facultad de humanidades y ciencias de las...
TRANSCRIPT
1
FA
CU
LT
AD
DE
HU
MA
NID
AD
ES
Y C
IEN
CIA
S D
E L
AS
ED
UC
AC
IÓN
UNIVERSIDAD DE JAÉN Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educación
Trabajo Fin de Grado
Propuesta didáctica emanada del análisis de la media aritmética y su
relación con los elementos del currículo actual en un libro de texto
de sexto curso de Educación Primaria
Alumno: SERGIO CALLEJAS DELGADO
Tutor: Prof. D. Antonio Estepa Castro
Dpto.: Didáctica de las Ciencias
Junio, 2014
2
ÍNDICE DE CONTENIDOS
Pág.
RESUMEN………………………………………………………………………. 3
INTRODUCCIÓN………………………………………………………………. 4
1. MARCO NORMATIVO DEL TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN
EN EL ÁREA DE MATEMÁTICAS EN 3º CICLO DE EDUCACIÓN
PRIMARIA…………………………………………………………………...
6
1.1. Objetivos………………………………………………………………... 6
1.2. Contenidos……………………………………………………………… 7
1.3. Contribución del Tratamiento de la Información al desarrollo de las
Competencias Básicas……………………………………………………
8
2. ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA EN LOS PROCESOS
DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS…………
9
2.1. Teoría de la idoneidad didáctica y sus indicadores……………………... 10
3. ANÁLISIS DE LA MEDIA ARITMÉTICA EN UN LIBRO DE TEXTO
DE SEXTO CURSO DE EDUCACIÓN PRIMARIA………………………..
14
3.1. Definición de media aritmética…………………………………………. 14
3.2. Estudio de la media aritmética en el libro de texto de Anaya (Ferrero et
al., 2009)…………………………………………………………………
15
4. PROPUESTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE
DEL CONTENIDO DE MEDIA ARITMÉTICA EN SEXTO DE
EDUCACIÓN PRIMARIA…………………………………………………...
20
4.1. Ejercicios sobre la media aritmética en el libro de texto de Anaya
(Ferrero et al., 2009)……………………………………………...
20
4.2. Propuesta didáctica de enseñanza de la media aritmética………………. 22
CONCLUSIONES FINALES…………………………………………………… 33
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS…………………………………………... 34
ANEXOS………………………………………………………………………... 37
- Fotocopia del tema del libro de texto objeto de estudio………………… 38
3
RESUMEN
El objetivo de este trabajo es analizar cómo se aborda el contenido de la media aritmética
dentro del bloque de contenidos de Tratamiento de la Información, azar y probabilidad,
incluidos en el currículo para la etapa de Educación Primaria en la Comunidad Autónoma de
Andalucía, en un determinado libro de texto de sexto curso de Educación Primaria. Dicho
análisis se llevó a cabo mediante la noción de idoneidad didáctica introducida en el marco del
enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática. El análisis no se pudo
llevar a cabo desde un punto de vista práctico en el aula, sino que tuvo que realizarse de
manera teórica a través del libro de texto. Para finalizar, se incluye una propuesta-unidad
didáctica para trabajar y desarrollar de forma práctica en el aula el contenido de la media
aritmética para dicho curso de 6º de Educación Primaria.
Palabras clave: enseñanza y aprendizaje, idoneidad didáctica, educación matemática,
educación primaria.
ABSTRACT
The aim of this study was to analyze how the arithmetic mean is developed within the block
of content on Treatment of Information, random and probability included in the curriculum
for the stage of primary education in Andalusia, within a textbook of sixth grade of primary
education. That analysis was undertaken by the notion of educational adequacy introduced
within the onto-semiotic approach of the mathematics teaching and knowledge. The analysis
could not carry out through praxis in ordinary class; instead, it was conducted in theory
through the textbook. To conclude, a teaching unit is included for developing and working in
class the arithmetic mean for a sixth grade of primary education.
Keywords: teaching and learning, educational adequacy, mathematics education, primary
education.
4
INTRODUCCIÓN
Según el Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las Enseñanzas
Mínimas de la Educación Primaria, las matemáticas son un conjunto de saberes asociados en
una primera aproximación a los números y las formas, que se van progresivamente
completando hasta constituir un modo valioso de analizar de situaciones variadas. Permiten
estructurar el conocimiento que se obtiene de la realidad, analizarla y lograr una información
nueva para conocerla mejor, valorarla y tomar decisiones. Las matemáticas permiten el
tratamiento de una gran variedad de situaciones y una información más rica. Por ello, a lo
largo de la escolaridad básica, el aprendizaje de las matemáticas debe dirigirse a enriquecer
sus posibilidades de utilización.
Así, las matemáticas se entienden como un conjunto de ideas y formas de actuar que
conllevan no sólo utilizar cantidades y formas geométricas, sino sobre todo, hacerse
preguntas, obtener modelos e identificar relaciones y estructuras, de modo que, al analizar los
fenómenos y situaciones que se presentan en la realidad, se puedan obtener informaciones y
conclusiones que inicialmente no estaban explícitas. Concebidas de esta forma, las
matemáticas incorporan las características que se identifican con la deducción, la precisión,
el rigor, la seguridad, estimación, aproximación, probabilidad y tentativa, y mejoran la
capacidad de enfrentarse a situaciones abiertas, sin solución única y cerrada.
Todo ello se refleja en la doble función que se viene dando al aprendizaje escolar de las
matemáticas: se aprende matemáticas porque son útiles en otros ámbitos (en la vida cotidiana,
en el mundo laboral, para aprender otras cosas...) y, también, por lo que su aprendizaje aporta
a la formación intelectual general, en concreto las destrezas susceptibles de ser utilizadas en
una amplia gama de casos particulares, y que contribuyen a potenciar capacidades cognitivas
de niños y niñas.
En la Educación Primaria se busca alcanzar una eficaz alfabetización numérica, entendida
como la capacidad para enfrentarse con éxito a situaciones en las que intervengan los números
y sus relaciones, permitiendo obtener información efectiva, directamente o a través de la
comparación, la estimación y el cálculo mental o escrito. Es importante resaltar que para
lograr una verdadera alfabetización numérica no basta con dominar los algoritmos de cálculo
escrito, se precisa también, y principalmente, actuar con confianza ante los números y las
cantidades, utilizarlos siempre que sea pertinente e identificar las relaciones básicas que se
dan entre ellos.
5
El sentido del área de Matemáticas en la Educación Primaria es eminentemente experiencial;
los contenidos de aprendizaje toman como referencia lo que resulta familiar y cercano al
alumnado. Los niños y las niñas deben aprender matemáticas utilizándolas en contextos
funcionales relacionados con situaciones de la vida diaria, para adquirir progresivamente
conocimientos más complejos a partir de las experiencias y los conocimientos previos.
Los procesos de resolución de problemas constituyen uno de los ejes principales de la
actividad matemática y deben ser fuente y soporte principal del aprendizaje matemático
a lo largo de la etapa, puesto que constituyen la piedra angular de la educación matemática.
En la resolución de un problema se requieren y se utilizan muchas de las capacidades básicas:
leer comprensivamente, reflexionar, establecer un plan de trabajo que se va revisando durante
la resolución, modificar el plan si es necesario, comprobar la solución si se ha encontrado,
hasta la comunicación de los resultados.
Los contenidos del área de Matemáticas para el tercer ciclo de E. Primaria se han organizado
en cuatro bloques: Números y operaciones, Medida, Geometría y Tratamiento de la
información, azar y probabilidad. Es preciso advertir que esta agrupación es sólo una forma
de organizar los contenidos, que habrán de abordarse de manera relacionada, siendo la
resolución de problemas el eje vertebrador de todos los bloques.
Con respecto a nuestro objeto de estudio vamos a centrarnos en el Bloque de Contenidos
número 4 que se corresponde con el Tratamiento de la información, azar y probabilidad. El
trabajo ha de incidir de forma significativa en la comprensión y análisis crítico de las
informaciones de los medios de comunicación suscitando el interés por los temas y ayudar a
valorar el beneficio que los conocimientos estadísticos proporcionan en la toma de decisiones
y sobre cuestiones que estudian otras áreas. Además, en dicho bloque tienen especial
importancia los contenidos actitudinales, que favorecen la presentación de los datos de forma
ordenada y gráfica, y permiten descubrir que las matemáticas facilitan la resolución de
problemas de la vida diaria.
6
1. MARCO NORMATIVO DEL TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN EN EL
ÁREA DE MATEMÁTICAS EN 3º CICLO DE EDUCACIÓN PRIMARIA
1.1. Objetivos
Según el Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las Enseñanzas
Mínimas de la Educación Primaria, todos los objetivos del área de Matemáticas de Tercer
Ciclo de Educación Primaria se relacionan con nuestro objeto de estudio de alguna manera.
En particular los objetivos 1, 6 y 8 se relacionan de manera más intensa y que exponemos a
continuación:
1. Utilizar el conocimiento matemático para comprender, valorar y producir
informaciones y mensajes sobre hechos y situaciones de la vida cotidiana y
reconocer su carácter instrumental para otros campos de conocimiento.
2. Reconocer situaciones de su medio habitual para cuya comprensión o tratamiento se
requieran operaciones elementales de cálculo, formularlas mediante formas sencillas
de expresión matemática o resolverlas utilizando los algoritmos correspondientes,
valorar el sentido de los resultados y explicar oralmente y por escrito los procesos
seguidos.
3. Apreciar el papel de las matemáticas en la vida cotidiana, disfrutar con su uso y
reconocer el valor de actitudes como la exploración de distintas alternativas, la
conveniencia de la precisión o la perseverancia en la búsqueda de soluciones.
4. Conocer, valorar y adquirir seguridad en las propias habilidades matemáticas para
afrontar situaciones diversas, que permitan disfrutar de los aspectos creativos,
estéticos o utilitarios y confiar en sus posibilidades de uso.
5. Elaborar y utilizar instrumentos y estrategias personales de cálculo mental y medida,
así como procedimientos de orientación espacial, en contextos de resolución de
problemas, decidiendo, en cada caso, las ventajas de su uso y valorando la coherencia
de los resultados.
6. Utilizar de forma adecuada los medios tecnológicos tanto en el cálculo como en la
búsqueda, tratamiento y representación de informaciones diversas.
7. Identificar formas geométricas del entorno natural y cultural, utilizando el
conocimiento de sus elementos y propiedades para describir la realidad y desarrollar
nuevas posibilidades de acción.
7
8. Utilizar técnicas elementales de recogida de datos para obtener información sobre
fenómenos y situaciones de su entorno; representarla de forma gráfica y numérica y
formarse un juicio sobre la misma.
1.2. Contenidos
Los contenidos objeto de este estudio están establecidos en el marco normativo para el área de
Matemáticas de Tercer Ciclo de Educación Primaria pertenecientes al Bloque de Contenidos
número 4 de Tratamiento de la Información, azar y probabilidad, según el Real Decreto
1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las Enseñanzas Mínimas de la
Educación Primaria. Dichos contenidos son los siguientes:
Gráficos y parámetros estadísticos
- Recogida y registro de datos utilizando técnicas elementales de encuesta, observación
y medición.
- Distintas formas de representar la información. Tipos de gráficos estadísticos.
- Valoración de la importancia de analizar críticamente las informaciones que se
presentan a través de gráficos estadísticos.
- La media aritmética, la moda y el rango, aplicación a situaciones familiares.
- Disposición a la elaboración y presentación de gráficos y tablas de forma ordenada y
clara.
- Obtención y utilización de información para la realización de gráficos.
Carácter aleatorio de algunas experiencias
- Presencia del azar en la vida cotidiana. Estimación del grado de probabilidad de un
suceso.
- Valoración de la necesidad de reflexión, razonamiento y perseverancia para superar
las dificultades implícitas en la resolución de problemas.
- Confianza en las propias posibilidades e interés por utilizar las herramientas
tecnológicas en la comprensión de los contenidos funcionales.
8
1.3. Contribución del Tratamiento de la información al desarrollo de las Competencias
Básicas para Primaria
Los contenidos del área de Matemáticas se orientan, de manera prioritaria, a garantizar el
mejor desarrollo de la competencia matemática en todos y cada uno de sus aspectos,
incluyendo los conocimientos y las destrezas imprescindibles para ello. Pero además, dichos
contenidos también contribuyen de forma importante al desarrollo de las demás competencias
básicas necesarias para la formación integral del alumnado que les permita desenvolverse
adecuadamente en su vida cotidiana fuera del aula.
El desarrollo del pensamiento matemático contribuye a la competencia en el conocimiento e
interacción con el mundo físico porque hace posible una mejor comprensión y una
descripción más ajustada del entorno. Por ejemplo, la destreza en la utilización de
representaciones gráficas para interpretar la información aporta una herramienta muy valiosa
para conocer y analizar mejor la realidad.
Las Matemáticas contribuyen a la adquisición de la competencia en tratamiento de la
información y competencia digital en varios sentidos. Por una parte, a través de los
contenidos del bloque número 4 de tratamiento de la información, azar y probabilidad, se
contribuye a la utilización de los lenguajes gráfico y estadístico para interpretar la
información sobre la realidad. Y por otra parte, y unida al desarrollo de la competencia
digital, la iniciación al uso de calculadoras y de herramientas tecnológicas para facilitar la
comprensión de contenidos matemáticos.
Los contenidos asociados a la resolución de problemas constituyen la principal aportación que
desde el área se puede hacer a la autonomía e iniciativa personal. La resolución de
problemas desarrolla la planificación, la gestión de los recursos y la valoración de los
resultados. En la medida en que la enseñanza de las matemáticas incida en estos procesos y se
planteen situaciones y problemas abiertos y verdaderos, se mejorará la contribución del área a
esta competencia.
El carácter instrumental de una parte importante de los contenidos del área proporciona valor
para el desarrollo de la competencia para aprender a aprender. Contenidos relacionados con
la autonomía, la perseverancia y el esfuerzo, la sistematización, la mirada crítica, la habilidad
para comunicar con eficacia los resultados o la verbalización del proceso seguido en el
aprendizaje potencia el desarrollo de estrategias que facilitan el aprender a aprender.
9
Para fomentar el desarrollo de la competencia en comunicación lingüística desde el área de
Matemáticas se trata tanto de facilitar la expresión como de propiciar la escucha de las
explicaciones de los demás, lo que desarrolla la propia comprensión, el espíritu crítico y la
mejora de las destrezas comunicativas.
Las Matemáticas contribuyen a la competencia en expresión cultural y artística desde la
consideración del conocimiento matemático como contribución al desarrollo cultural de la
humanidad. Así mismo, el reconocimiento de las relaciones y formas geométricas ayuda en el
análisis de determinadas producciones artísticas.
La aportación a la competencia social y ciudadana se refiere, como en otras áreas, al trabajo
en equipo que en Matemáticas adquiere una dimensión singular si se aprende a aceptar otros
puntos de vista distintos al propio, en particular a la hora de utilizar estrategias personales de
resolución de problemas.
2. ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA EN LOS PROCESOS DE
ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
La Didáctica de las Matemáticas como campo de investigación ha ido adquiriendo una cierta
consolidación a nivel internacional. Sin embargo, el énfasis de las investigaciones en la
práctica educativa de las matemáticas se han centrado en los planteamientos descriptivos
relativos a aspectos parciales del proceso de instrucción (psicológicos, sociológicos,
epistemológicos…) sin tener en cuenta el componente tecnológico de la educación
matemática (Godino, 2011). Es necesaria una acción efectiva para mejorar los procesos de
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas mediante teorías educativas y curriculares
(facetas epistémica y ecológica), teorías del aprendizaje (facetas cognitiva y afectiva) y teorías
de diseño instruccional para la práctica educativa.
Este trabajo de análisis de la actividad matemática en un texto de 6º de Educación Primaria lo
vamos a abordar desde el punto de vista del “enfoque ontosemiótico” (EOS) del conocimiento
y de la instrucción matemática (Godino, 2002; Godino, Batanero y Font, 2007). Utilizaremos
la noción de idoneidad didáctica y los indicadores didácticos que la desarrollan para
comprobar y analizar la adecuación de los libros de texto para 6º de E. Primaria (Godino,
Contreras y Font, 2006; Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2006).
10
2.1. Teoría de la idoneidad didáctica y sus indicadores
La noción de idoneidad didáctica, sus dimensiones, criterios, y un desglose operativo de dicha
noción, ha sido introducida en el EOS (Godino, Contreras y Font, 2006; Godino, Bencomo,
Font y Wilhelmi, 2007) como herramienta que permite el paso de una didáctica descriptiva –
explicativa a una didáctica normativa, es decir, una didáctica que se orienta hacia la
intervención efectiva en el aula. Consideramos que esta noción puede servir de punto de
partida para una teoría de diseño instruccional (Teoría de la Idoneidad Didáctica) que tenga en
cuenta, de manera sistémica, las dimensiones epistémica – ecológica, cognitiva – afectiva,
interaccional – mediacional implicadas en los procesos de estudio de las áreas curriculares
específicas.
La idoneidad didáctica de un proceso de instrucción se define como la articulación coherente
y sistémica de las seis componentes (Godino, Batanero y Font, 2007). A continuación paso a
describir cada uno de los seis componentes y sus respectivos indicadores en los procesos de
enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas.
Idoneidad epistémica, se refiere al grado de representatividad de los significados
institucionales implementados (o pretendidos), respecto de un significado de
referencia.
IDONEIDAD EPISTÉMICA
Componentes Indicadores
Situaciones-
problemas
- Se presenta una muestra representativa y articulada de situaciones de
contextualización, ejercitación y aplicación.
- Se proponen situaciones de generación de problemas
(problematización).
Lenguajes
- Uso de diferentes modos de expresión matemática (verbal, gráfica,
simbólica...), traducciones y conversiones entre los mismas.
- Nivel del lenguaje adecuado a los niños a que se dirige.
- Se proponen situaciones de expresión matemática e interpretación.
Reglas
(definiciones,
proposiciones,
procedimientos)
- Las definiciones y procedimientos son claros y correctos, y están
adaptados al nivel educativo al que se dirigen.
- Se presentan los enunciados y procedimientos fundamentales del tema
para el nivel educativo dado.
- Se proponen situaciones donde los alumnos tengan que generar o
negociar definiciones, proposiciones o procedimientos.
Argumentos
- Las explicaciones, comprobaciones y demostraciones son adecuadas al
nivel educativo a que se dirigen.
- Se promueven situaciones donde el alumno tenga que argumentar.
11
IDONEIDAD EPISTÉMICA
Componentes Indicadores
Relaciones
- Los objetos matemáticos (problemas, definiciones, proposiciones, etc.)
se relacionan y conectan entre sí.
- Se identifican y articulan los diversos significados de los objetos que
intervienen en las prácticas matemáticas.
Tabla 1. Componentes e indicadores de idoneidad epistémica (matemática)
Idoneidad cognitiva, expresa el grado en que los significados pretendidos/
implementados estén en la zona de desarrollo potencial de los alumnos, así como la
proximidad de los significados personales logrados a los significados pretendidos/
implementados.
IDONEIDAD COGNITIVA
Componentes Indicadores
Conocimientos
previos
- Los alumnos tienen los conocimientos previos necesarios para el
estudio del tema (bien se han estudiado anteriormente o el profesor
planifica su estudio).
- Los contenidos pretendidos se pueden alcanzar (tienen una
dificultad manejable) en sus diversas componentes.
Adaptaciones
curriculares
individuales
- Se incluyen actividades de ampliación y de refuerzo.
- Se promueve el acceso y el logro de todos los estudiantes.
Aprendizaje:
(Se tienen en cuenta
los
mismos elementos
que para
la idoneidad
epistémica)
- Los diversos modos de evaluación indican que los alumnos logran
la apropiación de los conocimientos, comprensiones y competencias
pretendidas:
a) Comprensión conceptual y proposicional; competencia
comunicativa y argumentativa; fluencia procedimental;
comprensión situacional; competencia metacognitiva.
- La evaluación tiene en cuenta distintos niveles de comprensión y
competencia.
- Los resultados de las evaluaciones se difunden y usan para tomar
decisiones.
Tabla 2. Componentes e indicadores de idoneidad cognitiva
Idoneidad interaccional. Un proceso de enseñanza-aprendizaje tendrá mayor
idoneidad desde el punto de vista interaccional si las configuraciones y trayectorias
didácticas permiten, por una parte, identificar conflictos semióticos potenciales (que se
puedan detectar a priori), y por otra parte permitan resolver los conflictos que se
producen durante el proceso de instrucción.
12
IDONEIDAD INTERACCIONAL
Componentes Indicadores
Interacción
docente-discente
- El profesor hace una presentación adecuada del tema (presentación
clara y bien organizada, no habla demasiado rápido, enfatiza los
conceptos clave del tema, etc.).
- Reconoce y resuelve los conflictos de los alumnos (se hacen
preguntas y respuestas adecuadas, etc.).
- Se busca llegar a consensos con base al mejor argumento.
- Se usan diversos recursos retóricos y argumentativos para implicar y
captar la atención de los alumnos.
- Se facilita la inclusión de los alumnos en la dinámica de la clase.
Interacción entre
alumnos
- Se favorece el diálogo y comunicación entre los estudiantes.
- Tratan de convencerse a sí mismos y a los demás de la validez de sus
afirmaciones, conjeturas y respuestas, apoyándose en argumentos
Matemáticos.
- Se favorece la inclusión en el grupo y se evita la exclusión.
Autonomía
- Se contemplan momentos en los que los estudiantes asumen la
responsabilidad del estudio (plantean cuestiones y presentan
soluciones; exploran ejemplos y contraejemplos para investigar y
conjeturar; usan una variedad de herramientas para razonar, hacer
conexiones, resolver problemas y comunicarlos).
Evaluación
formativa
- Observación sistemática del progreso cognitivo de los alumnos.
Tabla 3. Componentes e indicadores de idoneidad interaccional
Idoneidad mediacional, grado de disponibilidad y adecuación de los recursos
materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza-
aprendizaje.
IDONEIDAD MEDIACIONAL
Componentes Indicadores
Recursos
materiales
(Manipulativos,
calculadoras,
ordenadores)
- Se usan materiales manipulativos e informáticos que permiten
introducir buenas situaciones, lenguajes, procedimientos,
argumentaciones adaptadas al contenido pretendido.
- Las definiciones y propiedades son contextualizadas y motivadas
usando situaciones y modelos concretos y visualizaciones.
Número de
alumnos, horario
y condiciones del
aula
- El número y la distribución de los alumnos permite llevar a cabo la
enseñanza pretendida.
- El horario del curso es apropiado (por ejemplo, no se imparten todas
las sesiones a última hora).
- El aula y la distribución de los alumnos es adecuada para el desarrollo
del proceso instruccional pretendido.
Tiempo
(De enseñanza
colectiva
- El tiempo (presencial y no presencial) es suficiente para la enseñanza
pretendida.
- Se dedica suficiente tiempo a los contenidos más importantes del
13
IDONEIDAD MEDIACIONAL
Componentes Indicadores
/tutorización;
tiempo de
aprendizaje)
tema.
- Se dedica tiempo suficiente a los contenidos que presentan más
dificultad de comprensión.
Tabla 4. Componentes e indicadores de idoneidad mediacional
Idoneidad afectiva, grado de implicación (interés, motivación…) del alumnado en el
proceso de estudio. La idoneidad afectiva está relacionada tanto con factores que
dependen de la institución como con factores que dependen básicamente del alumno y
de su historia escolar previa.
IDONEIDAD AFECTIVA
Componentes Indicadores
Intereses y
necesidades
- Las tareas tienen interés para los alumnos.
- Se proponen situaciones que permitan valorar la utilidad de las
matemáticas en la vida cotidiana y profesional.
Actitudes
- Se promueve la participación en las actividades, la perseverancia,
responsabilidad, etc.
- Se favorece la argumentación en situaciones de igualdad; el
argumento se valora en sí mismo y no por quién lo dice.
Emociones
- Se promueve la autoestima, evitando el rechazo, fobia o miedo a las
matemáticas.
- Se resaltan las cualidades de estética y precisión de las matemáticas.
Tabla 5. Componentes e indicadores de idoneidad afectiva
Idoneidad ecológica, grado en que el proceso de estudio se ajusta al proyecto
educativo del centro, la escuela y la sociedad y a los condicionamientos del entorno en
que se desarrolla.
IDONEIDAD ECOLÓGICA
Componentes Indicadores
Adaptación al
currículo
- Los contenidos, su implementación y evaluación se corresponden con
las directrices curriculares.
Apertura hacia la
innovación
didáctica
- Innovación basada en la investigación y la práctica reflexiva.
- Integración de nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC,
etc.) en el proyecto educativo.
Adaptación socio-
profesional y
cultural
- Los contenidos contribuyen a la formación socio-profesional de los
Estudiantes.
Educación en
valores
- Se contempla la formación en valores democráticos y el pensamiento
crítico.
Conexiones intra-
interdisciplinares
- Los contenidos se relacionan con otros contenidos intra e
interdisciplinares.
Tabla 6. Componentes e indicadores de idoneidad ecológica
14
3. ANÁLISIS DE LA MEDIA ARITMÉTICA EN UN LIBRO DE TEXTO DE SEXTO
CURSO DE EDUCACIÓN PRIMARIA
3.1. Definición de media aritmética
Uno de los contenidos más importantes a trabajar dentro del área de Matemáticas en la etapa
de Educación Primaria es la media aritmética, ubicada dentro de las medidas de tendencia
central o promedio.
La media aritmética es un concepto matemático ampliamente utilizado en nuestra cultura, en
contextos y situaciones diferentes. Nos proporciona una herramienta muy eficiente para
resolver un variado campo de problemas. La media como medida de tendencia central, es
decir, que representa al conjunto de valores, puede tener varios significados de los cuales
vamos a destacar dos (Estepa, 2014):
- La media aritmética como reparto equitativo, es decir, es el valor que tendrían los
datos si todos fuesen iguales, o lo que es lo mismo si sumamos todos los datos y dicha
suma la repartimos entre el número de datos.
- La media aritmética como apreciación de la mejor medida, es decir, el valor más
preciso de una serie de medidas distintas del mismo hecho.
Resulta también de vital importancia destacar cuáles son las propiedades de la media
(Estepa, 2014):
1. En el cálculo de la media intervienen todos los valores del conjunto de datos.
2. La media siempre es un número comprendido entre el máximo y el mínimo.
3. La media puede tomar un valor distinto a los valores de la variable (Ejemplo: número
de hermanos es igual a 3,25).
4. La media es muy sensible a los valores atípicos.
5. La suma de las desviaciones de los datos respecto a la media es cero.
6. Si existen valores nulos, se deben tener en cuenta en el cálculo de la media.
7. La media solo representa a los datos de los que ha sido calculada.
La media es un parámetro de centralización que sólo se da en conjuntos numéricos. No todos
los conjuntos de datos tienen media. Es una cantidad que representa un conjunto de datos,
pero no se debe olvidar que no tiene por qué ser real y, además no nos aporta información
sobre cómo se distribuyen los datos. Es interesante que los alumnos/as conozcan y comenten
la conocida paradoja de que si una persona come un pollo y otra persona no come ninguno, la
media dirá que cada uno se ha comido una mitad. Es bueno que practiquen, y para ello se
15
pueden proponer muchos cálculos de medias estadísticas deportivas, datos de prensa,
espectadores de televisión, estatura de la clase, temperatura diurna, etc.
3.2. Estudio de la media aritmética en el libro de texto de Anaya del 2009
Una vez introducido algunas de las características más relevantes del concepto de media
aritmética vamos a pasar a analizar dicho contenido en el libro de texto de Matemáticas de 6º
curso de Educación Primaria de Ferrero et al. (2009), en función de los componentes e
indicadores de cada una de las nociones de idoneidad propuestas por (Godino, 2002).
Idoneidad Epistémica
Dentro de la noción de idoneidad epistémica, el primer componente referido a las
situaciones-problemas sobre la media aritmética en dicho libro de texto se puede observar
como el trabajo y desarrollo de la media se plantea desde los dos significados vistos
anteriormente: reparto equitativo y apreciación a la mejor medida. Se presenta problemas,
actividades y ejercicios de resolución contextualizados a la vida real y cotidiana de los
alumnos y alumnas donde tienen la posibilidad de aplicar los conocimientos referidos a la
media aritmética o promedio. No se proponen situaciones de generación de problemas. Un
ejemplo de ejercicio de significado de reparto equitativo: “Calcula el promedio de goles de
un equipo de fútbol durante 6 partidos: 1-5-3-2-0-2”. Y ahora un ejemplo de ejercicio de
significado de apreciación de la mejor medida: “Marta ha obtenido estas notas en los últimos
exámenes: 4-5-6-7-8-8-8-9. ¿Cuál es la media de las notas de Marta?
Además, como aspecto a tener en cuenta, se observa algunas de las propiedades de la media
en el conjunto de actividades y ejercicios de forma implícita tales como: en el cálculo de la
media intervienen todos los valores del conjunto; la media siempre es un valor comprendido
entre el máximo y el mínimo; o la propiedad de que si existen valores nulos o ceros, se deben
tener en cuenta en el cálculo de la media.
De forma explícita, únicamente se hace referencia a la propiedad de la media de que todos los
valores del conjunto tienen que utilizarse para el cálculo de la misma, en la definición del
concepto de media aritmética en el libro de texto al principio del tema.
Después hay otras propiedades que no son abordadas en los ejercicios como son: la media
puede tomar un valor distinto a los valores de la variable; y tampoco se considera que la
media es muy sensible a los valores atípicos. No aparecen ejercicios de este tipo en el libro.
16
En cuanto al componente del lenguaje, el libro de texto utiliza la expresión escrita para la
definición del concepto de media, ayudándose también de la expresión numérica para los
ejemplos de explicación del contenido y para las actividades a realizar. Sin embargo, no se
aprecia la utilización de gráficos de ningún tipo ni para la explicación ni para los ejercicios.
(aspecto que sería interesante utilizar para la enseñanza de la media, como por ejemplo usar
papel cuadriculado y recortarlo según los datos de la variable donde pudieran ver y apreciar
físicamente el concepto de media referido al reparto equitativo (En el diseño de la propuesta
didáctica tendremos en cuenta este extremo). Lo que sí se utiliza son tablas descriptivas con
los datos de las variables y su frecuencia que los alumnos/as han de utilizar para resolver los
problemas y actividades sobre la media.
En cuanto a la utilización de las palabras, expresiones, definiciones y proposiciones presentes
en el libro de texto para el alumnado y su adecuación al nivel del mismo se aprecia como son
de fácil comprensión y entendimiento, no ocasionando problema o dificultad alguna. Las
frases y las expresiones matemáticas utilizadas son cortas, claras, sencillas y adaptadas al
nivel del alumnado. Además, se promueve que el alumno/a tenga que interpretar el contenido
de la actividad a realizar y expresarse matemáticamente para la resolución de los problemas
que se le plantean.
Ejemplo de actividad: “El número de hermanos que tiene cada uno de tus compañeros de
clase son: 0-2-0-1-3-2-1-1-1-0-2-0-2-1-0-0. ¿Cuál es la media de número de hermanos que
tiene la clase?
Con respecto a las reglas y centrándonos en las definiciones y procedimientos sobre la media
que se aprecia en el libro de texto, se ajustan al nivel educativo de los alumnos siendo dichas
definiciones y procedimientos claros y sencillos para ellos/as. Sin embargo, no se facilita que
sean los propios alumnos/as los que generen o negocien la definición de media aritmética o
pongan en práctica otros procedimientos para la resolución de problemas sobre la media. El
procedimiento para averiguar la media es un método indirecto (la media es la suma de todos
los datos dividida entre el número total de datos), y no se aprecia otros procedimientos de tipo
directo donde los alumnos y alumnas puedan verlo y experimentarlo físicamente. (Un ejemplo
podría ser repartir los lápices de una caja colores entre varios alumnos/as).
Desde el punto de vista argumentativo, en la explicación y propuesta de problemas y
actividades sobre la media aritmética no se pide al alumnado que tenga que hacer ningún tipo
de argumentación sobre lo que realiza. Se centra en la realización del procedimiento de
resolución del problema-actividad de forma automática cómo se le ha enseñado, lo que
17
provoca que el aprendizaje de la media aritmética pudiera convertirse en un concepto
memorístico, fuera de todo conocimiento y aprendizaje significativo para la vida.
Por último, analizamos las relaciones entre los objetos matemáticos que intervienen en las
prácticas matemáticas. El contenido de la media aritmética se aborda, según el currículo de
Educación Primaria, en el sexto curso de la etapa. Aunque es posible que anteriormente en el
curso de quinto de primaria se haya trabajado de forma más o menos profunda. Todo ello
dependiendo de la prioridad ofrecida por el centro escolar y el maestro o la maestra del área
de Matemáticas correspondiente. Aun así, para el aprendizaje de la media es necesaria la
asimilación por parte del alumno/a de conceptos, definiciones y destrezas trabajadas en cursos
anteriores sin los cuales no se podría llevar a cabo, como son la suma y la división
principalmente.
Idoneidad Cognitiva
Dentro de la idoneidad cognitiva, nos centramos en un aspecto muy importante a tener en
cuenta en el análisis que son los conocimientos previos que posee el alumnado con
anterioridad a la explicación del tema o contenido en cuestión, en este caso la media
aritmética. Entre los conocimientos previos que posee el alumnado de su aprendizaje en los
cursos anteriores relacionados con la media cabe destacar la aproximación gracias a la
concepción que tienen de la media como reparto equitativo, pero quizás no un conocimiento
tan profundo utilizando una mayor cantidad de números o datos en las variables.
La explicación del concepto de media aritmética y sus respectivas actividades de aprendizaje
y resolución de problemas presentes en el libro de texto son fácilmente alcanzables por parte
del alumnado. Los contenidos se explican claramente y de forma sencilla y accesible para los
alumnos/as utilizando frases cortas y ejemplos de actividades propias de la vida cotidiana
facilitando de esta manera el aprendizaje del alumnado.
Con respecto a las adaptaciones curriculares individuales, en el libro de texto se encuentran
actividades de refuerzo para aquellos alumnos y alumnas que tengan mayor dificultad para la
comprensión del concepto de media aritmética y en la resolución de problemas, y también se
presentan actividades de ampliación. Aunque únicamente aparece como actividad de
ampliación de la media aritmética un solo apartado de un ejercicio, prestando una mayor
importancia y frecuencia a actividades para el repaso y ampliación de los conceptos de moda
y mediana más que a la media aritmética. Quizás esto se pueda deber a la supuesta creencia de
que es más fácil de entender y aprender la media que la moda o la mediana.
18
Mediante la corrección y la evaluación de todas las actividades de aprendizaje realizadas por
los alumnos/as sobre el contenido de la media aritmética, tanto las actividades de repaso como
de ampliación, el maestro o la maestra observará y tomará decisiones sobre la práctica,
teniendo muy en cuenta los niveles de comprensión y competencia que tiene cada alumno/a
sobre la media. Toda esta información es útil para el maestro/a con el objetivo de mejorar el
proceso de enseñanza y aprendizaje de sus alumnos/as. Por todo ello, deberá prestar atención
a las dificultades que pueden plantear algunas de las actividades realizadas para el aprendizaje
de la media en determinados alumnos/as proponiendo estrategias de apoyo, actividades de
refuerzo y adecuación a las características de dicho alumnado.
Idoneidad Afectiva
Con respecto al análisis teniendo en cuenta los componentes de la idoneidad afectiva, las
tareas y actividades sobre la media aritmética presentes en el libro de texto se muestran
interesantes para los alumnos y alumnas. Son actividades relacionadas con su entorno
próximo y sobre temas que despiertan en ellos un cierto interés y motivación. Es el caso de
ejercicios relacionados con deportes en los que los alumnos/as tienen analizar y operar con
datos como el número de goles o número de canastas en un partido. Además, actividades
también de la vida cotidiana como por ejemplo: “Calcula la media mensual de venta de
televisores en unos grandes almacenes a lo largo de los 6 primeros meses del año”.
En el libro de texto, las actividades y ejercicios a realizar por el alumnado son en su totalidad
de tipo individual, cada alumno/a ha de resolver las actividades-ejercicios no habiendo ningún
ejercicio en el cuál se promueva la participación del alumnado en parejas o en pequeños
grupos. Esto impide el trabajo y desarrollo de actitudes y emociones muy importantes en el
aprendizaje de los contenidos y procedimientos matemáticos. De esta forma no se favorece la
responsabilidad, la argumentación entre los alumnos sobre cómo resolver el problema y la
discusión de los resultados, la tolerancia y respeto a las producciones de los demás
compañeros, etc.
Idoneidad Ecológica
Con respecto a la idoneidad ecológica, el libro de texto trabaja y desarrolla el contenido de la
media aritmética de una manera correcta, suficiente y adaptada a las prescripciones
19
curriculares propuestas por el actual marco legislativo en materia educativa para la etapa de
Educación Primaria.
Con respecto a la innovación educativa, en el libro de texto no se observa referencia alguna a
la utilización de dichas tecnologías como la calculadora o el ordenador para la resolución de
los ejercicios. Aun así, es posible que el profesorado pueda fomentar su uso planteando
actividades de ampliación o refuerzo para los alumnos/as.
Por supuesto que, según recoge la actual legislación en materia educativa, el contenido de
media aritmética, al igual que otros contenidos matemáticos presentes en el currículo de la
etapa, favorece y contribuye a una formación integral de los estudiantes para su futuro
profesional en la sociedad.
Atendiendo únicamente al análisis del libro de texto sin tener en cuenta la práctica educativa,
resulta muy difícil identificar si se contempla o no la educación en valores democráticos y el
pensamiento crítico en los estudiantes. Lo que sí se aprecia en las actividades y ejercicios del
libro relacionado con los valores democráticos, en concreto con la igualdad, es la presencia en
los enunciados de los dos géneros, masculino y femenino.
Además, según marca la ley educativa los contenidos deben relacionarse entre ellos y con los
contenidos de otras áreas de forma intra e interdisciplinar. De desarrolla de manera
intradisciplinar ya que en la media aritmética se hace necesario el uso de conceptos y
procedimientos abordados y aprendidos en cursos anteriores como la suma o la división entre
otros. Y de forma interdisciplinar, puesto que la media es un contenido que se presenta en
otras áreas disciplinares de la Educación Primaria.
Idoneidad Interaccional y mediacional
Como he comentado anteriormente, al no tener la oportunidad de haber realizado el análisis
de la actividad matemática de forma práctica en un aula determinada, no se han podido
abordar estos dos indicadores de idoneidad interaccional y mediacional. Dichos indicadores
hacen referencia a las interacciones entre el docente y discente, la evaluación formativa, los
recursos utilizados para las explicaciones de los contenidos y tareas, el horario de enseñanza
de la asignatura, o el número de alumnos/as de la clase entre otros aspectos. En el libro de
texto no aparecen interacciones y comunicaciones entre profesorado y alumnado, o entre
alumnos/as que en otros libros si llegan a aparecer. Por ejemplo, interacciones del tipo como
“Comprueba tus resultados con los demás compañeros/as”, o “comenta con tu compañeros/as
cuál ha sido el procedimiento o método que has seguido y por qué” entre otras.
20
4. PROPUESTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DEL
CONTENIDO DE MEDIA ARITMÉTICA EN SEXTO DE E. PRIMARIA
Dicha propuesta o unidad didáctica que vamos a describir a continuación tiene como objetivo
que los alumnos y alumnas de 6º curso de Educación Primaria sean capaces de interiorizar y
aprender el contenido de la media aritmética de una forma más significativa y duradera a
través de diversas actividades, ejercicios y gráficos motivantes, coherentes y adaptados a sus
capacidades intelectuales. Además, se favorecerá la comprensión de dichas actividades-
ejercicios por parte de todos los alumnos y alumnas independientemente de sus capacidades y
limitaciones.
En primer lugar, presentaremos los ejercicios correspondientes al libro de texto objeto de
análisis de sexto curso de E. Primaria de Ferrero et al. (2009), analizando dichos ejercicios en
función del significado y propiedades de la media que aborda cada uno de ellos, expuestos
anteriormente en el punto 3.1. Posteriormente, abordaremos la propuesta-unidad didáctica con
la cual pretendemos que dicho alumnado adquiera y trabaje el contenido de la media
aritmética de una forma más completa y exhaustiva teniendo en cuenta los significados y las
propiedades de la misma.
4.1. Ejercicios sobre la media aritmética en el libro de texto de Anaya del 2009
1. Marta tiene en su familia 6 primos, las edades de todos ellos son las siguientes: 3-5-6-8-
9-9-9. ¿Cuál es la media de las edades de Marta y sus primos?
Este ejercicio muestra el significado de la media como reparto equitativo, es decir, el valor
que tendrían los datos si todos fuesen iguales. Implícitamente con este ejercicio se trabaja
las siguientes propiedades de la media: 1, 2 y 7.
2. Marta ha obtenido estas notas en los últimos exámenes: 4-5-6-7-8-8-8-9. ¿Cuál es la
media de esas notas?
El significado de la media en este caso es la apreciación de la mejor medida, y las
propiedades de la media contempladas son: 1, 2, 3 y 7.
3. Estas son las calificaciones en Matemáticas de un grupo de alumnos de 6º curso: 2-4-5-
4-6-5-3-7-6-3-8-9-5. Calcula cuál es la media.
El significado de la media en este caso es reparto equitativo, y las propiedades de la media
contempladas son: 1, 2, 3 y 7.
21
4. Calcula el promedio de estos números: 15-13-12-16-25-18-19-21-23.
El significado es reparto equitativo y las propiedades que aborda son: 1, 2, 3 y 7.
5. La tabla de frecuencias recoge el número de televisores de plasma vendidos en unos
grandes almacenes a lo largo de los seis primeros meses del año:
MES FRECUENCIA
ENERO 25
FEBRERO 20
MARZO 18
ABRIL 20
MAYO 15
JUNIO 22
Calcula la media mensual de ventas.
El significado de la media es reparto equitativo y las propiedades de la media que
desarrolla son: 1, 2 y 7.
6. Preguntados los compañeros de una clase acerca del número de hermanos que tiene
cada uno, las respuestas fueron:
0-1-1-3-2-0-1-3-2-1-1-2
1-2-3-2-1-1-0-0-1-2-1-2
¿Cuál es la media de número de hermanos que tienen en la clase?
El significado de la media es reparto equitativo y las propiedades son: 1, 2, 3, 6 y 7.
7. Observa el gráfico y responde a la pregunta: ¿Cuál es la media de goles por encuentro
que ha conseguido el equipo? ¿Cómo lo has calculado?
Figura 1. Gráfico de los goles por partido
El significado de la media es de reparto equitativo y las propiedades que trabaja son: 1, 2,
3, 6 y 7.
22
8. Observa el gráfico y responde a la pregunta: ¿Qué número de pie calza la mitad del
equipo?
Figura 2. Gráfico del número de pie de los jugadores
El significado de la media en este caso es de reparto equitativo y las propiedades que
desarrolla son: 1, 2 y 7.
Como se observa, entre los ejercicios del libro de texto de Ferrero et al. (2009), hay muchos
más ejercicios que abordan el significado de la media como reparto equitativo, ya que
solamente uno de ellos se presenta como apreciación de la mejor medida.
4.2. Propuesta didáctica de enseñanza de la media aritmética
Con dicha propuesta pretendemos que los estudiantes sean capaces de construir el algoritmo
de la media aritmética, analizar los datos para elegir el valor que mejor represente a un
conjunto y tomar decisiones. Consideramos muy importante dentro del trabajo de la media, la
práctica de los significados de la repartición equitativa y la apreciación de la mejor medida,
mediante el uso de gráficos para que los alumnos y alumnas puedan entender y atribuir
significado a la propiedad de representatividad de las medidas de tendencia central, en este
caso, de la media.
23
Además, intentando compensar y mejorar los ejercicios del libro de texto, vamos a tener en
cuenta algunos aspectos:
- Incluir valores atípicos y ceros en el conjunto de datos agrupados y no agrupados, con
la intención de crear en el alumnado un conflicto cognitivo, puesto que pueden tender
a no considerar los ceros como variables del conjunto de datos.
- Plantear problemas para calcular la media, ofreciendo un conjunto de datos
cualitativos (no cuantitativos), para provocar un conflicto cognitivo en el alumnado y
comprobar si han aprendido correctamente la media aritmética.
- Incluir problemas a resolver por el alumnado en los cuales tenga que realizar el
algoritmo inverso de la media aritmética, es decir, dada la media averiguar algunos
datos del conjunto.
- Proporcionar ejercicios donde el alumnado utilice herramientas tecnológicas.
Ahora pasamos a describir la propuesta didáctica para trabajar la media aritmética en una aula
de 6º de educación primaria.
OBJETIVOS:
- Comprender los significados de la media aritmética: como reparto equitativo y como
apreciación de la mejor medida.
- Calcular la media aritmética simple y ponderada de un conjunto de datos agrupados y
no agrupados.
- Distinguir algunas propiedades de la media
- Manipular e interpretar datos estadísticos.
- Interpretar información procedente de gráficos estadísticos.
- Utilizar recursos informáticos con destreza.
DESARROLLO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS:
- Competencia matemática: utilizar contenidos matemáticos en contextos significativos
para los alumnos y alumnas fuera del aula. Interpretación y uso crítico de la
información y los datos.
- Competencia lingüística: describir verbalmente los procesos que intervienen en el
cálculo de la media aritmética, tablas y gráficas, incorporando a su vocabulario la
terminología estadística. Se trata tanto de facilitar la expresión como de propiciar la
escucha de las explicaciones de los demás, lo que desarrolla la propia comprensión, el
espíritu crítico y la mejora de las destrezas comunicativas.
24
- Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico: interpretar
informaciones y datos estadísticos relacionados con la realidad y la vida cotidiana
aumentando las posibilidades de interactuar con ella.
- Competencia en el tratamiento de la información y competencia digital: la
utilización de los lenguajes gráfico y estadístico para interpretar la información sobre
la realidad; el uso de herramientas tecnológicas para facilitar la comprensión de
contenidos matemáticos.
- Competencia de aprender a aprender: contenidos relacionados con la autonomía, la
perseverancia y el esfuerzo, la sistematización, la mirada crítica, la habilidad para
comunicar con eficacia los resultados o la verbalización del proceso seguido en el
aprendizaje potencia el desarrollo de estrategias que facilitan el aprender a aprender.
- Competencia de autonomía e iniciativa personal: la resolución de problemas
desarrolla la planificación, la gestión de los recursos y la valoración de los resultados.
CONTENIDOS:
- Conceptuales:
La media aritmética simple.
Media aritmética ponderada.
Tablas y gráficos (diagrama de barras) estadísticos.
- Procedimentales:
Resolución de problemas mediante el cálculo de la media aritmética simple y
ponderada.
Interpretación de tablas y gráficos de datos estadísticos.
Experimentación y uso de herramientas tecnológicas en la resolución de
problemas sobre la media aritmética.
- Actitudinales:
Toma de conciencia sobre la importancia de la media aritmética en la vida
cotidiana de las personas.
Esfuerzo y motivación frente a la resolución de las tareas.
Respeto hacia el trabajo de los demás compañeros.
Aunque el contenido de media ponderada no pertenece a la Educación Primaria, creemos de
interés realizar una primera aproximación a ella.
25
METODOLOGÍA:
Temporalización: 4 sesiones de 1 hora de duración cada una. Las dos primeras sesiones
abordarán problemas sobre la media de reparto equitativo, y las dos últimas sobre
problemas de apreciación de la mejor medida.
Tipología de problemas:
PROBLEMAS DE REPARTO EQUITATIVO:
1. José cosechó del árbol 4 peras, Catalina 2 peras, María 6 y Daniel ninguna. ¿Cuál es la
media aritmética del número de peras que trajo cada uno?
Respuesta: 4 peras.
Propiedades de la media: 1, 2, 6 y 7.
2. Observa la tabla siguiente sobre el número de alumnos por curso. Calcula la media de
alumnos por curso.
CURSO Nº DE ALUMNOS/AS
1º 25
2º 24
3º 22
4º 26
5º 20
6º 21
Respuesta: 23 alumnos/as por curso de media.
Propiedades de la media: 1, 2 y 7.
3. En un hospital ha habido el siguiente número de nacimientos en la última semana.
¿Cuál es la media de nacimientos diarios?
L M X J V S D
15 20 23 32 26 24 21
Respuesta: la media es de 23 nacimientos diarios.
Propiedades de la media: 1, 2 y 7.
26
4. En el calendario se recoge el número de clientes de un hotel durante una quincena.
Ordena los datos y calcula la media de clientes por día.
1
45
2
68
3
65
4
64
5
80
6
125
7
58
8
58
9
65
10
82
11
73
12
75
13
120
14
81
15
81
Respuesta: la media es 76 clientes por día en el hotel.
Propiedades de la media: 1, 2 y 7.
5. En la siguiente tabla tienes cuántos alumnos de una clase asisten a cada tipo de
actividad extraescolar. ¿Puedes calcular la media de los datos?
Actividad extraescolar Ajedrez Inglés Música Pádel
Frecuencia absoluta 3 7 7 2
Respuesta: no se puede hallar la media puesto que los datos son cualitativos y no
cuantitativos.
6. La altura de los jugadores de un equipo de fútbol sala son las siguientes:
Portero Defensas Delanteros
182 cm 178 cm y 174 cm 168 cm y 178 cm
¿Cuál es la altura media del portero y defensas? ¿Cuál es la altura media del equipo?
Respuesta: la altura media del portero es 182 cm; la altura media de los defensas es 176
cm; y la altura media del equipo es 176 cm.
Propiedades de la media: 1, 2 y 8.
7. En una prueba de Matemáticas, 4 estudiantes obtuvieron una calificación de 7; 6
estudiantes obtuvieron 9; y 10 estudiantes un 6. ¿Cuál es la media de las calificaciones?
Observaciones: utilización de un conjunto de datos agrupados y media ponderada.
Respuesta: hay que tener en cuenta que cada uno de los valores involucrados tiene una
cierta ponderación, es decir, la contribución de cada valor al promedio es diferente. La
media ponderada se obtiene multiplicando cada uno de los datos por su ponderación (o
peso) y luego sumarlos, para obtener una suma ponderada. A continuación se divide la
suma ponderada entre la suma de las ponderaciones (o pesos), dando como resultado
la media ponderada.
27
La media de las calificaciones es:
𝑥 =7 + 7 + 7 + 7 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6
20
=7𝑥4 + 9𝑥6 + 6𝑥10
4 + 6 + 10=
142
20= 7,1
Propiedades de la media: 1, 2, 3 y 7.
8. Ejercicio TIC sobre la media aritmética como reparto equitativo:
(http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/primaria/actividades/est
adistica_y_probabilidad/medidas/media_aritmetica/actividad.html)
Figura 3. Gráfico del ejercicio TIC 1
Preguntas:
1. Mueve el deslizador "Reparte" hacia la derecha. ¿Qué es lo que ha ocurrido? ¿Qué
altura tienen las barras? ¿Cuánto vale la media aritmética de los datos? Activa la casilla
“Mostrar la media” y comprueba tu resultado.
Respuesta: la altura de las barras es: 6, 3, 5, 9 y 6; y la media es 5,8.
Propiedades de la media: 1, 2, 3 y 7.
2. Haz clic en el botón Reiniciar para volver a los valores iniciales. Cambia la altura de
las barras para representar los valores 1, 6, 7, 3 y 8. Mueve el deslizador "Reparte" hacia
la derecha. ¿Qué altura alcanzan las barras? ¿Cuánto vale la media? ¿Cuál es el valor
mínimo? ¿Y el máximo?
28
Respuesta: la altura de todas las barras es igual a 5, por lo que la media es 5. El valor
mínimo es 1 y el valor máximo es 8.
Propiedades de la media: 1, 2 y 7.
3. Haz clic en el botón Reiniciar para volver a los valores iniciales. Ahora tienes que
representar los siguientes valores: 8, 5, 7, 10 y 5. Antes de mover el deslizador, ¿qué
altura van a alcanzar las barras cuando movamos el deslizador hacia la derecha? ¿Cómo
lo has calculado? Comprueba tu resultado.
Respuesta: hay que calcular la media para los valores de las barras 8, 5, 7, 10 y 5. La
media es igual a 7.
Propiedades de la media: 1, 2 y 7.
4. Mantén el deslizador a la derecha y activada la casilla "Mostrar la media". Aumenta la
longitud de la primera barra de 8 a 10. ¿En cuánto aumenta la media? ¿Por qué crees
que sucede eso?
Respuesta: la media aumenta de 7 a 7,4. Esto sucede debido a una de las propiedades de la
media (la número 1) que establece que en el cálculo de la media intervienen todos los
valores del conjunto de datos, por lo que, si cambiamos el valor de algún dato del
conjunto, la media se verá afectada y cambiará su valor.
Propiedades de la media: 1, 2 y 3.
5. Reduce ahora la altura de la barra central de 7 a 6. ¿Qué sucede con la media? ¿Qué
relación tiene la variación de la barra con la de la media?
Respuesta: la media disminuye de 7,4 a 7,2. La barra del valor 7 al 6 ha variado en 1, y la
media ha variado 0,2, por lo que la variación de 1 en el valor en una barra al haber 5
barras hace que cada una de las barras disminuya 0,2, al igual que estima la media.
Propiedades de la media: 1, 2 y 7.
6. Haz clic en el botón Reiniciar para volver a los valores iniciales. Ahora tienes que
calcular previamente los valores que deben tomar las barras para que la media sea de 6.
Comprueba tus resultados.
Respuesta: para que la media sea 6 y teniendo en cuenta que disponemos de 5 barras, se
debe dar la condición de que el resultado de la suma de los valores de las 5 barras debe ser
igual a: 6 x 5 = 30. Por ejemplo: barra A = 7, B = 0, C = 5, D = 10 y E = 8.
Propiedades de la media: 1, 2, 6 y 7.
29
7. Escribe ahora una distribución en la que el valor mínimo sea 3, el máximo 8 y la media 6.
Comprueba tu resultado con la aplicación.
Respuesta: para que la media sea 6 y teniendo ya dos valores fijos de dos barras, el
mínimo en la barra A=3 y el máximo en la barra E=8, el resultado de la suma de los
valores de las 3 barras restantes ha de ser 30 – (3 + 8) = 19. Por ejemplo: barra B = 8, C =
6 y D = 5.
Propiedades de la media: 1, 2 y 7.
PROBLEMAS DE APRECIACIÓN DE LA MEJOR MEDIDA:
1. Las notas de Matemáticas de Tomás a lo largo del curso han sido: 5-7-6-8-6-6-7-7-8-8.
Calcula la nota media de Tomás.
Respuesta: la nota media de Tomás es 6,8.
Propiedades de la media: 1, 2, 3 y 7.
2. Las notas de Marina en 5 exámenes de matemáticas han sido de 6.5, 7, 5.5, 8 y 6 puntos.
¿Cuál es su nota media? ¿Qué nota tendría que haber sacado en el último examen para
que su nota media fuera de 7? Haz tus cálculos y comprueba los resultados con la
aplicación.
Respuesta: la nota media es: 6,6. Para que la nota media fuera un 7, el resultado de la
suma de las 5 notas tiene que ser igual a 35. Si a 35 le restamos la suma de los cuatro
primeras notas, la nota que tendría que haber sacado Marina en su último examen sería: 35
– (6,5 + 7+ + 5,5 + 8) = 35 – 27 = 8.
Propiedades de la media: 1, 2, 3 y 7.
3. Un objeto pequeño se pesó con un mismo instrumento por nueve estudiantes en una
clase de ciencias. Los pesos obtenidos por cada estudiante (en gramos) se muestran a
continuación. ¿Cuál sería el peso más preciso del objeto?
6.2 6.0 6.0 15.3 6.1 6.3 6.2 6.15 6.2
Respuesta: hay que desechar el valor 15.3 (atípico) y hallar la media sumando los otros 8
números restantes y dividir por 8. El resultado o peso más preciso del objeto es 6,14.
Propiedades de la media: 1, 2, 4, 6 y 7.
30
4. A los cursillos del inglés asistieron 15 personas el lunes, el martes 10, el miércoles 12, el
jueves 11, el viernes 7, el sábado 14, el domingo 8. Calcular la asistencia media de los
cursillos a la semana.
Respuesta: utilización de un conjunto de datos agrupados. La asistencia media a los
cursillos de inglés a la semana es de 11 personas.
Propiedades de la media: 1, 2 y 7.
5. La media aritmética de 3 números es 6, y la media aritmética de otros 7 números es 3.
¿Cuál es la media aritmética de estos 10 números?
Respuesta: es un problema de media aritmética ponderada. Como he comentado
anteriormente en otro ejercicio, la media ponderada se calcula de la siguiente forma:
𝑥 =6 + 6 + 6 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
10=
6𝑥3 + 3𝑥7
3 + 7=
39
10= 3,9
Propiedades de la media: 1, 2 y 7.
6. El piloto estuvo yendo 2 horas a la velocidad de 120 km por hora, luego paró para comer
durante 1 hora, y después siguió la marcha durante 1 hora a la velocidad de 90 km por
hora. Calcula la velocidad media del coche por hora durante el viaje.
Respuesta: tener en cuenta los valores nulos o ceros para el cálculo de la media. La
velocidad media del coche a la hora durante el viaje es igual a 82,5 km/h.
𝑥 =120 + 120 + 0 + 90
4=
120𝑥2 + 0𝑥1 + 90𝑥1
2 + 1 + 1=
330
4= 82,5
Propiedades de la media: 1, 2, 4, 6 y 7.
7. El siguiente gráfico indica la paga que reciben 12 alumnos de sus padres, se pide que
imaginen que sus padres les han prometido darles la paga que sea la media para la clase
que está representada en la gráfica. ¿Cuánto sería la paga media de la clase (en euros)?
Figura 4. Gráfico de la paga en euros de los alumnos/as
4,52,5
4
0
7,55
35,5
7
10
64,5
0
5
10
15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Paga (en euros)
31
Respuesta: tener en cuenta los valores nulos o ceros para el cálculo de la media. La paga
media de la clase es 4,95 euros.
Propiedades de la media: 1, 2, 6 y 7.
8. Observa las temperaturas de Madrid durante la semana pasada y contesta:
Máxima Mínima
Lunes 21ºC 8ºC
Martes 25ºC 6ºC
Miércoles 27ºC 10ºC
Jueves 18ºC 11ºC
Viernes 17ºC 9ºC
Sábado 19ºC 8ºC
Domingo 28ºC 12ºC
¿Qué números nos podían resumir la temperatura máxima y mínima en Madrid durante
toda la semana?
Respuesta: la temperatura máxima de la semana en Madrid son 22,14 ºC y la temperatura
mínima es de 9,14 ºC.
Propiedades de la media: 1, 2 y 7.
9. ¿Cuál es la media de las estaturas de estos cinco amigos? ¿Quiénes tienen una estatura
superior a la media?
Figura 5. Gráfico de la estatura de los cinco amigos
Respuesta: la media de la estatura de los cinco amigos es igual a 156, 4 cm. Luis, Carlos y
Daniel tienen una estatura superior a la media.
Propiedades de la media: 1, 2 y 7.
158
152
160
155157
145
150
155
160
165
Luis Gema Carlos Laura Daniel
Altura (cm)
32
10. Ejercicio TIC: (http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1051)
Figura 6. Ejercicio TIC 2
Respuesta: el valor del tiempo de la prueba que debemos coger es 30 segundos.
Propiedades de la media: 1, 2 y 7.
11. Ejercicio TIC: (http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1051)
Figura 7. Ejercicio TIC 3
33
Respuesta: utilización de un conjunto de datos agrupados. Como se puede apreciar en la
imagen, la puntuación media es 7,6.
Propiedades de la media: 1, 2 y 7.
Recursos espaciales y materiales:
Espacios: aula ordinaria y aula de informática.
Materiales: lápiz, goma, bolígrafo, calculadora y ordenador.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN:
- Comprende adecuadamente el concepto de media aritmética simple y ponderada en los
dos significados.
- Resuelve correctamente problemas de cálculo de la media aritmética simple y
ponderada.
- Lee información de una tabla de datos y la interpreta y comprende su significado.
- Trabaja colaborativamente.
- Utiliza las herramientas tecnológicas para la consecución de las actividades y tareas.
- Respeta el material utilizado.
CONCLUSIONES FINALES
Después de llevar a cabo el análisis teórico de la media aritmética abordado por el libro de
texto de Matemáticas de sexto curso de Educación Primaria hemos llegado a una serie de
conclusiones que se exponen a continuación.
El concepto de media aritmética es un concepto de gran complejidad en contraposición de las
creencias extendidas que existen en educación, profesorado y material didáctico de ser un
concepto sencillo y de fácil comprensión por parte del alumnado. Por ello, deben ser
abordados correctamente en el currículo y en los libros de texto.
Según nuestro análisis, la mayoría de los ejercicios y actividades propuestos en el libro de
texto objeto de estudio muestran cómo se usa y se trabaja el concepto de media, que se ha
enfocado correctamente a situaciones y experiencias cotidianas de los alumnos y alumnas. No
obstante, dichos ejercicios tienen algunos aspectos que limitan e impiden una comprensión y
adquisición adecuada del concepto de media. Nos hemos dado cuenta que los ejercicios son
bastante repetitivos y no favorecen que se produzca un conflicto cognitivo en los estudiantes
34
que les permita adquirir el concepto y significado completo de la media aritmética y todas sus
posibilidades.
Siguiendo con la idea anterior, hemos observado que en las actividades y ejercicios para
calcular la media aritmética no se hace hincapié en las propiedades de la media, un aspecto
muy a tener en cuenta. Algunas de las propiedades de la media que no aparecen y por
consiguiente no se trabajan en los ejercicios son: la media es muy sensible a los valores
atípicos; o la propiedad de la media para tomar un valor distinto a los valores de la variable.
Sin embargo, entre las propiedades que sí aparecen en las actividades del libro cabe destacar
las siguientes: en el cálculo de la media intervienen todos los valores del conjunto de datos; la
media siempre es un número comprendido entre el mínimo y el máximo; la media solo
representa a los datos de los que ha sido calculada; y se deben tener en cuenta los valores
nulos o ceros.
Tampoco hemos encontrado actividades del tipo como buscar la distribución de datos para
que se cumpla con una media establecida de antemano, muy importante para trabajar la media
de forma adecuada. De esta forma el alumnado no entiende el significado de la media como
un valor representativo de un conjunto de datos. Por ello, en la propuesta didáctica se ha
incluido algunos ejercicios de este tipo para mejorar este aspecto.
Con nuestra propuesta o unidad didáctica se ha intentado proporcionar ejercicios y actividades
adecuadas para el trabajo de la media de una manera global, sin dejar fuera ninguna de las
propiedades y aspectos para que el alumnado sea capaz de aprenderla en su totalidad. Así, los
estudiantes entenderán y asimilarán de una forma correcta el contenido de la media tan
importante en su formación actual y para el futuro.
Las matemáticas y su aplicación a la vida son imprescindibles para los estudiantes de hoy en
día, puesto que serán los ciudadanos del mañana. Por ello, desde todos los sectores y
profesionales que formamos parte de la educación, tenemos que implicarnos en la misión de
formar a nuestros alumnos y alumnas de la mejor forma posible y con las máximas garantías.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
LEGISLATIVA Y CURRICULAR
- BOE (2006). LEY ORGÁNICA 2/2006, de 3 de mayo, de Educación (L.O.E) (4 de
mayo de 2006).
- BOE (2006). REAL DECRETO 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se
establecen las Enseñanzas Mínimas de la Educación Primaria (8 de diciembre de
2006).
35
- BOJA (2007). DECRETO 230/07, de 31 de julio, por el que se establece la
ordenación y las enseñanzas correspondientes a la Educación Primaria en Andalucía
(8 de agosto de 2007).
- BOJA (2007). ORDEN de 10 de AGOSTO de 2007, por la que se desarrolla el
currículo correspondiente a la Educación Primaria en Andalucía (30 de agosto de
2007).
- BOJA (2007). LEY 17/2007, de 10 de diciembre, de Educación de Andalucía (LEA)
(26 de diciembre de 2007).
ESPECÍFICA
- Alonso, I. G. & Cruz, J. A. (2004). La Media Aritmética. Formación del Profesorado e
Investigación en Educación Matemática. Vol. 6, 197-217.
- Batanero, C.; Godino, J. D.; Navas, F. (1997). Concepciones de maestros de primaria
en formación sobre los promedios. VII Jornadas LOGSE: Evaluación Educativa, 310-
314.
- Chan, C. M. (2009). Una propuesta didáctica sobre la media aritmética, la mediana y
su representatividad. Tesis.
- Estepa, A. (2014). Apuntes de la asignatura “Didáctica de la Estadística y probabilidad
en Educación Primaria. Universidad de Jaén. Docencia virtual.
- Ferrero de Pablo, L.; Gaztelu Albero, I.; Martín Martín, P. (2009). Matemáticas 6º
Proyecto “Abre la Puerta”, Sevilla: Anaya.
- Godino, J. D. (2002). Un enfoque ontológico y semiótico de la cognición matemática.
Recherches en Didactique des Mathématiques 22, (2/3), 237–284.
- Godino, J. D., Contreras, A. y Font, V. (2006). Análisis de procesos de instrucción
basado en el enfoque ontológico-semiótico de la cognición matemática. Recherches en
Didactiques des Mathematiques, 26 (1), 39-88.
- Godino, J. D., Bencomo, D., Font, V. y Wilhelmi, M. R. (2006). Análisis y valoración
de la idoneidad didáctica de procesos de estudio de las matemáticas. Paradigma,
XXVII (2), 221-252.
- Godino, J. D. Batanero, C. y Font, V. (2007). The onto-semiotic approach to research
in mathematics education. ZDM. The International Journal on Mathematics Education,
39 (1-2), 127-135.
- Godino, J. D. (2011). Indicadores de la idoneidad didáctica de procesos de enseñanza
y aprendizaje de las matemáticas. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil.
36
http://www.ugr.es/~jgodino/eos/jdgodino_indicadores_idoneidad.pdf (visitado el
21/05/2014).
RECURSOS TIC
- http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/primaria/actividades/e
stadistica_y_probabilidad/medidas/media_aritmetica/actividad.html (visitado el
20/06/2014).
- http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1051 (visitado el
21/06/2014).
37
ANEXOS
Fotocopia del tema del libro de texto objeto de estudio
38
39
40
41
42
43
44
FIN DE ANEXOS