factorización de expresiones algebraicas

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FactorizacinCONOCIMIENTOS PREVIOS:CONTENIDOS CONCEPTUALES Polinomios Ecuacin de segundo grado CONTENIDOS PROCEDIMENTALES Utilizacin de la regla de Ruffini para dividir polinomios por (x-a) Deduccin de la frmula resolvente de una ecuacin de segundo grado. Clculo de races (reales) de una ecuacin de segundo grado. Factorizacin de polinomios de segundo grado (races reales)1FactorizacinEXPECTATIVAS DE LOGRO:Que los alumnos sean capaces de: Distinguir cada caso de factoreo Decidir de manera correcta y de la forma mseficiente, cul es el caso de factoreo que deben aplicar; y que lo sepan aplicar. Identificar si un polinomio es primo o compuesto Justificar cada paso que realizan, cuando se encuentren frente a un ejercicio en el cual deban aplicar ms de un caso de factoreo2FactorizacinORGANIZACIN DE LA CLASEComo los alumnos, se supone, que ya vieron los casos de factoreo, nosotrasnoslimitaramossimplementearecordar como funcionaban estos casos, mediante un ejemplo, de esta manera, nuestro objetivo sera refrescar los conocimientos ya vistos, con el objeto de interiorizar a los alumnos en el tema y as poder lograr una completa aplicacin de cada uno de ellos.Nuestra meta es que los alumnos puedan comprender a fondo el tema, que puedan, frente a un polinomio , de una o ms variables, saber por donde empezar, qu propiedad aplicar, yas poder lograr lafactorizacindeunpolinomio compuesto en un producto de polinomios primos. La idea es dejar esto muy claro, para que los alumnos no tengan demasiadas dudas cuando se enfrenten al ejercicio.Nosotras desarrollaramos una clase global e integradora, a partir de conocimientos ya vistos con anterioridad.Nuestra intencin sera explicar ejercicios, lo ms completos posibles, en el pizarrn, luego dejaramos ejercitacinparaque los alumnos realicendetarea; y la correccin de los mismos se realizara la clase siguiente en el pizarrn, pero en esta oportunidad haramos que los alumnos pasen al frente y expliquen como resolvieron el ejercicio y qu propiedades aplicaron en cada uno de ellos.De esta manera lograramos que los alumnos participen delaclase, yadems tambinpuedesurgir queparaun mismo ejercicio haya alumnos que lo resolvieron de distinta manera, y ambos resultados son correctos. FactorizacinRecuerdo de los casos de factoreo, mediante un ejemplo de cada uno de ellos:3Acontinuacindetallamosenquconsistecadaunodelos casos, pero sin embargo, en la clase no lo vamos a hacer, ya que con el ejemplo es suficiente para que los alumnos recuerden cada uno FACTOR COMN Procedimiento:1 Paso: Buscamos el factor comn (que debe ser el mayor posible)2 Paso:Seexpresaelpolinomio dadocomoel producto delfactor comnpor elpolinomio que resulta de dividir el polinomio dado por el factor comn.Ejemplos: 1)4 22 22 2a b abab a b++ Factor com un( )

2)3 93 3xby xax by a Factor com un( )Factorizacin FACTOR COMN POR GRUPOS Seaplicaenpolinomiosquenotienenfactor comnen todos sus trminos.Procedimiento 41 Paso:Se forman grupos de igual cantidad de trminos que tengan factor comn, se sustrae dicho factor comn en cada uno de los grupos.2 Paso: Debe quedar un parntesis comn.3 Paso: Se extrae dicho parntesis como factor comn.Ejemplos:1) ( ) ( )2 22 22 222 22 22 22xy a mb xy b maxy a ma mb xy ba xy m b m xyxy m a b+ + ++ + ++ + ++ + Agrupo Factor Com nFactor Com n Factor Com n por Gru pos( ) ( )( )( )2)( ) ( )( ) ( )( )( )x ax bx abx x a b x ax a x b2+ + + + + ++ + Factor com un Factor com un Factor Com un por Gru poFactorizacin TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Recuerdo: Cuadrado de un Binomio(x + y)2 + + x xy y2 22Procedimiento:1Paso:Se reconocen los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo adelante.Ycalculosusracescuadradas, dichasracessernlas bases.2 Paso: Luego calculo el doble producto de sus bases; y luego nos fijamos si se verifica que el doble producto figura en el trinomio dado, 53 Paso: Si el doble producto figura en el trinomio dado, entoncesdecimosqueesunTrinomioCuadradoPerfecto;y luego lo factorizo como el cuadrado de un binomio, formado por dichas bases.OBSERVACIONESMUY IMPORTANTES: Si el doble producto que figura en el Trinomiodadoespositivo, entonceslasbasesdel Cuadrado del Binomio tendrn las dos el mismo signo. Si el doble producto que figura en el Trinomiodadoesnegativo, entonceslasbasesdel Cuadrado del Binomio tendrn signos opuestos.FactorizacinEjemplos:1)4 12 94 29 32 2 3 124 12 9 2 3 2 32 2222 2 2 2x xz zx xz zx z xzx xz z x z o x z+ +'+ + . .Es un Trin omio Cuadr ado Perfec toEntonces: = ( + ) ( )2)641164 2116142 21441162 2146 36 33 36 3 3 2 3 2x xx xx xx x x o x+ +'+ + . .Es un Trin omio Cuadr ado Perfec toEntonces: = ( +14) ( )Factorizacin CUATRINOMIO CUBO PERFECTO Recuerdo: Cubo de un Binomio( ) x y x x y xy y + + + +33 2 2 33 3Procedimiento:1Paso: Se reconocen los cubos perfectosY calculo sus races cbicas, dichas races sern las bases.2 Paso: Luego calculo: el triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda el triple producto de la primera base por el cuadrado de la segunda7Luego nos fijamos si estos clculos figuran en el cuatrinomio dado, 3 Paso:Siestos clculos figuran en eltrinomio dado, entoncesdecimosqueesunCuatrinomioCuboPerfecto; y luego lo factorizo como el cubo de un binomio, formado por dichas bases.OBSERVACINMUY IMPORTANTE:Las bases que figuran en el Cubo del Binomio, van a conservar su signo.FactorizacinEjemplos:1)8 36 54 278 227 33 2 3 363 2 3 548 36 54 27 23 2 2 33 33 32 22 23 2 2 3 3a a b ab ba ab ba b a ba b aba a b ab b a+ + '+ + .( ) .( ).( ).( )Es un Cuat rinomio Cubo Perfect oEntonces: = ( - 3b)2)8183432118121 131213431213218343211213 23332 223 2 3x x xx xx xx xx x x x + ' + .( ) .( ). .( )Es un Cuat rinomio Cu bo Perfect oEntonces: = ( - )Factorizacin DIFERENCIA DE CUADRADOS Recuerdo: Producto de Binomios Conjugados( )( ) x y x y x y + 2 2Procedimiento:1 Paso:Deboidentificar laresta(debehaber unsolo signo negativo) y luego los cuadrados perfectos.2 Paso:Calculolas bases delos cuadrados perfectos (haciendo la raz cuadrada de cada uno)3 Paso:Transformoladiferenciadecuadrados enun producto de binomios conjugados, formado por dichas bases.Ejemplos:1)99 2 59 32 5 59 2 5 3 5 3 52 2222 2x yx xy yx y x y x y' + E n t o n c e s : ( ) ( )2)4949234923236 4 26 34 2 26 4 2 3 2 3 2x z yx xz y z yEntonces x z y x z y x z y' +|.

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:Factorizacin DIVISIBILIDAD Estecasoconsisteenhallar los divisores del polinomio dado. Esto lo efectuamos mediante la siguiente propiedad.Si un nmero a es raz de un polinomio P(x), dicho polinomio es divisible por (x-a), es decir que, al dividir P(x) por (x-a), el resto de la divisin es ceroPor el teorema del resto tenemos que: P(a)=0En smbolos:P(x) (x-a)0 C(x)Clculo de las races de un polinomio: Paracalcularlaracesdeunpolinomioenel cual figuraunasolaincgnita, elevadaaunapotencia, 10Entonces: P(x)=(x-a)C(x)Este tipo de divisin la podemos realizar con la Regla de Ruffinipodemos calcular su raz igualando a cero y resolviendo esa ecuacin. Cuando tenemos un polinomio de grado dos, donde aparece la incgnita dos veces (una elevada al cuadrado y otra con exponente 1, podemos calcular sus races aplicando la resolvente.FactorizacinEnestecasohayquetenerencuentaquelosalumnosya saben factorizar un polinomio de este tipo.Entonces:Si ( ) ,ysean raices deentonces p odemos esc ribir a como:P x ax bx c x x P xP xP x a x x x x + + 21 21 2, ( )( )( ) ( )( ) Ahora si nos encontramos con un polinomio de gradomayorquedos, ylaincgnitaaparecems de una vez, podemos calcular sus races mediante elTeorema deGauss, quesibien no nos asegura exactamente cules son sus races, nos da un nmero finito de races posibles.Teorema de Gauss:Este teorema nos parece conveniente explicarlo a travs de unejemplo, ya que el teorema enunciado enformageneral nos parece demasiado complicado para que los alumnos puedan entenderlo.11Si tenemospor ejemp lo( ) = - - -Divisoresdel t rmin o independ iente,(-3): 1, 3Divisoresdel coefic iente prin cipal,(2): 1, 2Entonces l as posible s raices d e P(x) son :x1P x x x xx x x2 3 8 31123323 22 3 4t tt tt t t t , , ,FactorizacinAhora debe mos verifi ar cualesson las ra ices de es raiz es raiz es raizP xP xP xP x( )( ) .( ) .( ) .( )( ) .( ) .( ) .( )( ) . . . 1 2 1 3 1 8 1 3 0 1122123128123 0123 2 3 33 8 3 3 0 33 213 223 23Entonces podemos escribir a P(x) como:P x x x x x x x ( ) ( )( )( ) + + 2 3 8 3 2 11233 212FactorizacinEjemplos:1)xxxxx xx x C xC x x xC xx x xC x x xR xx x x x33333333 223 26464 0646464 40 0 64141 4 04 16064 4 4 16++++++Calculoun araizde P(x)64 = 64x= 4 RaizdeP( x)Entonces: esdivisi blepor( - 4),esdecir = ( - 4) ( )( )eselco cientede dividirpor( - )AplicoRuf finipara calcular 4 0 0- 641664 16Entonces:( )( )( )( )( )Factorizacin2) 13x xx xxx x xx x x x221 221 2 1 2266 01 1 41 61 2523 26 3 2 t t +Busco unaraiz de P( x)2.1Entonces:,,( ) . .( ),( )( )FactorizacinCOMBINACIN DE LOS CASOS DE FACTOREOEjercicio N 1: Factoriza la siguiente expresin14209 Factor Com un Diferenciade cuadra dos 1x b x bx b x bx b xbx b xb xb5 3 33 2 22 2355491492315231231 +|.

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( ),Ejercicio N 2: Factoriza la siguiente expresin( ) ( )( )( )( )a a aa a aa a aa aa a aa a3 23 2222111 11 11 1 11 1 + + ++ + Agrupo losterminosSaco facto r comun encada grup o( - ) +(-1)( - )Factor Com un por Gru pos( - )( Diferenciade Cuadra dos-Multiplico ,los facto res con ig ual base)( ) ( )FactorizacinEjercicio N 3: Factoriza la siguiente expresin( ) ( ) ( )x x y x y xy xy yx x y x y xy xy yx x y xy x y y x yx yx y x xy yx y x y3 2 2 2 3 4 53 2 2 2 3 4 52 2 42 2 422 2222- - + + -Agrupo ter minos- + -2 + + - Saco facto r comun encada grup o Saco facto r comun ( - ) Trinomio C uadrado Pe rfecto + + ( ) ( ) ( )( )( )( )( )CLCULOS:15Trinomio Cuadrado Pe rfecto (Calculos) x xy yx xy yxyx xy y x y2 2 424 222 2 4 2222 +' + ( )FactorizacinEjercicio N 4: Factoriza la siguiente expresinUna forma de resolverlo:[ ] + + + + + + ++ ++ + 4 2 4 22 2 2 12 2 1 2 12 2 1 12 2 1 1 13 23 222x x xx x xx x xx xx x xFactor Com un (2) Factor com un por gru pos Diferenciade cuadra dos( )( ) ( )( )( )( )( )( )16FactorizacinOtra forma de resolverlo:( )( ) + + + + ++ + +|.

` + +|.

` +4 2 4 22 2 2 12 2 1 12 2 11214 11213 23 22x x xx x xx x xx x xx x xFactor Com un (2) Divisibili dad (T. Gauss)Resolventeo Gauss ( )( )( ).( ) ( )( ) CLCULOS:Divisibili dad (calcu los) T. Gauss Posibles R aices: 1,12 es raiz es divisi ble por ( +1),es decir= ( ) ( )( ) es el co ciente dedividir por ( +1) + + t t + + + + + + + + +2 2 12 1 1 2 1 1 012 2 12 2 1 12 2 13 23 23 23 23 2x x xx x x xx x x x C xC x x x xx( ) ( ) ( )( ) Factorizacin17AplicoRuf finipara calcular

-1 - 2-12 12 -1-1- 2 1 1 Entonces:C xx x xC x x xR xx x x x x x( )( )( )( )( )+++++++++2 2 102 102 2 1 1 2 13 223 2 2( )R e s o l v e n t e :=- 1 1 =- 1 92 + +t t ' + + |.

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2 14 2 12 241212 1 212121 21 2 1 22x xxx x xx x x x,,.( ) ..( ),Ejercicio N 5: Factoriza la siguiente expresin4 4 4 44 44 44 2 2 3 3 2 2 42 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2x x y x y xy y x yx x y xy x y x yx yx y x xy y + + Factor Com un por Gru pos( - ) - ( - ) + y ( - )Factor com un ( - )( - )( - + )Diferenciade Cuadra dos Trinomio C uadrado Pe rfecto(x - y)(x + y)(2x - y)22 FactorizacinCLCULOS:T r i n o m i o C u a d r a d o P e r f e c t o= 2 xy2 . 2- 4 x y+ y2 2444 222 2xyx y x yx x y ' .( )Para recordar:En el momento de factorizar una expresin debemos tener en cuenta que:18Primero nos fijamos si hay factor comn en todos los trminos, en caso de haber, lo extraemos.Luego Consideramos la cantidad de trminos: Si haydos trminospuede ser que sea Diferencia de Cuadrados o puede ser que podamos utilizar el caso Divisibilidad. Si haytres trminospuede ser Trinomio Cuadrado Perfecto o puede ser que podamos aplicar Divisibilidad Si hay cuatro trminos puede ser que sea un CuatrinomioCuboPerfecto, podemos intentar Factor Comn por Grupos o utilizar Divisibilidad.(Esto en realidad lo recordaramos ms o menos al finalizar o comenzar el primer ejercicio)FactorizacinEjercitacinLa siguiente ejercitacin es para que los alumnos realicen de tarea y luego haramos la correccin en el pizarrn, haramos pasar a los alumnos para que los realicen, yas participardelaclaseypodermarcarlesloerroresen forma oral, para que todos escuchen y no vuelvan a cometer esos errores.En el ejercicio N 1 se puede aplicar Factor Comn por Grupos Diferencia de Cuadrados DivisibilidadEn el ejercicio N 2 se puede aplicar19 Factor Comn Factor Comn por Grupos Diferencia de CuadradosEn el ejercicio N 3 se puede aplicar Factor Comn Cuatrinomio Cubo PerfectoEn el ejercicio N 4 se puede aplicar Factor Comn Trinomio Cuadrado PerfectoEn el ejercicio N 5 se puede aplicar Factor Comn Factor Comn por Grupos DivisibilidadEn el ejercicio N 6 se puede aplicar Factor Comn Factor Comn por Grupos Diferencia de CuadradosEn el ejercicio N 7 se puede aplicar Factor Comn Diferencia de CuadradosFactorizacinFactorizar los siguientes polinomios121812183159102720274041929195 332323326 4 8 16 327 3 125 3 2 3 2 53 2 3 2 2 27 4 5 3 2 3 2 3 42 4 2 3 2 2 28 7 6 3 22 3 49 7 7 9))))))) 12 32 x x a a x aa x a y ax aya b x a b x a b x abxa x y ax y x yx x x x x xa a a ax y x y + + + + + ++ + + + + +20FactorizacinMODO DE EVALUACINEn cuanto a la forma de evaluacin del tema, la realizaramos mediante un examen.Dicho examen lo tomaramos al finalizar el tema, dejando una clase intermedia, entre la ltima clase y el examen.Con esta clase intermedia le daramos a los alumnos la posibilidad de consultar sobre alguna inquietud que haya quedadosobreel temadado. Claroquenolededicaramos una clase completa sino, algunos minutos o media hora, segn las dudas que hayan surgido en los alumnos.Laevaluacinoexamenconsistiraenlaresolucinde5 ejercicios(yaquenosparecilacantidadmsapropiada), cuyos ejercicios estaran distribuidos de la siguiente manera:El primer ejercicio para aplicar Cuatrinomio Cubo PerfectoEl segundo ejercicio para aplicar Diferencia de CuadradosEl tercer, cuarto y quinto ejercicio para aplicar diversos casos defactoreo, enunmismoejercicio, engeneral dosotres casos en el mismo.21FactorizacinMODELO DE EXMENFecha: .........................................Nombre y Apellido:......................................................................Curso:..................................................Factorizar hasta su mnima expresin, justificando cada paso que realicesRealizar todos los clculos en la hoja.1) x x x3 29427642716 +2)36811002 2 2 2x y z x 3) 3 xy xy x2150 18754) ab a3125 +5) + + 3 15 24 123 2x x x22FactorizacinSOLUCIN DEL EXMEN1) x x x3 29427642716 +Caso Aplicado: Cuatrinomio Cubo Perfectox xx xx xx x x x3 332 223 232 76 43433494334271 6942 76 42 71634 |.

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. .. . e su n C u a tr i no m i oC u b o P er f e c t oE n to n ce s :2)36811002 2 2 2x y z x Caso Aplicado: Diferencia de Cuadrados 368169100 103681100691069102 2 222 2 2 2x y z xyzx xx y z x xyz x xyz x' +|.

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BasesEntonces: 23Factorizacin3) 3 xy xy x2150 18753 xy xy xx y y22150 18753 50 625 Factor Com unFactorizac ion median te el ca lculo de l as raices(resolvent e)3x(y - 25)(y - 25) = 3x(y - 25)2( )Calculosy yy yxx x xy y x x x:( ) . .( ),( )( ) ( ),, Resolvent eBusco unaraiz de P( x)2.1Entonces:221 221 2 1 22 250 62550 625 050 50 41 62550 0225 2550 625 25 25 25 t t Factorizacin4)ab aa bb b x3321251255 25 5+++ + Factor Com un

Divisibili dad(( ))( )24Divisibili dad:-5esraizde +entonces esdivisib lepor(x +5).( + AplicoRuf fini,paracalc ularC(x)dondeC(x)esel coc ienteded ividir+por(x +5)

00 125 5- 25-1255 - 250bb x C xbb b bC x x xR x3333 22125125 51250 0 1255115 250) ( ) ( )( )( )+++++5)( )( )( )( )( )

Factor com un Divisibili dad - -Trinomio C uadrado Pe rfecto - - + + + +3 15 24 123 5 8 43 1 4 43 1 23 23 222x x xx x xx x xx xFactorizacin6)25Divisibili dadx x xx x xx x x x x C xC x x x x xC xC x x xR x:. .( )( )( )3 23 23 23 23 225 8 41 51 81 4 1 5 8 4 05 8 41 5 8 4 15 8 4 111 5 8 41 4 41 4 4 04 40+++++++Entonces:esdivisi blepor( - ),esdecir = ( - ) ( )( )esel co cientede dividirpor( - )AplicoRuf fini para calcular - - -- FactorizacinBIBLIOGRAFA UTILIZADA LGEBRA Y TRIGONOMETRA. Stanley A. Smith. Radall.I. Charles.John A. Dossey. Meruin L. Bihinger. Addison Wesley LogmanRed Federalde Formacin Docente Continua. Ministerio de Cultura y Educacin de la Nacin. MATEMTICA 1 ACTIVA. Puerto de Palos. Casa de Ediciones. Adriana Beo. Marialucita Colombo. Carina DAlbano. Oscar Scardella. Irene Zapica. MATEMTICA 1. Susana N. Etchegoyen/ Enrique D. Fagale/SilviaA. Rodrguez. MartaI. AuitadeKalan. Mara Rosario Alonso. Editorial Kapeluz.26