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Departamento Matemáticas Colegio Ágora

1TEMAS 7-9. Análisis Nombre ________________________ CURSO: 1°BACH CCNN

Gráficas de funciones elementales

1. Hacer la gráfica de las siguientes parábolas, hallando previamente los puntos de corte con los ejes de coordenadas, el eje de simetría y las coordenadas del vértice:

(1 ) f ( x )=x2+4 x (2 ) g ( x )=−x2+4 x+5 (3 ) h ( x )=x2+2x+2

___________________________________________________________________________________

2. Representar gráficamente las siguientes funciones a trozos o a intervalos:

f ( x )={ 2x+4 si x←15−3 x

4si−1<x≤ 3

1 si x>3

g ( x )={x2−2 x−8 si x ≤0

2 x−8 si 0<x<5−2 x+12 si x>5

___________________________________________________________________________________

3. Hacer la gráfica de las siguientes funciones valor absoluto:

(1 ) f ( x )=|3 x−6|(2 ) g ( x )=|x2−6 x+8| ___________________________________________________________________________________

4. Representar gráficamente las siguientes hipérbolas (funciones de proporcionalidad inversa), hallando previamente el dominio, las asíntotas y el centro, y dando todos aquellos valores que se consideren necesarios:

(1 ) f ( x )= 1x−2

+3 (2 ) g ( x )= 2x+2

−1 (3 ) h (x )= −1x+3

+2

___________________________________________________________________________________

5- Representar gráficamente en unos mismos ejes de coordenadas las funciones f ( x )=x2−x−2 y g ( x )=−x+2 , y calcular las coordenadas de los puntos en los que ambas funciones se cortan.

___________________________________________________________________________________

6- Representa gráficamente en unos mismos ejes de coordenadas las siguientes funciones logarítmicas:

(1 ) f ( x )=Lx (2 ) g ( x )=L ( x+2 ) (3 ) h (x )=L(x−3)



Características de una función a partir de su gráfica

1. Identifica cada una de las siguientes funciones y define su dominio, recorrido, simetría, la monotonía, la curvatura y los extremos relativos y los puntos de inflexión, si los tuviera:

f 1 ( x )=|x2+2 x−3|f 2 ( x )=x3−6 x2+9 x−4 f 3 ( x )=−x 4+2 x2

f 4 ( x )= x2+1x

f 5 (x )= xx2−1

f 6 ( x )= x2+1x2−1

___________________________________________________________________________________

2. Determina el periodo de las siguientes funciones

a) b) c)

d) e) f)



Dominios y recorridos

1. A la vista de las gráficas de las siguientes funciones, definir su dominio y su recorrido.

___________________________________________________________________________________

2. Calcular el domino de las siguientes funciones:

(1 ) f ( x )=12 x+5x2−4

(2 ) f ( x )= 3 x2−7( x−1 ) ( x+3 )(x+6)

(3 ) f ( x )= 9 x−3x2−7 x−8

(4 ) f ( x )=√ x+5x−2

(5 ) f ( x )=√ x2+3 x−10 (6 ) f (x )=√ x2−9x2−25

(7 ) f ( x )= x2+1√2x−6

(8 ) f (x )=e√x−5 (9 ) f (x )=ex+2

x2−16

(10 ) f ( x )=L (3 x−18 ) (11) f ( x )=L ( x2+6 x−16 ) (12 ) f ( x )= Lxx+8

Operaciones con funciones



1. Estudiar la simetría de las gráficas de las siguientes funciones:

(1 ) f ( x )=x3−x2+ x (2 ) f ( x )=−x4+2 x2 (3 ) f (x )= x3−x (4 ) f ( x )= 4 xx2−4

(5 ) f ( x )= xx2−5 x+4

(6 ) f ( x )= x2−1x

(7 ) f ( x )=sen x (8 ) f (x )=L(x2−4)

___________________________________________________________________________________

2. Hallar las funciones las funciones ( f +g ) (x ) , (f −g ) (x ) y ( f ∙ g)(x) y sus dominios, siendo:

f ( x )=1−xx

y g ( x )= x+1x−2

___________________________________________________________________________________

3. Dadas las funciones f ( x )=x3−2 x y g ( x )=√3 x−15 , calcula la función ( fg )(x ) .

___________________________________________________________________________________

4. Dadas las funciones f ( x )=x2+1 y g ( x )=x3. Hallar ¿ y sus dominios.

___________________________________________________________________________________

5. Hallar las funciones ( f ∘ g ) (x ) y (g∘ f )( x) , así como sus correspondientes dominios, siendo:

f ( x )= 2x−3

y g ( x )= 1x+5

___________________________________________________________________________________

6. Dadas las funciones f ( x )=2 x+1 y g ( x )=x3, escribir la expresión de:

(1 ) f ( f ( x )) (2 ) f (g ( x )) (3 ) f ( g ( x ) ) (4 ) f ( f ( f ( x ) ) )

___________________________________________________________________________________

7. Representa las siguientes funciones y sus inversas, calculando su expresión analítica previamente:

(1 ) f ( x )=x2 (2 ) f ( x )=x3 (3 ) f ( x )=−1x

(4 ) f ( x )= x7−x

(5 ) f ( x )= 3√2 x−3

Idea de Límite



1. A la vista de la gráfica de la función f ( x ) , que es la que aparece a continuación, contesta a las

siguientes cuestiones:

(1) Calcula el valor de: f (a1 ) , f (a2 ), f (a3 ) , f ( a4 ) y f (a5 ) (2) Halla el valor de los siguientes límites laterales:

Lim f ( x ) x→−∞

Lim f ( x ) x→a

1−

Lim f ( x ) x→a

1+

Lim f ( x ) x→a

2−

Lim f ( x ) x→a

2+

Lim f ( x ) x→a

3−

Lim f ( x ) x→a

3+

Lim f ( x ) x→a

4−

Lim f ( x ) x→a

4+

Lim f ( x ) x→a

5−

Lim f ( x ) x→a

5+

Lim f ( x ) x→+∞

(3) Con los resultados obtenidos en el anterior apartado, calcula el valor de los siguientes límites en caso de que existan:

Lim f ( x ) x→a1

Lim f ( x ) x→a2

Lim f ( x ) x→a3

Lim f ( x ) x→a4

Lim f ( x ) x→a5

___________________________________________________________________________________

2.- Dada la función: f ( x )=¿ {−2x−1 si x <−2¿ { x+5 si −2≤x<1 ¿¿¿¿

, representar gráficamente la función y definir, si es posible, los siguientes límites:

Lim f ( x )x→−2+

Lim f ( x )x→−2−

Lim f ( x )x→−2

Lim f (x )x→1+

Lim f (x )x→1−

Lim f (x )x→1



Cálculo de límites (1)

1. Calcula los siguientes límites de funciones elementales. Utiliza la gráfica de la función o una tabla numérica cuando sea necesario:

limx→∞

1x2 = lim

x→0+

1x3 = lim

x→0−x−2= lim

x→0+x−6= lim

x→0+√ x=

limx→0−

√ x= limx→∞

√x= limx→−∞

√x= limx→∞

3√x= limx→−∞

3√x=

limx→∞

ex= limx→−∞

ex= limx→∞

2x= limx→−∞

2x=limx→∞( 2

3 )x

=

limx→−∞( 2

3 )x

=limx→∞

log( x )= limx→−∞

log( x )= limx→0+

log ( x )= limx→0−

log( x )=

limx→∞

sen (x )= limx→−∞

cos( x )= limx→∞

tg( x )= limx→π ¿ 2−

tg( x )=

2. Calcula los siguientes límites de funciones polinómicas:

a. limx →1

(3 x2−5 x+7) b. limx→ ∞

(−25 x2+47 x+5) c. limx→−∞

(x3+x2+6)

3. Calcular los límites de las siguientes funciones racionales , eliminando cuando las haya las diferentes indeterminaciones:

(1)

Lim x2+5x−123x−5

x→2 (2)

Lim 3x2+5x7x−3

x→∞ (3)

Lim 12x3−9x4x3+8

x→∞

(4)

Lim 5x−810x3+8

x→∞ (5)

Lim ( x+3)2+( x−5 )2

2 (x−1)( x+3)x→∞ (6)

Lim ( x+5 )( x−5 )+3x4

( x+2)2

x→∞

(7)

Lim 4xx2−4

x→2 (8)

Lim ( x+1)2−1x

x→0 (9)

Lim x2+3x−102x2−2x−4

x→2

(10)

Lim x3−1x−1

x→1 (11)

Lim x2−5x+6x2−7x+10

x→2 (12)

Lim x3−6x2+ x+14x3+x2−12

x→2



Cálculo de límites (2)

1. Calcular los límites de las siguientes funciones con radicales, eliminando las indeterminaciones por los procedimientos que se consideren oportunos:

(1) Lim √ x+1−2

x−3 (2) Lim 1−√1− x2

x (3) Lim √3x+1−2

√x−1 x→3 x→0 x→1

(4) Lim 1−√x−2

x2−9 (5) Lim (√ x2−2−x) (6) Lim (√x+3−√x+2 )

x→3 x→∞ x→∞

(7) Lim (√x2+x−x ) (8) Lim (√x2+1−√x2−1) (9) Lim √4x2−3+6x

2x−5 x→∞ x→∞ x→∞

(10) Lim 10x+1

√25x2+7 (11) Lim √9x2+1+4

6+√ x2−3 (12) Lim 5x+√x2+3

8x+√16x2−1 x→∞ x→∞ x→∞

2. Calcular los siguientes límites, eliminando las indeterminaciones en el caso de que las haya:

(1)

Lim (4x+12x−1 )

x+2

x→∞ (2)

Lim (3x+2x−1 )

1x

x→∞ (3)

Lim (x2+32x−1 )4x

x→∞

(4)

Lim (x+54x−1 )

3x

x→∞ (5)

Lim (5x+3x2−2 )

6x+2

x→∞ (6)

Lim (x−72x2+1 )

4x−12x

x→∞

(7)

Lim (1+5x+3 )

4x

x→∞ (8)

Lim (1+65x−1 )

2xx+1

x→∞ (9)

Lim (1+37x+4 )

2x3

x+1

x→∞

(10)

Lim (x−2x+1 )

2x

x→∞ (11)

Lim (x2+1x2−2 )

5x+1

x→∞ (12)

Lim (5x2+75x2+3 )

2x3−3

x→∞



Continuidad

1. Dada

f ( x )=¿{ xx−2

x<1 ¿ { 2x−1 1≤x<4 ¿ ¿¿¿ hallar estos límites y decidir la continuidad de f en esos puntos:

(1) Lim f ( x )x→0 (2)

Lim f ( x )x→1−

(3) Lim f ( x )x→1+

(4) Lim f ( x )x→1

(5) Lim f ( x )x→3 (6)

Lim f ( x )x→4−

(7)

Lim f ( x )x→4+

(8) Lim f ( x )x→4

______________________________________________________________________________________

2. Dada la función f ( x )=¿ { 2x+2 si x≤0 ¿ ¿¿¿

, estudiar la continuidad en el punto de abscisas x=0 y representarla posteriormente para comprobar si el resultado obtenido es correcto.

______________________________________________________________________________________

3. Sea la función f ( x )=¿ { √5x+1 si x<3 ¿ ¿¿¿

. Estudiar si es continua en el punto de abscisas x=3 y en el caso de que sea discontinua, clasificar la discontinuidad.

______________________________________________________________________________________

4. La función f ( x )= x2−9

x3−27 no está definida para x=3 , por lo tanto no es continua en dicho punto.

¿Qué valor se debería dar a f (3) , para que la función así definida si fuese continua en dicho punto?______________________________________________________________________________________

5. Estudiar si la función f ( x )= x2−9

x2−1 es continua en los puntos de abscisas x=1 y x=−1 . En aquellos que sea discontinua, analizar si la discontinuidad es evitable o inevitable.

______________________________________________________________________________________

6. Sea f ( x )={ x+1 si x ≤ 1¿3−ax2 si x>1

¿Qué valor debe tener a para que la función sea continúa en R?



Asíntotas

1. Calcula todas las asíntotas de las siguientes funciones. Representa las asíntotas e intenta esbozar la gráfica de las funciones.

a) f ( x )= x+1

x−2 b) f ( x )= x2+1

x2−1 c) f ( x )= x2−x+2

x

d) f ( x )= x3

x2−1 e) f ( x )=√ x2−9 f) f ( x )= ln ( x2−4 )

g) f ( x )= x

ln( x ) h) f ( x )=e− x2i) f ( x )=cosec ( x )

2. Comprobar, haciendo los cálculos adecuados, que las ecuaciones de las asíntotas que aparecen en las diferentes figuras, corresponden con las funciones cuyas gráficas están dibujadas:



Idea de Derivada. Tasa de variación media e instantánea

1.- La variación de la altura de un niño con el paso de los años, se recoge en la siguiente tabla:

Edad (años) 0 3 6 9 12 15 18 21 ___________________________________________________________

Altura (cm.) 35 53 118 126 135 174 178 180

a) Representar en una gráfica la altura en función de la edad. b) Calcular la variación de la altura para cada intervalo que plantea el problema. (Tasa de variación media). c) ¿En qué intervalo de tiempo se produce un crecimiento más acusado? d) ¿En qué momento es menor la velocidad de crecimiento?

___________________________________________________________________________________

2.- Calcular, aplicando la interpretación geométrica de derivada, la Tasa de variación instantánea de la siguiente función, en los puntos señalados:

___________________________________________________________________________________

3.- Calcular, aplicando la definición de derivada, la Tasa de variación instantánea de las siguientes funciones, en los puntos que se indican:

a) f ( x )=8x−10 en el punto xo=2 b) f ( x )=5x2+2x en el punto xo=0

c) f ( x )=x2+3x−5 en el punto xo=3 Comprueba después tus resultados utilizando la función derivada (calcúlala utilizando las reglas de derivación y después evalúala en el punto del que desees calcular la derivada).



Cálculo de derivadas (1)

1. Calcular la función derivada de las siguientes funciones:

(1) f ( x )=6x3+5x2+23 (2) f ( x )=7x4−5x3+8x2−12

(3) f ( x )= 3

5x5+ 7

3x3−13

4x2+3

(4) f ( x )=5x−3+6x−2−17

(5) f ( x )= 3

x3+3x3

(6) f ( x )= 7

x5− 3

x4+ 5

x2−12x+8

(7) f ( x )=( x2+3 x+2 )3 (8) f ( x )=√5 x

(9) f ( x )= 1

( x2−3 x )2 (10) f ( x )=3√3 x+2 ___________________________________________________________________________________

2. Calcular la función derivada de las siguientes funciones elementales:

(1) f ( x )= ln ( x ) (2) f ( x )=5 ln ( x )

(3) f ( x )= 3

5ln ( x )

(4) f ( x )=−7

4ln( x )

(5) f ( x )= log2 x (6) f ( x )= log5 x3

(7) f ( x )=8x (8)

f ( x )=(32 )

x

(9) f ( x )=3 · 2x (10) f ( x )=5 · π x

(11) f ( x )=e x (12) f ( x )=3 e x

(13) f ( x )=√5

2ex

(14) f ( x )=sen( x )

(15) f ( x )=−5 sen( x ) (16) f ( x )=

2 sen( x )7

(17) f ( x )=−cos ( x ) (18) f ( x )=7

6cos( x )



(21) f ( x )=

tg ( x )3 (22) f ( x )=−3 ·arccos( x )




1. Calcular la función derivada de las siguientes funciones utilizando las reglas básicas de derivación:

a) f ( x )=x ( x2+5x−8 )

b) f ( x )=(2x2+2)(3x2−5x+1)

c) f ( x )=(8x2−5x )√6x+3

d) f ( x )=x2 Lx

e)f ( x )= x+1

x−1

f)f ( x )= 8

x+2

g)f ( x )= x2−1

x2+1

h)f ( x )= x

3√x

i)f ( x )=

(5x+2 )2

(2x−3 )3

j)f ( x )=

( x−3 ) ( x+5 )2x2−1

k)f ( x )=√5x+8

x2−3

l)f ( x )=√3x5−2x

( x+1 )2

___________________________________________________________________________________

2. Calcular la función derivada de las siguientes funciones compuestas:

_____________________________3. Calcular la función derivada segunda y tercera en cada caso:



(1) f ( x )=e2 x (2)

g( x )= 3x-1 (3) h( x )=ln x


Deriva las siguientes funciones, recordando las reglas básicas de derivación:



Continuidad y derivabilidad

1. Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones:

a)

x2−1 si x≤02x−3 si x>0 }

b)

x+1 si x≤22 x−1 si x>2 }

c)

3 x−1 si x≤2x2+2 si x>2 }

d)

2− x2 si x≤22 x−6 si x>2 }

e)

x2−4x−2

si x≠2

5 si x=2}

___________________________________________________________________________________

2. Dada la función f(x)={ x2−1 si x≤3x2+x−4 si x>3

a) Estudia la continuidad de la función en x=3b) Estudia la derivabilidad de la función en x=3

___________________________________________________________________________________

3. Dada la función f(x)={−x2+2 x−2 si x≤1( x−2)ex−1 si x>1

a) Estudia la continuidad de la función en x=1b) Estudia la derivabilidad de la función en x=1

___________________________________________________________________________________

4. Sea la función f ( x )=¿ {3−ax2 si x≤−1 ¿¿¿¿

a) ¿Para que valores de “a” la función es continua en x=−1 . b) Estudiar, si para los valores en los que la función es continua, es también derivable.



Recta tangente

1. Dada la función f ( x )=−x2+3x−2 , determina la ecuación de la recta tangente y normal en x=3 .

___________________________________________________________________________________

2. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y= x+1

x−1 en el punto de abcisas x=2. ¿se puede hallar la recta tangente en x = 1? Razónalo

___________________________________________________________________________________

3. Calcular los puntos de la curva f ( x )=1

3x3+9x2−9x+15

en los que la recta tangente a la

función es paralela a la recta de ecuación y=12x+5 . ___________________________________________________________________________________

4. Halla en qué punto, la recta tangente a la curva f ( x )=√ x−x es paralela a la recta x+2y−3=0 . ¿Es f derivable en todo su dominio?

___________________________________________________________________________________

5. En la gráfica de la función f ( x )=x3−12x+8 hay dos puntos cuya recta tangente es paralela al eje X. Calcular dichos puntos y las respectivas ecuaciones de las rectas tangentes.

___________________________________________________________________________________

6. ¿En qué punto de la gráfica de la función f ( x )=x2−7x+8 , la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante? Calcula la ecuación de la recta tangente.

___________________________________________________________________________________

7. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes y normales a la curva f ( x )=x3+x2−3x+2 en los

puntos de intersección con la recta de ecuación y=−2x+3 . ___________________________________________________________________________________

8. Calcular “a” para que la derivada de la función f ( x )= x3+a

3x sea igual a 2, en x0=4 . ¿Es f derivable en todo su dominio?

___________________________________________________________________________________

9. Calcular el valor de “a” , para que la pendiente de la recta tangente a la función f ( x )=ax+1

2x+a sea

igual a (−1) en el punto de abscisa x0=1 . ¿Es f derivable en todo su dominio? ___________________________________________________________________________________



10. Calcular el valor de “m” para que la tangente a la curva f ( x )=√25− x2 en el punto de abscisa

x0=4 , sea perpendicular a la recta y=mx . ¿Es f derivable en todo su dominio?

Monotonía y curvatura. Representación de funciones

1. Estudiar las asíntotas (si las hay), la monotonía (intervalos de crecimiento, decrecimiento y extremos relativos) y la curvatura (intervalos de concavidad, convexidad y puntos de inflexión) de las siguientes funciones y esbozar su gráfica:

a) y=x3−3 x2+6

b) y=x 4−6 x2

c) y=x2−6

d) y=x3+2 x2−5

e)y= x2

x2−4

f)y= 1

x2−9

g)y= x2−x−2

x2−6 x+9

h) y=x3−3 x2+6 x−6

i)y= x3

( x−1)2

j)y= x−1

x+1

k)y= x2−1

x−1

l)y= 1

( x−2)2

m)y=2x+ 1

2 x

n)y= x

x2+1

o) y=e1−x2

p) y=x3( x+2 )

___________________________________________________________________________________

2. De las siguientes funciones se pide:a) Calcular el dominio y estudiar la simetría.b) Calcular asíntotas, si las hubiera.c) Calcula sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos.d) Calcular los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión.e) Con la información obtenida en los anteriores apartados, haz un esbozo de la gráfica de la

función.

a)f ( x )=x3−3

2x2−6x−3

b) f ( x )=x3−6x2+9x

c) f ( x )=x4−6x2+9

d)f ( x )= x2+4

x

e)f ( x )= x2

2x−2

f)f ( x )= x

x2−1

g)f ( x )= x

x2−5x+4

h) f ( x )=| x2−3x+2 |

i)f ( x )= x

ex

j) f ( x )=x2 · ex

k)f ( x )= ex

ex−1

l)f ( x )=x-1

ex

m) f ( x )=L( x2−5x+6 )

n) f ( x )=L( x2+1 )

o) f ( x )=e x · (2x2+x−8 )

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6.- Se considera la función

f ( x )=¿ { x+2x−1

si x≤2 ¿ ¿¿¿ , se pide:

a) Estudiar si f ( x ) es continua en el punto x=2 .

b) Calcular la ecuación de la recta tangente a la función f ( x ) en el punto de abscisas x=3 .c) Calcular las asíntotas de la función.

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