Fermat; el mago de los nmeros.

Universidad Politcnica de MadridFermat; el mago de los nmeros.

Marta Muoz SeguraSara Cmara Vazquez

ndice

1. La vida de Pierre de Fermat.

2. Los nmeros primos de Fermat.

3. Los nmeros primos de Fermat y las construcciones geomtricas.

4. El mtodo de factorizacin de Fermat.

5. Cundo un nmero es una suma de cuadrados?

6. Nmeros perfectos

7. Nmeros amigos

8. El pequeo teorema de Fermat

9. La correspondencia con Pascal y la teora de las probabilidades.

10. A las puertas del clculo diferencial e integral.

11. El mtodo del descenso infinito.

12. El ltimo teorema de Fermat.

13. La historia continua.

14. Bibliografa.

1. La vida de Pierre de Fermat.

La teora de los nmeros, es decir el estudio de las propiedades de los nmeros enteros, ha sido llamada la reina de las matemticas.Pierre de Fermat es conocido como el padre de la teora de los nmeros .Su importancia como matemtico viene perfectamente definida por la siguiente frase de Oystein Ore;Fermat representa un punto focal en la historia de los nmeros; en su trabajo las ramas de radicales de los perodos anteriores fueron unificadas y su contenido recreado de una manera sistemtica y enriquecida.Fermat naci el 17 de agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne, Francia, y muri el 12 de enero de 1665 en Castres. Fue educado y criado en su ciudad natal. Hay pocas noticias de su paso por la escuela, pero debi de estudiar en el monasterio local de los franciscanos en Beaumont. Entre 1625 y 1630 se traslad a Burdeos, donde dieron comienzo sus primeras investigaciones matemticas. En 1629 hizo una reconstruccin del Plane loci de Apolonio.En Burdeos escribi su importante trabajo sobre mximos y mnimos Methodus ad disquirendam maximan et miniman, que no lleg a publicar en vida.En 1631, obtuvo un puesto de magistrado en el Parlament de Toulouse por lo que se traslad all. En 1631, se cas con Louise de Long. Con ella tuvo tres hijos y dos hijas. Uno de sus hijos sera posteriormente el responsable de recopilar sus trabajos matemticos para su posterior publicacin. Es importante mencionar tambin que a principios del siglo XVII la mayora de los matemticos no eran profesionales, slo Roberval ocupaba una ctedra en el Collge Royal . Como ya hemos dicho, Fermat era magistrado y Descartes y Pascal podran dedicarse a las matemticas y a la filosofa por que disponan de una cierta fortuna personal. Un ao despus de la muerte de Fermat se cre en Paris, a instancias del ministro Colbert, la famosa Acadmie Royale des Sciences. Los trabajos de Fermat fueron conocidos por su amigo Pierre de Carcavi. La principal aportacin de Fermat fue hacer de la teora de los nmeros una ciencia sistemtica. Fermat posea una copia del libro Aritmtica de Diofanto publicada por Bachet sobre la que anotaba comentarios al margen. Despus de su muerta, el libro, junto con las notas de Fermat, fue publicado en 1670 por su hijo Samuel.

2. Los nmeros primos de Fermat.

Cuando un nmero se puede dividir por otro y da resto cero, decimos que ste es un divisor del primero. Existen nmeros cuyos divisores son solo dos: el mismo nmero y el 1. A estos nmeros los denominamos nmeros primos. Por ejemplo, 13 slo se puede dividir por 13 y por 1.Todo nmero se puede escribir como producto de nmeros primos y esta manera de escribirlo es nica. El nmero 30 se puede descomponer como el producto de 2,3 y 5. Este resultado era conocido ya por los griegos y hoy da se conoce como el teorema fundamental de la aritmtica. Los nmeros primos han suscitado a lo largo de la historia la curiosidad de los matemticos. Ya Euclides en el ao 300 a.C. demostr que existen infinitos nmeros primos. Un problema interesante es preguntarse si un nmero aleatorio es primo o no. Para saberlo, lo ms sencillo es empezar a dividir el nmero por los primos ms pequeos. El mayor problema del mtodo anterior es la dificultad para realizar tantas divisiones cuando el nmero que queremos estudiar es muy grande. Por esta razn ha sido necesario buscar otros mtodos que permitan resolver la cuestin: cundo un nmero es primo? A la resolucin de este problema se dedic Fermat en numerosas ocasiones. Para ello, consider la familia de nmeros que se obtienen sumando 1 a ciertas potencias de 2, Nn=22n+1 y obtuvo los llamados nmeros primos de Fermat: 3 , 5, 17, 257 y 65537.

El siguiente nmero primo de Fermat es tan grande que es difcil de factorizar. Al observar Fermat que todos los primeros nmeros de esta frmula eran primos, conjetur que todos eran primos. Un siglo ms tarde, en 1739, Euler demostr que el siguiente nmero de Fermat tena un divisor y, por tanto, no era un nmero primo. El procedimiento utilizado por Euler es un ejemplo de cmo se debe trabajar en matemticas, ya que sintetiz la teora y la experiencia. Euler prob tericamente que cualquier divisor de un primo de Fermat Nt era de la forma 2t+1k + 1. A continuacin, Euler construy una tabla de nmeros primos y encontr que los primeros de esta forma eran 193, 257,449,577 y finalmente 641, nmero que result ser un divisor de N5.

3. Los nmeros primos de Fermat y las construcciones geomtricas.

Platn pensaba que las figuras geomtricas perfectas eran dos, la recta y la circunferencia. Esto es lo mismo que decir que, para tales clculos, slo podemos utilizar regla y comps. Existen, sin embargo, tres construcciones famosas que los griegos no fueron capaces de realizar: la duplicacin del cubo, la triseccin de un ngulo y la cuadratura del crculo.No sorprende que no las encontraran, pues en realidad son construcciones imposibles.En la misma lnea, los griegos fueron capaces de dibujar con regla y comps el tringulo, el pentgono y el polgono regular de 15 lados. Pero tuvieron que pasar unos dos mil aos hasta que, el 30 de marzo de 1796, Gauss consiguiese la construccin del polgono de 17 lados. Este importante hallazgo fue publicado en 1801 en la seccin VII de su libro Disquisitiones arithmeticae y fue generalizado por Gauss afirmando que el polgono regular de n lados se puede construir con regla y comps si, y slo si, n = 2r p1psdonde r y s son nmeros enteros mayores o iguales que 0 y los primos pi son primos distintos y de la forma 2m+1.Hasta hoy no se han encontrado nuevos nmeros primos de Fermat. En estas circunstancias se comienza a creer que slo stos son primos, pero tampoco tenemos una demostracin de este hecho. Lo que s sabemos es que con menos de 40000 cifras slo existen los cinco que ya hemos mencionado.La bsqueda de nmeros primos grandes, se ha visto estimulada, desde 1977, por la utilizacin de nmeros primos grandes en criptografa.

4. El mtodo de factorizacin de Fermat

Este mtodo se encuentra recogido en una carta sin fecha, aunque probablemente fue escrita alrededor de 1643 y dirigida a Mersenne, un padre franciscano que pas la mayor parte de su vida en un convento en Pars, era un telogo y filsofo. Sin embargo, su inters para la historia de las matemticas se debe al hecho de que fue escogido como intermediario por los mayores matemticos de la poca. Enviaba a los matemticos que conoca los problemas que no consegua resolver y, posteriormente, se preocupaba de difundir por carta los resultados entre los interesados en el tema.El problema de la factorizacin consiste en encontrar los divisores de un nmero dado. La idea de Fermat se basaba en que si un nmero es diferencia de dos cuadrados n = x2-y2entonces n se puede factorizar de manera muy sencilla, utilizando la frmula siguiente: n = (x-y)(x+y)Veamos ahora el ejemplo que el propio Fermat utiliz para probar su efectividad de su mtodo. Se trata de factorizar el nmero 2027651281. Su raz cuadrada est entre 45029 y 45039. Los sucesivos nmeros que vamos probando y sus resultados aparecen en la siguiente tabla, comenzando por 45030.

El ltimo nmero, 1040400, es el cuadrado de 1020, con lo que tenemos que 2027651281 = (45041 + 1020) (45041 - 1020) = 46061 44021.Se puede comprobar que estos nmeros son primos.

5. Cundo un nmero es una suma de cuadrados?

No todo nmero se puede escribir como suma de dos cuadrados. Por ejemplo, el nmero 6 no es suma de dos cuadrados. Fermat indic que todos los nmeros primos de la forma 4n + 1 se pueden expresar de manera nica como suma de dos cuadrados. Existe una frmula sencilla, de fcil comprobacin, ya usada implcitamente por Diofanto: (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad- bc)2 = (ac- bd)2 + (ad + bc)2Que permite observar que el producto de dos nmeros que son suma de dos cuadrados es tambin una suma de dos cuadrados. Fermat estudi tambin el problema de escribir un nmero en la forma de un cuadrado ms el doble de otro cuadrado, o de un cuadrado ms el tripe de otro cuadrado. Afirm que un nmero primo impar se puede descomponer en la forma de un cuadrado ms el doble de otro cuadrado si, y slo si, es de la forma 8n + 1, o de la forma 8n + 3. Lleg a afirmar que tena una demostracin rigurosa de este planteamiento. El problema de la representacin de un nmero como suma de un cuadrado ms de 5 veces otro cuadrado tambin fue considerado por Fermat. Conjetur que si dos primos p y 1 son de la forma 4n + 3, ambos terminan en 3 o 7, por lo que el producto de ambos pq es de la forma deseada, es decir, se puede escribir como un cuadrado ms de 5 veces otro cuadrado.En 1621, Bachet conjetur que todos los enteros positivos se pueden obtener como suma de 4 cuadrados, y verific la conjetura para todos los nmeros hasta 120. Como de costumbre, Fermat escribi en la copia del libro de Diofanto que tena una demostracin de este resultado. El mtodo de demostracin que utiliz fue el mtodo del censo infinito. Se trata de suponer que existe un nmero que no cumple la condicin que queremos probar y encontrar entonces otro ms pequeo que tampoco la cumple. Pero este proceso no es posible, pues los nmeros enteros positivos no pueden ir decreciendo infinitamente. Fermat aplic este mtodo al caso, ya comentado, de que todo nmero primo de la forma 4n+1 fuese suma de dos nmeros al cuadrado. Su demostracin no est explicada con todo detalle, pero podemos suponer que la tena.La primera demostracin completa de que todo nmero es suma de 4 cuadrados se debe al matemtico francs J. L. Lagrange, que la hizo pblica en 1770. El famoso alemn David Hilbert prob este resultado en 1909.

6. Nmeros perfectos.

Este tipo de nmeros pertenece a los primeros pasos de la teora de los nmeros. Un nmero es perfecto si es igual a la suma de sus divisores, exceptuando l mismo. Los primeros nmeros perfectos tienen una interpretacin divina. Dios cre el mundo en seis das. El nmero 6 es un nmero perfecto (6 = 3 + 2+ 1). La luna tarda 28 das en dar una vuelta alrededor de la Tierra, 28 tambin es un nmero perfecto (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14).Los griegos fueron los primeros en considerar y estudiar esta clase de nmeros. Los cuatro primeros nmeros perfectos conocidos son 6, 28, 496 y 8128.El problema consiste en dar con una regla que permita encontrar nmeros perfectos y que, tambin, sea til para deducir si un nmero es o no perfecto. Lo primero que debemos calcular es el nmero de divisores de un nmero, que es fcil de realizar por el mtodo de factorizacin.Se puede probar que si un nmero tiene una factorizacin en nmeros primos, donde el primo p1 aparece elevado a la potencia a1, el primo p2, y as hasta pn con una potencia an, n = p1a1 p2a2 pnanentonces, para calcular el nmero total de divisores tendremos que multiplicar:(a1 + 1) (a2 + 1) (an + 1)Un poco ms complicado es calcular la suma de los divisores obtenidos. Dado un nmero N, llamaremos S(N) a la suma de los divisores del nmero N. Para el caso de que N tenga slo 2 nmeros primos en su factorizacin, se puede probar que si N = a b, donde a y b no tienen primos comunes en su factorizacin, entonces S(N) = S(a) S(b), o lo que es lo mismo: la suma de los divisores de N es igual a la suma de los divisores del nmero a multiplicada por la suma de los divisores del nmero b.Todo nmero se puede escribir como el producto de distintos nmeros primos elevados a una potencia. Por tanto, para calcular la suma de los divisores de un nmero solamente tendremos que calcular la suma de los divisores de nmeros primos elevados a una potencia. Para calcular a suma de divisores de N = pa haremos lo siguiente: sus divisores son 1,p,p2pa y la suma S(N) = S(pa) = 1 +p + p2 + + pa da una progresin geomtrica de razn p.Por lo tanto, podemos calcular el valor de la suma aplicando la frmula de la suma de una progresin geomtrica: S(N) = S(pa) = (pa + 1 - 1)/(p-1).En el caso ms general de un nmero cualquiera descompuesto en factores primos N = pa qk la suma de sus divisores se puede obtener por la frmula:S(N) = [(pa + 1 - 1)/(p-1)] [ (qk + 1 - 1)/(q-1)]

El libro ms famoso de la matemtica griega, Elementos, de Euclides, Fue escrito alrededor del 300 a.C. Resulta llamativo que el primer resultado conocido sobre los nmeros perfectos aparezca ya en este libro. En terminologa moderna podemos establecer este resultado observando que 1 + 2 + 4 + + 2n-1 es la suma de una progresin geomtrica cuyo valor es (2n-1); as afirmamos que 2n-1 (2n-1) es perfecto cuando (2n-1) es un nmero primo. En el libro de Euclides aparece la demostracin de este hecho.

Si un nmero no es perfecto, entonces es nmero abundante o nmero deficiente. Cuando la suma de sus divisores (excluido en el propio nmero) es ms grande que el nmero, entonces es nmero abundante. Cuando la suma de los divisores (excepto el propio nmero) es ms pequea que el nmero es deficiente.Solo existen 21 nmeros abundantes menores que 100 y todos son pares, el primer nmero impar abundante es 945.En algunos nmeros abundantes la suma de sus divisores (excluido el propio nmero) es un mltiplo del nmero. El problema de encontrar estos nmeros fue propuesto por Mersenne en 1631 en una carta a Descartes. En estos aos, Fermat descubri el segundo ejemplo de nmero perfecto por mltiplos, el 672, en el que la suma de sus divisores es el doble del nmero.En una carta escrita a Mersenne en 1640, demuestra lo que hoy conocemos como pequeo teorema de Fermat, que fue una consecuencia de sus investigaciones sobre los nmeros perfectos.

7. Nmeros amigos.

Desde la Antigedad se ha afirmado que dos nmeros son amigos si cada uno de ellos es la suma de los divisores del otro, excluido el propio nmero. Los nmeros 220 y 248 son los nicos nmeros amigos que aparecen en los antiguos textos de aritmtica. Como aparece en la Biblia, Jacob ofreci a su hermano 220 ovejas cuando pensaba que lo iba a matar; para los exgetas judos, 220 es un nmero amigo. En los escritos de los matemticos rabes, aparecen frecuentemente.Posteriormente su conocimiento pas a Europa. Numerosos autores del siglo XVI escribieron sobre estos nmeros, pero slo Fermat fue capaz de obtener un nuevo par de nmeros amigos. Lo que hizo fue reinventar una regla que haba sido obtenida por el matemtico Abu-Hasan Thabit ibn Qurra en el siglo IX. La regla que estudi Fermat afirma que para cualquier nmero n mayor que 1 (n>1 en notacin matemtica) si p = 3 2n-1 1q = 3 2n 1r = 9 2n-1 1son los tres nmeros primos, entonces los nmeros 2npq y 2nr son amigos. Esto no quiere decir que todos los nmeros amigos cumplan esta condicin, sino slo que los que la cumplen son nmeros amigos.En 1636, Fermat anunci que 17296 y 18416 eran dos nmeros amigos. Descartes consigui el tercer par; 9363584 y 9437056. Euler desarroll un mtodo para encontrarlos. En 1747 dio una lista de 30 pares y despus la extendi a 60. En 1909 se encontr que uno de sus pares era falso; en 1914 sucedi lo mismo con otro par.Hay otros nmeros que lo son sin necesidad de cumplir su condicin. En 1866, un joven de 16 aos, Paganini, descubri un par de nmeros amigos (1184, 1210) que hasta entonces era desconocido, y que, adems, no cumple la condicin anterior.Actualmente, con las posibilidades que incorpora el uso de los ordenadores, se ha aumentado considerablemente la lista de nmeros amigos.

8. El pequeo teorema de Fermat.

Este pequeo teorema es una de las observaciones ms curiosas e inteligentes que Fermat estableci para los nmeros primos. Como era habitual en Fermat, el teorema lo enunci en una carta dirigida a Bernard Frnicle de Bessy el 18 de octubre de 1640; en ella tampoco incluy la demostracin por temer que fuera demasiado larga.

Los destinatarios de las cartas de Fermat nunca le exigieron ninguna demostracin. Fue Euler en 1736, el primero en dar una, que apareci publicada en las Actas de la Academia de San Petersburgo. En 1760, Euler generaliz este resultado.Es importante sealar cmo este teorema de Fermat aporta informacin sobre nmeros que posiblemente nunca un ordenados podra manejar. En concreto, se conoce desde 1979 que el nmero 244497 1 es un nmero primo. Por tanto sabemos que 244497 1 divide a 3(2^44497 1)-1.De todo lo anterior, lo que ms nos interesa son determinados resultados relativos a los restos de las divisiones. A travs de ellos, podemos emplear los postulados de lo que se denomina aritmtica modular, una de las grandes creaciones de Gauss.Utilizando la notacin de congruencias, el teorema de Fermat se escribe as: para cualquier primo p y cualquier nmero entero a ; ap = a(mod p).Una de las aplicaciones ms sencillas de las congruencias, es la conocida regla del 9. Esta regla aparece al final de la primera seccin del libro Disquisitiones, de Gauss. Mediante congruencias es posible comprobar si las operaciones aritmticas son correctas.La aplicacin de las reglas de divisibilidad a la comprobacin de una operacin aritmtica se fundamenta en la propiedad de las congruencias. Si queremos comprobar que al multiplicar dos nmeros enteros a y b su producto c es correcto, es decir, c=ab, entonces sabemos que c ser congruente con ab mdulo m para cada nmero entero que tomemos como mdulo m. c= a b (mod m).En concreto, lo mejor es tomar como mdulo algn nmero entero cuya regla de divisibilidad sea muy sencilla. Hemos indicado anteriormente que la regla de divisibilidad por 9 es fcil. Con un ejemplo se entender mejor cmo se realiza en la prctica. Supongamos que calculamos el producto de a = 1458 por b = 58962. Esto es igual a c = 85966596.Calculamos el resto de dividir cada nmero por 9;a= 1+ 4+ 5+ 8 = 18= 0(mod 9)b= 5+ 8+ 9+ 6+ 2 = 30= 0 (mod 9)c= 8+ 5+ 9+6+ 6+5+ 9+ 6 = 54(mod 9)Entonces ab = 0(mod 9) y c= 0 (mod9)Que es lo que debe ocurrir si la operacin est bien calculada. Este mtodo tambin se puede utilizar para sumas, restas y divisiones.

9. La correspondencia con Pascal y la teora de las probabilidades.

En 1654 Fermat volvi a mantener correspondencia con los matemticos de