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SUCESIONES INFINITAS
INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE TACAMBARO
CALCULO DIFERNCIAL
MI. MARIOL ALBERTO SANCHEZ CAMARENA
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¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN?
UNA SUCESIÓN ES UN CONJUNTO DE COSAS (NORMALMENTE NÚMEROS)
UNA DETRÁS DE OTRA, EN UN CIERTO ORDEN.
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FINITA O INFINITA
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita
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EJEMPLOS {1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)
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En orden Cuando decimos que los términos están "en
orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!
Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}
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La regla
Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:
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¡Pero la regla debería ser una fórmula!
Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:
10º término, 100º término, o n-ésimo término (donde n puede ser cualquier
número positivo que queramos).
Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).
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n Termino Prueba
1 3 2n= 2x1= 2
2 5 2n=2x2=4
3 7 2n=2x3=6
PROBAMOS REGLA 2N
la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:
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Probamos la regla: 2n+1
N Termino Prueba
1 3 2n+1=2x1+1=3
2 5 2n+1=2x2+1=5
3 7 2n+1=2x3+1=7
La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1
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Para designar los términos de una sucesión cualquiera utilizaremos la misma letra con subíndices a1, a2, a3, a4,...,an, indicando que a1 es el primer término, a2 es el segundo, ... y an es el término de orden n -n es cualquier número natural- o término general de la sucesión. Por ejemplo, en la sucesión 2,4,6,8,... pondremos a1=2, a2=4, a3=6, a4=8, ... , an=2n.
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A veces el término general de una sucesión se puede expresar en función de los términos inmediatamente anteriores. Por ejemplo, en la sucesión E de Fibonacci, se verifica an = an-2+an-1. Estas sucesiones se llaman recurrentes. Otras veces no es posible encontrar un expresión para el término general y debemos conformarnos con la descripción de la sucesión; por ejemplo, las sucesiones B y G.
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Tipos de sucesiones Sucesiones aritméticas
El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.
○ Ejemplos
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n-2
3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.
La regla es xn = 5n-2
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Ejercicios:
1. Busca el término general de las sucesiones:
an: 5, 8, 11, 14,... bn: 580, 540, 500, 460, 420, ... cn: 4, 2, 1, 0'5, 0'25, ... dn: 1, 4, 9, 16, 25, ... en: 1, 10, 100, 1000, ...