ffrna guia didactica

8/10/2019 ffrna guia didactica

1/17Ecuaciones y sistemas Unidad 3

Programacin* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Sugerencias didcticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Actividades de ampliacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Propuesta de evaluacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

*Esta programacin y la concrecin curricular de tu Comunidad Autnoma podrs encontrarlas

en el CD Programacin y en www.smconectados.com.

6

4

5

3

2

1

G U A D I D C T I C A UNIDAD 3

Ecuaciones y sistemas

C O N T E N I D O

4ESO


2/172

Ecuaciones polinmicas de primer y segundo grado

Ecuaciones completas e incompletas

Ecuaciones polinmicas de grado mayor que dos

Ecuaciones racionales

Ecuaciones radicales

Ecuaciones logartmicas y exponenciales

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgni-tas

Sistemas de dos ecuaciones no lineales con dos incg-nitas

Calcular el nmero de soluciones de una ecuacin desegundo grado segn el signo del discriminante

Resolucin algebraica y grfica de un sistema de dosecuaciones lineales con dos incgnitas

Resolver problemas de la vida cotidiana a partir del plan-teamiento y resolucin de ecuaciones y sistemas

Valoracin positiva de la precisin, simplicidad y utilidad

de las ecuaciones y sistemas para representar, comuni-car o resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana

Utilizacin adecuada del vocabulario y terminologa alge-braicos

Unidad 3 Ecuaciones y sistemas

CONTENIDOS

rogramacin de aula

Ecuaciones y sistemasUnidad 3

OBJETIVOS CRITERIOSDE EVALUACIN COMPETENCIASBSICAS

1. Resolver ecuaciones de distintostipos: primer grado, segundo gra-do, bicuadradas, polinmicas, degrado mayor que dos, racionales,radicales, logartmicas y expo-nenciales.

1.1 Resolver ecuaciones de primer y segun-do grado.

Lingstica

Matemtica

Interaccin con el mundofsico

Social y ciudadana

Tratamiento de lainformacin y competenciadigital

1.2 Hallar las soluciones de ecuacionespolinmicas de grado mayor que dos,racionales, radicales, bicuadradas, loga-rtmicas y exponenciales.

2. Resolver sistemas de ecuacioneslineales y no lineales de dos ecua-ciones con dos incgnitas.

2.1 Aplicar distintos mtodos, algebraicosy grficos para resolver sistemas de dosecuaciones de primer grado con dosincgnitas, y clasificarlos segn sussoluciones.

2.2 Resolver sistemas de dos ecuacionesno lineales con dos incgnitas en losque aparecen expresiones de tipo cua-drtico, logartmico, exponencial

3. Expresar en lenguaje algebraicodistintos problemas en los cualesintervienen ecuaciones y siste-

mas, y resolverlos.

3.1 Traducir enunciados de situaciones pro-blemticas que puedan resolverse conecuaciones o sistemas, y buscar su

solucin.

En esta unidad se repasan y refuerzan todos los conceptos y tcnicas sobre ecuaciones y sistemas adquiridos en losanteriores cursos de la Educacin Secundaria. Tambin se amplan estos procedimientos con otros nuevos como son laresolucin de ecuaciones exponenciales, bicuadradas, logartmicas, racionales y radicales, y los mtodos de resolucinde sistemas de dos ecuaciones no lineales con dos incgnitas.

En el primer curso de la ESO se empieza a tratar la resolucin de ecuaciones de primer grado. En este curso, los alum-

nos deben madurar y consolidar las tcnicas de resolucin iniciadas en cursos anteriores, adquirir nuevos conceptos rela-cionados con el tema y plantear y resolver con rigor problemas mediante ecuaciones y sistemas.

El dominio de las operaciones bsicas con polinomios y el desarrollo y reconocimiento de las igualdades notables, adqui-ridos en la unidad anterior, son imprescindibles para el correcto desarrollo de las tcnicas de resolucin de ecuacionesy sistemas, pues la transformacin de expresiones algebraicas complejas en otras ms sencillas es uno de los mto-dos ms utilizados a lo largo de toda la unidad. A su vez, la factorizacin de polinomios, tcnica estudiada en la anteriorunidad, es una herramienta muy potente para resolver ecuaciones polinmicas.

Por otra parte, consolidar estos conceptos y procedimientos es bsico para el correcto desarrollo de la unidad posterior,referente a la resolucin de inecuaciones y sistemas de inecuaciones.


3/17

ORIENTACIONES METODOLGICAS

1. Conocimientos previosComo se mencion en la introduccin, los temas de lgebra de polinomios tratados en los dos primeros cursos de la ESOy en las unidades anteriores de este curso, el dominio de los contenidos all mostrados, junto con el estudio de las ecua-ciones de primer grado y sistemas realizado en 3 de ESO, servirn de punto de partida para el desarrollo de este tema.

2. Previsin de dificultades

Se prevn dificultades sobre todo en el estudio de las ecuaciones no lineales, tanto logartmicas como exponenciales, yen la resolucin de sistemas no lineales, los alumnos tendrn dificultades a la hora de elegir la estrategia adecuada pararesolver dichos sistemas. Desde el punto de vista de la comprensin, las principales dificultades surgen a la hora de trans-cribir los enunciados de los problemas al lenguaje algebraico: hay alumnos que todava tienen problemas para elegir lasincgnitas, poner los datos del problema en funcin de ellas y plantear las correspondientes ecuaciones o sistemas.

3. Vinculacin con otras reasLas ecuaciones y sistemas de ecuaciones son herramientas bsicas para la resolucin de problemas de todo tipo. Lo ante-rior hace que se puedan escoger ejemplos de prcticamente todas las reas curriculares, as como de situaciones rela-tivas a la vida cotidiana y al entorno conocido del alumno.

4. Esquema general de la unidadLa unidad comienza haciendo un breve resumen de las

ecuaciones de primer y segundo grado, y de las tcni-cas empleadas para resolverlas. Este contenido es fami-liar al alumno y no le supondr ninguna dificultad.

Posteriormente se pasa a estudiar las ecuaciones poli-nmicas de grado superior a dos, en particular lasbicuadradas, las racionales y las ecuaciones con radi-cales, y finalmente, las exponenciales y logartmicas.En todas estas se exigir a los alumnos que pongan enprctica conocimientos matemticos, como son laspropiedades de los logaritmos o las operaciones conpolinomios, tratados en unidades anteriores.

La ltima parte del tema trata de la resolucin de

sistemas de ecuaciones. Se empieza por los lineales,repasando los mtodos de igualacin, sustitucin yreduccin, ya conocidos, as como la resolucin grfi-ca. Por ltimo, se trabajan los no lineales, empezandopor aquellos con ecuaciones de segundo grado y fina-lizando por los sistemas logartmicos y exponenciales,que, aunque nuevos, si se han comprendido los con-ceptos anteriores, no deben suponer ninguna dificul-tad para los alumnos.

5. TemporalizacinSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en siete sesiones:

1. Introduccin: desarrolla tus competencias

2. Ecuaciones polinmicas de primero y segundo grado. Ecuaciones de grado mayor que dos y bicuadradas

3. Ecuaciones racionales y con radicales. Ecuaciones logartmicas y exponenciales

4. Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales y de segundo grado

5. Resolucin de sistemas de ecuaciones exponenciales y logartmicas

6. Actividades de repaso y consolidacin

7. Trabajo en competencias mediante la doble pgina final de la unidad

En todas las sesiones, la exposicin terica debera ir acompaada de la realizacin de ejemplos y de ejercicios de losque se proponen tanto en los epgrafes como en las pginas finales de actividades.

Por supuesto que el contexto de la clase es tambin un factor determinante en cuanto al nmero de sesiones necesa-rias para desarrollar la unidad.

3

Programacin de aula

Ecuaciones y sistemas Unidad 3

Ecuaciones

De segundo grado

De grado superior

Polinmicas

Racionales

Con radicales

Exponenciales

Logartmicas

De primer grado

Resolucin de sistemas

ECUACIONES Y SISTEMAS


4/174

CONTRIBUCIN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIN DE COMPETENCIAS BSICAS

Competencia lingsticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensin del texto es bsica para el aprovecha-miento de la misma. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividadescompetenciales finales desarrollan de forma ms especfica los descriptores recogidos en las subcompetencias decomunicacin escrita, comunicacin en una lengua extranjera y reflexin sobre el lenguaje.

Competencia matemticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prcticamente se trabajan todas lassubcompetencias y descriptores.

En esta unidad se puede considerar que se trabaja fundamentalmente la subcompetencia de razonamiento y argu-mentacin.

Competencia para la interaccin con el mundo fsicoSe trabajan las subcompetencias de conocimiento y valoracin del desarrollo cientfico-tecnolgico al reflexionar sobreel grado de desarrollo tecnolgico, y la de medio natural y desarrollo sostenible al preguntarse por las consecuenciasde que dicho desarrollo se produzca rpidamente y sin control.

Competencia social y ciudadanaEl texto de entrada a la unidad y la primera actividad de la seccin final de competencias posibilitan trabajar la sub-

competencia de desarrollo personal y social, a travs de la reflexin sobre la relacin entre la expansin de las lenguasy la realidad histrica de los diferentes grupos humanos que las utilizan.

Competencia para el tratamiento de la informacin y competencia digitalLa unidad contiene variadas referencias a la utilizacin de medios tecnolgicos para la bsqueda de informacin y la reso-lucin de actividades interactivas. Se trabaja as la subcompetencia de obtencin, transformacin y comunicacin de lainformacin. Tambin se trata el uso de las herramientas tecnolgicas, a travs de la utilizacin del programa GeoGe-bra.

Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluacin planteadas en las pginas finales de la unidad, particularmente en la seccinde Autoevaluacin, se puede indagar en la adquisicin de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las

subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendi-zaje. Las actividades de desarrollo creativo trabajan la subcompetencia de construccin del conocimiento.

Competencia de autonoma e iniciativa personalLa realizacin de los trabajos de bsqueda de informacin y elaboracin de conclusiones permite trabajar la subcom-petencia de innovacin.

Otras competencias de carcter transversal

Aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexin y el sentido crticodel alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y cr-tico.

En las sugerencias didcticas de los epgrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexin y debate enrelacin con las actividades sealadas.

ogramacin de aula



5/175

TRATAMIENTO ESPECFICO DE LAS COMPETENCIAS BSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias bsicas que prescribe el currculo. Para esta unidadsugerimos realizar un trabajo ms intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores com-petenciales especficos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

Programacin de aula

COMPETENCIA1.er nivel de concrecin

SUBCOMPETENCIA2. nivel de concrecin

DESCRIPTOR3.er nivel de concrecin

DESEMPEO4. nivel de concrecin

Lingstica

Comunicacin escrita

(lectura, escritura,

interaccin y

mediacin) en

diferentes contextos

Conocer y comprender diferentes tiposde textos con distintas intenciones

comunicativas.

Interpreta y analiza textos matemticamente.

Desarrolla tus competencias. Pon a prueba tuscompetencias. Actividades de contexto.

Leer, buscar, recopilar, procesar y

sintetizar la informacin contenida en

un texto para contribuir al desarrollo

del pensamiento crtico.

Elabora resmenes e informes a partir de textos

histricos y cientficos.

Pon a prueba tus competencias:Calcula e imagina, 3

Comunicacin en una

lengua extranjera

Reconocer lenguas diferentes a lapropia y valorar las lenguas como

muestra de riqueza cultural.

Conoce las relaciones entre el indoeuropeo y las

lenguas actuales, especialmente las espaolas.

Desarrolla tus competencias, IIPon a prueba tus competencias:Razona y descubre, 2 y 5

Entiende los fundamentos de la glotocronologa y

su importancia en el estudio de las lenguas.

Desarrolla tus competencias, IPon a prueba tus competencias:Razona y descubre, 1, 2 y 3

Reconoce las lenguas como un patrimonio cultural.

Desarrolla tus competencias, III

Reflexin sobre el

lenguaje

Tomar el lenguaje como objeto de

observacin y anlisis.

Reconoce la importancia del rabe en la

conformacin actual del castellano.

Pon a prueba tus competencias:Razona y descubre, 4

MatemticaRazonamiento y

argumentacin

Poner en prctica procesos derazonamiento que llevan a la solucin

de los problemas o a la obtencin de

informacin.

Razona para transcribir al lenguaje algebraico

enunciados matemticos o de la realidad.

Actividades 23, 28, 33, 34 y 65 a 80Autoevaluacin, 10

Interaccin conel mundo fsico

Conocimiento y

valoracin del

desarrollo cientfico-

tecnolgico

Conocer y valorar la aportacin del

desarrollo de la ciencia y la tecnologa

a la sociedad.

Usa la escala de Kardashov y la frmula de Sagan

para valorar el desarrollo tecnolgico.

Pon a prueba tus competencias:Calcula e imagina

Medio natural y

desarrollo sostenible

Comprender la influencia de las

personas en el medioambiente a

travs de las diferentes actividades

humanas y valorar los paisajes

resultantes.

Reflexiona sobre las consecuencias que puede

tener sobre la Tierra su sobrexplotacin para poder

mantener el avance tecnolgico.

Pon a prueba tus competencias:

Calcula e imagina, 4

Social y ciudadanaDesarrollo personal y

social

Conocer y comprender la realidad

histrica y social del mundo y su

carcter evolutivo.

Sabe que la expansin de las lenguas va unida a la

historia de los pueblos que las hablan.

Desarrolla tus competenciasPon a prueba tus competencias:Razona y descubre, 2, 3 y 5

Tratamientode la informacin

y competencia digital

Obtencin,

transformacin y

comunicacin de la

informacin

Buscar y seleccionar informacin con

distintas tcnicas segn la fuente o el

soporte, valorando su fiabilidad.

Visita la pgina librosvivos.net.

Actividades 6 y 36. Paso a paso. Organiza tusideas. Autoevaluacin

Obtiene informacin o hace tareas en internet.

En la red. Desarrolla tus competencias, II y IIIPon a prueba tus competencias

Uso de las herramientas

tecnolgicas

Hacer uso habitual de los recursos

tecnolgicos disponibles para

aplicarlos en diferentes entornos.

Utiliza GeoGebra para resolver grficamente

sistemas de ecuaciones.

En la red (pgina 54). Actividades TIC



6/176

EDUCACIN EN VALORESTanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo especfico de las competencias que se citan en latabla de la pgina anterior permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educacin en valores:

Educacin intercultural: actividades II y III, 76; Razona y descubre, 1 a 5

Educacin para el desarrollo: Calcula e imagina, 1 a 4

ATENCIN A LA DIVERSIDAD

Hay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto estn clasificados por un cdigo de colo-res segn su dificultad: verde, nivel bsico; naranja, nivel medio, y rojo, de alguna dificultad.

De esta forma, el profesor podr adaptar el contenido de la unidad bien a las caractersticas particulares de la clase, biena las especficas de cada grupo de alumnos dentro de la misma.

Adems, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno:

Actividades de refuerzo. Una pgina fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido.

Actividades de ampliacin. Una pgina fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cadaunidad del libro.

Propuesta de evaluacin. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asi-milacin y comprensin de los conceptos y procedimientos tratados.

Cuaderno de evaluacin de competencias. En l se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para

evaluar la adquisicin por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemticos tratados a situa-ciones en contextos reales, en conjuncin con el resto de competencias bsicas.

MATERIALES DIDCTICOS

ogramacin de aula


SM

Repaso de contenidos de cursos anteriores

Cuaderno de refuerzo de matemticas: Aprende y aprueba. 3. de ESO

Unidades 5 y 6. Ecuaciones de primero y segundo grado. Sistemas

Cuadernos de matemticas. 3. de ESO: N. 3: Ecuaciones y sistemas

Refuerzo y ampliacin de contenidos de este curso

Cuaderno de refuerzo de matemticas: Aprende y aprueba. 4. B de ESO

Unidades 3 y 4. Ecuaciones de primero y segundo grado. Sistemas de ecuaciones

Cuadernos de matemticas. 4. de ESO: N.os 2 y 3

N. 2. Polinomios y ecuaciones: unidades II a IV. Ecuaciones de primero y segun-do grado. Sistemas de ecuaciones

N. 3. Ecuaciones no lineales e inecuaciones: unidades I a III. Fracciones alge-braicas. Ecuaciones no lineales. Sistemas

Cuaderno de matemticas para la vida. 4. de ESO

Cuaderno de resolucin de problemas II

SMwww.smconectados.com

www.librosvivos.net

Otros

Ecuaciones y sistemas en el proyecto Descartes:www.e-sm.net/4besomatprd08 ,

www.e-sm.net/4besomatprd09 y www.e-sm.net/4besomatprd10

Y en el proyecto ed@d: www.e-sm.net/4besomatprd11

WIRIS: este programa en red resulta especialmente til para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones.Otros

materiales

Internet

Bibliogrf

icos


7/177

Sugerencias didcticas

Se han de proponer ejemplos de ecuaciones radicales enlas que una de las soluciones, al sustituir en la ecuacin,no la verifique. As, los alumnos comprobarn que en estetipo de ecuaciones es obligatorio sustituir la solucin.


Desarrolla tus competenciasEl tema propuesto en esta seccin tiene un claro carcterlingstico. La relacin entre las diferentes lenguas y suevolucin histrica debe inducir reflexin y debate en elalumnado de un pas como Espaa, que tiene una rica varie-dad lingstica.

Es interesante que realicen las actividades propuestas, tan-

to las de aplicacin matemtica como las de investigacin.Deben tomar conciencia del origen comn de muchas len-guas tanto para fomentar en ellos el respeto hacia losdems, incluso si hablan diferente, como para que per-ciban las diferentes lenguas como una riqueza cultural dela humanidad.

1. Ecuaciones polinmicas Para empezar conviene recordar el concepto de ecua-

cin equivalente y solucin de una ecuacin.

Es aconsejable acostumbrar a los alumnos a comprobarla solucin de una ecuacin.

Para explicar los mtodos de resolucin de ecuaciones desegundo grado incompletas, se puede resolver primero laecuacin mediante la frmula general y despus con elmtodo especfico, para que los alumnos aprecien la sim-plicidad y rapidez de estos mtodos. Sin embargo, a par-tir de este momento, las ecuaciones de segundo gradoincompletas se resolvern, no por la frmula general,sino por estos mtodos.

Se debe insistir en que cuando resuelvan un problema, nobasta con que den el valor de lax. Tambin deben inter-pretar la solucin.

La resolucin de ecuaciones de primero y segundo gra-do en las que intervienen parntesis, denominadores,igualdades notables presenta, con frecuencia, dificul-tades a los alumnos. Es posible que sea necesario resol-ver las primeras ecuaciones de este tipo en la pizarrautilizando las indicaciones que van dando los alumnos,para que ellos vean el proceso a seguir.

Las ecuaciones de grado mayor que dos suelen presen-tar bastantes dificultades a los alumnos, en especial,aquellas en las que hay que hacer un cambio de variable.Para facilitar su comprensin se deben realizar bastantesecuaciones de este tipo, tantas como sean necesarias.

Se debe insistir en que cuando se resuelve una ecuacinen la que se ha hecho un cambio de variable, al finalizarsu resolucin hay que deshacer el cambio.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Bsico 1 a 3, 40 a 43 y 65

Medio 4, 44 a 47, 68, 70, 75 y 76

Alto 5, 84 y 85

3. Ecuaciones logartmicas Conviene recordar a los alumnos qu es un logaritmo y

sus principales propiedades, antes de comenzar a resol-ver ecuaciones logartmicas.

Se debe insistir en que es necesario comprobar la solu-cin, puesto que hay valores de la xque no satisfacen laecuacin.


Bsico 8

Medio 9, 10, 48 y 49Alto 82 y 83


Bsico 12

Medio 13, 14, 50 y 51

Alto 15, 16 y 81

4. Ecuaciones exponenciales Antes de comenzar con el desarrollo del epgrafe, conviene

repasar brevemente las propiedades de las potencias.Para ello es muy til que los alumnos realicen un cuadrocon las principales propiedades.

Hay que insistir a los alumnos en que no hay diferenciasentre que un exponente sea un nmero o una variable ala hora de aplicar las propiedades.

Se recordar a los alumnos que cuando se acabe de resol-ver este tipo de ecuaciones, si se ha utilizado un cambiode variable, hay que deshacerlo.


Bsico 18 y 52

Medio 19, 20, 53 y 72

Alto 79

2. Valor absoluto. Intervalosy semirrectas

Las ecuaciones racionales no deben suponer una grandificultad; no obstante, es bueno insistir en el paso detrminos de un lado a otro de la igualdad.

5. Resolucin analtica de sistemas deecuaciones lineales

Para introducir los sistemas es bueno plantear un ejem-plo en el que intervengan dos incgnitas y razonar conlos alumnos por qu para resolver este tipo de situacio-nes son necesarias dos ecuaciones.

Insistir en que dar un valor dexy un valor de yes unanica solucin. Por lo general, los alumnos consideran quedar estos dos valores es dar dos soluciones distintas.

Generalmente, los alumnos entienden con facilidad losmtodos de resolucin de sistemas. Sin embargo, tienenproblemas al realizar las manipulaciones previas paraque las ecuaciones sean de la forma ax+ by= c.


8/178

gerencias didcticas

6. Resolucin grfica de sistemas deecuaciones lineales

Es importante que los alumnos se den cuenta de la con-veniencia de analizar el sistema para decidir cul serel mtodo ms apropiado para resolverlo.

Organiza tus ideas

Se propone un esquema con los contenidos bsicos dela unidad, tratando con especial inters los mtodos deresolucin de ecuaciones y sistemas. Estos son los con-ceptos y tcnicas que los alumnos deben conocer y mane-jar al trmino de la unidad. La memorizacin de concep-tos, como la frmula que permite obtener las solucionesde una ecuacin completa de segundo grado, facilitarenormemente el manejo de situaciones que se proponenen las actividades finales. Los alumnos no solo debenconocer las tcnicas de resolucin de ecuaciones y sis-temas, sino que tambin deben memorizar las definicio-nes de los principales conceptos, como son ecuacin, sis-

temas de ecuaciones o solucin de una ecuacin osistema. El estudio de las definiciones aqu propuestasayudar a ampliar el vocabulario y la terminologa propiosdel lgebra.

Se puede indicar a los alumnos que hagan su propio resu-men basndose en el que aqu aparece. Debern com-pletar su esquema con un ejemplo prctico en todos losapartados.

Como una actividad que sirva para que trabajen el esque-ma-resumen, los alumnos pueden asignar las activida-des realizadas en la unidad a los distintos contenidos pre-sentados en el resumen. Sera suficiente con que

encontraran dos o tres ejemplos de actividades para cadaapartado. De esta forma se les obliga a repasar el tra-bajo realizado y a reflexionar sobre los conceptos y pro-cedimientos adquiridos.

Una segunda actividad de inters puede ser que los alum-nos completen el resumen tanto con otros contenidospresentes en el tema, pero no incluidos en este esquema,como con contenidos de cursos anteriores relacionados,pero no tratados explcitamente en el tema.

Actividades

Los problemas ayudan a dar un contenido de cercana y

utilidad a los conceptos matemticos desarrollados. Todoslos problemas propuestos en la seccin cumplen al cienpor cien con este principio proporcionando contextosvariados al profesor.

Si se dispone de tiempo, se puede profundizar algo msen los contextos de algunos problemas, propiciando an-lisis y reflexiones sobre contenidos no matemticos.

Pon a prueba tus competencias

RAZONA Y DESCUBRE. GLOTOCRONOLOGA

La actividad contina el tema comenzado en la apertura

de la unidad. Por tanto, su realizacin debe ayudar alalumnado a reforzar y aumentar su conocimiento sobre laevolucin histrica de las lenguas en Espaa, Europa y elmundo.

Para explicar la resolucin grfica de sistemas es con-veniente repasar brevemente cmo se representan fun-ciones, en especial, las funciones lineales. Relacionarlas ecuaciones que intervienen en los sistemas con lasfunciones lineales y, por consiguiente, las ecuacionescon las propiedades de estas funciones.


Bsico 21, 22, 54 y 55

Medio 23, 56, 57 y 74


Bsico 3 7 y3 8

Medio 39, 63 y 64

Alto 79 y 86


Bsico 26 y 27

Medio 58

Alto 28

7. Sistemas de ecuaciones de segundogrado

Los sistemas de ecuaciones de segundo grado se puedenresolver por sustitucin.

Si ambas ecuaciones son de segundo grado, se puedeplantear a los alumnos el hecho de que por sustitucin o

reduccin se obtiene una ecuacin sencilla de la que seconsiguen soluciones aplicando cualquiera de las tcni-cas vistas anteriormente.

Tambin se puede hacer notar a los alumnos que, en cier-tos sistemas de ecuaciones de segundo grado, se puederecurrir a las identidades notables y de esta manera sim-plificar el sistema.

8. Sistemas de ecuacionesexponenciales y logartmicas

Es importante hacer ver a los alumnos que estos siste-mas se resuelven con un cambio de variable.

Debido a lo anterior, habr que recordarles que cuandose acabe de resolver este tipo de ecuaciones hay que des-hacer el cambio.

La mayora de las dudas procedimentales que tienen losalumnos al resolver estos sistemas son debidas a que no

han comprendido bien las ecuaciones anteriores. En casode que tengan muchos problemas en la resolucin deeste tipo de sistemas es conveniente que practiquen lastcnicas tratadas en los epgrafes anteriores.


Bsico 30, 66 y 67

Medio 31 a 35, 59 a 61, 69, 71, 73 y 77

Alto 62, 78 y 80



9/179

Sugerencias didcticas

Puntos que deberan destacarse son:

La influencia del rabe en las lenguas que se hablan enla Pennsula.

La lengua es un instrumento de colonizacin y de globa-lizacin: desde los ejemplos del griego y el latn hastalos del castellano y el ingls.

CALCULA E IMAGINA. LA CIVILIZACIN DEL FUTURO

La actividad permite inducir en la clase una reflexin sobrela estrecha relacin entre el desarrollo tecnolgico y los

recursos naturales. Este tema lleva siendo uno de los msimportantes desde la Revolucin Industrial y conviene abor-darlo desde diferentes aspectos:

La explotacin de los recursos naturales.

El efecto sobre el medioambiente y la vida del planeta.

El desarrollo econmico y tecnolgico, y la divisin queeste crea en el mundo.


En la pgina 16 presentamos una matriz de evaluacin que el profesor puede utilizar para evaluarel grado de consecucin de las competencias bsicas trabajadas a lo largo de esta unidad. Adems,en www.smconectados.com puede descargar una aplicacin informtica que le facilitar esta tarea.


10/170

Actividades de refuerzo

Unidad 3 Ecuaciones y sistemasORIENTACIONES METODOLGICAS

Las dificultades con las que se encuentran los alumnos son principalmente dos:

Plantear problemas de ecuaciones y sistemas. Los alumnos deben hacer un esquema con los datos del problema. Inculcar la idea de extraer los datos y esquematizarlos. Una vez que hayan extrado la informacin relevante del pro-

blema, han de ser capaces de plantearlo sin la necesidad de tener que volver a leer el enunciado. Insistir en que nombren las incgnitas del problema claramente. Es decir, qu es laxy, en su caso, lay. Tambin

tienen que razonar que si tenemos una incgnita, ser suficiente con plantear una ecuacin, y si hay dos incgni-tas, es necesario plantear dos ecuaciones.

Una vez que hayan resuelto el problema, hay que insistir en que comprueben si el resultado cumple las condicio-nes requeridas y que extraigan una conclusin.

La resolucin de un problema nunca debe terminar dando un valor de lax y, en su caso, de lay, sino que deben inter-pretar los resultados.

Resolver ecuaciones con radicales, logartmicas y aquellas en las que haya que hacer un cambio de variable para resol-verlas. Antes de resolver ecuaciones radicales, logartmicas y aquellas en las que haya que hacer un cambio de variable,

es conveniente repasar las propiedades de los logaritmos, potencias y races.

Recordar a los alumnos que, en el caso de que se utilice un cambio de variable, se debe deshacer este cambio unavez se haya resuelto la ecuacin.

Insistir en la necesidad de comprobar las posibles soluciones, pues estas no siempre satisfacen la ecuacin.

1. Si llamamosxal precio de las hamburguesas eyal pre-cio de los refrescos, se plantea el sistema:

3x+ 2y= 12

2x+ 4y= 12

Resolviendo se tiene que la hamburguesa cuesta 3 ,y el refresco, 1,50.

2. Llamandoxeya las dimensiones del campo, se plan-tea el sistema:

2x+ 2y= 140

x2 +y2 = 2500

Se resuelve y se obtiene que las dimensiones del cam-po son 30 y 40 m.

3. Se plantea la ecuacin:

42 +x= 3(10 +x)

Resolviendo se tiene que han de pasar 6 aos para quela edad del padre sea el triple que la del hijo.

4. a) Al resolver la ecuacin se obtienen

como posibles soluciones x = 3 y x = 4. Pero alsustituir estos valores en la ecuacin inicial, solox= 3 la satisface. Luego la nica solucin esx= 3.

b) Haciendo un cambio de variable,x2 = t, se tiene quet = 4 y t = 1. Luego las soluciones sonx= 2.

c) Al resolver esta ecuacin se obtiene como resultadox= 0 yx= 4. Al sustituir, 0 no satisface la ecuacin(pues 0 no pertenece al dominio de definicin delnx). La nica solucin esx = 4.

d) Transformando la ecuacin en 2x21 + 2x+ 2x21 = 112.Haciendo el cambio de variable 2x= t, se resuelve laecuacin de primer grado 0,5t + t + 2t = 112 y seobtiene la solucin t = 32 = 25. Por tanto,x= 5.

x x+ =13 1

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Domin de ecuaciones

Para esta actividad se necesita recortar varias cartulinas en fichas de tamao semejante al de los naipes de una bara-ja. La pizarra se dividir en dos partes. Cada alumno escribir en una mitad de la pizarra una ecuacin, y en la otramitad, su solucin. La clase se dividir en grupos de cuatro o cinco alumnos. Cada grupo deber realizar las fichas deldomin. Para ello, en cada tarjeta escribirn una ecuacin de la pizarra y, aleatoriamente, a su lado escribirn una solu-cin. Recordar que no se pueden repetir ni los planteamientos ni las soluciones. Una vez terminadas las fichas, cada gru-po intentar colocarlas una tras otra.

ACTIVIDAD DE GRUPO

Ms recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar ms propuestas de actividades de refuerzo.



11/1711

1. Calcula el precio de una hamburguesa y un refresco:

2. Halla las dimensiones de un campo sabiendo que la diagonal mide 50 metros, y el permetro, 140.

Resuelve este problema siguiendo estos pasos.

Haz un dibujo del campo y da un nombre a la longitud de los lados. (Por ejemplo, x e y).

Como tenemos dos incgnitas, para hallarlas necesitamos plantear dos ecuaciones. Averigua qu datos nosda el enunciado para plantear dos ecuaciones.

El permetro del campo es de 140 m. Recuerda qu es el permetro de una figura y plantea la primera ecua-cin. Ya tienes la primera ecuacin del sistema!

Dibuja la diagonal del campo. Recuerdas algn resultado matemtico que relacione la diagonal de un rec-tngulo y los lados? Piensa que se forma un tringulo rectngulo ya tienes la segunda ecuacin!

Resuelve el sistema planteado.

Interpreta los resultados. Es decir, la resolucin del problema debe terminar diciendo: Las dimensionesdel campo son _____ y _____ m.

3. Un padre tiene 42 aos, y su hijo, 10. Dentro de cuntos aos la edad del padre ser el triple que la delhijo?

Existen problemas de ecuaciones en los que hacer una tabla con los datos facilita bastante su resolucin,como, por ejemplo, este. Llamamos x a los aos que van a pasar para que la edad del padre sea el triple quela del hijo. Para resolver este problema construimos una tabla:

Completa la tabla y, usando la ltima columna, plantea la ecuacin. Cuidado, no olvides los parntesis.

4. Mi abuela se ha ido de vacaciones y me ha encargado dar de comer a sus pajaritos. Me ha dejado 4 bol-sitas con la comida de cada uno, pero yo no s lo que come cada uno. Como a mi abuela le gustan mucholos acertijos, me ha dejado uno para que adivine qu bolsita corresponde a cada pjaro.

Tambin me ha dejado una nota que dice: Sin resolver las ecuaciones, asigna a cada pjaro su bolsita y,despus, resulvelas para comprobar que no te has equivocado. Qu bolsita daras t a cada pjaro?

Edadactual

Edad dentrode 3 aos

Edad dentrode 5 aos

Edad dentrode xaos

Padre 42 42+ 3

Hijo

4 5 2 3 lnx3 lnx = ln (4x)

x

4 3x2 4= 0

2x1+ 2x + 2x+1= 112

x + 13 x = 1


Pgina

fotoc

opiable

ACTIVIDADES de REFUERZO



12/172

Actividades de ampliacin

Unidad 3 Ecuaciones y sistemasORIENTACIONES METODOLGICAS

Las actividades de ampliacin aqu propuestas van dirigidas, por una parte, a que los alumnos manejen con total sol-tura la resolucin de cualquier tipo de ecuacin tratada a lo largo de la unidad y, por otra, a resolver problemas y cues-tiones con un grado de dificultad en los enunciados.

En ocasiones ser necesario guiar a los alumnos en la resolucin de problemas con pistas, pero siempre deben serellos mismos los que, con estas pautas, los planteen y resuelvan.

Se tiene que pretender que estos alumnos resuelvan los problemas y ejercicios con todo el rigor matemtico posible.Por ejemplo, cuando resuelvan ecuaciones, sistemas o problemas, se les puede pedir que indiquen los pasos a seguircon una frase corta. La resolucin de estas actividades no debe ser nunca una serie de cuentas, puestas unas trasotras, sino que deben presentar breves explicaciones de los pasos seguidos.

1. a)x = 2;x= d)x= 5

b)x= 1;x= 3 e)x = 2;x=

c)x= 3;x= 1 f)x= 1

2. Tiene dos soluciones distintas, pues > 0, ya que b2 > 0y 4ac > 0, porque a > 0 y c < 0.

Las soluciones tienen distinto signo porque

x1x2 = < 0, pues c < 0 y a > 0.

Tiene mayor valor absoluto la solucin positiva porque

x1+x

2= > 0, pues b < 0 y a > 0.

3. x(x 48) = 2xx2 50x = 0 x= 0 yx= 50. Solo esvlida esta ltima, pues no puede tener cero aos (ya quel mismo responde).

4. La ecuacin es: = 0

Operando se obtiene:x2 x 1 = 0

5. a) Es compatible si a 3

b) Debe ser a = 7

c) Puede ser a = 4, 5, 6 o 9

6. Se encontrarn a las 13.06 aproximadamente.

A 167,15 km de Madrid y 162,85 km de Zaragoza.

7. Al final van 25 amigos.

8. Los sumandos son 29 y 122.

9. El lado desigual mide 8 cm, y los otros, 5 cm.

10. En el derecho lleva 3,10 , y en el izquierdo, 1,90 .

x

1 5

2x

+

1 5

2

c

a

b

a

2

2

3

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Planteamiento y ecuacionesPreparamos una diapositiva con dos columnas, en la primera se propondrn enunciados de problemas relacionados conlos contenidos vistos en clase, y en la segunda, las ecuaciones que hay que obtener para resolver las soluciones (estasegunda columna estar desordenada de manera que no se correspondan los enunciados con las ecuaciones), y la pro-yectamos mediante un can.

Los alumnos observarn la diapositiva y debern asociar cada enunciado con la ecuacin que corresponda y resolver-las para obtener las soluciones lo ms rpido posible.

Se premiar a aquellas personas que consigan encontrar la mayor cantidad de ecuaciones correctas en el menortiempo.

ACTIVIDAD DE GRUPO

Ms recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar ms propuestas de actividades de ampliacin.



13/1713

1. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a)

b)

c)

d)

e) (x2 1)2 4(x2 1) + 3 = 0

f) 72x 2 7x 2 = 0

2. Demuestra que la ecuacin de segundo grado ax2+ bx+ c= 0, con a> 0, b< 0 y c< 0, tiene dos solu-ciones reales y de distinto signo. Indica cul es la solucin que tiene mayor valor absoluto.

Como ayuda, recuerda la relacin existente entre las races de una ecuacin de segundo grado y los coe-ficientes de la ecuacin.

3. Preguntada una persona por su edad, contest:

Si multiplico mi edad por la edad que tena hace 48 aos, obtengo el doble de mi edad actual.

Cul es la edad de la persona?

4.

Halla una ecuacin de segundo grado con coeficientes enteros y cuyas races sean: y

5. Dada la ecuacin: 2ax 6 =x(a+ 3)

a) Halla los valores de a para que la ecuacin tenga solucin.

b) Cunto ha de valer a para que la solucin sea ?

c) Halla los valores de a para que la ecuacin tenga por solucin un nmero natural.

6. A las 11.15 sale un coche de Zaragoza a Madrid a 90 kilmetros por hora. Media hora ms tarde sale uncoche de Madrid a Zaragoza a 120 kilmetros por hora. Sabiendo que de una ciudad a otra hay 330 kil-metros, calcula a qu hora y en qu punto se cruzarn los coches.

7. Un grupo de amigos organiza una excursin a la playa. Alquilan un autobs y deben pagar 15 euroscada uno. A ltima hora, dos de ellos fallan, y entonces cada uno debe poner 1,20 euros ms.

Calcula el nmero de amigos que finalmente van a la excursin.

8. Descompn el nmero 151 en dos sumandos, de manera que dividiendo el mayor entre el menor seobtenga 4 de cociente y 6 de resto.

9. La altura de un tringulo issceles es de 3 centmetros. Halla las dimensiones del tringulo, sabiendoque el lado desigual es 3 centmetros mayor que los otros lados.

10. Pablo lleva 5 euros en monedas repartidas en los dos bolsillos de su pantaln. Si pasa 60 cntimos delbolsillo derecho al izquierdo, llevar la misma cantidad en ambos. Cunto lleva en cada bolsillo?

3

2

1 5

2

1 5

2

+

42

49

2 1 1 5x x + =

( ) ( )x x x+

=

++

2

5

9

4

3

2

1

5

2 2 2

x x x+

+=

+4

62 1

92

619

2( )

x x x x x( ) ( ) ( )+

=

3

2

2

4

3 2

81

2


ACTIVIDADES de AMPLIACIN

Pgina

fotoc

opiable



14/174

APELLIDOS: NOMBRE:

FECHA: CURSO: GRUPO:

1. Indica el grado de las siguientes ecuaciones y resulvelas.

a) c)

b) d) 1 x(x 3) = 3(x 1)

2. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) b) c) lnx3 lnx= ln (2x+ 15)

3. Realiza un cambio de variable para resolver las siguientes ecuaciones.

a) 2x4 40x2 + 128 = 0 b) 4x 2 + 4x 1 + 4x = 42

4. Resuelve los siguientes sistemas y clasifcalos segn el nmero de soluciones.

a) Por el mtodo de reduccin. b) Por el mtodo de sustitucin.

3(x 1) + 3(y+ 4) = 2(3x+y) 9

7x 4(x+y) = 4

5. Resuelve el siguiente sistema por el mtodo grfico y clasifcalo segn el nmero de soluciones.

3x 2y= 6

x+ 4y= 9

6. Resuelve el siguiente sistema por el mtodo de igualacin y clasifcalo segn el nmero de soluciones.

6x+ 2y= 30

x y= 5

7. Resuelve el siguiente sistema.3x 2y= 1

x2 +y2 = 25

8. Resuelve los siguientes sistemas.

a) logx+ logy= 5 b) 2x+ 2y = 12logx2 + logy3 = 13 3 2x + 2y= 28

9. Las dos cifras de un nmero suman 10. Si restamos a este nmero el nmero que resulta de invertir elorden de sus cifras, obtenemos 18. Calcula dicho nmero.

10. Calcula la altura de una pirmide cuadrangular de arista 6 centmetros y de lado de la base 4 centme-tros.

1

3

x y

2 33 =

x y+

=

1

3

1

21

x

x x x x+

+

=

1

3

1

2

2 11

2 22 8 2x x+ + =

x x x x x x( ) ( ) ( )+

=

3

2

2

4

3 1

8

4 1

8

1

2

3

8

4

2

( ) ( )x x x x++

+= +

+1

23 1

2 3

101

3

5

2 1

4( )

( )x

x x x+

++ =

Pginafotoc

opiable


PROPUESTA de EVALUACIN



15/1715

1. a) Primer grado. 13x+ 12 =x 5;x =

b) Segundo grado. 3x2 15x= 0;x= 0,x= 5

c) Segundo grado. 4x2 + 4x 15 = 0;x= ,x =

d) Segundo grado. x2 + 4 = 0;x= 2

2. a)x= 4

b)x= 2 o3

c)x= 5 o3

3. a) Haciendo el cambiox2 = t se tiene la ecuacin 2t2 40t+ 128 = 0, luego t= 16 o 4, y, por tanto,x= 4 o2.

b) Haciendo el cambio 4x= t se tiene que 42t+ 41t+ t= 42. Luego t= 32 y, por tanto,x= .

4. a) La solucin del sistema esx= 8,y= 5. Es compatible determinado.

b) La solucin del sistema esx= 6,y= 0. Es compatible determinado.

5. Las rectas se cortan en el punto .

Es compatible determinado.

6. Al despejar lasx e igualar se obtiene: , luego es compatible indeterminado.

7. Las soluciones (x,y) del sistema son: (4, 3) y

8. a) Haciendo el cambio t= logxy u= logyobtenemos que t= 2 y u= 3, luegox= 100,y= 1000.

b) Haciendo el cambio t= 2xy u= 2yobtenemos que t= 8 y u= 4, luegox= 3,y= 2.

9. Si el nmero esxy, las ecuaciones a resolver sern:x+y= 10; (10x+y) (10y+x) = 18.

Al resolver obtenemosx= 6,y= 4. El nmero es el 64.

10. La altura es de 5,29 centmetros.

O X

Y

1

1

33

13

56

13,

1

35

1

35y y =

3 3

2,

52

3

2

5

2

7

12

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIN

Propuesta de evaluacin




16/17


17/17

SOLUCIONARIO

4ESO

ffrna guia didactica

Documents