FACTORIZACIÓN DE FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSPOLINOMIOS

Esta presentación no pretende sustituir Esta presentación no pretende sustituir las explicaciones del profesor, sino que las explicaciones del profesor, sino que

está pensada como complemento de las está pensada como complemento de las mismas y ayuda para el estudio.mismas y ayuda para el estudio.

IDEAS BÁSICAS:IDEAS BÁSICAS:

¿Qué es raíz de un polinomio?¿Qué es raíz de un polinomio? ¿Qué es un factor irreducible?¿Qué es un factor irreducible? ¿Qué relación hay entre raíces y factores?¿Qué relación hay entre raíces y factores? ¿Cómo se buscan las raíces?¿Cómo se buscan las raíces? ¿Cómo se factoriza un polinomio?¿Cómo se factoriza un polinomio?

Raíz de un polinomio Raíz de un polinomio P(x)P(x)

Decimos que un número Decimos que un número “a” es raíz del polinomio “a” es raíz del polinomio P(x) cuando el valor P(x) cuando el valor numérico P(a)=0numérico P(a)=0

EjemploEjemplo:: Comprueba que a = 2 y b = 1, Comprueba que a = 2 y b = 1,

son ambas raíces del polinomio son ambas raíces del polinomio P(x)P(x)

mientras que c = -1 no lo es. mientras que c = -1 no lo es.

P(x) = x2 - 3x + 2

Factor irreducibleFactor irreducible

El polinomio El polinomio P(x) = x2 - 3x + 2

puede escribirse así:puede escribirse así:

P(x) = (x – 2)(x – 1)

(x-2) y (x-1) son los factores (x-2) y (x-1) son los factores irreducibles de P(x)irreducibles de P(x)

Relación entre Relación entre raíces y factoresraíces y factores Si nos fijamos en el Si nos fijamos en el

ejemplo anterior, ejemplo anterior, podemos ver que podemos ver que los factores se los factores se construyen de esta construyen de esta forma:forma:

RaízRaíz Factor asociadoFactor asociado

x = 2x = 2 (x-2)(x-2)

x = 1x = 1 (x-1)(x-1)

Búsqueda de raícesBúsqueda de raíces

Si conocemos una raíz, Si conocemos una raíz, conocemos inmediatamente conocemos inmediatamente su factor asociado.su factor asociado.

Por tanto, nuestro objetivo Por tanto, nuestro objetivo inmediato es encontrar las inmediato es encontrar las raíces.raíces.

¿Cómo?¿Cómo?

Búsqueda de raícesBúsqueda de raíces

Tenemos que encontrar Tenemos que encontrar todos aquellos números “a” todos aquellos números “a” que hagan que hagan

P(a)=0P(a)=0

Pero, ¿quiénes pueden ser Pero, ¿quiénes pueden ser esos números “a” y cómo los esos números “a” y cómo los encontraremos?encontraremos?

Hay varias ideas que usadas adecuadamente nos resolverán Hay varias ideas que usadas adecuadamente nos resolverán el problema de hallar las raíces:el problema de hallar las raíces:

TEOREMA DEL RESTO:TEOREMA DEL RESTO:

““El resto de la división de un polinomio P(x) entre el El resto de la división de un polinomio P(x) entre el binomio (x-a), coincide con el valor numérico P(a)”binomio (x-a), coincide con el valor numérico P(a)”

En otras palabras, podemos escribir:En otras palabras, podemos escribir:

P(x) x-aP(x) x-aResto C(x)Resto C(x)

Resto = P(a)Resto = P(a)

Por tanto, si el resto de la división es cero,

P(a)=0 “a” es una raíz de P(x).

¿Pero hay algún método que nos permita ¿Pero hay algún método que nos permita hacer la división P(x) : (x-a) de modo hacer la división P(x) : (x-a) de modo rápido y sencillo?rápido y sencillo?

La regla de Ruffini

La regla de Ruffini no es otra cosa que un método muy rápido para hacer divisiones como ésta:

(x2 – 3x + 2) : (x – 2)

La regla de Ruffini no es otra cosa que un método muy rápido para hacer divisiones como ésta:

¿Cómo?

(x2 – 3x + 2) : (x – 2)

¿Cómo?

2

1 -3 2

(x2 – 3x + 2) : (x – 2)

escribimos aquí este número

¿Cómo?

2

1 -3 2

(x2 – 3x + 2) : (x – 2)

Al hacer la división, vemos que el resto es Al hacer la división, vemos que el resto es cero.cero.

2

1 -3 2

1 -1 0

2 -2

Como el resto de la división P(x) : (x-2) es cero, “2” es una raíz de P(x) y por lo tanto, (x-2) es uno de los factores irreducibles del polinomio P(x)

Ahora buscamos otra raíz para conseguir otro factor, y así sucesivamente, hasta que los tengamos todos…

(x2 – 3x + 2) : (x – 2)

¿Pero tenemos algún criterio para ¿Pero tenemos algún criterio para escoger las “presuntas” raíces antes escoger las “presuntas” raíces antes de lanzarnos a hacer divisiones por el de lanzarnos a hacer divisiones por el método de Ruffini?método de Ruffini?

Sí lo hay (al menos para las raíces que sean números enteros)

“Las raíces enteras de un polinomio P(x), son siempre divisores de su término independiente”

Por tanto, buscaremos las raíces tanteando con esos divisores, como en el ejemplo siguiente:

Ejemplo:Ejemplo:

¿Cuáles pueden ser las raíces enteras ¿Cuáles pueden ser las raíces enteras del polinomio del polinomio P(x) = - 3x5 + 4x2 – 5x -3 ??

Respuesta: La posibles raíces enteras Respuesta: La posibles raíces enteras sólo pueden ser los números +1, -1, sólo pueden ser los números +1, -1, +3 y -3+3 y -3

Ahora es el momento de utilizar la regla de Ruffini para hacer de modo rápido las siguientes divisiones:

P(x):(x-1) P(x):(x+1) P(x):(x-3) y P(x):(x+3)

º( x-(-1)) ( x-(3))

Para factorizar un polinomio P(x) Para factorizar un polinomio P(x) necesitamos conocer sus raícesnecesitamos conocer sus raíces

Raíces2, -1 y 3

1º Factor:(x-2)

2º Factor:(x+1)

3º Factor:(x-3)

Ejercicio: Factorizar el polinomioEjercicio: Factorizar el polinomio

Sus posibles raíces son : +1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6

P(x) = x3 -4x2 + x + 6

Posible raízPosible raíz ¿Es raíz? Sí/NO¿Es raíz? Sí/NO Factor asociadoFactor asociado

+1+1 NoNo

-1-1 SíSí (x+1)(x+1)

+2+2 SíSí (x-2)(x-2)

-2-2 NoNo

+3+3 SíSí (x-3)(x-3)

-3-3 NoNo

+6+6 NoNo

-6-6 NoNo

Ahora ya podemos escribir la expresión Ahora ya podemos escribir la expresión factorial de factorial de

P(x) = x3 -4x2 + x + 6

P(x) = x3 -4x2 + x + 6 = (x+1)(x-2)(x-3)

En resumen: ¿qué procedimientos En resumen: ¿qué procedimientos podemos utilizar para encontrar raíces?podemos utilizar para encontrar raíces?

Si sospechamos que el número “a” es una raíz de P(x), tenemos tres Si sospechamos que el número “a” es una raíz de P(x), tenemos tres posibles opciones para comprobarlo:posibles opciones para comprobarlo:

1.1. Dividimos P(x) : (x-a). Si el resto es cero, Dividimos P(x) : (x-a). Si el resto es cero, “a” es raíz.“a” es raíz.

(uso de la regla de Ruffini)(uso de la regla de Ruffini)

2.Sustituimos la “x” del polinomio, por el número “a” (la 2.Sustituimos la “x” del polinomio, por el número “a” (la “presunta” raíz). Si P(a)=0, concluimos que “a” es raíz.“presunta” raíz). Si P(a)=0, concluimos que “a” es raíz.

(definición de raíz de un polinomio)(definición de raíz de un polinomio)

3. Igualamos P(x)=0 y resolvemos la ecuación3. Igualamos P(x)=0 y resolvemos la ecuación(especialmente cuando el polinomio es de segundo (especialmente cuando el polinomio es de segundo grado)grado)

Esquemáticamente, podemos escribir:Esquemáticamente, podemos escribir:

P(x)

Posibles raíces:Divisores del término

independiente:

a, b, c…

a es raíz b no es raíz

(x – a) es factor

P(x)

Posibles raíces:Divisores del término

independiente:

a, b, c…

a es raíz b no es raíz

(x – a) es factor

Si el resto de la división es cero,…

P(x) x-a

0 C(x)

P(x)

Posibles raíces:Divisores del término

independiente:

a, b, c…

a es raíz b no es raíz

(x – a) es factor

Si el valor numérico del polinomio es cero…

P(a) = 0

P(x)

Posibles raíces:Divisores del término

independiente:

a, b, c…

a es raíz b no es raíz

(x – a) es factor

Si “a” es una solución de la ecuación P(x) = 0

Así que, cuando conozcamos todas las raíces del

polinomio P(x), digamos a, b, c, etc…

Los factores serán:

(x-a), (x-b), (x-c), etc…