocimiento cientco. De acuerdo con lo anterior aseguramos simplemente que, en esencia, el trabajo cientco es metdico.

La metodologa cientca contiene conceptos esenciales que hay que aclarar para que en nuestro curso manejemos un lenguaje y una semntica comunes. El primero es el con-cepto de teora. En el lenguaje cotidiano hablar de teora es hablar de hiptesis, es decir, los trminos se confunden hasta el grado de armarse que lo terico slo existe como una abstraccin, como una suposicin no comprobada o como una idea no necesariamente cier-ta. En ciencia, el signicado del trmino teora nada tiene que ver con lo anterior. Una teora cientca es el estatus ms alto que llega a alcanzar un sistema de conocimientos. De manera simplicada, la teora se puede concebir como un conjunto estructurado de cono-cimientos organizados y sistematizados, capaces de explicar y predecir fenmenos. De esta forma, cuando en ciencia hablamos de teora nos referimos a conocimientos que han sido analizados, refutados, comprobados, organizados de manera estructural y sistematizados.

En cuanto a la prediccin, sta es la que determina qu tan poderosa es una teora: a mayor poder predictivo, ms poderosa y extensa es la teora. Uno de los ejemplos ms cla-ros es la mecnica newtoniana. En su libro Principios matemticos de la losofa natural, Isaac Newton estructura la mecnica clsica como un sistema de conocimientos que explica y predice lo conocido. En la obra, se aprecia que la teora de la mecnica clsica se form con deniciones, postulados y leyes generales, a partir de las cuales se deducen los aspectos particulares.

El segundo trmino es el modelo. Concebimos al modelo, en un primer acercamiento, como una imagen mental, casi siempre metafrica, que nos permite simplicar y describir aspectos relevantes de un fenmeno o un sistema fsico. Por ejemplo, la estructura molecu-lar o atmica de un slido puede explicarse como que los tomos se encuentran unidos por resortes, lo que sirve para entender los modos de vibracin atmica. Un modelo tambin se reere a una ecuacin matemtica, situacin a la que nos referimos como un modelo mate-mtico. Un ejemplo de ste es la ley de Hooke, con la que determinamos el comportamiento de algunos sistemas elsticos.

La hiptesis, que concebimos como una suposicin o idea tentativa para explicar un fenmeno o para hacer una prediccin, se utiliza como va para la experimentacin; esto es,

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cuando emitimos una hiptesis implcitamente damos la pauta para disear experimentos que la comprueben o la invaliden. A veces, determinadas teoras comienzan como hiptesis. Por ejemplo, en el tema de otacin se puede proponer la hiptesis: Mientras ms ligero (denso) es un lquido, mayor fuerza boyante puede aplicar, ya que lquidos ligeros como el aceite (en este caso el agua) tienen mayor poder de otacin. Lo siguiente sera disear y realizar un experimento para comprobar o invalidar tal hiptesis.

El desarrollo de la ciencia se ha logrado de manera metdica, con la salvedad de que los mtodos no son rgidos, pues dependen de la situacin particular que se maneje. A veces se hacen predicciones en forma de hiptesis o con base en deducciones matemticas riguro-sas, pero despus se disean experimentos que las conrman o las desechan. En este caso, tenemos el desarrollo de la teora de relatividad especial, que sirvi para realizar el descu-brimiento del neutrn.

En otras ocasiones se observan o descubren fenmenos experimentalmente y despus se encuentran las explicaciones y predicciones tericas, como en los casos de la radiacin de cuerpo negro y el del efecto fotoelctrico. Que el camino de la ciencia sea metdico, no implica que sea rgido ni cuadrado.

Construccin de hiptesiso Entucuaderno,construyeunaovariashiptesisparaexplicarlasiguientesituacin,

ydespussugiereunamaneradecomprobarorefutarlas.o En lamayorade las tiendasmuchosartculossevenden(oestnetiquetados)

apreciosenpesosycentavos:$4.95,$14.99,etctera,envezdehacerlodeestaforma:$5,$15.

1. Sedicenmuchascosas,algunascorrectasyotrasno,sobrelaciencia.MarcaconVlasoracionesquecreasquedescribenalacienciayconFaquellasqueconsideresfalsas.

____ Lacienciaesunaactividadquenoserelacionaconlasociedad.____ Uncientcoescreativo.____ Susteorasexplicancmofuncionalanaturaleza.____ Slosirvenlosexperimentosendondelahiptesisresultaverdadera.____ Lacienciaesunprocesoqueobtieneconocimientosquesecorrigena

smismos.

2. Unateoracientcaes:a) Comprobable b) Unahiptesisc) Nocomprobable d) Unmtodomatemtico

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93. Delossiguientesenunciados,culesunahiptesiscientca?a) Elmejormomentoparatomardecisionesescuandoocurrelaalineacin

delosplanetasennuestrosistemasolar.b) ExistevidainteligenteenalgnplanetaennuestroUniverso.c) Lamaterianopuedeviajarmsrpidamentequelaluz.d) Siteportasmal,tucaminoeshaciaelinerno.

4. Relacionalosiguiente:a) Mtodocientco ( ) Acervodeinformacinpuestaaprueba

yvericada.b) Fsica ( ) Esunasuposicinquenohasidoveri-

cada.c) Teora ( ) Ecazparaadquirir,organizaryaplicar

conocimientosnuevosd) Hiptesis ( ) Contienemuchasdelasteorasquefor-

man el fundamento de todas las cien-cias.

5. Culdelassiguientesarmacionesescientca?a) LossereshumanosnuncapondrnunpiesobrelaLuna.b) Algunasleyesquegobiernanlanaturalezanopuedenserdetectadaspor

loscientcos.c) Esmuyposiblequeenalgunaotragalaxia las leyesde la fsicasean

fundamentalmentediferentesdelasleyesqueconocemosenestaga-laxia.

6. Ladiferenciaentreunahiptesisyunateoraesquelahiptesisa) Escomprobable,mientrasquelateoraesnocomprobable.b) Esnocomprobable,mientrasquelateoraescomprobable.c) Puedeserrevisada,mientrasquelateoranopuedeserrevisada.d) Esunasuposicinquenohasidobienrevisada,mientrasquelateoraes

unasntesisdesuposicionesbienprobadasyvericadas.

7. Paraprobarunahiptesiscientcasedebe:a) Hacerunoovariosexperimentosyobservarlosresultados.b) Llegaraunaconclusinconbaseenrazonamientopuro.c) Usarlosresultadosdelosexperimentosquesolamenteconrmenlahi-

ptesis.d) Ajustarlasmedicionesparaobtenerelresultadoesperado.


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8. Culesdelossiguientesproblemasnoseranpartedelafsica?a) Identicar las fuerzasqueactansobreunapersonaquecaminahacia

arriba.b) Determinarlalongituddeondadelaluzqueproducelafotosntesis.c) Identicartodosloshuesosdelcuerpohumano.d) Calcularladensidadpromediodeunapersona.

1.1.4. LafsicaysurelacinconlasociedadUn aspecto central de la fsica es su lazo con la tecnologa. La tecnologa necesita de la ciencia para desarrollarse y mejorar, en tanto que la ciencia requiere de la tecnologa para que los experimentos se realicen con precisin. Ambas se ayudan mutuamente y son inter-dependientes.

La historia antigua nos proporciona un ejemplo de gran valor. Sabemos que en la Edad Me-dia la cultura y la sociedad se fundamentaban en los caballeros con armadura sobre su caballo. Estos feroces guerreros fueron producto de la tecnologa de su tiempo, cuando la metalurgia evolucion para satisfacer las necesidades que tena el hombre de autodefensa, lo que origin las armaduras y armas del momento, as como estribos que unieran jinete y cabalgadura. La agricultura y la zootecnia lograron, para la crianza, poderosos caballos que pudieran cargar a tales guerreros vestidos de hierro. Pero no nada ms eso. La sociedad se vio beneciada por el avance de la metalurgia, ya que se fabricaron ms y mejores herramientas para la agricultura y las nuevas razas de caballos sirvieron para utilizar los nuevos arados.

Las economas feudales tuvieron que evolucionar para darle apoyo a los guerreros, pues se requeran decenas de personas para mantener a uno solo de tales caballeros. A la vez, se esperaba que ese caballero protegiera y defendiera a muchas personas, lo cual fue la base del cdigo de honor de la caballera medieval, que colocaba al caballero en una posicin especial. Pero no slo hubo dichas sociedades en la Europa de los siglos XI y XII, tambin en el Japn feudal existi la gura equivalente: el samurai.

Sin duda, nuestra poca es de la ciencia y la tecnologa. Basta con dar un vistazo a nues-tro alrededor para entender por qu: se han desarrollado aviones invisibles al radar, com-putadoras, telecomunicaciones va satlite, etctera. Para muchos, todo ello es cotidiano y ordinario, por lo que le prestamos poca atencin; sin embargo, te imaginas que para 1990 unos pocos privilegiados tenan en sus manos un telfono celular y que los discos compactos slo eran una esperanza?

Pero la ciencia no nicamente ha contribuido en forma de tecnologa al desarrollo de la sociedad. Tambin en aspectos relacionados con la cultura se ha dejado ver su presencia avasalladora al proporcionar los medios para superar miedos, supersticiones y creencias que impiden el desarrollo personal y social; esto es, para combatir los factores que recuerdan los oscurantismos perniciosos de las llamadas pseudociencias, que tanto daan a la sociedad. En-tre las pseudociencias estn, entre otras, la astrologa y la alquimia, con orgenes ancestrales, as como la frenologa, la telepata, la telequinesis, la numerologa y la quiromancia.

La diferencia entre las ciencias y las pseudociencias es que estas ltimas no utilizan nin-guna metodologa cientca para obtener sus resultados, esto es, se basan esencialmente en evidencias sin escrutinio o anlisis rigurosos y racional, lo que las convierte en anecdticas.

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La prctica de las pseudociencias es mas bien subjetiva y emocional, y se fundamentan en la creencia o credulidad? o en el testimonio de una gura autoritaria. El rasgo funda-mental, si lo analizamos racionalmente, es que las pseudociencias y los fenmenos paranor-males se usan para birlarle su dinero a la gente.

Las pseudociencias sobreviven y proliferan porque muchas personas no conocen o no es-tn interesadas en la naturaleza de la ciencia y porque esas personas son demasiado perezosas como para efectuar el trabajo mental que requieren las ciencias. Las pseudociencias propician formas de pensamiento chapucero cuando proporcionan soluciones inmediatas y fciles.

o Losastrlogosproclamanquepuedendescribiralaspersonassiconocensusfechasyhorasdenacimiento,etctera.Tambin,deacuerdoconesacoleccindedatos,dicenqueesposiblehacersuhorscopoy,coneso,predecirsufuturo.

o Porqu,entonces,losgemelossontandiferentesentresenpersonalidadytienendestinosdiferentes?Despusdetodonacieronconsloalgunospocosminutosdediferencia.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9. Relacionalosiguiente:a) Arte ( ) Esunaformadeconocerlanaturaleza.b) Ciencia ( ) Eslamaneradehacermejoressatisfactores.c) Religin ( ) Seinteresaporelvalordelasinteraccioneshumanas

ylossentidos.d) Tecnologa ( ) Seinteresaporelpropsitoysignicadodetodaslas

cosas.

1.2. Magnitudesfsicasysumedicin

Qusignicadoencontramosparalapalabrafsica?________________________________________________________________________________________________________________________________________Deacuerdoconesesignicado,quentendemosporfsica?________________________________________________________________________________________________________________________________________

1.2.Magnitudesfsicasysumedicin

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En fsica slo tratamos con aspectos mensurables de la naturaleza. En consecuencia, necesitamos precisar que es medir. Entenderemos el proceso de medir como la actividad de comparar algo contra un patrn establecido y consensuado. Por ejemplo, para medir la altura de la puerta del saln de clases utilizamos una cinta mtrica o un exmetro, y luego comparamos la longitud graduada del exmetro con la longitud de la altura de la puerta. Asimismo, podemos medir de manera directa algunas cantidades, que adems de la longitud comprenden el tiempo, la masa y la temperatura. A tales cantidades se les denomina comn-mente cantidades o magnitudes fundamentales, mientras que a otras como la velocidad se les llama cantidades derivadas, ya que se obtienen por la medicin de dos o ms cantidades fundamentales. Decimos que las primeras se logran por medicin directa, mientras que las segundas lo hacen por medicin.

NotaculturalDe dnde viene la idea de medir por comparacin contra un patrn establecido y consensuado?

La historia nos muestra como naci la necesi-dad de tener una forma nica de medir las cosas. Por ejemplo, la unidad de longitud en el sistema in-gls es el pie, la cual se de ni inicialmente como la longitud del pie de un rey de Inglaterra; sin em-bargo, el pie del rey (ni de ninguna persona) tiene la misma longitud durante todo el da. Los cambios

de temperatura, as como estar parado, sentado o caminar son factores que afectan el tamao de los pies. Por consiguiente, la unidad de longitud llama-da pie, de nida en trminos de la longitud del pie regio, no tena total con abilidad. En la actualidad, es necesaria una medida estandarizada; esto es, que sea igual en cualquier lugar del planeta; por lo tan-to, el pie actual se de ne en trminos del sistema mtrico (1 pie 0.3048 metros), en tanto que la de nicin de metro se da como funcin de la longi-tud de onda de la luz emitida por un tomo cuando cambia de un nivel preciso de energa a otro nivel de energa igualmente preciso.

1.2.1. ElsistemainternacionaldeunidadesLa fsica, como ciencia formal, tiene un lenguaje igualmente formal y una serie de reglas gramaticales que deben observarse de la misma manera que lo hacemos con las reglas gra-maticales del idioma espaol. Un conjunto de esas reglas est contenido en el sistema inter-nacional (SI) de unidades. El propsito de esta seccin es que conozcas, simplemente, las reglas ms generales y necesarias para nuestro estudio, as como los patrones establecidos y consensuados por la comunidad cient ca internacional para medir.

Comenzaremos por distinguir entre dimensin (magnitud) y unidad. Aqu es importante establecer un contexto para tales trminos, ya que dimensin llega a utilizarse en el contexto de, por ejemplo, las tres dimensiones del espacio, y el de unidad lo usamos como sin-nimo del nmero uno. En nuestro contexto, dimensin signi ca lo que se mide y unidad, en lo que se mide. Por ejemplo, podemos medir la dimensin tiempo en la unidad mes o la dimensin longitud en la unidad ao-luz. Las dimensiones se simbolizan generalmente por letras maysculas que, por lo general, son la inicial del nombre. En este caso tenemos que la dimensin longitud se simboliza por L y la dimensin tiempo por T.

A continuacin mencionamos unos ejemplos:

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Dimensin Unidad Smbolo Longitud metro m Masa kilogramo kg Tiempo segundo s Temperatura kelvin K ngulo radin rad

Debe observarse lo siguiente: Para las unidades hablamos de smbolos, no de abreviatu-ras. Por consiguiente, la primera regla de escritura dice que deben usarse letras minsculas; por ejemplo, para el smbolo del kilogramo es un error escribir Kg (lo cual signicara kelvin gramo). Adems, al no ser abreviatura, tambin es un error escribir kg., ya que el punto hace perder el carcter de smbolo. Para el segundo, solamente se utiliza una s (minscula, por supuesto) y no seg. o segs., mientras que para el metro omitimos mt o mts.

El caso de la temperatura tiene dos aspectos especiales; primero, es comn escuchar grados kelvin; no obstante, tal expresin es anacrnica, ya que los kelvins no son grados, son simplemente kelvins. Tambin escuchamos comnmente grados centgrados. En el SI, la escala centgrada es una escala obsoleta, por lo que consideramos que el uso del trmino grados centgrados es un arcasmo. La escala centgrada se deni en 1887, con base en los puntos de ebullicin y congelacin del agua cuando est a 760 mm de Hg de presin. En 1948 se deni la escala Celsius en sustitucin de la centgrada, por lo que, desde entonces, es la escala de uso en el SI.

El uso de maysculas se reserva para unidades cuyo nombre es el de un cientco; por ejemplo, la unidad de la dimensin corriente elctrica es el Ampre, smbolo A, y la de carga elctrica es el Coulomb, smbolo C, y el mencionado para temperatura.

El caso de kilogramo nos lleva a considerar que en el SI tenemos una serie de prejos de uso comn. Por ejemplo, en el caso que mencionamos tenemos el prejo kilo que signica 103. En consecuencia, a pesar de que en el lenguaje cotidiano la palabra kilo la asociemos con el peso de los objetos, en fsica tal trmino por s solo no tiene mayor signicado que mil, es decir, en el lenguaje de la fsica no podemos usar prejos aislados, debemos utilizar el trmino completo, en este caso, kilogramo. Algunos de los prejos ms comunes son los siguientes:

Nano n 109Micro 106Mili m 103Deci d 101Hecto h 102Kilo k 103Mega M 106Giga G 109

Otra regla de escritura relacionada con el SI est relacionada con los decimales. Es co-mn escuchar por ejemplo decir para un dcimo, punto uno, que escrito equivale a .1. A pesar de que es lo usual, hay que darnos cuenta de que este uso proviene del lenguaje coti-diano, pero es incorrecto en fsica. De acuerdo con lo establecido por las reglas gramaticales derivadas del SI, debemos anteponer siempre un cero al punto decimal. Entonces, la manera correcta de expresar un dcimo es cero punto uno o sea, 0.1.

La siguiente regla se reera a la manera de escribir unidades compuestas simblica o explcitamente. Primero, hay que reconocer que se pueden realizar algunas operaciones


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algebraicas con unidades: multiplicacin y divisin. La suma y la resta slo se logran reali-zar con cantidades cuyas dimensiones sean las mismas. Recordemos que, en la divisin, lamanera correcta de escribir a entre b es ab y no a/b, ya que, de acuerdo con la semnticamatemtica, el smbolo / signica es divisible entre. Por ejemplo, un medio se escribe:12 y no , pues la ltima expresin signica 1 es divisible entre 2, lo cual es falso. Lo

mismo aseguramos de las unidades. Por ejemplo, las unidades de rapidez son metro entresegundo, lo cual se escribe ms y no m/s. En el caso de que no sea posible escribir, por lacausa que fuere, las unidades simblicas de manera correcta, el SI seala que deben escribir-se en forma explcita; por ejemplo, metro sobre segundo al cuadrado para aceleracin.

o UtilizalosprejosdelSIparaexpresarlassiguientescantidades:Ejemplo: 3.2103pesos=3.2kilopesos 4.110-6scopios= 5.7102litros= 8.0109ntes= 6.8106fonos= 3.2103bytes= 4.3101didos= 9.110-3tares= 1.4109metros=

o Haymsprejosenpotenciasde10.Investigaculessonyentucuadernoconstruyeejemplosconellos.

10. Encadala,encierraenuncrculolanotacincorrectamenteescrita.

20seg 100s 500segs 100s 45g 45gs 45g 45g 6N-m 25Nxm 50Nm 90Nm

120 kms 60kms 8

mhr 58

ms

75kg 0.75kg 0.75kg 0.75kg

1.2.2. NotacincientcaLos prejos anteriores y las potencias de 10 se utilizan con frecuencia para denotar nmeros muy grandes o muy pequeos. Por ejemplo, la distancia de la Tierra al Sol es de aproximada-

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mente 150 000 000 000 de metros. Como resulta engorroso escribir nmeros de ese tamao de manera explcita, utilizamos la notacin cientca consistente en escribir un entero y luego los decimales necesarios multiplicados por la potencia de 10 correspondiente para dar el nmero original. En el caso anterior, la distancia entre la Tierra y el Sol se expresa, en notacin cientca, como 1.5 1011 m. Hay que poner nfasis en que la notacin cientca admite una sola cifra a la izquierda del punto decimal.

1.2.3. OtrossistemasdeunidadesEncontramos que las cantidades fsicas se expresan en otras unidades distintas a las del SI; por ejemplo, cuando hablamos de gramos, centmetros, pulgadas, etctera, tendremos que utilizar el sistema de unidades CGS, que recibe ese nombre porque sus unidades fundamen-tales son el centmetro, el gramo y el segundo.

Otro sistema de unidades que merece mencin especial es el sistema ingls, el cual, a pesar de que slo se utiliza en los pases de habla inglesa, la mayora de las medidas que se emplean en la tcnica estn en ese sistema; por ejemplo, es ms probable que en una ferrete-ra nos entiendan si pedimos tornillos de un cuarto de pulgada, que si los pedimos dando la especicacin en centmetros. Lo mismo sucede con tuberas, varillas, cables, herramientas, etctera. Las cantidades fundamentales en el sistema ingls son: el pie para longitud, el slug para masa y para el tiempo sigue utilizndose el segundo, mientras que para la temperatura se tiene el grado Fahrenheit.

1.2.4. TransformacindeunidadesEl anlisis de situaciones o fenmenos fsicos requiere de unidades adecuadas. En general, en este libro manejaremos unidades del sistema internacional, aunque en muchas ocasiones los enunciados de problemas y parte de la informacin proporcionada en el texto se encuen-tren en otros sistemas. En la solucin de problemas es menester que todas las unidades se encuentren en el mismo sistema, por lo que habr que transformar la informacin dada de un sistema a otro. En el caso de la temperatura hay frmulas establecidas para transformar de grados Fahrenheit a grados Celsius y viceversa, las cuales son:

TF = 95 T T TC C F+ =3259 32( )

Mientras que para transformar de grados Celsius a kelvins y viceversa tenemos la rela-cin bsica:

0 C 273 KPara convertir otras unidades se utiliza la propiedad de multiplicacin por 1 (uno), lo

cual deja la cantidad multiplicada inalterada. Por ejemplo, si queremos transformar 60 mih a pies sobre segundo, primero habremos de considerar las siguientes equivalencias: 1 mi = 5280 ft, 1 h 60 min, 1 min 60 s. El procedimiento consiste en escribir la cantidad que se desea transformar y multiplicarla por cocientes con las equivalencias anteriores, de manera que tales cocientes sean igual a 1:

601

52801

160

160

60 52806

mih

ftmi

hs

ft = minmin

00 60 88 =sfts


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Es de notarse que los cocientes por los que se hacen las multiplicaciones sucesivas se construyen de manera que las unidades se vayan cancelando hasta llegar a las deseadas.

o Transformalassiguientesunidades:28 8. ms

kmha

1 calg Ccal

kg K a

0 15. gcmkgm3 3a

3 3. Nmkgdin cm

g2

2

2

2a

Precisinenlasmediciones

o Con algn instrumento de medicin apropiado mide las diferentes dimensionesdelsalndeclase,laalturadealgunodetuscompaerosocompaerasdeclase,lasdimensionesdelescritoriodelprofesoro laprofesora,etctera.Con losdatosobtenidos,calculaelvolumendelsalndeclaseyelreadelasuperciesuperiordelescritoriodelprofesorolaprofesora.

o Cules son mediciones directas y cules son mediciones indirectas? Estscompletamentesegurodequetusmedicionessonabsolutamenteprecisas?Estoes,quienquierarepetirlasobtendrexactamentelomismo?

Hemos puesto nfasis en que la fsica es el estudio de todos los aspectos mensurables de la naturaleza, en tal sentido, al inicio de esta seccin denimos el proceso de medicin. Pero hay otro detalle a considerar sobre el proceso de medir que podemos poner en trminos de las respuestas a las siguientes preguntas, que hay que contestar antes de seguir adelante: en las mediciones directas realizadas en la actividad previa, es posible asegurar que la medi-cin fue completamente correcta y conable? Cmo comprobarlo? Si la medicin no fuese correcta y conable, signica que hubo error en la medicin? Cmo expresar ese hecho? Cmo se entiende la palabra error?

Generalmente, cuando pensamos en el concepto de error lo asociamos con una equivo-cacin, una distraccin, un defecto y hasta como un fracaso. En consecuencia, el trmino error que utilizamos comnmente en fsica es muy desafortunado. En la ciencia en general, el trmino error se reere a la cantidad de incertidumbre en una medicin. Esto es, el error nos expresa, en nmeros, la inseguridad que tenemos sobre la precisin o exactitud de una medicin, por lo que nada tiene que ver con equivocaciones, fracasos o descuidos.

El error se relaciona con el hecho de que no es posible, en una medicin, tener completa seguridad de que el nmero obtenido sea 100% preciso. En nuestro estudio nunca podremos hacer de lado la cuestin de los errores en las mediciones, ya que, en y por esencia, la fsica slo trata con aspectos mensurables.

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Cifrassignicativas.PrimeracercamientoalanlisisdeerroresEn nmeros, hablamos de cifras signicativas como de aquellas cifras con un signicado o va-lor real. Formalmente, una cifra signicativa se dene como todo dgito conocido en una me-dicin. La cantidad de cifras signicativas en un nmero indica los lmites dentro de los cuales se conoce el resultado de una medicin. A continuacin veremos las convenciones aceptadas por consenso entre la comunidad cientca internacional para escribir cifras signicativas:

1. Cuando expresamos que una cantidad medida directamente tiene el valor 3, lo que queremos decir es que tal valor se encuentra realmente entre 2.5 y 3.5:

2.5 < 3 < 3.5Sin embargo, si decimos que el valor es 3.0, eso signica que se encuentra entre

2.95 y 3.05:2.95 < 3.0 < 3.05

En tales ejemplos, la diferencia entre 3.0 y 3 es lo que se denomina precisin, concepto que expresa hasta cuntas cifras decimales puede medir el instrumento uti-lizado. No es la misma precisin la de una regla graduada en milmetros que la de un metro graduado en centmetros. La precisin cambia como se aprecia en los nmeros de los ejemplos anteriores. Siguiendo con las cantidades medidas directamente, hay ambigedad en nmeros como 300. Ser algo como 250 < 300 < 350 o 299.5 < 300 < 300.5? Para evitar confusiones en los nmeros medidos, se utiliza la notacin cien-tca para escribir el nmero como 3 102 o 3.00 102, dependiendo de la precisin requerida.

Las siguientes reglas, que seguiremos a lo largo de todo el curso de fsica, sern de utilidad para evitar ambigedades en su uso y concepcin.

2. En nmeros que no contienen ceros, todas los dgitos son signicativos. Ejemplos:5.3591 cinco cifras signicativas1.98 tres cifras signicativas645 tres cifras signicativas

3. Todos los ceros que se encuentren entre cifras signicativas son signicativos. Ejemplos:9.032 cuatro cifras signicativas2002 cuatro cifras signicativas10.2 tres cifras signicativas

4. Los ceros a la izquierda del primer dgito distinto de cero slo se usan para jar el punto decimal y no son signicativos. Ejemplos:0.068 dos cifras signicativas0.576 tres cifras signicativas0.303 tres cifras signicativas

5. En un nmero con dgitos a la derecha del punto decimal, los ceros a la derecha del ltimo dgito diferente de cero son signicativos. Ejemplos:45.0 tres cifras signicativas45.00 cuatro cifras signicativas0.04500 cuatro cifras signicativas0.40050 cinco cifras signicativas


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6. Para nmeros muy grandes o muy pequeos, el problema de las cifras signicativas se resuelve si se escriben en notacin cientca. Ejemplos:0.000023 2.3 105 dos cifras signicativas2.300 105 cuatro cifras signicativas2 105 una cifra signicativa2.00 105 tres cifras signicativas

11. Identicacuntascifrassignicativastienenlossiguientesnmeros:3.1416 __________ 18.0 __________6.0231023 __________ 0.0015 __________365 __________ 46.001 __________9109 __________ 0.0910 __________

En los problemas que se plantearn a lo largo de este libro, muchos de los datos se pro-porcionan con cifras decimales que contienen diferente nmero de cifras signicativas. Las respuestas habrn de darse con el mismo nmero de cifras signicativas que el dato con me-nor nmero de ellas, si las operaciones son multiplicacin o divisin. En el caso de la suma y la resta, el resultado se redondea a la posicin de menor nmero de decimales. Para cumplir con este requisito, habr que redondear nmeros obtenidos en las calculadoras.

Las reglas de redondeo que utilizaremos en este curso de fsica son las siguientes:

7. Si el primer dgito a la derecha de la ltima cifra signicativa es menor que 5, ese dgito y todos los que le siguen se desechan. Ejemplos:65.9281 redondeado a tres cifras signicativas queda 65.9.

8. Si el primer dgito que se va eliminar es mayor que cinco o es un cinco seguido por un dgito distinto de cero, los dems dgitos se eliminan y al ltimo se le incrementa su valor en una unidad.Ejemplos:37.651, 37.659 y 37.6577, redondeados a tres cifras signicativas, son todos 37.7.

9. Si el primer dgito que va a eliminarse es un cinco, pero no siguen otros dgitos, o si es un cinco seguido por ceros, se aplica una regla de pares o impares: si el ltimo dgito que se conserva es par, su valor no cambia y el cinco y los ceros que le siguen se eliminan; pero si el ltimo dgito que se conserva es impar, su valor se incrementa en una unidad. Ejemplos:37.6500 redondeado a tres cifras signicativas queda 37.6; 37.3500 redondeado a tres

cifras signicativas queda 37.4.

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En el caso mencionado para datos de calculadora estn los siguientes ejemplos: 8.536 0.47 4.01192 (resultado de calculadora). Como en los factores 0.47 slo tiene dos cifras signicativas, la respuesta se redondea a 4.0. En una divisin tenemos 38.40 285.3 13.459516 (resultado de calculadora), el nmero con menos cifras signicativas es 3840 con tres de ellas, por lo que el resultado se redondea a 13.5. Para 20.02 20.002 20.0002 60.0222 (resultado de calculadora), la respuesta se redondea a 60.02.

12. Redondealossiguientesnmerosacuatrocifrassignicativas:8.90345_________ 8903.45__________ 34.1250__________0.90345_________ 89034.5__________ 34.5665__________

13. Redondeaatrescifrassignicativas:3.1416 _________ 6.0231023 __________ 5.1750 __________0.09152 _________ 1.762610-27 __________ 0.25450 __________

14. Redondealosresultadosdecalculadoradelassiguientesoperaciones:3.03.1416____________ 0.001023.48_________________6.004.00_____________ 3.814.05.8650_____________25.4817.369__________ (95.67.1)466______________7.03.1416____________ 26.147.612__________________

Errorabsolutoyerrorrelativo.SegundoacercamientoalanlisisdeerroresEl error en las mediciones se expresa por medio del uso del smbolo entre el valor real y la incertidumbre medida o estimada. Por ejemplo, cuando escribimos que 2.5 < 3 < 3.5, tal cantidad la expresamos como 3.0 0.5, con lo que queremos decir que al sumar 0.5 al 3 obtenemos el lmite superior, 3.5, y al restarle 0.5 al 3 obtenemos el lmite inferior, 2.5. El intervalo de incertidumbre, el valor 0.5 en este caso, se obtiene del instrumento de medi-cin. Consideraremos el error en la medicin (el intervalo de incertidumbre) a la mitad de la escala mnima del instrumento de medicin. Esto es, si utilizamos un metro graduado en centmetros el error ser de 0.5 cm, pero si utilizamos un exmetro graduado en milme-tros el error en la medicin ser de 0.05 cm.

Las mediciones en cada caso se expresaran de la siguiente manera: si el valor medido es de 3 cm: 3.0 0.5 cm y 3.00 0.05 cm. En los casos anteriores el error, 0.5 cm o 0.05 cm se denomina error absoluto (o incertidumbre absoluta) cuando ste se reporta en las mismas unidades de la medicin. Utilizaremos las siglas IA para denotar la incertidumbre absoluta.

Otra manera de expresar los errores es por medio del llamado error relativo (incertidum-bre relativa, IR), que se dene como el cociente de dividir la incertidumbre absoluta entre la medicin:

IR I Amedicin=


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La IR tiene un signicado importante. En los casos anteriores, de usar un metro o un ex-metro, cul de las dos mediciones tiene una mayor precisin? La de mayor precisin es la ms conable, por supuesto. La respuesta a tal pregunta se precisa mejor si utilizamos la IR expresada en porcentaje, simplemente multiplicando el resultado de la divisin por 100. Entonces:

0 53 0 0 17 170 53 00 0 017

.

. . (%) %.. . (%)

= = =

= = =

IR

IR 11 7. %Vemos que hay una gran diferencia entre usar un metro graduado en centmetros y usar un

exmetro graduado en milmetros. No es lo mismo tener 17% de error que 1.7% de error.

o Entucuaderno,expresalasmedicionesdirectasrealizadasaliniciodeestaseccinutilizandolosintervalosdeerrorsegnlosinstrumentosdemedicinquehayasempleado.

Para calcular la incertidumbre absoluta para mediciones indirectas se utiliza el siguiente criterio: La IA de una suma (o resta) es la suma de las IA de todas las cantidades involucra-das en la suma (o resta). Para una multiplicacin (o divisin), se considera la IR(%) como la suma de todas las IR(%) de las mediciones directas; la IA se obtiene transformando la IR(%).

Por ejemplo, para encontrar el rea de una supercie triangular se midieron la altura y la base, con lo que se obtuvieron los siguientes resultados: b 2.20 0.05 cm y h 10.8 0.5 cm. El rea se obtiene por la conocida frmula:

A cm cm cm= =2 20 10 82 11 882. . .

Luego, para la base tenemos:

IR cmcmb(%).. . %= =

0 510 8 100 4 63

Mientras que para la altura:

IR cmcmh(%).. . %= =

0 052 20 100 2 27

De donde, la IR(%) del rea del tringulo es 6.90%. Para reportar el rea con su incerti-dumbre absoluta utilizamos una regla de tres:

11.88 cm2 es a 100% de error como x cm2 es a 6.90% de errorDe donde:

x = =6 90 11 88100 0 81972. . .

Por lo que el valor pedido es:A 11.9 0.8 cm2

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o Reportalasmedicionesindirectasdevolumendelsalnyreadelescritoriodelprofesorolaprofesoraconsusrespectivoserrores.

15. Sehareportadounvolumende1005ml.Qusignicaesteresultado?CuntovalelaIRdelamedicin? __________________________________CuntovalelaIR(%)delamedicin?_______________________________Sisehaestablecidocomocriterionoaceptarresultadosdemedicinconmsdel10%deerror,esteresultadopuedeonoaceptarse?________________

16. Unresistor(oresistencia)estmarcadodelasiguientemanera:1010%.Dentrodeculintervaloesprobablequeseencuentreelvalorexactodelaresistencia? Sicomparasunresistormarcadocon1010%conotrode10010%,enculdeelloshayunaincertidumbreabsolutamayor?___________________________________________________________________________

Porqu?________________________________________________________________________________________________________________________________

17. En un experimento se ha establecido como norma que lasmediciones norebasen el 5% de error. Al medir un tiempo, se ley 100 s. Cul ser laincertidumbre absoluta mxima que debe tenerse para respetar la normaimpuesta?________________________________________________________________________________________________________________________________

18. Enunexperimentoseutilizunexmetrograduadoenmilmetrosparamedirla longituddeunobjeto.Los resultadosdecincomedicionesconsecutivasfueron:30.5mm,30.5mm,30.5mm,30.5mm,30.5mm.Esposibleconcluirque esta medicin no posee error? Por qu? En caso negativo, cmocalcularassuincertidumbreycmointerpretaraslosresultadosobtenidos?________________________________________________________________________________________________________________________________


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19. Se midieron el volumen y la masa de un cuerpo, luego se reportaron los resultados: masa 40.0 0.5 g, volumen 100.0 0.5 ml. Con esto se calcul la densidad, de acuerdo con la expresin: densidad masavolumen=

Cmoreportaraselresultadoincluyendolaincertidumbre?________________________________________________________________________________________________________________________________

20. Semidieron los volmenes de tres lquidos y se reportaron los siguientesresultados:V1105.20.5ml,V235.00.5ml,V315.00.5ml.Siloslquidossemezclaronparaformarunnuevovolumen,cmosereportarsuresultadoincluyendosuincertidumbre?________________________________________________________________________________________________________________________________

1.3. Cantidadesvectorialesyvectores

Consideremosunrecipientellenoconaguacalienteo Quobtenemossimedimossutemperaturaendiferentespuntosdelrecipiente

oadiferentesprofundidades?Consideremosahoraunobjetoen reposo,comoporejemplounborradorsobreunescritorio.Semuevedelamismamanerasiloempujamosdesdediferentesdirecciones?Sihaydiferencia,culessta?2________________________________________________________________________________________________________________________________________

La descripcin de los fenmenos fsicos requiere, como ya discutimos, de cantidades men-surables. Adems, tal descripcin la realizamos en trminos de cantidades que slo nos pro-porcionan un nmero, como lo fue el caso de la temperatura, y otras cantidades que requieren una propiedad ms, como el caso del borrador. En las secciones que siguen veremos estos dos tipos de cantidades con cierto detalle, para utilizarlas libremente a lo largo de todo el curso.

2 Es vericable que la temperatura medida es la misma en todo punto del recipiente, pero el movimiento del borra-dor depende de la direccin hacia donde se empuja. Esto es, si se empuja hacia la izquierda con poca intensidad, su movimiento ser diferente que si se empuja a la derecha con mayor intensidad.

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1.3.1. Cantidadesescalaresycantidadesvectoriales;vectoresEn las actividades anteriores hay diferencias notables: la temperatura no depende del punto ni de la direccin de medicin, pero en el caso del borrador s depende tanto de la direccin en que se empuja como de la intensidad con que se hace. La diferencia seala que tambin existen diferencias entre las cantidades fsicas. Para unas basta con conocer su valor para que queden completamente especicadas, como es el caso de la temperatura, mientras que otras necesitan su valor numrico y una direccin. La primera clase de cantidades se deno-minan cantidades escalares; la segunda, cantidades vectoriales.

Denimos una cantidad vectorial como aquella para la que, para su completa especica-cin, deben darse su magnitud (tambin llamada mdulo) y su direccin. De una cantidad vectorial, entonces su magnitud es una cantidad escalar. Geomtricamente, las cantidades vectoriales se representan con echas, denominadas vectores, cuya longitud se dibuja pro-porcional, en una escala adecuada, a la magnitud del vector. La direccin se especica, siem-pre, con el ngulo con respecto a un eje horizontal positivo, medido en sentido contrario a las manecillas del reloj.

1.3.2. Sistemas de referenciaEn general, por la naturaleza de la denicin que hemos adoptado para cantidades vecto-riales y vectores, resulta conveniente representar estos ltimos en un sistema de referencia (SR), consistente de ejes perpendiculares entre s. En dos dimensiones utilizaremos el siste-ma cartesiano tradicional para representar SR (gura 1.1a.).

Por otro lado, los SR resultan de gran utilidad para especicar el sentido. Cuando se habla de sentido, se hace referencia a un sentido positivo o a un sentido negativo. A los sentidos los denen los ejes del SR elegido para los anlisis geomtricos, tanto como para anlisis algebraicos, y se denotan en la gura con una echa. Por ejemplo, en la gura 1.1b. los sentidos positivos son hacia la derecha y hacia arriba.

Figura 1.1a. Sistema de referencia tradicional

y

Figura 1.1b. Direccin de un vector

y

1.3.Cantidadesvectorialesyvectores

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Los SR son arbitrarios y convencionales, lo que signica que los elegimos de manera que se adapten al problema al que se aplican y, una vez establecidos, son los que se utilizan para ese problema en particular. Como consecuencia, todas las opciones de SR siguientes (gura 1.2.) son igualmente vlidas:

Igual es posible elegirse sentidos positivos hacia arriba y hacia la derecha (el tradicional) que hacia abajo y a la izquierda. Para los vectores, el sentido tiene una connotacin prctica operativa que manejaremos ms adelante.

Para representar textualmente una cantidad vectorial, en ocasiones se utilizan caracteres en negritas o con una echa arriba. Por ejemplo, el vector cuyo smbolo es una letra P, llega a representarse como P, o como P

. Emplearemos indistintamente ambas representaciones.

La gura 1.1b. muestra un vector en un SR tradicional; el ngulo, representado por la letra griega theta, , muestra la direccin del vector tal como se deni.

21. Relacionalosiguiente:a) Sistemadereferencia ( ) Requierelamagnitudparaquedar

totalmenteespecicada.b) Componentesvectoriales ( ) Conjuntodeejesverticaly

horizontal.c) Cantidadvectoriald) Cantidadescalar ( ) Requieremagnitudydireccinpara

quedarespecicadatotalmente.22. ContestaconEsiescantidadescalaroconVsiescantidadvectorial.

Fuerza_____ Volumen_____ Velocidad_____ Masa_____Temperatura_____ Altura_____ Edad_____ Tiempo_____Aceleracin_____

23. CulrepresentacindeejesdeSRpuedenserigualmentevlidos?

Figura 1.2. Distintos SR igualmente vlidos

y y

y

y y

y

d) Todas las anterioresa) b) c)

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1.3.3. Operaciones con vectores: suma y resta vectorialLas cantidades vectoriales tienen sus reglas algebraicas para realizar operaciones con ellas. En general, son las mismas o son anlogas a las reglas operacionales entre nmeros reales. Consideremos los vectores A

y B

(gura 1.3.).

En todas las cantidades vectoriales, por ejemplo las representadas en la gura 1.3., siem-pre se cumple la regla de la cerradura: La suma de dos o ms cantidades vectoriales cuales-quiera, es una cantidad vectorial, as como la regla de la conmutatividad; esto es:

A B B A + = +

Adems, la regla de la distributividad se cumple cuando la suma se multiplica por una cantidad escalar:

c A B c A c B( ) + = +

Donde c representa una cantidad escalar. La existencia del inverso aditivo tambin sirve para cantidades vectoriales; esto es, para

toda cantidad vectorial A

existe A

. Grcamente, estos dos vectores los representamos como se muestra en la gura 1.4.

Con tales cantidades denimos la resta de cantidades vectoriales como:

A B A B = + ( )

Por lo que la resta vectorial cumple con las mismas reglas de la suma vectorial.

Figura 1.3.

A B

Figura 1.3.3

Figura 1.4.


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o Para el caso de los nmeros reales la operacin 4 4 0 es perfectamente vlida.Qupodramosdecirsobrelaoperacin A

A

?3

________________________________________________________________

La suma de vectores se puede realizar por dos mtodos: el mtodo gr co y el mtodo anal-tico. El segundo lo analizaremos ms adelante. Para ilustrar el primero tomemos los vecto-res de la gura 1.2. Lo que debemos considerar es que las direcciones de los vectores deben respetarse estrictamente. Luego, trasladamos el vector B

por medio de escuadras hasta que

la cola del vector quede exactamente en la punta del vector A

. Inmediatamente despus, se traza un vector que vaya de la cola de A

a la punta de B

. Este vector, que hemos denomina-

do R

, es el resultante de la suma de A

y B

( gura 1.5.).

Cuando slo tenemos dos vectores, el mtodo se denomina mtodo del tringulo. Para tres o ms vectores, el mtodo se llama mtodo del polgono (un tringulo es un polgono de tres lados) y se realiza de la misma manera, colocando sucesivamente los vectores punta-cola y el vector suma o vector resultante, que se traza de la cola del primero hasta la punta del ltimo.

Demostracindelmtododeltringuloo Con tres dinammetros, un anillo de material ligero y tres tramos cortos

decordn ligero,deacuerdoconelsiguienteesquema, realizamedicionesbajoladireccindelprofesor.Unavezobtenidoslosresultados,dibujaentucuadernolosvectorescorrespondientesaplicandolaregladeltringulo.

3 As como entre los nmeros reales existe el nmero cero, denominado neutro aditivo, para las cantidades vecto-riales tambin est el vector cero, 0

, tal que: A A A

+ = + =0 0 .

Figura 1.5.

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Una variante muy til de este mtodo, especial para la suma de dos vectores, es el llama-do mtodo del paralelogramo (otro polgono). Consiste en lo siguiente: se colocan los dos vectores de forma que sus colas coincidan en un punto y luego se trazan, desde las puntas de cada uno, lneas perpendiculares a los vectores opuestos, de manera que se forme un parale-logramo ( gura 1.6.). La diagonal del paralelogramo representa el vector resultante.

o Qurelacinpuedeencontrarseentreelmtododelparalelogramoyelmtododeltringulo?4________________________________________________________________________________________________________________________________

Figura 1.6.

4 En esencia son un mismo mtodo. Basta con observar detenidamente la gura formada: el paralelogramo est compuesto por dos tringulos.


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La importancia de los mtodos del paralelogramo y del tringulo reside en que demues-tran que todo vector siempre puede expresarse como la suma de dos o ms vectores, los cuales reciben el nombre de componentes. Esto es, los vectores A

y B

de la gura 1.4. son

los vectores componentes o simplemente componentes del vector R

.

Concursovectorialo Instrucciones:1. Cada estudiante recibir una tarjeta con el dibujo de un vector, trazado con

respectoaunadireccindereferencia(cerogrados).2. Escribe tunombrecon letrasgrandes, tal ycomoquierasserconocidopor los

dems,ytusapellidos.3. Conunareglayuntransportador,midelalongituddelvectorencentmetrosyla

direccindelvectorengrados.4. Ahora,tendrs____minutosparaencontrar____compaerostuyosyformarun

equipoconellospararealizarunasumavectorialconlosvectoresdecadamiembrodelequipo.Ganarelequipoqueobtengaelvectorresultantemslargo.

5. El equipo deber reportar en una sola hoja de trabajo, al nal del periodoestablecido,susresultadosdelasiguientemanera:enunatabla,lainformacinsobreelnombredecadaintegrantedelequipo,lalongitudyladireccindecadavector,lalongitudyladireccindelvectorresultante.Enlamismahoja,eldibujocorrespondientealasumadelosvectoresdecadaintegrantedelequipo.

24. Utilizandounaescalaadecuada,representalossiguientesvectores:a) Ade3uendireccin65 b) B de2uendireccin145 c) Cde5uendireccin290 d) D

de8uendireccin320

25. Culdelassiguientesoperacionesindicadasspuedellevarseacabo?a) A B b) A B c) A B d) A B C

26. De la pregunta 24, suma los vectores A, B y C, usando el mtodo delpolgono.

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1.3.4. MultiplicacindeunacantidadvectorialporunescalarLa primera operacin de multiplicacin que involucra cantidades vectoriales es la multipli-cacin por una cantidad escalar. Esta operacin la representamos matemticamente con la expresin:

V c A =

Donde c es una cantidad escalar cualquiera; esto es, un nmero simple, c la cantidad vectorial a la que multiplica y V

la cantidad vectorial producto de la multiplicacin. Cmo

se interpreta el producto V

? 5 Si la cantidad c es mayor que 1 (uno), la magnitud de V ser mayor que la magnitud de A

, pero si c es menor que 1 sucede lo contrario.

1.3.5. Vectoresunitariosycomponentesrectangularesdeunvectorendosdimensiones

Hay una clase especial de vectores denominados vectores unitarios con los cuales es posible expresar cantidades vectoriales en forma analtica; esto es, por medio de expresiones alge-braicas.

Los vectores unitarios se denen como aquellos vectores que tienen magnitud 1 (uno). En particular, para los ejes X y Y de un SR cartesiano, se denen vectores unitarios en sus direcciones positivas, a los que se les da nombres de vectores i y j , respectivamente (gu-ra 1.7.). El smbolo sobre las letras, la tilde, es el propio de vectores unitarios. Lo anterior signica que cada vez que veamos una letra con una tilde arriba estaremos representando un vector unitario.

Figura 1.7.Figura 1.3.7

y

j

i

5 El vector producto V

es una cantidad vectorial con la misma direccin que el vector A

, pero con una magnitud diferente, por el factor que la multiplica.


De acuerdo con nuestra discusin sobre la suma vectorial, en el SR de la gura 1.7. es posible dibujar un vector cualquiera, V

, y sus respectivas componentes sobre los ejes X y Y

(gura 1.8.). Como ambos ejes son perpendiculares, los componentes de V

tambin lo son, y forman un rectngulo cuya diagonal es V

. Por tal razn, a los componentes de V

se les

denomina componentes rectangulares X y Y; los denotaremos como V x

y V y

, respectiva-mente. Con lo anterior, el vector V

se representa con la suma V V Vx y

= + .

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Si se conocen las magnitudes de los componentes X y Y, se puede aprovechar la deni-cin del producto por una cantidad escalar, que en este caso es la magnitud del componente, para escribir la suma anterior como

V V i V jx y = +

Donde Vx y Vg son las magnitudes de los componentes en X y Y, respectivamente. Esta ltima relacin es la expresin analtica o algebraica de V

. De acuerdo con esto, el concepto

de sentido para vectores adquiere un signicado de importancia capital: el sentido en un vector se reere nica y exclusivamente a sus componentes.

Ejemploo Setieneunmvilquesedesplaza3kilmetrosalnorte(N)yluego4kilmetrosal

oeste.Determinaeldesplazamientototalresultantedelmvil.Solucin:Esposiblesolucionarelproblema,conelmtododel tringulo,de lasiguientemanera:

4 km N3 km

O E

S SO E

3 kmN4 km

R

Paradeterminarlamagnituddelaresultanteque,comoseapreciaeslahipotenusadeltringulorectngulomostradoyconelusodelteoremadePitgoras,resulta:

R km km km= + =( ) ( )3 4 52 2

Sudireccin sepuededenirpormediostrigonomtricos:cos . ; cos . .= = = =45

kmkm 0 8 0 8 143 13

1 0

Figura 1.8. Representacin grca del vector V

con sus componentes

y

V x

V y V y

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Alumnosmuyfuertes?o Paraestaactividad,quetienequeverconunademostracinde lascomponentes

de vectores, se necesita una cuerdade10metrosde longitud.Dos alumnos, depreferencialosmsfuertesdelaclase,tomanlacuerda,unoporcadaextremo,yjalan,siempreendireccinhorizontal,hastaque lacuerdaquedecompletamentetensa.Noesunacompetenciaparaverquinjalaaquin;sloserequierequelacuerdaseencuentretensaporcompleto.Yaquelacuerdaesttensa,senecesitalaparticipacindeunaalumna,aquienselepedirqueempujelacuerdaporsucentrohaciaabajohastaelpiso,conloquevencer,enconsecuencia,alosdosalumnosquetratandemantenerlacuerdatensa.Serposiblequelaalumnapuedamsquelosdosalumnos?Porsupuestoques.Porqu?

1.3.6. SumayrestaanalticadevectoresCon las expresiones analticas es posible realizar la suma y la resta vectorial analticamente, aunque la condicin es que sigan las reglas del lgebra ordinaria. En consecuencia, tenemos que para los vectores A A i A jx y

= + y B B i B jx y = + , la suma se concluye de la siguiente

manera:

A B A i A j B i B jA B i A

x y x y

x x y

+ = + + += + +

( ) ( )( ) ( ++ B jy )

Para la resta, el procedimiento es anlogo.En los trminos anteriores, la magnitud del vector V V i V jx y

= + de la gura 1.8., se calcula con el teorema de Pitgoras:

V V Vx y= +2 2

expresin que asegura que la magnitud de cualquier vector siempre es positiva. De la tri-gonometra, obtenemos la direccin del vector mediante la funcin de la tangente que se representa simblicamente como:

= tan VVy

x

1

SistemasdevectoresComo tema nal analizaremos tres sistemas de vectores de acuerdo con su disposicin en un problema fsico y su representacin grca. stos son los vectores coplanares, no co-planares, colineales y concurrentes. Los primeros, como su nombre lo indica, son vectores situados en el mismo plano. Todos los vectores que hemos visto son de este tipo, puesto que


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se encuentran en el plano XY. Entonces, en qu consiste y dnde aparece un sistema de vectores no coplanares?6

El caso de los vectores colineales considera vectores que se encuentran sobre la misma lnea o el mismo eje, aun si ti

física i un enfoque constructivista - antonio lara-barragán y héctor núñez

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