Fenómenos Críticos

INTRODUCCIÓN A LA COMPLEJIDAD EN BIOLOGÍA Y MEDICINA

Transiciones de fase termodinámicas

• fenómenos de equilibrio

• macroscópicos

Ej: fluido normal

punto crítico

Transición gas-líquido

Tc

Pc

T < Tc : transición de fase discontinua ó de 1er orden

Ferromagnetismo en sólidos

Magnetización M ↔ campo magnético B

|B|

|M|

0

Ms

M0

Magnetización

espontanea

Magnetizaciónde saturación

ferromagnético

paramagnético

0T

Tc

M0(T)

Fase ferromagnética Fase paramagnética

Tc: temperatura crítica

T = Tc : transición de fase continua, de 2do orden ó

fenómeno crítico

M0(T)

( )βTTTM c −~)(0

β > 0: exponente críticoT

0 Tc

Calor específico C(T): dQ = V C(T) dT;dTdQ

VTC 1)( =

C(T)

T

α−− cTTTC ~)(

α > 0: exponente crítico

para 1<<− cTT

Respuesta ante un campo magnético externo B

0

),(1)(=

∂∂

=BB

BTMV

Tχ

Susceptibilidad magnética:

BTM )(χδ ≈para

V = 1

B << 1

χ(T)

T

γχ −− cTTT ~)(

γ > 0: exponente crítico

para 1<<− cTT

Orígen microscópico del ferromagnetismo

Interacción de intercambio: jiij JE µµ .−=

µi µjµi : momento magnético ó spin

Modelo de Ising

Si = ± 1Si = 1

Sj = - 1

∑ ∑>< =

−−=ji

N

iiji SBSSJE

, 1

Mecánica EstadísticaDada la energía de una configuración {S1, S2,…,SN} permitecalcular promedios termodinámicos de cualquier cantidad quedependa de estas variables

( )∑ −

−

=

NSSS

TE

TE

N eeSSSP

,...,,

/

/

21

21

,...,,Distribución de Boltzmann:

∑ ∑>< =

−−=ji

N

iiji SBSSJE

, 1

∑=

=N

iiN SSSSM

121 ),...,,(Ej.: magnetización

( ) ( ) MN

SSSMSSSPN

TBm NSSS

NN

1,...,,,...,,1),( 21,...,,

2121

== ∑

B = 0

|m|Transición solo ocurrepara N →∞

TFenómeno cooperativo,

auto-organizadoTc

orden desorden Sistema complejo!m: parámetro de orden

Fluidos vs. ferromagnetos

( )βρρρ TTT cCGL −− ±~)(, para 1<<−TTc

α−− cTTTC ~)( para 1<<− cTT

B

B

v = 1/ρ

0

),(1)(=

∂∂

=BB

BTMV

Tχsusceptibilidad magnética:

γχ −− cTTT ~)( para 1<<− cTT

PPTPTT ∂

∂=

),(1),( ρρ

κcompresibilidad isotérmica:

γκ −− ccT TTPT ~),( para 1<<− cTT

( )βρρρ TTT ccGL −− ±~)(,

ββ

ρρ

ρρ

−+ −+

cc

c

c

LG

TTTT

11~)( ,,

β ~ 1/3

Ley de estados correspondientes

Universalidad

1.251.25 ± 0.021.239 ± 0.0021.33 ± 0.021.3 ± 0.2 γ

0.310.305 ± 0.0050.322 ± 0.0020.358 ± 0.0030.35 ± 0.015β

0.120.05 ± 0.060.113 ± 0.0050.04 ± 0.12< 0.2α

Ising d=3(exacto)

bronce βfluidobinario

NiXeexponente

Exponentes críticos Clases de Universalidad

Que determina la clase de universalidad?

• d: dimensión espacial

• simetría del parametro de orden

• interacciones de corto alcance

Teoría: Grupo de renormalización

Kenneth Wilson (1971) – Premio Nobel de Física 1982Leo P. Kadanoff (1965-1969)Michael E. Fisher (1964-1969)B. Widom (1965-1967)

Concepto principal: INVARIANCIA DE ESCALA

Correlaciones espaciales

0rSrr +0

S

r0

r

r0+r

( )( )∑ ++ −−=0

0000

1)(r

rrrrrr SSSSN

rC

correlación entre fluctuaciones de spines a una distancia r = |r|

O

ξ/)( rerC −≈para T ≠ Tc

ξ(T): longitud de correlación

νξ −−≈ cTTT )(para T → Tc υ > 0: exponente crítico

ξη

/2

1)( rd e

rrC −

+−≈para T ~ Tc η > 0: exponente crítico

Sistemas críticos presentan correlaciones espaciales de largo alcance!

Extrema sensibilidad ante perturbaciones externas → divergencia en las funciones respuesta

Ising d=2 – Simulaciones numéricas

T = 0.8 Tc T = 0.95 Tc T = 0.99 Tc T = 0.999 Tc

ξ ξ

T = Tc T = 1.1 Tc T = 1.5 Tc T = 2 Tc

INVARIANCIA DE ESCALA

T = Tc

Fractal!

Fluctuaciones de todas las escalas

Opalescencia crítica

Una medida de Complejidad( ) ( ) ( )[ ]∑∑

±=±=

−=1

21211 21

,S

jiijS

ij SPSPSSPδ

∑=ji

ijD,

δComplejidad:

SjSi

i jPi(S) Pj(S)

Si = +1 → Pi(+1)Si = -1 → Pi(-1)

0≈ijδT >> Tc →

Pij(S1,S2) = Pi(S1) Pj(S2)

Probabilidad conjunta

Pij(S1,S2)eventos independientes:

eventos correlacionados:

Pij(S1,S2) > Pi(S1) Pj(S2)

T << Tc

Pi(+1) ~ Pj(+1) ~ 1

Pij(+1,+1) ~ 1

Pi(-1) ~ Pj(-1) ~ 0

Pij(+1,-1) ~ Pij(-1,+1) ~ Pij(-1,-1) ~ 0

0≈ijδ

Grupo de renormalización

Conjunto de transformaciones de escala:

“ZOOM termodinámico” T → Tc ξ → ∞

Universalidad: los exponentes críticos solo dependen de aquellas propiedades que permenecen invariantes ante una trasformación de escala

Correlaciones temporalesRelajación al equilibrio:

τ/)()( teq eATmtm −+= para T ≠ Tc

τ(T): tiempo de relajación

τ(T) ~ ξ z ~|T-Tc|zυ z > 0: exponente crítico dinámicofrenado crítico:

Sistemas críticos presentan correlaciones temporales de largo alcance!

Fenómenos críticosInvariancia de escala no trivial (longitud de correlación divergente)Correlaciones espaciales y temporales (entrefluctuaciones) de largo alcance (leyes de potencia)Sensibles ante perturbaciones externas: funcionesrespuestas divergentes → leyes de potenciacaracterizadas por exponentes críticosUniversalidad → fenómenos independientes de losdetalles finos

0/)( rrerf −= r’ [cm] = r [mm]/10

r' [cm]

f(r) =

exp

(-r'/

r' 0)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

r0

r [mm]

f(r) =

exp

(-r/r

0)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

r0

No es invariante por unatransformación de escala!

Las leyes de potencia son invariantes por escala

r [mm]

f(r) =

1/r

α

αrrf 1)( =

r’ [cm] = r [mm]/10

r' [cm]

f(r')

= 1/

(10α

r' α)

αα '101)'(

rrf =

r' [cm]

f(r')*

10α

αα

'1)'(10)('

rrfrf ==