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Funciones Exponenciales y Logaritmicas

Ivan GilManuel Montero

Facultad de cienciasEscuela de Matematicas

April 25, 2014

Ivan Gil Manuel Montero Funciones Exponenciales y Logaritmicas

Introduccion

Nuestro proposito es hacer la construccion de las funcionesexponenciales y logaritmicas, mostrar sus propiedades y graficas.No se necesita conocimiento mas alla del calculo diferencial,aunque si nocion sobre algebra abstracta, en particular cuerpo decocientes. No es dificil hacer una extension continua a R de lafuncion r −→ ar, donde a ∈ R y r ∈ Q, de modo que sigacumpliendo la propiedad ax+y = axay. Aun asi, siendo sencilla laextension, no partiremos de ese hecho, sino que supondremos laexistencia de la funcion ax y se expresara en terminos de su seriede Taylor en 0. Luego lo demas sera rutinario. Asi que, empezarecon el concepto de derivada para luego tratar las series de Taylor,serie de potencias, convergencia y el estudio sobre las funcionesexponenciales y logaritmicas.


Derivada

Definicion

Sea f : A −→ R y a un punto interior de A. Diremos que f esderivable en a si existe (en R)

f′(a) = lim

h→0

f(a+ h)− f(a)h

Cuando esto sucede, a la recta r(x) = f′(a)(x− a) + f(a) se le

llama recta tangente a f en el punto (a, f(a)) (o para abreviar, enel punto a). El numero f

′(a)

Diremos que una funcion es derivable en un abierto A si esderivable en todos los puntos de A. Una funcion es derivable si sudominio es un abierto y es derivable en todos sus puntos.


Si f : A −→ R es derivable, tenemos definida otra funcionf

′: A −→ R que a cada punto a ∈ A le asigna su derivada f

′(a).

A esta funcion la llamamos funcion derivada de f en A.

Definicion

Sea A un intervalo y f : A −→ R, diremos que f es creciente en Asi cuando x < y son dos puntos de A, se cumple f(x) ≤ f(y). Side hecho se cumple f(x) < f(y) diremos que f es estrictamentecreciente en A. Se dice que f es decreciente en A si cuando x < yson dos puntos de A, se cumple f(y) ≤ f(x). Si se cumplef(y) < f(x) se dice que es estrictamente decreciente en A. Lafuncion f es (estrictamente) monotona en A si es (estrictamente)creciente o decreciente en A.


Teorema

Sea A un intervalo y f : A −→ R una funcion inyectiva y continua.Entonces f es estrictamente monotona en A.

Demostracion

Sean a < b dos puntos cualesquiera de A. Supongamos quef(a) < f(b). Entonces todo a < x < b ha de cumplirf(a) < f(x) < f(b), pues si, por ejemplo, f(x) < f(a) < f(b), porel teorema de valores intermedios, en el intervalo ]x, b[ habria unpunto cuya imagen seria f(a), y f no seria inyectiva. De aqui sesigue que f es creciente en [a, b], pues si a ≤ x ≤ b, hemos vistoque f(a) < f(x) < f(b), y aplicando lo mismo a los puntos x, b,resulta que f(x) < f(y) < f(b). Igualmente, de f(b) < f(a)llegariamos a que f es decreciente en [a, b]. Por lo tanto f esmonotona en cualquier intervalo contenido en A.


Teorema (Teorema de la funcion inversa)

Sea A un intervalo abierto y f : A −→ R una funcion inyeectiva yderivable en A tal que f

′no se anule en ningun punto de A.

Entoces:

1 B = f [A] es un intervalo abierto.

2 La funcion inversa g = f−1 : B −→ A es derivable en B.

3 Para todo a ∈ A, si f(a) = b, se cumple que g′(a) = 1

f ′ (a).

Se omitira la demostracion del teorema.


Definicion (Extremo relativo)

Sea f : A ⊂ R −→ R. Diremos que f tiene un maximo relativo enun punto a ∈ A si existe un entorno V de a contenido en A demodo que para todo punto x ∈ V se cumple f(x) ≤ f(a).Diremos que f tiene un minimo relativo en a si existe un entornoV de a contenido en A tal que para todo x ∈ V se cumplef(a) ≤ f(x). La funcion f tiene un extremo relativo en a si tieneun maximo o un minimo relativo en a.

Teorema

Si f : A −→ R es una funcion derivable en un punto a ∈ A y ftiene un punto extremo relativo en a, entonces f

′(a) = 0.


Teorema de Taylor

Sea f : A −→ R una funcion derivable en el abierto A y tal quef

′: A −→ R tambien sea derivable en A. Entonces la derivada f

′

se le denomina derivada segunda de f en A, y se representa por f′′

.

A su vez la derivada segunda puede ser derivable, y entoncesesta definida la derivada tercera, y asi sucesivamente. Si unafuncion admite n derivadas en A, a la derivada n-esima se lerepresenta por fn) : A −→ R.

Conviene usar la notacion f0) para referirse a la propia funcion f .Llamaremos Cn(A) al conjunto de las funciones definidas en A

que admiten n derivadas y todas ellas son continuas en A. Sillamamos C0(A) = C(A), es decir, al conjunto de funcionescontinuas en A, entonces tenemos:

C0(A) ⊃ C1(A) ⊃ C2(A) ⊃ C3(A) ⊃ C4(A) ⊃ · · ·


Llamaremos C∞(A) al conjunto de las funcioes infinitamentederivables en A. Por ejemplo, los polinomios y las fraccionesalgebraicas son de clase C∞ en su dominio. Es inmediato queestos conjuntos son todos subalgebras de C(A).

Definicion (Serie de Taylor)

Si f es una funcion de clase C∞ en un entorno de un punto a,llamaremos serie de Taylor de f en a a la serie funcional

∞∑k=0

fk)(a)

k!(x− a)k

Sea f una funcion derivable n veces en un punto a.LLamaremos resto de Taylor de grado n de f en a, a la funcionRn(f)(x) = f(x)− Pn(f)(x), donde Pn(f) es el polinomio deTaylor de grado n de f en a.


Teorema (Teorema de Taylor)

Sea f : A −→ R una funcion derivable n+ 1 veces en un intervaloabierto A y a ∈ A. Entonces para cada x ∈ A existe un λ ∈]0, 1[tal que si c = λa+ (1− λ)x, se cumple:

Rn(f)(x) =fn+1)(c)

(n+ 1)!(x− a)n+1

Teorema

Si A es un intervalo abierto, a ∈ A, f ∈ C∞(A) y las derivadas def estan uniformemente acotadas en A, entonces para cada puntox ∈ A se cumple

f(x) =

∞∑k=0

fk)(a)

k!(x− a)k

.


Serie de Potencias

Definicion

Sea a ∈ C y {an}∞n=0 una sucesion en C. La serie de potencias decoeficientes {an}∞n=0 y centro a es la serie funcional

∞∑n=0

an(z − a)n

En particular, las series de Taylor son, pues, series de potencias.En muchos casos es facil determinar en que converge una serie depotencias. Para verlo necesitamos el concepto de limite superior deuna sucesion de numeros reales. Se trata de lo siguiente:

Sea {an}∞n=0 una sucesion de numeros reales. Su limite superiores el supremo (en R) el conjunto de sus puntos adherentes. Lorepresentaremos mediante lim

nan.


Teorema

Sea∞∑n=0

an(z − a)n una serie de potencias, sea R = 1

limn

n√|an|

(entendiendo que 1/0 = +∞ y 1/(+∞) = 0). Entonces la serieconverge absoluta y uniformemente en todo compacto contenidoen BR(a) y diverge en todo punto de C−BR(a) (las bolas setoman respecto a la norma euclidea. Convendremos queB+∞(a) = C). En particular la serie converge absoluta ypuntualmente en BR(a) a una funcion continua.

El numero R se llama radio de convergencia de la serie depotencias. La bola BR(a) se llama disco de convergencia.Tenemos, pues que una serie de potencias converge absolutamenteen su disco de convergencia y diverge en los puntos exteriores a el(los puntos interiores de su complementario). En cada punto de lafrontera del disco la serie puede converger absolutamente,condicionalmente o diverger, segun los casos.


A la hora de determinar el radio de convergencia de una seriesuele ser util el teorema siguiente:

Teorema

Sea∞∑n=0

an(z − a)n una serie de potencias tal que exista

limn

|an+1||an|

= L

Entonces su radio de convergencia es 1/L.


La funcion exponencial

Ahora estamos en condiciones para hacer nuestra construccionde la funcion exponencial. Daremos por conocida ar cuando a esun numero real positivo y r un numero racional. En lugar de haceruna extension continua a R de ar asumiremos la existencia de ax,donde x ∈ R, asi como que es derivable, y vamos a calcular suserie de Taylor. Asi obtendremos la serie que deberemos tomarcomo definicion.

Sea f(x) = ax. Entonces

f′(x) = lim

h→0

ax+h − ax

h= ax lim

h→0

ah − 1

h= axf

′(0)

Llamaremos k = f′(0). Entonces hemos probado que

f′(x) = kf(x), luego fn)(x) = knf(x) y por induccion se concluye

que f es infinitamente derivable. No puede ser k = 0, o de locontrario f seria constante.


Sea e = a1/k = f(1/k). Entonces la funciong(x) = ex = ax/k = f(x/k) cumpleg′(x) = f

′(x/k)(1/k) = f(x/k) = g(x), es decir, escogiendo

adecuadamente la base e obtenemos una funcion exponencial quecoincide con su derivada. Su serie de Taylor en 0 entonces es facilde calcular: todas las derivadas valen e0 = 1, lo cual nos lleva a ladefinicion siguiente:

Definicion

Llamaremos funcion exponencial a la definida por la serie depotencias

ez =

∞∑n=0

zn

n!


Puesto que

limn

1/(n+ 1)!

1/n!= lim

n

1

n= 0

el radio de convergencia es infinito, luego la exponencial estadefinida sobre todo numero complejo z. La exponencial real esderivable, y su derivada en un punto x es

∞∑n=1

nxn−1

n!=

∞∑n=1

xn−1

(n− 1)!=

∞∑n=0

xn

n!= ex

Es claro que e0 = 1. Definimos el numero

e = e1 =

∞∑n=0

1

n!= 2.71828182845904...


Ahora probaremos la ecuacion que caracteriza a la funcionexponencial:

Teorema

Si z1, z2 ∈ C, entonces ez1+z2 = ez1z2 .

Demostracion

Utilizando la formula del producto de Cauchy tenemos:

ez1ez2 =

∞∑n=0

zn1n!

∞∑n=0

zn2n!

=

∞∑n=0

n∑k=0

1

k!(n− k)!zk1z

n−k2

=

∞∑n=0

1

n!

n∑k=0

n!

k!(n− k)!zk1z

n−k2 =

∞∑n=0

(z1 + z2)n

n!

= ez1+z2


De aqui obtenemos muchas consecuencias. Por una parte, si nes un numero natural no nulo entonces en = e

∑ni=1 1 =

∏ni=1 e, es

decir, la funcion exponencial sobre numeros naturales coincide conla exponenciacion usual con base e. Asi mismo,1 = e0 = ex−x = exe−x, luego e−x = 1/ex, con lo que la funcionexponencial coincide tambien con la usual cuando el exponente esentero.

Como los coeficientes de la serie exponencial son positivos,vemos que si x ≥ 0 entonces ex > 0, y si x < 0 entoncesex = 1/e−x > 0. Asi pues, ex > 0 para todo numero real x.

Como, (e1/n)n =∏n

i=1 e1/n = e1 = e, resulta que e1/n = n

√e.

Es facil ver ahora que ep/q = n√ep, luego la funcion exponencial

coincide con la que teniamos definida para exponentes racionales.Puesto que la derivada es positiva en todo punto, vemos que la

funcion exponencial es estrictamente creciente en R. En particulares inyectiva.


Separando los dos primeros terminos de la serie vemos que six ≥ 0 entonces 1 + x ≤ ex, luego lim

x→∞ex = +∞. A su vez esto

implica que

limx→−∞

ex = limx→+∞

e−x = limx→+∞

1

ex= 0

Por el teorema de los valores intermedios, la funcion exponencialbiyecta R con el intervalo ]0,+∞[.

Definicion

Llamaremos funcion logaritmica a la inversa de la funcionexponencial, log :]0,+∞[−→ R.


Grafica de la funcion logaritmo y exponencial


El teorema de la funcion inversa nos da que y = log x esderivable, y su derivada es y

′= 1

(ey)′= 1

ey = 1x .

De las propiedades de la funcion exponencial se deduceninmediatamente las de la funcion logaritmica. Obviamente es unafuncion extrictamente creciente, ademas verifica la ecuacionfuncional log(xy) = log x+ log y. Tambien es claro que log 1 = 0,log e = 1 y

limx→+∞

log x = +∞, limx→0

log x = −∞.


Funcion exponencial en cualquier base positivaDefinicion

Sea a > 0 y x ∈ R. Definimos ax = elog a.

Notar que, como log e = 1, en el caso a = e la exponencial queacabamos de definir coincide con la que ya teniamos definida. Sinembargo la funcion ex se diferencia de las otras exponenciales enque esta definida sobre todo el plano complejo y no solo sobre larecta real. Las funciones exponenciales verfican las siguientespropiedades:

1 ax+y = e(x+y)loga = exlog aeylog a = axay

2 log ax = log exlog a = xlog a3 (ax)y = eylog ax = exylog a = axy

4 a0 = 15 a1 = a6 a−x = 1

ax


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