Fenómenos Críticos

INTRODUCCIÓN A  LA  COMPLEJIDAD  EN BIOLOGÍA Y MEDICINA

• fenómenos de equilibrio

• macroscópicos

punto crítico

Transiciones de fase termodinámicas

Ej: fluido normal

Transición gas-líquido

Tc

Pc

T < Tc : transición de fase discontinua ó de 1er orden

Ferromagnetismo en sólidos

|B|

|M|

0

Ms

M0

Magnetización

espontanea

Magnetización de saturación

Magnetización M ↔ campo magnético B

ferromagnético

paramagnético

0T

Tc

M0(T)

Fase ferromagnética Fase paramagnética

T = Tc : transición de fase continua, de 2do orden ó

fenómeno crítico

Tc: temperatura crítica

0T

Tc

M0(T)

TTTM c ~)(0

> 0: exponente crítico

Calor específico C(T): dQ = V C(T) dT;dTdQ

VTC

1)(

C(T)

T

cTTTC ~)(

> 0: exponente crítico

para 1 cTT

Respuesta ante un campo magnético externo B

0

),(1)(

BBBTM

VT

Susceptibilidad magnética:

BTM )( para

V = 1

B << 1

(T)

T

cTTT ~)(

> 0: exponente crítico

para 1 cTT

Orígen microscópico del ferromagnetismo

Interacción de intercambio: jiij JE μμ .

i j

i : momento magnético ó spin

Modelo de Ising

Si = ± 1Si = 1

Sj = - 1

ji

N

iiji SBSSJE

, 1

Mecánica Estadística

NSSS

TE

TE

N ee

SSSP

,...,,

/

/

21

21

,...,,

Dada la energía de una configuración {S1, S2,…,SN} permite calcular promedios termodinámicos de cualquier cantidad que dependa de estas variables

Distribución de Boltzmann:

ji

N

iiji SBSSJE

, 1

N

iiN SSSSM

121 ),...,,(Ej.: magnetización

MN

SSSMSSSPN

TBm NSSS

N

N

1,...,,,...,,

1),( 21

,...,,21

21

B = 0

|m|

Tc

T

Transición solo ocurre para N → ∞

Fenómeno cooperativo,

auto-organizado

Sistema complejo!m: parámetro de orden

orden desorden

Fluidos vs. ferromagnetos

cTTTC ~)( para 1 cTT

TTT cCGL ~)(, para 1 TTc

v = 1/ρ

B

B

0

),(1)(

BBBTM

VTsusceptibilidad magnética:

cTTT ~)( para 1 cTT

PPT

PTT ),(1

),(

compresibilidad isotérmica:

ccT TTPT ~),( para 1 cTT

TTT ccGL ~)(,

cc

c

c

LG

TTTT

11~)( ,,

~ 1/3

Ley de estados correspondientes

Universalidad

exponente Xe Ni fluido binario

bronce Ising d=3

(exacto)

< 0.2 0.04 ± 0.12 0.113 ± 0.005 0.05 ± 0.06 0.12

0.35 ± 0.015 0.358 ± 0.003 0.322 ± 0.002 0.305 ± 0.005 0.31

1.3 ± 0.2 1.33 ± 0.02 1.239 ± 0.002 1.25 ± 0.02 1.25

Exponentes críticos Clases de Universalidad

Que determina la clase de universalidad?

• d: dimensión espacial

• simetría del parametro de orden

• interacciones de corto alcance

Teoría: Grupo de renormalización

Kenneth Wilson (1971) – Premio Nobel de Física 1982

Leo P. Kadanoff (1965-1969)

Michael E. Fisher (1964-1969)

B. Widom (1965-1967)

Concepto principal: INVARIANCIA DE ESCALA

Correlaciones espaciales

O

0rSrr 0

S

r0

r

r0+r

0

0000

1)(

rrrrrrr SSSS

NrC

correlación entre fluctuaciones de spines a una distancia r = |r|

/)( rerC para T ≠ Tc

ξ(T): longitud de correlación

cTTT )(para T Tc > 0: exponente crítico

/2

1)( r

d er

rC para T ~ Tc > 0: exponente crítico

Sistemas críticos presentan correlaciones espaciales de largo alcance!

Extrema sensibilidad ante perturbaciones externas → divergencia en las funciones respuesta

Ising d=2 – Simulaciones numéricas

T = 0.8 Tc T = 0.95 Tc T = 0.99 Tc T = 0.999 Tc

T = Tc T = 1.1 Tc T = 1.5 Tc T = 2 Tc

ξ ξ

T = Tc

INVARIANCIA DE ESCALA

Fractal!

Fluctuaciones de todas las escalas

Opalescencia crítica

Una medida de Complejidad

i j

SjSi

Pi(S) Pj(S)

Si = +1 Pi(+1)

Si = -1 Pi(-1)

Pij(S1,S2) = Pi(S1) Pj(S2)

Probabilidad conjunta

Pij(S1,S2)

eventos independientes:

eventos correlacionados:

Pij(S1,S2) > Pi(S1) Pj(S2)

0ijT >> Tc →

T << Tc

Pi(+1) ~ Pj(+1) ~ 1

Pij(+1,+1) ~ 1

Pi(-1) ~ Pj(-1) ~ 0

Pij(+1,-1) ~ Pij(-1,+1) ~ Pij(-1,-1) ~ 0

0ij

1

21211 21

,S

jiijS

ij SPSPSSP

ji

ijD,

Complejidad:

Grupo de renormalización

Conjunto de transformaciones de escala:

“ZOOM termodinámico”

Universalidad: los exponentes críticos solo dependen de aquellas propiedades que permenecen invariantes ante una trasformación de escala

T → Tc ξ ∞

Correlaciones temporales

Relajación al equilibrio:

/)()( teq eATmtm para T ≠ Tc

τ(T): tiempo de relajación

τ(T) ~ ξ z ~|T-Tc|z z > 0: exponente crítico dinámicofrenado crítico:

Sistemas críticos presentan correlaciones temporales de largo alcance!

Fenómenos críticos

Invariancia de escala no trivial (longitud de correlación divergente)

Correlaciones espaciales y temporales (entre fluctuaciones) de largo alcance (leyes de potencia)

Sensibles ante perturbaciones externas: funciones respuestas divergentes → leyes de potencia caracterizadas por exponentes críticos

Universalidad → fenómenos independientes de los detalles finos

0/)( rrerf r’ [cm] = r [mm]/10

No es invariante por una transformación de escala!

r [mm]

f(r)

= e

xp(-

r/r 0)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

r0

r' [cm]

f(r)

= e

xp(-

r'/r' 0

)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

r0

Las leyes de potencia son invariantes por escala

r [mm]

f(r)

= 1

/r

rrf

1)(

r’ [cm] = r [mm]/10

r' [cm]

f(r')

= 1

/(1

0

r' )

'101

)'(r

rf

r' [cm]

f(r')

*10

'1

)'(10)('r

rfrf