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Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires

73.06 Vibraciones de Estructuras

H. Varas J. Loyza

A. C. Ibañez

Agosto 2001


Ibañez / Loyza / Varas FIUBA 2001

V I B R A C I O N E S d e E S T R U C T U R A S

1º parte del problema Motores Equipos Auxiliares

• La generación (causas) Hélice Mar (olas)

Las vibraciones pueden clasificarse en perturbaciones: § Armónicas § Periódicas § Aleatorias

Un caso particular es el ruido. Para poder controlarlo hay toda clase de normativas.

Frecuencias Perturbadoras Modificación del diseño estructural. Fn≠Fpert Resonancia Frecuencias Naturales Creación de compensadores dinámicos Eliminación o Disminución de la importancia disminución de la intensidad de la fuente

de las perturbaciones Aislamiento de la fuente de Vibraciones

Las frecuencias que componen la perturbación dependen de donde se generen las mismas. Por ejemplo, para frecuencias perturbadoras, en cuanto a motores dependemos de los datos que nos

pueden facilitar los fabricantes y también de algunas tablas. En cuanto a las frecuencias naturales, el cálculo nos lleva a los miembros estructurales. Esto se realizará

mediante las fórmulas entregadas por los registros. A la comparación de la frecuencia perturbadora frente a la natural lo llamamos “estudio de la

resonancia”. Primero iremos de la estructura global para luego caer en los detalles.

2º Parte del Problema

¿Cómo reaccionan las estructuras? Consiste en el cálculo de las frecuencias naturales de los miembros estructurales.

• Vigas • Paneles y paneles reforzados • Viga buque (cálculo aproximado)



Oscilador Simple

Se puede representar como un sistema Masa-Resorte

∑∑

⋅=

=

xmFx

Fy

&&

0

Con un resorte ideal,

xkFr ⋅−=

Estructuralmente, la constante del resorte k es la rigidez

mF

xmk

x

xkFxm

t

t

=⋅+

⋅−=⋅

&&

&&

Ecuación diferencial típica

Cuya solución se puede considerar como:

Solución de la Homogénea: 0=⋅+ xmk

x&& HX

Solución Particular: )( tfx = PX

Solución General: PHG XXX +=

La solución propuesta por Euler:

rtH

rtH

rtH

ercX

ercX

ecX

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅=

21

1

1

&&

&

Entonces: 02 =

+

mk

re rt

Ecuación Característica

022 =+ nwr donde mk

wn =2

Entonces la pulsación natural:

Y

X

Ft

Fr

x



nn fmk

w ⋅⋅== π2 donde :nf frecuencia natural

Las soluciones de la ecuación característica:

nn jwwr ±=−±= 22,1

De acuerdo al teorema del Brownskiano, la solución de la homogénea es:

twjtwjH

trtrH

trH

trH

HHH

nn eCeCX

eCeCX

eCX

eCX

XXX

⋅⋅−⋅⋅

⋅⋅

⋅

⋅

⋅+⋅=

⋅+⋅=

⋅=

⋅=

+=

21

21

22

11

21

21

2

1

con:

αα

ααα

α

senje

senjej

j

⋅−=

⋅+=− cos

cos

Entonces: ( ) ( )

( ) ( ) tsenwCCjtwCCX

tsenwjtwCtsenwjtwCX

nnH

nnnnH

⋅−⋅+⋅+=⋅−+⋅+=

2121

21

cos

coscos

Se propone como solución

22

22

2

1

Bj

AC

Bj

AC

⋅+=

⋅−=

tsenwBjtwAX nnH ⋅⋅+⋅= cos Haciendo un cambio de coordenadas:

ϕϕ

cos⋅=⋅=

RB

senRA

A

B

R

ϕ

C1+C2=A

C1-C2=-j B



( )

( )ϕϕϕ

+⋅=⋅+⋅⋅=

twsenRX

tsenwtwsenRX

nH

nnH coscos

Amplitud Fase ¿De qué depende la amplitud de la fase?

En un movimiento libre, la amplitud y la fase dependen de las condiciones iniciales. Como se verá en el dibujo, la amplitud R depende de la posición inicial del carrito y la fase depende de la

posición del carrito en el instante considerado como tiempo inicial. ( )ϕ+⋅= twsenRX nH

En el oscilador simple, el resultado de la Ecuación Característica (la raiz) es la Pulsación Natural

n

n

wjr

wjr

⋅−=⋅=

2

1 :nw Pulsación Natural

nn fw ⋅⋅= π2

:nf depende del sistema

n

n

wjr

wjr

⋅−=⋅=

2

1 :nw Pulsación Natural

nn fw ⋅⋅= π2

:nf depende del sistema

Dicho en otra forma, sin perturbación la frecuencia natural depende del sistema, o sea, de la rigidez y de la masa.

Sin perturbación oscila según sus frecuencias naturales.

Cantidad de Grados de Libertad

Frecuencias Naturales

1 1

2 2

∞ (Sistema continuo, una viga)

∞

Y

X

R

t



Entonces las más importantes son las de menor orden porque provocan las mayores amplitudes a igual nivel de energía.

3

2

1

n

n

n

w

w

w

3

2

1

n

n

n

f

f

f

Sistema de 1 grado de libertad Oscilatorio Amortiguado Caso A Con Ft=0 (sin fuerza amortiguadora) Sub-amortiguado

Oscilaciones libres Amortiguadas Amortiguamiento Crítico Sobre-Amortiguamiento

Caso B Caso A más una fuerza (A+Ft≠0) δt Ft Ht Sinusoides

Esquemáticamente un amortiguador se representa como: Amortiguamiento Viscoso: x&

Amplitudes mayores a igual nivel de energía

Aceite h : espesor de la chapa

Superficie plana movil

fija x

y

δθ



Distribución real de velocidades De la geometría de la figura se ve que:

y

txtg

δδδθ ⋅= &

En el caso de variaciones infinitesimales:

dyxd

dtd &=θ

Como el esfuerzo es:

tδθτ ∂∝

dyxd

dtd &

⋅−=⋅−= µθµτ hx

x&

& ⋅−≅∇⋅−= µµτ

Donde µ es la constante de proporcionalidad, se llama coeficiente de viscosidad y tiene unidades de Masa

sobre longitud y tiempo.

[ ] segmkg

⋅=µ

xhSup

F

hx

Sup

F

avis

avis

r

r

&

&

⋅⋅−=

⋅−==

µ

µτ

cos

cos

Con BhSup =⋅µ

Se puede asimilar al comportamiento de un resorte, donde: xkFresorte ⋅−=

Como curiosidad, veamos el amortiguador de un automóvil x&

Gas Nitrógeno a presión

v

fuerza

El amortiguador de auto tiene un B1 para bajada y un B2 para subida del émbolo. La prueba se hace en un Ciclador.

F



Físicamente, amortiguar es disipar energía.

En el caso de grandes motores apoyados en una estructura, la pata tiene un resorte y un amortiguador hecho de alambre de acero inoxidable. El acero inoxidable es un material de gran capacidad de absorción de energía. Es muy resiliente.

En el amortiguamiento, se reduce tanto la AMPLITUD como la FRECUENCIA de la onda. La energía es función de la amplitud en forma directa y del cuadrado de la frecuencia.

xmFx &&⋅=∑ xmxBxkFt &&& ⋅=⋅−⋅−

mF

xmk

xmB

x t=⋅+⋅− &&&

En el Caso A, la homogénea:

02

0

2 =⋅+⋅⋅⋅+

=⋅+⋅+

xwxwx

xmk

xmB

x

nn &&&

&&&

ζ

Para resolver la ecuación diferencial, usaremos Laplace.

( ) sFt F=l o lo que es lo mismos ( ) st FF ¬

( )( ) ( )

( )( ) ( ){

}dteF

dteF

v

ts

u

tF

tstF

t

t

⋅−∞

′

⋅−∞

⋅′=

⋅=

∫

∫

0

0

l

l

Oscilación Libre

Oscilación Amortiguada

Y

X m

Ft



Integrando por partes:

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) dteFseFdteF

dtesFeFdteF

dvuvuduv

tst

tst

tst

tst

tst

tst

⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅′

⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅′

⋅−⋅=⋅

⋅−∞

∞⋅−⋅−∞

⋅−∞

⋅−⋅−∞

∫∫

∫∫

∫ ∫

00

0

00

Considerando condiciones iniciales nulas:

( )( )

( )( ) {nulasCI

sF

sF

Fs

Fs

t

t

⋅′′

′

+⋅=

⋅=

KKl

l

2

Entonces:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 02

02

02

22

22

2

=+⋅⋅⋅+

=⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅

=⋅+⋅⋅⋅+

⋅4444 34444 21

&&&

ticaCaracterísEcuación

nns

snsns

nn

wswsx

xwxswxs

xwxwx

ζ

ζ

ζ

En la resolución se simplifica el hecho de que B sea función de la velocidad. Esta forma de escribirlo es

para adimensionalizar, para parametrizar. El parámetro ζ se llama factor de amortiguamiento. Interpretamos al sistema con 1 grado de libertad: lineales y de coeficientes constantes

Gs: Transferencia en condiciones iniciales nulas Cuando :

( )

( )( )( )

( ) xmxBxkF

xmF

FF

F

t

x

st

t

⋅=⋅−⋅−

⋅=

=

≠

∑&

&&

l

0

Transformando:

( )

( )2

2

2

2

1

2

nns

s

nns

s

ss

wswsm

Fx

wswsmxF

mk

smB

sxmF

+⋅⋅⋅+=

+⋅⋅⋅+⋅=

+⋅+⋅⋅=

ζ

ζ

Gs Fs Xs

Modificación del grado de libertad

Fuerza aplicada



Donde Xs es la transformada de Xt y Fs es la transformada de Ft en condiciones iniciales cero. La transferencia es entonces:

( )22

1

nn wswsm

+⋅⋅⋅+ ζ

Para encontrarlo en las tablas matemáticas multiplico por k.

( )

( )2

2

2

2

2

nn

n

s

s

nns

s

wswsw

kFx

wswsm

k

Fxk

+⋅⋅⋅+=

+⋅⋅⋅+=

⋅

ζ

ζ

22 1

segwn =

kFx

s

s

Se ve entonces que es un adimensional. O sea, es una fórmula matemática adimensionalizada. 1° Caso: ( )ttF δ= Impulso unitario

2° Caso: ( )tt AF δ⋅= Impulso de módulo A

( ) ( )

+⋅⋅⋅+⋅

⋅=¬ −−

2

211

2 nn

nss wswsk

wFxx

ζll

1° Caso:

( ) ( )

+⋅⋅⋅+

⋅= −

2

21

2 nn

nt wsws

wk

Ax

ζδ

l con: ( ) 11 =− δl

( ) ( )

+⋅⋅⋅+

= −2

21

2 nn

nt wsws

wkA

xζ

l

Longitud Fuerza Fuerza/longitud



( ) ( )ϕ+⋅⋅= twsenkA

x t

La amplitud depende del impulso

Impulso: mv∆

}0

if vmvmA ⋅−⋅=⋅δ

[ ] [ ] [ ]

⋅=

⋅⋅=⋅=⋅∫ t

lmt

tlmtFdtF

2

δ⋅=mA

v f

2° Caso Si ξ =2, entonces es sobreamortiguado 3° Caso Si ξ =1, entonces es crítico

Por CI nulas


Viga a la flexión

Solución discreta

Parámetros Concentrados

La viga no tiene masa, solo rigidez

Agregando un amortiguador fícticio se considera la viga en el 1º modo con un grado de libertad.

Planteando el equilibrio

f t B x'. k x. m x''

f t

mx''

B

mx'. k

mx.

con k

mω n

2

ω n2f t

.

kx'' 2 ζ. ω n

. x'. ω n2x.

¿Cuanto vale la rígidez k del resorte?k

esfuerzo

deformación

P

f

fP l

3.

3 E. J.

3 representa condiciones de vínculo E el material J geometría de la sección l geometría de la barra

k3 E J.

l3l



ω n2 k

m

3 E J.

m l3.

entonces la frecuencia natural f n1

2 π

3 E J.

m l3.

.

m es la masa del sistema, que en el caso de un buque está definido por:

+ masa debida a la estructura+ volumen de carena+ masa de agua adicional




Vibraciones

Son funciones de la geometría de la pieza. Cuando la pieza es complicada es más difícil.

Al aumentar el modo, aumenta también el número de nodos. Un nodo es un punto que no se mueve. En el buque, tenemos la viga buque (viga libre)

Cálculo en los registros En algunas chapas de la zona del codaste se cálcula hasta el 5to modo.



Ahora vamos a analizar un sistema de 2 grados de libertad sin rozamiento de torsión.

Primero vamos a analizar la rigidez a la torsión.

γτ ⋅= G



PT WlRGM

K torsión En ⋅⋅==θ

donde TK es la rigidez a la torsión

PT JlGR

lGR

lRG

K ⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=22

43 ππ

∫ ∫⋅ ⋅=⋅⋅=∂⋅∂⋅=π ππϕ

2

0 0

443

242

R

P

RRrrJ

A mayor longitud se hace menor el KT. El momento de inercia polar es el que mejor describe la rigidez Existen programas como el NISAN, NASTRAN, ALGOR.

Vamos a ver un sistema de 2 masas rotantes. En la primer etapa se analizará el problema sin rozamiento. Análisis de giros.

γ

θ

θγ ⋅=⋅ R l

ϑ

ϑ



( )∑ −⋅−⋅−=⋅= 21211111 1θθθθ KKMJM

ElásticoMomento

t 321&&

( )∑ −⋅−=⋅= 122222 2θθθ KMJM t

&&

Viendo los dos términos de K2 en ambas ecuaciones, vemos que se cumple el principio de acción y reacción, siempre y cuando no se considere la masa. Es decir que se considere despreciable. Los ejes no consumen inercia. Acá es donde se aplica el teorema de la derivada, y transformamos estas dos ecuaciones. El motivo es que vamos a poder operar algebraicamente.

Sacando factor común θ1S

Entonces las ecuaciones quedan como:

θ2

θ

θ 1

SSSSS MtKKKsJ 122121112

1 =⋅−⋅+⋅+⋅⋅ θθθθ

( ) SSS MtKKKsJ 122212

11 =⋅−++⋅⋅ θθ

( )SSSS KMtsJ 122222

2 θθθ −⋅−=⋅⋅

( ) SSS MtKsJK 222

2221 =+⋅⋅+⋅− θθ

=⋅+⋅=⋅+⋅

SSS

SSS

Mtaa

Mtaa

2222121

1212111

θθθθ

( )

( )22

2

2

2

212

1

:

KsJa

Ka

Ka

KKsJa

con

22

21

12

11

+⋅=

−=−=

++⋅=



Se ve que es una matriz simétrica.

Entonces

Una situación especial se presenta cuando los momentos Mt1 y Mt2 son nulos, entonces me queda un sistema homogéneo, con lo cual nos quedaría la ecuación característica del sistema.

Vemos que las raíces son las frecuencias naturales.

Ejercicio Datos

Con estos datos :

2221

2111

aa

aa=∆

2221

2111

222

211

1

aa

aa

aMt

aMt

S

S

S =θ

2221

2111

221

111

2

aa

aa

Mta

Mta

S

S

S =θ

natural. pulsación wjsss ii ⋅−==== ......21

( )

===

1

10

2

1

t

MtMt

S

S

δh

=

⋅===

2

12

1

000.800

5,0

500 50

cmKgf

G

LL

mmLmmφ

=

=

≅=

mmKgf

K

mmKgf

K

mmJJ

1963520

981760

360.61

2

1

421



Entonces

Las raíces del determinante dan las frecuencias naturales cuando se iguala a cero.

+⋅=

−=

−=

+⋅=

mmKgf

smma

mmKgf

a

mmKgf

a

mmKgf

smma

22

21

12

11

196352061360

1963520

1963520

274528061360

24

24

2

122411489

2221

2111 104,5109,21076,3

×+×+×==∆

mmKgf

smmsmmaa

aa

mmKgf

aMt

aMt

S

S 1963520222

2111 ==∆

mmKgf

smmMta

Mta

S

S 274528061360 24

212

1112 +⋅==∆

2

122411489

1

104,5109,21076,3

1963520

×+×+×

=

mmKgf

smmsmm

mmKgf

Sθ

2

122411489

24

2

104,5109,21076,3

274528061360

×+×+×

+⋅=

mmKgf

smmsmm

mmKgf

smm

Sθ


Sistema de dos masas rotativas__________________________________________________________________

TOL 1011

__________________________________________________________________

φ 50 mm M t1 0 kN mm.

M t2 1000 kN mm.l 1 500 mm

l 2 0.5 l 1. mm

G 78.40kN

mm2

__________________________________________________________________

radio r

φ

2

Inercia Polar

J pπ r

4.

2J p 6.136 10

5=

Rígidez a la torsión

k t1G

l 1J p

. k t1 9.621 104=

k t2G

l 2J p

.k t2 1.924 10

5=

__________________________________________________________________

Definición de la matriz de solución

s x s x a 11 J p s x2. k t1 k t2s x a 12 k t2 B

M t1

M t2

a 21 k t2 a 22 J p s x2. k t2s x

Aa 11

a 21

a 12

a 22

a 11

a 22B

0

1 103

=

A

390625

2π. s x

2. 91875.0 π.

61250.0 π.

61250.0 π.

390625

2π. s x

2. 61250.0 π.



solución al problema en función de Sx

A1B.

61250000.0

π152587890625

4s x

4. 29907226562.5 s x2. 1875781250.0.

1000195312.5 s x

2. 91875.

π 38146972656.25 s x4. 29907226562.5 s x

2. 1875781250...

Igualando el determinante de la matriz A a cero se obtiene la ecuación de compatibilidad, las raíces Sx de este polinomio serán las frecuencias naturales del sistema.

A152587890625

4π2. s x

4. 29907226562.5 π2. s x2. 1875781250.0 π2.

A collect s x, 38146972656.25 π2. s x4. 29907226562.5 π2. s x

2. 1875781250.0 π2.

pepe s x 38146972656.25 π2. s x4. 29907226562.5 π2. s x

2. 1875781250.0 π2.

create the coefficient vector

c4 38146972656.25 π2. c2 29907226562.5 π2. c0 1875781250.0 π2.

cT

1.851 1010

0 2.952 1011

0 3.765 1011=

and then call polyrootspolyroots

r polyroots c( )

r

0.846i

0.846i

0.262i

0.262i

=



Método de Rayleigh o Teorema de la Energía Mecánica

Ejemplo del ResorteEjemplo del Resorte Resorte considerado sin masa o con magnitud despreciable frente a la masa del móvil.

Se consideran PARÁMETROS CONCENTRADOS

T Energía Cínetica

V Energía Potencial

T V Cte

T1

2m δX( )

2.

V0

XxFd

0

Xxkxd k

X2

2.

Suponemos que no existe rozamiento ζ 0 µ 0

Luego no existen Pérdidas, por lo tanto el trabajo es conservativo y se puede asegurar: T V Cte

1

2m δX( )

2. kX

2

2. EM Total La energía mecánica total

Si δX 0 T es mínima y V máxima

V máx EM total 1.1

Cuando X 0 T es máxima y V es mínima

T máx EM total 1.2

Si ahora suponemos

X Χ sen ω t.( ).

δX ω Χ. cos ω t.( ).

δ2X ω2 Χ. sen ω t.( ).

entonces

cuando sen ω t.( ) 1 X máx t( ) Χ

cos ω t.( ) 1 δX máx t( ) ωΧ



de 1.1 y 1.2 se tiene V máx T máx

V máx1

2k. Χ2. 1

2m. ω2. Χ2. T máx

simplificando se tiene

ω2 k

mPulsaciónPulsación NaturalNatural para un resorte de masa despreciable (frente a m) y sin rozamiento.

Se considera ahora la masa del resorte.

Se consideran PARÁMETROS DISTRIBUIDOS

La FORMA DE MODO, es decir la ley de deformación se considerará lineal

La energía cinética para la masa M es:

T M1

2M. δX t

2. y la máxima T M.máx1

2M. ω2. Χ2.

Si ahora analizamos el resorte

el diferencial de masa del resorte tiene en cuenta su longitud

T resorte0

lT resorte1d

dm resorteM r

ldc.

masa por unidad de longitud

conM r

lλ

dT resorte1

2dm resorte

. δX c2. 1

2dm resorte

. c2

l2

. δX2.

X c

X

c

lEs una función de c, la posición.

Es la coordenada interna del miembro elástico alrededor del cual se describe la deformación al vibrar.

X cc

lX.

χc

lδX cc

lδX.

Se le llama Forma de Modo

Fracción Modal en este caso particular

T resorte Td

l

m resorte1

2

c2

l2

. δX2. d



resorte

0

resorte2 l2

T resorte

0

l

c1

2

M r

l3

. δX. c2. d T resorte

1

2

M r

3. X

2.

T resorte.máx1

2

M r

3. ω2. Χ2

como V máx T máx

1

2k. Χ2. 1

2M. ω2. Χ2. 1

2

M r

3. ω2. Χ2

simplificando se llega a la expresión de la frecuencia natural

ω2 k

MM r

3

MM r

3masa equivalente

EjercicioConsideramos la elástica de una viga empotrada con una fuerza concentrada en el extremo para el análisis del problema.

Se necesita una ecuación tal que cumpla con las siguientes condiciones de borde esenciales.

y c 0( ) 0

y c l( ) y máx Y Y y máxy máx

y' c 0( ) 0

Proponemos la siguiente ecuación y c c( ) 1 cosc

l

π

2. y máx

.

y c 0( ) 0

Cumple con las condiciones de bordey c l( ) y máx

cy c 0( )

d

d0

Definimos la forma de modo χy c c( )

Y

y c c( )y c cχ 1 cos

1

2

c

l. π.

y máx

Y.

Y y máx

se define el diferencial de masadm viga λ dc.λ dcλ

M v

l

M v

l



T viga

0

l

c1

2λ. χ2. δY2. d

l

λ χ δY T viga1

43 π. 8( ). M v

. y máx2. δY2

π Y2.

.

Cuando la energía cinética del resorte sea máxima

con δY ω Χ.ω Χ T viga.máx1

43 π. 8( ). M v

. δY2

π.M vδY

T viga.máx3

4π. 2 M v

. ω2. Χ2

π.

como V máx T máx

EM1

2k. Χ2. 1

2M. ω2. Χ2. T viga.máxk Χ M ω Χ T viga.máx

simplificando1

2Χ2.

EM

1

2Χ2.

solve ω2, 2 k.π

2 M. π. 3 M v. π. 8 M v

..

el desplazamiento máx en el extremoy máx

P l3.

3 E i J..

P viga l3.

8 E i J.

P l

E i

P viga l

E i

y máx collect l, J, E i,

1

3P.

1

8P viga

.

E i J. l

3.

kP P viga

y máx

P P viga

y máxk collect l, E i, J,

P P viga

1

3P.

1

8P viga

.J.E i

l3

.

Frecuencia natural para el caso de la viga con una fuerza concentrada en el extremo

ω 2 k.π

3 π. 8( ) M v. 2 M. π.

.kM v M

ω2collect J, l, E i, M v, 2

P P viga

1

3P.

1

8P viga

.

. π

3 π. 8( ) M v. 2 M. π.

.E i

l3

. J.




Método de Rayleigh También llamado teorema de la Energía Mecánica. En primer lugar vamos a tratar un ejemplo en el cual tenemos un resorte unido a una masa, con y sin masa del resorte. PARAMETROS CONCENTRADOS.

T + V = cte Siendo “T” la Energía Cinética, y “V” la energía Potencial.

( )2

21

2

00

2

xkdxxkdxFV

xmT

xx

⋅=⋅⋅−=⋅−=

⋅⋅=

∫∫

•

En principio vamos a suponer que ξ = 0, y el coeficiente de rozamiento µ = 0, es decir estamos en el caso que no hay pérdidas, entonces el campo es conservativo, entonces T + V = cte.

TOTALEMx

kxm ∆=⋅+⋅⋅•

221 22

Cuando 0=•x entonces T es mínima y V es máxima. Es decir que:

TOTALMAX EMV ∆= Cuando 0=x entonces T es máxima y V es mínima. Es decir que:

TOTALMAX EMT ∆= Supongamos:

( )

( )( )twsenXwx

twXwx

twsenXx

⋅⋅⋅−=

⋅⋅⋅=

⋅⋅=

••

•

2

cos



Cuando ( ) 1sen =⋅ tw entonces ( ) Xx MAXt = y cuando ( ) 1cos =⋅ tw entonces ( ) Xwx MAXt ⋅=•

. Con lo cual VMAX = TMAX.

MAXMAX TXwmXkV =⋅⋅⋅=⋅⋅= 222

21

21

simplificando 2

21

X⋅

2wmk ⋅= luego despejando “w”, pulsación natural, se obtiene:

mk

w =2

Todo este cálculo se basó en que no había rozamiento y que la masa del resorte era muy chica comparada con la masa en el extremo, por eso se despreció. PARAMETROS DISTRIBUIDOS.

Ahora si se tendrá en cuenta la masa del resorte. La forma de Modo será función de la ley de deformación lineal. La Energía Cinética máxima de la carga concentrada será la misma que la de antes, la única diferencia es que la energía cinética del resorte no será cero, ya que ahora no despreciamos la masa. La Energía mecánica será la misma que la calculada antes.

∫=l

RESRES dTT0



longitud de unidad por masa: siendo

dcl

Mdm RES

RES

λλ

⋅=321

Por igualdad triangular.

xxlc

xlx

cx

CCC ⋅=⋅=⇒= χ

lc

C =χ

Esta variable es función de “c”. Es la coordenada interna del miembro elástico alrededor de la cual describo la deformación al vibrar. Forma de Modo. En este caso “c / l” es la fracción modal.

dcxlc

l

Mx

lc

dmxdmdT RESRESCRESRES ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=

••• 2

2

22

2

22

21

21

21

∫ ∫∫ ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==••l l

RESRES

l

RESRES dcxlc

Mxlc

dmdTT0 0

2

3

22

2

2

0 21

21

Con lo cual

321

2•⋅

⋅=xM

T RESRES

Y la Energía Cinética del resorte máxima será:

22

321

XwM

T RESRES ⋅⋅⋅=

Ahora volviendo a calcular la TOTALEM∆

MAXMAXTOTAL VTEM ==∆

22222

321

21

21

xwM

xwmxk RES ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅



simplificando 2

21

x⋅

2

3w

Mmk RES ⋅

+=

luego despejando “w”, pulsación natural, se obtiene:

eequivalent masa la:3

3

2

+

+

=

RES

RES

Mmsiendo

Mm

kw

Vamos a considerar ahora otro ejemplo, el de una viga empotrada con una masa en el extremo. Al igual que antes no se considerará el rozamiento. Primero se efectuarán los cálculos para una masa “m” muy grande con respecto a la masa de la viga, con lo cual podremos despreciar la masa de la viga “MV”. PARAMETROS CONCENTRADOS.

T + V = cte Siendo “T” la Energía Cinética, y “V” la energía Potencial.

( )2

21

2

00

2

ykdyykdyFV

ymT

yy

⋅=⋅⋅−=⋅−=

⋅⋅=

∫∫

•

En principio vamos a suponer que ξ = 0, con lo cual el coeficiente de rozamiento µ = 0, es decir estamos en el caso que no hay pérdidas, entonces el campo es conservativo, entonces T + V = cte.

TOTALEMy

kym ∆=⋅=⋅⋅•

221 22

Cuando 0=•y entonces T es mínima y V es máxima. Es decir que:

TOTALMAX EMV ∆= Cuando 0=y entonces T es máxima y V es mínima. Es decir que:

TOTALMAX EMT ∆=



Supongamos:

( )( )

( )twYwy

twYwy

twYy

⋅⋅⋅−=

⋅⋅⋅=

⋅⋅=

••

•

sen

cos

sen

2

Cuando ( ) 1sen =⋅ tw entonces ( ) Yx MAXt = y cuando ( ) 1cos =⋅ tw entonces ( ) Ywx MAXt ⋅=•

. Con lo cual VMAX = TMAX.

MAXMAX TYwmYkV =⋅⋅⋅=⋅⋅= 222

21

21

simplificando 2

21

y⋅

2wmk ⋅= y sabiendo que el desplazamiento máximo es

JElP

Y⋅⋅

⋅=3

3

entonces

33

3

3l

JE

JElP

PY

Pk

MAX

⋅⋅=

⋅⋅⋅

==


mlJE

w13

3

2 ⋅⋅⋅=

Todo este cálculo se basó en que no había rozamiento y que la masa de la viga era muy chica comparada con la masa en el extremo, por eso se despreció. PARAMETROS DISTRIBUIDOS.

Alternativa 1, aproximando la geometría de la deformación



Ahora si se tendrá en cuenta la masa de la viga para el cálculo. Además se aplicará el principio de superposición para el cálculo de la flecha, y se cambiará la ecuación de la elástica por otra función parecida. La Energía Cinética máxima de la carga concentrada será la misma que la de antes, la única diferencia es que la energía cinética de la viga no será

cero, ya que ahora no despreciamos la masa. La Energía mecánica será la misma que la calculada antes.

∫=l

VIGAVIGA dTT0

dcl

Mdm VIGA

VIGA ⋅=321

λ

Se necesita una fórmula en la cual, para

viga. la de extremo el en flecha la a ientecorrespond valor el seríaque Yyy ly

nto.empotramie el en flecha la a ientecorrespond valor el seríaque y y

MAXC

C

==→==→= 00

Se propone la función, ( )αcos1− , entonces

YYlc

y CC ⋅=⋅

⋅−= χπ

2cos1

⋅−=

2cos1

πχlc

C

Entonces

dcYlc

l

MY

lc

dmYdmdT VIGAVIGACVIGAVIGA ⋅⋅

⋅−⋅⋅=⋅

⋅−⋅⋅=⋅=

••• 22222

2cos1

21

2cos1

21

21 ππ

∫∫∫ ⋅⋅

⋅−⋅⋅=⋅

⋅−⋅⋅==

•• lVIGA

l

VIGA

l

VIGAVIGA dcYlc

lM

Ylc

dmdTT0

22

0

22

0 2cos1

21

2cos1

21 ππ

∫∫ ⋅

⋅+

⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅

⋅−⋅⋅⋅=

•• lVIGA

lVIGA

VIGA dclc

lc

Yl

Mdc

lc

Yl

MT

0

22

0

22

2cos

2cos21

21

2cos1

21 πππ

( )

⋅⋅++

⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=

•

ll

lVIGAVIGA

lclc

lcl

cYl

MT

00

0

2

2

sen

22sen

22

21 π

ππ

π



22 423

21

24

21 ••

⋅⋅

−⋅=

+⋅−⋅⋅⋅= YM

lllY

l

MT VIGA

VIGAVIGA ππ

Con lo cual

2423

21 •

⋅⋅

−⋅= YMT VIGAVIGA π

Y la Energía Cinética del resorte máxima será:

22423

21

YwMT VIGAVIGA ⋅⋅⋅

−⋅=

π

Ahora volviendo a calcular la TOTALEM∆

MAXMAXTOTAL VTEM ==∆

22222 423

21

21

21

YwMYwmYk VIGA ⋅⋅⋅

−⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅

π

simplificando 2

21

Y⋅

( ) 22 22676,04

23

wMmwMmk VIGAVIGA ⋅⋅+=⋅

⋅

−+=

π


( )( ) eequivalent masa laMmsiendo

Mmk

w

VIGA

VIGA

:22676,0

22676,02

⋅+⋅+

=

pero la rigidez “k” no es la de antes y sabiendo que el desplazamiento máximo es

JElPP

JE

lP

JElP

Y VIGAVIGA

⋅⋅

+=

⋅⋅⋅

+⋅⋅

⋅=333

8383

entonces

( )( ) 33

2438

83l

JEPP

PP

JElPP

PPY

PPk

VIGA

VIGA

VIGA

VIGA

MAX

VIGA ⋅⋅⋅+⋅

+=

⋅⋅

+

+=

+=


( )( ) ml

JEPP

PPw

VIGA

VIGA 12438 3

2 ⋅⋅⋅⋅+⋅

+=



Alternativa 2, utilizando la ecuación de la elástica: Ecuación de la flecha para una viga empotrada con carga distribuida:

( )4322 4624 cccc xxlxl

IEq

y +⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅

−=

( )3236 ccc xxl

IEq

y −⋅⋅⋅⋅⋅

−=

i).- Análisis de la viga Cuando:

( ) ( )44 3324

00

lAlIE

qYlx

Yx

c

c

⋅⋅=⋅⋅⋅⋅

−=⇒=

=⇒=

( )( )4

4322

3

46

lA

xxlxlA

Y

y

x

x ccccc

⋅⋅/+⋅⋅−⋅⋅⋅/

==

YYxx

y cc

c ⋅ℵ⇒⋅=

donde ( )

( )4

4322

3

46

l

xxlxl cccc ⋅

+⋅⋅−⋅⋅=ℵ

Entonces

( )( ) dxY

lxxlxl

lM

dxYl

MYdMdT cccv

cv

vviga ⋅⋅

⋅

+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=⋅⋅ℵ⋅⋅=⋅⋅= 2

2

4

4322222

346

21

21

21 &&&

( )( ) dxY

lxlxlxlxlx

lM

dT cccccvviga ⋅

⋅

⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅= 2

8

44536278

9362448

21 &

dxxlxlxlxlxYl

MdTT

l

cccccvl

vigaviga ⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅

⋅== ∫∫ 0

445362782

90362448

921 &

92

9

0

546372892

9 315908

921

536

624

74

88

9921 lY

lMxlxlxlxlx

Yl

MT v

l

cccccvviga ⋅⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅

⋅= &&

22

2835908

21 YwMT vviga ⋅⋅⋅⋅=



ii).- Análisis de la carga Cuando:

( ) ( )33 226

00

lAlIE

qYlx

Yx

c

c

⋅⋅=⋅⋅⋅⋅

−=⇒=

=⇒=

( )( )3

32

2

3

lA

xxlA

Y

y

x

x cccc

⋅⋅/−⋅⋅⋅/

==

YYxx

y cc

c ⋅ℵ⇒⋅=

donde 3

32

2

3

l

xxl ccc ⋅

−⋅⋅=ℵ

Entonces 1=ℵl

22

21 YwmTM ⋅⋅⋅=

De acuerdo al Teorema de Raleigh

22222

21

21

2835908

21 YKYwmYwM v ⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅

Simplificando 2

21 Y⋅

22

2835908

wMwmK v ⋅+⋅=

2

2835908

wMmK v ⋅

⋅+=

luego despegando “w”, pulsación natural, se obtiene:

( )vMmK

w⋅+

=32028,0

2

siendo ( )vMm ⋅+ 32028,0 : la masa equivalente. La discusión sobre el valor de la constante de rigidez es igual que en la alternativa 1. Dividiendo en décimos la luz de viga, podemos establecer la siguiente comparación entre el χc aproximado y el χc calculado a partir de la elástica.



COMPARACIÓN ENTRE LA APROXIMACIÓN Y LA ESLÁSTICA

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Decimas de Luz de Viga

Xc Aprox

Elastica

Dos grados de libertad

)( 1222222 xxkfxmf −⋅−=⋅=∑ &&

)( 212111111 xxkxkfxmf −⋅−⋅−=⋅=∑ &&

Si sacamos las transformadas.

SSSS fxkxkxsm 2122222

2 =⋅−⋅+⋅⋅ &&

SSSSS fxkxkxkxsm 122121112

1 =⋅−⋅+⋅+⋅⋅ &&

Esto es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de la forma:

1212111 fxaxa =⋅+⋅



2222121 fxaxa =⋅+⋅ El cual se puede resolver por cualquier método, por ejemplo Cramer. Los problemas en cuales tenemos masas girando se resuelven de la misma manera. Donde antes teníamos masa ahora tenemos inercia, donde antes teníamos fuerza, ahora tenemos momentos y donde antes era aceleración ahora es aceleración angular.

∑ ⋅= 222 θ&&JM

∑ ⋅= 111 θ&&JM

Este se resolverá igual que antes y también tendremos que resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Amplificación o respuesta en frecuencia



xBxkfxmf tX &&& ⋅−⋅−=⋅=∑

Transformando por Laplace.

SSSSS xsmxBxkf ⋅⋅=⋅−⋅− 2 Entonces

{ ksbsmfx

FUERZALADE

POSICIONLADE

CIATRANSFEREN

S

S

+⋅+⋅= 2

1

En realidad muchas veces lo vamos a ver de esta manera.

mksm

Bsm

fx

S

S

+⋅+=

2

1 con {

SISTEMADEL

NATURALFRECUENCIA

nwmk 2=

y llamaremos nwmB ⋅⋅= ς2

siendo B el coeficiente de amortiguamiento, y ζ el factor de amortiguamiento.

Para dimensionar la transferencia en vez de comparar longitudes con fuerzas.

En un resorte la constante del resorte es xFk = .

Si definimos a ( )twff t ⋅⋅= sen0 siendo w la pulsación de la perturbación.

y ESTxkf

=0 es lo que se desplazaria la masa si le aplico una fuerza pico.

ESTx no es el maximo. entonces queda adimensionado

mksm

Bsm

k

kfx

S

S

+⋅+=

2

Gwsws

w

kfx

nn

n

S

S =+⋅⋅⋅+

=22

2

2 ς

Segundo orden



Desfasaje.

amplitud. la deón Modificaci 2 fenómenos

ϕ en atraso.

Transferencia sinusoidal

wj

GGs wj

⋅+↓

→ ⋅

σ

)(

Se usa cuando las entradas y las salidas son sinusoidales.

Nos vamos a limitar al régimen permanente, es decir no consideramos el transitorio.

Tengo un sistema y le aplico una señal sinusoidal. Después 4 o 5 τ estamos en régimen permanente.

siendo nw⋅

=ς

τ 1

ϕ



Propiedades de la transferencia sinusoidal

( )

{

ONAMPLFICACIDE

ECOEFICIENT

GDE

MODULO

wj xy

G

wj

µ==

⋅

⋅321

)(

El módulo es la relación de Amplitudes. El ángulo de ( )wjG ⋅ es el desfasaje.

( )ϕρ ⋅

⋅ ⋅= iwj eG

Ejemplo:

4 2

πϕρ ==

42π⋅

⋅=j

ez

42

4

2π

πϕ⋅−⋅=

−=

=j

ezz

( )

( )ϕ

ϕ

ρ

ρ⋅−

⋅−

⋅⋅

⋅=

⋅=i

wj

iwj

eG

eG

Ecuación de segundo grado.

)()( 21 ssssN

G+⋅+

=

21 ss ≠ raices de la ecuación característica.

22

2

2 nn

n

wsws

wG

+⋅⋅⋅+=

ς

21; ss complejos conjugados.

( )1ssN

G+

=

21 ss = raices coincidentes.


Transferencia Sinusoidal

X sX w.

s2

w22 2

X w

wSinusoidal

Amplitud X

Entradax t X sen w t.( ).X sen

Amplitud Y

SalidaPropiedades

El módulo de G(jw) es la relación de amplitudes

G jw( )Y

XG jw( )

Y

X

Y

Xµ

Y

Xµ Coeficiente de amplificación

El ángulo del complejo es el desfasaje

G jw( ) ρ eiϕ.ρ iϕ

G jw( ) ρ eiϕ.jw

Y s( ) G s( ) X s( ).G s( )G

Y s( )k s z 1

. s z 2. ....

s s 1 s s 2 .....X w.

s2

w2

.....k z 1 z 2

s2

w2

s j w.( ) s jw( ).s wj w

Y s( )A

s s 1

B

s s 2

C

s s 3.....

M

s j w.( )

M

s j w.( ).....

s 1

B

s 2 s 3

A

s s 1

B

s s 2

C

s s 3tiende a cero cuando t tiende al infinito

Y s( )M

s j w.M

s j w.( )G s( ) X s( ).M

j w

M

j wX M

s j w.M

s j w.( )G s( )

X w.

s2

w2

.

Para determinar M y M multiplicamos por s2

w2

M s j w.( ). M s j w.( ). G s( ) X. w.

Evaluando en s=jw

M jw j w.( ). G jw( ) X. w. MG jw( ) X. w.

2 jw.G jw( )G jw

G jw( ) es la transferencia sinusoidal

G jw( ) G jw( ) ej G jw( ).. j



Evaluando en s=-jw

M jw j w.( ). G jw( ) X. w. MG jw( ) X. w.

2 jw.jw X w

jwG jw( ) es la transferencia sinusoidal

G jw( ) G jw( ) ej G jw( )..jw

y tG jw( ) X.

2 j.ej ϕ.

s jw

ej ϕ.

s jw.G jw( )G jw

G jw( ) ϕϕ

y t G jw( ) X.ej wt.

ej ϕ.. e

j wt.e

j ϕ..

2 j..jw X

j wt j ϕ j wt j ϕ

j

ej ϕ.

ej ϕ.

2 j.sen α( )sen

y t G jw( ) X. sen w t. ϕ( ).G jw( )G jw

x t X sen w t.( ).X sen

G jw( ) X. YG jw( ) X. Y ϕ desfasajedesfasaje

Y

XG jw( )

Y

Xjw

m masak rigidezc amortiguamientof(t) fuerza

x t X sen w t.( ).X sen

X s

F s( )

k

w n2

s2

2 ξ. w n. s. w n

2Gs

2s

w n

ξ w n



F t F o sen wt( ).F o sen F s( )F 0 w.

s2

w2

F 0 w

w

X est

Deformación del miembro elástico.

Se aplicará la fuerza pico en forma estática

F s( )

k

F 0

k

w

s2

w2

.2 2

F 0

k

w

w

F 0

kX est

F 0

kX est

µX

x est

X

x estamplificación

reemplazando s j w.j w

G j w.( )w n

2

w2

j 2. ξ. w n. w. w n

2j w.

multíplico por el conjugado y aplico el módulo

G j w.( )w n

2w n

2w

2j 2. w n

. w..

w n2

w2

j 2. ξ. w n. w. w n

2w

2j 2. ξ. w n

. w.j w.

G j w.( )w n

2w n

2w

2j 2. w n

. w..

w n2

w2 2

4 ξ2. w n2. w

2.j w.

G j w.( ) µ1

1w

2

w n2

2

4 ξ2. w2

w n2

.

X

x est



Para hallar los máximos

w

w nv

w

w nv µ

1

1 v2 2

4 ξ2. v2.v ξ v

vµd

d

1

2 1 2 v2. v

44 ξ2. v

2.

3

2.

4 v. 4 v3. 8 ξ2. v..

igualando a cero se tiene una raiz en v=0, el origen (ver figura)

queda además otro polinomio, cuyas raices se muestran

given

1 v2

2 ξ20

find v( ) 1 2 ξ2. 1 2 ξ2.

given

1 2 ξ2. 0

find ξ( )1

22. 1

22.

si ξ1

22.> entonces las raíces de v serán números complejos, ya que

serán raíces de números negativos


facultad de ingeniería universidad de buenos airesmaterias.fi.uba.ar/7306/vibracapu.pdf · las...

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