Ing. Carlos de la Rosa

Diseño de elementos mecánicos

CASTAÑEDS RIVERO JOSE IGNACIO

Fallas por fatiga resultantes de carga variable.

6-1 Introducción a la fatiga en metales

A menudo, se encuentra que los elementos de máquinas han fallado bajo la acción de esfuerzos repetidos o fluctuantes; La característica más notable de estas fallas consiste en que los esfuerzos se repitieron un gran número de veces. Por lo tanto, a la falla se le llama falla por fatiga. Las características de fractura de una falla por fatiga:

Etapa 1 Es el inicio de una o más microgrietas debido a la deformación plástica cíclica seguida de propagación cristalográfica que se extiende de dos a cinco granos alrededor del origen. Normalmente, las grietas de la etapa I no pueden verse a simple vista. Etapa II Las microgrietas se convierten en macrogrietas y forman superficies paralelas en forma de mesetas separadas por crestas longitudinales. Etapa III Ocurre durante el ciclo de esfuerzo final cuando el material restante no puede soportar las cargas, lo que resulta en una fractura súbita y rápida. La falla por fatiga se debe a la formación y propagación de grietas. Por lo general, una grieta de fractura se inicia en una discontinuidad del material donde el esfuerzo cíclico es máximo. Las discontinuidades pueden surgir debido a: • El diseño de cambios rápidos en la sección transversal, cuñeros, orificios, etc., donde ocurren concentraciones del esfuerzo. • Elementos que giran y/o se deslizan entre sí (cojinetes, engranes, levas, etc.) bajo presión alta constante, lo que desarrolla esfuerzos de contacto concentrados por debajo de la superficie los cuales pueden causar picaduras o astilladuras después de muchos ciclos de carga. • Falta de cuidado en las ubicaciones de estampados, marcas de herramienta, raspaduras y rebabas; diseño defectuoso de juntas; ensamble inapropiado; y otros errores de fabricación. • La propia composición del material después de su proceso de laminado, forjado, fundido, estirado, calentado, etc. Surgen discontinuidades microscópicas y submicroscópicas en la superficie o por debajo de ella, así como inclusiones de material extraño, segregaciones de aleación, huecos, precipitaciones de partículas duras y discontinuidades cristalinas. Entre las diferentes condiciones que pueden acelerar el inicio de la grieta se destacan las temperaturas elevadas, ciclos de temperaturas, un entorno corrosivo y ciclos de alta frecuencia.

Esquemas de superficies de

fractura por fatiga

producidas en componentes

suaves y con muesca, con

secciones transversales

redondas y rectangulares

bajo diferentes

condiciones de carga y

niveles de esfuerzo

nominal.

6-2 Enfoque de la falla por fatiga en el análisis y el diseño.

Métodos de fatiga-vida (secciones 6-3 a 6-6) Se utilizan tres enfoques principales del diseño y el análisis, para predecir cuándo, si alguna vez sucede, un componente de máquina cargado en forma cíclica fallará por fatiga durante un determinado periodo. Resistencia a la fatiga y límite de la resistencia a la fatiga. (Secciones 6-7 y 6-8) El diagrama de resistencia-vida (S-N, por sus siglas en inglés) proporciona la resistencia a la fatiga Sf contra el ciclo de vida N de un material. Los resultados se generan a partir de ensayos en los que se emplea una carga simple en piezas de prueba de laboratorios estándar controladas. A menudo, la carga es de flexión pura invertida en forma sinusoidal. Las piezas de laboratorio controladas se pulen sin concentración de esfuerzo geométrico en la región de área mínima. Factores que modifican el límite de resistencia a la fatiga. (Sección 6-9) Los factores de modificación se definen y usan para tomar en cuenta las diferencias entre la pieza de prueba y la parte de máquina real en relación con las condiciones de la superficie, tamaño, la carga, la temperatura, la confiabilidad y factores diversos. En este punto la carga sigue considerándose simple e invertida. Concentración del esfuerzo y sensibilidad a la muesca. (Sección 6-10) La parte real puede tener una concentración del esfuerzo geométrica por la cual el comportamiento de la fatiga depende del factor estático de concentración del esfuerzo y la sensibilidad del material del componente al daño por fatiga. Esfuerzos fluctuantes (secciones 6-11 a 6-13) Estas secciones consideran estados de esfuerzo simple a partir de condiciones de carga fluctuantes que no son esfuerzos puramente sinusoidales axiales reversibles, de flexión o de torsión. Combinaciones de modos de carga (sección 6-14) Aquí se presenta un procedimiento basado en la teoría de la energía de distorsión para analizar combinaciones de estados de esfuerzo fluctuantes, tales como flexión y torsión combinadas. En esta sección se supone que los niveles de los esfuerzos fluctuantes están en fase y no varían con el tiempo. Esfuerzos variables, fluctuantes; daño por fatiga acumulada (sección 6-15) Los niveles de esfuerzo fluctuante en una parte de máquina pueden variar con el tiempo. Se proporcionan métodos para evaluar el daño por fatiga de manera acumulada. Secciones restantes Las tres secciones restantes del capítulo tratan los temas especiales de resistencia a la fatiga superficial, análisis estocástico y un resumen de las ecuaciones más importantes.

6-3 Métodos de fatiga-vida.

Los tres métodos más importantes de fatiga-vida que se usan en el diseño y el análisis son el método de esfuerzo-vida, el método de deformación-vida y el método de mecánica de la fractura lineal elástica. Con estos métodos se intenta predecir la vida en número de ciclos hasta la falla, N, para un nivel

específico de carga. Por lo general, la vida de 1 ≤ N ≤ 103 ciclos se clasifica como fatiga de bajo

ciclaje, mientras que la fatiga de alto ciclaje se considera que tiene N > 103 ciclos.

El método de esfuerzo-vida, que se basa sólo en niveles de esfuerzo, es el enfoque menos exacto, especialmente para aplicaciones de bajo ciclaje; El método de esfuerzo-vida, que se basa sólo en niveles de esfuerzo, es el enfoque menos exacto, especialmente para aplicaciones de bajo ciclaje.

El método de deformación-vida implica un análisis más detallado de la deformación plástica en regiones localizadas donde se considera a los esfuerzos y deformaciones para la estimación de la vida. Este método es especialmente bueno para aplicaciones con fatiga de bajo ciclaje.

En el método de la mecánica de la fractura se supone que ya existe una grieta y que ésta se ha detectado. Entonces, se emplea para predecir el crecimiento de la grieta con respecto a la intensidad del esfuerzo. Es más práctico cuando se aplica a estructuras grandes junto con códigos de computadora y un programa de inspección periódica.

6-4 Método del esfuerzo-vida.

Para determinar la resistencia de materiales bajo la acción de cargas de fatiga, las muestras se someten a fuerzas repetidas o variables de magnitudes especificadas, mientras se cuentan los ciclos o inversiones del esfuerzo hasta su destrucción. Para establecer la resistencia a la fatiga de un material, se necesita un número muy grande de ensayos debido a la naturaleza estadística de la fatiga. En el caso del ensayo con viga rotativa, se aplica una carga constante de flexión y se registra el número de revoluciones (inversiones del esfuerzo) de la viga hasta que se presente la falla. El primer ensayo se hace con un esfuerzo que es un poco menor que la resistencia última del material. El segundo ensayo se realiza a un esfuerzo que es menor que el primero. Este proceso se continúa y los resultados se grafican como un diagrama S-N.

Se observa que un ciclo de esfuerzos (N = 1) constituye una sola

aplicación y un retiro de una carga y luego otra aplicación y remoción de la carga en la dirección opuesta. De esta manera, N

= ½ significa que la carga se aplica una vez y luego se quita, que

es el caso de la prueba a la tensión simple. El conjunto de conocimientos disponible sobre la falla a la fatiga,

desde N = 1 hasta N = 1 000 ciclos, por lo general se clasifica como fatiga de bajos ciclos, como se indica en la figura 6-10. En consecuencia, la fatiga de altos ciclos se relaciona con la falla correspondiente a ciclos de esfuerzos mayores que 103 ciclos. En la figura 6-10 también se hace una distinción entre región de vida finita y región de vida infinita.

La frontera entre las regiones no se puede definir con claridad excepto para un material específico, pero se ubica en algún punto entre 106 y 107 ciclos en el caso de los aceros, como se ilustra en la figura.

6-5 Método de deformación-vida.

Una falla por fatiga casi siempre comienza en una discontinuidad local como una muesca, grieta u otra área de concentración de esfuerzo. Cuando el esfuerzo en la discontinuidad excede el límite elástico, ocurre la deformación plástica. Para que se presente una falla por fatiga es necesario que existan deformaciones plásticas cíclicas.

Para explicar la gráfica, primero se definen los siguientes términos: • Coeficiente de ductilidad a la fatiga ε`F es la deformación real correspondiente a la fractura en una inversión. La línea de la deformación plástica comienza en este punto en la figura. • Coeficiente de resistencia a la fatiga σ´F es el esfuerzo real correspondiente a la fractura en una inversión (punto A en la figura 6-12). Observe en la figura que la línea de la deformación elástica comienza en σ`F /E.

• Exponente de ductilidad a la fatiga c es la pendiente de la línea de la deformación plástica de la figura y la potencia a la cual se debe elevar la vida 2N para que sea proporcional a la amplitud real de la deformación plástica. Si el número de inversiones del esfuerzo es 2N, entonces N es el número de ciclos. Exponente de la resistencia a la fatiga b es la pendiente de la recta de la deformación elástica y es la potencia a la cual se debe elevar la vida 2N para que sea proporcional a la amplitud del esfuerzo real. la amplitud de la deformación total corresponde a: En la figura, la ecuación de la línea de la deformación plástica es:

6-6 Método mecánico de la fractura lineal-elástica.

La primera fase del agrietamiento por fatiga se designó como fatiga de la etapa I. Se supone que el desplazamiento de cristal que se extiende a través de varios granos contiguos, inclusiones e imperfecciones superficiales desempeña un papel. La segunda fase, de la extensión de la grieta, se llama fatiga de etapa II. La etapa III de la fatiga se asocia con una rápida aceleración del crecimiento de la grieta y después de la fractura. Crecimiento de la grieta Las grietas por fatiga surgen y crecen cuando los esfuerzos varían y existe alguna tensión en cada ciclo de esfuerzo.

6-7 Límite de resistencia a la fatiga

6-8 Resistencia a la fatiga.

Como se muestra en la figura 6-10, una región de fatiga de bajos ciclos se extiende desde N = 1

hasta casi 103 ciclos. En esta región la resistencia a la fatiga Sf sólo es un poco menor que la resistencia a la tensión, Sut. En la figura 6-10 se indica que el dominio de fatiga de alto ciclo se extiende desde 103 ciclos para los aceros hasta la vida de resistencia a la fatiga límite Ne, que es aproximadamente de 106 a 107

ciclos. El propósito de esta sección es desarrollar métodos de aproximación del diagrama S-N en la región de altos ciclos, cuando la información sea tan escasa como los resultados de un ensayo a la tensión simple. La experiencia ha mostrado que los datos de fatiga de altos ciclos se rectifican por medio de una transformación logarítmica del esfuerzo y los ciclos a la falla.

6-9 Factores que modifican el límite de resistencia a la fatiga

Se ha visto que la muestra para el ensayo en máquina rotativa en el laboratorio para determinar los límites de resistencia a la fatiga se prepara con mucho cuidado y se ensaya bajo condiciones muy controladas. No es posible esperar que el límite de resistencia a la fatiga de un elemento mecánico o estructural iguale los valores que se obtuvieron en el laboratorio. Algunas diferencias incluyen: • Material: composición, base de falla, variabilidad. • Manufactura: método, tratamiento térmico, corrosión superficial por frotamiento, acabado superficial, concentración de esfuerzo. • Entorno: corrosión, temperatura, estado de esfuerzos, tiempos de relajación.

• Diseño: tamaño, forma, vida, estado de esfuerzos, concentración de esfuerzo, velocidad, rozamiento, excoriación.

6-10 Concentración del esfuerzo y sensibilidad

a la muesca

La ecuación (3-48) definió un factor de concentración del esfuerzo Kt (o Kts), que se usa con el esfuerzo nominal para obtener el esfuerzo máximo resultante debido a la irregularidad o defecto. De aquí que algunos materiales no sean completamente sensibles a la presencia de muescas y por lo tanto, para ellos puede usarse un valor reducido de Kt. En el caso de estos materiales, el esfuerzo máximo es, en realidad,

donde Kf es un valor reducido de Kt y σ0 es el esfuerzo nominal. El factor Kf se llama comúnmente factor de concentración del esfuerzo por fatiga, y a eso se debe el subíndice f. Entonces, es conveniente pensar en Kf como un factor de concentración del esfuerzo reducido de Kt debido a la disminución de la sensibilidad a la muesca. El factor resultante se define mediante la ecuación

La sensibilidad a la muesca, q, está definida por

donde q se encuentra usualmente entre cero y la unidad. La ecuación (6-31) muestra que si

q = 0, entonces Kf = 1, y el material no tiene ninguna sensibilidad a la muesca. Por otro lado, si q =

1, entonces Kf = Kt y el material tiene sensibilidad total a la muesca. En el trabajo de análisis o

diseño, primero encuentre Kt, a partir de la geometría de la parte. Después, especifique el material, encuentre q, y despeje para Kf de la ecuación

6-11 Caracterización de esfuerzos fluctuantes

A menudo, los esfuerzos fluctuantes sobre la maquinaria adoptan la forma de un patrón sinusoidal debido a la naturaleza de algunas máquinas rotatorias. Sin embargo, también ocurren otro tipo de patrones, algunos muy irregulares. En consecuencia, Fmáx y Fmín en un ciclo de fuerza se emplean para caracterizar el patrón de la fuerza. También es cierto que al variar por arriba y debajo de alguna línea base resulte igualmente eficaz para caracterizar el patrón de la fuerza. Si la fuerza mayor es Fmáx y la fuerza menor es Fmín, se construye una componente uniforme y una alternante como sigue:

Los componentes del esfuerzo, algunas de las cuales están en la figura 6-23d, son:

σmín = esfuerzo mínimo σm = componente de esfuerzo medio

σmáx = esfuerzo máximo σr = intervalo de esfuerzo

σa = componente de la amplitud σs = esfuerzo estático o constante

El esfuerzo constante, o estático, no es el mismo que el esfuerzo medio; de hecho, puede tener cualquier valor entre σmín y σmáx. El estado constante existe debido a una carga fija o a una precarga aplicada a la parte, y por lo general es independiente de la parte variante de la carga.

6-12 Criterios de falla por fatiga ante esfuerzos variables En el diagrama de Goodman modificado de la figura se muestra el esfuerzo medio graficado a lo largo de la abscisa y todas las demás componentes del esfuerzo en la ordenada, con la tensión en la dirección positiva. El límite de resistencia a la fatiga, la resistencia a la fatiga o la resistencia de vida finita, según el caso, se grafica en la ordenada arriba o abajo del origen. La recta de esfuerzo

medio es una recta a 45° desde el origen hasta la resistencia a la tensión de la parte. El

diagrama de Goodman modificado consiste en rectas que se trazan hasta Se (o Sf ) arriba y abajo

del origen. Observe que la resistencia a la fluencia también se grafica en ambos ejes, porque la fluencia sería el criterio de falla si σmáx sobrepasara a Sy. El diagrama, muy ingenioso, de la figura 6-26, es único pues representa cuatro de las componentes del esfuerzo así como las dos relaciones del esfuerzo. Una curva que representa el

límite de resistencia a la fatiga para valores de R, que se inicia en R = −1 y termina con R = 1,

comienza en Se en el eje σa, y termina en Sut en el eje σm. También se han trazado curvas

6-13 Resistencia a la fatiga por torsión

bajo esfuerzos fluctuantes El primer resultado de Smith, basado en 72 ensayos, demuestra que la existencia de un esfuerzo uniforme torsional no mayor que la resistencia a la fluencia en torsión no tiene efecto en el límite de resistencia a la fatiga torsional, a condición de que el material sea dúctil, pulido, libre de mellas y cilíndrico. El segundo resultado de Smith se aplica a materiales con esfuerzos concentrados, muescas o imperfecciones superficiales. En este caso, determina que el límite de fatiga por torsión disminuye en forma monótona con el esfuerzo por torsión constante. Al construir el diagrama de Goodman, Joerres utiliza

6-14 Combinaciones de modos de carga Puede resultar útil pensar en los problemas de fatiga en tres categorías: • Cargas simples completamente reversibles • Cargas simples fluctuantes • Combinaciones de modos de carga

El primer paso consiste en generar dos elementos de esfuerzo: uno para los esfuerzos alternantes y uno para los esfuerzos medios. Aplique los factores apropiados de concentración del esfuerzo por fatiga para cada uno de los esfuerzos; es decir, aplique (Kf)flexión para los esfuerzos por flexión, (Kfs)torsión para los esfuerzos torsionales y (Kf)axial para los esfuerzos axiales. Enseguida calcule un esfuerzo de von Mises equivalente para cada uno de estos dos elementos de esfuerzo, σ_a y σ_m. Finalmente, seleccione un criterio de falla (Goodman modificado, Gerber, ASME-elíptica o Soderberg) para completar el análisis de fatiga. Para el límite de resistencia a la fatiga, Se, use los modificadores del límite de resistencia a la fatiga, ka, kb y kc, para la flexión. Considerando que los esfuerzos flexionantes, torsionales y axiales tienen componentes alternantes y medios, el esfuerzo de von Mises de los dos elementos de esfuerzo pueden escribirse como

Para la fluencia de primer ciclo localizada, se calcula el esfuerzo máximo de von Mises, que podría hacerse mediante la suma de primero los esfuerzos axial y flexionante, alternantes y medios para obtener σmáx y la suma de los esfuerzos cortantes alternante y medio para obtener τmáx. Después sustituya σmáx y τmáx en la ecuación del esfuerzo de von Mises.

6-15 Esfuerzos variables y fluctuantes; daño

por fatiga acumulada En vez de un bloque histórico de un solo esfuerzo completamente reversible compuesto de n ciclos, suponga que una parte de una máquina, en una ubicación crítica, se somete a • Un esfuerzo completamente reversible σ1 durante n1 ciclos, σ2 durante n2 ciclos, …, o • Una recta de tiempo “oscilatoria” de esfuerzo que presenta muchos y diferentes picos y valles. El ciclo de mayor daño es el número 1. Podría haberse perdido. Los métodos para contar ciclos incluyen:

• Número de picos de tensión de la falla. • Todos los máximos arriba de la media de la forma de onda, todos los mínimos debajo. • Los máximos globales entre cruces arriba de la media y los mínimos globales entre cruces debajo de la media. • Todos los cruces de pendiente positiva de niveles arriba de la media y todos los cruces de pendiente negativa de niveles debajo de la media. • Una modificación del método anterior sólo con un registro realizado entre cruces sucesivos de un nivel asociado con cada nivel que cuenta. • Cada variación máx-mín local se cuenta como medio ciclo y la amplitud asociada es medio intervalo. • El método anterior, más la consideración de la media local. • La técnica de conteo de rain-flow.

6-16 Resistencia a la fatiga superficial El mecanismo de la fatiga superficial no se ha comprendido por completo. La zona de contacto afectada, en ausencia de tracciones superficiales de cortante, recibe esfuerzos principales de compresión. La fatiga rotativa tiene sus grietas desarrolladas en o cerca de la superficie cuando hay esfuerzos de tensión, que están asociados con la propagación de la grieta hasta la falla catastrófica. Hay esfuerzos cortantes en la zona, que son mayores justo debajo de la superficie. Las grietas parecen crecer a partir de este estrato hasta que se expulsan pequeñas piezas de material, que dejan picaduras en la superficie. Este esfuerzo de compresión no producía la falla de forma directa, sino que cualquiera que fuera el mecanismo y cualquier tipo de esfuerzo que fuera instrumental en la falla, el esfuerzo de contacto representaba un índice de su magnitud. Con frecuencia, el límite de resistencia a la fatiga que se obtiene mediante el ensayo de viga rotatoria se llama límite de resistencia a la fatiga a la flexión, porque es un ensayo de una viga rotatoria. En esta sección se estudia una propiedad de materiales de acoplamiento llamada resistencia a la fatiga superficial por cortante. A menudo, el ingeniero de diseño debe resolver problemas en los cuales dos elementos de máquina se acoplan entre sí mediante rodamiento, deslizamiento o una combinación de contacto rodante y deslizante. Cuando dos superficies ruedan, o ruedan y se deslizan una contra otra con suficiente fuerza, ocurrirá una falla por picadura después de un cierto número de ciclos de operación. Los expertos en la materia no concuerdan del todo sobre el mecanismo exacto de la picadura; aunque el tema es muy complicado, coinciden en que los esfuerzos de Hertz, el número de ciclos, el acabado superficial, la dureza, el grado de lubricación y la temperatura influyen en la resistencia. A fin de que los resultados fuesen útiles para los diseñadores, Buckingham definió un factor carga-esfuerzo, también llamado factor de desgaste, que se deriva de las ecuaciones de Hertz. Las ecuaciones de cilindros en contacto se determinan como

donde b = semiancho del área rectangular de contacto

F = fuerza de contacto

l = longitud de los cilindros

v = relación de Poisson

E = módulo de elasticidad

d = diámetro del cilindro

Es más conveniente emplear el radio del cilindro; así que, sea 2r = d. Si se designa la longitud de

los cilindros como w (para el ancho del engrane, cojinete, leva, etc.), en vez de l y se elimina el signo de raíz cuadrada, la ecuación (6-59) se convierte en

Se define la resistencia a la fatiga superficial SC usando

la cual también se puede llamar resistencia de contacto, resistencia a la fatiga por contacto o resistencia a la fatiga hertziana. La resistencia es la presión de contacto que después de un número especificado de ciclos causará la falla en la superficie.

6-17 Análisis estocástico

Cuando la confiabilidad es importante, seguramente deben realizarse ensayos de fatiga. No hay otra opción. En consecuencia, los métodos de análisis estocástico que se presentan aquí y en otras secciones del libro constituyen las directrices que permiten al diseñador obtener una buena comprensión de los diferentes aspectos involucrados y ayudan a desarrollar un diseño seguro y confiable. En esta sección, las modificaciones estocásticas clave de las características y ecuaciones determinísticas descritas en las secciones previas se presentan en el mismo orden de presentación Límite de resistencia a la fatiga Para comenzar, se presenta un método para estimar los límites de resistencia a la fatiga, el método

de correlación de la resistencia a la tensión. La relación _ = S_e/S￣ ut se llama relación de

fatiga.29 La mayor parte de los metales ferrosos presentan un límite de resistencia a la fatiga, el cual se usa como numerador. El segundo aspecto importante es que los datos de Gough incluyen materiales sin interés para los ingenieros. En ausencia de ensayos, los ingenieros emplean la correlación que representa _ para

estimar el límite de resistencia a la fatiga S_e, a partir de la resistencia última media S￣ut.

La ecuación de Marin puede escribirse como

donde el factor de tamaño kb es determinístico y permanece sin cambio con respecto al que se presentó en la sección 6-9. También, como se está realizando un análisis estocástico, aquí no es necesario el “factor de confiabilidad” ke.

Concentración del esfuerzo y sensibilidad a la muesca La sensibilidad a la muesca q se definió en la ecuación (6-31), p. 287. El equivalente estocástico es

Donde Kt es el factor teórico (o geométrico) de concentración del esfuerzo, una cantidad determinística. Esfuerzos fluctuantes Las curvas de falla determinísticas que se localizan entre los datos son alternativas para modelos de regresión. Entre éstos se encuentran los modelos de Gerber y ASME-elíptico para materiales dúctiles, y el de Smith-Dolan, para materiales frágiles, en los que se emplean valores medios en su presentación. De manera similar que las curvas de falla determinísticas, se localizan mediante la resistencia a la fatiga y la resistencia última a la tensión (o a la fluencia) y se proporcionan los lugares geométricos de falla estocásticos mediante Se y Sut o Sy. El factor de diseño en la fatiga El diseñador, al imaginar cómo ejecutará la geometría de una parte sometida a las restricciones impuestas, puede comenzar tomando decisiones a priori, sin darse cuenta del efecto de ello sobre la tarea de diseño. Ahora es tiempo de observar cómo estos aspectos están relacionados con la meta de confiabilidad.

El valor medio del factor de diseño está dado por la ecuación (5-45), repetido aquí como

en la cual, de la tabla 20-6 para el cociente n = S/_,

6-18 Resumen de ecuaciones de diseño importantes para el método

del esfuerzo-vida existen tres categorías de problemas de fatiga. A continuación se presentan los procedimientos y ecuaciones importantes de los problemas determinísticos de esfuerzo-vida.