factorización de polinomios · • la gráfica de un polinomio de grado mayor que 1 es siempre una...
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Funciones polinómicas
• Recuerden que un polinomio es una expresión algebraica de la forma
P(x) = an xn + an - 1 x
n - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x + a0
• an, an -1 ... a1 , ao son números, llamados coeficientes.
• an es el coeficiente principal
• ao es el término constante.
• Para cualquier polinomio, (0, ao ) es el intercepto en y.
Polinomios
• Ejemplo
f(x) = 5x4 – x3 + 3x2 + 2x – 7
Polinomios
• el coeficiente principal, an es
• el término constante, ao es
• el intercepto en y, (0, ao ) es
5.
-7.
-7.
P(x) = an xn + an - 1 x
n - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x
1 + a0
• El grado de un polinomio , P(x), es el exponente
mayor al que se encuentra elevada la variable
x.
• Polinomio de grado cero (función constante)
Ejemplo: P(x) = 2
• Polinomio de grado uno (función lineal)
Ejemplo: P(x) = 3x + 2
• Polinomio de grado dos (función cuadrática)
Ejemplo: P(x) = 2x2+ 3x + 2
Polinomios
Indicar el grado e intercepto en y
• Los ceros o las raíces de un
polinomio son los valores de x
tal que f(x) = 0.
• Si los ceros son reales, entonces
coinciden con los interceptos en
x de la función.
• Es posible encontrar los ceros de
polinomios de grado mayor que
2 con técnicas que ya hemos
estudiado en algunos casos.
Ceros de un polinomio
Ceros de polinomios de grado mayor que 3
• El método practicado anteriormente se puede aplicar a algunos polinomios de grado mayor que 3.
• Por ejemplo, consideremos
345 6144)( xxxxf
345 6144)( xxxxf
•Este es un polinomio de
grado 5 y tiene 3 términos
•Todos los términos tienen un
factor de x3 en común.
•Todos los términos tienen un
factor de 2 en común.
345 6144)( xxxxf
Se comienza la factorización
removiendo el máximo común
divisor, o sea el factor 2x3.
3x2)x(f
Luego, se factoriza la cuadrática que
queda dentro de los paréntesis.
La factorización completa de f(x) es:
3x2)x(f
Los ceros de la función se consiguen
igualando cada factor a 0.
Si los ceros son reales, entonces los
ceros nos indican los interceptos en x
de la gráfica.
Práctica 2 • El método presentado anteriormente
se puede aplicar para hallar los
interceptos en x de la gráficas de las
siguientes funciones:
234 103)( a) xxxxg 35)( b) xxxh
345 24183)( c) xxxxq
Soluciones • Práctica 2
a) f(x) = x2(x – 5)(x + 2)
Los ceros son x = 0, x = 5, x = -2
Los interceptos en x son (0,0), (5,0) y (-2,0)
b) h(x) = x3(x + 1) (x – 1)
Los ceros son x = 0, x = -1, x = 1
Los interceptos en x son (0,0), (-1,0) y (1,0)
c) q(x) = 3x3(x + 2)(x + 4)
Los ceros son x = 0, x = -2, x = -4
Los interceptos en x son (0,0), (-2,0) y (-4,0)
• Polinomio de grado cero (función constante)
P(x) = 2
La gráfica de P(x) es una recta horizontal que pasa
por (0,2).
Gráfica de un polinomio de grado 0
P(x) = 1 – 2x (función lineal)
La gráfica de P(x) es una recta, con
pendiente igual a ,
intercepto en y en
intercepto en x en
Gráfica de un polinomio de grado 1
?
?
?
• La gráfica de un polinomio de grado mayor que
1 es siempre una curva suave y contínua.
• El comportamiento en los extremos de la gráfica
es igual que el comportamiento del monomio
Q(x)=an xn.
• El comportamiento en los extremos es
determinado por el grado, n, y el signo del
coeficiente principal, an.
Polinomios de grado > 1
Características de polinomios de grado 3; grado impar
a > 0 a < 0
puntos de máximos o mínimos locales: donde la gráfica cambia de forma
de crecimiento; son NO MAS DE n – 1, donde n es el grado del polinomio.
interceptos en x: NO MAS DE n, donde n es el grado del polinomio.
comportamiento en los extremos:
Si a>0, la gráfica es creciente en ambos extremos.
Si a <0, la gráfica es decreciente en ambos extremos.
Características de polinomios de grado 2; grado par
puntos de máximos o mínimos
locales: donde la gráfica cambia de
forma de crecimiento; son NO MAS
DE n – 1, donde n es el grado del
polinomio.
interceptos en x: son A LO MAS n,
donde n es el grado del polinomio.
comportamiento en los extremos:
Si a>0, la gráfica es decreciente en
el extremo izquierdo y creciente en
el extremo derecho.
Si a <0, la gráfica es creciente en el
extremo izquierdo y decreciente en
el extremo derecho.
• Las gráficas de polinomios de grado mayor que
2 son siempre curvas suaves y contínuas.
• Ejemplo: Trace la gráfica del polinomio:
Polinomios de grado > 2
xxxxf 107)( 23
Observaciones:
• Es un polinomio de grado 3 que tiene 3 términos
(le falta el término constante)
• Todos los términos tienen un factor de x en común.
• Intentamos factorizar para identificar puntos.
• Igualar cada factor a 0, resolver para x y
determinar los puntos correspondientes :
• Para el intercepto en y, evaluamos:
f(0) .
cont.
xxxxf 107)( 23
• Factorice el polinomio:
Trace la gráfica: (cont.) xxxxf 107)( 23
grado 3; tiene 3 ceros
o interceptos en x
a = 1 > 0
extremo izquierdo:
creciente
extremos derecho:
creciente
Multiplicidad
• Si
o uno de los factores de f(x) es (x – c)m y
o la gráfica de f tiene un intercepto en x en c
entonces c es un cero real de multiplicidad m ,
La gráfica de f muestra el siguiente comportamiento
cerca de (c, 0) :
Multiplicidad (cont)
¿Qué sabemos?
• grado
• La ecuación ya está en forma factorizada y sus ceros son
• número de interceptos en x:
• número de máximos o mínimos:
• coeficiente principal:
• El intercepto en y es
Trace la gráfica del polinomio:
Trace la gráfica (cont.):
¿Qué sabemos?
• grado par;
• número de interceptos en x:
• número de puntos de retorno,
• a= 1;
• La ecuación está factorizada; los ceros son
Los interceptos en x son:
El intercepto en y es
Trace la gráfica del polinomio:
𝑔 𝑥 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
Trace la gráfica del polinomio:
𝑔 𝑥 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
Hallar una posible ecuación para la gráfica si f tiene 3 ceros de multiplicidad 1 y un
cero de multiplicidad 2
¿Qué sabemos?
• grado es
• coeficiente principal es
• extremos
• Los interceptos en x son
• El intercepto en y es
𝑔 𝑥 = 𝑘(𝑥 + 1)2(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
Hallar una posible ecuación para la gráfica (cont.)
El intercepto en y es
Para obtener k, sustituir (0, -12) en la ecuación.
-
𝑔 𝑥 = 𝑘(𝑥 + 1)2(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)