física de semiconductores - kronig-penney

Fsica de Semiconductores (333) Curso 2005

PGINA 6

Fsica de Semiconductores (333) Curso 2005

Ing. Electrnica- 3er. Ao, V cuat.

Trabajo Prctico Nro. 2: Modelo del electrn libre. Modelo de Kronig-Penney: electrn en un potencial peridico.

Objetivos:

Analizar y discutir las diferencias entre los modelos del electrn libre y el electrn en la red cristalina sujeto a un potencial peridico. Introducir los conceptos de bandas de energa permitidas, bandas prohibidas y masa efectiva.

1- Modelo del electrn libre

Consideremos una red lineal en la cual los electrones se pueden mover libremente en forma independiente unos de otros. Suponiendo nula la energa potencial:

a) Demostrar que la energa de un electrn libre es proporcional al cuadrado del nmero de onda k. El nmero de onda k puede relacionarse con el momentum p de la partcula por:

b) Graficar E = f(k). Existe alguna restriccin a la energa que puede tener la partcula?

c) Qu significa un valor negativo de k? Y un valor positivo?

2- Modelo del electrn en una red peridica: modelo de Kronig-Penney

El modelo del electrn libre no tiene en cuenta los efectos debidos a interacciones de los electrones con la red cristalina. Recordemos que cuando un electrn pasa cerca de un tomo es acelerado, y cuando se aleja es desacelerado hasta que entra dentro del campo de accin del prximo tomo, establecindose niveles de energa potencial que delimitan el movimiento del electrn a travs de la red. Desde el punto de vista de la mecnica cuntica un electrn en un cristal se encuentra en un potencial peridico del tipo mostrado en la Figura 1a).

Para estudiar el comportamiento del electrn en una red peridica unidimensional se utiliza un modelo de potencial peridico formado por un arreglo de pozos y barreras rectangulares de potencial que tienen la periodicidad de la red, como se muestra en la Figura 1b). Este es el modelo de Kronig-Penney.

La Figura 2 muestra el potencial peridico unidimensional utilizado para estudiar el comportamiento del electrn en este modelo.

La solucin del sistema requiere resolver la ecuacin de Schr(dinger:

sujeta a las condiciones en las regiones I (V(x) = 0) y II (V(x) = Vo), resultando:

Regin I:

Regin II:

A, B, C y D son coeficientes constantes. ( y ( estn dados por:

Como la red cristalina es peridica se introduce el factor de periodicidad por medio del teorema de Bloch, por lo cual:donde la periodicidad de la red ,L, requiere que:

u(x) = u(x + L) = u(x + nL), n es entero.

Se obtienen funciones peridicas en las regiones I y II:

Los coeficientes A, B, C y D se obtienen de las condiciones de continuidad para la funcin de onda y su primera derivada, las que deben ser continuas donde ocurre un cambio abrupto de potencial. Es decir:

y adems:

Aplicando estas condiciones resulta un sistema de cuatro ecuaciones cuya resolucin matemtica se deja como ejercicio para el alumno. La solucin del sistema se puede expresar como:

El lado derecho de la ecuacin se puede convertir en una funcin de la energa f(E):

Esta funcin queda limitada entre los valores +1 y -1 por la condicin impuesta por el segundo miembro de la ecuacin, se debe cumplir f(E) = cos kL. La Figura 3 muestra una representacin esquemtica de dicha relacin, para valores positivos de k.

Como puede verse f(E) permanece dentro del rango [-1, 1] slo para ciertos valores de energas. Estos valores de "energas permitidas" forman las denominadas "bandas de energa permitidas". Los valores restringidos de energa forman las denominadas "bandas de energa prohibidas" o "gap" de energa. El agrupamiento de los valores de energa permitidos en bandas es una de las caractersticas ms importantes del comportamiento de los electrones en las redes peridicas.

Utilizando la curva obtenida anteriormente se puede graficar la energa E como una funcin de k, como se muestra en forma esquemtica en la Figura 4, donde se la compara con la obtenida para el electrn libre (lnea de trazos).

Para qu valores de k ocurren las discontinuidades? Qu sucede con la zona intermedia entre las discontinuidades? Cmo se comporta el electrn?

El movimiento de los electrones en la red se puede asimilar a la propagacin de una onda electromagntica en un cristal. La dispersin de la onda electromagntica por los tomos de la red da lugar a una onda dispersada que se refuerza cuando se cumple la condicin de Bragg:

2 L = ( = 2 ( = 3 ( = n ( Cmo se relacionan los valores de k con la condicin de Bragg para reflexin constructiva?

Se define la velocidad del electrn representado por un paquete de ondas centrado alrededor de la energa E y con un nmero de onda k por la relacin:

Si sobre el electrn acta una fuerza externa F, el trabajo realizado por esta fuerza en un intervalo de tiempo dt ser: F v dt, produciendo una variacin en la energa del electrn de magnitud dE:

entonces:

Diferenciando la velocidad respecto al tiempo se obtiene la aceleracin del electrn:

Asemejando la anterior a la forma de la segunda ley de Newton se obtiene: F = m* a donde m* se denomina masa efectiva y est dada por:

De este modo, asignando a los electrones en la red peridica una masa efectiva m* podemos tratarlos como si fuesen libres, y describir su movimiento en presencia de un campo aplicado de la misma forma que para un electrn libre. Las propiedades de la red cristalina determinan el valor de m* ya que determinan la forma de la funcin E(k) y de su derivada segunda d2E/dk2.

De acuerdo a la definicin anterior para la masa efectiva cunto vale m* para un electrn libre?

La Figura 5 muestra el grfico de energa en funcin de k para la primera y segunda zona de Brillouin. Analizar el movimiento de un electrn bajo la accin de una fuerza externa F y obtener grficos aproximados para la velocidad, aceleracin y masa efectiva m* para la primera zona de Brillouin.

Podr un electrn que se encuentra en la primera zona de Brillouin pasar a la segunda zona?. Justificar la respuesta.

Bibliografa sugerida:

Fsica vol. III - Alonso-Finn, Cap. 6.3, 6.4, 6.5

Fsica Cuntica - Eisberg-Resnick, Cap. 13.5, 13.6, 13.7

Fsica de los semiconductores- Mc Kelvey- Cap. 8.1, 8.2, 8.3, 8.4

Physical principles of microelectronics - Yepifanov- 5.2, 5.3, 5.4

Figura 4

Figura 1b)

Modelo de Kronig-Penney

Figura 1a)

Potencial real

V(x)

Vo

I

II

E

x

-b 0 a a+b

L = a + b

INCRUSTAR Equation.3











Banda prohibida

Banda permitida

E8

k = 4(/L

E7

k = 3(/L

k = 2(/L

E6

E5

E4

E3

E2

E1

k = (/L

k = 3(/L

k = 2(/L

k = (/L

k = 0

0

-1

+1

Figura 2

E

f(E)

Banda permitida

gap

E(k)

gap

Banda permitida

gap

Banda permitida

gap

Bandas de energa









k

Primera zona de Brillouin


Segunda zona de Brillouin






5

6

4

3

2

1






k

E(k)

Banda prohibida

Banda prohibida

Figura 3

Figura 5


Ecuacin de una onda plana cuya amplitud es modulada por el factor u(x) que expresa la periodicidad de la red cristalina.

Dispositivos semiconductores, J. Singh

Fsica de los semiconductores, J. McKelvey

Alonso-Finn, Vol III, Cap. 6, pgs. 262-263

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L

L

a

b

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