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FACULTAD DE INGENIERÍAS

MAESTRÍA EN INGENIERÍA DE CONTROL INDUSTRIAL

MODELAMIENTO, SIMULACIÓN Y CONTROLDEL PROCESO BIOLÓGICO DE DIGESTIÓN ANAEROBIA

PARA LA PRODUCCIÓN DE BIOGÁS

MAXIMILIANO MACHADO HIGUERA

UNIVERSIDAD DE IBAGUÉFACULTAD DE INGENIERÍAS

MAESTRÍA EN INGENIERÍA DE CONTROL INDUSTRIALIBAGUÉ

2010

MODELAMIENTO, SIMULACIÓN Y CONTROLDEL PROCESO BIOLÓGICODE DIGESTIÓN ANAEROBIA

PARA LA PRODUCCIÓN DE BIOGÁS

MAXIMILIANO MACHADO HIGUERA

DirectorMAURICIO HERNÁNDEZ SARABIA

(C) Ph.D. Ingeniería

UNIVERSIDAD DE IBAGUÉFACULTAD DE INGENIERÍAS

MAESTRÍA EN INGENIERÍA DE CONTROL INDUSTRIALIBAGUÉ

2010

A mi esposa Nepcy y a mi hija Sara Lizeth

AGRADECIMIENTOS ESPECIALES

A mi Dios porque sin él no podría conseguir nada.

A mi esposa Nepcy y a mi hija Sara Lizeth quienes fueron las personas que mássacrificios hicieron para que yo consiguiera este nuevo logro en mi vida, a ellas

dedico este trabajo.

A mi mamá Deyanira y a mi hermana Jenny Lucía quienes con sus oracionessiempre han aportado su granito de arena en todos mis logros.

A mi suegra Argenis quien ha sido mi segunda mamá y quien también me haapoyado incondicionalemente.

A mis grandes amigos Alfonso Castro, Mauricio Hernández y Alfonso Muñoz,porque sin sus orientaciones y apoyos no hubiera podido culminar

satisfactoriamente la Maestría.

A mis nuevos amigos Diana Maritza, Esteban Ricardo, Jairo Andres, Adrian yOscar Alexander, excelentes compañeros que me brindaron su apoyo y me

acompañaron en este camino para conseguir esta nueva meta.

A todos mis profesores de la Maestría porque gracias a sus exigencias yestímulos fomentaron la tenacidad para cumplir con todos los requerimientos del

programa.

Al decano Carlos Alfonso Montealegre García, a mis amigos compañeros de laFacultad de Ciencias Naturales y Matemáticas y a las directivas de la

Universidad de Ibagué por darme su voto de confianza y brindarme su apoyo quepara mi fue fundamental.

CHAPTER

1

INTRODUCCIÓN

1.1 Aspectos Generales

En este trabajo se busca describir de forma matemática y química el proceso de digestión anaerobiadel rumen de ganado para la producción de biogás. El conocimiento de este fenómeno biológicopermitirá describir su comportamiento mediante un modelo matemático no lineal que permitirásimular el proceso biológico y adelantar nuevos proyectos de investigación tomando como her-ramienta el modelo desarrollado y el conocimiento que se adquiere al estudiarlo. La digestiónanaerobia es un proceso biológico que permite descomponer la materia orgánica que origina con-taminación ambiental de los recursos hídricos y permite obtener como producto el biogás con altocontenido de metano que puede ser utilizado como fuente energética debido a su alto poder calorí-fico. Se tiene de esta forma la oportunidad de tener una fuente de energía renovable amigable conel medio ambiente que propende por la sostenibilidad ambiental de la región y del planeta.

En la literatura se encuentran aplicaciones de diversas materias primas para la producción debiogás: la bora y el estiercol de ganado [Rodriguez 1997], purín y estiercol vacuno, purin porcinoy cultivos energéticos [Robles 2008]; pero no del rumen de ganado.

¿Por qué la opción Anaerobia? El cambio climático es una amenaza global. Los principalesgases que integran la categoría de gas con efecto invernadero son el dióxido de carbono (CO2), el

7

8 CHAPTER 1. INTRODUCCIÓN

metano (CH4), el oxido nitroso (N2O) y los clorofluorcarbonados. El metano es un potente gascon efecto invernadero porque su potencial de absorción de radiación que es aproximadamente 21veces superior al del CO2 [Moss et al., 2000].

Las actividades agrícolas y ganaderas contribuyen directamente a la emisión de gases de efectoinvernadero. La mayor parte de estas emisiones es ocasionada por la ganadería que, después delsector energético, es la actividad más comprometida en el efecto invernadero que se esta presen-tando actualmente [Berra y Finster, 2002].

La descomposición anaerobia (en ausencia total de oxígeno) de la materia orgánica produceun gas que contiene más de un 60% de CH4. Este gas se designa usualmente como biogás y, sies liberado a la atmásfera, tiene un impacto equivalente a 21 moléculas de CO2 en términos deefecto invernadero [Bolin et al., 1995]. Sin embargo, el biogás tiene una potencia calorífica delorden de 5.500 kcal/m3, por lo que se puede utilizar como combustible renovable, ayudando adisminuir las emisiones de gases que provocan el efecto invernadero. En este sentido, el biogás sepuede aprovechar para producir y vender electricidad, emplear como biocarburante de automoción,utilizar para generar calor e introducirse en la red de distribución de gas natural. Los autobusesde la ciudad de Helsingborg (Suecia) funcionan con biogás obtenido a partir de residuos orgánicosy, en la ciudad finlandesa de Vassa, el metano procedente de un vertedero alimenta las pilas decombustible, y con él se suministra calor y electricidad a aproximadamente 50 viviendas. Noobstante, la vía de aprovechamiento más eficaz del biogás es la cogeneración, con la que se obtieneal mismo tiempo energía eléctrica y térmica [Cuesta 2009].

Dos de los principales gases que producen el Efecto Invernadero, CO2 y CH4, proceden dela fermentación, natural o acelerada, de la materia orgánica de muchos productos o residuos. Alconjunto de ambos gases se le conoce como "biogás" que si bien posee un efecto negativo para elclima, también posee una característica energética positiva debida al CH4. Por ambas cosas, es degran interés el estudio y análisis sistemático de todos los aspectos que rodean a la generación yutilización del biogás, porque se evita un daño ambiental, por la energía renovable que se produce,por la gran cantidad que se puede generar y porque sustituye a otros gases (no energéticos) que sehubieran formando, si la materia orgánica se hubiera procesado de otra forma (digestión aeróbica,combustión) [Cuesta 2009].

La modelación de sistemas biológicos es un instrumento para describir y verificar los procesoscinéticos que intervienen en el tratamiento biológico de residuos. En los últimos treinta años se hanllevado a cabo numerosos estudios acerca el control de los procedimientos biológicos. De hecho,los primeros resultados significativos comenzaron a aparecer desde el momento en el que la for-malización matemática de los fenómenos biológicos alcanzó un cierto nivel de madurez. (Cinéticade crecimiento de Monod).

A partir de 1980, el aumento en la capacidad de cálculo y el desarrollo de la algorítmica hanpermitido el uso de la simulación numérica como herramienta de optimización de concepción yde control de sistemas. La modelación se alza entonces como una disciplina en plena expansión a

1.2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS 9

nivel mundial. En el área de los procesos de digestión biológica, los diferentes modelos desarrol-lados no utilizan los mismos conceptos, los protocolos de identificación de sus parámetros no sonestándar y sobretodo sus dominios de validez resultan extremadamente restringidos. En 1982, laAsociación Internacional para la Calidad del Agua o International Association for Water Quality(IAWQ) (convertida a comienzos de 2000 en la Asociación Internacional del Agua InternationalWater Association (IWA)) crea un grupo de trabajo sobre la "modelación matemática para la con-cepción y la gestión de procedimientos biológicos en tratamiento de aguas". En el 2002 un grupode trabajo de IWA presenta el modelo ADM1 (Anaerobic digestión model 1) el cual recopila losprincipales trabajos realizados en modelación de digestión anaerobia aplicada al tratamiento deaguas residuales. Esto unifica el lenguaje y unidades a tratar y deja un aporte significativo en elcampo de la modelización de sistemas biológicos de digestión anaerobia.

1.2 Fundamentos Teóricos

1.2.1 Digestión Anaerobia (anaeróbica)

Definición 1. La digestión anaerobia (AD) es un proceso biológico en el cual la materia orgánica,en ausencia de oxígeno, y mediante la acción de un grupo de bacterias específicas, se descomponeen biogás (CH4, CO2, H2, H2S, etc.), en digestato que es una mezcla de productos minerales (N, P,K, Ca, etc.) y en compuestos de difícil degradación. El principal producto del proceso es el biogásque es una mezcla de metano, dióxido de carbono y gases como el sulfuro de hidrógeno (H2S) ehidrógeno (H2).

El proceso de digestión anaerobia se compone de varias fases (multi-etapa) sucesivas dondeel producto de una reacción actúa como substrato para la reacción sucesiva. En este proceso ac-túan varias cepas bacterianas que hidrolizan, metabolizan y producen biogás. Esta última funciónla desarrollan bacterias metanógenas que utilizan como substrato el ácido acético. Dicho ácidoes producido por la hidrólisis de sustancias orgánicas complejas contenidas en la biomasa de al-imentación al digestor, por obra de bacterias anaeróbicas. Sin esta primera fase hidrolítica lasbacterias metanógenas no comienzan la producción de biogás por falta de substrato carbonoso.

Desde el punto de vista químico la reacción total se representa mediante la ecuación química:

Materia orgánica −→ CH4 + CO2 + H2 + H2S + NH3 (1.1)

A continuación haremos una breve descipción microbiológica del proceso y de los factoresquímicos y físicos que lo afectan.


1.2.2 Descripción microbiológica del proceso.

Los procesos importantes en la digestión anaerobia son:

• Hidrólisis

• Acidogénesis

• Acetogénesis

• Metanogénesis

Definición 2 (Hidrólisis). La Hidrólisis es un proceso extra celular donde bacterias hidrolíticasexcretan enzimas que catalizan las moléculas orgánicas (proteínas, celulosa, lignina, lípidos), for-mando unidades más simples (aminoácidos, glucosa, ácidos grasos y glicerol.)

Definición 3 (Acidogénesis). La acidogénesis es el proceso de formación de ácidos. Lo realizanbacterias fermentativas acidogénicas que convierten los compuestos orgánicos solubles producidosen la hidrólisis (azúcares, aminoácidos y ácidos grasos) en ácidos orgánicos (acético, propiónico,butírico).

Definición 4 (Acetogénesis). La acetogénesis es el proceso de transformar el etanol, el ácidopropiónico y el ácido butírico en ácido acético.

Definición 5 (Metanogénesis). La metanogénesis es el proceso de producción de metano (CH4)a partir del ácido acético, de mezclas de H2 y CO2, también del ácido fórmico y metanol, entreotros.

La metanogénesis es uno de los más importantes procesos de biodegradación sobre la tierra.Es una forma de metabolismo microbiano que en la mayoría de los casos es el paso final de ladescomposición de la biomasa.


Descripción de los factores químicos y físicos del proceso.

Contenidos sólidos. Se denominará como sólidos totales (ST) a una fracción sólida de la materiaque se va a degradar. Se considera que una carga que contenga entre el 7% y 9% de los solidostotales es el óptimo.

Para determinar el volumen de agua necesaria para ser mezclada con la materia prima y obtenerla proporción deseada, es necesario conocer el porcentaje de sólidos que se usará.

Inhibidores. Algunos materiales inorgánicos son motivo de preocupación, pues suelen ser tóx-icos para las bacterias. Las condiciones tóxicas normalmente ocurren ya sea por sobre alimentacióno por la excesiva adición de productos químicos.

Sinérgias. El proceso se puede mejorar mediante la mezcla de varios residuos, debido a queun residuo aporta algo que otro no. La relación C:Nutrientes (macro y micro), la capacidad amor-tiguadora del sistema, el pH de los sustratos, la población microbiana, la concentración de sólidos,etc., influyen en los resultados obtenidos.

p H. El término pH proviene de la combinación de la letra p de la palabra potencia y de la letraH del símbolo del elemento hidrógeno. Estas letras, juntas, significan la potencia o exponente delhidrógeno. El pH es una de las mediciones más comunes de laboratorio porque muchos procesosquímicos dependen de él. Con frecuencia, la velocidad o el ritmo de las reacciones químicaspueden ser alterados significativamente por el pH de la solución. La solubilidad de muchos agentesquímicos en solución y su disponibilidad biológica dependen del pH.El pH se define como el logartimo decimal de la inversa de la actividad del hidrógeno, donde laactividad, aH+ , describe el ion libre de hidrógeno o la “concentración efectiva" en presencia deotros iones

pH = − log aH+ H+ = 10−pH

.

Temperatura. La temperatura es una medida del calor o energía térmica de las partículas enuna sustancia. La temperatura no depende del número de partículas en un objeto y por lo tanto nodepende de su tamaño. La temperatura influye básicamente en tres aspectos del proceso:

• En la producción de gas, ya que a temperaturas mayores habrá mayor producción.

• En el tiempo de digestión, ya que a mayor temperatura menor es el tiempo de digestión.

• En la composición del biogás, ya que afecta la relación CH4 = CO2.

Tiempos de Retención. Es el tiempo suficiente para que las bacterias se reproduzcan y metabo-licen los sólidos volátiles. Los parámetros claves en este sentido son el tiempo de retención de sóli-dos (TRS), que es el tiempo promedio en que las bacterias (sólidos) están en el digestor, y el tiempode retención hidráulico (TRH), que es el tiempo promedio en que el lodo líquido se mantiene en eldigestor.


• El tiempo de retención de sólidos se define como el cociente entre la masa de sólidos en eldigestor y la masa de sólidos retirada diariamente.

• El tiempo de retención hidráulico se define como el cociente entre el volúmen del lodo en eldigestor y el volúmen digerido retirado por día.

1.2.3 Modelamiento Matemático de un sistema anaerobio.

Balance de Masas. La base de todo modelo matemático es un balance de masas para una variablede estado específica. éste describe la acumulación y la reacción dentro de un sistema en relación alfluído del sistema acotado

Figure 1.1: Balance de masas

o matemáticamente representado por

dMsys

dt= min −mout + r (1.2)

donde Msys es la masa en el sistema (en unidades de masa), min y mout las tasas de flujo de masade entrada y salida, respectivamente, en (unidades de masa sobre unidad de tiempo), y r es la tasade generación global en (unidades de masa sobre unidad de tiempo). La tasa de generacion globales una suma de todas las diferentes tasas que influyen el modelado del compuesto

r =n∑i=1

ρi donde ρ1, ρ2, . . . ρn son las diferentes tasas de conversión.


La mayoría de los sistemas anaerobicos son sistemas diluídos y los cambios de la concentraciónno alteran el volumen. Si el reactor es mixto, la concentración de un componente en una corrientefuera del reactor es igual que una dentro del reactor. Por consiguiente la ecuación (2) puede serexpresada, teniendo encuenta el reactor completo:

dV Csysdt

= qinC − qoutCsys + V rC (1.3)

en donde V es el volúmen del reactor, C es la concentración del componente, Csys es la concen-tración total del componente en el sistema y rC es la tasa global de generación del componente C.En estado estable el término de acumulación es cero, y la ecuación diferencial se convierte en unaecuación algebráica que puede resolverse para Csys. Una solución explícita para Csys sólo es posi-ble para los modelos simples con 1 y/o 2 grupos microbianos y sustratos relacionados. Cuanto máscompuestos microbianos, y otros factores como transferencia de gas-líquido, se puedan adicionar,el conjunto de ecuaciones algebráicas es no-lineal, y pueden resultar múltiples soluciones.

Cinéticas. Una parte crítica del balance de masas es la ecuación de tasa (rC) debido a queel otro término está fijo por hidráulica. Existe una amplia gama de relaciones cinéticas usadas(Pavlostathis & Giraldo - Gómez 1991), pero la relación más popular que describe una actividadbiológica es la Cinética de Monod:

ρ = kmS(t)

kS + S(t)X (1.4)

en donde:

X := Concentración de biomasa, en [g/L]S(t) := Concentración de sustrato, en [g/L]km := Coeficiente de rendimiento, adimensionalkS := Coeficiente de rendimiento, en [L2/g]

ésta puede ser modificada para incluir una amplia gama de inhibiciones (I1I2I3 . . . In) y mecan-ismos de regulacion como se requieran:

ρ = kmS(t)

kS + S(t)X × I1I2I3 . . . In (1.5)

donde los mecanismos de inhibición pueden incluir mecanismos de inhibiciones clásicas no-competitivas, mecanismos de inhibición empíricos o términos competitivos. Otros mecanismosde inhibición tales como el no-competitivo o competitivo, requieren modiciación del término deMonod en (4) (Pavlostathis & Giraldo - Gómez 1991).


1.2.4 Modelo Matemático de un Bioreactor

Para comprender mejor el comportamiento del proceso iniciaremos planteando un modelo paradescribir el comportamiento de un bioreactor (STBR) en el que se considera solamente la reacción:

Biomasa + Sustrato −→ Biomasa + Metano (1.6)

El modelo matemático que representa un proceso continuo de fermentación de metano está dadopor el sistema:

dXdt

= (µ(t)−D(t)) ·X(t)dYdt

= −k1 µ(t) ·X(t) +D(t) · (Sin(t))− S(t)dQdt

= k2 · µ(t) ·X(t)

(1.7)

donde:

X(t) := Concentración de biomasa, en [g/L]S(t) := Concentración de sustrato, en [g/L]

Sin(t) := Concentración de sustrato de entrada, en [g/L]D(t) := Tasa de dilución, en [1/dia]µ(t) := Tasa de crecimiento específico de biomasa, en [1/dia]Q(t) := Caudal de metano, en [L/dia]k1 := Coeficiente de rendimiento, adimensionalk2 := Coeficiente de rendimiento, en [L2/g]

La tasa de dilución se relaciona con el caudal de alimentación y el volúmen del reactor así:

D(t) =F (T )

V

en donde:

F (t) := Caudal de alimentación, en [m3/dia]V := Volúmen del reactor, en [m3]

Para modelar la tasa de crecimiento específica de biomasa, se usa comunmente la ley de Monod:

µ(t) =µmax · S(t)

kS + S(t)− b (1.8)

en donde

µmax := Tasa de crecimiento específica máxima, en [1/dia]kS := Constante de saturación, en [g/L]b := Coeficiente de decaimiento, en [1/dia]

(representa la muerte de los microorganismos al interior del reactor)


1.2.5 Bioreactor Discontinuo (Batch)

El término bioreactor expresa la operación de un sistema de cultivo o fermentador. En un bioreactordiscontinuo se introduce un lote de cultivo (o fermentador) y se deja que se lleve a cabo el procesoproductivo (fermentación) en un tiempo determinado al que de le denomina tiempo de retención.Dentro de las características que tiene un bioreactor batch son: volumen constante (V =cte), portanto dV

dt= 0, el flujo de entrada y de salida son iguales a cero y por tanto su tasa de dilución es

nula D = 0.

1.2.6 Estabibilidad de Ecuaciones Diferenciales

La mayoría de los procesos de la naturaleza son dinámicos (varían con el tiempo) y los procesosquímicos por naturaleza también lo son. Este tipo de procesos quimicos deben representarsenmediante modelos matemáticos y éstos se constituyen por sistemas de ecuaciones diferenciales. Laidea de esta modelacion es que el modelo matemático describa el proceso de la manera más precisaposible, sin embargo, siempre existen errores ya sea en las predicciones de los parámetros, erroresde medición o en otro tipo de factores(fortuitos) que inciden el proceso.

Es muy comun encontrar que los sistemas que representan procesos químicos son sitemas al-tamente no lineales. En los procesos químicos se presentan dos problemas importantes: la de-terminación de los múltiples estados estacionarios y la variación de la salida al modificar algúnparámetro en la planta.

Un sistema no lineal se puede representar

d

dt(X) =

d

dt(X,k,t) = f(X) (1.9)

en donde

X := vector de variables dependientes (x1, x2, x3, ...)

k := vector de parámetros (k1, k2, k3, ...)

t := variable independiente (tiempo)

Si el sitema (9) (no lineal) no depende explícitamente del tiempo, se dice que el sistema es autónomoy se puede representar por

d

dt(X) =

d

dt(X,k) = f(X) (1.10)

Las variables dependietes también reciben el nombre de variables de estados conformando un vec-tor de estados que se encuentra en un espacion de Banach B. Si B es de dimension finita B ∈ Rn,


el sistema se denomina sistema de parámetros concentrados y se representa por un sisdema deecuaciones diferenciales ordinarias. Si B es de dimension infinita, el sistema se demonina sistemade parámetros distribuidos y se representa por un sistema de ecuaciones diferenciales parciales.Nuestro modelo se representa por un sistema autónomo de parámetros concentrados (X,k,f ∈ Rn).

Definición 6 (Estado estacionario). Dada la siguiente ecuación diferencial autónoma de parámet-ros concentrados

ddt

(X,k) = f(X)X(t0) = X0

(1.11)

se define el estado estacionario como:d

dt(X,k) = 0 (1.12)

Los estados estacionarios también son llamados puntos de equilibrio, puntos fijos, puntos sin-gulares o atractores y se denotan por X∗ = (x∗1, x

∗2, x

∗3, ...).

Definición 7 (Estabilidad). Un punto de equilibrio x∗ es estable si existe un entorno V de x∗ talque toda solución que caiga en este entorno, en algún instante t, permanecerá dentro de él en lamedida que t −→∞. En caso contrario el punto de equilibrio se llamará inestable.

Figure 1.2: Estabilidad

Los puntos de equilbrio son las soluciones de (10) y de esta forma dicho sistema se reduce a unsistema de ecuaciones algebraicas no lineales

f(X∗) = 0 . (1.13)

Se dice que un estado estacionario X∗ es asintóticamente estable si la variación del sistema anteuna pequeña perturbación tiende a cero cuanto el tiempo tiende a infinito. Los estados estacionariosque son asintóticamente estables son ejemplos de atractores y se conocen de forma genérica comoestados estables. El conjunto de valores iniciales a partir de los cuales las trayectorias convergenhacia el atractor se conoce como dominio de atracción.


Figure 1.3: Inestabilidad

1.2.7 Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales

Se busca una aproximación X de la solución X(t) del problema de valor inicialddt

(X,k) = f(X)X(t0) = X0

(1.14)

Se supone que f : Ω −→ R es una función continuamente diferenciable en Ω ⊂ [a, b], y queX(t) está definida en un espacio de Banach. Primero se definirá la aproximación X en n puntosequidistantes t0, t1, ..., tn, con

tk+1 = tk + h

Para k = 0, 1, ..., n − 1 y h = b−an

. El número h se conoce como longitud de paso. Luego, enlos valores intermedios t ∈ (tj, tj+1) se puede definir la aproximación X mediante algún métodode interpolación.

Todos los metodos dividen el dominio del tiempo en pequenos segmentos h = ∆t y aproximanla solución de la función para el extremo de cada segmento. Con esto se generan tres problemas:la obtencion del comienzo de integracion, le velocidad de calculo, y los errores generados.

Un esquema de calculo puede comenzar con un método de integración y luego cambiar a otrométodo para incrementar la velocidad y precisión. La velocidad es importante porque, a pesarque las computadoras digitales pueden ser muy rápidas, algunos procesos pueden requerir un granesfuerzo de calculo que puede ser costoso.

A manera simplificada se presentan algunos métodos, los más comumnmente empleados:

Método de Euler Hacia adelante (Forward)

También es conocido como el Método de Taylor de Orden 1 con un error de orden O(h2) cuyarecurrencia esta dada por

yk+1 = yk + hfk.

Este método presenta problemas de estabilidad y de exactitud (convergencia).


Método de Runge-Kutta

El objetivo de los metodos de runge-Kutta es evitar el calculo de derivadas de f(x, y), a base decalcular F (t, y) en mas puntos, manteniendo el orden del error y la complejidad de calculo. Losmetodos de orden 2, 3 y 4 requieren el calculo de F (t, y) en 2, 3 y 4 puntos respectivamente. Losmetodos de orden m > 4 requieren el calculo de F (t, y) en mas de m puntos (no mas de m + 2).Este método emplea una funcion de incremento ψ(ti, yi, h), para la aproximacion de F (t, y) en elintervalo [ti, ti+1]. Su recurrencia es

yk+1 = yk + hψ(ti, yi, h).

1.2.8 Sistemas Lineales Estacionarios

Definición 8 (Sistema estacionario). Un sistema es estacionario si para cada par, condicionesiniciales y entrada

ddt

(X,k) = f(X)X(t0) = X0

(1.15)

se define el estado estacionario como:

d

dt(X,k) = 0 (1.16)

CHAPTER

2

ESTADO DEL ARTE

En la actualidad se encuentran diferentes publicaciones sobre modelamineto matemático de pro-cesos anaeróbicos.

Se investiga el problema de la identificación de los parámetros de un modelo no lineal de quintoorden que describe la dinámica poblacional de dos grupos principales de bacterias en un procesoanaeróbico de tratamiento de aguas residuales. Además de abordaron los problemas relativos deidentificiabilidad estructural y práctico, y se analizó cómo describir matemáticamente la dinámicade la población bacteriana que puediera modelar datos reales. [Noykova et al, 2001]

Las reacciones bioquímicas a menudo se puede formular matemáticamente como ecuacionesdiferenciales ordinarias. En el proceso de modelado, las principales inquietudes que se planteantienen que ver con la identifiabilidad estructural del parámetro de estimación y la identifiabilidadpráctica. Para aclarar estas cuestiones y los métodos para resolverlas, hay que analizar dos modelosdiferentes de segundo orden para el proceso anaeróbico de tratamiento de aguas residuales medi-ante procesamiento de datos de dos conjuntos obtenidos de diferentes montajes experimentales.En ambos experimentos sólo se midió la tasa de producción de biogás que fue lo que complicóconsiderablemente el análisis. Se demuestra que probar identifiabilidad estructural de los modelosmatemáticos con los métodos actualmente utilizados es fallido. Por lo tanto, se introduce un nuevométodo, en general basado en el comportamiento asintótico del estimador de máxima verosimili-tud para mostrar, en forma local, la identifiabilidad estructural. Para la estimación de parámetrosusamos el método de disparo múltiple que se describe. Además se muestra que el enfoque de lamatriz Hessiana para calcular los intervalos de confianza, falla, mientras que en nuestros ejemplosse basan en la simulación de Monte Carlo cuyos resultados son buenos. [Müller et al, 2001]

19

20 CHAPTER 2. ESTADO DEL ARTE

Se formula un modelo dinámico sobre el desarrollo y la identificación de los parámetros de unmodelo del proceso digestión anaerobia. El modelo de balance de masas se ha considerado a dospasos, acidogénesis y metanización. El modelo incorpora los equilibrios electroquímicos a fin deincluir la alcalinidad, la cual desempeña un papel central en relación con el monitoreo y estrategiasde conrol de la planta. La identificación se basa en una serie de experimentos dinámicos diseñadospara cubrir un amplio espectro de condiciones de operación que se aplicarán al funcionamientopráctico de la planta. Un procedimiento de identificación paso a para estimar los parámetros delmodelo es formulado. Los resultados de 70 días de experimentos en un fermentador de un m3 seutilizan para validar el modelo. [Bernard et al, 2001]

Los reactores discontinuos cíclicos con alimentos y extracciones periódicas, a menudo se uti-lizan en excrementos ganaderas para la digestión anaeróbica. El comportamiento dinámico de estetipo de reactores se simuló en este estudio. El modelo cinético desarrollado por Angelidaki I. etal Biotechnol [. Bioeng. 42 (1993) 159], junto con la cinética de crecimiento microbiano, losbalances de materia convencionales para un reactor discontinuo ideal cíclico, iteraciones líquido-gas, y la química en fase líquida de equilibrio, se utilizaron en este estudio. El modelo mostró unbuen comportamiento con los datos experimentales de RI Mackie y MP Bryant [Appl. Microbiol.Biotechnol. 43 (1995) 346], y R. Borja et al. Chem [. Ing. J. 54 (1994) B9]. Los efectos deltiempo de retención hidráulico (TRH), la tasa de carga orgánica, las concentraciones de reactivos,la alimentación de intervalo, y las condiciones iniciales, tales como el pH y la concentración deamoníaco en el rendimiento del proceso puede ser evaluada por el modo dinámico. También losresultados de la simulación muestran que las condiciones de equilibrio se puede considerar para ladistribución de CO2 entre las fases líquida y de gas, especialmente para los procesos con largostiempos de retención. [Keshtkar et al, 2001]

Un modelo anaeróbico para la prueba de la botella de suero fue desarrollado y analizado con lassensibilidades de estequiometría y parámetros cinéticos de para los componentes a fin de estableceruna base para la aplicación adecuada de el modelo. La degradación anaeróbica de la glucosa en unsuero botella ha sido seleccionada como un ejemplo. El modelo anaeróbico fue desarrollado conbase en el modelo de digestión anaerobica no. 1 (ADM1), que tuvo cinco procesos con 17 parámet-ros cinéticos estequiométricos. El análisis de sensibilidad mostró que el rendimiento del productoen el substrato (f) tiene alta sensibilidad a los componentes del modelo, y que la concentraciónde metano es el componente más sensible. Los parámetros importantes como el rendimiento delproducto sobre el sustrato (f), el rendimiento de la biomasa en el substrato (Y), y los valores de sat-uración media (K) se calculan utilizando los algoritmos genéticos, lo que optimiza los parámetroscon los resultados experimentales. El máximo Monod específico ha sido, sin embargo, fuertementeasociado con la concentración de biomasa, cuyos valores podrían no ser estimados de forma in-dividual. La simulación con los parámetros estimados mostraron una buena concordancia con losresultados experimentales en el caso de la producción de metano. Sin embargo, había algunasdiferencias en las concentraciones de acetato y propionato. [Hyeong-Seok Jeong et al, 2004]

En este paper el principio de linearización de control se aplicó a la digestión anaerobica debasuras orgánicas con la adición de una sustancia estimulante (el acetato). El objetivo consistió

21

en regular la tasa de flujo de biogas mediante variaciones de la entrada del contaminante orgánico.Para este propósito, se introdujo una nueva entrada del control en el modelo de cuarto orden delproceso, el cual refleja la adición del acetato. Se hicieron los experimentos del laboratorio con loscambios del paso de esta nueva entrada. Se obtuvieron nuevos valores para coeficientes del modelo.Los resultados obtenidos pueden ser útiles para plantas del biogas industriales que operan con lasmezclas de basuras orgánicas dónde la pérdida orgánica rica en acetato (por ejemplo, vinasse) seagregar como una sustancia estimulante. [Simeonov 2005]

La modelación de procesos biológicos es a la vez un instrumento para describir y verificarlos procesos cinéticos que intervienen en el tratamiento biológico de aguas residuales, y una her-ramienta para predecir el comportamiento de los procesos, aplicable al diseño, evaluación y controlde procesos de tratamiento. Los modelos de los procesos de tratamiento varían en su complejidad,según el número de componentes y procesos biológicos considerados; según se trate de mode-los de estado estacionario o dinámicos; y según que el reactor biológico se considere un dominiocon concentraciones homogéneas o distribuidas en el espacio. Hay que remarcar que los modelosde estado estacionario suelen utilizarse para el diseño de plantas de tratamiento, mientras que losmodelos dinámicos se utilizan más para evaluar el comportamiento de una planta ante situacioneshistóricas o futuras, y para el control de plantas. En estos últimos modelos se describe el procesobiológico a través de un número de componentes del agua residual, que siguen unos procesos bi-ológicos de transformación, y cuya concentración se expresa a través de un sistema de ecuacionesdiferenciales, que se obtienen mediante balances de materia de los diferentes componentes. Enalgunos casos hay que aplicar balances de energía y de cantidad de movimiento. En este docu-mento se da una introducción a la modelación matemática de procesos biológicos de tratamientocon biomasa suspendida y concentración homogénea. Se describe paso a paso un modelo dinámico(una laguna aireada de mezcla completa con tres componentes y dos procesos cinéticos), orien-tado a la eliminación de carbono orgánico, como base para entender los modelos más complejosde la IWA, que se introducen al final del tema. Se mencionan también algunos de los paquetesinformáticos que permiten la modelación matemática de los procesos biológicos de tratamiento delagua residual. [Escalas 2006]

El modelado de un digestión anaeróbico es un método establecido para evaluar el tratamientoanaeróbico de aguas residuales para diseño, análisis de sistemas, análisis operativo y el control.El tratamiento anaeróbico de aguas residuales domásticas es un fenómeno relativamente nuevo,pero madurando rápidamente po la tecnología, especialmente en los países en desarrollo, dondela combinación de bajo costo, y el rendimiento moderado-bueno son particularmente atractivos.La clave de la tecnología emergente es el tratamiento anaeróbico de alta velocidad, en particu-lar los reactores UASB. El modelamiento de sistemas puede potencialmente ofrecer una serie deventajas en este campo, y las motivaciones fundamentales para la modelización han sido iden-tificadas como análisis operativo, el desarrollo tecnológico y el diseño basado en modelos. Eldiseño es particularmente importante, ya que determina el costo de capital, una motivación clavepara los ejecutores. Publicaciones de estudios de modelización para tratamientos anaerobicos deaguas residuales domásticas son limitados en número, pero bien dirigidos a temas específicos. Lamayoría tienen una baja complejidad estructural, con una cinética de primer orden, en compara-


ción con la comunmente más usada cinética de Monod. Esta revisión se refiere a la utilización demodelos anaeróbicos, en general, la aplicación de modelos de sistemas para las aguas residualesdomásticas, y evalúa las necesidades futuras de los modelos que necesitan para hacer frente a lasmotivaciones claves de análisis operacional, desarrollo tecnológico y el diseño basado en modelos.Para el análisis operacional y el desarrollo de la tecnología, un modelo complejo como el ADM1se recomienda, con otras ampliaciones, como requisito para hacer frente a factores tales como lareducción de sulfato. Para el diseño, los problemas críticos son la hidráulica y partículas (es decir,la biomasa y el sustrato sólido) del modelado. Por lo tanto, la estructura cinética debería ser relati-vamente simple (al menos en dos etapas), pero hidráulica y las partículas podrían ser relativamenteun modelo complejo. [Batstone 2006]

¿Podemos evaluar la complejidad de un modelo para un bioproceso? En este paper nosotrosproponemos a una metodología para determinar la estructura de la matriz pseudo-stequiometrica delcoeficiente K en un modelo basado en el balance de masas, es decir, el número máximo de biomasasque deben tenerse en cuenta para reproducirse un conjunto de datos disponibles. Esto consiste enestimar el número de reacciones que deben tenerse en cuenta para representar la transferencia demasa dentro del bioreactor. Esto proporciona la dimensión de K. El método se aplica a los datosde un proceso de digestión anaeróbica y muestra que a cada modelo es suficiente incluir una solabiomasa. Entonces nosotros aplicamos el mismo método al los “datos sintéticos” emitidos por elmodelo complejo ADM1, mostrando que los rasgos principales pueden obtenerse con 2 biomasas.[Bernard et al, 2007]

En este trabajo, consideramos un proceso biológicos inestable utilizado para el tratamiento deaguas residuales. Este ecosistema de digestión anaeróbica puede tener dos estados estables a nivellocal y un estado de equilibrio inestable. En primer lugar, se estudia el modelo y se caracteriza lacuenca de atracción asociada al modo de operación normal. En el segundo paso, se estima el tamañode esta cuenca de atracción usando un criterio simplificado que resulta ser una buena aproximación.Por último, se aplica el enfoque de una planta real de digestión anaerobia, y se muestra que elcriterio propuesto permite detectar rápidamente las condiciones de una desestabilización. [Hess -Bernard, 2007]

Modelos matemáticos y sus parámetros son utilizados para describir el comportamiento de lascélulas y esto constituye el principal problema del modelado de bioprocesos, en la práctica y en laestimación de parámetros. La construcción del modelo conduce a una deficiencia de la informa-ción y no a la identificación de parámetros únicos. Mientras que la búsqueda de nuevos conceptos,modelos más adecuados, métodos que obtienen su inspiración inicial de la naturaleza han recibidola atención temprana. Uno de los métodos directos más comunes para la búsqueda mundial es el al-goritmo genético. Un sistema de seis ecuaciones diferenciales ordinarias se propone como modelode las variables del proceso de cultivo considerado. La estimación de parámetros se lleva a caboutilizando los datos reales del montaje experimental de una E. coli retroalimentada (MC4110) parael proceso de cultivo. Con el fin de estudiar y evaluar los vínculos existentes entre las magnitudesy los parámetros del modelo se lleva a cabo un análisis de sensibilidad de las variables. El proced-imiento para estimación consecutiva de los cuatro grupos definidos de parámetros del modelo se

23

basa en el análisis de sensibilidad propuesto. La aplicación de este procedimiento y de algoritmosgenéticos lleva a una exitosa identificación de los parámetros. [Roeva 2008]

En los últimos años, el modelado matemático ha sido empleado para tratar de representar loscambios químicos que ocurren en el ambiente. Tradicionalmente los modelos se fundamentan enlos balances de materia y la cinética química de los bioprocesos. En este estudio se aplican y sim-ulan las ecuaciones obtenidas para un reactor biológico isotérmico tipo tanque agitado medianteecuaciones lineales adimensionales en estado semi-estacionario. Para darle validez a los resulta-dos derivados de la solución analítica, estos se comparan con los resultados experimentalmenteobtenidos a nivel laboratorio para un digestor metanogénico en el régimen mesofílico de temper-atura y en donde se trataron los vertidos residuales provenientes de una industria alcoholera bajodiferentes condiciones de operación, empleando como consorcio microbiano fluido ruminal vac-uno. Los resultados del modelo concuerdan favorablemente bien con la producción de biogás y ladisminución de la carga orgánica (expresada como DQO), teniendo un factor de ajuste promediopara ambos casos de R2 = 0.9960 y una variación del 0.01601, cuando se propone una cinética dereacción de primer orden y empleando en el medio células libres. Además que dicho modelo escapaz de predecir cuándo el sistema alcanza el estado estacionario. [Del Real Olvera et al, 2008]

El auge de los procesos fermentativos como fuente de etanol carburante conduce a plantearestudios tericos para el entendimiento detallado del proceso. En el presente trabajo se evalúa laproducción de etanol en un sistema continuo con células de levadura. Los modelos de crecimientomicrobiano Monod y Haldane son analizados en un CSTR reactor (Continuous Stirred Tank Re-actor). Se analiza la estabilidad del sistema, el comportamiento dinámico, la caracterización depuntos de equilibrio, planos de fase y puntos de bifurcación para cada uno de los dos modelos decrecimiento. [Trejos et al, 2008]

Este artículo trata sobre el análisis de equilibrio y la estabilidad de la llamado modelo AMOCOdesarrollado por Bernard et al. (2001) para describir el comportamiento dinámico de un procesoanaerobico de tratamiento de aguas residuales fixed-bed. Dependiendo de los parámetros del mod-elo, los estados estacionarios son analíticamente caracterizados y su estabilidad ess analizada. De-spués de este estudio, se demuestra que la tolerancia de la sobrecarga (indicado en este documentoOT), un parámetro propuesto en Hess y Bernard (2007) para el seguimiento en línea de procesosanaeróbicos, no se puede adaptar en virtud de ciertas condiciones de operación e incluso puedeconducir a malas decisiones operativas. [Benyahia et al, 2008]

En este trabajo se presenta un nuevo modelo matemático desarrollado para reproducir el com-portamiento de un digestor de lodos genéricos, aeróbico o anaeróbico, bajo condiciones operativas .El digestor se ha modelado como dos tanques de mezcla completa asociados a volúmenes de gasesy líquidos. El modelo de conversión se ha desarrollado sobre la base de una planta metodología demodelado de ancho (PWM) y consta de transformaciones bioquímicas, reacciones físico-químicasy consideraciones termodinámicas. El modelo predice la temperatura del reactor y la evolucióntemporal de un vector extensivo de los componentes del modelo que están completamente definidosen términos de fracciones de masa elemental (C, H, O, N y P) y densidad de carga. Por lo tanto,


la definición completa de los componentes del modelo garantiza la continuidad de la masa elemen-tal y de carga en todas las transformaciones de modelos, y entre cualquiera de los dos sistemasdefinidos por el modelo. El objetivo del modelo digestor genérico es superar los problemas quesurgen cuando se intenta conectar la digestión aeróbica y los procesos anaeróbicos de trabajo enserie o para conectar las tuberías de agua y lodos en una WWTP. La metodología de modelizaciónutilizada ha permitido la construcción sistemática del modelo bioquímico que actúa como un primerejemplo ilustrativo de una aplicación que ha sido experimentalmente verificada. La variación dela temperatura es también predicha sobre la base de una dinámica térmica modelo. Datos reales apartir de cuatro diferentes instalaciones y una calibración sencilla se han utilizados para verificarlas predicciones del modelo con éxito en los casos de digestión anaeróbica mesófilos y termófi-los, así como digestión aerobia autotérmica termofílica (ATAD). La gran cantidad de datos a granescala ATAD y las plantas de digestión anaerobia piloto, todas ellos trabajando bajo condicionesdiferentes, ha permitido la validación del modelo para el caso en estudio. [Gracia et al, 2009]

El efecto de los abonos de análisis en la producción de biogás de estiércol y lácteos se evaluó endigestores discontinuos bajo condiciones mesofílicas (35oC). Por otra parte, el estudio determinó elpotencial de producción de biogás de diferentes mezclas de estiércol y productos lácteos no contro-lados de residuos de alimentos y los compará con el rendimiento de estiércol o desperdicios de solocomida. Un modelo de la cinética de primer orden fue desarrollado para calcular la producción demetano de diferentes mezclas de desperdicios de comida, estiércol y lácteos no controlados. Losrendimientos de metano de multa y fracciones gruesas de abono y estiércol no controlados selec-cionados después de 30 días fueron 302, 228, y 241 L / kgVS, respectivamente. Aproximadamenteel 93%, 87% y el 90% de los rendimientos de biogás se podría obtener, respectivamente, 20 díasdespués de la digestión. El contenido promedio de metano del biogás fue de 69%, 57% y 66%,respectivamente. Con base en cálculos de balance de masas, la separación de la fracción gruesa deestiércol sobre sacrificaría 32% del potencial energético. La producción de metano de los residuosde alimentos fue de 353 L / kgVS 30 días después de la digestión. Dos mezclas de estiércol y resid-uos de alimentos no controlados, y 68/32% 52/48%, produjo rendimientos de metano de 282 y 311L / kgVS, respectivamente, 30 días después de la digestión. Después de 20 días, aproximadamenteel 90% y 95% de la producción de biogás final podría ser obtenido, respectivamente. Por lo tanto,un tiempo de retención hidráulico (TRH) de 20 días podría ser recomendada para un digestor con-tinuo. El contenido de metano promedio fue de 62% y 59% para las mezclas de primera y segunda,respectivamente. Los resultados previstos de la modelo mostró que la adición de los residuos dealimentos en un digestor de estiércol a niveles de hasta el 60% de los sólidos volátiles inicialessignificativamente aumento de la producción de metano durante 20 días a partir de la digestión.[Hamed et al, 2010]

La degradación anaeróbica mesofílica de los residuos urbanos se ha estudiado en reactores delaboratorio discontinuos con dos concentraciones iniciales diferentes de la OFMW: R20, con 931,1mg DOC / L (20% TS), y R30, con 1.423,4 mg DOC / L (30% TS). El proceso de la digestiónanaeróbica se vio favorecido cuando se realizó el material con un contenido total de sólidos del20% en comparación con un proceso similar con 30% de TS. Un nivel más alto de materia orgánica,en términos de DOC y VFA, 18.18% y 8.09% respectivamente, fue eliminado en el sistema con la

25

menor cantidad de sólidos. Los parámetros cinéticos mostraron una mayor actividad de biomasa yun coeficiente más alto para la producción de metano en la carga baja. La más alta tasa máxima decrecimiento específico (µMAX) para los microorganismos en los reactores con el 20% TS, se logróun valor de 0,192 días−1, en comparación con 0.131 días−1 en los reactores con el 30% TS. Lainversa de la razon F:M fue mayor en el sistema R20 con un valor de 0,0104 (cf. 0,0006 en R30) y,como resultado, el sistema R30 requiere mayores estados de hidrolítica y acidogénica. XV0/YX/Sy los coeficientes de rendimiento para la generación de productos (αP/S) fueron más altos, en tornoal 53% por el digestor R20. [Fernández et al, 2010]

La Mono fermentación del ensilaje de hierba sin la adición de estiércol se realizó durante unperíodo de 345 días bajo condiciones mesofílicas (38oC). Un estudio de simulación basado en ladigestión anaerobia del modelo IWA No.1 (ADM1) se hizo con el fin de demostrar su aplicabilidada la biomasa lignocelulósica. Por lo tanto, la influecia fue fraccionada por el análisis de forrajesestablecido (análisis Weender y método de van Soest). El ADM1 fue modificado con un compuestoseparado de productos similares de desintegración inerte al enfoque del modelo de Lodos ActivadoNo.1 (ASM1). Por otra parte, una función, que describe la influencia de los sólidos en el proceso dehidrólisis, se ha integrado para reproducir fiablemente las concentraciones de amonio. El modelofue calibrado mediante la modificación del coeficiente Nash-Sutcliffe para evaluar la calidad de lasimulación. Es posible ajustar los datos observados, cambiando sólo las constantes de inhibiciónde hidrógeno y la tasa máxima de consumo de acetato. El modelo ADM1 extendido muestra unabuena concordancia con las mediciones y fue escencial para el modelado de la digestión anaeróbicade ensilado de hierba. [Konrad Koch et al, 2010]

CHAPTER

3

MODELO DE LA CINÉTICA BACTERIAL

En este trabajo se consideran los siguientes modelos de Cinética bacterial:

3.1 Bacteria Acetogénica

Se tendra encuenta la Cinética tipo Monod para el crecimiento de la bacteria acetogénica, tal que

µ1 = µ1max

S1

S1 +KS1

(3.1)

con:

µ1max :=Velocidad específica de crecimiento máxima, asociada a S1, en [días−1]KS1 :=Constante de saturación, asociada a S1, en [g COD/L]

27

28 CHAPTER 3. MODELO DE LA CINÉTICA BACTERIAL

3.2 Bacteria Metanogénica

En este proceso la Cinética es tipo Haldane para el crecimiento de la bacteria metanogénica, talque

µ2 = µ2max

S2

S22

KI2+ S2 +KS2

(3.2)

con:

µ2max :=Velocidad específica de crecimiento máxima, asociada a S2, en [días−1]KS1 :=Constante de saturación, asociada a S2, en [g COD/L]KI2 :=Constante de inhibición, asociada a S2, en [días−1]

CHAPTER

4

FORMULACIÓN DEL MODELO

En este modelo sólo tomaremos en cuenta la cinética microbiana, dejando de lado los aspectosde modelado de la transferencia de calor y del comportamiento del pH en el sistema, que en sí,aunque afectan el resultado del proceso mismo, son parte del ambiente en el que se desarrolla elcrecimiento bacteriano y la formación de productos y que no corresponden a dinámicas propias delproceso anaerobico.

Se considera el proceso biológico de digestión anaerobia del rumen del ganado para la produc-ción de biogás; este proceso se caracteriza por ser altamento no-lineal y multivariable con:

• Una entrada manipulada: Flujo de entrada (mezcla de rumen y agua).

• Una salida: Flujo de gas metano.

Se asume que:

1. La dinámica de la válvula del flujo de entrada es despreciable. Esta válvula es el elementofinal de control,

2. Las pérdidas por radiación de calor son despreciables,

3. Los parámetros (constantes cinéticas) varían lentamente con relación a la dinámica domi-nante del sistema.

29

30 CHAPTER 4. FORMULACIÓN DEL MODELO

Consideraremos un modelo macroscópico simplificado, de un proceso anaerobio (Bernard etal. 2001), en donde el sustrato orgánico S1 es degradado en ácidos grasos volátiles S2 por unabacteria acetogéncia X1 y entonces los ácidos grasos volátiles son degradados en metano CH4 poruna bacteria metanogénica X2:

• Acetogénesis:k1S1

µ1X1−→ k1S2

• Metanogénesis:k2S2

µ2X2−→ k3P

donde µ1 y µ2 representan las tasas de crecimiento bacterial asociadas a los dos bioprocesos,

S1 := Cantidad total de sustrato orgánico [g de carbohidratos /L mezcla]X1 := Cantidad total de biomasa acetogénica [g de biomasa degradadora de carbohidratos /L mezcla]S2 := Cantidad total de sustrato acetogénico [g de acetato /L mezcla]X2 := Cantidad total de biomasa metanogénica [g de biomasa degradadora de acetato /L mezcla]P := Concentración de CH4 [g de metano /L]

y los parámetros

k1 := Coeficiente estequiométrico asociado al sustrato S1

k2 := Coeficiente estequiométrico asociado al consumo de sustrato S2

k3 := Coeficiente estequiométrico asociado a la producción de CH4

k4 := Razón de cambio de CH4 en el proceso

El modelo de balance general de masas en estado no estacionario se formula:[Masa acumulada

dentro del sistema

]=

[Masa que entra a través

de los límites del sistema

]−[

Masa que sale a travésde los límites del sistema

]+

[Masa generada

dentro del sistema

]−[

Masa consumidadentro del sistema

]

4.1 Balance de Biomasas

dX1

dt= µ1 X1 − kd1 X1 (acetogénesis) (4.1)

dX2

dt= µ2 X2 − kd2 X2 (metanogénesis) (4.2)

4.2. BALANCE DE SUSTRATOS 31

siendo los parámetros

kd1 := Tasa de degradación acetogénica [días−1]kd2 := Tasa de degradación metanogénica [días−1]

4.2 Balance de Sustratos

dS1

dt= −µ1

Y1X1 + k1 S2 (4.3)

dS2

dt= k2 S1 −

µ2

Y2X2 − k3 P (4.4)

con

− 1

Y1:= Factor de crecimiento de la biomasa X1 a partir del sustrato S1 [g S1/ g X1]

− 1

Y2:= Factor de crecimiento de la biomasa X2 a partir del sustrato S2 [g S2/ g X2]

4.3 Tasa neta de producción de metano (balance de producto)

dP

dt= k4 µ2 X2 (4.5)

En estado estable las variaciones en función del tiempo se hacen nulas

dX1

dt=dX2

dt=dS1

dt=dS2

dt= 0 (4.6)

luego sustituyendo (24) en las ecuaciones (19), (20), (21) y (22) se obtiene:

µ1 X1 − kd1 X1 = 0

µ2 X2 − kd2 X2 = 0

−µ1

Y1X1 + k1 S2 = 0

k2 S1 −µ2

Y2X2 − k3 P = 0

(4.7)

32 CHAPTER 4. FORMULACIÓN DEL MODELO

Por tanto el sistema (25) representa el comportamiento de las biomasas y los sustratos en estadoestable.

CHAPTER

5

SIMULACIÓN

Se puede obsevar que las ecuaciones (19)-(23) represetan un sistema autónomo de ecuacionesdiferenciales no lineales, el cual no es sencillo resolverlo por métodos simbólicos. Nos apoyare-mos en métodos numéricos para resolver el sistema en mención y en el software MATLAB. Estesofwtare contiene diversos métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales como losexpuestos en la tabla 2.

Método Característicaode45: Es el algoritmo más adecuado en primera instancia (paso simple)ode23: Es el algoritmo más eficiente para tolerancias altas (paso simple)

ode113: Es el algoritmo más eficiente para tolerancias estríctas (multi paso)ode15s: Es el algoritmo más adecuado, en primera instancia

para sistemas mal condicionados (multi paso)ode23s: Es el algoritmo más eficiente para sistemas mal condicionados

con tolerancias altas (paso simple)discrete: No es necesario resolver integración numérica

Table 5.1: Métodos numéricos de paso variable para ecuaciones diferenciales

Despues de varios ensayos con diferentes métodos numéricos optamos por emplear un métodode Runge-Kutta de orden tres denominado Shampine-Bogacki que es un método para la solu-ción numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias. Fue propuesto por Przemyslaw Bogacki y

33

34 CHAPTER 5. SIMULACIÓN

Lawrence F. Shampine en 1989. éste se implementa en la función ode23 en MATLAB (Shampiney Reichelt 1997).

5.1 Parámetros de simulación

Los parámetros que se emplearon para la simulación (tabla 1.) se tomaron de los valores repor-tados en las referencias (Angelidaki et al, 1999), (Keshtkar et al, 2001), (Bastone et al, 2002) y(Dinopoulou et al, 2004).

Parámetro Valor Unidadesµ1max 0.6 [días−1]KS1 0.128 [g de carbohidratos /L]µ2max 32.6 [días−1]KS2 1.77 [g de acetato /L]KI2 0.00067 [g de acetato /L]kd1 0.01 [días−1]kd2 1.747 [días−1]

Table 5.2: Parámetros de simulación

5.2. RESULTADOS OBTENIDOS 35

La siguiente figura nos muestra el modelo desarrollado en Simulink para la simulación delsistema.

Figure 5.1: Modelo en Simulink de la planta

5.2 Resultados obtenidos

Del cual obtuvimos la siguiente salida para el flujo de gas metano (CH4)

Figure 5.2: Flujo de Gas Metano

36 CHAPTER 5. SIMULACIÓN

Aquí podemos observar que la producción de gas toma su máximo valor en los primeros días,en nuestro caso en el primer día. Otros modelos publicados muestran que el flugo toma su máximovalor entre los 2 y 5 primeros dias.

El flugo de gas es calculado mediante la relación

FLUJO = kk9 ∗ V olreac ∗ Prod

siendo Prod nuestro producto (concentración de metano) obtenido en la solución del sistema deecuaciones diferenciales y en donde

kk9 = (R ∗ T )/(Patm ∗ Pmol) (factor de conversión)

con

R = 0.52 (Constante universal de los gases ideales)en (L[CH4]*kilopascales)/(kelvin*mol)

T = 298 (Temperatura del bioreactor) en [kelvin]Patm = 91.325 (Presión atmosférica de Ibagué) en [Kilopascales]Pmol = 16 (Peso molecular del metano) en [uma]V olreac = 1000 (Volúmen del reactor) en [L].

Otro resultado importante de mencionar es la presión parcial (Pparc) en el headspace y se calculómediante la ley de gases ideales

Pparc =n ·R · TVgas

= 111, 1 kPa

con

n = 13.4438 (Número de moles de CH4)Vgas = 300 (Volúmen del gas) en [L]

CHAPTER

6

VALIDACIÓN

La validación se realizo con los datos reportados en la referencia [Gracia et al 2009] para condi-ciones anaeróbicas.

Bajo dichas condiciones se obtuvo la siguiente salida para el flujo de gas metano

Se puede observar que el comportamiento de la grafica del flujo de gas metano experimentales similar al comportamiento de la gráfica simulada. Se tiene un error relativo de 6.8% en el puntomáximo del flujo de gas. En el tercer dia en donde empieza a estabilizarce el error es de 7.6% ya partir del quinto día en donde se estabiliza por completo, el error es de 8.5%. Por lo anteriorpodemos concluir con cierta confianza que el modelo propuesto puede representar la produccciónde metano bajo las condiciones expuestas.

37

38 CHAPTER 6. VALIDACIÓN

Figure 6.1: Resultados experimental y simulado para la producción del flujo de gas metano.

CHAPTER

7

CONTROL

Aqui aplicaremos dos tipos de control, uno lineal PID y uno no lineal FUZZY.

7.1 Control Lineal

Emplearemos la tecnica de linearización para simplificar el modelo. La ventaja de la linearizaciónradica en las múltiples herramientas para su análisis.

7.1.1 Linealización

La capacidad de representar un sistema no lineal y/o variante con el tiempo mediante ecuaciones deestado es una ventaja que distingue al enfoque de variables de estado sobre el método de la funciónde transferencia, ya que este último esta definido estrictamente para sistemas lineales invariantescon el tiempo. [B. C. Kuo, “Sistemas de Control Automático", 7a Ed., México: Prentice-HallHispanoamericana S.A., 1996, p. 184.]

Si en general se considera un sistema

X = f(X,u,k)y = h(X,u,k)

(7.1)

39

40 CHAPTER 7. CONTROL

cuyo punto de equilibro queda determinado por

0 = f(X0,u0,k0)

y0 = h(X0,u0,k0)(7.2)

donde X0,u0,k0 y y0 son los valores de X,u,k y y en el punto de operación.Haciendo la expansión de f y h en serie de Taylor

f(X,u,k) ≈ f(X0,u0,k0) +∂f∂X

∣∣∣∣0(X− X0) +

∂f∂u

∣∣∣∣0(u− u0) +

∂f∂k

∣∣∣∣0(k− k0)

h(X,u,k) ≈ h(X0,u0,k0) +∂h∂X

∣∣∣∣0(X− X0) +

∂h∂u

∣∣∣∣0(u− u0) +

∂h∂k

∣∣∣∣0(k− k0)

donde ∂f∂X

∣∣0 representa la derivada parcial evaluada en el punto de equilibrio (X0,u0,k0). Ahora se

definen las variaciones de las variables

∆X = X− X0,

∆u = u− u0,

∆k = k− k0,

por tanto la linearización queda

∆X =∂f∂X

∣∣∣∣0∆X +

∂f∂u

∣∣∣∣0∆u +

∂f∂k

∣∣∣∣0∆k

∆y =∂h∂X

∣∣∣∣0∆X +

∂h∂u

∣∣∣∣0∆u +

∂h∂k

∣∣∣∣0∆k.

Recordemos que los valores del punto de operación satisfacen

0 = AX0 + Bu0 + Ek0

y0 = CX0 + Du0 + Fk0

Aqui volvemos a apoyarnos en MATLAB para el calculo de las matrices A,B,CDespués de aplicar la linealización a nuestro reactor obtenemos las siguientes matrices en es-

7.1. CONTROL LINEAL 41

pacios de estados:

A =

−4.3373 −1.0247 1.0 0 00.2169 0.0412 0 0 0

1.0 0 −157.5088 −0.0502 −0.320 0 8.6630 −1.7442 00 0 52.6883 0.0168 0

B =

10000

C =[0 0 52.6883 0 0

]D =

[0]

En donde los valores de las variables en estado estacionario estan representado por

X =[S1 X1 S2 X2 Plin

]

Por tanto la planta en espacio de estados es

G(s) =52.6883s3 + 89.7282s2 − 3.7897s

s5 + 163.5491s4 + 975.2321s3 + 1289.2296s2 + 139.2779s+ 1.2775

7.1.2 Control PID

El controlador PID es una estructura de control en la que la señal de control del proceso seexpresa en función del error e(t), según la expresión estándar:

u(t) = Kp

[e(t) +

∫ t

0

Kie(τ)dτ +Kdde(t)

dt

]

donde Kp, Ki y Kd son las constantes Proporcional, Integral y Derivativa del controlador re-spectivamente.

La mayoría de los controladores industriales utilizan esquemas de control PID o PID modificado[Ogata, 1987]. El cálculo de los parámetros adecuados de un controlador PID para una determinada


planta resulta ser algo no muy sencillo. Un controlador PID, consta de una parte Proporcional, unaIntegradora y una Derivativa.

La parte proporcional realiza una acción de control al error, que existe entre la salida del sistemay el punto de referencia. Sin embargo, no siempre es posible controlar una planta con un controlconstante. La parte integral elimina un problema de la parte proporcional conocido como offset quese presenta cuando se ejerce una acción constante debido a un error constante. La parte integralelimina el error en estado estacionario al introducir un polo en el origen. Finalmente, la partederivativa aumenta la velocidad de respuesta ante un cambio repentino en el error.

Para emplear un PID es necesario determinar los valores de los parámetros de tal manera queel sistema sea estable. Para ello existen varios métodos:

• Métodos iterativos de ensayo y error

• Margen de fase (diagrama de Bode)

• Asignación de polos y ceros (diagrama de Evans)

• Reglas de Ziegler y Nichols

• Método de Aström y Hagglund

• Métodos de optimización analíticos y numéricos

• Auto-tuning

entre otros. Para nuestro reactor utilizamos el bloque PID Tuning with Actuator Constraints, desimulink, el cual emplea el método de optimización (figura 7).

Este procedimiento encuentra una solución factible u óptima, para los parámetros de PID,dentro de las tolerancias especificadas.

Bajo las condiciones de nuestro reactor los valores del PID optimo serian:

Kp = 22.7 (Proporcional)Ki = 3.7 (Integral)Kd = 30.7 (Derivativo)

(7.3)

7.1. CONTROL LINEAL 43

Figure 7.1: PID Tuning with Actuator Constraints.

Estos valores los implementamos en la planta en laso cerrado ante una entrada paso (figura 8).

Figure 7.2: PID Aplicado a la planta en laso cerrado ante una etrada paso.

En el grafico podemos observar que presenta un sobre impulso menor que el 5%. Cuando lagráfica toma su valor máximo se presenta un error relativo de 6.8% apoximadamente y hasta el 3día se incremente el error a un 7.6% pero despues de el 5 día se estabiliza definitivamente con unerror aproximado de 8.5%.


La salida ante una entrada pulso:

Figure 7.3: PID Aplicado a la planta en laso cerrado ante una entrada pulso.

A partir del comportamiento de las graficas 8 y 9 podemos observar que el PID funciona ade-cuadamente y para las condiciones de nuestro reactor.

7.2. CONTROL NO LINEAL 45

7.2 Control no lineal

El control no-lineal es el conjunto de técnicas de análisis y diseño para sistemas de control nolin-eales; un sistema de control no-lineal es aquel que tenga al menos un componente no-lineal. Aquiemplearemos un control Fuzzy.

7.2.1 Control FUZZY

La teoría de conjuntos difusos parte de la similitud con los conjuntos clásicos en los cuales setiene una función de pertenencia de 0 ó 1. En los conjuntos difusos se tiene la característica quela función de pertenencia puede adquirir valores en el rango 0 a 1. Así es como se introduce elconcepto de conjunto difuso, el cual esta asociado con un determinado valor linguüístico que sedefine por una etiqueta.

Entradas de un controlador difuso:

• los valores deseados de salida

• valores reales de salida

• posiblemente los estados internos del sistema controlado

• información adicional por parte del usuario, por lo general lingüística

Las variables de entrada son las coordenadas en el espacio de entrada, X , que por lo general esun subconjunto convexo de Rn.

Salidas de un controlador difuso:

• las acciones de control (entradas del sistema controlado)

• información adicional para el usuario

Las variables de salida son las coordenadas en el espacio de salida, Y , por lo general un subconjuntoconvexo de Rm.

Un controlador clásico realiza un mapeo

f : X −→ Y

que puede ser representado por un subconjunto suave de X × Y

(x, y) ∈ X × Y : y = f(x)


y por una función de pertenencia (membership) G : X × Y −→ 0, 1

G(x, y) =

1 si y = f(x)

0 otro caso

Zadeh (1973) propone: Expresar la información a base de reglas usando conjuntos difusos, comouna relación difusa

G : X × Y −→ [0, 1]

subconjunto difuso de X×Y con G ∈ F (X × Y ) lo que generaliza la función de control clásica.

Por otra parte, el mecanismo de inferencia interno puede trabajar con subconjuntos borrososdel espacio entrada / salida (en lugar de puntos) y mapea los subconjuntos difuso del espacio deentrada X en subconjuntos difusos del espacio de salida Y

Φ : F (X) −→ F (Y )

La entrada puede ser difuso, pero a menudo es suave pues a veces la entrada fuzzificada es suave.La salida puede ser difuso, pero por lo general se requiere un valor suave, una defuzzificación∆ : F (Y ) −→ Y tiene como paso final

if X is A1 then Y is C1 and...

if X is An then Y is Cn

donde X ∈ F (X) es una entrada difusa, Y = Φ (X) ∈ F (Y ) es la correspondiente salida difusay las Ai ∈ F (X) con i = 1, 2, ..., n son antecedentes (premisas) las cuales se pueden interpretarcomo

• supuestos

• dominios de aplicabilidad o

• entradas difusas típicas

. Las Ci ∈ F (Y ) con i = 1, 2, ..., n son los consecuentes que expresan los resultados deseados.Los antecedentes son subconjuntos de los espacios multidimensionales, estos llevan información

sobre diversas variables (al igual que lo hacen los consecuentes), usualmente se componen deconjunciones (extensiones cilíndricas) de conjuntos difusos unidimensionales. Si un antecedentetiene una forma más compleja (no convexa) nosotros podemos cubrir esto aproximadamente porvarias reglas de la forma

1. ignoramos las conjunciones (extensiones cilíndricas) y admitimos formas arbitrarias de an-tecedentes o


Figure 7.4: Modelo en simulink del controlador difuso.

• descomponemos la salida en variables simples consideradas independientemente. Sin pér-dida de generalidad, restringimos la atención a un sistema MISO (Múltiple Input, SimpleOutput).

. Nuestro control fuzzy lo implementamos en simulink


En donde aplicamos reglas tipo mandani cuya superficie es

Figure 7.5: Salida generada por el controlador difuso.



obteniendo la siguiente salida


En el grafico podemos observar que presenta un sobre impulso menor que el 5%. Cuando lagráfica toma su valor máximo se presenta un error relativo de 8.6% pero despues de el 7 día seestabiliza completamente bajo el punto de operación con un error aproximado de 3.5%.


Figure 7.8: Salida del PID vs FUZZY.

CHAPTER

8

CONCLUSIONES

• El controlador propuesto en este trabajo, establece un conjunto de reglas basadas en el er-ror, mostrando que su desempeño es satisfactorio comparados con los obtenidos en el PIDconvencional.

• Se pudo observar que el valor máximo de la produccion de metano se logra más rápido conel controlador difuso (al iniciar el segundo dia), mientras que con el control PID lo hace alfinalizar el segundo día.

• Por lo anterior podemos afirmar que el modelo propuesto es viable para implementarlo, aescala, en el control de la producción de metano

51

52 CHAPTER 8. CONCLUSIONES

CHAPTER

9

PROBLEMAS PROPUESTOS

• Implementación de la metodología propuesta para el estudio sobre control de la producciónde metano en reactores continuos.

• Aplicaciones de técnicas mulivariadas para el estudio sobre el control de la producción demetano a partir de distintos sustratos metanizadores.

• Aplicaciones de control estocástico para el estudio de la producción de metano a partir dedistintos sustratos metanizadores

53

54 CHAPTER 9. PROBLEMAS PROPUESTOS

CHAPTER

10

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55

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