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CÁTEDRA DE FÍSICA I
TRABAJO PRÁCTICO Nº 9:
“Volante de Inercia”
Curso: 1º Año
Fecha: 02-09-08
Profesores: Franco Ciotti
Alumnos: Ferrández, Helius
Zavaleta, Eduardo
Martínez, Gustavo
Alvarez, Oscar
Rodríguez, Leo
Mauro,
Total de páginas: 12
PROPÓSITO DE LA PRÁCTICA:
MATERIALES UTILIZADOS:
Balanza electrónica
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Datalogger GLX
Sensor de fuerza asociado al Datalogger
Morsa de sujeción
Cinta métrica
Calculadora
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Lapiz
INTRODUCCIÓN TEÓRICA:
DESARROLLO DE LA PRÁCTICA:
CÁLCULOS TEÓRICOS.
CUESTIONARIO—CONCLUSIONES
Fin de trabajo práctico---------- . ----------
TEORIA PARA SELECCIONAR:
Momento de inercia de una distribución de masas puntuales
Tenemos que calcular la cantidad
donde xi es la distancia de la partícula de masa mi al eje de rotación.
Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de 1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de los extremos. Calcular el momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa a través de
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Un extremo De la segunda masa Del centro de masa
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la primera partícula es
IA=1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752+1·12=1.875 kgm2
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la segunda partícula esIB=1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752=0.9375 kgm2
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la tercera partícula (centro de masas) es
IC=1·0.52+1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52=0.625 kgm2
En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos calcularlos de forma indirecta empleando el teorema de Steiner. Conocido IC podemos calcular IA e IB, sabiendo las distancias entre los ejes paralelos AC=0.5 m y BC=0.25 m.
La fórmula que tenemos que aplicar es
I=IC+Md2
IC es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de masa
I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior M es la masa total del sistema d es la distancia entre los dos ejes paralelos.
IA=IC+5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2.
IB=IC+5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.
Momento de inercia de una distribución continua de masa
Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La fórmula que tenemos que aplicar es
dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación
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Resolveremos varios ejemplos divididos en dos categorías
Aplicación directa del concepto de momento de inercia Partiendo del momento de inercia de un cuerpo conocido
Momento de inercia de una varilla
Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas.
La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es
El momento de inercia de la varilla es
Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos.
Momento de inercia de un disco
Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.
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Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud 2x y anchura dx, cuya masa es
El momento de inercia del disco es
Momento de inercia de un cilindro
Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de su eje.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es
El momento de inercia del cilindro e
Momento de inercia de una placa rectangular
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Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la placa.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud a de anchura dx. La masa de este rectángulo es
El momento de inercia de la placa rectangular es
Momento de inercia de un disco
Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R, respecto de uno de sus diámetros.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud 2y de anchura dx. La masa de este rectángulo es
El momento de inercia del disco es
Haciendo el cambio de variable
x=R·cosθy=R·senθ
Llegamos a la integral
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Momento de inercia de una esfera
Vamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto de uno de sus diámetros
Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz. El momento de inercia de cada uno de los discos elementales es
La masa de cada uno de los discos es
El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los discos elementales.
Para resolver la integral tenemos que relacionar la variable x con la z. Como vemos en la figura x2+z2=R2
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Momento de inercia de un cilindro
Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L, respecto de un eje perpendicular a su generatriz y que pasa por su centro.
Dividimos el cilindro en discos de radio R y espesor dx. El momento de inercia de cada uno de los discos respecto de uno de sus diámetros es
Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de este disco, respecto de un eje paralelo situado a una distancia x.
El momento de inercia del cilindro es
Momento de inercia de un paralepípedo
Vamos a calcular el momento de inercia de un paralepípedo de masa M y de lados a, b y c respecto de un eje perpendicular a una de sus caras.
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Dividimos el paralepípedo en placas rectangulares de lados a y b y de espesor dx.
El momento de inercia de cada una de las placas respecto de su eje de simetría es
Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de esta placa respecto de un eje paralelo situado a una distancia x es
El momento de inercia del sólido en forma de paralepípedo es
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&6
Momento angular de una partícula
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Se define momento angular de una partícula respecto de del punto O, como el producto vectorial del vector posición r por el vector momento lineal mv L=rmv
Momento angular de un sólido rígido
Las partículas de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen vi= ·ri
En la figura, se muestra el vector momento angular Li de una partícula de masa mi cuya posición está dada por el vector ri y que describe una circunferencia de radio Ri con velocidad vi.
El módulo del vector momento angular vale Li=rimivi
Su proyección sobre el eje de rotación Z es
Liz=miviricos(90- i), es decir,
El momento angular de todas las partículas del sólido es
La proyección Lz del vector momento angular a lo largo del eje de rotación es
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El término entre paréntesis se denomina momento de inercia
En general, el vector momento angular L no tiene la dirección del eje de rotación, es decir, el vector momento angular no coincide con su proyección Lz a lo largo del eje de rotación. Cuando coinciden se dice que el eje de rotación es un eje principal de inercia.
Para estos ejes existe una relación sencilla entre el momento angular y la velocidad angular, dos vectores que tienen la misma dirección, la del eje de rotación
L=I
El momento de inercia no es una cantidad característica como puede ser la masa o el volumen, sino que su valor depende de la posición del eje de rotación. El momento de inercia es mínimo cuando el eje de rotación pasa por el centro de masa.
Cuerpo Momento de inercia IcVarilla delgada de longitud L
Disco y cilindro de radio R
Esfera de radio R
Aro de radio R mR2
Teorema de Steiner
El teorema de Steiner es una fórmula que nos permite calcular el momento de inercia de un sólido rígido respecto de un eje de rotación que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas.
El momento de inercia del sólido respecto de un eje que pasa por O es
El momento de inercia respecto de un eje que pasa por C es
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Para relacionar IO e IC hay que relacionar ri y Ri.
En la figura, tenemos que
El término intermedio en el segundo miembro es cero ya que obtenemos la posición xC del centro de masa desde el centro de masa.
Ejemplo
Sea una varilla de masa M y longitud L, que tiene dos esferas de masa m y radio r simétricamente dispuestas a una distancia d del eje de rotación que es perpendicular a la varilla y pasa por el punto medio de la misma.
Un péndulo consiste en una varilla de masa M y longitud L, y una lenteja de forma cilíndrica de masa m y radio r. El péndulo puede oscilar alrededor de un eje perpendicular a la varilla que pasa por su extremo O
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Energía cinética de rotación
Las partículas del sólido describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen vi= ·Ri . La energía cinética total es la suma de las energías cinéticas de cada una de las partículas. Esta suma se puede expresar de forma simple en términos del momento de inercia y la velocidad angular de rotación
Ecuación de la dinámica de rotación
Consideremos un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F21.
Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol ( y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes.
Para cada unas de las partículas se cumple que la variación del momento angular con el tiempo es igual al momento de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada.
Sumando miembro a miembro, aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial, y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton, F12=-F21, tenemos que
Como los vectores r1-r2 y F12 son paralelos su producto vectorial es cero. Por lo que nos queda
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La derivada del momento angular total del sistema de partículas con respecto del tiempo es igual al momento de las fuerzas exteriores que actúan sobre las partículas del sistema.
Consideremos ahora que el sistema de partículas es un sólido rígido que está girando alrededor de un eje principal de inercia, entonces el momento angular L=I·, la ecuación anterior la escribimos
Momento angular de un sistema de partículas
Consideremos el sistema de dos partículas de la figura anterior. El momento angular total del sistema respecto del origen es
L=r1 m1·v1+r2 m2·v2
Calculamos el momento angular respecto del centro de masas
r1cm=r1-rcm
r2cm=r2-rcm
v1cm=v1-vcm
v2cm=v2-vcm
El momento angular respecto del origen es la suma de dos contribuciones:
L=(r1cm+rcm) m1·(v1cm+vcm)+ (r2cm+rcm) m2·(v2cm+vcm)=
(r1cm m1·v1cm)+ (r2cm m2·v2cm)+ rcm (m1·v1cm+ m2·v2cm)+ (m1·r1cm+ m2·r2cm) vcm
De la definición de posición y velocidad del centro de masas, tenemos que
m1·v1cm+ m2·v2cm=0, m1·r1cm+ m2·r2cm=(m1+m2)·rcm
L=Lcm+(m1+m2)·rcm vcm
En general, para un sistema de partículas de masa total m
L=Lcm+m·rcm vcm
El primer término, es el momento angular interno relativo al sistema c.m. y el último término, el momento angular externo relativo al sistema de laboratorio, como si toda la masa estuviera concentrada en el centro de masa.
Relación entre el momento de las fuerzas exteriores Mext y el momento angular interno Lcm.
El momento de las fuerzas exteriores respecto del origen es la suma de dos contribucionesT.P.N°9 “Volante de Inercia” 15 / 12
Mext= r1F1+r2 F2=(r1cm+rcm) F1+(r2cm+rcm) F2= r1cm F1+r2cm F2+ rcm (F1+F2)=
Mcm+ rcm (F1+F2).
Mext= Mcm+ rcm Fext.
El primer término es el momento de las fuerzas exteriores relativo al c.m. y el segundo es el momento de la fuerza resultante F1+F2 como si estuviera aplicada en el centro de masas.
Derivando respecto del tiempo el momento angular total L, tenemos
Teniendo en cuenta que el segundo término es el producto vectorial de dos vectores paralelos y que la ecuación del movimiento del c.m. es
resulta
Como hemos demostrado en el apartado anterior que
Se obtiene la relación
Estas dos relaciones son idénticas pero existen diferencias en su interpretación. En la primera se evalúa el momento angular L y el momento de las fuerzas exteriores Mext respecto de un punto fijo O (origen del sistema de coordenadas) en un sistema de referencia inercial. La segunda se evalúa el momento angular Lcm y el momento de las fuerzas Mcm respecto al sistema de referencias del centro de masas incluso si no está en reposo con relación al sistema inercial de referencia O.
Esta última relación, es la que emplearemos para describir el movimiento del c.m. de un sólido rígido.
Vamos a estudiar con más detalle la validez de la relación
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Siendo A un punto arbitrario, LA el momento angular del sistema de partículas respecto de A y MA el momento total de las fuerzas externas respecto del mismo punto.
La posición de la partícula i respecto al origen del sistema de referencia inercial es ri, la posición de dicha partícula respecto de A es riA. En la figura, se muestra la relación entre estos dos vectores
ri=rA+riA
La velocidad de la partícula i respecto del sistema de referencia inercial es vi, y del punto A es vA.
El momento angular del sistema de partículas respecto de A, LA es
Sea Fi la fuerza exterior que actúa sobre la partícula i. La segunda ley de Newton afirma que
El momento de las fuerzas exteriores respecto de A es
Como la posición del centro de masas rcm se define
Siendo M la masa total del sistema de partículas, llegamos a la relación
Podemos obtener la misma relación derivando el momento angular LA respecto del tiempo
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Cuando el término M(rcm-rA)×aA desaparece, la relación MA=dLA/dt se cumple. Esto ocurre en los siguientes casos:
Cuando el punto A coincide con el centro de masas rcm=rA Cuando la aceleración de A es cero aA =0, es decir, A se mueve con velocidad
constante. Cuando la aceleración de A, aA es paralela al vector (rcm-rA)
En los ejemplos de la sección Movimiento general de un sólido rígido emplearemos únicamente la relación
El momento angular Lcm del sólido rígido y el momento de las fuerzas exteriores Mcm se calculan con respecto del centro de masas.
Principio de conservación del momento angular
El principio de conservación del momento angular afirma que si el momento de las fuerzas exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores sean cero, que sea un sistema aislado), el momento angular total se conserva, es decir, permanece constante.
Trabajo y energía en el movimiento de rotación
En otra página relacionamos el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula con la variación de energía cinética de dicha partícula.
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Considérese un cuerpo rígido que puede girar alrededor de un eje fijo tal como se indica en la figura. Supongamos que se aplica una fuerza exterior F en el punto P. El trabajo realizado por dicha fuerza a medida que el cuerpo gira recorriendo una distancia infinitesimal ds=rd en el tiempo dt es
F·sen es la componente tangencial de la fuerza, la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento. La componente radial de la fuerza no realiza trabajo, ya que es perpendicular al desplazamiento.
El momento de la fuerza es el producto de la componente tangencial de la fuerza por el radio. La expresión del trabajo la podemos escribir de forma alternativa
El trabajo total cuando el sólido gira un ángulo es
En la deducción se ha tenido en cuenta la ecuación de la dinámica de rotación M=I , y la definición de velocidad angular y aceleración angular.
Se obtiene una ecuación análoga al teorema trabajo-energía para una partícula. El trabajo de los momentos de las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo modifica su energía cinética de rotación.
Impulso angular
En la dinámica de una partícula vimos el concepto de impulso lineal. Una fuerza aplicada durante un tiempo modifica el momento lineal (la velocidad de la partícula).
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En el caso de un sólido en rotación la magnitud equivalente se denomina impulso angular.
El momento de las fuerzas que se aplican durante un tiempo t a un sólido rígido en movimiento de rotación alrededor de un eje fijo, modifica el momento angular del sólido en rotación.
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PENDULO: Llamamos péndulo a todo cuerpo que puede oscilar con respecto de un eje fijo.
Péndulo ideal, simple o matemático: Se denomina así a todo cuerpo de masa m (de
pequeñas dimensiones) suspendido por medio de un hilo inextensible y sin peso. Estas dos
últimas condiciones no son reales sino ideales; pero todo el estudio que realizaremos
referente al péndulo, se facilita admitiendo ese supuesto .
Péndulo físico: Si en el extremo de un hilo suspendido sujetamos un cuerpo cualquiera ,
habremos construido un péndulo físico. Por esto, todos los péndulos que se nos presentan
(columpios, péndulo de reloj, una lámpara suspendida, la plomada) son péndulos físicos.
Oscilación - Amplitud - Período y Frecuencia:
A continuación estudiaremos una serie de procesos que ocurren durante la oscilación de
los péndulos y que permiten enunciar las leyes del péndulo.
Daremos previamente los siguientes conceptos:
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Longitud del péndulo (l) es la distancia entre el punto de suspensión y el centro de
gravedad del péndulo.
Oscilación simple es la trayectoria descrita entre dos posiciones extremas (arco AB).
Oscilación completa o doble oscilación es la trayectoria realizada desde una posición
extrema hasta volver a ella, pasando por la otra extrema (arco ABA). Angulo de amplitud o
amplitud (alfa) es el ángulo formado por la posición de reposo (equilibrio) y una de las
posiciones extremas.
Período o tiempo de oscilación doble (T) es el tiempo que emplea el péndulo en efectuar
una oscilación doble.
Tiempo de oscilación simple (t) es el tiempo que emplea el péndulo en efectuar una
oscilación simple.
Elongación (e). Distancia entre la posición de reposo OR y cualquier otra posición.
Máxima elongación: distancia entre la posición de reposo y la posición extrema o de
máxima amplitud.
Frecuencia (f). Es el número de oscilaciones en cada unidad de tiempo.
f=numero de oscilaciones/tiempo
Relación entre frecuencia y periodo
T = período ; f = frecuencia
Supongamos un péndulo que en 1 seg. cumple 40 oscilaciones.
En consecuencia: 40 oscilaciones se cumplen en 1 seg., por lo que 1 osc. se cumple en
T=1/40 seg (periodo) .
Obsérvese que: el período es la inversa de la frecuencia.
En símbolos: T=1/f y f=1/T
Leyes del péndulo:
Ley de las masas
Suspendamos de un soporte (por ejemplo: del dintel de una puerta) tres hilos de coser de
igual longitud y en sus extremos atemos sendos objetos de masas y sustancias diferentes .
Por ejemplo: una piedra, un trozo de hierro y un corcho. Saquémolos del reposo
simultáneamente. Verificaremos que todos tardan el mismo tiempo en cumplir las
oscilaciones, es decir, que todos “van y vienen” simultáneamente. Esto nos permite
enunciar la ley de las masas:
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LEY DE MASAS: Las tres mas de la figura son distintas entre si, pero el periodo (T) de
oscilación es el mismo. (T1=T2=T3)
Los tiempos de oscilación de varios péndulos de igual longitud son independientes de sus
masas y de su naturaleza, o también El tiempo de oscilación de un péndulo es
independiente de su masa y de su naturaleza.
Ley del Isócrono: Dispongamos dos de los péndulos empleados en el experimento
anterior. Separémolos de sus posiciones de equilibrio, de tal modo que los ángulos de
amplitud sean distintos (pero no mayores de 6 o 7 grados).
Dejémolos libres: comienzan a oscilar, y notaremos que, también en este caso, los
péndulos “van y vienen” al mismo tiempo. De esto surge la llamada Ley del isocronismo
(iguales tiempos):
Para pequeños ángulos de amplitud, los tiempos de oscilación de dos péndulos de
igual longitud son independientes de las amplitudes, o también: El tiempo de oscilación de
un péndulo es independiente de la amplitud (o sea, las oscilaciones de pequeña amplitud
son isócronas).
La comprobación de esta ley exige que los pendulos tengan la misma longitud para determinar que en efecto los
péndulos son isocronos*, bastarà verificar que pasan simultáneamente por la posiciòn de equilibrio. Se llegara notar que
las amplitudes de algunos de ellos disminuyen mas que las de otros, pero observaremos que aquella situaciòn —el
isocronismo— subsiste.
Si disponemos de un buen cronometro, podemos aun mejorar los resultados de esta experimentaciòn. Procedemos a
tomar los tiempos empleados por cada uno, para 10 o 100 oscilaciones. Dividiendo esos tiempos por el número de
oscilaciones obtendremos el de una sola (en casos de mucha precisiòn se llegan a establecer tiempos para 1.000, lo que
reduce el error por cada oscilaciòn De este modo puede verificarse que en rea1id~ se cumple la ley. (*) lsòcronos
tiempos iguales.
Ley de las longitudes:
Suspendamos ahora tres péndulos cuyas longitudes sean:
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Péndulo A = (10cm) 1 dm.
Péndulo B = (40 cm) 4 dm.
Péndulo C = (90 cm) = 9 dm.
Procedamos a sacarlos del reposo en el siguiente orden:
1) El de 1 dm. y el de 4dm.
2) El de 1 dm. y el de 9dm.
Observaremos entonces que:
a) El de menor longitud va más ligero que el otro, o sea: “a menor longitud menor tiempo
de oscilación y a mayor longitud mayor tiempo de oscilación”.
b) Mientras el de 4 dm. cumple una oscilación, el de 1 dm. cumple dos oscilaciones.
c) Mientras el de 9 dm. cumple una oscilación, el de 1 dm. cumple tres oscilaciones.
Esta circunstancia ha permitido establecer la siguiente ley de las longitudes:
Los tiempos de oscilación (T) de dos péndulos de distinta longitud (en el mismo lugar de la
Tierra), son directamente proporcionales a las raíces cuadradas de sus longitudes.
En símbolos
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T1 y T2: tiempos de oscilación;
l1 y l2 : longitudes.
Para nuestro caso es:
T1= 1 oscilación y l1= 1dm
T2 = 2 oscilaciones y l2 =4 dm.
luego:
Osea: 1/2=1/2
Ahora para:
T1=1 oscilación y l1=1
T3=3 oscilaciones y l3=9 luego:
Osea: 1/3=1/3
Ley de las aceleraciones de las gravedades: Al estudiar el fenómeno de la oscilación
dejamos aclarado que la acción gravitatoria tiende a hacer parar el péndulo, pues esa es la
posición más cercana a la Tierra. Significa esto, en principio, que la aceleración de la
gravedad ejerce una acción primordial que evidentemente debe modificar el tiempo de
oscilación del péndulo.
Si tenemos presente que la aceleración de la gravedad varía con la latitud del lugar,
resultará que los tiempos de oscilación han de sufrir variaciones según el lugar de la
Tierra.
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En efecto, al experimentar con un mismo péndulo en distintos lugares de la Tierra
(gravedad distinta) se pudo comprobar que la acción de la aceleración de la gravedad
modifica el tiempo de oscilación del péndulo.
Por ejemplo: si en Buenos Aires el tiempo de oscilación es T1, y la gravedad g1, en Río de
Janeiro el tiempo de oscilación es T2 y la gravedad g2, se verifica la siguiente
proporcionalidad:
Repitiendo los experimentos para lugares de distinta latitud (por tanto, distinta gravedad)
se puede verificar proporcionalidad semejante. De lo cual surge el siguiente enunciado de
la Ley de las aceleraciones de la gravedad:
Los tiempos de oscilación de un mismo péndulo en distintos lugares de la Tierra son
inversamente proporcionales a las raíces cuadradas de las aceleraciones de la gravedad.
Fórmula del tiempo de oscilación del péndulo:
Para poder obtener el tiempo de oscilación de un péndulo se aplica la siguiente expresión:
t: tiempo de oscilación;
l: longitud de péndulo;
g: aceleración de la gravedad.
que equivale al período o tiempo de oscilación completa.
Si fuera el correspondiente para una oscilación simple, aplicamos:
Esta fórmula condensa en sí las cuatro leyes del péndulo. En efecto, observamos: T.P.N°9 “Volante de Inercia” 25 / 12
1) En esa expresión no figura la masa m del péndulo, por lo que “el tiempo de oscilación es
independiente de la masa”.
2) Como tampoco figura el ángulo de amplitud, “el tiempo de oscilación es independiente
de la amplitud”.
3) La 3ra. y 4ta. leyes están incluidas en el factor:
,es decir: "los tiempos de oscilación son directamente proporcionales a las raíces
cuadradas de las longitudes e inversamente proporcionales a la de las aceleraciones de las
gravedades”.
Péndulo que bate el segundo:
De la expresión:
(tiempo de oscilación simple) resulta que el tiempo de oscilación depende de la longitud y
de la aceleración de la gravedad.
Si en determinado lugar (g: conocida) deseamos construir un péndulo cuyo tiempo de
oscilación sea un segundo, tendremos que modificar su longitud.
Ello se logra aplicando la expresión:
luego:
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y
De este modo para t=1 seg. se logra un péndulo que “bate el segundo”. Por ello decimos:
Péndulo que bate el segundo es aquel que cumple una oscilación simple en un segundo.
Para el lugar cuya aceleración de la gravedad es normal (g=9,806) la longitud del péndulo
que bate el segundo es 0,9936 m, mientras que para el que cumple una oscilación doble
en un segundo será l= 24,84 cm.
Caracterìsticas del movimiento del péndulo - Fuerzas que actúan:
Supongamos el péndulo en la posición de equilibrio AM (Fig. izquierda). El peso P es
anulado por la reacción del hilo y no hay oscilación. Consideremos la posición OA,
procedamos a descomponer la fuerza peso P, según las direcciones m y n. Obtendremos
las fuerzas F1 y F’. La fuerza F’ queda anulada por la reacción del hilo. (Fig. abajo)
En consecuencia, en el punto A actúa solamente la fuerza F1, tangente al arco AMB y que
provoca el movimiento del péndulo hacia M.
Si en el punto A’ efectuamos el mismo proceso de descomposición de la fuerza (P) peso,
observaremos que F2 es menor que F1 obtenida anteriormente.
Resulta entonces que, a medida que a medida que, el péndulo se acerca a su posición de
equilibrio OM la fuerza que provoca el movimiento disminuye hasta hacerse cero en el
punto M (peso y reacción se anulan).
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A pesar de ello, el péndulo continúa oscilando. Ello se debe a la inercia que posee. Si
durante este movimiento actúa una fuerza F1, F2, etc., el movimiento es acelerado (no
uniformemente acelerado).
Cuando el péndulo pasa al punto M, el peso del cuerpo actúa como fuerza negativa, es
decir, el movimiento es retardado. Así llegará a un punto B en que su velocidad se anula, y
no sube más (caso análogo al del cuerpo lanzado
hacia arriba al alcanzar su altura máxima). En ese momento el proceso se invierte,
repitiéndose en sentido contrario, es decir, de B hacia M, continuando hasta A.
En síntesis:
1) En A, la fuerza F1 hace desplazar al péndulo hasta M (movimiento acelerado).
2) En M péndulo debiera quedar en reposo, pero por inercia continúa con movimiento
retardado pues va en contra de la fuerza gravitatoria.
3) En B, la velocidad del péndulo se ha anulado (y = 0). En ese instante se invierte el
movimiento y se desplaza hacia M. El péndulo continúa oscilando y cumpliendo el mismo
proceso.
En consecuencia:
a) La fuerza que hace mover al péndulo no es constante.
b) La dirección y sentido de esas fuerzas son tales, que tienden a que el pendulo adquiera
la posición de equilibrio
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c) Como la fuerza F1 no es constan te, la aceleración tangencial no es constante. Su
dirección y sentido cambian instante por instante.
d) La velocidad tangencial se anula en los puntos extremos y no es constante. Es máxima
al pasar por la posición de reposo.
Por lo tanto: El movimiento del péndulo es variado.
Resulta alternativamente acelerado y retardado una vez cumplida cada oscilación simple y
como la aceleración no es constante no es uniformemente variado.
Càlculo de la fuerza F:
Se puede demostrar matemáticamente que la fuerza F se puede calcular mediante la
expresión:
donde:
P: peso del péndulo;
l: longitud del péndulo;
e: máxmia elongación.
El péndulo y sus aplicaciones:
Las aplicaciones del péndulo son variadas. Las más importantes son:
a) Determinación de la aceleración de la gravedad.
Sabemos que:
Elevando al cuadrado miembro a miembro es:
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y despejando g, es:
en esta igualdad es: numero pi (constante=3.1415), y l: medible fácilmente, T: se
determina con un buen cronómetro.
Por lo que esta ultima expresión nos permite calcular con relativa facilidad la aceleración
de la gravedad en un lugar determinado.
Esto constituye la aplicación científica de mayor importancia del péndulo. Para estas
determinaciones se emplean péndulos reversibles, es decir, péndulos que pueden oscilar
primero alrededor de un eje y después alrededor de otro. Colocado de tal modo que en
cada una de esas posiciones el péndulo posea la misma longitud, y por lo tanto las
oscilaciones son isócronas (igual tiempo de oscilación).
Así se logran valores de gran precisión. Se debe tener en cuenta en estas determinaciones
la temperatura, amplitud de las oscilaciones y las influencias del rozamiento del aire y del
soporte del péndulo.
El método de medición de g, con el péndulo, lo imaginó y expresó Huygens, y fue aplicado
por el físico matemático Borda.
b) Determinación del movimiento de rotación de la Tierra.
Si disponemos de un péndulo suspendido de un alambre como indica la figura, y
procedemos a sacarlo de su posición de equilibrio, observaremos que el plano de
oscilación del péndulo no varía al girar el alambre sostén.
Por tanto: El plano de oscilación de un péndulo se mantiene invariable al modificarse la
posición del “plano sostén”. (figura abajo)
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Foucault, haciendo uso de esa propiedad, pudo demostrar la existencia del movimiento de
rotación de la Tierra. Empleó un péndulo que constaba de una esfera de cobre de 25
kilogramos provista de un fiel y suspendida de la cúpula del Panteón (París) por medio de
un alambre de acero de 79 m de largo.
En el suelo dispuso una capa de arena húmeda en la cual el fiel de la esfera pendular
marcaba los trazos de sus oscilaciones.
Así se pudo ver que, a medida que transcurría el tiempo, esas marcas se iban modificando.
Como el plano de oscilación es constante, significaba ello que lo variable era el plano del
soporte, es decir, el Panteón o, lo que es igual, la Tierra. En realidad, este experimento
puede realizarse en una sala ordinaria con péndulo más corto.
J. BI. Foucault: Físico francès, nacido y muerto en París (1819-68). Entre sus trabajos
recordamos la invención del giroscopio, con el que puede determinarse la dirección del
meridiano del lugar sin necesidad de la observación astronc5mica, el método para calcular
la velocidad de la luz en el aire y en el agua, así como la demostración del movimiento de
rotaciòn de la Tierra valiendose del pendulo.
c) Medición del tiempo: Huygens fue quien ideó un mecanismo
para poder medir el tiempo. Sabemos que, para determinada
longitud, el péndulo cumple una oscilación simple en un segundo. Por
tanto, dando a un péndulo esa longitud, nos indicará, para cada
oscilación, un tiempo igual a un segundo.
En otras palabras, si construimos un péndulo que efectúe en un día
solar medio 86.400 oscilaciones, cada una de éstas nos indica un
segundo. Un péndulo que reúna estas condiciones, aplicado a un
mecanismo motor (cuerda o pesas, que harán mover el péndulo) y a
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un sistema destinado a contar las oscilaciones, o sea, los segundos, constituye un reloj de
péndulo.(figura izquierda)
En los relojes portátiles (de bolsillo, despertadores, etc.) el péndulo está reemplazado por
el volante (rueda) que produce el movimiento oscilatorio del péndulo.
Cristian Huygens: Matemático y astrónomo holandéss (1629-1695). Fue un verdadero
genio de su siglo. Inventa el reloj de pèndulo, y luego, el resorte espiral, para los de
bolsillo. Enunciò la teoría ondulatoria de la luz, esbozó’ lo que hoy llamamos teorema de
las fuerzas vivas; haciendo girar una esfera de arcilla, dedujo que la Tierra no podía ser
esferica.
PENDULO DE TORSION Y DE TRACCION:
Péndulo de torsión
Llamamos péndulo de torsión al dispositivo formado por un
alambro MN, sujeto por uno de sus extremos —M— a un
punto fijo y el otro extremo N unido a una barra AB que a su
vez termina en dos esferas.
Torsión: Fenómeno que se produce al aplicar al extremo de
un cuerpo una cupla, mientras el otro extremo está fijo.
También puede producirse torsión al aplicar simultáneamente
un par de cuplas en cada uno de sus extremos. El péndulo de
torsión permite calcular el momento de una fuerza F
perpendicular al eje de torsión (alambre MN).
Factores que determinan su perìodo o frecuencia:
Apliquemos a los extremos de la barra AB la cupla F1=F2. La barra AB pasaría a la posición
A’B’ girando un ángulo a y el alambre sufre una determinada torsión. Liberada la barra AB
de esa cupla, el alambre tiende a volver a su posición primitiva debido a la existencia de
fuerzas elásticas recuperadoras. En estas condiciones la barra AB comienza a oscilar como
un verdadero péndulo físico.
Si deseamos detener al péndulo en el momento que forma el ángulo a será necesario
aplicar una fuerza que anule la torsión del alambre. Esta fuerza será mayor o menor según
sea el punto de aplicación respecto del centro de giro (respecto del alambre).
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Puede verificarse que la intensidad de esta fuerza es la misma que hubiéramos necesitado
para que desde la posición de reposo la barra AB formara el ángulo de torsión alfa.
De lo expuesto surge que todo depende del momento de la fuerza aplicada (fuerza por
distancia).
Se puede comprobar que entre el momento de la fuerza aplicada y el ángulo de torsión a
determinado, se cumple la siguiente relación:
En el péndulo de torsión, se cumple:
El tiempo de oscilación es independiente del ángulo de amplitud.
El tiempo de oscilación se calcula mediante la expresión:(*)
(*):Para el péndulo físico es:
(Para ángulos pequeños: P.d=K)
Similar a la del péndulo físico en la cual es
I: momento de inercia respecto al eje (hilo);
K:constante que resulta del cociente entre M y alfa.
Péndulo de tracción:
Elasticidad por tracción: Es el fenómeno producido por fuerzas que provocan el aumento
de longitud de un cuerpo.
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Sea el alambre a sujeto por un extremo M, y en el otro extremo, un platillo. Si sobre éste
colocamos una pesa P, cualquiera, se provocará una fuerza que permitirá verificar un
estiramiento o aumento de longitud del alambre. El dispositivo descripto constituye un
péndulo de tracción.
Repitamos el experimento variando los pesos y observaremos que a mayor fuerza (peso)
se verifica mayor estiramiento. Como es natural pensar, hay ciertos valores para la carga o
fuerza F aplicada, en que los estiramientos dejan de ser proporcionales a esas fuerzas.
Existe entonces una tensión (fuerza aplicada) máxima para la cual se produce el
estiramiento que permite recobrar al cuerpo su longitud inicial una vez desaparecida esa
tensión. Las fuerzas elásticas recuperadoras tienden a llevar al cuerpo —alambre— a su
posición o longitud primitiva.
Se produce así un movimiento oscilatorio que tiene un determinado período, que puede
calcularse mediante la expresión:
Formula similar a la estudiada inicialmente para un péndulo de longitud l.
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