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Física III
Dr. Jaime Osorio Rosales Universidad Nacional Autónoma de México
Fís. Arturo García Cole Universidad Nacional Autónoma de México
Universidad Nacional Autónoma de México
México, 2018
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
PLANTEL SUR
Física III (Basado en el nuevo Plan de estudios de Física III)
Jaime Osorio Rosales
Arturo García Cole
2018
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CONTENIDO
Unidad 1. Sistemas de cuerpos rígidos
Introducción: Sistemas de cuerpos rígidos
CAPÍTULO I
1. Movimiento Circular
1.1 Aceleración Centrípeta
CAPÍTULO II
2. Gravitación Universal y Leyes de Kepler
2.1 Gravitación Universal
2.2 Leyes de Kepler
2.3 Satélites
CAPÍTULO III
3. Centro de Masa
3.1 Movimiento del centro de masa
CAPÍTULO IV
4. Ecuación Vectorial de Movimiento
CAPÍTULO V
5. Torca
APÉNDICE A Unidades SI: Básicas y Suplementarias
APÉNDICE B Datos Físicos
APÉNDICE C Unidades SI Derivadas
APÉNDICE D Unidades SI Compuestas
APÉNDICE E Unidades SI Autorizadas
APÉNDICE F Múltiplos y Submúltiplos Decimales
APÉNDICE G Alfabeto Griego
APÉNDICE H Constantes Físicas Fundamentales
APÉNDICE I Datos Planetarios
APÉNDICE J Unidades Sistema Ingles
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PRESENTACIÓN
El presente libro está diseñado para cubrir los aprendizajes señalados en el Programa de Física
III del Plan de Estudios del Colegio de Ciencias y Humanidades, correspondiente al sexto
semestre. Queremos que este libro sea de ayuda para los alumnos, para que valoren
lo maravillosa que es esta ciencia. La naturaleza se manifiesta en ciertos fenómenos que siguen
determinadas pautas que revelan una estructura de relación entre sus partes. Estas pautas o leyes,
que el científico intenta descubrir, no son modificables por la voluntad humana pero su
conocimiento puede servir para eliminar, alterar o producir determinados acontecimientos.
En este libro estudiamos la mecánica de un sólido rígido, que es aquella donde se estudia el
movimiento y equilibrio de sólidos materiales ignorando sus deformaciones. Se trata, por tanto,
de un modelo matemático útil para estudiar una parte de la mecánica de sólidos, ya que todos
los sólidos reales son deformables.
En todos los capítulos se tratan temas de la mecánica clásica o newtoniana que pretenden,
a partir de expresiones y razonamientos matemáticos acordes con los postulados físicos de la
teoría, explicar y predecir el comportamiento de los cuerpos sometidos a interacciones con otros
cuerpos. En el estudio de la mecánica clásica se busca conocer no solo el estado del sistema
considerado, sino también el del entorno físico que lo rodea.
La finalidad de todo este material es la de promover en los estudiantes aprendizajes
significativos, que amplíen sus conocimientos, así como de profundizar la comprensión de los
fenómenos físicos que les permita tener explicaciones fundamentadas de eventos que acontecen
en su entorno.
El libro contiene una explicación teórica de los fenómenos físicos en sistemas de cuerpos
rígidos, donde se conceptualizan y se da un modelo matemático de los mismos. También
contiene una serie de problemas resueltos de diferentes niveles de dificultad para que el profesor
los tome como problemas-ejemplo en la clase, también problemas para que los alumnos los
resuelvan en clase y extra clase.
A los profesores que imparten el curso de Física III en el Colegio este libro les puede ser útil en
la planeación y desarrollo en su quehacer frente a sus grupos, como una guía en el desarrollo de
sus temas y ejercicios en clase. Les agradeceríamos todas las observaciones que puedan hacerle
a nuestro trabajo que permita enriquecerlo o mejorarlo en una edición posterior.
Los autores de este libro somos profesores del Plantel Sur que hemos dedicado tiempo
y esfuerzo en realizar este material. Esperamos sea un apoyo para los alumnos en su aprendizaje
de la física y a los profesores les facilite su labor docente.
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PROGRAMA DE FÍSICA III
Unidad 1. Sistemas de cuerpos rígidos
PRESENTACIÓN
En otros cursos de física se ha visto principalmente el movimiento rectilíneo de una partícula.
Esto bastaría para describir la mayor parte de sus aplicaciones. Sin embargo, por lo general, los
cuerpos en la naturaleza se mueven en trayectorias curvas. Los proyectiles de artillería se
desplazan siguiendo trayectorias parabólicas debido a la influencia del campo gravitacional
terrestre. Los planetas giran alrededor del Sol en trayectorias casi circulares.
En el nivel atómico, los electrones giran alrededor del núcleo de los átomos. En realidad, es
difícil imaginar un fenómeno físico que no suponga el movimiento al menos en dos
dimensiones.
En Física, se entiende por sistema, una entidad material formada por componentes organizados
que interactúan de forma tal, que las propiedades del conjunto no pueden deducirse por completo
de las propiedades de las partes.
En esta unidad se estudian los fundamentos de la mecánica rotacional de cuerpos rígidos,
mediante el empleo de conceptos como centro de masa, fuerza, momento de torsión, energía de
traslación y de rotación, cantidad de movimiento lineal y angular; haciendo énfasis en su
carácter vectorial.
El estudio y análisis de las leyes de la dinámica y de la conservación de la energía, ayudan a
explicar el funcionamiento de dispositivos mecánicos como giróscopos, máquinas y
herramientas en la industria, en la salud, en los deportes, los movimientos planetarios y en
cuerpos celestes.
PROPÓSITOS
Al finalizar la Unidad el alumno:
• Describirá el movimiento de un cuerpo rígido.
• Comprenderá el comportamiento mecánico de los cuerpos rígidos con base en las leyes
de la dinámica y los principios de conservación.
• Resolverá situaciones y problemas referentes al movimiento de cuerpos rígidos mediante
el empleo de las leyes de la mecánica y la aplicación de la herramienta vectorial
necesaria, que le ayuden a comprender el funcionamiento de dispositivos mecánicos de
uso común.
Los cursos de Física III y IV coadyuvan a que el alumno mejore intelectual y personalmente
a través de la apropiación consciente de conocimientos, habilidades y actitudes que le permitan
resolver sus problemas de estudio y de situaciones cotidianas.
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En cada unidad de aprendizaje existe una inducción propedéutica que favorece en el alumno el
conocimiento de la lógica de la disciplina y su interrelación con otras; que mejora y profundiza
a través de los proyectos de investigación escolar en los conocimientos, habilidades, actitudes y
valores cercanos a la carrera de su preferencia mediante el ejercicio y aplicación del aprendizaje
en situaciones reales.
Se pretende también que cuente con la preparación necesaria para cursar sus estudios
profesionales en cualquier área del conocimiento. Por su carácter propedéutico, estas
asignaturas: a) Consideran aprendizajes, habilidades y actitudes propias de la ciencia,
particularmente los relativos a la física en el nivel medio superior. b) Propician aprendizajes con
mayor formalidad que permitan obtener una mejor descripción de los fenómenos físicos.
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INTRODUCCIÓN
Sistemas de cuerpos rígidos
En cursos anteriores de física, se ha considerado principalmente el movimiento rectilíneo de una
partícula. Esto bastaría para describir la mayor parte de sus aplicaciones. Sin embargo, por lo
general, los cuerpos en la naturaleza se mueven en trayectorias curvas. Los proyectiles de
artillería se desplazan siguiendo trayectorias parabólicas debido a la influencia del campo
gravitacional terrestre. Los planetas giran alrededor del Sol en trayectorias casi circulares.
En el nivel atómico, los electrones giran alrededor del núcleo de los átomos.
En realidad, es difícil imaginar un fenómeno físico que no suponga el movimiento al menos en
dos dimensiones. En Física, se entiende por sistema a una entidad material formada por
componentes organizados que interactúan de forma tal, que las propiedades del conjunto no
pueden deducirse por completo de las propiedades de las partes. En esta unidad se estudian los
fundamentos de la mecánica rotacional de cuerpos rígidos, mediante el empleo de conceptos
como centro de masa, fuerza, momento de torsión, energía de traslación y de rotación, cantidad
de movimiento lineal y angular; haciendo énfasis en su carácter vectorial.
El estudio y análisis de las leyes de la dinámica y de la conservación de la energía, ayudan
a explicar el funcionamiento de dispositivos mecánicos como giróscopos, máquinas
y herramientas en la industria, en la salud, en los deportes, los movimientos planetarios y en
otros cuerpos celestes.
Un cuerpo rígido se define como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas
externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian y representa
cualquier cuerpo que no se deforma. Un cuerpo rígido es una idealización que se emplea en la
física para efectos de estudio y es una combinación de un gran número de partículas que tiene
posiciones fijas entre sí. Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido se pueden clasificar en
fuerzas externas y fuerzas internas. Las fuerzas externas representa la acción de otros cuerpos o
sistemas al cuerpo rígido. Mientras que las fuerzas internas mantienen unidas las diferentes
partículas que cumplen ciertas condiciones para reemplazar el cuerpo rígido. Si el cuerpo está
compuesto de varias partes las fuerzas de enlace son definidas por fuerzas internas.
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El movimiento de un cuerpo rígido se analiza considerando que la Tierra se encuentra en reposo
total, es decir no tiene movimiento de rotación ni de traslación. Para desplazamientos de un
cuerpo rígido en un plano el análisis es más simple, ya que es bastante evidente que un cambio
de posición de un cuerpo rígido en un plano, puede ser logrado de modo equivalente mediante
una traslación paralela seguida de una rotación en torno a un punto fijo, o bien la rotación
seguida de la traslación.
En el movimiento plano de cuerpos rígidos, siempre existe un punto o una extensión rígida del
cuerpo que tiene velocidad instantánea nula, y en consecuencia tendrá un movimiento
equivalente a una pura rotación instantánea del cuerpo en torno de ese punto (centro instantáneo
de rotación). En todo instante, estos cuerpos al tener una velocidad instantánea nula o de cero
en un punto, rotan respecto a ese punto; pero ese punto en general se mueve, de manera que el
centro instantáneo de rotación describe un cuerpo. El movimiento de ese punto puede ser
observado desde un sistema fijo y en ese caso la curva que describe se denomina curva riel.
Si el movimiento de ese punto es observado desde un sistema de referencia fijo al cuerpo,
la curva que describe se denomina curva rueda.
La mecánica clásica o newtoniana pretende, a partir de expresiones y razonamientos
matemáticos acordes con los postulados físicos de la teoría, explicar y predecir
el comportamiento de los cuerpos sometidos a interacciones con otros cuerpos, excluyendo los
fenómenos de tipo eléctrico o magnético, así como las consideraciones sobre la estructura
atómica o las nociones relacionadas con la teoría cuántica. En el estudio de la mecánica clásica
se busca conocer no solo el estado del sistema considerado, sino también el del entorno físico
que lo rodea.
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CAPÍTULO I MOVIMIENTO CIRCULAR
La primera ley de Newton nos dice que todos los cuerpos que se mueven en línea recta,
con velocidad constante, mantendrán inalterada su velocidad a menos que actúe sobre ellos una
fuerza externa. La velocidad de un cuerpo es una cantidad vectorial definida por su rapidez
y dirección. Igual que se requiere una fuerza resultante para cambiar su rapidez, se tiene que
aplicar una fuerza resultante para cambiar su dirección. Siempre que esa fuerza actúa en una
dirección diferente de la dirección original del movimiento, provoca un cambio en la trayectoria
de la partícula en movimiento.
El movimiento más sencillo en dos dimensiones se produce cuando una fuerza externa
constante actúa siempre formando ángulos rectos con respecto a la trayectoria del cuerpo
o la partícula en movimiento. En este caso la fuerza resultante producirá una aceleración
que altera tan sólo la dirección del movimiento, manteniéndose la rapidez constante.
Este tipo de movimiento sencillo se conoce como movimiento circular.
Fig. 1 Un movimiento circular es aquel donde la unión de las sucesivas posiciones de un cuerpo a lo largo
del tiempo genera una curva en la que todos sus puntos se encuentran a la misma distancia de un mismo punto
llamado centro.
El movimiento circular, también llamado circunferencial, es el que se basa en un eje de giro
y radio constante, por lo cual la trayectoria es una circunferencia. Un cuerpo describe
un movimiento circular cuando gira alrededor de un punto fijo central llamado eje de rotación.
Este movimiento se efectúa en un mismo plano y es el movimiento más simple en dos
dimensiones, se define como aquel que efectúa un cuerpo que recorre arcos de
circunferencia iguales en tiempos iguales. Esto es la magnitud de la velocidad permanece
constante.
En el movimiento circular el origen del sistema de referencia se encuentra en el centro de la
trayectoria circular. Es conveniente resaltar que las trayectorias de éstas son circunferencias
concéntricas de longitud diferente y de radio igual a la distancia entre la partícula considerada
y el eje de rotación.
Podemos describir el movimiento circular como la tasa de cambio de posición con el
tiempo. Entonces, la rapidez y velocidad angular también implican una tasa de cambio de
posición con el tiempo, que se expresa con un cambio angular.
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Podemos definir un ángulo como la abertura comprendida entre dos radios, que limitan
un arco de circunferencia. El ángulo 𝜃 comúnmente se mide en sentido contrario a las
manecillas del reloj, a partir del eje 𝑥 positivo.
Fig. 2 Un ángulo es una porción indefinida de plano limitada por dos líneas o lados que parten de un
mismo punto y cuya abertura puede medirse en grados.
Algo similar al desplazamiento lineal es el desplazamiento angular, cuya magnitud es,
∆𝜃 = 𝜃 − 𝜃𝑜
Una unidad que se usa comúnmente para expresar el desplazamiento angular es el
grado (º).
Hay 360º en un círculo completo o revolución. Es importante relacionar la descripción angular
del movimiento circular con la descripción orbital o tangencial, es decir, relacionar el
desplazamiento angular con la longitud de arco (𝑠).
La longitud de arco es la distancia recorrida a lo largo de la trayectoria circular, y se dice
que el ángulo 𝜽 subtiende o define la longitud de arco. Una unidad muy conveniente para
relacionar el ángulo con la longitud de arco es el radián (ver figura 3).
Un radián representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya
longitud es igual a la del radio, su símbolo o unidad en el Sistema Internacional de
Unidades es el rad.
El ángulo en radianes está dado por la razón de la longitud de arco (𝑠) y el radio (𝑟),
es decir 𝜃 (𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠) = 𝑠/𝑟.
Cuando 𝑠 = 𝑟, el ángulo es igual a un radián,
𝜃 =𝑠
𝑟=
𝑟
𝑟= 1 𝑟𝑎𝑑
Así, escribimos con el ángulo en radianes,
𝑠 = 𝑟 𝜃
Que es una relación importante entre la longitud del arco circular (𝑠) y el radio del círculo (𝑟).
Se puede observar que como 𝜃 = 𝑠/𝑟, el ángulo en radianes es el cociente de dos longitudes.
Esto significa que una medida en radianes es un número adimensional y no tiene unidades.
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Para obtener una relación entre radianes y grados, consideramos la distancia total en torno a un
círculo completo (360º). En este caso, 𝑠 = 2𝜋𝑟 (la circunferencia), y hay un total de
𝜃 =𝑠
𝑟=
2𝜋 𝑟
𝑟= 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑒𝑛 360𝑜
Es decir, una revolución o vuelta completa sería,
2𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 360𝑜 = 1[𝑟𝑒𝑣]
Por lo cual, un objeto o partícula que da una revolución rev completa ha girado 360º,
o 2𝜋 radianes. Esta relación nos sirve para convertir fácilmente ángulos comunes.
Así, al dividir ambos lados de esta relación entre 2𝜋, tenemos,
1 𝑟𝑎𝑑 =360𝑜
2𝜋=
180𝑜
𝜋= 57.3𝑜 = 57𝑜18′
Un grado puede dividirse en unidades más pequeñas, los minutos (1 grado = 60 minutos)
y los segundos (1 minuto = 60 segundos). Tales divisiones no tienen nada que ver con unidades
de tiempo.
Fig. 3 Un ángulo (𝜃) subtiende una longitud de arco (𝑠). Cuando 𝑠 = 𝑟, el ángulo que subtiende a la
longitud de arco se define como [1 𝑟𝑎𝑑].
En la Tabla 1 se muestran los ángulos en radianes en términos de 𝜋 por conveniencia.
Tabla 1. Valor de grados en radianes.
Grados Radianes
360º 2𝜋
180º 𝜋
90º 𝜋/2
60º 𝜋/3
57.3º 1
45º 𝜋/4
30º 𝜋/6
El movimiento circular uniforme se produce cuando un cuerpo o partícula con velocidad
angular constante describe ángulos iguales en tiempos iguales.
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El origen de este movimiento se debe a una fuerza constante, cuya dirección es perpendicular a
la trayectoria de la partícula y produce una aceleración que afectara sólo a la dirección del
movimiento sin modificar la magnitud de la velocidad, es decir, la rapidez que lleva el cuerpo.
Por lo tanto, en un movimiento circular uniforme el vector velocidad mantiene constante su
magnitud, pero no su dirección, toda vez que ésta siempre se conserva tangente a la trayectoria
del cuerpo.
El movimiento circular uniforme es un movimiento en el cual la velocidad no cambia,
únicamente hay un cambio en la dirección.
Un ejemplo del movimiento circular uniforme consiste en dar vueltas en una trayectoria circular
a una piedra atada a un cordel. Mientras la piedra gira con velocidad constante, la fuerza hacia
el centro que se origina por la tensión en el cordel cambia constantemente la dirección de la
piedra, haciendo que ésta se mueva en una trayectoria circular. Si el cordel se rompiera, la piedra
saldría disparada en una dirección tangencial, o sea perpendicular al radio de su trayectoria
circular.
Cuando la velocidad angular (𝝎) de un cuerpo no es constante, podemos determinar la
velocidad angular media (𝝎𝒎) conociendo su velocidad angular inicial (𝝎𝒐) y su velocidad
angular final (𝝎𝒇). Donde 𝜔𝑚 tiene unidades de rad/s.
𝜔𝑚 =𝜔𝑓 − 𝜔𝑜
2
La velocidad angular promedio representa el cociente entre la magnitud del desplazamiento
angular de un cuerpo y el tiempo total que tarda en efectuarlo,
𝜔 =∆𝜃
∆𝑡=
𝜃𝑓 − 𝜃𝑜
𝑡𝑓 − 𝑡𝑜= [
𝑟𝑎𝑑
𝑠]
La velocidad angular instantánea se obtiene considerando un intervalo de tiempo muy
pequeño, es decir cuando ∆𝒕 se aproxima a cero. Como en el caso lineal, la velocidad angular
es constante, si tomamos 𝜃𝑜 y 𝑡𝑜 como cero,
𝜔 =𝜃
𝑡= [
𝑟𝑎𝑑
𝑠]
Despejando 𝜃,
𝜃 = 𝜔 𝑡 =𝜔𝑓 + 𝜔0
2 𝑡
Esta ecuación también es similar a una ecuación deducida para el movimiento lineal.
La velocidad angular también se puede determinar si sabemos el tiempo que tarda en dar una
vuelta completa, es decir, la velocidad angular en términos del periodo y la frecuencia,
𝜔 =2𝜋
𝑇
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El periodo (𝑻) se define como el tiempo que tarda un cuerpo en dar una vuelta completa
o en completar un ciclo, sus unidades pueden ser [𝒔] o [𝒔/𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐].
La frecuencia es el número de vueltas, revoluciones o ciclos que efectúa un cuerpo en un
segundo, sus unidades son [𝑯𝒛] o [𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐/𝒔].
Si un cuerpo gira a una frecuencia de tres revoluciones por segundo, entonces el periodo de cada
revolución es 1
3𝑠. El periodo equivale al inverso de la frecuencia y la frecuencia al inverso
del periodo,
𝑇 =1
𝑓= [𝑠/𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜]
𝑓 =1
𝑇= [𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜/𝑠]
Así, en general, la frecuencia 𝑓 está relacionada con la velocidad angular mediante,
𝑓 =𝜔
2𝜋
Despejando la velocidad angular obtenemos,
𝜔 = 2𝜋 𝑓
Otra unidad que con frecuencia se utiliza para describir velocidad angular son las
revoluciones por minuto rpm; Un ejemplo serían los discos compacto (CD) que giran a una
velocidad de 200-500 rpm (la velocidad varía dependiendo la ubicación de la pista). Esta unidad
no estándar de revoluciones por minuto se puede convertir fácilmente en radianes por segundo,
1 𝑟𝑝𝑚 =2𝜋
60 [𝑟𝑎𝑑
𝑠] = 0.104
𝑟𝑎𝑑
𝑠
Es decir, que para convertir de rpm a rad/s hay que multiplicar las rpm por 0.104.
Por ejemplo, 200 rpm equivalen a 20.94 rad/s y 500 rpm a 52.3 rad/s. El rango de velocidad del
CD es de 20.94-52.3 rad/s.
El movimiento circular uniformemente acelerado se presenta cuando un objeto o partícula con
trayectoria circular aumenta o disminuye su velocidad angular en forma constante (cambio de
velocidad) en cada unidad de tiempo; por lo que su aceleración angular permanece constante.
Cuando en el movimiento circular la velocidad no permanece constante, decimos que sufre
una aceleración angular.
Cuando la velocidad angular varía es conveniente determinar cuál es su aceleración angular
media (𝛼𝑚), la cual se define como,
𝛼𝑚 =𝜔𝑓 − 𝜔𝑜
𝑡𝑓 − 𝑡𝑜=
∆𝜔
∆𝑡= [
𝑟𝑎𝑑
𝑠2]
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Cuando los intervalos de tiempo en el movimiento acelerado de un cuerpo que sigue una
trayectoria circular son cada vez más pequeños, la aceleración angular media se aproxima a una
aceleración angular instantánea. Cuando el intervalo de tiempo es tan pequeño que tiende a cero,
la aceleración angular del cuerpo será la instantánea.
Podemos observar que la aceleración media depende de un cambio en el vector velocidad.
Debido a que la velocidad es un vector, hay dos formas en las que puede producirse una
aceleración, por un cambio en la magnitud de la velocidad y por un cambio en su dirección.
1.1 ACELERACIÓN CENTRÍPETA
La aceleración es perpendicular a la trayectoria y siempre apunta hacia el centro del
círculo, una aceleración de esta naturaleza es la centrípeta,
𝑎𝑐 =𝑣2
𝑟= [
𝑚
𝑠2]
La aceleración centrípeta o aceleración normal, es una magnitud relacionada con el
cambio de dirección de la velocidad de una partícula en movimiento cuando recorre una
trayectoria curvilínea. Dada una trayectoria curvilínea la aceleración centrípeta va dirigida
hacia el centro de curvatura de la trayectoria. El término centrípeta significa que la
aceleración siempre se dirige hacia el centro.
Como la velocidad tangencial (𝑣𝑇) está relacionada con la velocidad angular (𝜔) por medio de
𝑣𝑇 = 𝑟𝜔, podremos escribir la aceleración centrípeta en términos de la velocidad angular,
𝑎𝑐 =𝑟2𝜔2
𝑟= 𝑟𝜔2
Donde 𝑟 es el radio y 𝜔 la velocidad angular. Cuando una partícula se mueve en una trayectoria
curvilínea, aunque se mueva con velocidad constante (por ejemplo el Movimiento Circular
Uniforme), su velocidad cambia de dirección, ya que esta es un vector tangente a la trayectoria,
y en las curvas dicha tangente no es constante.
La aceleración centrípeta, a diferencia de la aceleración centrífuga, está provocada por una
fuerza real requerida para que cualquier observador inercial pueda dar cuenta de cómo se curva
la trayectoria de una partícula que no realiza un movimiento rectilíneo.
La aceleración centrípeta es la componente del vector aceleración en la dirección centrípeta.
Habitualmente, se describe el movimiento de un cuerpo o partícula en un círculo con
velocidad constante a partir del tiempo requerido para realizar una vuelta completa, como
se mencionó anteriormente esta magnitud se denomina periodo de rotación (𝑻).
Durante un periodo, el cuerpo o partícula se mueve una distancia 2𝜋𝑟, por lo que su velocidad
está relacionada con 𝑟 y con 𝑇 mediante,
𝑣 =2𝜋𝑟
𝑇
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Despejando 𝑇,
𝑇 =2𝜋𝑟
𝑣
Podemos concluir que en el movimiento circular, la aceleración centrípeta está dirigida
hacia el centro del círculo, tiene una magnitud 𝑣2/𝑟 ó 𝑟𝜔2 y es mayor cuanto más nos alejemos
del eje de rotación.
Para que haya una aceleración, debe de haber una fuerza neta. Por lo tanto, para que haya
una aceleración centrípeta (hacia adentro), debe haber una fuerza centrípeta (fuerza neta
hacia adentro) que sería la fuerza dirigida hacia el centro necesaria para mantener el
movimiento circular.
De acuerdo con la segunda ley de Newton del movimiento 𝐹 = 𝑚𝑎, la magnitud de esta fuerza
debe ser igual al producto de la masa por la aceleración centrípeta,
𝐹𝑐 = 𝑚𝑎𝑐 = 𝑚𝑣2
𝑟
Donde 𝑚 es la masa del cuerpo u objeto que se mueve con una velocidad 𝑣, en una trayectoria
circular de radio 𝑟. La fuerza hacia el centro 𝐹𝑐 es directamente proporcional al cuadrado de la
velocidad del objeto en movimiento. Esto significa que, para incrementar la velocidad lineal
al doble de su valor original se requiere una fuerza cuatro veces mayor que la original.
Razonando de igual forma se demuestra que, si se duplica la masa del objeto o se reduce a la
mitad el radio de giro, será necesaria una fuerza centrípeta dos veces mayor que la original.
Para problemas en los que la velocidad rotacional se expresa en términos de la frecuencia,
la fuerza centrípeta se puede determinar expresando la velocidad lineal en términos de la
frecuencia de rotación,
𝐹𝑐 =𝑚𝑣2
𝑟= 4𝜋2𝑓2𝑚 𝑟
Una fuerza neta que se aplica con un ángulo respecto a la dirección del movimiento de un cuerpo
produce cambios en la magnitud y la dirección de la velocidad. Sin embargo, cuando una fuerza
neta de magnitud constante se aplica continuamente con un ángulo de 90º respecto a la dirección
del movimiento (como la fuerza centrípeta), sólo cambia la dirección de la velocidad.
Esto ocurre porque no hay componente de fuerza paralelo a la velocidad. Además, dado que la
fuerza centrípeta siempre es perpendicular a la dirección del movimiento, esta fuerza no efectúa
trabajo. Por lo tanto, por el Teorema Trabajo-Energía, una fuerza centrípeta no modifica
la energía cinética, ni la velocidad del objeto o cuerpo.
La fuerza centrípeta en la forma 𝐹𝑐 = 𝑚𝑣2/𝑟 no es una nueva fuerza individual, sino más bien
la causa de la aceleración centrípeta producida por una fuerza real o por la suma vectorial de
varias fuerzas. La fuerza que produce la aceleración centrípeta para los satélites es la
gravedad.
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Otra fuerza que a menudo produce aceleración centrípeta es la fricción. Suponga que un
automóvil viaja por una curva circular horizontal. Para dar vuelta, el vehículo debe tener una
aceleración centrípeta, la cual es producto de la fuerza de fricción entre los neumáticos
y la carretera. Sin embargo, esta fricción tiene un valor límite máximo (ver figura 4).
Fig. 4 El peralte de las curvas también ayuda a los automóviles a dar vueltas sin derraparse.
Si la velocidad del automóvil es lo bastante alta o la curva es muy cerrada, la fricción no
bastará para proporcionar la aceleración centrípeta necesaria y el automóvil derrapará
hacia afuera desde el centro de la curva. Si el automóvil pasa por un área mojada o cubierta
de hielo, podría reducirse la fricción entre los neumáticos y la carretera, y el automóvil
derraparía aun si viaja con menor velocidad.
El peralte de las curvas ayuda a los automóviles a tomar las curvas en la carretera sin
derraparse de manera que la parte externa de la carretera (la que está más alejada del centro de
curvatura) es más alta que la parte interna.
Mientras las llantas del automóvil giren sin derrapar, no habrá movimiento relativo entre la parte
inferior de las llantas y el camino, por lo cual la fuerza que actúa es la fricción estática.
Si el automóvil patina, entonces la fuerza más pequeña de fricción cinética es la que actúa
mientras la parte inferior del neumático resbala sobre el pavimento.
El peralte modifica el ángulo y magnitud de la fuerza normal �⃗⃗� por lo que ésta tiene una
componente horizontal 𝑵𝒙 dirigida hacia el centro de curvatura (en la dirección radial).
Entonces no se depende solamente de la fricción para mantener el automóvil en una trayectoria
circular cuando entra a la curvatura; esta componente de la fuerza normal ayuda a que el
automóvil no se salga de la trayectoria curva (ver figura 5).
En la figura 5 observamos que: a) un automóvil toma una curva con velocidad constante en una
carretera sin peralte. La aceleración del automóvil se dirige hacia el centro de la trayectoria
circular. b) una vista de frente del mismo automóvil. El centro de la trayectoria circular está a
la izquierda, según la vemos aquí. Los vectores N⃗⃗ y f s aparecen aquí actuando sobre una llanta,
pero representan el total de las fuerzas normal y de fricción que actúan sobre las cuatro llantas.
c) Diagrama de cuerpo libre para el automóvil.
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Fig. 5 Diagrama de fuerzas de un automóvil tomando una curva a velocidad constante.
En la figura 6 observamos: a) Un automóvil que toma una curva con velocidad constante en una
carretera con peralte. La aceleración del automóvil es hacia el centro de la trayectoria circular
(izquierda). �⃗⃗� es la fuerza normal total que actúa sobre las cuatro ruedas. El automóvil circula
justo a la velocidad correcta para que la fuerza de fricción sea cero. b) Resolución de la fuerza
normal en sus componentes (x, y). c) Diagrama de cuerpo libre del automóvil con la fuerza
normal representada por sus componentes, es decir la componente radial de la fuerza normal
Nx.
Fig. 6 Diagrama de fuerzas de un Automóvil que toma una curva con velocidad constante en una
carretera con peralte.
Las ecuaciones empleadas para el movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)
son las mismas que se utilizan para el rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) con
las siguientes variantes:
1. En lugar de desplazamiento en metros hablaremos de desplazamiento angular en
radianes ( en lugar de d).
2. La velocidad en m/s se dará como velocidad angular en rad/s (𝜔 en lugar de v).
3. La aceleración en 𝑚/𝑠2 se dará como aceleración angular en rad/s2 (α en lugar de �̅�).
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Las ecuaciones serán:
a) Para calcular los desplazamientos angulares:
𝜃 = 𝜔𝑜𝑡 +𝛼𝑡2
2
𝜃 =𝜔𝑓
2 − 𝜔𝑜2
2𝛼
𝜃 =𝜔𝑓 − 𝜔𝑜
2𝑡
Si el cuerpo parte del reposo su velocidad angular inicial es cero, y las tres ecuaciones anteriores
se reducen a,
𝜃 =𝛼𝑡2
2
𝜃 =𝜔𝑓
2
2𝛼
𝜃 =𝜔𝑓
2𝑡
b) Para calcular las velocidades angulares finales:
𝜔𝑓 = 𝜔𝑜 + 𝛼𝑡
𝜔𝑓2 = 𝜔𝑜
2 + 2𝛼𝜃
Si el cuerpo parte del reposo su velocidad inicial es cero, y las dos ecuaciones anteriores
se reducen a,
𝜔𝑓 = 𝛼𝑡
𝜔𝑓2 = 2𝛼𝜃
A pesar de las diferencias evidentes en su trayectoria, hay ciertas similitudes entre
el movimiento rectilíneo y el circular que deben mencionarse y que resaltan las similitudes
y equivalencias de conceptos, así como un paralelismo en las magnitudes utilizadas para
describirlos.
Existe otro tipo de movimiento cuando un cuerpo gira alrededor de un eje. Por ejemplo,
las ruedas, los ejes motrices y los volantes utilizan los efectos rotacionales para efectuar su
trabajo. En tales casos, a menudo es necesario medir la cantidad de rotación,
la cual denominamos desplazamiento angular. El desplazamiento angular es el arco de
la circunferencia recorrido por la masa puntual en su trayectoria circular, medido
en radianes (ver figura 7).
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Fig. 7 El desplazamiento angular 𝜃 se indica mediante la parte sombreada del disco. El desplazamiento
angular es el mismo de C-D que de A-B en un cuerpo rígido.
Para calcular el ángulo en radianes, podemos utilizar la ecuación,
𝜃 =𝑠
𝑟
Ya que la porción entre la distancia de arco (𝑠) y el radio (𝑟) es una unidad de longitud dividida
por una unidad de longitud, las unidades se cancelan y el radian es una cantidad adimensional.
Fig. 8 Medida del desplazamiento angular y una comparación de unidades.
Un satélite terrestre no es sino un proyectil que cae alrededor de Tierra. En un experimento
ficticio suponemos a una persona que está sobre la Tierra y lanzas pelotas de béisbol a
velocidades cada vez mayores (ver figura 9). Cuanta más velocidad se le imparte a la pelota,
la trayectoria curva es más larga hasta el suelo. Como la superficie de la Tierra es curva,
podemos imaginar que si la velocidad fuera lo suficientemente grande al caer la pelota
simplemente seguiría la superficie curva alrededor de la Tierra.
Es evidente que este ejemplo tendría dos problemas; primero, que la superficie de la Tierra no
es uniforme y que definitivamente habría obstrucciones; segundo, que debido a la gran
aceleración que habría cerca de la superficie terrestre, la velocidad tendría que ser
excepcionalmente grande ( 29000 km/h) y por lo cual la pelota se quemaría quedando reducida
a cenizas debido a la fricción atmosférica. Actualmente hay un gran número de satélites
colocados en órbita alrededor de la Tierra en altitudes donde la resistencia y la velocidad
excesiva no constituyen un problema, algunos se mueven en órbitas que son casi circulares.
19
Fig. 9 Una bola de béisbol lanzada horizontalmente con velocidad cada vez más grande tarde o
temprano se convertiría en un satélite al caer alrededor de la Tierra.
Un satélite es cualquier objeto que orbita o gira alrededor de otro objeto. Por ejemplo,
la Luna es un satélite de Tierra, y la Tierra es un satélite del Sol. Si se colocara una estación
espacial en una órbita circular alrededor de la Tierra, ni el vehículo espacial, ni los pasajeros
quedarían ingrávidos, por el contrario, la fuerza gravitacional (peso) es la que proporciona la
fuerza centrípeta necesaria para el movimiento circular.
Consideramos un satélite de masa 𝑚 que se mueve alrededor de la Tierra en una órbita circular
de radio 𝑟 (ver figura 10), la fuerza centrípeta 𝑚𝑣2/𝑟 se determina a partir de la ley de
gravitación de Newton,
𝑚𝑣2
𝑟= 𝐺
𝑚𝑚𝑇
𝑟2
Simplificando y resolviendo para la velocidad (𝑣) tenemos,
𝑣 = √𝐺𝑚𝑇
𝑟
Fig. 10 La fuerza centrípeta necesaria para el movimiento circular se origina por la fuerza
gravitacional de atracción. Por tanto, un satélite sólo puede tener una velocidad 𝑣 que le permita permanecer en
una órbita de radio fijo.
20
Un satélite solo puede tener una velocidad 𝑣 para permanecer en una órbita de radio fijo 𝑟.
Si cambia la velocidad, lo hace también el radio de la órbita. Para un gran número de satélites,
el periodo 𝑇, o sea el tiempo que le lleva al satélite dar una revolución completa en su órbita,
es muy importante.
Por ejemplo, los satélites de comunicaciones actúan como estaciones retransmisoras en el
espacio. La gente los usa para enviar mensajes desde una parte del mundo a otra. Estos mensajes
pueden ser llamadas telefónicas, imágenes de TV o aún conexiones de Internet. Estos satélites
de comunicación deben rodear la Tierra en un periodo igual al que emplea el planeta en dar un
giro, es decir, un día.
Como se observa en la figura 11, estos satélites permanecen en un punto accesible en una latitud
constante, lo que permite una comunicación directa entre dos puntos de la Tierra.
Fig. 11 Los satélites geocéntricos están ubicados de modo que puedan moverse alrededor de la Tierra
en órbitas ecuatoriales con un periodo igual al de la Tierra (un día).
Son necesarios tres satélites de éstos para permitir la comunicación por línea directa entre todos
los puntos de la Tierra. La relación entre el periodo (𝑇) de un satélite y el radio (𝑟) de su órbita
se obtiene si suponemos una órbita circular y la velocidad del satélite,
𝑣 =2𝜋𝑟
𝑇= √
𝐺𝑚𝑇
𝑟
Al resolver para 𝑇 obtenemos,
𝑇2 = (4𝜋2
𝐺𝑚𝑇) 𝑟3
El cuadrado del periodo de una revolución es proporcional al cubo del radio de la órbita.
Cuando la inclinación del plano de la órbita del satélite es ecuatorial (inclinación ≠ 0), el satélite
parece oscilar del norte al sur, por encima del ecuador del planeta. Cuando la órbita del satélite
es elíptica (excentricidad ≠ 0), el satélite parece oscilar de Este a Oeste. Cuando la inclinación
de la órbita del satélite y la excentricidad son diferentes de 0, el satélite se mueve a través del
cielo produciendo una figura en forma de ocho, llamada analema.
21
Los satélites de comunicaciones se encuentran en órbitas geoestacionarias o geosíncronas
(de geo = Tierra + síncrono = que se mueve a la misma velocidad). Eso significa que el satélite
permanece siempre sobre un punto de la Tierra. El área sobre la Tierra que el satélite puede ver,
es llamada "footprint" (huella) del satélite.
Fig. 12 Satélite de detección u observación remota.
Los satélites de detección remota, estudian la superficie terrestre. Desde una altura de hasta
480 km, estos satélites utilizan potentes cámaras para explorar el planeta. El satélite entonces
reenvía datos medibles acerca del ambiente global. Los instrumentos de dichos satélites de
detección remota estudian la cubierta vegetal, la composición química y la superficie del agua
terrestre, entre otras muchas características.
Las personas que trabajan en la agricultura, pesca, minería y muchas otras industrias encuentran
muy útil esta información. También podemos usar los satélites de detección remota para estudiar
cambios en la superficie terrestre causados por el hombre. Ejemplos de este tipo incluye las
zonas de África occidental que se están convirtiendo en desiertos (desertificación), y la
destrucción del bosque húmedo en Sud América (deforestación).
Fig. 13 Vistas satelitales de un satélite de detección remota. a) Gran lago salado, UTAH-USA, b) Fito
plancton en la costa este de USA, c) Bosque húmedo de Brasil (deforestación) y d) África occidental
(desertificación).
Un satélite meteorológico es un tipo de satélite artificial que se utiliza principalmente para
supervisar el tiempo atmosférico y el clima de la Tierra. Los satélites pueden seguir una
órbita polar, cubriendo la Tierra entera asincrónicamente, o geoestacionaria, permaneciendo
sobre un mismo punto en el ecuador del planeta.
Los satélites meteorológicos pueden captar más fenómenos que tan solo las nubes; pueden
recoger información sobre el medio ambiente como las luces de las ciudades, incendios,
la contaminación, auroras, tormentas de arena y polvo, corrientes del océano, etc. Las imágenes
obtenidas por los satélites meteorológicos han ayudado a observar la nube de cenizas del Monte
Saint Helens y la actividad de otros volcanes como el Monte Etna. El humo de los incendios del
oeste de Estados Unidos como Colorado y Utah también han sido observados.
22
Fig. 14 Satélite Meteorológico.
Otros satélites pueden detectar cambios en la vegetación de la Tierra, el estado del mar, el color
del océano y las zonas nevadas. El fenómeno de El Niño y sus efectos también son registrados
diariamente en imágenes de satélite. El agujero de ozono de la Antártida es dibujado a partir de
los datos obtenidos por los satélites meteorológicos.
De forma agrupada, los satélites meteorológicos de China, Estados Unidos, Europa, India, Japón
y Rusia proporcionan una observación casi continua del estado global de la atmósfera.
El Sistema de Posicionamiento Global, más conocido por sus siglas en inglés, GPS (Global
Positioning System), es un sistema que permite determinar en toda la Tierra la posición de un
objeto con una precisión de hasta centímetros, aunque lo habitual son unos pocos metros de
precisión. El sistema fue desarrollado, instalado y empleado por el Departamento de Defensa de
los Estados Unidos (ver figura 15). Para determinar las posiciones en el globo, el sistema GPS
se sirve de 24 satélites y utiliza la trilateración (método matemático para determinar las
posiciones relativas de objetos usando la geometría de triángulos de forma análoga a la
triangulación).
Fig. 15 Sistema de posicionamiento global GPS (Global Positioning System).
El GPS funciona mediante una red de 24 satélites en órbita sobre el planeta Tierra, a 20 200 km
de altura, con trayectorias sincronizadas para cubrir toda la superficie de la Tierra.
Para determinar la posición, el receptor localiza automáticamente como mínimo tres satélites de
la red, de los que recibe unas señales indicando la identificación y la hora del reloj de cada uno
de ellos. Con base en estas señales, el aparato sincroniza el reloj del GPS y calcula el tiempo
que tardan en llegar las señales al equipo, y de tal modo mide la distancia al satélite mediante el
método de trilateración inversa, el cual se basa en determinar la distancia de cada satélite al
punto de medición. Conocidas las distancias, se determina fácilmente la propia posición relativa
respecto a los satélites. Conociendo además las coordenadas o posición de cada uno de ellos por
la señal que emiten, se obtiene la posición absoluta o coordenadas reales del punto de medición.
También se consigue una exactitud extrema en el reloj del GPS, similar a la de los relojes
atómicos que lleva a bordo cada uno de los satélites.
23
La antigua Unión Soviética construyó un sistema similar llamado GLONASS, ahora gestionado
por la Federación Rusa. La Unión Europea desarrolló el sistema de navegación Galileo.
En diciembre de 2016 la Comisión Europea, propietaria del sistema, informó que el sistema de
navegación Galileo comenzó sus operaciones y que los satélites ya enviaban información de
posicionamiento, navegación y determinación de la hora a usuarios de todo el mundo.
La República Popular China implementó su propio sistema de navegación, el denominado
BEIDOU, que cuenta con 14 satélites en la actualidad. Para 2020, ya plenamente operativo
deberá contar con 30 satélites.
Los satélites destinados a investigaciones científicas constituyen la familia más numerosa, si se
exceptúa la de los utilizados con fines militares. Esto sucede así por varias razones: en primer
lugar, el espacio que circunda la Tierra es poco conocido; desde muchos puntos de vista interesa
conocer la distribución de las radiaciones que abarcan toda la gama del espectro, desde los rayos
X a las ondas de radio, meteoritos, capas ionizadas, campos magnéticos de origen no sólo
terrestre, sino también solar e interplanetario, etc.
Fig. 16 Satélites de investigación científica.
Muchas de estas investigaciones se realizan en apoyo de determinadas aplicaciones prácticas.
Tal es el caso del estudio de los factores que pueden afectar al hombre en el espacio, cuyo
conocimiento es imprescindible para el establecimiento de estaciones orbitales tripuladas.
Tampoco hay que olvidar que la denominación de científicas dada a muchas misiones es
simplemente una cobertura de programas cuyos objetivos son en definitiva militares.
Los satélites comerciales funcionan en tres bandas de frecuencias, llamadas C, Ku y Ka.
La gran mayoría de emisiones de televisión por satélite se realizan en la banda Ku. Cada una de
las bandas utilizadas en los satélites se divide en canales. Para cada canal suele haber en el
satélite un repetidor, llamado transponder o transpondedor, que se ocupa de capturar la señal
ascendente y retransmitirla de nuevo hacia la Tierra en la frecuencia que le corresponde.
Tabla 2. Frecuencias utilizadas por satélites.
24
Ejemplo 1.1
El rotor de un helicóptero gira a una velocidad angular de 320 rpm. Exprese esta cantidad
en radianes por segundo.
Ejemplo 1.2
La Tierra gira sobre su eje. ¿Cuál es su velocidad angular en rad/s?
Ejemplo 1.3
Una centrifuga gira a 5400 rpm. a) Encuentre el periodo y la frecuencia del movimiento,
b) Si el radio de la centrífuga es de 14 cm, ¿Qué tan rápidamente se mueve un objeto que
está colocado en su borde externo?
Ejemplo 1.4
Un niño viaja en su motocicleta con una velocidad de 13 m/s. Si el diámetro de la llanta
trasera es de 65 cm. ¿Cuál es la velocidad angular de la rueda trasera?
Ejemplo 1.5
Una centrifuga de laboratorio opera con una velocidad rotacional de 12000 rpm.
a) ¿Qué magnitud tiene la aceleración centrípeta de un glóbulo rojo que está a una
distancia radial de 8 cm del eje de rotación de la centrifuga? b) Compara esa aceleración
con g.
Ejemplo 1.6
Un DVD acelera uniformemente desde el reposo hasta una velocidad de 500 rpm en 3.5 s.
Calcule la aceleración angular del DVD a) durante este lapso, b) al término de este lapso,
y c) si el DVD se detiene uniformemente en 4.5 s, ¿Cuál será el valor de su aceleración
angular?
Ejemplo 1.7
Un horno de microondas tiene un plato giratorio de 30 cm de diámetro. El plato acelera
uniformemente desde el reposo a razón de 0.87 rad/s2 durante 0.50 s, antes de llegar a
velocidad constante. a) ¿Cuántas revoluciones da el plato antes de alcanzar su velocidad
constante? b) Calcule la velocidad angular final del plato y la velocidad tangencial en su
borde.
25
Ejemplo 1.8
Una rueda gira con una aceleración angular constante de 3.5 rad/s2. Si la velocidad angular
de la rueda es de 2 rad/s en t=0, a) ¿Cuál es el ángulo que gira la rueda entre t=0 y t=2 s,
b) ¿Cuál es la velocidad angular de la rueda en t=2 s?
Ejemplo 1.9
Una bola de 4 kg gira en un círculo horizontal mediante una cuerda de 2 m de largo.
¿Cuál es la tensión en la cuerda si el periodo es de 0.5 s?
Ejemplo 1.10
Encuentre el ángulo de peralte requerido para una curva de 160 m de radio, si la curva
tiene que salvarse a una velocidad de 80 km/h sin necesidad de una fuerza de fricción.
Ejemplo 1.11
Un punto sobre en el borde de un disco rotatorio de 8 m de radio se mueve hasta formar
un ángulo de 37º. Calcule la longitud del arco descrito por el punto.
Ejemplo 1.12
Si la longitud de arco es de 6 ft y el radio de 10 ft, encuentre el desplazamiento angular en
radianes, grados y revoluciones.
Ejemplo 1.13
Calcule la velocidad angular de un disco fonográfico de larga duración (33 1/3 rpm).
Ejemplo 1.14
Un volante incrementa su velocidad de rotación de 6 a 12 rev/s en 8 s. ¿Cuál es su
aceleración angular?
26
Ejemplo 1.15
Una rueda tarda 0.75 s para pasar del reposo a una rotación de 210 rpm. a) ¿Cuál es la
aceleración angular de la rueda en ese tiempo, suponemos que la aceleración angular es
constante? b) ¿Cuántas revoluciones completa la rueda en ese intervalo de tiempo?
c) Halle las componentes tangencial y radial de la aceleración en un punto localizado
a 12 cm del eje de rotación, cuando la rueda gira a 180 rpm.
Ejemplo 1.16
La rueda de una bicicleta tiene un diámetro de 66 cm y da 40 rpm. a) ¿Cuál es su velocidad
angular? b) ¿Qué distancia lineal se desplazará la rueda?
Ejemplo 1.17
Calcule la aceleración de una partícula que se mueve en un círculo de radio 0.5 m en el
instante en que su velocidad angular es de 3 rad/s y su aceleración angular es de 4 rad/s2.
Ejemplo 1.18
Un auto de prueba se desplaza a una velocidad constante de 10 m/s alrededor de un camino
circular de 50 m de radio. Encuentre a) la aceleración centrípeta del auto y b) su velocidad
angular.
Ejemplo 1.19
Un disco compacto en una computadora gira desde el reposo hasta una velocidad angular
de 31.4 rad/s en un tiempo de 0.892 s. a) ¿Cuál es la aceleración angular del disco,
suponiendo que está es uniforme?, b) ¿Cuántas rotaciones hace el disco mientras alcanza
su máxima velocidad?, c) Si el radio del disco es de 4.45 cm, encuentre la velocidad lineal
final de un microbio que se mueve sobre el borde del disco, d) ¿Cuál es la magnitud de la
aceleración tangencial del microbio en ese tiempo?
Ejemplo 1.20
La órbita casi circular que recorre la Luna alrededor de la Tierra tiene un radio promedio
de 384 000 km y un periodo de 27.3 días. Calcule la aceleración de la Luna hacia la Tierra.
27
CUESTIONARIO I
1. Define: Radian, Periodo y Frecuencia.
2. Explica el concepto de movimiento circular uniforme.
3. Escribe las características de un movimiento uniformemente variado.
4. Explica el concepto y la diferencia de velocidad y aceleración angular.
5. En una gráfica [rad] vs t [s], ¿qué significa la pendiente de la recta? Explica.
6. ¿Qué es la aceleración tangencial? Explica.
7. Las componentes tangenciales y radiales de la aceleración son dos componentes
perpendiculares del vector aceleración, ¿Por qué?
8. Explica por qué la fuerza de gravedad de la Tierra no hace que la Luna se acerque cada
vez más, describiendo una espiral hasta chocar con la superficie terrestre.
9. Calcula la velocidad angular promedio del segundero de un reloj.
10. ¿Cómo se llama a la razón de cambio promedio del desplazamiento angular?
CUESTIONARIO II
1. Un móvil con trayectoria circular recorrió 820º. ¿Cuántos radianes fueron?
2. Un cuerpo A recorrió 515 radianes y un cuerpo B 472 radianes. ¿A cuántos grados
equivalen los radianes en cada caso?
3. ¿Cuál es el valor de la velocidad angular de una rueda que gira desplazándose
15 radianes en 0.2 s.?
4. Determinar el valor de la velocidad angular y la frecuencia de una piedra atada a un
hilo, que gira con un periodo de 0.5 s.
5. Hallar la velocidad angular y el periodo de una rueda que gira con una frecuencia de 430
revoluciones por minuto.
6. Encontrar la velocidad angular de un disco de 45 rpm, así como su desplazamiento
angular, sí su movimiento duró 3 minutos.
7. Un engrane adquirió una velocidad angular de 2512 rad/s en 1.5 s. ¿Cuál fue su
aceleración angular?
28
8. Un mezclador eléctrico incrementó su velocidad angular de 20 rad/s a 120 rad/s
en 0.5 s. a) ¿Cuál es el valor de su aceleración media? y b) ¿Cuál es el valor del
desplazamiento angular en ese tiempo?
9. Determinar la velocidad angular de una rueda a los 0.1 minutos si tenía una velocidad
angular inicial de 6 rad/s y sufre una aceleración angular de 5 rad/s2.
10. Una rueda gira con una velocidad angular inicial cuyo valor es de 18.8 rad/s
experimentando una aceleración angular de 4 rad/s2 que dura 7 segundos. a) ¿Qué valor
de desplazamiento angular tiene a los 7 segundos? y b) ¿Qué valor de velocidad angular
lleva a los 7 segundos?
CUESTIONARIO III
1. Una rueda que gira a 4 rev/s aumenta su frecuencia a 20 rev/s en 2 segundos.
Determinar el valor de la aceleración angular.
2. Una hélice gira inicialmente con una velocidad angular de 10 rad/s y recibe una
aceleración constante de 3 rad/s2.
3. Grafica el desplazamiento en función del tiempo e interpreta el significado físico de la
pendiente obtenida. ¿Cuál es el valor de la velocidad angular?
Tiempo (s) Desplazamiento
Angular =(rad)
0 0
1 9
2 18
3 27
4 36
5 45
4. Grafica la velocidad angular del cuerpo en función del tiempo e interpreta el significado
físico del área obtenida al unir los puntos.
5. Una rueda tuvo una aceleración angular de 5 rad/s2 durante 6 segundos, ¿Qué valor de
velocidad final adquirió?
29
CUESTIONARIO IV
1. Si una hélice con una velocidad inicial de 15 rad/s recibe una aceleración angular
de 7 rad/s2 durante 0.2 minutos. ¿Cuál es la velocidad final y el desplazamiento angular
que tuvo?
2. Un engrane aumento el valor de su velocidad angular de 12 rad/s a 60 rad/s en 4 s.
¿Cuál fue el valor de su aceleración angular?
3. Una banda gira con una velocidad angular inicial de 12 rad/s y recibe una aceleración
angular de 6 rad/s2 durante 13 segundos. a) ¿Qué valor de velocidad angular lleva al
cabo de 13 segundos? b) ¿Qué valor de desplazamiento angular tuvo?
4. Un disco que gira a 2 rev/s aumenta su frecuencia a 50 rev/s en 3 s.
Determinar cuál fue el valor de su aceleración angular en rad/s2.
5. El planeta Venus completa una rotación sobre su eje cada 5816 h. ¿Cuál es la velocidad
angular de la rotación de Venus en rad/s?
6. Una secadora automática de ropa gira a 51.6 rpm. Si el radio de la tina de la secadora
es de 30.5 cm. ¿Qué tan rápido se mueve el borde externo de la tina?
7. a) ¿Qué velocidad angular, en revoluciones por minuto, daría una aceleración centrípeta
de 1 𝑔 a una distancia radial de 8 cm y b) tomando en cuenta la gravedad, ¿cuál sería
la aceleración resultante?
8. Durante una carrera de trineo, un equipo realiza una vuelta, de radio igual a 7.6 m, a una
velocidad de 96.6 km/h. ¿Cuál es su aceleración en unidades 𝑔?
9. Un objeto que describe una trayectoria circular recorre 750°. ¿Cuántos radianes
recorrió?
10. Un objeto describe un movimiento circular uniforme de 2.25 radianes en 0.2 s. Si el
radio de circunferencia descrita es de 40 cm, encuentra la velocidad angular, el periodo
y la frecuencia del objeto.
30
CAPÍTULO II GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER
2.1 GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Hoy en día conocemos cuál es el papel de la gravedad en el movimiento e interacciones de
cuerpos celestes, la expansión o contracción de galaxias y la formación de agujeros negros.
La fuerza gravitacional que ejerce la Tierra sobre nosotros y sobre los cuerpos que nos rodean
es un hecho de experiencia cotidiano. Es la gravedad la que nos liga a la Tierra y hace que
la Tierra y otros planetas permanezcan en el sistema solar. Sin embargo, las variaciones
de la gravedad son a menudo demasiado pequeñas como para notarlas en la superficie terrestre,
aunque no deberían ser completamente ignoradas. Durante la época de Newton, muchos creían
que en el vasto universo, la naturaleza seguía reglas distintas de las de aquí, sobre la Tierra.
La ley de Newton de la gravitación universal y las tres leyes de la dinámica, mostraron que
la naturaleza sigue las mismas reglas en todas partes; esto produjo un efecto profundo sobre
la visión actual que se tiene del universo.
Fig. 17 Cada cuerpo ejerce una fuerza en el otro, de igual magnitud y dirección contraria.
La ley de gravitación universal es una ley de la física clásica que describe la interacción
gravitatoria entre distintos cuerpos con masa. Ésta fue presentada por Isaac Newton en su
libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicado en 1687, donde establece por
primera vez una relación cuantitativa (deducida empíricamente de la observación) de la fuerza
con que se atraen dos objetos con masa. Así, Newton dedujo que la fuerza con que se atraen
dos cuerpos de diferente masa únicamente depende del valor de sus masas y del cuadrado
de la distancia que los separa.
Se observa que dicha fuerza actúa de tal forma como si toda la masa de cada uno de los cuerpos
estuviese concentrada únicamente en su centro, es decir, es como si dichos objetos fuesen
únicamente un punto, lo cual permite reducir enormemente la complejidad de las interacciones
entre cuerpos. La Tierra y los planetas siguen órbitas aproximadamente circulares alrededor del
Sol la fuerza hacia el centro que mantiene el movimiento planetario es tan sólo un ejemplo
de la fuerza universal llamada gravitación, la cual actúa sobre todas las masas del
universo.
31
De acuerdo con la leyenda, Newton notó que una manzana caía de un árbol. Se dice que fue
golpeado con una inspiración súbita: Si la gravedad actúa en lo alto de los árboles, e incluso en
lo alto de las montañas, entonces tal vez actué en todo el camino hacia la Luna. Con esta idea
de que la gravedad de la Tierra es la que mantiene a la Luna en su órbita, Newton desarrollo su
gran teoría de la gravitación. Pero existía controversia en aquella época, muchos pensadores
eran renuentes a aceptar la idea de una fuerza que actuaba a distancia. Las fuerzas típicas actúan
a través del contacto (una mano empuja un carrito y jala una vagoneta, un bat golpea una pelota,
etc.) pero la gravedad actúa sin contacto. Al respecto Newton dijo que la Tierra ejerce una
fuerza sobre una manzana que cae y sobre la Luna, aun cuando no exista contacto entre los
dos objetos, y estos incluso estén muy separados.
Newton determino la magnitud de la fuerza gravitacional que la Tierra ejerce sobre la Luna,
en comparación con la fuerza gravitacional sobre los objetos en la superficie terrestre.
La aceleración centrípeta de la Luna es 𝑟 = 3.84 × 108𝑚 (𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎),
2𝜋𝑟 (𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎), 𝑇 = 2.36 × 106𝑠 (𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜)
𝑎𝑐𝐿𝑢𝑛𝑎=
𝑣2
𝑟=
(2𝜋𝑟)2
𝑇2𝑟=
4𝜋2𝑟
𝑇2=
4𝜋2(3.84 × 108𝑚)
(2.36 × 106𝑠)2= 2.72 × 10−3 𝑚/𝑠2
Esta aceleración se puede expresar en términos de g,
𝑎 = 2.72 × 10−3𝑚/𝑠2 (𝑔
9.80 𝑚/𝑠2) = 2.78 × 10−4𝑔
La aceleración centrípeta de la Luna no es la aceleración de la gravedad para los objetos
en la superficie lunar, es la aceleración debida a la gravedad de la Tierra para cualquier
objeto (como la Luna) que está a 384 000 km de la Tierra.
La aceleración de la Luna hacia la Tierra es,
𝑎 =2.72 × 10−3𝑚/𝑠2
9.80 𝑚/𝑠2=
1
3600𝑔
Esto significa que la aceleración de la Luna hacia la Tierra es casi 1/3600 de la aceleración de
los objetos en la superficie terrestre. La Luna está a 384000 km de nuestro planeta,
que es aproximadamente 60 veces el radio de la Tierra (6380 km). La Luna está 60 veces más
lejos del centro de la Tierra que los objetos que están en la superficie de la misma. Pero 60 ×
60 = 602 = 3600. Newton concluyo que la fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre
cualquier objeto disminuye con el cuadrado de la distancia (𝑟) desde el centro de la Tierra,
𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 ∝1
𝑟2
Newton se dio cuenta que la fuerza de gravedad sobre un objeto no sólo depende de la
distancia, sino también de la masa del objeto; es directamente proporcional a su masa.
De acuerdo con la tercera ley de Newton, cuando la Tierra ejerce su fuerza gravitacional sobre
cualquier objeto (como la Luna), dicho objeto ejerce una fuerza igual y opuesta hacia la Tierra.
32
En concordancia con esta simetría, Newton llego a la conclusión de que la magnitud de la
fuerza de gravedad debe ser proporcional a ambas masas,
𝐹 ∝𝑚𝑇𝑚𝑜𝑏𝑗
𝑟2
Donde (𝑚𝑇) es la masa de la Tierra, (𝑚𝑜𝑏𝑗) es la masa de otro objeto y (𝑟) la distancia desde
el centro de la Tierra hasta el centro del otro objeto.
Newton fue un paso más allá en su análisis de la gravedad. Al examinar las órbitas de los
planetas, concluyó que la fuerza requerida para mantener a los planetas en sus órbitas alrededor
del Sol parecía disminuir como el cuadrado inverso de su distancia desde el Sol. Esto lo condujo
a creer que también existía una fuerza gravitacional que actuaba entre el Sol y cada uno de los
planetas para mantenerlos en sus órbitas. Fue así como postulo su ley de gravitación universal
o cuarta ley:
Toda partícula en el universo atrae a cualquier otra partícula con una fuerza que
es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia que las separa. La magnitud de la fuerza gravitacional se expresa
como,
𝐹 = 𝐺𝑚1 𝑚2
𝑟2= [𝑁]
Donde (𝑚1) y (𝑚2) son las masas de las dos partículas en [𝑘𝑔], (𝑟) la distancia entre ellas en
[𝑚] y 𝐺 es una constante universal con unidades [𝑁 𝑚2/𝑘𝑔2].
𝑮 = 𝟔. 𝟔𝟕 × 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑵 𝒎𝟐/𝒌𝒈𝟐
Despejando (𝑟) y (𝑚1) de la ley de gravitación universal,
𝑟 = √𝐺 𝑚1𝑚2
𝐹
𝑚1 =𝐹 𝑟2
𝐺𝑚2
En un sentido estricto la ecuación de la ley de gravitación universal permite calcular la magnitud
de la fuerza gravitacional que una partícula ejerce sobre una segunda partícula que está a una
cierta distancia. Dado que la fuerza de atracción gravitacional actúa a lo largo de la línea que
une las partículas, se trata de una fuerza central. Es válida para cualquier par de partículas,
no importa que estén en el espacio o en la Tierra. Esta ley nos explica que la caída de los cuerpos
a la Tierra sea en un movimiento que denominamos caída libre y que el movimiento de los
planetas o cuerpos sea circular uniforme. La ley de gravitación universal pone de manifiesto
una de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza.
33
Fig. 18 Fuerzas fundamentales de la naturaleza.
Cuando dicha ecuación se aplica a la fuerza gravitacional entre la Tierra y un objeto en su
superficie, (𝑚1) se convierte en la masa de la Tierra (𝑚𝑇), (𝑚2) sería la masa del segundo
objeto y (𝑟) la distancia del objeto desde el centro de la Tierra que es el radio de la Tierra (𝑟𝑇).
El hecho de que la distancia se mida desde el centro de la Tierra, no implica que la fuerza de
gravedad emane de alguna forma de dicho punto.
Más bien, todas las partes de la Tierra atraen gravitacionalmente, pero el efecto neto es una
fuerza que actúa hacia el centro de la Tierra. Esta fuerza de gravedad debida a la Tierra es el
peso del objeto (𝑃 = 𝑚𝑔), entonces,
𝑚𝑔 = 𝐺𝑚 𝑚𝑇
𝑟𝑇2
Si ésta es la única fuerza que actúa sobre el objeto o partícula, su aceleración en la superficie de
la Tierra es,
𝑔𝑇 = 𝐺 𝑚𝑇
𝑟𝑇2
La expresión anterior se puede generalizar para cualquier planeta conociendo su masa y su
radio,
𝑔 = 𝐺 𝑚
𝑟2
La aceleración de la gravedad varía con la altura en el caso de satélites o cuerpos que orbitan
a los planetas. Para calcular la gravedad a una cierta altura de la superficie del planeta
consideramos que se encuentra a una distancia (ℎ) sobre la superficie del planeta, y tenemos
que 𝑟 = 𝑟 + ℎ. Reescribimos la ecuación anterior considerando dicha distancia,
𝑔 = 𝐺 𝑚
(𝑟 + ℎ)2
34
El valor de 𝐺 fue medido por Henry Cavendish en 1798. La medida de 𝐺 ha sido repetida por
otros experimentos con diversas mejoras y refinamientos. En cualquier caso, medir 𝐺 siempre
resulta difícil a causa de la extraordinaria debilidad de la atracción gravitatoria. El valor de 𝐺 se
conoce solo con una precisión de 1 parte en 10000. Aunque fue una de las primeras constantes
físicas universales determinadas, sigue siendo una de las conocidas con mayor exactitud.
En la figura 19 podemos observar el diagrama esquemático del experimento de Cavendish,
donde dos esferas están unidas mediante una barra horizontal ligera, que a su vez está suspendida
de su centro por una fibra delgada. Cuando una tercera esfera (𝐴) se acerca a una de las esferas
suspendidas, la fuerza gravitacional provoca que la última se mueva, y esto tuerce ligeramente
la fibra. El fino movimiento es amplificado mediante un delgado haz luminoso que se dirige
hacia un espejo montado sobre la fibra, el haz se refleja sobre una escala. La determinación de
la intensidad de la fuerza que hace girar la fibra una cantidad específica, permitirá conocer la
magnitud de la fuerza gravitacional entre dos objetos.
Fig. 19 Diagrama del experimento de Cavendish.
2.2 LEYES DE KEPLER
Los movimientos de los planetas, estrellas y otros cuerpos celestes han sido observados durante
miles de años. En la historia antigua, los sabios consideraban la Tierra como el centro del
Universo (modelo geocéntrico). Este modelo, desarrollado extensamente por el astrónomo
griego Claudio Ptolomeo en el siglo II a.C., fue aceptado durante los siguientes 1400 años.
En 1543 el astrónomo polaco Nicolás Copérnico demostró que la Tierra y los otros planetas
giraban en órbitas circulares alrededor del Sol (modelo heliocéntrico). El astrónomo danés
Tycho Brahe llevó a cabo mediciones astronómicas precisas en un periodo de 20 años,
y proporcionó los datos para el modelo actualmente aceptado del sistema solar. Las meticulosas
observaciones realizadas por Brahe a los planetas y 777 estrellas, se hicieron únicamente con
un sextante y una brújula; el telescopio todavía no se había inventado.
35
A principios del siglo XVII, el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630) propuso tres
leyes para describir el movimiento de los planetas. Esas leyes antecedieron a las leyes del
movimiento de Newton y su ley de la gravedad. Ellas brindaron una descripción mucho más
simple del movimiento planetario que cualquiera otra que se hubiera propuesto con anterioridad.
Si invertimos el curso de la historia, observamos que una de las leyes de Kepler es consecuencia
directa de las leyes de Newton.
El hecho de que Newton pudiera haber derivado las leyes de Kepler a partir de su propio trabajo
sobre la gravedad fue considerado como una confirmación de la mecánica newtoniana.
Fig. 20 Orbitas de los planetas en torno al Sol.
Kepler discípulo de Brahe retomó los innumerables datos recopilados por su mentor y trabajó
con ellos muchos años intentando desarrollar un modelo matemático que concordara con los
datos observados. Al comienzo de esta investigación le parecía obvio a Kepler que las órbitas
de los planetas pudieran no ser circulares.
Sus estudios demostraron que la órbita de Marte era en realidad una elipse, con el Sol en uno de
sus focos. Esta conclusión posteriormente se generalizó para todos los planetas que giran
alrededor del Sol, y Kepler fue capaz de establecer varios enunciados matemáticos relacionados
con el sistema solar. Hoy en día dichos enunciados se conocen como las leyes de Kepler del
movimiento planetario:
LEY 1. Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol situado en
uno de sus focos.
La primera ley de Kepler o de las órbitas, se puede obtener a partir del inverso del cuadrado de
la atracción gravitacional en la ley de gravitación universal. La deducción es un poco
complicada, se puede demostrar que para cualquier objeto ligado a otro por una fuerza que varía
como 1/𝑟2 , se moverá en una órbita elíptica y queda el objeto estacionario en uno de sus focos.
El círculo es un caso especial de elipse en el que los dos focos coinciden.
36
Fig. 21 Una elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos, llamados
focos (𝐹), es constante.
La órbita de la Tierra es casi circular; la distancia al Sol en el perihelio (punto más próximo)
es de 1.48 × 1011𝑚, y en el afelio (punto más lejano) de 1.52 × 1011𝑚. El semieje mayor,
que es la semisuma de estas distancias, vale 1.50 × 1011𝑚 para la órbita terrestre. La distancia
media Tierra-Sol se define como unidad astronómica (UA), se utiliza frecuentemente en los
problemas relacionados con el sistema solar.
1 𝑈𝐴 = 1.50 × 1011𝑚
Fig. 22 La forma elíptica de la órbita es el resultado de la fuerza del inverso del cuadrado de la
gravedad.
En la figura 22 se observa un planeta de masa (𝑚) moviéndose en órbita alrededor del Sol,
cuya masa es (𝑀). Suponemos que (𝑀 ≫ 𝑚), por lo que el centro de masa del sistema formado
por el planeta y el Sol está aproximadamente en el centro del Sol. La excentricidad (𝒆) de una
elipse se puede definir como la proporción entre las medidas de la distancia entre focos
respecto al eje mayor de la elipse. Siendo (𝑅𝑝) la distancia en el perihelio y (𝑅𝑎) en el afelio.
En las órbitas planetarias, solo Mercurio tiene una excentricidad grande. En la Tabla 3 se pueden
observar los valores de las excentricidades para los diferentes planetas.
37
Tabla 3. Excentricidad de las órbitas planetarias.
La órbita de la figura 22 se describe en términos de su semieje mayor (𝑎) y su excentricidad
(𝑒), está ultima definida de modo que (𝑒𝑎) es la distancia desde el centro de la elipse al foco
(𝐹) o al (𝐹′). Una excentricidad de cero corresponde a un círculo, en el que los dos focos se
fusionan en un solo punto central. Las excentricidades de las órbitas planetarias no son tan
grandes, por lo que trazadas en papel, las órbitas parecen circulares. La excentricidad de la elipse
en la figura 20 se ha exagerado para una mayor claridad y es de 0.74. La excentricidad de la
órbita de la Tierra es de 0.0167.
LEY 2. Una recta que enlaza un planeta con el Sol recorre áreas iguales; en el plano
de la órbita del planeta, en tiempos iguales.
La segunda ley de Kepler o de las áreas, indica que el planeta se moverá con más lentitud cuando
se encuentre más alejado del Sol y con mayor velocidad cuando esté más cerca del Sol.
La segunda ley de Kepler es equivalente a la ley de conservación del momento angular. Es decir,
un planeta se mueve más rápidamente cuando está más próximo al Sol que cuando está
más lejos, de tal modo que el área barrida por el radio vector en un determinado intervalo de
tiempo es la misma a lo largo de toda la órbita.
Fig. 23 Cuando el planeta está más cerca del Sol, se mueve más rápido, barriendo, la misma área sobre
un camino más largo en un determinado tiempo.
Planeta Excentricidad
Mercurio 0.2060
Venus 0.0068
Tierra 0.0167
Marte 0.0934
Júpiter 0.0485
Saturno 0.0556
Urano 0.0472
Neptuno 0.0086
38
LEY 3. El cuadrado del periodo de cualquier planeta es proporcional al cubo del
semieje mayor de su órbita.
La tercera ley de Kepler o de los periodos se puede deducir a partir de la ley de gravitación
universal de Newton para el caso especial de una órbita circular. La fuerza gravitacional da lugar
a la aceleración radial,
∑𝐹𝑟 =𝐺𝑚𝑀𝑠𝑜𝑙
𝑟2=
𝑚𝑣2
𝑟
Se resuelve para 𝑣 y obtenemos,
𝑣 = √𝐺𝑀𝑠𝑜𝑙
𝑟
La distancia recorrida en una revolución es la circunferencia del círculo, la cual es igual a 2𝜋𝑟.
Entonces, la velocidad es la distancia recorrida durante una órbita, dividida entre el periodo,
𝑣 = √𝐺𝑀𝑠𝑜𝑙
𝑟=
2𝜋𝑟
𝑇
Ahora resolvemos para 𝑇,
𝑇 = 2𝜋√𝑟3
𝐺𝑀𝑠𝑜𝑙
Al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación anterior obtenemos la tercera ley de Kepler
o de los periodos,
𝑇2 =4𝜋2
𝐺𝑀𝑠𝑜𝑙𝑟3 = 𝐾𝑠𝑟
3
Donde 𝐾𝑠 es una constante dada por,
𝐾𝑠 =4𝜋2
𝐺𝑀𝑠𝑜𝑙= 2.97 × 10−19𝑠2/𝑚3
𝐾𝑠 es independiente de la masa del planeta, por lo cual la tercera ley de Kepler es válida para
cualquier planeta. Si consideramos la órbita de un satélite como la Luna alrededor de la Tierra,
la constante tiene un valor diferente, con la masa del Sol sustituida por la masa terrestre.
En este caso 𝐾𝑇 es igual a 4𝜋2/𝐺𝑀𝑇. La tercera ley de Kepler nos da un método para medir
la masa del Sol o de cualquier objeto celeste alrededor del cual otro objeto se mueve en órbita.
La constante 𝐾𝑠 incluye la masa del Sol. El valor de esta constante se puede hallar al sustituir
los valores del periodo y radio orbital y despejar 𝐾𝑠.
39
La masa del Sol es,
𝑀𝑠𝑜𝑙 =4𝜋2
𝐺𝐾𝑠
Este mismo procedimiento se puede usar para calcular la masa de la Tierra, considerando
el periodo y radio orbital de la Luna, y también la masa de otros planetas del sistema solar que
poseen lunas. En la Tabla 4 podemos observar un conjunto de datos planetarios útiles, donde la
última columna verifica que 𝑇2/𝑟3 es constante.
2.3 SATÉLITES
En las órbitas planetarias influyen las interacciones gravitacionales con otros planetas;
las leyes de Kepler ignoran esos pequeños efectos. Aun cuando dichas leyes fueron
derivadas a partir del movimiento de los planetas, se aplican también a los satélites en
órbita terrestres.
Muchos satélites, como los que usamos para las telecomunicaciones, están colocados en una
órbita geoestacionaria o geosincrónica, es decir, una órbita circular en el plano ecuatorial de la
Tierra cuyo perfil es igual al periodo de rotación terrestre. Un satélite en órbita geoestacionaria
permanece en un punto determinado sobre el ecuador, a los observadores que están en el suelo
les parece que flota inmóvil sobre ese punto, es decir, un satélite que ha sido colocado
directamente arriba del ecuador describirá un círculo una vez al día en sincronía con la Tierra.
Visto desde cualquier punto en el globo terrestre, el satélite permanecerá en un lugar fijo en el
cielo y como consecuencia, en comunicación continua línea-señal con una estación terrestre o
una antena de plato. Debido a sus posiciones fijas respecto a la superficie de la Tierra, los
satélites geoestacionarios se usan como estaciones retransmisoras de señales de
comunicaciones.
Tabla 4. Datos Planetarios
Cuerpo Masa
(kg)
Radio
Medio
(m)
Periodo
(s)
Distancia
media
desde el Sol
(m)
𝑻𝟐/𝒓𝟑
(𝑠2/𝑚3)
Mercurio 3.18 × 1023 2.43 × 106 7.60 × 106 5.79 × 1010 2.97 × 10−19
Venus 4.88 × 1024 6.06 × 106 1.94 × 107 1.08 × 1011 2.99 × 10−19
Tierra 5.98 × 1024 6.37 × 106 3.15 × 107 1.49 × 1011 2.97 × 10−19
Marte 6.42 × 1023 3.37 × 106 5.94 × 107 2.28 × 1011 2.98 × 10−19
Júpiter 1.90 × 1027 7.15 × 107 3.74 × 108 7.78 × 1011 2.97 × 10−19
Saturno 5.68 × 1026 5.85 × 107 9.35 × 108 1.43 × 1012 2.99 × 10−19
Urano 8.68 × 1025 2.33 × 107 2.64 × 109 2.87 × 1012 2.95 × 10−19
Neptuno 1.03 × 1026 2.21 × 107 5.22 × 109 4.50 × 1012 2.99 × 10−19
Plutón ≈ 1 × 1023 ≈ 3 × 106 7.82 × 109 5.91 × 1012 2.96 × 10−19
Luna 7.36 × 1022 1.74 × 106 − − −
Sol 1.99 × 1030 6.96 × 108 − − −
40
Cuando un satélite gira alrededor de la Tierra en su trayectoria elíptica, tanto su velocidad
que fija su energía cinética (𝐾), como su distancia desde el centro de la Tierra, que fija su
energía potencial gravitacional (𝑈), fluctúan con periodos fijos. Sin embargo, la energía
mecánica (𝐸) del satélite permanece constante.
La energía potencial del sistema está dada por,
𝑈 = −𝐺𝑀𝑚
𝑟
(Con 𝑈 = 0 para separación infinita). Aquí (𝑟) es el radio de la órbita, con la suposición de que
por ahora es circular, (𝑀) y (𝑚) son las masas de la Tierra y el satélite, respectivamente.
Fig. 24 Satélites geoestacionarios en órbita terrestre. Los satélites tiene la misma velocidad angular que
la Tierra, por lo cual siempre están directamente sobre un punto.
Para encontrar la energía cinética de un satélite en una órbita circular, escribimos la segunda ley
de Newton como,
𝐺𝑀𝑚
𝑟2= 𝑚
𝑣2
𝑟
Donde (𝑣2/𝑟) es la aceleración centrípeta del satélite. La energía cinética viene dada por,
𝐾 =1
2𝑚𝑣2 =
𝐺𝑀𝑚
2𝑟
Para un satélite en órbita circular,
𝐾 = −𝑈
2 (ó𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟)
La energía mecánica total del satélite en órbita es,
𝐸 = 𝐾 + 𝑈 =𝐺𝑀𝑚
2𝑟−
𝐺𝑀𝑚
𝑟
41
Reescribiéndola tenemos,
𝐸 = −𝐺𝑀𝑚
2𝑟 (ó𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟)
Esto indica que para un satélite en órbita circular, la energía total (𝐸) es el negativo de la energía
cinética (𝐾):
𝐸 = −𝐾 (ó𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟)
Para un satélite en órbita elíptica de semieje mayor (𝑎), podemos sustituir (𝑎) por (𝑟) para
determinar la energía mecánica,
𝐸 = −𝐺𝑀𝑚
2𝑎 (ó𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑙í𝑝𝑡𝑖𝑐𝑎)
Esta ecuación nos indica que la energía total de un satélite en órbita, depende sólo del
semieje mayor de su órbita, no de su excentricidad (𝒆). Podemos concluir que la energía
total de una partícula de masa (𝑚) moviéndose alrededor de una masa mucho mayor (𝑀) a lo
largo de un círculo de radio (𝑟) es negativa y varía en razón inversa del radio del círculo.
En general, puede demostrarse que en todo movimiento en el cual la masa (𝑚) describe una
trayectoria que lo mantiene a una distancia finita de (𝑀), la energía total es negativa. A grandes
distancias la energía potencial es prácticamente cero y la energía total es igual a la energía
cinética, que siempre es positiva.
Cuando la energía total es negativa, el cuerpo no puede alejarse grandes distancias del centro
de atracción. Cabe la posibilidad de un movimiento planetario en el cual la energía total es cero
o es positiva, pero en esos casos la trayectoria de (𝑚) no es una curva cerrada sino abierta:
es decir, la masa (𝑚) no se mueve de modo que pase repetidamente por el mismo lugar varias
veces.
Es posible demostrar que si la energía total es positiva la trayectoria es una hipérbola, y si la
energía total es cero la trayectoria es una parábola. Algunos cometas que han sido observados
una sola vez, describen órbitas parabólicas o hiperbólicas.
42
Ejemplo 2.1
Dos pelotas, una de 4 kg y otra de 2 kg, están colocadas de tal modo que sus centros quedan
separados por una distancia de 40 cm. ¿Cuál es la fuerza con la que se atraen mutuamente?
Ejemplo 2.2
Calcula la fuerza gravitacional con la que se atraen dos personas, si una de ellas tiene una
masa de 60 kg y la otra de 70 kg, la distancia que hay entre ellas es de 1.5 m.
Ejemplo 2.3
Calcula la fuerza con la que se atraen dos cuerpos cuyos pesos son de 98 N y 300 N al haber
entre ellos una distancia de 50 cm.
Ejemplo 2.4
¿A qué distancia se encuentran dos masas cuyos valores son 𝟒 × 𝟏𝟎−𝟐 kg y 𝟗 × 𝟏𝟎−𝟑 kg,
si la fuerza con la que se atraen es de 𝟗 × 𝟏𝟎−𝟗 N.?
Ejemplo 2.5
¿Qué distancia debe haber entre un cuerpo de 600 g de masa y otro de 400 g para que se
atraigan con una fuerza de 𝟐 × 𝟏𝟎−𝟓 dinas?
Ejemplo 2.6
Calcula la masa de una silla si la fuerza gravitacional con que se atrae con una mesa
de 20 kg es de 𝟒𝟎 × 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑵 y la distancia a la que se encuentran uno del otro es de 4 m.
Ejemplo 2.7
Determina la fuerza gravitacional que ejercerá la Tierra sobre un cuerpo cuya masa es de
1 kg al estar colocado en un punto donde el radio terrestre es de 𝟔. 𝟑𝟑𝟔 × 𝟏𝟎𝟔 𝒎. La masa
de la Tierra es de 𝟓. 𝟗 × 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝒌𝒈.
Ejemplo 2.8
En la superficie de la Tierra, la aceleración de la gravedad es de 𝟗. 𝟖 𝒎/𝒔𝟐. Si el radio de
la Tierra es de 𝟔. 𝟑𝟖 × 𝟏𝟎𝟔 𝒎, calcule la masa de la Tierra.
43
Ejemplo 2.9
¿A qué distancia por arriba de la superficie de la Tierra se reducirá el peso de una persona
hasta la mitad del valor que tiene estando en la superficie?
Ejemplo 2.10
Una persona con una masa de 100 kg viaja en una estación espacial que se mueve en una
órbita circular 900 km por arriba de la superficie terrestre. a) ¿Cuál es la velocidad de la
estación espacial? b) ¿Cuál es el peso del pasajero?
Ejemplo 2.11
¿Cuál debe ser la altitud de todos los satélites sincrónicos que están colocados en órbita
alrededor de la Tierra?
Ejemplo 2.12
¿Cuál es la aceleración en caída libre de un objeto a la altura de la órbita del
transbordador espacial, unos 400 km por encima de la superficie terrestre?
Ejemplo 2.13
La Estación Espacial Internacional se mueve en una órbita prácticamente circular
alrededor de la Tierra, a 385 km por encima de su superficie. En un lugar determinado,
calcular cuánto tiempo hay que esperar entre dos avistamientos consecutivos de la
estación.
Ejemplo 2.14
Aplicando la ley de gravitación universal encuentre un valor aproximado de la masa de la
Tierra.
Ejemplo 2.15
¿A qué distancia sobre la superficie de la Tierra se reducirá el peso de una persona hasta
la mitad del valor que tiene estando en la superficie?
44
Ejemplo 2.16
Calcula la magnitud de la fuerza gravitacional mutua entre la Tierra y la Luna.
Supondremos que ambas son esferas homogéneas.
Ejemplo 2.17
Júpiter es el planeta más grande del Sistema Solar y tiene dos lunas, Io y Europa.
Io se encuentra a una distancia promedio de 𝟒. 𝟐𝟐 × 𝟏𝟎𝟓 𝒌𝒎 de Júpiter y tiene un periodo
orbital de 1.77 días, calcula la masa de Júpiter.
Ejemplo 2.18
Kepler notó que el periodo de Marte era de aproximadamente 687 días (terrestres),
que es (687/365 d)=1.88 años. Determina la distancia de Marte desde el Sol, considerando
la Tierra como referencia.
Ejemplo 2.19
Determine la masa del Sol a partir de la distancia Tierra - Sol.
Ejemplo 2.20
¿Cuál será el valor de la gravedad en el Sol si su radio es 110 veces el de la Tierra, y su
masa 330 000 veces la de ésta?
45
CUESTIONARIO I
1. ¿Qué fuerza es mayor: la que ejerce el Sol sobre la Tierra, o la de la Tierra sobre el Sol?
Realice los cálculos necesarios.
2. ¿Cómo varía la distancia entre un punto de la superficie terrestre y el centro a medida
que se mueve del ecuador a los polos? ¿Cómo debe variar entonces la atracción
gravitacional de la Tierra?
3. ¿Cómo varia el radio de rotación de un punto al moverse del ecuador hacia los polos?
¿Cómo varía entonces la fuerza centrípeta sobre un cuerpo en la superficie terrestre?
¿Qué efecto tiene esta variación sobre el peso efectivo de un cuerpo?
4. Teniendo en cuenta las preguntas anteriores, ¿Cómo varia la aceleración de caída de un
cuerpo al desplazarnos del ecuador hacia los polos? ¿Dónde tiene su valor mínimo
y máximo?
5. ¿Cuál es la fuerza de gravitación que actúa sobre una cápsula espacial de 2456 𝑘𝑔 que
gira alrededor de la Tierra a una distancia de dos radios terrestres del centro de la Tierra?
La masa de la Tierra es 𝑚𝑇 = 5.98 × 1024 𝑘𝑔. 𝑭 = 𝟔𝟎𝟑𝟓. 𝟑𝟒 𝑵
6. Calcule la fuerza total que ejercen la Tierra y el Sol (𝑚sol = 1.99 × 1030 𝑘𝑔) sobre la
Luna (𝑚𝐿𝑢𝑛𝑎 = 7.35 × 1022 𝑘𝑔) debido a la gravitación universal, suponiendo que
están en ángulos rectos entre sí. 𝐹𝑇 = √𝐹𝑇𝐿2 + 𝐹𝑆𝐿
2. Consideramos la distancia Tierra-
Luna en 3.84 × 108 𝑚, y Luna-Sol en 1.50 × 1011 𝑚. 𝑭𝑻 = 𝟒. 𝟕𝟔 × 𝟏𝟎𝟐𝟎 𝑵
7. ¿Cuál es el valor efectivo de g en la cima del monte Everest 8848 m por encima de la
superficie de la Tierra? Es decir, ¿Cuál es la aceleración debida a la gravedad de los
objetos que se dejan en caída libre a esa altura?
8. Calcule la fuerza gravitacional entre una mujer de 78 kg y un hombre de 120 kg
que están de pie a 5 m de distancia. 𝑭𝑮 = 𝟐. 𝟒𝟗 × 𝟏𝟎−𝟖 𝑵
9. Calcule la fuerza de gravedad de una nave espacial que se encuentra a 16700 km
sobre la superficie de la Tierra. Su masa es de 4500 kg. 𝑭 = 𝟔𝟒𝟑𝟓. 𝟖𝟔 𝑵
10. Calcula la aceleración de la gravedad en la Luna. El radio lunar es de aproximadamente
1.74 × 106 𝑚, y su masa es de 7.35 × 1022 𝑘𝑔.
46
CUESTIONARIO II
1. Un planeta hipotético tiene un radio igual a 2.5 veces el de la Tierra, pero tiene la misma
masa. ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en su superficie? 𝒈 = 𝟏. 𝟓𝟕 𝒎/𝒔𝟐
2. Calcule el valor efectivo de g, la aceleración de la gravedad a a) 3200 m, y b) 3200 km
sobre la superficie de la Tierra. a) 𝟗. 𝟖𝟐𝟎 𝒎/𝒔𝟐 b) 𝟒. 𝟑𝟓𝟓𝟏 𝒎/𝒔𝟐
3. Un final exótico para las estrellas masivas es el de una estrella de neutrones, que podría
tener una masa de hasta 5 veces la masa de nuestro Sol contenida en una esfera de
aproximadamente 10 km de radio. Estima la gravedad superficial de dicha estrella de
neutrones. 𝒈 = 𝟔. 𝟔𝟑 × 𝟏𝟎𝟏𝟐 𝒎/𝒔𝟐
4. A veces la gente pregunta qué es lo que mantiene a un satélite en su órbita alrededor de
la Tierra. ¿Cómo contestaría usted a esa pregunta? Explique en detalle.
5. ¿Cuál es la fuerza de gravedad que actúa sobre una cápsula espacial de 2000 kg que gira
alrededor de la Tierra a una distancia de dos radios terrestres del centro de la Tierra?
La masa de la Tierra es 𝑚𝑇 = 5.98 × 1024 𝑘𝑔. 𝑭 = 𝟒𝟗𝟏𝟒. 𝟗𝟑 𝑵
6. Calcule la fuerza neta que ejercen la Tierra y el Sol
(𝑚s = 1.99 × 1030 𝑘𝑔) sobre la Luna (𝑚𝐿 = 7.35 × 1022 𝑘𝑔)
debido a la gravitación universal, suponiendo que están en ángulos
rectos entre sí.
7. ¿Cuál es el valor efectivo de g en la cima del monte Everest 8848m
(29028 ft) por encima de la superficie de la Tierra? Es decir, ¿Cuál es la
aceleración debida a la gravedad de los objetos que se dejan en caída
libre a esa altura?
8. Calcule la fuerza gravitacional entre una mujer de 60 kg y un hombre de 80 kg que están
de pie a 5 m de distancia. 𝑭 = 𝟏. 𝟐𝟖 × 𝟏𝟎−𝟖 𝑵
9. Calcule la fuerza de gravedad de una nave espacial que se encuentra a 12800 km
(2 radios terrestres) sobre la superficie de la Tierra. Su masa es de 1400 kg.
10. Calcula la aceleración de la gravedad en la Luna. El radio lunar es aproximadamente
1.74 × 106 𝑚, y su masa es de 7.35 × 1022 𝑘𝑔. 𝒈 = 𝟏. 𝟔𝟏 𝒎/𝒔𝟐
11. Escribe tres ejemplos que se puedan explicar con las Leyes de Kepler.
Problema 6.
47
12. Complete la siguiente tabla:
Objeto Masa Terrestre (kg) Radio Terrestre (m) Gravedad
(𝒎/𝒔𝟐)
Masa
(kg)
Peso
(N)
Tierra
5.98 × 1024 6.37 × 106 9.8 70 686
Sol
333000 = 1.99 × 1030 110 =
Mercurio
0.055 = 3.28 × 1023 0.38 =
Venus
0.82 = 0.95 =
Marte
0.11 = 0.53 =
Júpiter
318 = 11.0 =
Saturno
95.2 = 9.2 =
Urano
14.5 = 3.7 =
Neptuno
17.3 = 3.47 =
48
CUESTIONARIO III
1. La masa de la Luna es 1/81 de la masa de la Tierra y su radio es 1/4 del radio de la
Tierra. Calcula el peso de una persona en la superficie de la Luna que tiene una masa de
97 kg. 𝑷 = 𝟏𝟓𝟖. 𝟏𝟏 𝒌𝒈
2. Calcula la fuerza gravitacional de dos cuerpos, si una de ellas tiene una masa de 90
y 120 kg respectivamente. Se encuentran separadas una distancia de a) 1 km, b) 500 m,
c) 100 m, d) 10 m, e) 1 m y f) 10 cm.
3. A que distancia se encuentran dos cuerpos con masas de 4 × 10−2 𝑘𝑔 y 19 × 10−3 𝑘𝑔,
si la fuerza con que se atraen es de 20 × 10−4 𝑁.
4. ¿Qué distancia debe de haber entre un cuerpo de 1200 kg y otro de 2 T para que
se atraigan con una fuerza de 34 × 10−3 𝑑𝑖𝑛𝑎𝑠?
5. Calcula la masa de un objeto si la fuerza gravitacional con que se atrae con otro cuerpo
de 200 kg es de 450 × 10−3 𝑁 a una distancia a la que se encuentran es de 618.72 yd.
6. Una barra metálica cuyo peso es de 850 N se acerca a otra de 1780 N hasta que la
distancia entre sus centros de gravedad sea de 90 cm. Calcula con que fuerza se atraen.
7. ¿A qué distancia se encuentran dos elefantes cuyas masas son 1.2 × 103 𝑘𝑔
y 1.5 × 103 𝑘𝑔, se atraen con una fuerza gravitacional de 7.8 × 10−9 𝑁?
8. Determine la masa de un cuerpo, si la fuerza gravitacional con que se atrae con otro
cuerpo de 324 kg, es de 89 × 10−10 𝑁 a 1 metro de distancia. 𝒎 = 𝟎. 𝟒𝟏 𝒌𝒈
9. Calcula la masa de la Tierra considerando que su radio es de 6400 km.
10. ¿A qué distancia por arriba de la superficie de la Tierra se reducirá el peso de una persona
hasta la mitad del valor que tiene estando en la superficie terrestre?
49
CAPÍTULO III CENTRO DE MASA
El movimiento de un cuerpo puede representarse por el movimiento de un punto, el análisis del
movimiento de uno o más cuerpos, se simplifica si se determina el centro de masa. La ventaja
que tiene a los efectos prácticos es que podemos ignorar la estructura interna del cuerpo
y considerarlo reducido a su centro de masa con todas las fuerzas externas aplicadas a dicho
punto. Así, al lanzar una piedra al aire consideramos su peso aplicado en el centro de masa, que
es el que describe su trayectoria parabólica. O al hablar de la trayectoria de la Tierra alrededor
del Sol, nos referimos a la trayectoria descrita por su centro de masa de la Tierra.
Fig. 25 Fotografía estroboscópica de un clavadista.
La cantidad de movimiento de un sistema aislado se conserva a pesar de que algunas partes del
sistema pueden interactuar con otras partes de mismo; las interacciones internas transfieren la
cantidad de movimiento entre las partes del sistema, pero no cambian la cantidad del
movimiento total del sistema. Podemos definir un punto llamado centro de masa (CM) que sirve
como un lugar promedio del sistema, es decir, el centro de masa de un sistema discreto
o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera
aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema (ver figura 25).
De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el
centro de masa es un sistema equivalente al original. El centro de masa de un sistema aislado
debe moverse con velocidad constante, independientemente de que tan complicados sean los
movimientos de las partes del sistema. Por lo tanto, podemos estudiar la masa del sistema como
si estuviera concentrada en su totalidad en el centro de masa como si fuera una partícula puntual.
El centro de masa de un objeto no se ubica necesariamente dentro del objeto: para algunos
objetos se localiza fuera del mismo; un ejemplo de esto podría ser un toroide o una herradura.
Para el caso de los sistemas que no están aislados toda la masa del sistema está concentrada en
una sola partícula puntual ubicada en el centro de masa. El movimiento de esa partícula puntual
ficticia está determinado por la segunda ley de Newton, donde la fuerza neta es la suma de todas
las fuerzas externas que actúan sobre cualquier parte del sistema.
50
En el caso de un sistema complejo formado de muchas partes que interactúan entre sí,
el movimiento del centro de masa es considerablemente más sencillo que el movimiento de una
partícula cualquiera del sistema.
Una manera sencilla de obtener el centro de masa en figuras simétricas y homogéneas, consiste
en observar los ejes y los planos de simetría. El centro de masa debe encontrarse en algún
punto de dicha figura. En el caso del semicírculo, el eje de coordenadas 𝒚 es un eje de
simetría que divide al semicírculo en dos cuartos de círculo simétricos. Por lo tanto el centro
de masa se encuentra en el eje 𝑦, su coordenada 𝑥 por lo tanto será nula 𝑥𝐶𝑀 = 0.
En los casos en los que haya más de un elemento de simetría, el centro de masa debe pertenecer
a cada uno de dichos elementos de simetría, y estará por lo tanto en la intersección de dichos
elementos de simetría. En esto casos podríamos conocer la posición del centro de masa sin
necesidad de realizar ningún cálculo.
En la figura 26 se muestran los elementos de simetría de diversas figuras y la posición del centro
de masa de cada una de ellas.
Fig. 26 Figuras simétricas homogéneas con sus centros de masa marcados (CM).
Para un sistema compuesto de dos partículas, el centro de masa queda en algún punto sobre una
línea entre las dos partículas. Para el caso de dos partículas iguales de masas 𝑚1 y 𝑚2 que se
localizan en las posiciones x1 y x2, respectivamente, tenemos que la ubicación del centro de masa
viene dado como,
𝑥𝐶𝑀 =𝑚1𝑥1 + 𝑚2𝑥2
𝑚1 + 𝑚2
Si las masas de las partículas son iguales, el centro de masa del sistema se encuentra en el
punto medio entre estas dos. Para el caso en que las masas sean diferentes el centro de
masa estará más cerca de la partícula de mayor masa.
El centro de masa es un promedio ponderado de las posiciones de las dos partículas.
La posición de una partícula con más masa cuenta más, ya que es portadora de un mayor peso
estadístico, que la posición de una partícula con una menor masa.
51
Podemos reescribir la ecuación anterior como un promedio ponderado,
𝑥𝐶𝑀 =𝑚1
𝑀𝑥1 +
𝑚2
𝑀𝑥2
Aquí 𝑀 = 𝑚1 + 𝑚2 representa la masa total del sistema. El peso estadístico que se usa para la
ubicación de cada partícula es la masa de esa partícula como una fracción de la masa total del
sistema.
Supongamos que las masas 𝑚1 y 𝑚2 son iguales, entonces esperamos que el centro de masa se
ubique a la mitad de la distancia entre las dos partículas. Si 𝑚1 = 2𝑚2 entonces el centro de
masa está más cerca de la partícula de masa 𝑚1, entonces el centro de masa del sistema está dos
veces más alejado de 𝑚2 que de 𝑚1.
En la figura 27 observamos a) dos partículas de igual masa ubicadas en las posiciones 𝑥1 y 𝑥2
respecto al origen. El centro de masa se encuentra en el punto medio entre las dos. b) Dos
partículas de masa diferente. El centro de masa está más cerca de la partícula de mayor masa.
Fig. 27 a) Centro de masa de dos partículas de igual masa. b) Centro de masa de dos partículas de
diferente masa.
Para un sistema de 𝑁 partículas localizadas en ubicaciones arbitrarias en el espacio
tridimensional, la definición del centro de masa del sistema es una generalización de la ecuación
anterior. La definición del centro de masa en forma vectorial es,
�̅�𝐶𝑀 =∑𝑚𝑖 �̅�𝑖
𝑀
La posición de una partícula en coordenadas 𝑥𝑖, 𝑦𝑖 y 𝑧𝑖 está dada por un vector de posición (𝑟 𝑖),
𝑟 𝑖 = 𝑥𝑖 𝑖̂ + 𝑦𝑖 𝑗̂ + 𝑧𝑖 �̂�
Aquí, el índice identifica la partícula 𝑖̂, 𝑗̂ y �̂� son vectores unitarios que apuntan respectivamente,
en la dirección positiva de los ejes 𝑥, 𝑦 y 𝑧. El centro de masa en forma vectorial está dado por
un vector de posición (𝑟 𝐶𝑀),
𝑟 𝐶𝑀 = 𝑥𝐶𝑀 𝑖̂ + 𝑦𝐶𝑀 𝑗̂ + 𝑧𝐶𝑀 �̂�
52
Para una definición en forma de componentes,
𝑥𝐶𝑀 =∑𝑚𝑖𝑥𝑖
𝑀
𝑦𝐶𝑀 =∑𝑚𝑖𝑦𝑖
𝑀
𝑧𝐶𝑀 =∑𝑚𝑖𝑧𝑖
𝑀
Donde 𝑖 = 1, 2, 3, … ,𝑁 y 𝑀 = ∑𝑚𝑖
La notación ∑𝑚𝑖𝑥𝑖 se define como,
∑𝑚𝑖𝑥𝑖 = 𝑚1𝑥1 + 𝑚2𝑥2 + ⋯+ 𝑚𝑁𝑥𝑁
Para partículas que se encuentran en un espacio bidimensional, sólo se utiliza dos de estas
ecuaciones (plano x-y) y hallamos las componentes x e y del centro de masa.
Para obtener el centro de masa de un sistema a partir de las áreas de figuras geométricas
se sustituyen los cocientes de las áreas por las relaciones entre las masas:
𝑥𝐶𝑀 =𝐴1
𝐴𝑇𝑥𝐶𝑀1
+𝐴2
𝐴𝑇𝑥𝐶𝑀2
𝑦𝐶𝑀 =𝐴1
𝐴𝑇𝑦𝐶𝑀1
+𝐴2
𝐴𝑇𝑦𝐶𝑀2
El cálculo del centro de masa es más sencillo si se coloca el origen en el centro geométrico
de la figura en el plano (𝒙, 𝒚). Si el sistema contiene una o más figuras, coloque el origen
de coordenadas sobre la localización de una de las figuras (ver figura 28).
Fig. 28 Ejemplo de dos figuras en un plano (𝑥, 𝑦) para calcular el centro de masa por áreas.
53
3.1 MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA
Para entender el movimiento de un cuerpo existen muchos elementos a considerar, al observar
un cuerpo resulta fácil distinguir si está en movimiento. Un cuerpo está en movimiento cuando
cambia de posición, el movimiento es relativo dependiendo del punto de referencia, se debe de
considerar siempre un punto de referencia.
El movimiento de un objeto o de un sistema de partículas se puede describir en función
del movimiento del centro de masa, que puede considerarse como el movimiento global del
sistema más el movimiento de las partículas individuales en el sistema relativo al centro de
masa.
En la figura 29 observamos un pino de boliche lanzado al aire. Mientras el pino está en el aire
su centro de masa sigue una trayectoria parabólica, la misma que seguiría una partícula puntual.
Las otras partes del pino rotan en torno a este punto cuando el pino se mantiene en el aire.
Fig. 29 El movimiento del centro de masa (CM) representa el movimiento de todo el cuerpo.
Una vez obtenida la posición del centro de masa del sistema podemos calcular la velocidad de
dicho centro en relación con las velocidades de las diversas partes del sistema.
Durante un intervalo de tiempo (∆𝑡), el desplazamiento del sistema es,
∆�̅�𝑖 = �̅�𝑖∆𝑡
El desplazamiento del centro de masa del sistema es,
∆�̅�𝐶𝑀 = �̅�𝐶𝑀∆𝑡
A partir de la definición del centro de masa, los desplazamientos deben estar relacionados como,
∆�̅�𝐶𝑀 =∑𝑚𝑖∆�̅�𝑖
𝑀
ó bien,
𝑀∆�̅�𝐶𝑀 = 𝑚1∆�̅�1 + 𝑚2∆�̅�2+. . . +𝑚𝑛∆�̅�𝑛
54
Podemos reemplazar cada desplazamiento por una velocidad y el intervalo de tiempo ∆𝑡,
𝑀�̅�𝐶𝑀∆𝑡 = 𝑚1�̅�1∆𝑡 + 𝑚2�̅�2∆𝑡+. . . +𝑚𝑛�̅�𝑛∆𝑡
El intervalo de tiempo ∆𝑡 es el mismo en todos los términos. Se dividen ambos lados entre ∆𝑡,
𝑀 �̅�𝐶𝑀 = 𝑚1�̅�1 + 𝑚2�̅�2+. . . +𝑚𝑛�̅�𝑛
La cantidad de movimiento es una magnitud física fundamental de tipo vectorial
que describe el movimiento de un cuerpo. En mecánica clásica la cantidad de movimiento
se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante
determinado.
La cantidad total de movimiento de un sistema se define como la suma de las cantidades de
movimiento individuales de las partículas que lo forman,
�̅� = ∑�̅�𝑖 = �̅�1 + �̅�2 + . . . +�̅�𝑛
Con lo anterior queda demostrado que la cantidad de movimiento total de un sistema es igual
a la masa total del sistema multiplicado por la velocidad del centro de masa,
�̅� = 𝑀 �̅�𝐶𝑀
En el movimiento bidimensional, generalmente es más fácil trabajar con las componentes de las
cantidades de movimiento en las direcciones 𝑥 e 𝑦,
𝑝𝑥 = 𝑀 𝑣𝐶𝑀𝑋 y 𝑝𝑦 = 𝑀 𝑣𝐶𝑀𝑦
Donde 𝑝𝑥 y 𝑝𝑦 son las componentes (𝑥, 𝑦) de la cantidad de movimiento total del sistema.
El movimiento del centro de masa para un sistema de partículas está relacionado con la
fuerza neta que actúa sobre el sistema como un todo. Podemos demostrar esto examinando
el movimiento de un sistema de 𝑛 partículas de masa total (𝑀).
Para determinar la aceleración del centro de masa (�̅�𝐶𝑀), se calcula primero su velocidad,
𝑀 �̅�𝐶𝑀 = ∑𝑚𝑖�̅�𝑖
𝑀 �̅�𝐶𝑀
∆𝑡= 𝑚1
�̅�1∆𝑡
+ 𝑚2
𝑑�̅�2∆𝑡
+ ⋯ = ∑𝑚𝑖 �̅�𝑖∆𝑡
Se obtiene la velocidad respecto de la posición,
𝑀 �̅�𝐶𝑀 = 𝑚1�̅�1 + 𝑚2�̅�2 + ⋯ = ∑𝑚𝑖�̅�𝑖
Una nueva diferenciación nos da las aceleraciones,
𝑀 �̅�𝐶𝑀 = 𝑚1�̅�1 + 𝑚2�̅�2 + ⋯ = ∑𝑚𝑖�̅�𝑖
55
Donde (�̅�𝑖) es la aceleración de la partícula 𝑖-ésima y (�̅�𝐶𝑀) es la aceleración del centro de masa
del sistema. Sin embargo, de acuerdo con la segunda ley de Newton (𝑚𝑖�̅�𝑖) es igual a la suma
de las fuerzas que actúan sobre la partícula 𝑖, por lo que,
∑𝑚𝑖�̅�𝑖 = ∑�̅�𝑖
Donde el término de la derecha es la suma de todas las fuerzas que actúan en cada partícula del
sistema. Algunas de estas fuerzas son internas (ejercidas sobre la partícula del sistema por otra
partícula del mismo sistema) y otras son externas (ejercidas sobre una partícula del sistema por
una partícula que no está en el sistema). Entonces,
𝑀 �̅�𝐶𝑀 = ∑�̅�𝑖𝑖𝑛𝑡+ �̅�𝑖𝑒𝑥𝑡
De acuerdo con la tercera ley de Newton, las fuerzas se presentan emparejadas acción- reacción.
Así, para cada fuerza interna que actúa sobre una partícula existe una fuerza igual pero opuesta
que actúa sobre otra partícula.
Cuando se suman todas las fuerzas internas, cada pareja acción-reacción suma cero, de forma
que �̅�𝑖𝑖𝑛𝑡= 0, con lo cual la ecuación anterior se convierte en,
�̅�𝑛𝑒𝑡𝑎𝑒𝑥𝑡= ∑�̅�𝑖𝑒𝑥𝑡
= 𝑀 �̅�𝐶𝑀
Esta ecuación nos dice que la masa total (𝑀) multiplicada por la aceleración del centro de masa
(�̅�𝐶𝑀) es igual a la fuerza externa resultante que actúa sobre el sistema.
Podemos concluir que el centro de masa de un sistema se mueve como una partícula de
masa (𝑴 = ∑𝒎𝒊) sometida a la influencia de la fuerza externa resultante que actúa sobre
el sistema.
Esta conclusión es importante porque nos demuestra cómo describir el movimiento del centro
de masa de cualquier sistema de partículas. El centro de masa se comporta exactamente igual
que una sola partícula puntual sometida únicamente a las fuerzas externas.
Los movimientos individuales de los elementos del sistema generalmente son mucho más
complejos y no vienen descritos por estas ecuaciones. El pino lanzado al aire es un ejemplo,
la única fuerza que actúa es la gravedad, el centro de masa del pino se mueve en una trayectoria
parabólica, como si se tratara de una partícula puntual.
Un caso especial del movimiento del centro de masa es cuando sobre el sistema no actúa
ninguna fuerza externa neta. Por lo tanto �̅�𝐶𝑀 = 0, es decir, que el centro de masa está en
reposo o se mueve con velocidad constante. Las fuerzas internas y el movimiento pueden ser
complejos, pero el comportamiento del centro de masa es simple.
Además, si la fuerza externa neta no es cero, pero una componente de ella en una dirección dada,
por ejemplo, la dirección 𝑥, es cero, entonces �̅�𝐶𝑀𝑥= 0 y �̅�𝐶𝑀𝑥
permanece constante.
56
Un ejemplo de esto es un proyectil sin de resistencia del aire. La fuerza externa neta sobre el
proyectil es la fuerza gravitatoria, esta fuerza actúa hacia abajo, por lo que la componente de la
fuerza en la dirección horizontal es cero. Por lo cual, la componente horizontal de la velocidad
del centro de masa es constante.
El centro de masa para el cuerpo humano se puede calcular si se tiene un grupo de objetos
extendidos y se conoce el centro de masa de cada uno. En la tabla 5 se indica el centro de
masa y los puntos de bisagra (articulaciones) para los diferentes componentes de una persona
representativa. Desde luego existen amplias variaciones entre las personas, así que estos datos
solo representan un promedio muy aproximado. Los números representan un porcentaje de la
altura total, que se considera como 100 unidades; de igual modo, la masa total es de 100
unidades. Por ejemplo, si una persona mide 1.70 m de alto, la articulación de su hombro estaría
a (1.70 𝑚)(81.2/100) = 1.38 𝑚 sobre el suelo.
Tabla 5. Centro de masa de las partes de un cuerpo humano típico.
Distancia sobre
el suelo de los
puntos bisagra
(%)
Puntos bisagra ()
(Articulaciones)
Centro de masa (×)
(% de altura sobre el
suelo)
Masa
porcentual
91.2 Base del cráneo Cabeza 93.5 6.9
81.2 Articulación del hombro Tronco y cuello 71.1 46.1
Brazos 71.1 6.6
Antebrazos 55.3 4.2
52.1 Articulación de la cadera Manos 43.1 1.7
Muslos 42.5 21.5
28.5 Articulación de la rodilla Pantorrillas 18.2 9.6
4 Articulación del tobillo Pies 1.8 3.4
CM del cuerpo 58 100
Conocer el centro de masa del cuerpo cuando está en varias posiciones es de gran utilidad al
estudiar la mecánica del cuerpo. Por ejemplo, si suponemos a un atleta en un salto de altura su
centro de masa puede pasar por debajo de la barra que su cuerpo pasa por arriba, lo que significa
que para una velocidad de despegue particular, podría librar una barra más alta (ver figura 30).
De hecho esto es lo que los atletas de esta especialidad intentan hacer.
Fig. 30 El centro de masa de un atleta pasa realmente por debajo de la barra mientras su cuerpo pasa
por arriba de dicha barra.
Codo 6.62
Muñeca 46.2
57
Conocer la posición del centro de masa respecto a la talla puede resultar útil a la hora de orientar
sobre la predisposición de un deportista para realizar un tipo de deporte u otro, aunque éste no
es un dato excluyente.
Por otro lado, algunos deportes pueden modelar el cuerpo produciendo adaptaciones que
desplacen el centro de masa hacia la parte superior o inferior del cuerpo. En deportes en los que
interesa aumentar la estabilidad, como el judo o la gimnasia, será favorable tener el centro de
masa por debajo de los valores medios, mientras que en deportes como el salto alto o salto largo,
interesa ponerlo por encima.
Ejemplo 3.1
Tres masas, 2, 3 y 6 kg, están en las posiciones (3, 0), (6, 0) y (-4, 0), respectivamente,
en metros respecto al origen. ¿Dónde está localizado el centro de masa del sistema?
Ejemplo 3.2
Tres partículas de igual masa (𝒎) descansan a lo largo del eje 𝒙 en los puntos 𝒙𝟏 = 𝟏. 𝟎 𝒎,
𝒙𝟐 = 𝟓. 𝟎 𝒎, 𝒙𝟑 = 𝟔. 𝟎 𝒎. Determine la posición del centro de masa del sistema.
Ejemplo 3.3
Se tienen 3 partículas con las siguientes características, 𝒎𝑨 = 𝟒 kg en (1, 2,), 𝒎𝑩 = 𝟐 kg
en (3, 5), y 𝒎𝑪 = 𝟓 kg en (6, 4), las coordenadas están dadas en metros. Calcule la posición
del centro de masa del sistema.
Ejemplo 3.4
Determina el centro de masa de la lámina de madera.
58
Ejemplo 3.5
Una molécula de agua está formada por un
átomo de oxígeno y dos átomos de hidrógeno. El
átomo de oxígeno tiene una masa de 16 unidades
de masa atómica (u) y cada átomo de hidrógeno
tiene una masa 1u. Cada uno de los átomos de
hidrógeno están separados una distancia media
de 96 pm (96×10-12 m) del átomo de oxígeno y
separados entre sí por un ángulo de 104.5º.
Determinar el centro de masa de la molécula.
Para solucionar el problema debemos de considerar
que el cálculo se simplifica si elegimos como
origen la posición del átomo de oxígeno y el eje x
como la bisectriz del ángulo entre los átomos de
hidrógeno (ver figura del problema).
Dada la simetría de la molécula, el centro de masa estará sobre el eje x y la línea que une el
átomo de oxígeno con cada átomo de hidrógeno formará con el eje x un ángulo de 52.25º.
Ejemplo 3.6
La partícula A se encuentra en el origen y tiene una masa de 30 g. La partícula B tiene una
masa de 10 g. ¿Dónde debe ubicarse la partícula B si las coordenadas del centro de masa
son (𝒙, 𝒚) = (𝟐, 𝟓 𝒄𝒎)?
Ejemplo 3.7
La partícula A tiene una masa de 5 g y la partícula B tiene una masa de 1 g. La partícula
A se ubica en el origen y la partícula B está en el punto (𝒙, 𝒚) = (𝟐𝟓 𝒄𝒎, 𝟎). ¿Cuál es la
ubicación del centro de masa?
Ejemplo 3.8
Tres cuerpos tienen la misma masa. Si uno de los cuerpos se mueve 12 cm en la misma
dirección positiva de 𝒙, ¿Cuánto se mueve el centro de masa del sistema?
59
Ejemplo 3.9
Se necesita hallar el centro de masa de una
escultura, para que la cuelguen correctamente en
una galería. Toda la escultura está en un plano y
consta de varios objetos de formas uniformes, con
las masas y tamaños que se observan en la figura del
problema.
Los centros de masa son:
Rectángulo (𝟏 𝒎,−𝟎. 𝟐𝟓 𝒎) Círculo (𝟎 𝒎,−𝟐. 𝟓 𝒎)
Cuadrado (𝟏. 𝟒 𝒎,−𝟏. 𝟗 𝒎) Octágono (𝟐 𝒎,−𝟑 𝒎)
¿Dónde se encuentra el centro de masa del sistema?
Supongamos que hay unas varillas delgadas que conectan
las piezas grandes, y que dichas varillas no tienen masa, el
origen del marco se ubica en la esquina superior izquierda
de la escultura. Usamos la definición de centro de masa, en
función de sus componentes, para determinar el centro de masa de cada objeto con respecto al
origen en el vértice superior izquierdo de la escultura.
Ejemplo 3.10
Una mancuerna tiene una barra conectada de masa insignificante. Determina la ubicación
del centro de masa a) si 𝒎𝟏 y 𝒎𝟐 tienen una masa de 5 kg cada una y b) si 𝒎𝟏 es de 5 kg
y 𝒎𝟐 es de 10 kg.
Ejemplo 3.11
Determine la posición del centro de masa de una pierna humana, a) cuando está estirada
y b) cuando está flexionada a 𝟗𝟎°. Observe la figura del problema y considere que la
persona mide 1.70 de alto.
60
Ejemplo 3.12
Un cohete se dispara en el aire. En el momento en que el cohete alcanza su punto más alto,
a una distancia horizontal 𝒅 desde su punto de partida. Una explosión preestablecida
lo separa en dos partes de igual masa. La parte I se detiene a mitad del aire por la explosión
y cae verticalmente en la Tierra. ¿Dónde aterriza la parte II? Suponemos 𝒈 = 𝒄𝒏𝒕𝒆.
Ejemplo 3.13
Un hombre de 75 kg está parado en el extremo lejano de una lancha de 50 kg, a 100 m de
la orilla como se observa en la figura del problema. Si camina al otro extremo de la lancha,
cuya longitud es de 6 m. a) ¿El centro de masa: 1) se mueve a la derecha, 2) se mueve a la
izquierda o 3) permanece estacionario? b) Después de caminar al otro extremo de la
lancha, ¿A qué distancia estará de la orilla? Despreciamos la fricción y suponemos que el
centro de masa de la lancha está en su punto medio.
61
Ejemplo 3.14
Tres partículas de masas 𝒎𝟏 = 𝟏. 𝟐 𝒌𝒈, 𝒎𝟐 =
𝟐. 𝟓 𝒌𝒈 y 𝒎𝟑 = 𝟑. 𝟒 𝒌𝒈 forman un triángulo
equilátero de longitud 𝒂 = 𝟏𝟒𝟎 𝒄𝒎 por lado.
¿Dónde está el centro de masa de este sistema de tres
partículas?
Una idea básica para empezar es que tratamos con
partículas en lugar de un cuerpo sólido extendido. Como
las partículas están en el plano del triángulo equilátero,
sólo usamos las dos ecuaciones del plano cartesiano
para calcular el centro de masa. Una segunda idea básica
es que podemos simplificar los cálculos si se escogen los ejes 𝑥 y 𝑦 de modo que una de las
partículas se localice en el origen y el eje 𝑥 coincida con uno de los lados del triángulo como se
observa en la figura del problema.
Ejemplo 3.15
Tres partículas están inicialmente en reposo. Cada
una experimenta una fuerza externa debida a
cuerpos fuera del sistema de las tres partículas. Las
direcciones están indicadas y las magnitudes son
𝑭𝟏 = 𝟔 𝑵, 𝑭𝟐 = 𝟏𝟐 𝑵, 𝑭𝟑 = 𝟏𝟒 𝑵. ¿Cuál es la
aceleración del centro de masa del sistema y en qué
dirección se mueve?
Una idea básica aquí es que podemos tratar el centro de
masa como si fuera una partícula real, con una masa
igual a la masa total del sistema 𝑀 = 16 𝑘𝑔. También,
podemos tratar las tres fuerzas externas como si actuaran en el centro de masa.
Una segunda idea es que ahora podemos aplicar la segunda ley de Newton (𝐹 = 𝑚𝑎 ) al centro
de masa, si escribimos,
𝐹 𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑀𝑎 𝑐𝑑𝑚
Esta ecuación nos indica que la aceleración 𝑎 𝑐𝑑𝑚 del centro de masa está en la misma dirección
que la fuerza externa neta 𝐹 𝑛𝑒𝑡𝑎 que actúa sobre el sistema, como se observa en la figura.
62
Ejemplo 3.16
La figura del problema muestra una placa metálica
uniforme P de radio 2R de la cual se ha cortado
(removido) un disco de radio R en una línea de
producción en serie. Utilizando el sistema de
coordenadas 𝒙𝒚, localice el centro de masa 𝒄𝒅𝒎𝒑 de
la placa.
Primeramente, nos damos una aproximación de la
localización del centro de masa del sistema por medio de
simetría. Observamos que la placa es simétrica alrededor
del eje 𝑥 (obtenemos la porción bajo ese eje al hacer
girar la porción superior alrededor del eje). Así, 𝑐𝑑𝑚𝑝
debe estar sobre el eje 𝑥. La placa con el disco removido,
no es simétrica alrededor del eje 𝑦; sin embargo, como
hay un poco más de masa a la derecha del eje 𝑦, 𝑐𝑑𝑚𝑝
debe estar un poco a la derecha de ese eje. La ubicación
del 𝑐𝑑𝑚𝑝 debe estar aproximadamente como se indica en
la figura. Otra idea aquí es que como la placa 𝑃 es un
cuerpo sólido extendido, podemos suponer que la masa de
un objeto uniforme se concentra en una partícula en el
centro de masa del objeto.
Primeramente, volvemos a su lugar el disco removido
(que aquí llamamos disco 𝑆) para formar la placa original
combinada (placa C). Debido a su simetría circular, el
centro de masa 𝑐𝑑𝑚𝑠 para el disco 𝑆 está en el centro de 𝑆, en 𝑥 = −𝑅 como se observa en la
figura. Del mismo modo, el centro de masa 𝑐𝑑𝑚𝑐 para la placa combinada 𝐶 está en el centro
de 𝐶, en el origen.
Entonces tenemos:
Placa Centro de masa Ubicación del 𝒄𝒅𝒎 Masa
P 𝑐𝑑𝑚𝑃 𝑥𝑝 = ? 𝑚𝑝
S 𝑐𝑑𝑚𝑠 𝑥𝑠 = −𝑅 𝑚𝑠 C 𝑐𝑑𝑚𝑐 𝑥𝑐 = 0 𝑚𝑐 = 𝑚𝑠 + 𝑚𝑝
63
Ejemplo 3.17
A causa de la interacción gravitacional entre dos estrellas de un sistema binario, cada una
se mueve en una órbita circular alrededor del centro de masa del sistema. Una estrella
tiene una masa de 𝟏𝟓 × 𝟏𝟎𝟑𝟎 𝒌𝒈 y su centro se ubica en 𝒙 = 𝟏 𝒖𝒂, 𝒚 = 𝟓 𝒖𝒂. La otra tiene
una masa de 𝟑 × 𝟏𝟎𝟑𝟎 𝒌𝒈 y su centro está en 𝒙 = 𝟒 𝒖𝒂, 𝒚 = 𝟐 𝒖𝒂. Encuentre el centro de
masa del sistema compuesto por las dos estrellas.
Consideraremos a las estrellas como partículas puntuales ubicadas en sus centros. En vista de
que tenemos las coordenadas 𝑥 y 𝑦, la forma más fácil de proceder consiste en hallar
las coordenadas 𝑥𝑦 del centro de masa. En este caso, no hay ninguna ventaja en particular en
hallar el vector de posición del centro de masa en términos de la longitud y su dirección.
La distancia entre la Tierra y el Sol la consideramos como 1 𝑢𝑎 = 1.5 × 108 𝑘𝑚.
Ejemplo 3.18
Seis partículas de igual masa 𝒎 descansan a lo largo del eje 𝒙 en los puntos 𝒙𝟏 = 𝟑. 𝟖 𝒎,
𝒙𝟐 = 𝟓. 𝟔 𝒎, 𝒙𝟑 = 𝟔. 𝟏 𝒎, 𝒙𝟒 = 𝟕. 𝟑 𝒎, 𝒙𝟓 = 𝟖. 𝟓 𝒎, 𝒙𝟔 = 𝟗. 𝟕 𝒎. Determine la posición
del centro de masa del sistema.
Ejemplo 3.19
Encuentra el centro de masa de un arreglo de tres masas iguales y homogéneas separadas
1 m y unidas por varillas de masa despreciable.
Ejemplo 3.20
Encuentra el centro de masa de un arreglo de tres masas iguales y homogéneas separadas
1 m y unidas por varillas de masa despreciable.
64
CUESTIONARIO I
1. Define con tus propias palabras el concepto de Centro de masa.
2. ¿Cuál es la diferencia entre centro de masa y centro de gravedad?
3. ¿Para qué nos sirve calcular el centro de masa de un objeto?
4. Cómo se calcula el centro de masa de a) figuras regulares, y b) figuras irregulares.
5. Explica el siguiente párrafo: “El movimiento general de un cuerpo finito o sistema de
cuerpos, se puede definir como la suma del movimiento de traslación del centro de masa
y los movimientos rotatorio, vibratorio y de otros tipos con respecto al centro de masa.”
6. ¿Cómo se calcula el centro de masa de un objeto en movimiento?
7. Al calcular el centro de masa de un sistema, ¿por qué se da en coordenadas el resultado
del centro de masa?
8. ¿Se puede calcular el centro de masa en coordenadas polares?
9. Si tomamos el ejemplo de un clavadista que se avienta de un trampolín y va girando,
¿Explica la trayectoria de su centro de masa? ¿Es de traslación o de rotación?
Realiza un dibujo de la trayectoria del centro de masa del sistema.
10. Menciona y explica dos ejemplos donde sirva de algo calcular el centro de masa.
65
CUESTIONARIO II
1. Se colocan 3 masas de 1 kg en un arreglo triangular cuyos vértices son (1, 2 𝑚), (4, 7 𝑚)
y (8, 3 𝑚). Calcule la posición del centro de masa.
2. Cuatro partículas tienen las siguientes características, 𝑚1 = 3 𝑘𝑔 en (2, 6 𝑐𝑚),
𝑚2 = 2 𝑘𝑔 en (4, 8 𝑐𝑚), 𝑚3 = 5 𝑘𝑔 en (10, 12 𝑐𝑚) y 𝑚4 = 4 𝑘𝑔 en (6, 4 𝑐𝑚).
Calcula la posición del centro de masa del sistema.
3. La partícula A se encuentra en el origen y tiene una masa de 30 g. La partícula B tiene
una masa de 10 g. ¿Dónde debe ubicarse la partícula B si las coordenadas del centro de
masa son (𝑥, 𝑦) = (2, 5 𝑐𝑚)?
4. La partícula A tiene una masa de 10 g y la partícula B de 2 g. La partícula A se ubica en
el origen y la B está en el punto (𝑥, 𝑦) = (45, 0 𝑐𝑚). ¿Cuál es la ubicación del centro de
masa?
5. La masa y posición de tres partículas son, partícula 1: 4 kg en (4, 0 𝑚), partícula 2: 6 kg
en (2, 4 𝑚) y partícula 3: 3 kg en (−1,−2 𝑚). ¿Cuál es la ubicación del centro de masa
del sistema?
6. a) ¿A qué distancia se encuentra el centro de masa del sistema formado por la Tierra
y la Luna desde el centro de la Tierra?, b) Expresa la respuesta como una fracción
del radio 𝑅𝑇 de la Tierra. Considera la distancia Tierra-Luna medida desde sus centros.
7. Tres varillas delgadas, cada una de longitud L, están dispuestas en forma de U invertida.
Las dos varillas de los brazos de la U tienen una masa M cada una; la tercer varilla tiene
masa 3M. ¿Dónde está el centro de masa del conjunto?
8. Localiza el centro de masa de un sistema formado por tres objetos esféricos con masas
de 3, 2 y 4 kg cuyos centros están situados en (-6 m, 0), (1 m, 0) y (3 m, 0)
respectivamente.
9. Cuatro masas de 2, 3, 6 y 8 kg, están en las posiciones (3, 0), (6, 0), (-4, 0) y (1, 0),
respectivamente, en metros respecto al origen. ¿Dónde está localizado el centro de masa
del sistema?
10. Dos esferas de 4 y 7.5 kg están separadas una distancia de 1.5 m. ¿Dónde está el centro
de masa del sistema de las dos esferas?
66
CUESTIONARIO III
1. Un trozo de lámina uniforme mide 25 por 25 cm. Si se recorta un círculo de 5 cm de
radio del centro de esta lámina, ¿Dónde estará el centro de masa de la lámina?
2. Tres partículas de masas m1=4.7 kg, m2=9.6 kg y m3=12.1 kg, forman un triángulo
equilátero de longitud a=182.5 cm por lado. a) Grafica el sistema de tres partículas,
y b) calcula el centro de masa del sistema.
3. Determina el centro de masa del sistema de partículas que se representa en el siguiente
diagrama
4. Tres personas de masa m aproximadamente equivalente sobre una balsa de banana ligera
están sentadas a lo largo del eje x en las posiciones XA= 1 m., XB= 5 m. y XC= 6 m.,
medidas desde el extremo izquierdo, como se muestra en la figura. Encuentre la posición
del centro de masa. Nota: Ignora la masa de la balsa.
5. Tres partículas cada una con masa de 2.50 kg están localizadas en las esquinas de un
triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 2 y 1.5 m. Localiza el centro de masa.
67
6. Determina el centro de masa de la escuadra delgada y uniforme de la figura.
7. Un hacha de piedra está formada por una piedra simétrica de 8 kg atada al extremo de
un palo homogéneo de 2.5 kg. ¿A qué distancia del mango del hacha se encuentra su
centro de masa?
8. Determina el centro de masa 𝑀 y altura 𝐻 tiene forma cilíndrica y está llena de agua.
La masa inicial de agua es 𝑀, la misma lata. Se perfora un agujero en la base de la lata
por el que se va el agua. a) Si la altura del agua en la lata es 𝑥, ¿Cuál es el centro de masa
del sistema lata + agua? b) ¿Cuál es la mínima altura del centro de masa mientras
se escapa el agua?
9. Determina el centro de masa de una pieza de madera
contrachapada. Podemos considerar que la pieza
está formada por dos piezas, un cuadro de 3 m de
lado y de masa 𝑚1 y un rectángulo de 1 m × 2 m con
una masa −𝑚2. Considere que el eje de coordenadas
está situado en el extremo inferior izquierdo de la
pieza.
10. Un automóvil de 1500 kg se mueve hacia el oeste con una velocidad de 20 m/s y un
camión de 3000 kg se mueve hacia el este con una velocidad de 16 m/s. Calcular la
velocidad del centro de masa del sistema.
68
IV ECUACIÓN VECTORIAL DE MOVIMIENTO
La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o momentum es una magnitud física
fundamental de tipo vectorial que describe el movimiento de un cuerpo en cualquier teoría
mecánica. En mecánica clásica la cantidad de movimiento se define como el producto de la
masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. Históricamente, el concepto se
remonta a Galileo Galilei.
En su obra Discursos y demostraciones matemáticas en torno a dos nuevas ciencias, usa el
término italiano impeto, mientras que Isaac Newton en Principia Mathematica usa el término
latino motus (movimiento) y vis motrix (fuerza motriz). Momento y momentum son palabras
directamente tomadas del latín mōmentum, término derivado del verbo mŏvēre 'mover'.
Fig. 31 Portada de las obras de Galileo y Newton.
La definición concreta de cantidad de movimiento difiere de una formulación mecánica a otra;
en mecánica newtoniana se define para una partícula como el producto de su masa por
la velocidad, en mecánica lagrangiana o hamiltoniana admite formas más complicadas
en sistemas de coordenadas no cartesianas, en la teoría de la relatividad la definición es más
compleja aun cuando se usen sistemas inerciales, y en mecánica cuántica su definición requiere
el uso de operadores auto adjuntos definidos sobre un espacio vectorial de dimensión infinita.
La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad
de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas
exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada
y permanece constante en el tiempo. La energía y el trabajo son cantidades escalares que no
implican dirección. La ley de la conservación de la energía sólo describe la relación entre los
estados final e inicial; no dice nada acerca de cómo se distribuyen las energías.
Por ejemplo, cuando dos objetos chocan, podemos decir que la energía total antes del impacto
debe ser igual a la energía total después del impacto. Pero necesitamos un nuevo concepto
si queremos determinar cómo se divide la energía total entre los objetos o incluso su dirección
después del impacto, los conceptos de impulso o momento añadirán una descripción vectorial
a dicho estudio.
69
Cuando una pelota de golf se golpea en el suelo, una gran fuerza promedio 𝐹 actúa sobre
la pelota durante un tiempo muy corto ∆𝑡 (el símbolo ∆ denota una diferencia en la variable),
causando que se acelere desde el reposo hasta la velocidad final 𝑣𝑓. Es un extremo difícil medir
ya sea la fuerza o su duración, pero su producto 𝐹 ∆𝑡 puede determinarse a partir del cambio en
la velocidad de la pelota de golf.
Fig. 32 Cuando el palo de golf golpea la pelota, una fuerza 𝐹 que actúa durante un cierto tiempo,
provoca un cambio en la cantidad de movimiento de la pelota.
De la segunda ley de Newton tenemos,
𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚𝑣𝑓 − 𝑣𝑜
∆𝑡
Multiplicando por ∆𝑡 se obtiene,
𝐹 ∆𝑡 = 𝑚(𝑣𝑓 − 𝑣𝑜) = ∆𝑃 ó 𝐹 ∆𝑡 = 𝑚𝑣𝑓 − 𝑚𝑣𝑜 = ∆𝑃
De este modo, el impulso (𝐹 ∆𝑡) es igual al cambio en el momento 𝑚(𝑣𝑓 − 𝑣𝑜). El impulso
𝐹 ∆𝑡 es una cantidad vectorial de la misma magnitud al producto de la fuerza y al intervalo de
tiempo en el que actúa. Su dirección es la misma que la de la fuerza constante sobre el objeto,
𝐹 ∆𝑡 = ∆𝑃 = 𝐼𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜
El impulso de la fuerza que actúa sobre un objeto es igual al cambio en la cantidad de
movimiento del objeto. Esto es cierto incluso si la fuerza no es constante.
Fig. 33 En mecánica newtoniana la cantidad de movimiento lineal se define como el producto de la
masa por la velocidad.
La palabra impulso implica que la fuerza de impulso actúa brevemente, la definición misma no
limita el intervalo de tiempo durante la cual la fuerza actúa. Fundamentalmente, un choque es
una interacción entre objetos donde hay un intercambio de cantidad de movimiento y de energía.
70
Un determinado impulso producirá un cambio específico en la cantidad de movimiento,
independientemente de la masa o la rapidez del cuerpo que recibe el impulso. Un objeto
originalmente en reposo se moverá en la dirección de la fuerza neta aplicada, adquiriendo una
cantidad de movimiento ∆𝑃 = 𝐹 ∆𝑡, y esto es lo que sucede cuando se arroja un dardo,
se descarga una jeringa o se golpea una pelota de golf.
Siempre que el palo esté en contacto con la pelota aplicándole fuerza, habrá una ganancia
simultánea de cantidad de movimiento en la dirección de la fuerza (Tabla 6).
Una vez que la pelota se despega del palo, vuela siguiendo la primera ley de Newton; no hay
fuerza, no hay cambio. Cuanto más largo sea el cañón de un arma, o cuanto más largo sea el
movimiento de lanzamiento de un pitcher, el tiempo (∆𝑡) durante el cual actúa la fuerza
propulsora será mayor, y el cambio de cantidad de movimiento (∆𝑃) del proyectil será mayor.
Tabla 6. Parámetros normales de pelotas golpeadas que parten del reposo.
Pelota Masa
(kg)
Rapidez
Impartida
(m/s)
Tiempo de impacto
(*ms)
Béisbol 0.149 39 1.25
Fútbol Americano (patada) 0.415 28 8
Golf (drive) 0.047 69 1
Frontón a mano (servicio) 0.061 23 12.5
Fútbol Soccer (patada) 0.425 26 8
Tenis (servicio) 0.058 51 4 *
1 𝑚𝑠 = 1 × 10−3 𝑠
Para que una pelota de béisbol que llega a 90 mi/h (40 m/s) se convierta en un batazo de vuelta
entera que salga a 110 mi/h (49 m/s) un bat deberá aplicar una fuerza de hasta 3630 kg (36 kN).
Durante el impacto, que sólo dura ≈1.25 ms, la pelota es aplastada hasta la mitad de su diámetro.
La fuerza aplicada a un cuerpo en movimiento puede aumentar o disminuir su cantidad de
movimiento, dependiendo de si 𝐹 actúa en sentido paralelo o anti paralelo a la velocidad inicial.
Por el teorema de trabajo-energía y el de impulso-cantidad de movimiento, la cantidad de
movimiento y la energía cinética están relacionadas directamente. Expresando la energía
cinética en términos de la cantidad de movimiento podemos observar que están íntimamente
relacionadas, pero son cantidades diferentes,
𝐸𝑐 =1
2𝑚𝑣2 =
(𝑚𝑣)2
2𝑚=
𝑃2
2𝑚
De una manera formal, la cantidad de movimiento 𝑃 de una partícula es una cantidad vectorial
igual en magnitud al producto de su masa 𝑚 y de su velocidad 𝑣, su dirección coincide con la
de su velocidad. Es decir, la cantidad de movimiento lineal de una partícula de masa 𝒎 que
se mueve con una velocidad 𝒗 se define como el producto de la masa y la velocidad.
�̅� = 𝒎𝒗
71
Fig. 34 Cambio de la cantidad de movimiento al atrapar o lanzar una pelota de béisbol.
En la figura 34 observamos cómo cambia la cantidad de movimiento en tres situaciones
diferentes: a) El cambio de cantidad de movimiento al atrapar la pelota es constante mvo.
Si la pelota se detiene rápidamente (∆t pequeño), la fuerza de impulso es grande. Si se aumenta
el tiempo de contacto (∆t grande) moviendo las manos junto con la pelota, la fuerza de impulso
se reducirá. b) Haciendo retroceder el guante cuando la pelota llega, el cátcher aumenta ∆t
y reduce F para determinada ∆P. c) El lanzador ejerce una fuerza sobre la pelota durante una
distancia y tiempo tan largos como le es posible. Cuanto mayor es F ∆t, tanto mayor es ∆P,
y mayor será la rapidez de salida, en este caso se observa la pelota cada centésima de segundo.
Cuanto mayor es la distancia entre las imágenes de la pelota, es mayor su rapidez.
En muchas situaciones sólo interesa conocer la cantidad de movimiento, la dirección no importa.
En otros casos, la dirección de la cantidad de movimiento tiene una función importante.
El vector cantidad de movimiento apunta en la misma dirección que el de velocidad.
Si la velocidad cambia de dirección, la dirección de la cantidad de movimiento también cambia.
La unidad del SI del impulso es el [𝑁 ∙ 𝑠], la de la cantidad de movimiento es [𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠] por lo
cual,
[𝑁 ∙ 𝑠] =𝑘𝑔 ∙ 𝑚
𝑠2𝑠 = [𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠]
Para un movimiento en dos dimensiones las componentes de la cantidad de movimiento son,
𝑃𝑥 = 𝑚𝑣𝑥 y 𝑃𝑦 = 𝑚𝑣𝑦
Donde 𝑃𝑥 representa la cantidad de movimiento de un objeto en la dirección 𝑥 y 𝑃𝑦 su cantidad
en la dirección 𝑦. Para cambiar la cantidad de movimiento de un objeto se le debe aplicar una
fuerza. En términos de la segunda ley de Newton la rapidez de cambio de la cantidad de
movimiento de un objeto es igual a la fuerza neta que actúa sobre él.
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 =∆𝑃
∆𝑡
Donde ∆𝑡 es el intervalo de tiempo durante el cual la cantidad de movimiento cambia en ∆𝑃
y 𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 es la fuerza neta que actúa sobre el objeto.
72
Entonces 𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑚𝑎 para un objeto de masa constante, se considera una sola fuerza
𝐹 constante que actúa sobre una partícula y produce una aceleración constante.
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 =∆𝑃
∆𝑡=
𝑚𝑣𝑓 − 𝑚𝑣𝑜
∆𝑡=
𝑚(𝑣𝑓 − 𝑣𝑜)
∆𝑡
Si la aceleración media de un objeto es,
𝑎 =∆𝑣
∆𝑡
Con lo cual la 𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 se reduce a,
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑚∆𝑣
∆𝑡
Si la fuerza neta es cero, la cantidad de movimiento no cambia. En otras palabras,
el ímpetu y la velocidad de una partícula se conservan cuando 𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = 0.
La importancia de esta ley, es que se aplica a cualquier sistema aislado y si la suma de las fuerzas
aplicadas es cero, se conserva la cantidad de movimiento por lo que;
𝑃𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑃𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜
Para el caso de dos masas,
𝑚1𝑣1 + 𝑚2𝑣2 = 𝑚1𝑢1 + 𝑚2𝑢2
Siendo 𝑣 la velocidad inicial y 𝑢 la velocidad final. Para un caso de 𝑛 masas,
𝑚1𝑣1 + 𝑚2𝑣2 + ⋯+ 𝑚𝑛𝑣𝑛 = 𝑚1𝑢1 + 𝑚2𝑢2 + ⋯+ 𝑚𝑛𝑢𝑛
Por ejemplo, consideremos dos pelotas de billar que chocan de frente; la fuerza externa neta es
cero; es decir, que las únicas fuerzas significativas son aquellas que cada pelota ejerce sobre la
otra en el momento del choque.
Aunque la cantidad de movimiento de cada una de las pelotas cambia, como resultado del
choque, se observa que la suma de las cantidades de movimiento, son iguales antes y después
del choque. Si 𝑚1𝑣1 es la cantidad de movimiento de la bola 1 y 𝑚2𝑣2 es la de la bola 2, medidas
ambas antes del choque, entonces la cantidad total de movimiento de las dos bolas antes del
choque será 𝑚1𝑣1 + 𝑚2𝑣2.
Después del choque, cada una de las bolas tendrá velocidad y cantidad de movimiento distintas,
es decir 𝑚1𝑢1 + 𝑚2𝑢2. Independientemente de las velocidades y las masas que intervienen,
se encuentra que la cantidad de movimiento total antes del choque es igual que aquella después
de él, sea el choque de frente o no, y siempre y cuando no actúe una fuerza externa.
Debido a que el movimiento se da en una dimensión, no necesitamos utilizar la notación
vectorial; sin embargo, en cualquier cálculo tendríamos que escoger una dirección como
positiva. Aplicando 𝐹 ∆𝑡 = ∆𝑃 a la bola 1, haciendo que 𝑣1 sea la velocidad antes del choque,
y 𝑢1 después del choque,
𝐹 ∆𝑡 = 𝑚1𝑢1 − 𝑚1𝑣1
73
𝐹 es la fuerza que la bola 2 ejerce sobre la bola 1, y ∆𝑡 es el tiempo que las bolas permanecen
en contacto durante el choque. Cuando se aplica la ecuación a la bola 2, de acuerdo a la tercera
ley de Newton, la fuerza que ejerce la bola 1 sobre la bola 2 es −𝐹. Entonces, tenemos que,
−𝐹 ∆𝑡 = 𝑚2𝑢2 − 𝑚2𝑣2
Combinando las dos ecuaciones, obtenemos,
𝑚1𝑢1 − 𝑚1𝑣1 = −(𝑚2𝑢2 − 𝑚2𝑣2)
La ecuación anterior nos indica que toda la cantidad de movimiento que pierde una pelota,
la gana la otra. Así, la cantidad total de movimiento permanece constante. Si reordenamos esta
ecuación, obtenemos,
𝑚1𝑣1 + 𝑚2𝑣2 = 𝑚1𝑢1 + 𝑚2𝑢2
La deducción anterior se puede ampliar para 𝑛 números de cuerpos que interaccionen.
Para nuestro sistema de dos cuerpos,
𝑃 = 𝑚1𝑣1 + 𝑚2𝑣2
Si la fuerza neta es cero como en el otro sistema, tenemos,
𝐹 + (−𝐹) = 0
y
∆𝑃 = 0
De este modo la cantidad de movimiento total no cambia. Por tanto, el enunciado general de la
ley de conservación de la cantidad de movimiento es: La cantidad total de movimiento de un
sistema de cuerpos aislados permanece constante. Si la fuerza neta que actúa sobre una
partícula es cero,
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 =∆𝑃
∆𝑡= 0
Entonces,
∆𝑃 = 0 = 𝑃 − 𝑃𝑜
Donde 𝑃𝑜 es la cantidad de movimiento inicial y 𝑃 es la cantidad de movimiento en algún
instante posterior. Dado que estos valores son iguales, se conserva la cantidad de movimiento,
𝑃 = 𝑃𝑜 ó 𝑚𝑣 = 𝑚𝑣𝑜
Esta observación es congruente con la primera ley de Newton. Un objeto permanece en reposo
(𝑃 = 0), o en movimiento con velocidad uniforme (𝑃 ≠ 0), a menos que actúe sobre él una
fuerza externa neta.
74
La conservación de la cantidad de movimiento se puede extender a un sistema de partículas,
si la segunda ley de Newton se escribe en términos de la fuerza neta que actúa sobre el sistema
y de las cantidades de movimiento de las partículas,
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = ∑𝐹𝑖
y
𝑃 = ∑𝑃𝑖 = ∑𝑚𝑣𝑖
Puesto que 𝐹 = ∆𝑃/∆𝑡, y ninguna fuerza externa neta actúa sobre el sistema (∆𝐹 = 0) entonces
𝑃 = 𝑃𝑜 , es decir, se conserva la cantidad de movimiento total. Esta condición generalizada
es la ley de conservación de la cantidad de movimiento (𝑃 = 𝑃𝑜). Así, la cantidad de
movimiento de un sistema (𝑃 = ∑𝑃𝑖) se conserva si la fuerza externa neta que actúa sobre el
sistema es cero.
Dentro de un sistema actúan fuerzas internas (como cuando sus partículas chocan). Éstas son
pares de fuerzas según la tercera ley de Newton, estas fuerzas internas son iguales y opuestas,
y se anulan entre sí vectorialmente. Por ello, la fuerza interna neta de un sistema cerrado siempre
es cero.
No obstante, algo que es importante entender es que las cantidades de movimiento de partículas
u objetos individuales dentro de un sistema podrían cambiar. Sin embargo en ausencia de una
fuerza externa, la suma de todas las cantidades de movimiento no cambia. Si los objetos están
inicialmente en reposo y luego se ponen en movimiento como resultado de las fuerzas internas,
la cantidad de movimiento total del sistema seguirá siendo cero.
La conservación de la cantidad de movimiento es de gran utilidad para analizar
situaciones en movimiento y choques. En muchos casos la conservación de la cantidad de
movimiento no necesita conocer las fuerzas que intervienen.
75
Ejemplo 4.1
Un atleta junto con su bicicleta tiene una masa de 70 kg, mientras que otra persona junto
con su motocicleta posee 250 kg de masa; de acuerdo a que ambos presentan la misma
cantidad de movimiento o ímpetu o momento lineal, y conociendo que el atleta con bicicleta
viaja a 12 m/s. ¿Qué valor de velocidad lleva la persona con moto?
Ejemplo 4.2
Un niño de 40 kg parado sobre un lago helado arroja una piedra de 0.500 kg hacia el este
con rapidez de 5 m/s. Despreciando la fricción entre el niño y el hielo, encuentre la
velocidad de retroceso del niño.
Ejemplo 4.3
¿Qué fuerza se necesita para detener en 20 segundos a un automóvil de 1000 kg que viaja
a una velocidad de 30 m/s?
Ejemplo 4.4
Calcule la velocidad de retroceso de un rifle de 5 kg cuando dispara una bala de 0.050 kg
a una velocidad de 120 m/s.
Ejemplo 4.5
Una manguera deja salir un chorro de agua de 𝟏. 𝟓 𝒌𝒈, con una velocidad de 𝟐𝟎 𝒎/𝒔,
el agua choca contra una pared que la detiene, es decir, no tomamos en cuenta el agua que
regresa después de chocar ¿Cuál es la fuerza que ejerce el agua sobre la pared?
Ejemplo 4.6
Un carro de ferrocarril de 10 000 kg que viaja a una velocidad de 24 m/s choca contra otro
idéntico que se encuentra en reposo. Como resultado del choque, los carros se enganchan.
¿Cuál será la velocidad común después?
Ejemplo 4.7
Un mazo de 3 kg se mueve a una velocidad de 14 m/s en el momento de golpear un perno
de acero. Se detiene a los 0.02 s. Determine la fuerza media sobre el perno.
76
Ejemplo 4.8
Un cañón de 1400 kg montado sobre ruedas dispara una bala de 60 kg en dirección
horizontal con una velocidad de 50 m/s. Suponiendo que el cañón se pueda mover
libremente, ¿Cuál será su velocidad de retroceso?
Ejemplo 4.9
Un cohete enciende su motor, que ejerce una fuerza media de 1000 N durante 40 s en una
dirección fija. ¿Cuál es la magnitud del cambio de cantidad de movimiento del cohete?
Ejemplo 4.10
Fernando Valenzuela impuso una marca al lanzar una pelota de béisbol de 0.14 kg
a 166.68 km/h de velocidad. ¿Cuál es la magnitud de la cantidad de movimiento de la
pelota al dejar su mano?
Ejemplo 4.11
Una pelota de béisbol de 0.149 kg, que se mueve hacia el sur a 28 m/s, se acerca al bateador.
La pelota es golpeada y aplastada momentáneamente; rebota y sale despedida a 46 m/s
hacia el norte. a) Determine las magnitudes de sus cantidades de movimiento inicial y final,
así como, b) el cambio de la cantidad de movimiento.
Ejemplo 4.12
El 12 de septiembre de 1966 una nave Gemini atracó en un vehículo Agena de lanzamiento,
en órbita. Con mucho combustible en el cohete, la NASA decidió determinar la masa del
Agena. Una vez acoplados, el motor de la Gemini fue encendido, ejerciendo un empuje
constante de 890 N en una dirección fija, durante 7 s. Como resultado del empuje,
el conjunto Gemini-Agena aumentó su rapidez en 0.93 m/s. En el supuesto de que la masa
de la Gemini es constante 𝟑𝟒 × 𝟏𝟎𝟐 𝒌𝒈, calcule la masa del Agena.
Ejemplo 4.13
Un futbolista de 100 kg corre con una velocidad de 4 m/s directamente hacia el fondo del
campo. Un proyectil de artillería de 1 kg sale del cañón con una velocidad inicial de
500 m/s. ¿Quién tiene mayor cantidad de movimiento, el futbolista o el proyectil?
77
Ejemplo 4.14
Un golfista golpea una pelota de 0.046 kg desde un tee elevado, impartiéndole una rapidez
horizontal inicial de 40 m/s en un tiempo de contacto de 1 ms. ¿Qué fuerza promedio ejerce
el palo sobre la pelota durante ese tiempo?
Ejemplo 4.15
Una persona es bajada desde un helicóptero al centro de un lago congelado liso
y horizontal, cuya superficie tiene fricción despreciable, con la misión de llegar a la orilla
del lago. Es imposible caminar (¿Por qué?). Al meditar acerca del aprieto en que se
encuentra, decide usar la conservación de la cantidad de movimiento y aventar sus
guantes, que son pesados e idénticos, y así conseguir la cantidad de movimiento necesaria
para llegar a la orilla. Para lograrlo más rápidamente, ¿Qué deberá hacer esta persona:
aventar ambos guantes a la vez, o aventarlos con la misma rapidez primero uno y luego el
otro? Explica.
Ejemplo 4.16
Calcule la velocidad de retroceso de una ametralladora de 7.3 kg cuando dispara una bala
de 0.020 kg a una velocidad de 620 m/s.
Ejemplo 4.17
En un parque, una persona lanza pan en el estanque de los patos. Dos patos de 4 kg
y un ganso de 7.6 kg nadan rápidamente hacia el pan desde direcciones opuestas.
Si los patos nadan a 𝟏. 𝟏 𝒎/𝒔 y el ganso nada con una rapidez de 𝟏. 𝟑 𝒎/𝒔, encuentra la
magnitud y la dirección de la cantidad de movimiento total de las tres aves.
Ejemplo 4.18
Una fuerza actúa sobre una bicicleta durante 12 segundos y cambia su cantidad de
movimiento de 𝟏𝟓 𝒌𝒈 𝒎/𝒔 en la dirección 𝒙 positiva a 𝟑𝟖 𝒌𝒈 𝒎/𝒔 en la dirección
𝒙 positiva. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza?
Ejemplo 4.19
Tres amigos empujan un automóvil hasta una estación de servicio. Supón que el automóvil
rueda sin fricción sobre un camino liso y a nivel. Si el automóvil en un inicio está en reposo
y el empuje combinado es de 305 N, a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento del automóvil
después de 12 s? b) Si la masa del automóvil y conductor es 1360 kg, ¿Cuál es la velocidad
del automóvil después de 12 s de empuje?
78
Ejemplo 4.20
Dos canoas flotan inmóviles en un lago. Después de una breve visita, alguien de la canoa 1
empuja a la canoa 2 con una fuerza de 46 N en 1.20 s y mueve las canoas en direcciones
opuestas. ¿Cuál es la cantidad de movimiento de cada canoa después del empuje?
Ejemplo 4.21
Durante la reparación del telescopio espacial un astronauta reemplaza dos paneles, al
empujar un panel deteriorado hacia atrás en el espacio experimenta un impulso en sentido
opuesto, la masa del astronauta es de 60 kg y la del panel de 80 kg, inicialmente el panel y
el astronauta están en reposo respecto al telescopio. ¿Cuál es su velocidad posterior
respecto al telescopio?
79
CUESTIONARIO I
1. Una persona de 110 kg parado sobre un lago helado arroja una piedra de 2.3 kg hacia el
este con una rapidez de 12 m/s. Despreciando la fricción entre la persona y el hielo,
encuentre la velocidad de retroceso de la persona.
2. Calcula la velocidad de retroceso de un rifle de 6.3 kg cuando dispara una bala de 0.063
kg a una velocidad de 220 m/s.
3. Una manguera deja salir un chorro de agua de 1.5 kg/s, con una rapidez de 20 m/s;
el agua choca contra una pared que la detiene (es decir, no se toma en cuenta el agua que
regresa después de chocar), ¿Cuál es la fuerza que ejerce el agua sobre la pared?
4. Un carro de ferrocarril de 10000 kg viaja a una rapidez de 24 m/s choca contra otro
idéntico que se encuentra en reposo. Como resultado del choque, los carros se
enganchan, ¿Cuál será la rapidez común después del choque?
5. ¿Qué fuerza se necesita para detener en 12 segundos a un automóvil de 1350 kg que
viaja a una velocidad de 98 m/s?
6. ¿Qué velocidad tiene un vehículo de 3400 kg si su momento es de 98000 kg · m/s?
7. ¿Cuál es su momento de una pelota de 3.7 kg que se desplaza a una velocidad de 70 m/s?
8. Una persona de 80 kg y un joven de 40 kg están de pie y juntos en una pista de hielo,
sin fricción. Si después de que se empujen uno al otro, el hombre se aleja con una
velocidad de 0.25 m/s. ¿Con que velocidad se aleja el joven?
9. Una bala de 0.02 kg viaja de manera horizontal y uniforme a 250 m/s; se impacta
y empotra en un bloque de madera de 0.40 kg que se encontraba en reposo,
en una superficie sin fricción. ¿Cuál es la velocidad final del sistema?
10. Un automóvil en reposo de 1500 kg, recibe una aceleración de 4 m/s2 en un lapso
de tiempo de 5 s. ¿Cuál es el valor de su momento lineal después de ese tiempo?
80
CUESTIONARIO II
1. Una bala de 6 gramos que viaja a una velocidad de 300 m/s, atraviesa un bloque
de madera y sale de él a 100 m/s. ¿Cuál es su cambio de momento?
2. Si la bala del problema 11 atraviesa el bloque de madera en 1.2×10-3 segundos.
¿Cuál fue la fuerza que ejerció la madera sobre la bala?
3. ¿Por qué los autobuses y camiones pesados tienen volantes de dirección grandes?
Argumenta tu respuesta.
4. Un protón cuya masa es de 1.01 uma, que se desplaza con una rapidez de
3.60 × 104 𝑚/𝑠, sufre una colisión de frente con un núcleo de helio (He) que
inicialmente se hallaba en reposo (𝑚𝐻𝑒 = 4 𝑢𝑚𝑎). ¿Cuáles son las velocidades del
protón y del núcleo de helio después del choque? Nota: 1 𝑢𝑚𝑎 = 1.6606 × 10−27 𝑘𝑔.
5. Una partícula de masa m, que se mueve con rapidez v, choca de frente con otra partícula
de igual masa que está en reposo (𝑣2 = 0). ¿Cuáles son las velocidades de las dos
partículas después del choque, suponiendo que éste es elástico?
6. Un jugador de béisbol coloca una máquina de lanzar de 50 kg, y la coloca en el montículo
del lanzar. El suelo está cubierto por una delgada capa de hielo, de modo que hay una
fricción insignificante entre el suelo y la máquina. La máquina dispara horizontalmente
una pelota de 0.15kg con una rapidez de 36 m/s. ¿Cuál es la velocidad de retroceso de
la máquina?
7. Un niño arroja un paquete de 5.40 kg en dirección horizontal desde un bote, con una
rapidez de 10.40 m/s. Calcule la velocidad resultante del bote, suponiendo que se
encontraba inicialmente en reposo, la masa del niño es de 45 kg y la del bote
es de 85 kg.
8. Un cohete de 3700 kg de masa total viaja por el espacio exterior con una velocidad
de 110 m/s hacia el sol. Desea desviar su curso 35° y lo puede hacer encendiendo sus
cohetes durante un tiempo breve, en dirección perpendicular a su curso original.
Los gases de los cohetes salen expulsados a una velocidad de 1900 m/s. ¿Cuánta masa
de gases deberá expulsar?
9. Que fuerza se necesita para detener en 40 segundos una locomotora de 50 000 kg
que viaja a una velocidad de 300 m/s.
10. Un sistema de partículas tiene una energía cinética de 10000 J, pero una cantidad
de movimiento total de cero, ¿Esto es posible?
81
CUESTIONARIO III
1. ¿De qué manera cambia la cantidad de movimiento si la masa de un objeto se duplica?
2. ¿Qué relación guarda la dirección de la cantidad de movimiento con la dirección de la
velocidad?
3. La rapidez de un objeto se duplica. ¿Cuál es la diferencia entre el cambio en la magnitud
de la cantidad de movimiento del objeto y el cambio en su energía cinética?
4. Se sabe que un sistema que consiste en dos partículas tiene una cantidad de movimiento
total cero. ¿Entonces, la energía cinética del sistema también es cero? Explica.
5. ¿Cuál (una o más) de las siguientes cantidades tiene la misma dirección que el impulso:
cantidad de movimiento, cambio en la cantidad de movimiento, velocidad, fuerza,
energía cinética?
6. ¿El impulso determina la cantidad de movimiento de un objeto o el cambio en la cantidad
de movimiento de un objeto?
7. Se suministran impulsos a los sistemas A, B, C y D, como se describe a continuación.
Clasifica los sistemas en orden de impulso creciente. Indica empates donde sea
adecuado.
Sistema A Sistema B Sistema C Sistema D
Magnitud de la fuerza 𝐹 2𝐹 5𝐹 10𝐹
Duración ∆𝑡 ∆𝑡/3 ∆𝑡/10 ∆𝑡/100
8. Un automóvil abandonado rueda lentamente por un estacionamiento vacío. Considera
los dos casos siguientes: 1) el automóvil golpea un poste de luz y llega al reposo,
2) el automóvil golpea una pila de bolsas plásticas para basura y llega al reposo.
a) ¿el impulso en el caso 1 es mayor que, menor que, o igual al impulso en el caso 2?
b) ¿la fuerza promedio en el caso 1 es mayor que, menor que, o igual a la fuerza promedio
en el caso 2?
9. ¿Cómo se relaciona la cantidad de movimiento con la fuerza externa total?
10. ¿De qué manera las fuerzas internas y externas afectan la cantidad de movimiento de un
sistema?
82
CUESTIONARIO IV
1. Si la fuerza externa total que actúa sobre un sistema es cero, ¿qué puedes decir acerca
de su cantidad de movimiento total?
2. Fuerzas internas pueden cambiar la cantidad de movimiento de cada uno de los objetos
dentro de un sistema. ¿De qué manera afectan la cantidad de movimiento total del
sistema?
3. Dos patinadores de hielo en reposo en el centro de una pista de hielo se empujan
mutuamente en direcciones opuestas. Identifica el sistema en el que se conserva
la cantidad de movimiento y menciona las fuerzas internas y externas que actúan sobre
el sistema.
4. Si sueltas tus llaves, su cantidad de movimiento aumenta mientras caen. ¿La cantidad de
movimiento de las llaves se conserva o la cantidad de movimiento del Universo aumenta
a medida que las llaves caen? Explica.
5. Una persona está de pie bajo un paraguas mientras llueve. Pocos minutos después
las gotas de lluvia se convierten en granizo, aunque el número de gotas que golpean
el paraguas por unidad de tiempo y su rapidez permanecen constantes. ¿La fuerza
necesaria para sostener el paraguas en línea recta en el granizo es mayor que, menor que,
o igual a la fuerza necesaria para mantenerlo bajo la lluvia?
6. ¿Es posible que una pelota de béisbol tenga más cantidad de movimiento que un camión?
7. ¿Cuál es la diferencia entre velocidad y cantidad de movimiento?
8. ¿Es posible que una fuerza pequeña suministre un impulso más grande que una fuerza
grande? Si es así, explica cómo.
9. Las bolsas de aire automotrices que se despliegan durante una colisión se diseñaron para
proteger a los ocupantes del vehículo. Con el concepto de impulso, explica de qué
manera las bolsas de aire protegen a los pasajeros de un automóvil.
10. Se suministra un impulso de 12.2 𝑘𝑔 𝑚/𝑠 a un objeto cuya cantidad de movimiento
inicial es de 4.5 𝑘𝑔 𝑚/𝑠. El impulso tiene la misma dirección que la cantidad de
movimiento inicial. ¿Cuál es la cantidad de movimiento final del objeto?
83
V TORCA
Otro concepto muy importante en el movimiento, es el momento de una fuerza o torca. La torca
es una medida de la fuerza que puede hacer que un objeto gire alrededor de un eje.
Así como en la cinemática lineal la fuerza es lo que hace que un objeto acelere, la torca es lo
que provoca que un objeto adquiera aceleración angular. Dicho concepto se entiende como la
tendencia a girar que recibe un cuerpo por la aplicación de una fuerza, es decir aquello
que provoca aceleración angular.
Fig. 35 Momento de una fuerza o Torca.
La torca puede ser estática o dinámica. Una torca estática es la que no produce una aceleración
angular. Alguien que empuja una puerta cerrada está aplicando una torca estática a la puerta,
ya que esta no gira sobre las bisagras a pesar de la fuerza aplicada. Alguien que pedalea una
bicicleta a velocidad constante también está aplicando una torca estática ya que no está
acelerando. El eje de transmisión de un coche de carreras que acelera de la línea de salida lleva
una torca dinámica porque debe producir una aceleración angular en las llantas, ya que el
automóvil acelera a lo largo de la pista.
Al igual que en el movimiento traslacional (variación de la posición del cuerpo en el espacio
con el tiempo. Indica si el cuerpo se mueve, es decir, si varía su posición a medida que varía
el tiempo, está en movimiento), se requiere una fuerza para producir un cambio en el momento
rotacional.
La razón de cambio del movimiento depende no sólo de la magnitud de la fuerza, sino también
de la distancia perpendicular entre su línea de acción y el eje de rotación. Dicha línea de acción
de una fuerza es una línea imaginaria que pasa por la flecha del vector de fuerza, es decir,
la línea a lo largo de la cual actúa la fuerza.
Se ha definido la fuerza como un tirón o empujón que tiende a causar un movimiento.
El momento de fuerza se define como la tendencia a producir un cambio en el movimiento
rotacional. El movimiento rotacional se ve afectado tanto por la magnitud de la fuerza como
por el radio en el cual actúa la fuerza, llamado brazo de palanca o de momento (𝑟).
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La tendencia de una fuerza a hacer girar un objeto alrededor del mismo eje se mide por
una cantidad denominada torca (𝝉). La magnitud de la torca debida a la fuerza es,
𝜏 = 𝐹 𝑟
En esta ecuación (𝑟) es la longitud el brazo de palanca o brazo de momento de la fuerza (𝐹).
El brazo de palanca es la distancia perpendicular desde el eje de rotación hasta una línea
trazada a lo largo de la dirección de la fuerza. El valor de (𝝉) depende del eje de rotación.
La torca es un vector perpendicular al plano determinado por el brazo de palanca y la fuerza.
Para los problemas bidimensionales que se emplean en la mayoría de los casos, la torca entra
o sale del plano del papel.
Las unidades de la torca son [𝑵 ∙ 𝒎]. Cabe aclarar que el momento de fuerza o torca es un
concepto independiente del trabajo y su unidad no es el Joule. Medir una torca estática en un
sistema que no rota es generalmente bastante fácil, y se hace al medir una fuerza.
Dada la longitud del brazo de palanca, la torca se puede encontrar directamente.
La dirección del momento de torsión depende de si éste tiende a producir la rotación en el
sentido de avance de las manecillas del reloj, o sentido horario, o en dirección contraria a ellas,
o sentido anti horario. Si la fuerza o momento de torsión tiende a producir una rotación con
respecto a un eje coordenado contraria a la de las manecillas, el momento de torsión se
considerará positivo; y para una rotación en el sentido de las manecillas del reloj será
negativo.
En la figura 36 observamos,
𝜏 = 𝑟 𝐹 = 𝑟𝐹 𝑠𝑒𝑛 𝜃
Donde 𝑟 es la longitud del brazo de palanca y 𝜃 es el ángulo entre el vector fuerza y el brazo de
palanca. Para el caso a) La distancia perpendicular 𝑟 entre el eje de rotación y la línea de acción
de la fuerza que sería el brazo de palanca se denomina 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃. El momento de fuerza (o par de
torsión) que produce movimiento rotacional es 𝜏 = 𝑟 𝐹. b) La misma fuerza en la dirección
opuesta con un menor brazo de palanca produce un momento de fuerza menor en la dirección
opuesta. En este caso observamos que 𝑟 𝐹 = 𝐹 𝑟 ó (𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 𝐹 = 𝑟 (𝐹 𝑠𝑒𝑛 𝜃).
c) Cuando actúa una fuerza a través del eje de rotación, 𝑟 = 0 y 𝜏 = 0.
Fig. 36 Momento de fuerza y brazo de palanca. a) Momento de fuerza antihorario, b) Momento de
fuerza horario y c) Momento de fuerza cero.
85
No siempre se produce una aceleración rotacional cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo
rígido estacionario. Por las definiciones anteriores, vemos que, cuando la fuerza actúa a través
del eje de rotación tal que 𝜃 = 0, entonces 𝜏 = 0. También, cuando 𝜃 = 90°, el momento de
fuerza es máximo y la fuerza actúa perpendicularmente a 𝑟. Por lo tanto, la aceleración angular
depende de dónde se aplique una fuerza perpendicular y de la longitud del brazo de palanca.
Podemos ver el momento de fuerza en movimiento rotacional como similar a la fuerza en
movimiento rotacional. Una fuerza neta, no equilibrada, modifica un movimiento traslacional,
y un momento de fuerza neto, no equilibrado, modifica un movimiento rotacional.
El momento de fuerza es un vector. Su dirección siempre es perpendicular al plano que
forman los vectores de fuerza y de brazo de palanca, y está dada por una regla de la mano
derecha como la que se emplea con la velocidad angular. Si los dedos de la mano derecha
se enroscan alrededor del eje de rotación en la dirección de la aceleración rotacional
(angular) que producirá el momento de fuerza, el pulgar extendido apuntará en la
dirección del momento de fuerza.
Fig. 37 Regla de la mano derecha aplicada a la torca.
La dirección del vector de la torca incorpora dos piezas de información que describen la torca.
1) El plano en el que el objeto rota (o podría rotar). Esto no es arbitrario. 2) La dirección de
rotación (en sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario). En principio, esto puede
definirse de manera distinta dependiendo de la ubicación del observador. Una manera de
describir un plano en tres dimensiones es con un vector perpendicular al plano como se muestra
en la figura 38. El vector de la torca es el vector normal al plano de rotación.
Fig. 38 Vector perpendicular al plano de rotación.
En la cinemática rotacional, la torca toma el lugar de la fuerza en la cinemática lineal.
Hay un equivalente directo a la segunda ley de Newton 𝐹 = 𝑚𝑎, 𝜶 es la aceleración angular
e 𝑰 es la inercia rotacional, una propiedad de un sistema que rota y que depende de la
distribución de masa del sistema.
86
𝜏 = 𝐼 𝛼
Mientras más grande sea 𝐼, más difícil será que un objeto adquiera aceleración angular. Podemos
definir la inercia rotacional de un cuerpo como,
𝐼 = 𝑚 𝑟2
Donde 𝑚 es la masa y 𝑟 el radio del objeto. El concepto de equilibrio rotacional es el equivalente
de la primera ley de Newton para un sistema en rotación. Un objeto que no está girando continúa
sin rotar a menos que una torca externa actúe sobre él. Del mismo modo, un objeto que gira a
velocidad angular constante continúa rotando a menos que una torca actúe sobre él.
Este concepto es generalmente útil en problemas que involucran múltiples torcas que actúan en
un objeto giratorio. En este caso, lo que es importante es la torca neta. Si esta es cero entonces
el sistema estará en equilibrio rotacional y no podrá tener aceleración angular.
Otra relación importante es entre al torca y la energía. Como lo mencionamos anteriormente
tienen las mismas dimensiones, es decir, que se pueden escribir en las mismas unidades
fundamentales, pero no son una medida de la misma cosa. Se diferencian en que la torca es una
cantidad vectorial definida únicamente para un sistema en rotación.
Sin embargo, se puede calcular la potencia a partir de la torca si se conoce la velocidad de gira.
Los caballos de fuerza de un motor no suelen medirse directamente, sino que se calculan
a partir de medidas de la torca y la velocidad de rotación,
𝑃 =𝐹 𝑑
𝑡=
𝐹 2𝜋𝑟
𝑡= 2𝜋𝑡𝜔 = 𝑡𝜔
Junto con los caballos de fuerza, la torca máxima producida por el motor de un vehículo es una
especificación importante y comúnmente citada. Hablando de forma práctica, la torca máxima
es relevante para describir qué tan rápido acelera un vehículo y su capacidad para tirar de una
carga.
Es importante reconocer que mientras que los caballos de fuerza y la torca son especificaciones
generalmente útiles, son de uso limitado al hacer cálculos que implican el movimiento general
del vehículo. Esto se debe a que en la práctica ambos varían en función de la velocidad de
rotación. La relación general puede no ser lineal y cambia para diferentes tipos de motor.
A menudo es necesario aumentar y disminuir la torca producida por un motor para que se adapte
a diferentes aplicaciones. Hay que recordad que la longitud de una palanca puede aumentar
o disminuir la fuerza sobre un objeto a expensas que la distancia a través de la cual debe
empujarse la palanca.
Del mismo modo, se puede aumentar o disminuir la torca producida por un motor mediante el
uso de engranajes. El aumento de la torca viene con una disminución proporcional en la
velocidad de rotación. El embone de dos dientes de engranaje puede considerarse equivalente
a la interacción de una par de palancas.
87
Fig. 39 Comparación entre engranes y palancas.
Como ejemplo podríamos suponer que aplicamos una fuerza a una puerta de vidrio pesada que
se abre en ambas direcciones. El punto donde apliquemos la fuerza influirá mucho en la facilidad
con que la puerta se abre o gira (sobre las bisagras de su eje). La fuerza produce un momento
de fuerza pequeño y poca o ninguna aceleración rotacional.
Considerando el ejemplo podemos deducir una expresión donde relacionemos el momento de
fuerza o torca (momento dinámico) y el momento cinético. El momento cinético (𝑙) de una
partícula respecto al origen se define como,
𝑙 ̅ = 𝑟 �⃗�
Como se mencionó anteriormente, para una partícula 𝐹 =∆(𝑚𝑣)
∆𝑡=
∆�⃗�
∆𝑡. Tomamos el producto
vectorial de 𝑟 con ambos miembros de esta ecuación, obteniendo,
𝑟 𝐹 = 𝑟 ∆�⃗�
∆𝑡
Pero (𝑟 𝐹) es el momento de fuerza o torca, respecto al origen. Por lo tanto podemos escribir,
𝜏 = 𝑟 ∆�⃗�
∆𝑡
Usando la ecuación del momento cinético, tenemos,
𝜏 =∆𝑙
∆𝑡
Esta ecuación nos indica que la velocidad de cambio del momento cinético de una partícula es
igual a la torca que actúa sobre ella.
88
Ejemplo 5.1
Un mecánico ejerce una fuerza de 20 lb en el extremo de una llave inglesa de 10 in, como
se observa en la figura del problema. Si este tirón forma un ángulo de 𝟔𝟎° con el mango
de la llave. ¿Cuál es el momento de torsión producido en la tuerca?
También se puede resolver utilizando las componentes,
En algunos problemas es mejor utilizar las componentes de una fuerza para obtener el momento
de torsión resultante. En vez de hallar el momento de torsión de una fuerza, será necesario
encontrar el momento de torsión de las dos fuerzas componentes.
Ejemplo 5.2
La figura del problema es una vista desde arriba de una caja de empaque empujada por
dos fuerzas de igual magnitud que actúan en direcciones opuestas. Determine la torca neta
ejercida sobre la caja si su ancho es de 1 m. Suponga que existe un eje de rotación que pasa
por el centro de la caja.
89
Ejemplo 5.3
Encuentre la torca producida por la fuerza de 300 N aplicada a un ángulo de 𝟔𝟎° a la
puerta de la figura del problema.
Ejemplo 5.4
Cuando el conductor de un automóvil pisa el acelerador, la nariz del auto se mueve hacia
adelante. Cuando frena, la nariz se mueve hacia abajo. ¿Por qué ocurren estos efectos?
90
Ejemplo 5.5
Dos ruedas delgadas en forma de disco, de radios 𝒓𝑨 = 𝟑𝟎 𝒄𝒎 y 𝒓𝑩 = 𝟓𝟎 𝒄𝒎, están unidas
una a la otra sobre un eje que pasa a través del centro de cada una, como se observa en la
figura del problema. Calcula la torca neta sobre esta rueda compuesta que se debe a las
dos fuerzas mostradas, cada una con magnitud de 50 N.
Ejemplo 5.6
El bíceps ejerce una fuerza vertical sobre el antebrazo, cuando está flexionado como se
observa en la figura (a) y (b) del problema. Para cada caso, calcule la torca en torno al eje
de rotación a través de la articulación del codo, suponiendo que el músculo está unido a
𝟓 𝒄𝒎 del codo, como se observa.
91
Ejemplo 5.7
Determina el momento de fuerza total causado por tres fuerzas en una barra que tiene su
eje de giro en la parte central.
Ejemplo 5.8
Una persona se agacha como se observa en la figura del problema. Para la mayoría de
nosotros el centro de gravedad del cuerpo está en la región del pecho o cerca de éste.
Al inclinarnos, esto origina un momento de fuerza que tiende a producir rotación entorno
a un eje en la base de la espina dorsal, y podría ocasionar una caída. ¿Por qué no nos
caemos cuando nos inclinamos de esta forma? Consideramos solo el torso superior.
92
Ejemplo 5.9
Para detener la rueda de una bicicleta que gira, suponga que usted oprime radialmente
hacia adentro desde dos lados opuestos de la misma con dos fuerzas iguales de 10 N,
como se observa en la figura del problema. El radio de la rueda es de 32 cm y el coeficiente
de fricción cinética entre la llanta y sus manos es de 0.75. La rueda gira en el sentido de
las manecillas del reloj. ¿Cuál es el momento de torsión neto sobre la rueda?
Ejemplo 5.10
El mecanismo automático de cierre de un mosquitero está unido a una puerta, a 47 cm de
las bisagras, y tira de la puerta con una fuerza de 25 N, forma con ella un ángulo de 𝟏𝟓°.
Halle la magnitud del momento de torsión que se ejerce sobre la puerta por esta fuerza en
torno del eje de rotación a través de las bisagras, use a) la componente perpendicular de
la fuerza y b) el brazo de palanca, y c) ¿Cuál es el signo de este momento de torsión visto
desde arriba?
93
Ejemplo 5.11
Un mecánico hace girar una llave de tuercas aplicando una fuerza de 25 N a una distancia
de 16 cm del eje de rotación. La fuerza es perpendicular al mango de la llave. ¿Cuál es la
magnitud del momento de torsión que aplica a la llave?
Ejemplo 5.12
El cordón para poner en marcha el motor de una cortadora de césped está enrollado
en un tambor de 6 cm de radio. Cuando se tira del cordón con una fuerza de 75 N para
poner en marcha el motor. ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión que el cordón
aplica sobre el tambor?
Ejemplo 5.13
Una fuerza de 46.4 N se aplica al borde exterior de una puerta de 1.26 m de ancho de
manera que ejerce su acción a) en dirección perpendicular a la puerta, b) formando un
ángulo de 𝟒𝟑° respecto a la superficie de la puerta, c) de manera que la línea de acción de
la fuerza pasa por el eje de la bisagra de la puerta. Halle el momento de torsión para estos
tres casos.
Ejemplo 5.14
Una puerta tipo trampa, de 1.65 m de largo y de ancho,
se mantiene abierta formando un ángulo de 𝟔𝟓° con el
piso. Una cuerda está atada al borde de la puerta
levantándola y también a una pared que está detrás, en
una posición en la cual tira perpendicularmente de la
puerta. Si la masa de la puerta es de 16.8 kg, ¿Cuál es el
momento de torsión que la cuerda ejerce sobre la
puerta?
94
Ejemplo 5.15
Cualquier pareja de fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre el mismo objeto recibe el
nombre de par. Considere el par descrito en la parte a) de la figura del problema. El eje
de rotación es perpendicular a la página y pasa por el punto 𝑷. a) Demuestra que el
momento de torsión neto debido a este par es igual a 𝑭𝒅, donde 𝒅 es la distancia entre las
líneas de acción de las dos fuerzas. En virtud de que la distancia 𝒅 es independiente de la
ubicación del eje de rotación, esto demuestra que el momento de torsión es el mismo para
cualquier eje de rotación. b) Repita la operación con el par de la parte b) de la figura.
Demuestre que el momento de torsión continua siendo 𝑭𝒅 si 𝒅 es la distancia
perpendicular entre las líneas de acción de las fuerzas.
Ejemplo 5.16
Una puerta uniforme pesa 50 N y mide 1 m de ancho y 2.6 m de alto. ¿Cuál es la magnitud
del momento de torsión debido al propio peso de la puerta sobre un eje horizontal que es
perpendicular a la puerta y que pasa por una esquina?
Ejemplo 5.17
Un niño de 40 kg de masa está sentado sobre un sube y baja a una distancia de 2 m del eje
de apoyo. ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión sobre el eje debido al peso del
niño?
Ejemplo 5.18
Una masa de 124 g está colocada sobre un platillo de una balanza, en un punto que se
encuentra a 25 cm del soporte de la balanza. ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión
que la masa ejerce sobre el soporte?
95
Ejemplo 5.19
Una torre que se erige fuera de los edificios del Parlamento de Londres ostenta un famoso
reloj al que comúnmente se designa como el Big Ben, en referencia al nombre de su gran
campana de 13 toneladas. La manecilla horaria de cada una de las caras del reloj mide
2.7 m de longitud y tiene una masa de 60 kg. Suponga que la manecilla horaria es una
varilla uniforme sujeta por uno de los extremos. a) ¿Cuál es el momento de torsión sobre
el mecanismo del reloj debido al peso de una de las cuatro manecillas horarias cuando el
reloj marca el mediodía? El eje de rotación es perpendicular a una cara del reloj y pasa
por el centro del mismo. b) ¿Cuál es el momento de torsión debido al peso de una manecilla
horaria sobre el mismo eje cuando el reloj marca las 9:00 a.m.?
Ejemplo 5.20
Una pieza angular de hierro gira sobre un gozne o bisagra, como se observa en la figura
(a) del problema. Determina el momento de torsión resultante en A debido a las fuerzas
de 60 N y 80 N.
96
CUESTIONARIO I
1. Define el concepto de momento de una fuerza y menciona 3 ejemplos.
2. ¿Es lo mismo momento de fuerza que momento de torsión? Explica.
3. ¿Cómo se calcula la torca neta aplicada?
4. Dibuja un diagrama de cuerpo libre donde se aplica un momento de torsión.
5. ¿Cuáles son las unidades de torca en el SI y en el sistema inglés?
6. ¿Por qué es útil trabajar con las componentes de una fuerza para obtener el momento de
torsión resultante? Explica.
7. ¿A qué se le llama brazo de palanca?
8. ¿El movimiento rotacional es afectado cuando se aplica una fuerza por un brazo de
palanca? Explica y menciona dos ejemplos.
9. ¿De qué depende que sea positivo o negativo el momento de torsión?
10. ¿Cómo se le llama a la distancia perpendicular del eje de rotación a la línea de acción de
la fuerza? Dibuja un diagrama
97
CUESTIONARIO II
1. Explica que es una torca estática y una dinámica. Menciona dos ejemplos de cada una.
2. Explica la dirección de la torca usando la regla de la mano derecha.
3. Explica con tus palabras el papel que desempeña el concepto torca en la cinemática
rotacional.
4. ¿Cuál es la relación entre aceleración angular, inercia rotacional y torca?
5. Explica el concepto de equilibrio rotacional.
6. ¿Cómo se relaciona la torca con la potencia y la energía?
7. ¿Cómo se relacionan los caballos de fuerza y la torca máxima producida en un motor?
8. ¿Cómo se puede aumentar o disminuir la torca producida en una maquina o motor?
9. Explica que es la energía cinética rotacional, y su relación con la torca.
10. ¿Cuál es la relación entre la torca y la aceleración angular en un cuerpo rígido?
98
CUESTIONARIO III
1. Se coloca una tuerca con una llave española. Si el brazo de palanca 𝑟 es de 30 cm,
y la torca de apriete es de 30 𝑁 ∙ 𝑚, ¿Cuál debe ser el valor de la fuerza 𝐹 aplicada?
2. Una caña de pescar mide 2 m de largo, está inclinada respecto a la horizontal formando
un ángulo de 20°. ¿Cuál es el momento de torsión ejercido por un pez alrededor de un
eje perpendicular a la página y que pasa por la mano del pescador?
3. Se ejerce una fuerza de 10 N en el extremo de una llave inglesa de 25 cm.
Si este movimiento forma un ángulo de 55° con el mango de la llave. ¿Cuál es el
momento de torsión producido en la tuerca?
4. Encuentre la torca producida por una fuerza de 723 N debido a un brazo de palanca de
3.28 m, aplicada a un ángulo de 36°.
5. Una puerta de un almacén tiene un peso de 895 N y mide 2.3 m de ancho y 3.9 m de
alto. ¿Cuál es el momento de torsión debido al peso de la puerta sobre un eje horizontal
que es perpendicular a la puerta y que pasa por una esquina?
6. Una persona de 62 kg de masa está sentado sobre un columpio sube y baja a una distancia
de 4.2 m del eje. ¿Cuál es el momento de torsión sobre el eje?
7. ¿Cuál es el momento de torsión que se ejerce sobre el soporte de una balanza de un
objeto de 5 kg colocado sobre un platillo de dicha balanza, en un punto que se encuentra
a 13 cm del soporte?
8. Un péndulo simple está formado por un pequeño objeto de 3kg de masa que pende del
extremo de una cuerda delgada de 2 m de largo conectada a un punto pivote. Calcula la
torca (debido a la fuerza de la gravedad) alrededor de este punto pivote cuando la cuerda
forme un ángulo de 5° con respecto a la vertical.
9. Calcula la torca alrededor del eje 𝐴 en la figura del
problema debida a cada una de las fuerzas que se
muestran.
10. Determine el torque aplicado a dicha palanca.
99
APÉNDICE A
Unidades SI Básicas y Suplementarias
APÉNDICE B
Datos Físicos
100
APÉNDICE C
Unidades SI Derivadas
101
APÉNDICE D
Unidades SI Compuestas
102
APÉNDICE E
Unidades SI Autorizadas
103
APÉNDICE F
Múltiplos y Submúltiplos Decimales
104
APÉNDICE G
Alfabeto Griego
105
APÉNDICE H
Constantes Físicas Fundamentales
106
APÉNDICE I
Datos Planetarios
107
APÉNDICE J
Unidades Sistema Ingles
108
Universidad Nacional Autónoma de México
México, 2018