Te has descargado una versin grat uit a del libro Fibonacci y los problemas del libro Abaci . Si deseas comprar la versin complet a del libro en papel t ambin puedes hacerlo en: ht t p: / / www. amazon. es/ dp/ 1447842820/o en cualquier ot ra de las t iendas de Amazon. Tambin disponible en lulu. com:ht t p: / / / / www. lulu.com/ product / t apa- blanda/ fibonacci- y-losproblemas- del- liber- abaci/ 18168471 Visit ando el blog:ht t p: / / fibonacci- liberabaci. blogspot . com/encont rars el enunciado de los 51 problemas que cont iene el libro y algunas pist as para resolver los problemas. El libro t ambin t iene su pgina en facebook:ht t p: / / es- es. facebook. com/ pages/ Fibonacci- y- losproblemas- del-LiberAbaci/ 173066766115757 El libro t ambin t iene su t wit t er:@Fibonacciblog Si quieres cont act ar con el aut or puedes hacerlo enviando un correo a:lapaginadealbert o@yahoo. es FI BONACCIY LOS PROBLEMAS DEL LI BER ABACIDelt ex t o, 2011 Al ber t o Ugar t e Fer nndez De l as i l ust r aci ones, 2011 Rosa Ugar t e Fer nndez I NTRODUCCI N Hoyendacasit odoelmundorecuerdaaLeonardodePisa, ms conocido como Fibonacci,por la sucesin: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 enlaquecadat rminodelamismasehallasumandolosdos precedent es. Est asucesinaparececomosolucindeunodelos problemas que Fibonacci incluy en su libro,el Liber Abaci: Unhombrecolocaunaparej adeconej osdeunmesdeedadenun recint ocerradoparavercunt osdescendient esproduceenelcurso deunao, ysesuponequecadames, apart irdelsegundomesde suvida,cadaparej adeconej osdaorigenaunanueva. Cunt as parej as habr al cabo de un ao? ElLiberAbacifueescrit oporFibonaccien1202enPisa. Conest e libro, Fibonaccipret endamost rarasuscompat riot aslasvent aj asdel sist emadenumeracindecimalindo- arbigo, quelhabaaprendido ensusviaj esporelEst emedit errneo, conrespect oalosnmeros romanos que se usaban t odava en Europa. ElLiberAbacicont iene, adems, unanot ablecoleccindeproblemas pert enecient esalmbit odelamat emt icarecreat iva. Lamayorade ellos se encuent ran en el capt ulo 12,con ms de 200 problemas. Enest elibroseproponenunaseriedeproblemasext radosdelLiber Abaci( principalment edesucapt ulo12) elegidosent relosqueme hanparecidomsint eresant es. Encadaproblemasepresent ael enunciadoconunlenguaj emoderno( avecesseaadenast e condicionesparaencont rarunanicasolucin; muchosproblemasde Fibonaccisonindet erminados) . Despussepresent alasolucin redact adaut ilizandoellenguaj esimblicoact ual. Enmuchos problemasseincluyelasolucindadaporFibonaccicuandosu mt odo de resolucin result a curioso e int eresant e. Seguroqueallect ormuchosdelosproblemaslesernfamiliaresya que se han convert ido en clsicos de la mat emt ica recreat iva. EL LI BER ABACI Las nueve cifras hindes son: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Conest asnuevecifrasyconel0cualquiernmeropuedeser escrit o. AscomienzaelLiberAbaci, laobramsconocidadeFibonacci. En est aobra, Leonardoint roducelascifrasindo- arbigasenOccident ey proporcionalasreglaspararealizarlasoperacioneselement alescon ellas. EnelprlogodellibroLeonardodeclaraqueensusviaj esy est udioshaencont radoqueelsist emadenumeracinhindysus mt odosdeclculosonsuperioresalosqueseempleanenEuropay quequieredivulgarlosent resuscompat riot as. Suint encinera brindaraloscomerciant esunaherramient adeclculomuchoms pot ent e que el t radicional baco. ElLiberAbaciesunaverdaderaant ologadelsabermat emt icodela poca, denot ableimport anciaporladivulgacinyladescripcinque ofrece de la mat emt ica y de la vida cot idiana.Noesexageradodecirquelascont ribucionesdeFibonaccidieronun nuevo impulso a la mat emt ica it aliana y europea.Durant e t res siglos aproximadament esust rabaj ossirvierondemodeloparalos est udiososdelapoca. Lospost erioresdesarrollosdelamat emt ica enelsigloXVI hicieronqueseolvidaranlasobrasdeLeonardo. Con lapublicacindelasobrasporpart edeBoncompagni( 1821- 1894)sus obras revivieron de nuevo la admiracin de los est udiosos. El Liber Abaci se divide en quince capt ulos: Capt ulo1: Lect urayescrit uradelosnmerosenelsist emaindo-arbigo. Capt ulo 2:Mult iplicacin de nmeros ent eros.Capt ulo 3:Suma de nmeros ent eros. Capt ulo 4:Rest a de nmeros ent eros. Capt ulo 5:Divisin de nmeros ent eros. Capt ulo 6:Mult iplicacin de nmeros ent eros por fracciones. Capt ulo 7:Fracciones.Capt ulo 8:Precios de las mercancas. Capt ulo 9:Trueque de mercancas y cosas similares.Capt ulo 10:Compaas y sus miembros. Capt ulo 11:Aleaciones de monedas. Capt ulo 12:Problemas y soluciones.Capt ulo 13:El mt odo de la doble falsa posicin. Capt ulo 14:Races cuadradas y races cbicas.Capt ulo 15:Reglas geomt ricas y problemas de lgebra. Enelcapt ulo1Fibonacciexplicaelsist emadecimal. Enlos siguient es capt ulosdescribe con det alle los mt odos para realizar lascuat rooperacionesfundament ales( suma, rest a, mult iplicaciny divisin) .Despus Fibonacci proponeyresuelveproblemasdediversa ndole. Enelcapt ulo8enseaacalcular, usandolaproporcin, el valordediversasmercancasendiferent esciudadesquepodanser dest inodeviaj esparacomerciant es. Tambinencont ramosenest e capt ulolosnombresdeunidadesdemedidadepeso, capacidady longit ud y de las monedas en uso en las diferent es ciudades. Fibonacciexplicat ambincomoresolverest et ipodeproblemas usando la regla de t res ( l lo llama mt odo de la negociacin) .Enelcapt ulo9haciendot ambinusodelaregladet respropone diferent es problemas basados en el t rueque de ot ros art culos.Eldcimocapt ulot rat adelasinversioneshechasporlosmiembros de ciert as compaas y los beneficios obt enidos por st os. Elcapt ulo11cont ieneproblemassobrealeacionesdemonedasde plat aycobre. Post eriorment eenelmismocapt uloFibonacciincluye ot rosproblemasqueseresuelvendemaneraanlogaalosprimeros. Hayamenudosolucionesmlt iplesyaquelosproblemasincluyen sist emas de ecuaciones lineales indet erminados. Elcapt ulo12proponeproblemasdediversot ipopert enecient esal mbit odelamat emt icarecreat iva. Enelcapt ulo13Fibonacci resuelve problemas usando el mt odo de la doble falsa posicin. Enelcapt ulo14seencuent ranproblemasconracesyenel15se proponen una serie de ej ercicios geomt ricos. LOS PROBLEMAS DEL LI BER ABACI TodoelLiberAbaciest llenodeproblemasdenat uralezadispar. El capt ulo12ocupaaproximadament eunaext ensindeunt erciode t odoelLiberAbaciyeselquecont ienemayornmerodeproblemas,ent reloscualesseencuent raelproblemadelasparej asdeconej os,por el cual Fibonacci es famoso. Lamayoraeranyaconocidosconant erioridadaFibonacci; elslolos copi de obras de ot ros aut ores. Como muest ra,ot ros ej emplos que nos sonarn familiares: -Unlensecomeunaovej aen4horas, unleopardoen5yun osot arda6horas. Cunt ashorast ardarnendevorarlalos t res j unt os? -Siet eancianosvanaRoma. Cadaunot iene7mulas, cadamula t iene7sacos, encadasacohay7panes, encadapanhay7 cuchillosycadacuchillot iene7dient es. Culeslasumade t odo lo ant eriorment e nombrado? El capt ulo 12 est dividido en 9 part es:Part e 1:Suma de series de nmeros,yot ros problemas similares.Part e2: Sobreproporcionesnumricasporlaregladelascuat ro proporciones.Part e3: Problemasderboles, yot rosproblemassimilaresque t ienen solucin.Part e 4:Descubriendo bolsas. Part e5: Compradecaballosent remiembrosdeunasociedad, de acuerdo con proporciones dadas.Part e 6:Sobre viaj ant es,y ot ros problemas parecidos a st os.Part e 7:Mt odo de lafalsa posicin y variaciones de st e.Part e 8:Algunos problemas de adivinacin.Part e 9:Duplicando cuadrados y ot ros problemas. LosproblemasdelLiberAbaciest nligadosalavidacot idianadela pocayofreceninformacinsobrelasunidadesdemedida, depesoy monet ariasqueseusabanenlapocaascomodelasprct icasde negocio y de comercio que se seguan en la poca. Losproblemasdemat emt icarecreat ivaLeonardolosresuelvepor mt odosyaconocidosenlapoca, t alescomolaregladet res, la regla de t res compuest a y el mt odo de la falsa posicin.Est emt odoeraunadelast cnicasfavorit asdeLeonardo, quet om prest adadelosrabes. Endichomt odosepart edeunasuposicin falsayseresuelveelproblemaconest afalsasuposicin, corrigiendo post eriorment elasolucinhaciendousodelaproporcin. Uslafalsa posicinent odot ipodeproblemas: cist ernasquesellenanyse vacancongrifosydesagesadiferent esvelocidades, hormigasy barcosquevanalencuent roosepersiguen, problemasderboles,de dinero o de edades. Algunosproblemassonresuelt ost ambinporelmt ododirect ode losrabes, esdecir, usandoecuaciones. Losej erciciosnocont ienen smbolosmat emt icosyFibonaccillamaalamagnit uddesconocida cosay describe el proceso paso a paso. Ot romt odoquet omprest adodelosrabeseraresolverun problemadeat rshaciadelant e. Porej emploenelproblema las manzanas del j ardn : -Unhombreent raalj ardndelplacerat ravsde7puert asy cogeallunciert onmerodemanzanas. Parasalirdebepagar alosguardianesdecadapuert a. Alprimerguardinledala mit addelasmanzanasquellevamsuna. Alsegundoguardin ledalamit addelasmanzanasquelequedanmsuna. Hacelo mismoconlosguardianesdecadaunadelascincopuert asque lefalt an. Cuandosalelequedaunamanzana. Cunt as manzanas haba t omado en un principio? AquLeonardoempiezacalculandolasmanzanasquet ieneant esde cruzarcadapuert aperoempezandoporlalt imahast allegarala primera. Leonardoamenudoofrecedist int asvariant esdeunmismoproblema yenot rosproblemas, ofrecediferent esmt odosparasolucionarlos.Porej emplo, enelproblema Dospj arosvolandohacialafuent eLeonardoloresuelve, enelcapt ulo13, porelmt ododeladoble falsa posicin,y por semej anza de t ringulos en el capt ulo 15. VariosproblemasdelLiberAbacilosdedicaalasumadeseriest ant o arit mt icas como geomt ricas: -Doshombrest ienenlaint encindehacerunlargoviaj e. Uno deelloscaminar20millasdiarias. Elot rohar1millael primerda, 2elsegundo, 3elt erceroyassucesivament e aadiendosiempreunamillaalorecorridoeldaant erior.Cunt osdast ardarelsegundoviaj eroenalcanzaral primero? -Cunt o vale la suma de la sucesin de pot encias de dos ( desde 20 hast a 263)escrit as en un t ablero de aj edrez? Ot rot ipodeproblemas, invent adosporloschinosyadopt ados post eriorment e por hindes y rabes,eran losproblemas del rest o: -Culeselnmeromspequeoquedivididoent re2, 3, 4, 5 6 da de rest o 1 y es exact ament e divisible por 7? Lacont ribucindeLeonardoalasmat emt icas, msalldela int roduccindelsist emanumricoindo- arbigo, fueenelreadela t eoradenmeros. Loslogrosmsimport ant esdeLeonardoenla t eoradenmerosfueronenelanlisisdiofnt ico. Ellgebra diofnt icat rat asist emasdeecuacionesindet erminadoscondoso msincgnit as, paraloscualesserequierensolucionesent eras.MuchosproblemasdeFibonaccisonindet erminados. Enellos Fibonaccisueleproponerlasolucinent eramspequeaaunqueen el enunciado no venga especificada explcit ament edicha condicin. Finalment eesoport unoaadiralgunasobservacionessobrela escrit ura de fracciones por part e de Fibonacci:El aut or no usa fracciones decimales ( sino ocasionalment e) .Lasfraccionessonsiempremenoresquelaunidad( nuest ras fracciones propias) .Lamayorpart edelasfraccionesincluidasenlosenunciadosdelas fraccionessonfraccionesunit arias( fraccionesconnumeradoruno)mient rasquelasfraccionesincluidasenlassolucionesnot ienenest a limit acin.EnlapocadeFibonaccinosehabaninvent adolossignosyla sucesindedosfraccionesindicabasusuma( porej emplo1/ 41/ 3 equivalealoquehoyindicamoscomo1/ 4+ 1/ 3) . Caberecordarque elprimerlibrodondeseut ilizanlossmbolos+ ysepublicaalinicio del siglo XVI . Mscomplej aesot ranot acinusadaporFibonacci3111176indica 11 7611131+ + , esdecir,77611131 + + . Esposiblequeest emt odode escrit uradelasfraccionesdeizquierdaaderechaFibonaccilohaya heredado de los rabes. LOS PROBLEMAS DOS VI AJEROS Doshombrest ienenlaint encindehacerunlargoviaj e. Unode elloscaminar20millasdiarias. Elot roharunamillaelprimerda,2elsegundo, 3elt erceroyassucesivament eaadiendosiempre unamillaalorecorridoeldaant erior. Cunt osdast ardarel segundo viaj ero en alcanzar al primero? Solucin: Sillamamosxalnmerodedasquet ardaenalcanzarunviaj eroal ot ro, ent onceselprimerviaj erorecorrer20xmillas, mient rasqueel segundo recorrer 1 +2 +3 +4 +.+ x millas. Calculemos ahora el valor de est a suma. LlamamosSalasumaant erior, esdecir; S= 1+ 2+ 3+ 4+ + x.Escribimosahoralasumaconlossumandosalainversa, esdecir, de mayoramenor; S= x+ x- 1+ x- 2+ + 3+ 2+ 1. Sumando ambas expresiones,t rmino a t rmino,obt enemos: S =1 +2+3+ +x- 2 + x- 1 + x S =x +x- 1 +x- 2 + + 3+2+1 ________________________________ 2S =x+ 1 +x+ 1 +x+ 1 + . . . . . +x+ 1+x+ 1 = ( ) 1 2 + = x x S Por t ant o ( )21 + =x xSI gualandoahoralasdist anciasrecorridasporambosviaj eros,obt enemos la ecuacin: ( )2120+ =x xx , cuyassolucionessonx= 0( quecorrespondealmoment oinicialde part ida)y x =39 ( que es la solucin de nuest ro problema) . DOS BARCOS AL ENCUENTRO Dosbarcosseencuent ranendiferent espuert os. Unodeellos recorreladist anciaqueseparaambospuert osen5dasyelot ro,siguiendoelmismot rayect o, en7. Sisalenalavez, cunt osdas t ardarn en cruzarse? Solucin: Sielprimerbarcot ardaenrealizarelt rayect oent ero5das,ent oncesenundarecorre 51delt rayect o. Yport ant o, elsegundo barcorecorre 71. Ent relosdosbarcosrecorren 35127151= + delt ot aldel t rayect o. As, t ardarnencruzarse 1235deda, esdecir, 2dasy22 horas. Fibonacci resuelve est e problema de la siguient e manera:Siunbarcot arda5dasyelot ro7, en35das( mnimocomn mlt iplode5y7) , unbarcorealiza7t rayect osyelot ro5. Esdecir,ent relosdosbarcosrealizan12t rayect osen35das. Port ant o, en realizarunt rayect ot ardarn 1235deda. Adems, siquieressaber dondeseencuent ran, elprimerbarcohabrrecorrido 127delt rayect o y el segundo,el ms lent o,125. UN COMERCI ANTE DE PI SA UnhombrellegadoaLuccapornegociosconsiguieldobledel dinerot radoyallgast 12denarios. DeLuccasedirigiaFlorencia dondedobldenuevoeldinerot radoygast 12denarios. De FlorenciaregresaPisadondenuevament econsiguidoblareldinero quet raaygast 12denarios, noquedndolenadadedinero despus.Cunt o denarios t ena el hombre al inicio de est e viaj e? Solucin:

Seaxelnmerodedenariosqueposeaelhombreasullegadaa Lucca. Cuando sale de Lucca t iene 2x- 12. A su salida de Florencia t iene( ) 36 4 12 12 2 2 = x x .En Pisa t iene:( ) 5 , 108840 84 8 0 12 36 4 2 = = = = x x x.Por t ant o la solucin es 10, 5 denarios. Ot romt odoescalcularcunt osdenariost enaant esdellegaracada ciudad empezando por el final.Ant es de llegar a Pisa t ena 6 ( ) 0 12 6 2 ( = .Ant es de llegar a Florencia t ena 9) 6 12 9 2 ( = Ant es de llegar a Lucca t ena 10, 5) 9 12 5 , 10 2 ( = Fibonacciresuelveest eproblemaenelcapt ulo13delLiberAbaci usando el mt odo de la doble falsa posicin:SupongamosqueelhombrellegaaLuccacon12denarios. Cuando saledeLuccat iene12 12 12 2 = denarios. CuandosaledeFlorencia t iene denarios y en Pisa t iene 12. 12 12 12 2 = Fibonacci hace ahora una segunda hipt esis:SupongamosqueelhombrellegaaLuccacon11denarios. Cuando saledeLuccat iene10 12 11 2 = denarios. CuandosaledeFlorencia t iene denarios y en Pisa t iene8 12 10 2 = 4 12 8 2 = denarios.Y razona: Sidisminuyendoundenariolacant idadinicialqueposeeelhombre lacant idadfinalhadisminuido8denarios, paraquelacant idadfinal disminuya4denariosms, lacant idadinicialdebedisminuir 21denario.Con lo cual 21102111 = denarios. LAS MANZANAS DEL JARD N Unhombreent raalj ardndelplacerat ravsde7puert asycoge allunciert onmerodemanzanas. Parasalirdebepagaralos guardianesdecadapuert a. Alprimerguardinledalamit addelas manzanasquellevamsuna. Alsegundoguardinledalamit adde lasmanzanasquelequedanmsuna. Hacelomismoconlos guardianesdecadaunadelascincopuert asquelefalt an. Cuando salelequedaunamanzana.Cunt asmanzanashabat omadoenun principio? Solucin: Averigemos cunt as manzanas t ena elhombreant esdecruzarcada puert a, peroempezandodesdelalt imapuert ahast allegarala primera:Al final t iene 1 manzana.Ant es de la lt ima puert a t iene( ) 4 2 1 1 = +manzanas.Ant es de la sext a puert a t iene( ) 10 2 1 4 = +manzanas.Ant es de la quint a puert a t iene( ) 22 2 1 10 = +manzanas.Ant es de la cuart a puert a t iene( ) 46 2 1 22 = +manzanas.Ant es de la t ercera puert a t iene( ) 94 2 1 46 = +manzanas.Ant es de la segunda puert a t iene( ) 190 2 1 94 = +manzanas.Ant es de la primera puert a t iene( ) 382 2 1 190 = +manzanas.Por t ant o el hombre haba t omado 382 manzanas en el j ardn. Elproblemat ambinsepuederesolvermediant eelusode ecuacionesperoelprocesoresult amslargoycomplicado.Llamamosxalnmerodemanzanasquecogeelhombreyvamos calculandocunt asmanzanast ieneelhombreant esdecruzarcada puert a. Nmerodemanzanasant esde cruzar la puert a Nmerodemanzanas que da al port ero Puert a 1x 12 +x Puert a 2 2212= |.|

\| x xx 142+ x Puert a 3 22 x-46142 = |.|

\|+ x x186+ x Puert a 4 46 x-814186 = |.|

\|+ x x11614+ x Puert a 5 814 x-16301166 = |.|

\|+ x x13230+ x Puert a 6 1630 x-326213230 = |.|

\|+ x x16462+ x Puert a 7 3262 x-6412616462 = |.|

\|+ x x1128126+ x As despus de cruzar la lt ima puert a el hombre t endr:64126 x-1282541128126 = |.|

\|+ x xmanzanas Como solo le queda una manzana:1128254= x,de donde x =382 manzanas. LAS PAREJAS DE CONEJOS Unhombrecolocaunaparej adeconej osdeunmesdeedadenun recint ocerradoparavercunt osdescendient esproducenenelcurso deunao, ysesuponequecadames, apart irdelsegundomesde suvida,cadaparej adeconej osdaorigenaunanueva. Cunt as parej as habr al cabo de un ao? Solucin: Comolaprimeraparej asereproduceenelprimermes, alcabodeun meshay2parej as. Unadest as, laprimera, sereproduceenel segundomes, yasalcabodedosmeseshay3parej as. Dest as,dos parej as se reproducen ese mes y as,al cabo de t res meses hay 5 parej as( 3+ 2) . Deest ascincoparej as, enelsiguient emesse reproducen3, port ant oalcabodecuat romeseshay8parej as ( 5+ 3) . Siguiendoest erazonamient oFibonacciconcluyequepara hallarlasparej asdeconej osquehayalfinaldecadamesbast a sumar las parej as de conej os de los dos meses precedent es.Esfcilseguirelplant eamient out ilizadoporFibonaccipararesolver el problema si usamos una t abla: MesParej as frt iles Parej as no frt iles Tot al 0101 1112 2213 3325 4538 58513 613821 7211334 8342155 9553489 108955144 1114489233 12233144377 Porloqueelnmerodeparej asdeconej osquehabralcabodeun ao sern 377. NOTA: Hoy en da se recuerda sobre t odo a Fibonacci por la sucesin:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34enlaquecadat rminodelamismase hallasumandolosdosprecedent es. Lasucesinapareceenmuy dist int asreasdelaciencia. Sinembargo, nohayconst anciadeque Fibonacciest udiarapost eriorment eest asucesin. Adems, enla resolucindelproblema, Fibonacciomit eelprimert rminodela sucesin. LAS CUATRO PESAS Uncomerciant et ieneunabalanzadedosplat osycuat ropesas.Const aspuedepesarcualquierobj et ocuyopesoseaunnmero ent eroent re1y40libras. Culeselpesodecadaunadelascuat ro pesas? Solucin: Fibonacci escribe: Laprimerapesadebedeserde1librayassepuedepesar1libra.Lasegundaeseldobledelaprimerams1libra, esdecir, esde3 libras, osea, elt ripledelaprimera. Conest asdospesaspodemos pesar de 1 a 4 libras. La t ercera pesa es el doble de las dos ant eriores ms 1 libra,es decir,9 libras,o sea,el t riple de la segunda,9. Lacuart apesaeseldobledelasumadelast resant erioresmsuna libra,es decir,es de 27 libras,o sea,el t riple de la t ercera. Est as cuat ro pesas j unt as suman 40 libras .Fibonacciaadepost eriorment evariosej emplosparacalcular det erminados pesos.Por ej emplo dice: Si se desea pesar 14 libras se poneenunplat illodelabalanzalacuart apesayenelot rolast res primeras pesas:( 14 =27 1 3 -9) .Parapesar16librasseponenlaspesasde27y1librasenunplat illo y las de 9 y 3 en el ot ro ( 16 =27 +1 9 -3) .Parapesar22libraspodemosenunplat illolasde27, 3y1librasy en el ot ro la de 9 ( 22=27+ 3+ 1- 9) . SI ETE ANCI ANOS Siet eancianosvanaRoma. Cadaunot iene7mulas, cadamula t iene7sacos, encadasacohay7panes, encadapanhay7cuchillos ycadacuchillot iene7dient es. Culeslasumadet odolo ant eriorment e nombrado? NOTA: Est e es uno de los problemas ms ant iguos de mat emt ica recreat iva.Laprimeraversindelproblemaseencuent raenelPapiroRhinddel ant iguoEgipt o( ao1650a. C. aproximadament e) . Tambines famosoelacert ij o AsI wasgoingt oSt . I ves basadoenest e problema y escrit o en rima en ingls. Solucin: Hay que calcular la suma de las pot encias de 7 desde 71 hast a 76.Fibonacci present a la solucin de la siguient e manera: 137256 7 49 343 2401 16807 117649 suma 137256 DOS PJAROS VOLANDO HACI A LA FUENTE Dost orres, unade30pasosyot rade40pasosest nseparadas50 pasos. Ent relasdost orresseencuent raunafuent ehacialaque descienden dos pj aros que est n en las almenas de las t orres.Yendo aigualvelocidadlleganalmismot iempo. Aqudist anciadelas t orres se encuent ra la fuent e? Solucin: Como en el problema ant erior,dibuj amos el grfico del enunciado: Losdospj arosvanalamismavelocidadylleganalmismot iempo,esoquieredecirquerecorrenlamismadist ancia( y) . Llamandoxala dist anciadelat orremsalt aalafuent eyaplicandoelt eoremade Pit goras obt enemos: ( ) + =+ =2 2 22 2 250 3040x yx y I gualando ambas expresiones obt enemos la ecuacin:(2 2 2 250 30 40 x x + = + ) ,cuya solucin es x =18. Port ant o, lafuent eseencuent raa18pasosdelat orremsalt aya 32 de la ot ra. Fibonacci, encambio, pararesolverest eproblemaempleaun int eresant e mt odo geomt rico: Si los dos pj aros van a la misma velocidad y llegan al mismo t iempo,esoquieredecirquerecorrenlamismadist anciayque, porlot ant o, lossegment osBFyDFsoniguales.Ent onces, elt ringuloBFDes isscelesyelpunt oMest aigualdist anciadeBquedeD, loque quieredecirt ambinqueelsegment oEMmide35piesylos segment os AE y MG miden 25.Como EM mide 35 pies GD mide 5.Ahorapodemosaplicarsemej anzaalost ringulosEFMyMGDyas calculamos el segment o EF: 525 35=EF Port ant oEF= 7,ladist anciadelafuent ealat orremsbaj aes 25+ 7= 32 pasos y la dist ancia a la ot ra t orre es 18 pasos.

Previament e, enelcapt ulo13, Fibonacciresuelveest eproblema usando el mt odo de la doble falsa posicin.Supongamosquelafuent eest a10piesdelat orremsalt a.Ent onceselcuadradodeladist anciarecorridaporunpj aroes1700 ( 102 + 402) mient rasqueeldelot roes2500( 402 + 302) . Esdecir ambas cant idades difieren en 800 unidades.Aadimosahora5piesaladist anciadelafuent edesdelat orrems alt ayselaquit amosaladist anciadesdelaot rat orre( esdecir, las dist anciassonahora15y35piesrespect ivament e) . Ent onces, el cuadradodelasdist anciasrecorridasporlospj aroses1825y2125 respect ivament e.Ambas cant idades difieren en 300 unidades.Fibonacciest ableceahoraelsiguient erazonamient o: siaument ando en5piesladist anciaalat orremsalt ahemosreducidoladiferencia ent relasdist anciasrecorridasporlospj arosen500, volviendoa aument arladist anciaalat orre3pies, reduciremosladiferenciade 300 unidades que nos queda.As, ladist anciadelafuent ealat orremsalt aes18pies( 10+ 5+3) y32piesesladist anciaalaot rat orre. ( 182 + 402= 322+ 302=1924) .