facultad de ingeniería departamento de ingeniería mecánica
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Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Mecánica
Título: El análisis del comportamiento modal vibratorio en máquinas
rotatorias: Aplicaciones con fines didácticos.
Autor:
Osmar Aldana Tardo
Tutor:
Dr.C. Ing. Fernando D. Robles Proenza
Holguín 2014
AGRADECIMIENTOS
A mis padres por toda la ayuda que me brindaron para el desarrollo de este
trabajo.
A toda mi familia
A mi tutor Fernando Daniel Robles Proenza.
A José Peña Padroza. Especialista Grupo diagnóstico y Héctor Linares. Jefe de
Programación de la Empresa Productora de Níquel y Cobalto “Comandante
Ernesto Che Guevara” Moa, Holguín por todo su apoyo.
A todos mis amigos.
A todos los profesores que me educaron.
A todas las personas que contribuyeron de forma directa e indirecta a la
realización de este trabajo.
A las FAR por permitirme estudiar esta carrera y por todo el apoyo que me ha
dado.
Resumen
En el presente trabajo se hace un análisis del comportamiento de las frecuencias
naturales, los modos de vibración y el grado de amortiguación en los sistemas
mecánicos rotatorios y la influencia de su configuración en la respuesta estructural
del conjunto. Se hace un estudio de los principales factores que varían la
capacidad de respuesta modal de un sistema rotodinámico para evitar la
resonancia en máquinas rotatorias y se proponen ejercicios de laboratorio de
informática para enriquecer el conocimiento del tema en la formación del
Ingeniero Mecánico, para que sea capaz de resolver problemas de este tipo,
analizando el comportamiento dinámico de este tipo de sistemas y sus posibles
aplicaciones prácticas.
Summary
In the present work becomes an analysis of the behavior of the natural
frequencies, the manners of vibration and the degree of muffling in the mechanical
rotatory systems and the influence of its configuration in the structural answer of
the set. A study of the number one factors that vary the modal response capacity
of a rotatory system to avoid the resonance in rotatory machines and set
themselves exercises of laboratory of information technology to enrich the
knowledge of the theme in the formation of the Mechanical Engineer, in order that
is capable to solve suchlike problems is done, analyzing the dynamic behavior of
this type of systems and his possible practical applications.
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................................ 1
Situación Problémica: ................................................................................................................................ 3
Problema: .................................................................................................................................................... 4
Objeto de la investigación: ........................................................................................................................ 4
Campo de acción: ...................................................................................................................................... 4
Hipótesis: ..................................................................................................................................................... 4
Objetivo: ....................................................................................................................................................... 4
Tareas de investigación: ........................................................................................................................... 4
Métodos de investigación: ......................................................................................................................... 5
Resultados esperados: .............................................................................................................................. 6
CAPÍTULO I: Fundamentación teórica ................................................................................................... 6
1.1 Mantenimiento ...................................................................................................................................... 6
1.2 Vibraciones en maquinarias ............................................................................................................... 8
1.3Método de los elementos finitos .......................................................................................................23
CAPÍTULO II: Análisis modal en sistemas rotatorios. ........................................................................39
2.1 Principios básicos para el análisis de frecuencias .......................................................................39
2.2 Métodos para solución rotodinámica ..............................................................................................50
2.3 Comportamiento rotodinámico según las variaciones de las características físico-
geométricas de sistemas rotatorios. .....................................................................................................53
2.3.1 Demostración de la influencia de la variación de la posición de los elementos en la
respuesta estructural del conjunto .........................................................................................................54
2.3.2 Estudio de sensibilidad ..................................................................................................................67
2.4 Propuesta de laboratorio ..................................................................................................................69
Impacto económico ..................................................................................................................................70
Contribución a la defensa de la Patria ..................................................................................................70
CONCLUSIONES .....................................................................................................................................72
Recomendaciones ....................................................................................................................................74
BIBLIOGRAFÍA .........................................................................................................................................75
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INTRODUCCIÓN
En las etapas del desarrollo humano fue necesario crear diferentes utensilios y
herramientas para hacer más fácil las tareas y aumentar su eficiencia. Durante
todo este período de desarrollo se hicieron grandes descubrimientos científicos,
pero no fue hasta la revolución industrial donde se crearon grandes máquinas e
industrias que eran necesario mantenerlas en funcionamiento, por lo que surge
una nueva idea el mantenimiento, aunque anteriormente también se idearon
algunas de sus formas, que toma su auge en este período.
Posteriormente se fueron modernizando las técnicas de fabricación y la tecnología
de los equipos y ya se tuvieron que diseñar nuevas estrategias de trabajo ya que
el costo de mantenimiento ascendía. En esta situación aparecieron nuevas
estrategias, fue así que surgen tecnologías proactivas, que no son más que
aquellas técnicas de diagnóstico en que se puede determinar el estado técnico de
un equipo sin tener que desarmarlo.
Con el desarrollo de estas nuevas técnicas se resolvía un problema, pues, con
estas se puede determinar cuándo darle mantenimiento a una máquina por lo que
se hace más eficiente el proceso y bajan los costos. Dentro de estas técnicas de
diagnóstico se encuentra el análisis vibratorio que es el más importante de todos
pues con este se pueden determinar los valores raíz media cuadrática del nivel de
la vibración (RMS) y el espectro de frecuencia, donde se puede determinar cuáles
pueden ser los posibles defectos de un equipo y después de obtener estos
valores, se proponen las soluciones.
El mantenimiento todos los días está evolucionando, y con él, también se ha
incrementado el uso de los instrumentos electrónicos de medición. Ahora vemos
que empresas industriales de todo nivel, están complementando su visión de
realizar mantenimientos correctivos y preventivos para asegurar disponibilidad,
con un mantenimiento proactivo que contempla conceptos relativamente nuevos
2
tales como confiabilidad (mantenimiento predictivo), mantenimiento basado en
condición, aseguramiento de la calidad del mantenimiento.
El alto costo de instrumentos comerciales para la recolección y análisis de
vibraciones, así como su arquitectura compacta y cerrada ha llevado a buscar
nuevas alternativas. Los instrumentos basados en sistemas de adquisición de
datos constituyen una herramienta poderosa para el desarrollo de instrumentos
más económicos y flexibles, haciendo a la tecnología como la principal aliada en
la gestión del mantenimiento.
La mayoría de las industrias buscan cada vez más productividad y necesitan que
sus máquinas estén funcionando al 100% todo el tiempo y que la producción no
pare. Por eso se han incluido dentro de los programas de mantenimiento, el
mantenimiento predictivo que utiliza el monitoreo y análisis de las vibraciones con
el fin de establecer cuál es el estado de salud mecánica de las máquinas y en
particular de sus elementos más críticos para de esta manera poder prevenir fallas
catastróficas.
Todas las máquinas vibran, con independencia de su antigüedad o modernidad, el
desarrollo de fallos provoca variaciones de los niveles de vibraciones originando
componentes que lo caracterizan solamente en espectro, mostrando la amplitud
de dichos componentes acerca de la severidad de los defectos.
También es muy importante determinar las características físicas de sistema, es
decir, las frecuencias naturales y los modos normales de las vibraciones
presentes en los sistemas, es una parte muy importante para el diseño de
máquinas porque si las frecuencias de trabajo de un equipo en cierto momento se
iguala a alguna de estas frecuencias pueden ocurrir desastres catastróficos, en el
caso de grandes equipos, producto de la resonancia.
Actualmente en el mundo existe un amplio desarrollo del diseño y la fabricación
de equipos para realizar disímiles tareas pero antes de fabricarlos y distribuirlos a
los usuarios hay que demostrar que son seguros para trabajar porque de lo
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contrario serían sancionados por las leyes internacionales. Por eso y otras
razones es muy necesario hacer los estudios necesarios que comprueben que
cumplen con su destino de servicio.
Desde aquí proviene la importancia se saber que según el diseño de una máquina
ella se comportará de una manera e incluso cambiando las posiciones de las
cargas y los apoyos pueden cambiar sus frecuencias naturales, por eso en todas
las empresas que fabrican máquinas de cualquier tipo en el mundo realizan
análisis del comportamiento de las frecuencias naturales, sus modos de vibración
y su grado de amortiguamiento para que en su funcionamiento las frecuencias se
encuentren lejos y así estar seguro que no ocurrirá ninguna falla inesperada del
equipo.
En Cuba se ha ido fomentando el empleo de estas técnicas con la aparición de
software creados para la determinación de las principales frecuencias naturales y
así comprobar el funcionamiento de una máquina. La implementación de estas
técnicas se ve más afectada porque no existen grandes empresas que se
dediquen a competir con indicadores de calidad en el mercado mundial.
En la Universidad de Holguín “Oscar Lucero Moya” se ha estado estudiando las
aplicaciones de las vibraciones pero todavía no se ha realizado un trabajo
utilizando el SolidWorks Simulation para determinar el cómo se comportan las
frecuencias naturales, los modos de vibración y el grado de amortiguación en los
sistemas mecánicos rotatorios al variar algunas de sus características físicas.
Situación Problémica:
En la Universidad de Holguín Oscar Lucero Moya se ha realizado estudios del
comportamiento de las frecuencias naturales, los modos de vibración y el grado
de amortiguación en los sistemas mecánicos rotatorios, pero no se han
sistematizado estos conocimientos para su empleo como técnica de diagnóstico
vibratorio con fines didácticos. Tampoco se han realizado estudios de la influencia
de distintos parámetros, dimensionales y de materiales, en la respuesta
estructural del conjunto.
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Problema:
¿Cómo determinar el comportamiento de las frecuencias naturales, los modos de
vibración y el grado de amortiguación en los sistemas mecánicos rotatorios, así
como, la influencia de su configuración en la respuesta estructural del conjunto?
Objeto de la investigación:
Sistemas mecánicos rotatorios.
Campo de acción:
Comportamiento de las frecuencias naturales, los modos de vibración y el grado
de amortiguación en los sistemas mecánicos rotatorios, así como, la influencia de
su configuración en la respuesta estructural del conjunto.
Hipótesis:
Si se determina el comportamiento de las frecuencias naturales, los modos de
vibración y el grado de amortiguación en los sistemas mecánicos rotatorios, así
como, la influencia de su configuración en la respuesta estructural del conjunto, se
podrán determinar parámetros estructurales que tienen influencia en el diseño, la
explotación y el mantenimiento de distintas máquinas.
Objetivo:
Determinar el comportamiento de las frecuencias naturales, los modos de
vibración y el grado de amortiguación en los sistemas mecánicos rotatorios, así
como, la influencia de su configuración en la respuesta estructural del conjunto.
Tareas de investigación:
Elaborar el marco teórico conceptual sobre las principales tendencias en el
mundo en el uso del análisis de las frecuencias naturales, los modos de
vibración y el grado de amortiguación.
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Profundizar en los principios teóricos que sustentan el análisis de las
frecuencias naturales, los modos de vibración y el grado de amortiguación
Teoría de las vibraciones
Técnicas del Mantenimiento
Realizar modelos de conjuntos mecánicos rotatorios con diferentes
configuración
Determinar el comportamiento rotodinámico a través de un estudio de
frecuencia a los conjuntos
Interpretar los resultados
Elaborar el informe final
Métodos de investigación:
Método teórico.
- Análisis y síntesis: La revisión bibliográfica relacionada con el análisis de
frecuencias naturales, los modos de vibración y el grado de amortiguación a partir
de lo estudiado se hace un breve resumen.
- Modelación: Permite obtener un diseño de diferentes modelos de los sistemas
mecánicos rotatorios a través SolidWorks.
Método empírico.
El Criterios de los expertos: Consulta a profesionales y a personas que tengan
conocimiento del análisis de frecuencias.
La Observación: Se observarán los comportamientos de máquinas con diferentes
configuraciones de sistemas mecánicos rotatorios y su funcionamiento bajo
diferentes condiciones de trabajo
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Resultados esperados:
Obtener el comportamiento de las frecuencias naturales, los modos de vibración y
el grado de amortiguación en los sistemas mecánicos rotatorios, así como, la
influencia de su configuración en la respuesta estructural del conjunto.
CAPÍTULO I: Fundamentación teórica
Este capítulo tiene como objetivo proveer las herramientas necesarias para
determinar el comportamiento de las frecuencias naturales y los modos de
vibración, así como, la influencia de su configuración en la respuesta estructural
en los sistemas mecánicos básicos para realizar el análisis vibratorio.
1.1 Mantenimiento
En la última década, las estrictas normas de calidad certificada que se deben
cumplir, así como la intensa presión competitiva entre industrias del mismo rubro
para mantenerse en el mercado nacional e internacional, ha estado forzando a los
responsables del mantenimiento en las plantas industriales a implementar los
cambios que se requieren para pasar de ser un departamento que realiza
reparaciones y cambia piezas y/o máquinas completas, a una unidad de alto nivel
que contribuye de gran manera en asegurar los niveles de producción. Es por
tanto necesario hacer notar que la actividad de “mantener”, si es llevada a cabo de
la mejor manera, puede generar un mejor producto lo que significa producción de
mejor calidad, en mayor cantidad y con costos más bajos. (Saavedra, 2001).
Una de las formas en que se pueden clasificar las estrategias de mantenimiento
es:
Mantenimiento Reactivo., e estrategia con la cual se permite a la máquina
funcionar hasta la falla y sólo hasta ese momento se decide realizar la reparación
o reemplazo de ella.
Mantenimiento Preventivo., estrategia en la que se programan periódicamente las
intervenciones en las máquinas, con el objeto principal de inspeccionar, reparar
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y/o reemplazar componentes. Las intervenciones se realizan aun cuando la
máquina esté operando satisfactoriamente.
Mantenimiento Predictivo., estrategia de mantenimiento que busca por medio de
la medición y el análisis de los diversos síntomas que la máquina emite al exterior
establecer la condición mecánica de la máquina y su evolución en el tiempo. Una
de sus grandes ventajas es que se lleva a cabo mientras la máquina está en
funcionamiento y sólo se programa su detención cuando se detecta un problema y
se desea corregir.
Mantenimiento Proactivo., con esta estrategia de mantenimiento se pretende
maximizar la vida útil operativa de las máquinas y sus componentes, identificando
y corrigiendo las causas que corrientemente originan las fallas. Por ejemplo
asegurando que las máquinas funcionan bajo las condiciones de carga y
velocidad establecida por su condición de diseño y que además sus componentes
(rodamientos, sellos, acoples, etc.) son instalados correctamente y que su
condición de lubricación es adecuada ya se puede asegurar una vida útil operativa
más extendida y con menos paradas intermedias que el promedio de las
máquinas del mismo tipo.
Es indudable que el aumento de la vida operativa de la máquina a través de una
estrategia de mantenimiento predictiva–proactiva, disminuye los costos de
mantenimiento e incrementa la productividad de la Planta. Sin embargo, se ha
podido notar a través de experiencias de varias empresas, que no se han logrado
los resultados esperados principalmente por falta de personas bien capacitadas
en el tema. La ingeniería ha avanzado en todas sus ramas incluyendo los
instrumentos y técnicas que se han desarrollado y que de alguna manera
sustentan la credibilidad de los programas de mantenimiento predictivo
implementados en la industria. Para que estos programas sean efectivos, es
necesario poder determinar en cualquier instante la condición mecánica real de
las máquinas bajo estudio, lo cual se logra analizando las diferentes señales que
ellas emiten al exterior. Modernos sistemas computacionales modernos se han
desarrollado para monitorear continuamente, registrar y procesar información
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proveniente tanto de los síntomas tanto de vibración como de temperatura,
presión, ruido entre otros. (Saavedra, 2001).
1.2 Vibraciones en maquinarias
A través de los años ya sea por contacto directo o con el empleo de algún
dispositivo de naturaleza subjetiva, los operadores de máquina han empleado
técnicas de verificación auditiva «también subjetivas» para comprobar si el
comportamiento de "su máquina" es NORMAL o no. De aquí que, tradicionalmente
y quizás en forma inconsciente, las vibraciones hayan sido utilizadas como un
indicador del estado técnico de las máquinas y hasta hoy día, continúen siendo el
fenómeno más representativo del estado técnico de éstas, pudiéndose a través de
la medición de vibraciones, detectar e identificar fallos ya desarrollados o en
período de desarrollo prematuro.
1.2.1Relación fuerzas - vibraciones
En la Figura 1.1 se muestra el esquema de la unidad conducida de cierta
máquina. En aras de simplificar el ejemplo, se asumirá excelencia en la alineación
tanto de la unidad conducida con la unidad conductora a través del acoplamiento
A, como entre los apoyos BC que sirven de sustento al eje ABCD. De igual forma,
se admitirá que la única afectación que existe en la condición mecánica de la
máquina estudiada es el desbalance del rotor D, en el cual se ha representado la
fuerza dinámica que produce este desbalance.
Figura 1.1. Ejemplo de la relación fuerzas – vibraciones. (Fuente: Palomino, 1996)
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Por su parte, la Figura 1.2a) ilustra en el plano las reacciones que se generan
en los apoyos B y C debido a la acción de la fuerza dinámica generada por el
desbalance que por supuesto, sólo existe si la máquina rota y esto lo hace con
una frecuencia .
Ambas reacciones se determinan según las siguientes expresiones:
;
(1.1)
Claro está, ambas reacciones también son de naturaleza dinámica, toda vez que
son el resultado de la acción de una fuerza también dinámica, originada por el
desbalance del rotor.
Luego entonces, si se analiza el apoyo B por ejemplo (Figura 1.2b), sobre éste
actúa una fuerza dinámica de la cual sólo se ha representado su componente
horizontal (eje x), que en el instante observado produce un desplazamiento
del apoyo hacia la derecha. Este desplazamiento dinámico estará
condicionado, por la severidad de la fuerza dinámica y por la rigidez del propio
apoyo en la dirección horizontal según:
(1.2)
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Figura 1.2. a) Diagrama de distribución de fuerzas, b) Relación fuerzas –
desplazamiento
De esta forma, los desplazamientos de las vibraciones de ambos apoyos podrán
ser descritos a través de las siguientes expresiones:
;
(1.3)
Todo esto puede ser representado gráficamente de acuerdo con lo ilustrado en la
Figura 1.3. Observe que el desplazamiento dinámico en ambos apoyos, tiene
lugar en el dominio del tiempo, según una función senoidal cuya frecuencia es
para ambos apoyos con amplitudes XB y XC respectivamente, de acuerdo con:
; (1.4)
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Figura 1.3. Representación temporal y espectral de las vibraciones debidas al
desbalance
Otro tanto sucede en el dominio de la frecuencia. Ambos espectros de
desplazamiento exhiben una línea a la frecuencia con amplitudes XB y XC
respectivamente. El lector no debe perder de vista que el ejemplo mostrado ha
sido concebido como resultado de muchas simplificaciones, ya que no sólo es el
desbalance el único problema que afecta la condición mecánica de la maquinaria
industrial. De manera que en el peor de los casos, las vibraciones mostrarán en el
dominio del tiempo una apariencia similar a la ilustrada en la Figura 1.4a) y en el
dominio de la frecuencia no sólo exhibirán una línea sino que se observarán
tantas como frecuencias contengan los registros de vibraciones. Observe la Figura
1.4b). Esta última forma es la de mayor utilidad ya que cada fallo tiene su "firma"
característica en el denominado espectro de las vibraciones. Ambas formas de
observación tienen sus virtudes y sus inconvenientes pero en cualquier caso se
requiere por una parte, de una instrumentación adecuada para registrar los niveles
de vibraciones y por otra parte, de una formación teórico - práctica que permita la
interpretación y comprensión de los fenómenos dinámicos que estén teniendo
lugar en la máquina en cuestión.
En resumen, una observación como la de la Figura 1.4a) es empleada
generalmente durante la etapa de detección dentro del Programa de
Mantenimiento Predictivo (PMP) y la representación espectral de la Figura 1.4b)
es empleada por excelencia como parte de la etapa de identificación dentro del
propio PMP.
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Figura 1.4. Formas de observación de las vibraciones. (Fuente: Palomino, 1996)
1.2.2 Caracterización de las vibraciones en maquinarias
El estudio de las vibraciones está relacionado con el comportamiento oscilatorio
de los cuerpos, teniendo en cuenta que la mayoría de las maquinarias y
estructuras experimentan vibraciones en mayor o menor grado, por lo cual éstas
se deberán tener en cuenta al abordar los cálculos de diseño y/o comprobación
así como en los controles periódicos del estado técnico de las mismas.
Según la norma ISO 2041 en relación con la Terminología en Vibraciones se
establece dos cosas:
VIBRACIÓN es toda variación en el tiempo, de una magnitud que describe el
movimiento o la posición de un sistema mecánico, cuando esta magnitud es
alternativamente mayor o menor que cierto valor promedio o de referencia
De igual forma, se establece que:
VIBRACIÓN LINEAL es una vibración en la cual la trayectoria vibratoria de un
punto tiene lugar según una línea recta
El movimiento físico de una máquina rotatoria se interpreta como una vibración
cuyas frecuencias y amplitudes tienen que ser cuantificadas a través de un
dispositivo que convierta éstas en un producto que pueda ser medido y analizado
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posteriormente. Así, la FRECUENCIA describirá ¿qué está mal? en la máquina y
la AMPLITUD ¿cuán severo? es el problema. Las vibraciones pueden ser de
naturaleza ARMÓNICA, PERIÓDICA o ALEATORIA.
Figura 1.5. Vibración armónica.
Vibración Armónica
Constituye la forma más simple de oscilación (Figura 1.5). Caracterizada por una
senosoide, puede ser generada en sistemas lineales debido a la presencia de
algún problema potencial, un desbalance por ejemplo. Este movimiento puede ser
estudiado a través de un vector rotatorio con velocidad angular constante a
partir de la cual se define la frecuencia de oscilación f expresada en Hertz [Hz], a
diferencia de la frecuencia angular que se expresa en [1/s]. Todo esto conduce a
la modelación matemática de este fenómeno según:
(1.5)
Siendo la fase de la vibración.
Estas expresiones avalan la definición de frecuencia que hace la norma ISO 2041
FRECUENCIA es el recíproco del período fundamental (tiempo de repetición
de un fenómeno periódico). Se expresa en Hertz [Hz], lo cual se corresponde
con un ciclo por segundo
Más adelante se profundizará en el concepto de fase de la vibración por ser de
gran utilidad en el monitorizado de la condición mecánica de máquinas rotatorias.
Vibración Periódica
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Es un movimiento que se repite periódicamente tal y como se observa en la Figura
1.6. Por ejemplo, un problema en una transmisión dentada puede producir una
vibración que aunque no es armónica es periódica.
Figura 1.6. Vibración periódica (Fuente: Palomino, 1996)
Vibración Aleatoria
Ocurre en forma errática y tiene contenidos de frecuencias en toda la banda de
frecuencias analizada. Observe la Figura 1.7. Esto quiere decir que las vibraciones
aleatorias producirán un espectro continuo o lo que es lo mismo, el espectro
estará constituido por "infinitas" vibraciones armónicas, cada una caracterizada
por amplitud, frecuencia y fase respectivamente.
Figura 1.7. Vibración aleatoria
1.2.3 Sistema máquina - soportes
El sistema máquina - soportes puede ser descrito a través de un sistema masa -
resorte-amortiguador. Desde el punto de vista práctico, cualquier parte de un
sistema que pueda ser deformado al aplicársele una fuerza y pueda recuperar su
forma inicial al cesar ésta, podrá ser tratado para su estudio como un resorte,
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siendo la CONSTANTE ELÁSTICA k de éste, la magnitud de fuerza necesaria
para deformarlo la unidad de longitud o sea, esta constante k, denominada
habitualmente rigidez, se expresa en unidades de [fuerza/longitud]. De aquí que,
un elemento elástico responda con una fuerza que es k veces su propia
deformación (Figura 1.8).
Así, el tramo de árbol que media entre dos rodamientos, el bloque de hormigón
sobre el cual descansa una máquina o la carcasa de un motor, pueden ser
tratados como resortes durante el análisis dinámico de estos sistemas.
Realmente, en la práctica de ingeniería durante el fenómeno vibratorio se disipa
energía en mayor o menor grado, lo que implica que la amplitud del movimiento
no se mantenga constante en el transcurso del tiempo posterior a un "impulso"
inicial, como no sea que una fuerza se encargue de restablecer estas pérdidas.
Las fuerzas amortiguadoras son extremadamente complicadas de modelar por lo
que, de acuerdo al alcance de este material, sólo será considerada la influencia
del llamado amortiguamiento viscoso, caracterizado por el hecho de que la fuerza
amortiguadora (Figura 1.8), es proporcional a la velocidad del movimiento en una
magnitud C, denominada COEFICIENTE DE AMORTIGUAMIENTO y que es
expresado en unidades de [fuerza - tiempo/longitud] .
Tal sistema máquina - soportes, simplificado a un sistema masa - resorte -
amortiguador, formado por una masa m vinculada a tierra a través de un resorte k
y un amortiguador C según se observa en la Figura 1.8, tendrá un comportamiento
dinámico que estará caracterizado fundamentalmente por su FRECUENCIA
NATURAL o FRECUENCIA DELAS VIBRACIONES PROPIAS NO
AMORTIGUADAS, que a su vez serán descritas por las siguientes expresiones:
(1.6)
Identificándose como FRECUENCIA ANGULAR NATURAL y como
FRECUENCIA NATURAL.
De todo esto es importante destacar que, prescindiendo del efecto del
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amortiguamiento propio de los soportes de las máquinas, es posible aseverar que:
Todo sistema máquina - soportes está caracterizado por una frecuencia que sólo
depende de la masa y la rigidez de éste, denominada FRECUENCIA NATURAL.
Figura 1.8. Sistema máquina - soportes (masa - resorte - amortiguador).
Adicionalmente, existen otros dos parámetros en la caracterización dinámica del
sistema máquina-soportes. Si se admite que las fuerzas disipadoras de energía
son proporcionales a la velocidad de las vibraciones del sistema máquina -
soportes, entonces estos parámetros serán definidos según:
C
oeficiente de amortiguamiento kmCC 2
(1.7)
R
azón de amortiguamiento cC
C
(1.8)
El coeficiente de amortiguamiento crítico es una propiedad del sistema y
no depende del amortiguamiento del mismo, mientras que la razón de
amortiguamiento se define como el cociente entre el coeficiente de
amortiguamiento y el coeficiente de amortiguamiento crítico. Estos parámetros
constituyen elementos decisivos a tener en cuenta cuando se pretenda desarrollar
un Programa de Aislamiento y Control de las Vibraciones, tanto para maquinarias
como para estructuras.
De igual forma, es sumamente importante destacar que cuando se considera en el
análisis el posible amortiguamiento de los soportes de la máquina, entonces la
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frecuencia característica de la vibración en ausencia de fuerzas que restauren las
pérdidas energéticas será la denominada FRECUENCIA DE LAS VIBRACIONES
AMORTIGUADAS:
21 nd ff (1.9)
1.2.4Sistema máquina - soportes ante la acción de una fuerza de carácter
armónico
Durante la operación de las máquinas se presentan fuerzas excitadoras que
suministran la energía necesaria para mantener las vibraciones aun cuando exista
amortiguamiento. Estas fuerzas pueden ser consideradas de carácter armónico, o
sea:
)2()( ftFsentF (1.10)
En este caso, F es la amplitud de la fuerza y f la frecuencia de la variación en el
tiempo de la fuerza, que también puede ser analizada como un vector rotatorio.
Ahora en el sistema máquina - soportes se incluye una fuerza excitadora
generalizada, tal y como se observa en la Figura 1.9, que podrá ser producida por
la propia máquina y/o transmitida a ésta por otros agentes externos.
Si la excitación es una fuerza de carácter armónico, el sistema vibrará
también en forma armónica con la misma frecuencia que la excitación pero
desfasado en el tiempo
Particular interés reviste el hecho relacionado con él a veces inexplicable
incremento substancial de la amplitud de las vibraciones, en máquinas que
exhiben un estado técnico satisfactorio. Este fenómeno, denominado
RESONANCIA tiene lugar cuando se sintoniza alguna de las frecuencias de la
excitación con alguna frecuencia natural2. En estos casos, las vibraciones son
amplificadas en una banda de frecuencias cercana y a ambos lados de la
frecuencia natural, según se observa en las Figuras 1.10 y 1.11
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Figura 1.9. Sistema máquina - soportes bajo excitación armónica.
La resonancia tendrá lugar si la frecuencia de la fuerza excitadora está contenida
dentro de la denominada BANDA DE POTENCIA MEDIA. Esta banda se define a
3 dB por debajo del pico correspondiente a la frecuencia de resonancia. Por otro
lado, lógicamente esta FRECUENCIA DE RESONANCIA tendrá que estar
relacionada con la frecuencia natural en dependencia del amortiguamiento
presente, todo lo cual se expresa según:
221 nr ff(1.11)
La norma ISO 2041 establece que:
La RESONANCIA de un sistema bajo oscilaciones forzadas existe cuando
cualquier cambio, incluso muy pequeño, en la frecuencia de la excitación,
causa un decrecimiento en la respuesta del sistema.
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Figura 1.10. Resonancia modificada por cierta cantidad de amortiguamiento.
Figura 1.11. Resonancia modificada por poco amortiguamiento
1.2.5 Origen de las frecuencias de las vibraciones en maquinarias
Existen tres causas fundamentales que propician la presencia de vibraciones en
las máquinas rotatorias a determinadas frecuencias, estas últimas se identifican
como:
a) Frecuencias generadas
b) Frecuencias excitadas
c) Frecuencias producidas por fenómenos electrónicos
Frecuencias generadas
A veces se les identifica como frecuencias forzadas o frecuencias de diagnóstico y
son aquellas que la máquina genera realmente durante su funcionamiento
habitual.
Representativas de estas frecuencias se tienen a los desbalances, el paso de las
paletas de una turbina, la frecuencia de engranaje o el paso de los elementos
rodantes por los defectos locales de las pistas de un cojinete de rodamiento, por
citar algunas.
Frecuencias excitadas
Las frecuencias excitadas no son más que las frecuencias de resonancias de los
elementos que componen las máquinas, incluyendo las estructuras portantes los
elementos no rotatorios en general. Cuando se excitan las frecuencias de
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resonancia, las vibraciones son amplificadas de acuerdo con lo ilustrado en las
Figuras 1.10 y 1.11, en virtud del amortiguamiento presente.
A juicio del autor, el problema que más excita las frecuencias de resonancias
cercanas a la frecuencia de rotación de la máquina es el desbalance, que por muy
pequeño que sea, puede ser amplificado severamente si se sintoniza la frecuencia
de operación del rotor desbalanceado, con la frecuencia natural de éste en sus
apoyos o del sistema máquina soportes.
Frecuencias excitadas
Las frecuencias excitadas no son más que las frecuencias de resonancias de los
elementos que componen las máquinas, incluyendo las estructuras portantes los
elementos no rotatorios en general. Cuando se excitan las frecuencias de
resonancia, las vibraciones son amplificadas de acuerdo con lo ilustrado en las
Figuras 1.10 y 1.11, en virtud del amortiguamiento presente.
A juicio del autor, el problema que más excita las frecuencias de resonancias
cercanas a la frecuencia de rotación de la máquina es el desbalance, que por muy
pequeño que sea, puede ser amplificado severamente si se sintoniza la frecuencia
de operación del rotor desbalanceado, con la frecuencia natural de éste en sus
apoyos o del sistema máquina soportes.
Los especialistas en diagnóstico consideran que aproximadamente el 40% de los
casos de niveles de vibraciones excesivos que se encuentran en la práctica,
tienen como fuente principal al desbalance. Este tipo de problema constituye la
mejor representación de una fuerza excitadora de carácter armónico, dada a
través de la fuerza de inercia que se genera debido a la aceleración de una masa
desbalanceada md que gira respecto al eje de rotación con una velocidad angular
constante ω. Observe la Figura 1.12.
21
Figura 1.12. Presencia de una masa desbalanceada en el sistema máquina -
soportes
Figura 1.13. Respuesta de un sistema máquina - soportes ante los efectos de un
desbalance rotatorio.
Es importante destacar que la masa excéntrica produce una fuerza que es a su
vez un vector rotatorio con velocidad angular ω y amplitud md . De igual
forma, es conveniente analizar el problema desde el punto de vista de las
frecuencias, cuyo comportamiento se representa en la Figura 1.13.
Observe como a frecuencia cero, lógicamente no existe amplitud del movimiento.
Sin embargo, merece especial atención el hecho de que con independencia del
amortiguamiento, la vibración estabilizará a una amplitud de desplazamiento md
r/M por lo cual es obvio que una buena condición de balanceo deberá garantizar el
menor producto . Esto será abordado más adelante cuando se trate el
problema del Grado de calidad del balanceo y el Desbalance residual. Observe
además el notable crecimiento de la amplitud de las vibraciones en la máquina,
cuando la velocidad de operación del rotor se asemeja a la frecuencia natural del
sistema máquina - soportes.
1.2.6 Influencia de las vibraciones externas
En muchas ocasiones, es de gran importancia estudiar, cuantificar y controlar las
vibraciones que llegan a la máquina debido a diferentes fuentes externas o sea,
debido a fuerzas que no son generadas durante el funcionamiento de la propia
máquina sino como consecuencia de la operación de máquinas vecinas.
En la Figura 1.14 se observa que ahora la fuerza excitadora actúa en la base «de
22
masa despreciable» del sistema, por lo que se tendrá movimiento en el cuerpo de
la máquina y en su propia base. Al igual que en otros casos, este efecto se
representará en el dominio de las frecuencias, sobre la base de relacionar la
amplitud de las vibraciones en el cuerpo de la máquina respecto a la amplitud de
las vibraciones en su base.
En este caso, cuando la frecuencia de las vibraciones transmitidas por máquinas
vecinas hacia la base de la máquina afectada es mucho mayor que la frecuencia
natural del sistema máquina - soportes, entonces los propios soportes filtrarán los
niveles de vibraciones, limitando la llegada de estos al cuerpo de la máquina
(Figura 1.15). Por otra parte, en la propia Figura 1.15 se observa también que la
influencia del amortiguamiento cambia drásticamente, dependiendo de la relación
frecuencia de excitación/frecuencia natural por lo que, se deberá ser
extremadamente cuidadoso al seleccionar o diseñar calzos o soportes
antivibratorios.
Figura 1.14. Problema de vibraciones en soportes.
Figura 1.15. Relación entre la amplitud de las vibraciones en el cuerpo de la
máquina y en la base de ésta.
(Fuente: Palomino, 1996)
23
1.3Método de los elementos finitos
El método de los elementos finitos (MEF en castellano o FEM en inglés) es un
método numérico general para la aproximación de soluciones de ecuaciones
diferenciales parciales muy utilizado en diversos problemas de ingeniería y física.
El MEF está pensado para ser usado en computadoras y permite resolver
ecuaciones diferenciales asociadas a un problema físico sobre geometrías
complicadas. El MEF se usa en el diseño y mejora de productos y aplicaciones
industriales, así como en la simulación de sistemas físicos y biológicos complejos.
La variedad de problemas a los que puede aplicarse ha crecido enormemente,
siendo el requisito básico que las ecuaciones constitutivas y ecuaciones de
evolución temporal del problema a considerar sean conocidas de antemano.
El MEF permite obtener una solución numérica aproximada sobre un cuerpo,
estructura o dominio (medio continuo) —sobre el que están definidas ciertas
ecuaciones diferenciales en forma débil o integral que caracterizan el
comportamiento físico del problema— dividiéndolo en un número elevado de
subdominios no-intersectantes entre sí denominados «elementos finitos». El
conjunto de elementos finitos forma una partición del dominio también
denominada discretización. Dentro de cada elemento se distinguen una serie de
puntos representativos llamados «nodos». Dos nodos son adyacentes si
pertenecen al mismo elemento finito; además, un nodo sobre la frontera de un
elemento finito puede pertenecer a varios elementos. El conjunto de nodos
considerando sus relaciones de adyacencia se llama «malla».
Los cálculos se realizan sobre una malla de puntos (llamados nodos), que sirven a
su vez de base para discretización del dominio en elementos finitos. La
generación de la malla se realiza usualmente con programas especiales llamados
generadores de mallas, en una etapa previa a los cálculos que se denomina pre-
proceso. De acuerdo con estas relaciones de adyacencia o conectividad se
relaciona el valor de un conjunto de variables incógnitas definidas en cada nodo y
24
denominadas grados de libertad. El conjunto de relaciones entre el valor de una
determinada variable entre los nodos se puede escribir en forma de sistema de
ecuaciones lineales (o linealizadas). La matriz de dicho sistema de ecuaciones se
llama matriz de rigidez del sistema. El número de ecuaciones de dicho sistema es
proporcional al número de nodos.
Típicamente el análisis de los elementos finitos se programa computacionalmente
para calcular el campo de desplazamientos y, posteriormente, a través de
relaciones cinemáticas y constitutivas las deformaciones y tensiones
respectivamente, cuando se trata de un problema de mecánica de sólidos
deformables o más generalmente un problema de mecánica de medios continuos.
El método de los elementos finitos es muy usado debido a su generalidad y a la
facilidad de introducir dominios de cálculo complejos (en dos o tres dimensiones).
Además el método es fácilmente adaptable a problemas de transmisión de calor,
de mecánica de fluidos para calcular campos de velocidades y presiones
(mecánica de fluidos computacional, CFD) o de campo electromagnético. Dada la
imposibilidad práctica de encontrar la solución analítica de estos problemas, con
frecuencia en la práctica ingenieril los métodos numéricos y, en particular, los
elementos finitos, se convierten en la única alternativa práctica de cálculo.
Una importante propiedad del método es la convergencia; si se consideran
particiones de elementos finitos sucesivamente más finas, la solución numérica
calculada converge rápidamente hacia la solución exacta del sistema de
ecuaciones.
1.3.1Breve reseña histórica
El Método de Elementos Finitos (MEF) fue al principio desarrollado en 1943 por
Richard Courant, quien utilizó el método de Ritz de análisis numérico y
minimización de las variables de cálculo para obtener soluciones aproximadas a
un sistema de vibración. Poco después, un documento publicado en 1956 por M.
J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, y L. J. Topp estableció una definición más
25
amplia del análisis numérico.1 El documento se centró en “la rigidez y deformación
de estructuras complejas”. Con la llegada de los primeros ordenadores instaura el
cálculo matricial de estructuras. Éste parte de la discretización de la estructura en
elementos lineales tipo barra de los que se conoce su rigidez frente a los
desplazamientos de sus nodos. Se plantea entonces un sistema de ecuaciones
resultado de aplicar las ecuaciones de equilibrio a los nodos de la estructura. Este
sistema de ecuaciones se esquematiza de la siguiente manera:
(*) (1.12)
Donde las incógnitas son los desplazamientos en los nodos (vector u) que se
hallan a partir de las "fuerzas" o "solicitaciones" en los nodos (vector ) y de la
rigidez de las barras (matriz de rigidez ). Conocidos dichos desplazamientos es
posible determinar los esfuerzos en las barras. La solución obtenida es exacta. (*)
Fórmula más importante en el MEF.
1.3.2 Descripción matemática del método
El desarrollo de un algoritmo de elementos finitos para resolver un problema
definido mediante ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno requiere en
general cuatro etapas:
1. E
l problema debe reformularse en forma variacional.
2. E
l dominio de variables independientes (usualmente un dominio espacial para
problemas dependientes del tiempo) debe dividirse mediante una partición en
subdominios, llamados elementos finitos. Asociada a la partición anterior se
construye un espacio vectorial de dimensión finita, llamado espacio de elementos
26
finitos. Siendo la solución numérica aproximada obtenida por elementos finitos
una combinación lineal en dicho espacio vectorial.
3. S
e obtiene la proyección del problema variacional original sobre el espacio de
elementos finitos obtenido de la partición. Esto da lugar a un sistema con un
número de ecuaciones finito, aunque en general con un número elevado de
ecuaciones incógnitas. El número de incógnitas será igual a la dimensión del
espacio vectorial de elementos finitos obtenido y, en general, cuanto mayor sea
dicha dimensión tanto mejor será la aproximación numérica obtenida.
4. E
l último paso es el cálculo numérico de la solución del sistema de ecuaciones.
Los pasos anteriores permiten construir un problema de cálculo diferencial en un
problema de álgebra lineal. Dicho problema en general se plantea sobre un
espacio vectorial de dimensión no-finita, pero que puede resolverse
aproximadamente encontrando una proyección sobre un subespacio de dimensión
finita, y por tanto con un número finito de ecuaciones (aunque en general el
número de ecuaciones será elevado típicamente de miles o incluso centenares de
miles). La discretización en elementos finitos ayuda a construir un algoritmo de
proyección sencillo, logrando además que la solución por el método de elementos
finitos sea generalmente exacta en un conjunto finito de puntos. Estos puntos
coinciden usualmente con los vértices de los elementos finitos o puntos
destacados de los mismos. Para la resolución concreta del enorme sistema de
ecuaciones algebraicas en general pueden usarse los métodos convencionales
del álgebra lineal en espacios de dimensión finita.
En lo que sigue d es la dimensión del dominio, n el número de elementos finitos y
N el número de nodos total.
1.3.3 Formulación débil
27
La formulación débil de una ecuación diferencial permite convertir un problema de
cálculo diferencial formulado en término de ecuaciones diferenciales en términos
de un problema de álgebra lineal planteado sobre un espacio de Banach,
generalmente de dimensión no finita, pero que puede ser aproximado por un
sistema finito de ecuaciones algebraicas.
Dada una ecuación diferencial lineal de la forma:
(1.13)
Donde la solución es una cierta función definida sobre un dominio d-dimensional
, y se han especificado un conjunto de condiciones de contorno
adecuadas, puede suponerse que la función buscada es un elemento de un
espacio de funciones o espacio de BanachV y que la ecuación (1.13) es
equivalente a:
(1.14)
Donde V' es el espacio dual de V, la forma variacional débil se obtiene buscando
la única solución tal que:
(1.15)
Cuando el operador lineal es un operador elíptico, el problema se puede plantear
como un problema de minimización sobre el espacio de Banach.
1.3.4 Discretización del dominio
28
Dado un dominio con una frontera continua en el sentido de Lipschitz
una partición en n "elementos finitos", es una colección de n subdominios
que satisface:
1.
2. C
ada es un conjunto compacto con una frontera Lipschitz-continua.
3.
Usualmente por conveniencia práctica y sencillez de análisis, todos los "elementos
finitos" tienen la misma "forma", es decir, existe un dominio de referencia y
una colección de funciones biyectivas:
Este dominio de referencia se suele llamar frecuentemente también dominio
isoparamétrico. En los análisis 2D (d = 2) el dominio de referencia se suele
tomar como un triángulo equilátero o un cuadrado, mientras que en los análisis 3D
(d = 3), el dominio de referencia típicamente es un tetraedro o un hexaedro.
Además sobre cada elemento se considerarán algunos puntos especiales,
llamados nodos y que generalmente incluirán los vértices del elemento finito y se
requerirá la condición adicional de que dos elementos adyacentes compartan los
nodos sobre el subconjunto , es decir:
Una vez definida la partición en elementos finitos, se define sobre cada elemento
un espacio funcional de dimensión finito, usualmente formado por polinomios.
Este espacio funcional servirá para aproximar localmente la solución del problema
variacional. El problema variacional en su forma débil se plantea sobre un espacio
29
de dimensión no-finita, y por tanto la función buscada será una función de dicho
espacio. El problema en esa forma exacta es computacionalmente inabordable,
así que en la práctica se considerará un subespacio de dimensión finita del
espacio vectorial original . Y en lugar de la solución exacta de (2b) se calcula la
proyección de la solución original sobre dicho subespacio vectorial de dimensión
finita, es decir, se resolverá numéricamente el siguiente problema:
(1.16)
Donde:
, es la solución aproximada.
, es el proyector ortogonal del espacio original sobre
el subespacio vectorial asociado a la discretización.
Si la discretización es suficientemente fina y el espacio funcional finito sobre cada
elemento está bien escogido, la solución numérica obtenida aproximará
razonablemente bien la solución original. Eso implicará en general considerar un
número muy elevado de elementos finitos y por tanto un subespacio de
proyección de dimensión elevada. El error entre la solución exacta y la solución
aproximada puede acotarse gracias al lema de Ceá, que en esencia afirma que la
solución exacta y la solución aproximada satisfacen:
(1.17)
Es decir, el error dependerá ante todo de lo bien que el subespacio vectorial
asociado a la discretización en elementos finitos aproxime el espacio vectorial
original .
1.3.5 Funciones de forma y espacio de la solución
30
Existen muchas formas de elegir un conjunto de funciones que formen una base
vectorial sobre la que aproximar la solución exacta del problema. Desde un punto
de vista práctico resulta útil definir un espacio vectorial de dimensión finita
definido sobre el dominio de referencia formado por todos los polinomios de
grado igual o inferior a cierto grado:
Entonces mediante las aplicaciones que aplican el dominio de referencia a cada
elemento finito se define el espacio vectorial que servirá para aproximar la
solución como:
(1.18)
Cuando es una función lineal y el espacio está formado por polinomios
entonces la restricción de es también un polinomio. El espacio vectorial
es un espacio polinómico en que la base de dicho espacio está formada por
funciones de forma , que dado el conjunto de nodos del dominio de referencia
se definen como:
Esto permite definir de manera unívoca unas funciones de forma sobre el dominio
real sobre el que se define el problema:
Estas funciones se pueden extender a todo el dominio, gracias a que el conjunto
de subdominios o elementos finitos constituye una partición de todo el dominio:
31
Las funciones de forma permiten proyectar sobre el espacio de elementos finitos
cualquier función definida sobre el dominio original mediante el proyector :
(1.19)
1.3.6 Resolución de las ecuaciones
Fijada una base asociada a una determinada discretización del dominio, como por
ejemplo la dada por las funciones la forma débil del problema, (cuando la
función es bilineal) puede escribirse como una ecuación matricial simple:
(1.20)
Donde N es el número de nodos. Agrupando los términos y teniendo en cuenta
que v^h es arbitrario y que por tanto la ecuación anterior debe cumplirse para
cualquier valor de dicho vector arbitrario se tiene que:
(1.21)
Este es la forma común del sistema de ecuaciones de un problema de elementos
asociado a una ecuación diferencial lineal, no dependiente del tiempo. Esta última
forma es precisamente la forma (*) de la reseña histórica. Para resolver
numéricamente el sistema de ecuaciones (*), que usualmente consta de miles o
incluso centenares de miles de ecuaciones se requieren algoritmos eficientes que
optimicen el número de operaciones que debe realizarse y ahorren memoria.
32
En general las complicaciones computacionales que deben resolverse en la
resolución numérica son:
1. E
l cálculo de la matriz de coeficientes , esto generalmente requiere
integración numérica aproximada lo cual es una nueva fuente de errores en el
cálculo por el MEF.
2. E
l uso de un método eficiente para resolver el sistema de ecuaciones obtenido. Por
ejemplo el método de Cramer es totalmente impracticable para , un
ordenador de unos 10 GFlops tardaría más de 2 años en resolver el sistema por
dicho método, mientras que si se usa el método de eliminación gaussiana tardaría
menos de una diez milésima de segundo.
Para entender la necesidad de la integración numérica necesitamos ver qué forma
tiene típicamente la forma débil del problema, expresada en términos de los
subdominios o elementos finitos. Esa forma débil involucra integrales de la forma:
(1.22)
Donde:
son el domino sobre el que se plantea el problema.
, representan a cada uno de los elementos finitos y al dominio
isoparamétrico que da la forma de los elementos finitos.
, representan la función que debe integrarse y su
expresión sobre el dominio isoparamétrico.
, la aplicación que relaciona el dominio isoparamétrico con cada
elemento finito.
33
, son los pesos y los puntos de integración usados para integración
gaussiana.
, son el número total de elementos y el número de puntos de integración
por elemento.
1.3.7 Aproximación del error
De acuerdo con el lema de Ceá (LC) el error cometido en la aproximación de una
solución exacta mediante elementos finitos viene acotada por el error de
aproximación, es decir, la solución obtenida mediante el MEF es, tanto más buena
cuanto mejor sea la aproximación . A continuación acotamos este error de
aproximación que acotará el error de la solución de elementos finitos.
Para ello necesitamos definir el diámetro de cada subdominio o elemento finito:
h es un medida de la finura de la discretización es el máximo de los anteriores
valores. Puede comprobarse que el error de aproximación (y por tanto el error de
la solución mediante elementos finitos) viene acotada por:
(1.23)
Donde:
, son respectivamente la solución exacta y la solución obtenida mediante
elementos finitos.
, es un número real que depende de la forma del dominio, entre otros factores.
, es el k+1-ésimo espacio de Sobolev de funciones sobre el dominio
.
, es la seminorma dada por:
34
(1.24)
Siendo un multíndice y la derivada parcial de u asociada al mismo. La
norma del espacio L2(Ω).
1.3.8 ¿Cómo trabaja el MEF en la práctica?
El MEF es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales. La
solución obtenida por MEF es sólo aproximada, coincidiendo con la solución
exacta sólo en un número finito de puntos llamados nodos. En el resto de puntos
que no son nodos, la solución aproximada se obtiene interpolando a partir de los
resultados obtenidos para los nodos, lo cual hace que la solución sea sólo
aproximada debido a ese último paso.
El MEF convierte un problema definido en términos de ecuaciones diferenciales
en un problema en forma matricial que proporciona el resultado correcto para un
número de finito de puntos e interpola posteriormente la solución al resto del
dominio, resultando finalmente sólo una solución aproximada. El conjunto de
puntos donde la solución es exacta se denomina conjunto nodos. Dicho conjunto
de nodos forma una red, denominada malla formada por retículos. Cada uno de
los retículos contenidos en dicha malla es un "elemento finito". El conjunto de
nodos se obtiene dividiendo o discretizando la estructura en elementos de forma
variada (pueden ser superficies, volúmenes y barras).
Desde el punto de vista de la programación algorítmica modular las tareas
necesarias para llevar a cabo un cálculo mediante un programa MEF se dividen
en:
P
reproceso, que consiste en la definición de geometría, generación de la malla, las
condiciones de contorno y asignación de propiedades a los materiales y otras
propiedades. En ocasiones existen operaciones cosméticas de regularización de
35
la malla y precondicionamiento para garantizar una mejor aproximación o una
mejor convergencia del cálculo.
C
álculo, el resultado del preproceso, en un problema simple no-dependiente del
tiempo, permite generar un conjunto de N ecuaciones y N incógnitas, que puede
ser resuelto con cualquier algoritmo para la resolución de sistemas de ecuaciones
lineales. Cuando el problema a tratar es un problema no-lineal o un problema
dependiente del tiempo a veces el cálculo consiste en una sucesión finita de
sistemas de N ecuaciones y N incógnitas que deben resolverse uno a
continuación de otro, y cuya entrada depende del resultado del paso anterior.
P
ostproceso, el cálculo proporciona valores de cierto conjunto de funciones en los
nodos de la malla que define la discretización, en el postproceso se calculan
magnitudes derivadas de los valores obtenidos para los nodos, y en ocasiones se
aplican operaciones de suavizado, interpolación e incluso determinación de
errores de aproximación.
Preproceso y generación de la malla
La malla se genera y ésta en general consta de miles (e incluso centenares de
miles) de puntos. La información sobre las propiedades del material y otras
características del problema se almacena junto con la información que describe la
malla. Por otro lado las fuerzas, los flujos térmicos o las temperaturas se
reasignan a los puntos de la malla. A los nodos de la malla se les asigna una
densidad por todo el material dependiendo del nivel de la tensión mecánica u otra
propiedad. Las regiones que recibirán gran cantidad de tensión tienen
normalmente una mayor densidad de nodos (densidad de malla) que aquellos que
experimentan poco o ninguno. Puntos de interés consisten en: puntos de fractura
previamente probados del material, entrantes, esquinas, detalles complejos, y
áreas de elevada tensión. La malla actúa como la red de una araña en la que
desde cada nodo se extiende un elemento de malla a cada nodo adyacente. Este
36
tipo de red vectorial es la que lleva las propiedades del material al objeto, creando
varios elementos.
Las tareas asignadas al preproceso son:
1. E
l continuo se divide, mediante líneas o superficies imaginarias en un número de
elementos finitos. Esta parte del proceso se desarrolla habitualmente mediante
algoritmos incorporados a programas informáticos de mallado durante la etapa de
preproceso.
2. S
e supone que los elementos están conectados entre sí mediante un número
discreto de puntos o “nodos”, situados en sus contornos. Los desplazamientos de
estos nodos serán las incógnitas fundamentales del problema, tal y como ocurre
en el análisis simple de estructuras por el método matricial.
3. S
e toma un conjunto de funciones que definan de manera única el campo de
desplazamientos dentro de cada “elemento finito” en función de los
desplazamientos nodales de dicho elemento. Por ejemplo el campo de
desplazamientos dentro de un elemento lineal de dos nodos podría venir definido
por: u = N1 u1 + N2 u2, siendo N1 y N2 las funciones comentadas (funciones de
forma) y u1 y u2 los desplazamientos en el nodo 1 y en el nodo 2.
4. E
stas funciones de desplazamientos definirán entonces de manera única el estado
de deformación del elemento en función de los desplazamientos nodales. Estas
deformaciones, junto con las propiedades constitutivas del material, definirán a su
vez el estado de tensiones en todo el elemento, y por consiguiente en sus
contornos.
5. S
e determina un sistema de fuerzas concentradas en los nodos, tal que equilibre
las tensiones en el contorno y cualesquiera cargas repartidas, resultando así una
37
relación entre fuerzas y desplazamientos de la forma F=k.u, que como vemos es
similar a la del cálculo matricial.
1.3.9 Tipos de análisis ingenieriles
El programador puede insertar numerosos algoritmos o funciones que pueden
hacer al sistema comportarse de manera lineal o no lineal. Los sistemas lineales
son menos complejos y normalmente no tienen en cuenta deformaciones
plásticas. Los sistemas no lineales toman en cuenta las deformaciones plásticas,
y algunos incluso son capaces de verificar si se presentaría fractura en el material.
Algunos tipos de análisis ingenieriles comunes que usan el método de los
elementos finitos son:
A
nálisis estático se emplea cuando la estructura está sometida a acciones
estáticas, es decir, no dependientes del tiempo.
A
nálisis vibracional es usado para analizar la estructura sometido a vibraciones
aleatorias, choques e impactos. Cada uno de estas acciones puede actuar en la
frecuencia natural de la estructura y causar resonancia y el consecuente fallo.
A
nálisis de fatiga ayuda a los diseñadores a predecir la vida del material o de la
estructura, prediciendo el efecto de los ciclos de carga sobre el especimen. Este
análisis puede mostrar las áreas donde es más probable que se presente una
grieta. El análisis por fatiga puede también predecir la tolerancia al fallo del
material.
Los modelos de análisis de transferencia de calor por conductividad o por
dinámicas térmicas de flujo del material o la estructura. El estado continuo de
transferencia se refiere a las propiedades térmicas en el material que tiene una
difusión lineal de calor.
38
1.3.10 Resultados del MEF
El MEF se ha vuelto una solución para la tarea de predecir las frecuencias
propias, los modos de vibración y el grado de amortiguación debidos al diseño,
operación y mantenimiento de equipos mostrando los problemas existentes en la
respuesta estructural del conjunto, teniendo en cuenta las características del
material y permitiendo a los diseñadores ver el comportamiento rotodinámico del
ensamble. Este método de diseño y prueba del producto es mejor al ensayo y
error en donde hay que mantener costos de manufactura asociados a la
construcción de cada ejemplar para las pruebas.
Las grandes ventajas del cálculo por ordenador se pueden resumir en:
H
ace posible el cálculo de estructuras que, bien por el gran número de operaciones
que su resolución presenta una gran complejidad o por lo tedioso de las mismas,
las cuales eran, en la práctica, inabordables mediante el cálculo manual.
E
n la mayoría de los casos reduce a límites despreciables el riesgo de errores
operativos.
39
CAPÍTULO II: Análisis modal en sistemas rotatorios.
Este capítulo tiene como objetivo demostrar el comportamiento de las frecuencias
naturales, los modos de vibración y el grado de amortiguación, así como, la
influencia de su configuración en la respuesta estructural del conjunto utilizando el
software SolidWorks Simulation. Se pretende probar que cambiando las
posiciones de las piezas de un ensamble se transforma su respuesta estructural,
es decir, que varían sus modos de vibración e incluso sus frecuencias naturales
principales.
2.1 Principios básicos para el análisis de frecuencias
En las máquinas rotativas pueden aparecer vibraciones laterales y vibraciones
torsionales. Se conoce que las vibraciones laterales afectan de forma más
significativa a las máquinas rotativas. Las vibraciones laterales pueden ser
causadas por diferentes razones, fuerzas desequilibradoras, frecuencias
perturbadoras, regímenes transitorios y otras excitaciones que actúan sobre los
elementos que rotan.
Para estudiar el comportamiento rotodinámico el primer paso es obtener un
modelo matemático que considere la configuración geométrica y los valores de los
distintos coeficientes dinámicos que simulen los enlaces del elemento rotor con
las otras partes del sistema. La complejidad del modelo elaborado dependerá de
las principales incógnitas que se quieran investigar y de qué nivel de aproximación
se quiere obtener a la máquina real. Los elementos rotores de las máquinas
tienen frecuencias naturales que pueden ser excitadas por diversos factores:
desequilibrios, fricción seca, pulsaciones de presión y otras causas. El principal
interés al estudiar el comportamiento dinámico radica en conocer, bajo qué
condiciones el sistema estudiado, puede entrar en resonancia y alterar su
comportamiento. El conocimiento de las frecuencias propias, las formas de
manifestarse los diferentes modos y sus grados de amortiguamiento, posibilitan
poder predecir como responderán las distintas zonas de los elementos motrices,
ante las posibles alteraciones de funcionamiento.
40
Un rotor soportado por cojinetes de película de aceite puede ser considerado
teóricamente como un sistema masa, resorte y amortiguador. Cuando la
frecuencia de la fuerza excitadora, coincide con la primera de frecuencias
naturales aparece la denominada velocidad crítica. Desde este punto de vista, las
máquinas se clasifican como de eje rígido, cuando la primera frecuencia crítica
lateral del eje (primera velocidad crítica) es mayor que la frecuencia producida por
la rotación del eje y de eje flexible cuando la velocidad crítica está por debajo de la
velocidad de rotación. Un objetivo importante del estudio rotodinámico es, por
tanto, identificar las frecuencias de resonancia de la parte o conjunto giratorio de
la máquina, que genéricamente se denominará rotor.
Cada rotor está soportado por cojinetes, y estos, por pedestales, bancada y
fundaciones. La rigidez efectiva que influye sobre la dinámica del rotor es la suma
inversa de todas estas rigideces, representados matemáticamente por enlaces
elásticos o simplemente resortes. Existen notables diferencias en el
comportamiento rotodinámico de máquinas de eje horizontal y de eje vertical,
debido a las distintas fuerzas que han de soportar los cojinetes, según la
orientación de la máquina. En las máquinas de eje horizontal los cojinetes axiales
soportan toda la carga estática y los cojinetes radiales son afectados por las
fuerzas de desequilibrio generadas por la rotación.
2.1.1 Modelo rotatorio simple en máquinas de eje horizontal
Un modelo básico en rotodinámica es un rotor simple, y para describir su
movimiento y las relaciones dinámicas se utilizan determinadas restricciones Si se
considera un eje de masa mucho menor que la masa de funcionamiento, se
suponen los soportes rígidos y la masa de funcionamiento está desequilibrada, de
tal manera que el centro de rotación W no coincida con el centro de gravedad S
se puede aproximar una formulación inicial para explicar el comportamiento
rotodinámico. Fig.2.1
41
Fig. 2.1. Fuerzas que actúan durante el funcionamiento de las máquinas
rotatorias.
El movimiento puramente radial de un modelo de rotor simple se puede describir
con las coordenadas; X2 y Y2 para X1 y Y1, para el centro W, con un ángulo
para la torsión.
sen
cos
12
12
eYY
eXX
(2.1)
Derivando respecto al tiempo,
sen
cos
·
1
·
2
·
·
1
·
2
·
eYY
eXX
(2.2)
Si se deriva nuevamente,
m
K
42
cossen
sencos
..2..
1
..
2
..
..2....
12
..
eYY
eXX
(2.3)
Se puede observar como la aceleración del centro de gravedad es igual a la
aceleración del centro de rotación, más un término afectado por la derivada de
al cuadrado, que pertenece a la aceleración centrífuga, y otro que considera la
segunda derivada de que pertenece a la aceleración tangencial.
Haciendo servir estas relaciones cinemáticas, se pueden deducir las ecuaciones
de movimiento para el centro de gravedad de la masa giratoria, basada en las
condiciones de equilibrio de las fuerzas restauradoras, de las fuerzas de inercia, y
de los momentos externos M. en los rodamientos se generan componentes
elásticas y de amortiguación en los planos horizontal y vertical Fig. 2.2.
MXYKM
KYYm
KXXm
p
y
x
F
F
)sencos(0
00
00
..
..
..
(2.4)
Las ecuaciones del movimiento [2.4] se pueden simplificar asumiendo que:
(a) El rotor trabaja en equilibrio dinámico. Por tanto, el momento externo es nulo
(M=0).
(b) El radio polar de inercia ip2=p/mes mucho mayor, al compararlo con la
excentricidad e y los desplazamientos X1 y Y1; entonces, la aceleración tangencial
vale 0.
tconstante...
0 (2.5)
Finalmente, estas ecuaciones quedarán de la siguiente forma,
tsinmeKYYm
tmeKXXm
2..
2..
cos
(2.6)
43
Dondees la frecuencia de rotación y el ángulo de fase.
Las soluciones de las ecuaciones [2.6] están formadas de una parte homogénea y
de otra no homogénea.
part
part
YYY
XXX
hom
hom
(2.7)
La parte homogénea describe las vibraciones libres del árbol, mientras que la
parte no homogénea es referida a las vibraciones forzadas por el desequilibrio.
Para resolver las vibraciones libres, el término de la derecha de la ecuación [2.6]
se anula:
0KXmX (2.8)
La solución tiene la forma,
m
k
y
tsenBtAX
n
ii
coshom
donde es la frecuencia propia del rotor y Ai y Bi han de ser calculadas haciendo
servir las condiciones iniciales. La solución no homogénea de las ecuaciones [2.6]
se puede obtener mediante:
tYY
tXX
part
part
sen
cos
^
^
(2.9)
y conociendo los valores,
mK
meYX partpart
2
2
(2.10)
la solución completa se escribe como:
44
)sen(sencos
)cos(sencos
22
2
22
22
2
11
tetBtAY
tetBtAX
i
i
(2.11)
Donde A1, A2, B1 y B2 se pueden calcular a partir de les condiciones iniciales. La
figura 2.3 muestra las amplitudes de les vibraciones contra la velocidad de
rotación. La distancia entre las dos curvas es siempre igual a la excentricidad e.
Cuando la velocidad de rotación es igual a la frecuencia propia =, la amplitud
de la vibración tiende al infinito y si la velocidad de rotación es menor que la
velocidad crítica, el centro de gravedad gira por la parte exterior del centro de
rotación, mientras que, si la velocidad de rotación es mayor que la velocidad
crítica, el centro de gravedad gira por la parte interior del centro de rotación.
En el caso que se supongan los apoyos rígidos, el término i seria nulo, pero en
realidad, en una máquina rotatoria, siempre existe una flexibilidad en los cojinetes
y en sus soportes. Debido al diseño de los apoyos, normalmente estos tienen
rigideces diferentes en dos direcciones. Las ecuaciones del movimiento del
modelo de rotor simple en soportes rígidos han de ser modificado teniendo en
cuenta los coeficientes de rigidez de los cojinetes. Esta rigidez adicional de los
cojinetes actúa como un resorte en serie. [2.12]
KK
KKK
Li
Lii
2
2
(2.12)
m
Ky
m
Kcon i
i (2.13)
45
Fig.2.2 Esquema de funcionamiento en soportes flexibles.
Los demás parámetros de la ecuación 2.6 permanecen invariables. Debido a que
los parámetros de rigidez actúan en direcciones diferentes, existen dos
frecuencias propias en las soluciones homogéneas. Las soluciones de la parte no
homogénea se diferencian en amplitud, comparadas con la del caso rígido. Así,
1 2 3 4
1
Existe una
componente de
amortiguamiento
y una de rigidez en
los ejes X e Y, en
cada uno de los
rodamientos.
Rodamiento
s 2
Rodamientos 2
Rodamientos 1
Disco
Árbol
Sentido antihorario (FORWARD WHIRL) )
Sentido antihorario (FORWARD WHIRL)
Sentido horario (BACKWARD WHIRL)
Ω/ω
46
aparecen también dos resonancias diferentes para ambas direcciones.
Fig.2.3 Amplitud de la vibración para el modelo en soportes flexibles.
Estas velocidades críticas son más bajas, que en el caso de los soportes rígidos,
a causa de la flexibilidad adicional de los cojinetes, como muestra la figura 2.3.
Las órbitas, en general, tienen una forma elíptica que evoluciona a líneas rectas
en las resonancias, o a una forma circular entre las críticas o a velocidades
elevadas.
Como se puede observar en las soluciones particulares, el sentido de la órbita de
vibración cambia entre las resonancias. Por debajo de la primera y por sobre de la
segunda velocidad crítica, el sentido de la órbita es el mismo que el sentido de
rotación del eje; FORWARD WHIRL, y entre les velocidades críticas pasa lo
contrario, BACKWARD WHIRL.
En una máquina real siempre existen fuerzas de amortiguamiento proveniente del
material en sí (amortiguamiento interno) y del contacto con el medio,
fundamentalmente a través de los cojinetes. Este amortiguamiento externo, de
forma general, tiene un efecto positivo en el comportamiento dinámico de una
máquina, ya que disminuye las amplitudes de la vibración en las resonancias. El
amortiguamiento interno puede desestabilizar el sistema si funciona por encima
de la velocidad crítica.
Un modelo simple para el amortiguamiento puede explicar cómo las fuerzas de
amortiguamiento son proporcionales a las velocidades de les masas del rotor.
Las ecuaciones del movimiento del modelo, teniendo en cuenta el
amortiguamiento:
tmekYYcYm
tmekXXcXm
sen
cos
...
...
(2.14)
47
Ahora, la parte homogénea de las soluciones es diferente, debido a los
coeficientes de amortiguamiento. Haciendo servir una relación exponencial, se
obtiene la siguiente ecuación característica:
2,1
02
ipara
kcm ii
(2.15)
Los valores propios son las complejas conjugadas,
m
ky
m
c
donde
i
2
22
2
,
(2.16)
Por tanto, las soluciones tendrán una forma:
tsenBtAieX i
t 2222
hom cos
(2.17)
Cuando el tiempo t crece, los desplazamientos tienden a 0, a causa de la parte
real del valor propio , que es proporcional al coeficiente de amortiguamiento c.
Para la solución no homogénea se puede trabajar con una anotación compleja,
para la excitación que desequilibra al sistema. El término de la parte derecha de
las ecuaciones se puede representar como la parte real de una función compleja y
su solución tendrá la forma:
m
dD
m
K
Darctg
D
eYX
donde
tsenYY
tXX
part
part
2
1
2
21
:
)(
)cos(
2
222
2
(2.18)
48
1
2
1 2
X/e^ C=0
C=0,25
C=0,5
90º
180º
1 2
C=0
C=0,25
C=0,5
0º
Fig. 2.4. Variaciones de la amplitud para distintos valores de amortiguamiento.
La figura 2.4 muestra los valores de amplitud para diferentes valores de
amortiguamiento. Para amortiguamientos elevados, las amplitudes de las
resonancias disminuyen considerablemente.
Las vibraciones transitorias son causadas por perturbaciones aleatorias, que no
son armónicas de las frecuencias de funcionamiento. Estas pueden ser debidas a
la interacción de la máquina con el medio de trabajo, a aceleraciones
provenientes de otras máquinas, a regímenes a cargas parciales, puesto en
marchas y parado y a otros factores.
Para las vibraciones causadas por fuerzas arbitrarias es conveniente introducir las
vibraciones forzadas. La señal de la fuerza f(t) tiene la forma:
t
tdxxflim
0
0)(
(2.19)
De tal forma que el término derecho de la ecuación del movimiento de un sistema
de un grado de libertad es 0 para t>0 y por tanto, la solución consiste, nada más,
en la parte homogénea
49
mm
dttftX
y
tX
t1)(
)0(
0)0(
0
.
(2.20)
La solución será, una función impulso-respuesta,
t
m
tX DeD
tc 2
21sen
1
1)(
(2.21)
donde,
m
cD
m
k
2
De esta manera, una fuerza arbitraria f(t) puede ser considerada como una suma
de pequeños momentos en diferentes intervalos de tiempos. Por esto, es posible
escribir una integral para la vibración forzada causada por una excitación
cualquiera.
')'(1sen)(1
1)( 2
0
)'('
2dtttDtf
DmtX
tttc
e
(2.22)
Es importante señalar que en las máquinas rotativas, desde el punto de vista
práctico siempre está presente un valor de excentricidad e, lo que provoca la
aparición de fuerzas desequilibradoras. Este fenómeno está presente incluso en
máquinas nuevas y con el tiempo de funcionamiento puede alcanzar valores no
permisibles. En las máquinas de eje horizontal la excentricidad siempre está
afectada por el peso del sistema en rotación y se puede estimar con adecuada
precisión las magnitudes de las fuerzas desequilibradoras.
Otro aspecto de interés es el hecho que la amplitud de las vibraciones generadas
durante la rotación, estén influenciadas, además de la excentricidad, por la rigidez
50
resultante del sistema, que está conformada por la rigidez del eje y de los
soportes.
La necesidad de establecer una posible relación entre el estado técnico de los
equipos, como la pieza del soporte de mayor interés, desde el punto de vista del
mantenimiento y la respuesta estructural de los equipos, inducen la realización de
una investigación teórica, que aporte nuevas informaciones para un diagnóstico
más preciso.
2.2 Métodos para solución rotodinámica
Para iniciar el estudio del comportamiento rotodinámico de los principales
sistemas rotatorios es necesario elaborar un modelo de la máquina real, donde
se tengan en cuenta los distintos factores que definen la respuesta estructural del
sistema estudiado. En la medida en que se incluyen más variables en el modelo,
para lograr una descripción más precisa, el grado de complejidad del
procesamiento aumenta notablemente.
Se han usado varios métodos para la solución de la ecuación fundamental del
movimiento en los principales sistemas rotatorios . Han demostrado su efectividad
el Método de Elementos Finitos y el MBS (Multi Body Sistem). En ambos casos se
consigue una discretización de la estructura analizada y las ecuaciones son
resueltas por métodos numéricos, obteniendo una solución global por la
integración de las múltiples soluciones de cada parte o elemento en que se ha
divido la máquina.
La solución de la ecuación,
)(...
tfxKxCxM
(2.23)
por Elementos Finitos, generalmente se efectúa teniendo en cuenta las
características geométricas y dimensionales del sistema Alternador-Eje-Turbina
que son incluidas en la matriz de masa [M], las propiedades elásticas del sistema
51
y de los cojinetes se incluyen en la matriz de rigidez [K] y las características de
amortiguación son tenidas en cuenta en la matriz [C]. Generalmente la matriz [C]
es presentada como [C + G], pues se incluye también el efecto giroscópico G.
La elaboración práctica del modelo por FEM permite realizar una correcta
aproximación de varios de los valores de entrada para el cálculo, como las masas
y las dimensiones geométricas fundamentales, dadas por los momentos de
inercia, áreas de secciones y longitudes. Puede simularse con adecuada precisión
la masa añadida por el agua durante el funcionamiento y el efecto giroscópico al
depender del momento polar de inercia.
Los valores de la matriz de rigidez [K] se calculan teóricamente o se determinan
de forma experimental. Sin embargo estos valores pueden ser afectados durante
el funcionamiento de la máquina y la matriz [K] podría modificarse por la holgura
del eje y el cojinete por los cambios de viscosidad del aceite, debido a las
variaciones de temperatura. Aunque la rigidez del eje permanece invariable, la
matriz [K] se conforma también con la rigidez que aportan los soportes y los
cojinetes y este aspecto debe tenido en cuenta
En varias soluciones del problema rotodinámico se introducen restricciones para
simplificar los cálculos. En muchos modelos se supone que la rigidez de los
soportes no afectan el comportamiento dinámico y que la rigidez de la película de
aceite es mucho mayor que la rigidez del soporte y la fundación. También en otras
aproximaciones el eje y la turbina son considerados cuerpos rígidos, para facilitar
la solución global, pero ambos tienen un comportamiento dinámico propio, que no
deben ser obviados, sobre todo en tareas de perfeccionamiento de diseño.
El software (SolidWorks Simulation) utilizado, utiliza la ecuación (2.23) y conforma
las diferentes matrices, teniendo en cuenta las características geométricas de la
máquina y los valores de los coeficientes dinámicos que definen las propiedades
de los cojinetes. La preparación de los datos de entrada para el cálculo es un
momento que requiere especial atención. Es necesario conocer la geometría del
eje, posición y propiedades inerciales de los elementos de masa que serán
modelados, como turbina, alternador y acoplamientos, las propiedades de los
52
materiales, velocidad de funcionamiento y características dinámicas y ubicación
de los cojinetes. Los resultados que se obtienen, frecuencias naturales,
parámetros de estabilidad y radio de amortiguamiento, modos propios, y
reacciones en los apoyos y tensiones, es la consecuencia de un cálculo estático y
dinámico de resistencia, combinado con el método.
Como se ha explicado anteriormente el objetivo de la simulación se centrará en la
determinación de los parámetros modales. Un aspecto de gran interés de la
investigación es poder determinar el rango de variación de las propiedades físico-
geométricas de los modelos de estudio y la posible influencia de estas variaciones
en el comportamiento modal de estas máquinas.
Es importante tener en cuenta que el software SolidWorks Simulation es un
programa que trabaja con la ecuación [2.23] que necesita ser manipulado por una
persona que tenga conocimiento del tema, pues, hay que conocer los principios
básicos del método de elementos finitos para saber qué soluciones estamos
obteniendo y qué error pude haber con respecto a la realidad. Debemos conocer
que para obtener buenos resultados tenemos que simular con detalles la
geometría que el objeto de estudio y determinar las propiedades físicas de cada
físicas de los elementos, de lo contrario estaríamos obteniendo resultados que no
son reales.
Pasos para el proceso de cálculo
1. Primero es necesario crear las piezas que se van a estudiar con detalle,
utilizando las herramientas que nos provee el programa, así como las
propiedades físicas del material.
2. Si el objeto de estudio es un ensamble, determinar las relaciones de
posición de cada elemento con respecto a los otros, hasta determinar la
ubicación exacta de cada punto según el sistema de referencia.
3. Luego cargar el módulo Simulation para realizar el estudio.
4. Ubicar las cargas y las restricciones en los lugares específicos.
53
5. Mallar los elementos a calcular y delimitar la precisión que se desea, es
decir, definir el tamaño de los elementos finitos.
6. Determinar en las propiedades del estudio cuantas frecuencias propias y
modos de vibración queremos obtener, para el análisis de frecuencia.
7. Ejecutar el estudio
8. Interpretar los resultados.
2.3 Comportamiento rotodinámico según las variaciones de las
características físico-geométricas de sistemas rotatorios.
Los sistemas rotatorios son sistemas muy complejos, capaz de cambiar sus
características de funcionamiento por las variaciones de cualquiera de sus
características físico-geométricas. Todas las máquinas trabajan a una frecuencia
determinada, ya sea por encima de sus valores de frecuencias propias o por
debajo, la frecuencia natural es una característica de cada pieza, ya que esta
posee una masa y una rigidez, pero en el mantenimiento a los equipos se toman
iniciativas de sustituir elementos, producto a roturas o deterioro de las mismas
pero cuyos elementos no tienen las mismas propiedades físicas y es cuando, al
poner de nuevo a funcionar el equipo empiezan a surgir ruidos que van
aumentando, hasta que llega el momento que la máquina puede colapsar. En otro
de los casos se tiene un equipo que se rompió una pieza por un desgaste
excesivo y se procede a recuperarla pero resulta que hay que cambiar sus
dimensiones y todo bien, cuando se pone en funcionamiento el equipo y resulta
que sucede igual que el caso anterior. Otra ocasión se decide darle
mantenimiento a un equipo que le toca el mantenimiento preventivo planificado
(MPP) y la máquina estaba funcionando bien, después de terminado el trabajo el
equipo se pone a trabajar y sucede que comienza a ocurrir lo mismo, se había
cambiado de posición una pieza.
Posteriormente se dará una explicación de por qué estos problemas. Las
vibraciones en una máquina generan ruidos y son un elemento fundamental en el
estudio de la salud del equipo, pues, los defectos fundamentales de una máquina
54
traen como resultado un aumento de las vibraciones del sistema. En vibraciones
siempre hay que tomar en consideración las frecuencias naturales, pues, cuando
se igualan la frecuencia de funcionamiento a la frecuencia natural ocurre algo
llamado RESONANCIA, al ocurrir este fenómeno el sistema oscila con máxima
amplitud, y aunque pueda soportar las cargas a la que está sometido puede fallar,
por un fenómeno que se llama FATIGA, como curiosidad, es importante saber que
el 90% de los elementos de máquina fallan por fatiga.
2.3.1 Demostración de la influencia de la variación de la posición de los
elementos en la respuesta estructural del conjunto
Como se puede observar en la figura 2.5 se tiene un modelo de un conjunto
elaborado en el software SolidWorks el que constituye un modelo característico de
una máquina rotatoria, que tiene una masa que está sobre un árbol y apoyada en
rodamientos que a su vez están en pedestales. Esta será la maqueta de pruebas,
mediante ella se demostrará la importancia del conocimiento de las principales
frecuencias propias que después estarán ligadas al análisis e interpretación de
señales vibratorias y nos permitirá diseñar sistemas que sean menos propensos a
fallar porque hallan alcanzado la resonancia.
Figura 2.5 Modelo de máquina rotatoria general
Rodamiento 1
Disco
Rodamiento 2
Árbol
Geometría fija
55
¿Por qué varía el comportamiento modal del modelo en cuestión cuando variamos
la posición de los elementos? Las vibraciones tienen características particulares
como las frecuencias, sus modos y su grado de amortiguación, al variar la
posición de los elementos de un ensamble con respecto a los otros, este cambia
su forma de responder a diferentes estímulos, en este caso estamos variando la
rigidez del sistema, por esto varían las fuerzas resultantes y por consiguiente los
desplazamientos.
Comportamiento rotodinámico para cuando el disco se encuentra a 10 mm
del rodamiento1
Figura 2.6 Muestra el modelo cuando la masa se encuentra a 10mm del
rodamiento 1
En la figura 2.7 a),b),c) se muestran 3 de las frecuencias principales, sus modos y
cuáles podrían ser los desplazamientos en el caso de que el sistema oscilara a
esa frecuencia.
En la tabla 2.1 Se pueden observar los 10 valores principales de las frecuencias
propias de ese conjunto, que constituye uno de los elementos fundamentales en
la realización de este experimento.
56
Figura 2.7 a),b),c) Resultados del cálculo del MEF para 10 mm de distancia del
rodamiento1
a)
c)
b)
57
Tabla 2.1 Valores de frecuencia para cada modo de vibración
Nº de modo Frecuencia(Rad/seg) Frecuencia(Hertz) Período(Segundos)
1 1381,3 219,84 0,0045487
2 2212,3 352,1 0,0028401
3 2222,1 353,66 0,0028276
4 4238,5 674,58 0,0014824
5 5035,4 801,4 0,0012478
6 5150,5 819,72 0,0012199
7 7077,9 1126,5 0,00088772
8 7653,7 1218,1 0,00082093
9 8482,1 1350 0,00074076
10 8482,9 1350,1 0,00074069
Comportamiento rotodinámico para cuando el disco se encuentra a 30 mm
En la figura 2.8 a),b),c) se muestra el comportamiento de algunos modos de
vibración así como las frecuencias naturales y los desplazamientos según el MEF
para este caso y se puede apreciar que los valores de los desplazamientos se han
incrementado según muestra la escala de colores dada por el software.
En la tabla 2.2 se pueden observar los valores de las frecuencias propias para los
10 modos de vibración principales en este caso, como se puede apreciar los
valores de las frecuencias de los principales modos han sufrido algunos cambios .
Tabla 2.2 Comportamiento frecuencial de la vibración para una distancia de 30
mm del rodamiento1.
Nº de modo Frecuencia(Rad/seg) Frecuencia(Hertz) Período(Segundos)
1 1130,5 179,92 0,0055579
2 1649,8 262,57 0,0038085
3 1668,6 265,57 0,0037654
4 3663,6 583,08 0,001715
5 3911,9 622,59 0,0016062
6 4578,4 728,67 0,0013724
7 7454,4 1186,4 0,00084288
8 7568 1204,5 0,00083023
9 8483 1350,1 0,00074068
10 8485 1350,4 0,0007405
58
Figura 2.8 a),b),c) Resultado del MEF para cuando el disco se encuentra a 30
mm del rodamiento 1
Comportamiento rotodinámico del modelo para cuando el disco se
encuentra en el medio del Árbol(a 150 mm del rodamento1) Material ANSI
1020
b)
a)
c)
59
En la figura 2.9 a),b),c) se muestran 3 de las frecuencias propias principales del
modelo, sus modos y cuáles podrían ser los desplazamientos en el caso de que el
sistema oscilara a esa frecuencia; aquí podemos observar como siguen.
Figura 2.9 a),b),c) Muestra el comportamiento modal cuando el disco se encuentra
el centro del árbol
a)
c)
b)
60
En la tabla 2.3 se puede observar el comportamiento modal del sistema cuando el
disco se encuentra situado a 150 mm del rodamiento 1, como se puede apreciar
los valores de las frecuencias de los principales modos han sufrido algunos
cambios por la variación de la posición del disco.
Tabla 2.3 Muestra el comportamiento de los principales modos de vibración para
el modelo para una distancia de150 mm del rodamiento 1.
Nº de modo Frecuencia(Rad/seg) Frecuencia(Hertz) Período(Segundos)
1 1064,3 169,39 0,0059035
2 1492,5 237,54 0,0042099
3 1513,5 240,88 0,0041515
4 3169,7 504,47 0,0019823
5 3281,5 522,26 0,0019148
6 4396,9 699,78 0,001429
7 8482,2 1350 0,00074075
8 8483,7 1350,2 0,00074062
9 9088,1 1446,4 0,00069136
10 10517 1673,9 0,00059741
Demostración de la influencia de la variación del material en la respuesta
estructural del sistema
¿Cómo influyen las variaciones de material en la respuesta vibratoria en los
sistemas rotatorios?
En este caso hay que tener en cuenta que cada material posee características
propias del módulo de elasticidad, dureza, densidad, límite de rotura, de
elasticidad, entre otras propiedades; las que definen su comportamiento al oscilar.
Al cambiar estas propiedades el sistema comienza a responder de una forma
totalmente diferente, ya que hemos cambiado su masa y su rigidez, la masa de un
cuerpo depende directamente de la densidad y la rigidez, del módulo de
elasticidad. Estos cambios en la estructura del sistema pueden provocar la
resonancia lo que podría representar la rotura del sistema.
61
Comportamiento modal del modelo para un conjunto de bronce al estaño
En la figura 2.10 se puede observar cómo cambia el comportamiento modal del
sistema al cambiar las propiedades físico-químicas de los elementos del conjunto.
Figura 2.10 a),b),c) Muestra el resultado del MEF para un bronce al estaño
Posteriormente se listan las frecuencias propias correspondientes a sus modos en
la taba 2.4 donde se representan los modos y las frecuencias en diferentes
unidades y como se pude observar, ha variado la respuesta modal del sistema
producto a la variación de sus parámetros fundamentales: la masa y la rigidez.
a)
b)
c)
62
Tabla 2.4 muestra el resultado del MEF de las frecuencias propias.
Nº de modo Frecuencia(Rad/seg) Frecuencia(Hertz) Período(Segundos)
1 1058,4 168,44 0,0059368
2 1501,8 239,02 0,0041838
3 1522,8 242,36 0,0041262
4 3200,2 509,33 0,0019633
5 3315,7 527,71 0,001895
6 4451,1 708,41 0,0014116
7 8436 1342,6 0,0007448
8 8436,5 1342,7 0,00074476
9 9243,9 1471,2 0,00067971
10 10594 1686 0,00059311
Comportamiento del sistema cuando su material es aleación de aluminio
1060
En la figura 2.11 a),b),c) se representan los tres primeros modos de vibración del
modelo de estudio para una aleación de aluminio 1060, la cual posee propiedades
físicas y químicas diferentes a los materiales anteriormente utilizados.
En la tabla 2.5 se puede observar el comportamiento modal del sistema cuando
su material es una aleación de aluminio 1060 en el que se destacan las
frecuencias más importantes.
Tabla 2.5 Muestra el resultado del MEF para una aleación de aluminio 1060
Nº de modo Frecuencia(Rad/seg) Frecuencia(Hertz) Período(Segundos)
1 762,16 121,3 0,008244
2 1081,5 172,13 0,0058097
3 1096,6 174,53 0,0057297
4 2304,6 366,79 0,0027264
5 2387,7 380,02 0,0026314
6 3205,4 510,15 0,0019602
7 6075,1 966,88 0,0010343
8 6075,4 966,93 0,0010342
9 6656,9 1059,5 0,00094386
10 7628,9 1214,2 0,0008236
63
Figura 2.11 Se muestra el comportamiento modal del sistema para una aleación
de aluminio 1060
Comportamiento modal del sistema variando el diámetro del disco
En la figura 2.12 a),b),c) se representan los tres primeros modos de vibración del
sistema para un diámetro del disco de 220 mm, lo cual provoca una variación de
la masa que es una componente principal en la frecuencia natural del modelo.
a)
b)
c)
64
Figura 2.12 a),b),c) Muestra el resultado del cálculo del MEF para un diámetro del
disco de 220 mm
En la tabla 2.6 se listan las frecuencias resonantes del sistema cuando el diámetro
del disco es de 220 mm y como se pude observar han variado en su magnitud al
variar su masa producto a la variación del diámetro.
a)
b)
c)
65
Tabla 2.6 Muestra el resultado del cálculo de las frecuencias naturales del sistema
cuando el diámetro del disco es de 220 mm
Nº de modo Frecuencia(Rad/seg) Frecuencia(Hertz) Período(Segundos)
1 628.66 100.05 0.0099946
2 996.31 158.57 0.0063065
3 1010.6 160.85 0.0062171
4 1914.1 304.63 0.0032826
5 1964 312.57 0.0031993
6 2834.6 451.14 0.0022166
7 4989 794.03 0.0012594
8 4989.5 794.11 0.0012593
9 6070 966.08 0.0010351
10 7554.2 1202.3 0.00083174
En la figura 2.13 se puede observar el comportamiento modal del sistema cuando
el diámetro del exterior disco es de 240 mm, y como se puede ver el valor de las
frecuencias naturales han disminuido con respecto al caso anterior.
En la tabla 2.7 se muestra el resultado del cálculo y se pude apreciar que el valor
de las frecuencias resonantes ha cambiado.
Tabla 2.7 Muestra el resultado del MEF para un diámetro del disco de 240 mm
Nº de modo Frecuencia(Rad/seg) Frecuencia(Hertz) Período(Segundos)
1 528,83 84.165 0,011881
2 923,21 146,93 0,0068058
3 936,42 149,04 0,0067098
4 1605,1 255,46 0,0039145
5 1639,1 260,87 0,0038334
6 2503,5 398,44 0,0025098
7 4171,7 663,94 0,0015062
8 4172 664 0,001506
9 5625,8 895,38 0,0011169
10 7493,3 1192,6 0,00083851
66
Figura 2.1 a),b),c) Muestra comportamiento frecuencial según el MEF para un
diámetro del disco de 240 mm
67
Como se ha podido observar en los sistemas vibratorios las frecuencias y los
grados de amortiguación pueden ser variados por las variaciones de las
posiciones de las piezas en el conjunto, las variaciones de los materiales de los
que se conforman las piezas y por las variaciones de las dimensiones de
cualquiera de sus componentes, por lo que es importante tener en cuenta estos
factores al realizar una actividad que los involucre, ya que su desconocimiento
podría causar daños catastróficos en el caso de grandes máquinas que trabajen a
grandes velocidades como las turbinas que deben trabajar en regímenes, en los
cuales estos factores podrían medir el paso de la vida a la muerte de las personas
involucradas en su funcionamiento, además, causaría un gran daño a la economía
pues la adquisición de estas grandes máquinas rotatorias es difícil por su alto
costo.
2.3.2 Estudio de sensibilidad
En el estudio de las vibraciones los análisis modales son muy importantes, por
eso es necesario determinar cuan importantes son los parámetros que puede
variar su comportamiento, como fue comprobado en el epígrafe anterior.
Anteriormente pudimos determinar que la variación de la posición de los
componentes varían la constante de rigidez del sistema los que provoca un
cambio de su respuesta frecuencial, lo mismo ocasiona la variación del material,
solo que esta vez también cambia la masa de sus componentes, los dos factores
más importantes que determinan el comportamiento del sistema, en el otro caso
donde se varían las dimensiones de las piezas solo varía la masa.
En la tabla 2.8 se muestra el comportamiento frecuencial del modelo cuando se
varió la posición del disco en el árbol, es decir, el resultado del MEF para cuando
se encueta el disco a la distancia referida del rodamiento 1 y como podemos
observar la variación de las frecuencias en los cinco modos principales se
encuentra en el rango desde 50-280Hz.
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Tabla2.8 Comportamiento de las frecuencias cuando varía la posición
Nº de modo Frecuencia(Hertz) Frecuencia(Hertz) Frecuencia(Hertz)
distancia de 10 mm distancia de30 mm Distancia de150 mm
1 219,84 179,92 169,39
2 352,1 262,57 237,54
3 353,66 265,57 240,88
4 674,58 583,08 504,47
5 801,4 622,59 522,26
En la tabla 2.9 se puede observar el resultado del MEF para cuando utilizamos
diferentes materiales en el modelo, manteniendo la misma posición y como
podemos observar en los valores principales la frecuencia tienen una variación de
48-142 Hz.
Tabla 2.9 Muestra el resultado frecuencial del MEF para diferentes materiales
Nº de modo Frecuencia(Hertz) Frecuencia(Hertz) Frecuencia(Hertz)
ANSI 1020 Bronce al estaño Aleación de aluminio 1060
1 169.39 168,44 121.3
2 237.54 239,02 172.13
3 240.88 242,36 174.53
4 504.47 509,33 366.79
5 522.26 527,71 380.02
En la tabla 2.10 se observa el comportamiento frecuencial de los modos
principales del modelo para cuando se varía el diámetro exterior del disco y como
se puede ver las frecuencias naturales tuvieron una variación desde 84-266 Hz.
Tabla 2.9 Muestra el resultado frecuencial del MEF para diámetros del disco
Nº de modo Frecuencia(Hertz) Frecuencia(Hertz) Frecuencia(Hertz)
Disco Ø200mm Disco Ø220mm Disco Ø240mm
1 168.44 100.05 84.165
2 239.02 158.57 146.93
3 242.36 160.85 149.04
4 509.33 304.63 255.46
5 527.71 312.57 260.87
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Como se puede observar anteriormente el factor que más varía la respuesta
frecuencial de un sistema rotatorio es la variación de sus características
geométricas de las piezas, esta varía directamente la masa que una de las
componentes fundamentales en el cálculo de las frecuencias naturales de las
máquinas rotatorias.
2.4 Propuesta de laboratorio
Objetivos de la práctica de laboratorio:
Enriquecer el proceso de aprendizaje de los estudiantes de la carrera de
ingeniería mecánica a cerca de los análisis modales.
Con la realización de este trabajo se demuestra que la respuesta modal de un
sistema rotatorio depende de varios factores, antes mencionados como son: la
posición de los elementos en el conjunto, los materiales de las piezas y sus
dimensiones; es muy importante su conocimiento para elaborar el diseño de una
máquina rotatoria, para su explotación y su posterior mantenimiento. Por estas
razones se propone realizar un estudio de los factores que determinan la
respuesta estructural del sistema a varios modelos de sistemas rotatorios para
que los estudiantes de la carrera Ingeniería Mecánica de la Universidad de
Holguín puedan lograr una mayor preparación en estas cuestiones para que una
vez egresados del centro sean capaces de resolver problemas que pudieran surgir
en equipos reales y así se logre una mayor eficiencia de los equipos en
explotación y evitando que ocurran la menor cantidad de fallas imprevistas.
Posteriormente se listan los aspectos a tener en cuenta para la realización de esta
actividad de laboratorio.
1. Abrir el software SolidWorks y realizar los modelos correspondientes o
abrirlos.
2. Cargar el módulo Simulation y crear un nuevo estudio de frecuencia.
3. Determinar el material de cada uno de los componentes.
70
4. Definir los contactos entre las piezas.
5. Determinar las restricciones (Apoyos).
6. Ubicar las cargas existentes.
7. Crear la malla y definir el tamaño de los elementos finitos.
8. Calcular el modelo.
Después de realizados los cálculos del primer estudio crear otros en los que se
varíen las posiciones de las piezas en el conjunto, los materiales de las piezas
y las dimensiones de cada una de ellas, luego, interpretar los resultados para
llegar a conclusiones.
Impacto económico
El estudio de las vibraciones es necesario en todas las carreras de ingeniería,
pues, un mal control de ellas provocaría granes daños materiales y pérdida de
vidas humanas.
Es importante reconocer que en ocasiones las vibraciones son buenas y en otros
casos provocan grandes daños. Las máquinas de gran responsabilidad si no se
tiene control de su diseño, su explotación y su mantenimiento pueden ocasionar
destrucción de estructuras, así como de la humanidad. Su falla podría terminar
con la vida de sus operarios u otras personas y ocasionar prejuicios a la economía
por el gran costo de reparación o de compra de esto equipos, por no controlar
factores tan importantes como las vibraciones y sus frecuencias resonantes.
Contribución a la defensa de la Patria
La monitorización y control de las vibraciones en las máquinas rotatorias es válido
para cualquier equipo, no importa lo grande o pesado que esta sea. Las
frecuencias propias, los modos de vibración y los grados de amortiguación no
exceptúan a nada que tenga una masa y un movimiento oscilatorio. Si la
frecuencia de una máquina de guerra, un transporte de personal u otro equipo de
71
una fábrica se iguala a una de sus frecuencias naturales principales con grados
de amortiguación relativamente bajos este podría fallar e incluso colapsar.
Es importante tener el control del funcionamiento de un equipo porque a través de
su explotación hay que darle mantenimiento, operarlo continuamente e incluso en
alguno de los casos rediseñarlo y para todas estas cuestiones el control de su
respuesta frecuencial juega un papel primordial para poder defender lo logrado
con efectividad.
72
CONCLUSIONES
1. Se pudo determinar satisfactoriamente que la posición de las piezas en un
conjunto mecánico determinan el comportamiento modal vibratorio en las
máquinas rotatorias, pues, esto provoca variaciones en la constante de
rigidez del sistema, por lo que varía la frecuencia natural y es de vital
importancia a la hora de efectuar un mantenimiento o un rediseño de un
sistema rotodinámico.
2. Es importante tener en cuenta la composición química de los materiales
cuando se va a realizar una sustitución de algún elemento en el conjunto,
pues, su variación puede provocar una variación de los parámetros físicos
de un sistema vibratorio, es decir, un cambio de la masa de los elementos y
de la constante de rigidez del sistema, producto de la variación de la
densidad y el módulo de elasticidad respectivamente.
3. La variación de las dimensiones de las piezas en un equipo produce un
cambio de la respuesta estructural de la máquina rotatoria, pues, varía la
masa porque varía el volumen de los elementos y por consiguiente esta
varía las frecuencias de resonancia principales, es decir, que su respuesta
frecuencial no va a ser la misma que antes de la transformación, por lo que
constituye uno de los aspectos principales a tener en cuenta a la hora de
realizar algún cambio geométrico de un equipo, ya que se demostró que es
un factor que puede provocar una gran variación de la respuesta vibratoria
de un equipo.
4. Con la puesta en práctica de la proposición de laboratorio los estudiantes
de la carrera Ingeniería Mecánica serán capaces de resolver problemas
basados en sistemas rotodinámicos, además, podrán detectar en la
práctica por qué un sistema entra en resonancia y además podrá proponer
soluciones viables para corregir errores, basándose en algunos de los
factores que varían el comportamiento modal de un sistema rotodinámico.
73
5. Este estudio constituye una de las partes del análisis vibratorio que es el
diagnóstico fundamental de un equipo para saber su estado técnico y
constituye una herramienta fundamental en el mantenimiento predictivo, es
el que permite disminuir el tiempo de reparaciones de un sistema y
aumentar el tiempo de trabajo por lo que aumenta su productividad y
disminuye los gastos por mantenimiento.
74
Recomendaciones
1. Realizar la propuesta de laboratorio de informática para lograr que los
estudiantes, una vez egresados de la Universidad sean capaces de
detectar fallas en máquinas rotatorias relacionadas con las cuestiones
antes abordadas.
2. Realizar cursos para las personas que están vinculadas con la operación,
el mantenimiento y el diseño de máquinas rotatorias para que no sucedan
fallas relacionadas con la resonancia en máquinas rotatorias.
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