factorial y combinatoria
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Razonamiento Matemático
80 Fernández Ramírez E.W.
OBJETIVOS• Conocer las principales técnicas que se pueden utilizar en el conteo de situaciones combinatorias.
• Desarrollar la habilidad operativa necesaria en la aplicación de técnicas de conteo.
• Entenderlateoríabásica,parapoderenfrentarestudiossuperiores,dondeseapliqueestosconceptos
matemáticos.
1. 1! + 2! + 3!
Rpta:...........................................................
2.
Rpta:...........................................................
3. 7! – 5! + 4!
Rpta:...........................................................
Problema desarrollado
1. Hallar “x”
Resolución:
Como: x! = x(x - 1)
Entonces; reemplazando:
Problema por desarrollar:
1. Calcular “b”
Resolución:
4. 5 . 8! + 3. 8! – 7. 8! Rpta:...........................................................
5. 9. 5! + 4. 5! – 10 . 5! + 2. 5!
Rpta:...........................................................
6. 8! + 7! – 6!
Rpta:...........................................................
7.
Razonamiento Matemático
Rpta:...........................................................
8.
Rpta:...........................................................
9. Hallar el valor de “S”
Rpta:...........................................................
10. Hallar “x”
Rpta:...........................................................
11. Hallar “a”
Rpta:...........................................................
12. Hallar “b”
Rpta:...........................................................
13.
Rpta:...........................................................
14. Rpta:...........................................................
15.
Rpta:...........................................................
16.
Rpta:...........................................................
17. Rpta:................................................
...........
18.
Rpta:...........................................................
19.
Rpta:...........................................................
20.
Rpta:...........................................................
Razonamiento Matemático
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1. 9! - 8!
Rpta:...........................................................
2.
Rpta:...........................................................
3. Halle “x”
Rpta:...........................................................
4.
Rpta:...........................................................
5.
Rpta:...........................................................
Razonamiento Matemático
Problema desarrollado
1. El Capitán de un barco solicita 2 oficiales y 3 marine-ros, pero se presentan 4 oficiales y 6 marineros.
¿De cuántas maneras diferentes podrá elegir la tripu-lación?
Resolución:
- Eligiendo los oficiales, se tiene
- Para los marineros, se tiene
El total de maneras será:
Problema por desarrollar:
1. Se tienen 8 puntos en un plano, de los cuales 3 o más no pueden estar en línea recta. ¿Cuántos triángulos diferentes se podrán formar?
Resolución:
1. De un grupo de 10 personas, ¿Cuántos cuartetos diferentes se podrán formar?
Rpta:...........................................................
2. Se tienen 8 frutas diferentes. ¿Cuántos jugos surtidos diferentes se podrán preparar con 3 de ellas?
Rpta:...........................................................
3. En un torneo futbolístico, participan 7 equipos. ¿Cuántos partidos diferentes se realizaran, si juegan todos contra todos?
Rpta:...........................................................4. De 8 candidatos se desea elegir a un presidente,
un secretario y un tesorero. ¿Cuántas directivas
diferentes se podrán formar?
Rpta:...........................................................
5. Una persona está interesada en 6 camisas pero sólo puede comprar 3 de ellas. ¿De cuántas maneras diferentes podrá elegir las prendas?
Rpta:...........................................................
6. Se desea formar una bandera de 3 franjas verticales, una a continuación de otra, si se proponen 7 colores diferentes. ¿Cuántas banderas tricolores diferentes se podrán formar?
Rpta:...........................................................7. ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden
formar con las cifras 1, 2, 5, 6, 8, 9?
OBJETIVOSOBJETIVOS
• Aplicarefectivamenteconceptosteóricosdesarrollados.
• Dominarlateoríaquesustenteestudiossuperioresdeanálisiscombinatorio.
• ComprenderlosproblemasdeAnálisisCombinatoriodeformarazonada.
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Rpta:...........................................................
8. En una tienda hay 5 camisas distintas, si quiero elegir tres de ellas, ¿De cuántas formas puedo hacer la elección?
Rpta:...........................................................
* El capitán de un yate solicita 3 marineros, pero se presentan 7.
Responder de la 9 a la 12:
9. ¿De cuántas maneras diferentes podrá elegir la tripulación?
Rpta:...........................................................
10. ¿De cuántas, si cada uno va ha desempeñar un cargo diferente?
Rpta:...........................................................
11. ¿De cuántas, si Sandro siempre debe pertenecer a la tripulación?
Rpta:...........................................................
12. ¿De cuántas, si Sandro debe pertenecer a la tripulación y además cada uno debe desempeñar un cargo diferente?
Rpta:...........................................................
* Ocho amigas se disponen a merendar, al encontrar una mesa redonda disponible:
Responder de la 13 a la 16:
13. ¿De cuántas maneras diferentes podrán ubicarse alrededor de ella?
Rpta:...........................................................
14. ¿De cuántas, si Karla siempre se sienta en el sillón grande?
Rpta:...........................................................
15. ¿De cuántas, si Karla se sienta en el sillón grande y Chacha a su costado derecho?
Rpta:...........................................................
16. ¿De cuántas, si Karla se sienta en el sillón grande y Chacha a su costado?
Rpta:...........................................................
* ¿Cuántos arreglos diferentes, se pueden hacer con las letras de la palabra:?
17. “PAPAYA”
Rpta:...........................................................
18. “KIKIRIKI”
Rpta:...........................................................
19. “MISISIPPI”
Rpta:...........................................................
20. “REGGAETON”
Rpta:...........................................................
Razonamiento Matemático
1. De un grupo de 8 personas ¿Cuántos tríos diferentes se podrán formar?
Rpta:...........................................................
2. Se tienen 6 frutas diferentes. ¿Cuántos jugos diferentes se podrán preparar con 3 de ellas?
Rpta:...........................................................
3. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 5 personas alrededor de una mesa circular? ¿Cuántos arreglos diferentes, se pueden hacer con las letras de la palabra?
Rpta:...........................................................
4. “HORÓSCOPO”
Rpta:...........................................................
5. “PAPAGAYO”
Rpta:...........................................................
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OBJETIVOSOBJETIVOS
• Conocerelcálculodeprobabilidades
• Entenderintuitivamentelaideadeprobabilidadclásica
• Aprenderaenfrentarenformarazonadalosproblemassobreposibilidades
Problema desarrollado
1. De una baraja de 52 cartas se extraen al azar 6 cartas. Determinar la probabilidad que tres de ellas sean de oro y dos de copas.
Resolución:- El experimento aleatorio es “extraer 5 cartas de la
baraja de 52”, por lo tanto el espacio muestral es:
.- El número de formas de extraer 3 cartas de oro, de
un total de 13, es: .- El número de forma de extraer 2 cartas de copas, de
un total de 13, es: - El número de formas de extraer una carta (que no
sea oro ni copa), de las 26 cartas restantes, es: .
- Por lo tanto, la probabilidad buscada es:
Problema por desarrollar:
1. Se lanza un dado tetraédrico que tiene las caras numeradas del 1 al 4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo?
Resolución:
Una máquina tragamonedas ha dado a lo largo de un día los siguientes premios:
Hallar la probabilidad de los siguientes sucesos:1. Que no entregue ningún premio.
Rpta:...........................................................
2. Que entregue un premio de 1000 soles.
Rpta:...........................................................
3. Que entregue premios mayores o iguales a 100 soles y menores o iguales a 500 soles.
Rpta:...........................................................* Una urna contiene 7 bolas rojas, 5 verdes y 6 negras.
Se extrae una bola al azar. Hallar las siguientes
Razonamiento Matemático
propabilidades.
4. Que sea roja.
Rpta:...........................................................
5. Que sea verde.
Rpta:...........................................................
6. Que sea negra.
Rpta:...........................................................
7. Que no sea roja
Rpta:...........................................................
8. Que no sea verde
Rpta:...........................................................
9. Que no sea negra.
Rpta:...........................................................
* Luis tiene 10 cartas con los números siguientes:
Las pone hacia abajo y después las baraja. Su amigo
Carlos coge una carta. Hallar la probabilidad de que la carta escogida sea:
10. El 4
Rpta:...........................................................
11. Mayor que 3
Rpta:...........................................................
12. Divisible por 3
Rpta:...........................................................
13. Múltiplo de 4
Rpta:...........................................................14. Impar
Rpta:...........................................................
15. Menor que 7
Rpta:...........................................................
16. Menor o igual que 7
Rpta:...........................................................
* En un armario de cocina hay 6 refrescos de cola, 12 de naranja y 5 de limón. Cuando Ana iba a coger un refresco se fue la luz, y por tanto, lo tomó al azar. Halle las siguientes probabilidades:
17. Que sea de Cola
Rpta:...........................................................
18. Que sea de limón
Rpta:...........................................................
19. Que sea de naranja Rpta:...........................................................
20. Que sea de cola o limón
Rpta:...........................................................
21. Que no sea de limón
Rpta:...........................................................
* Se lanza un dado con las caras numeradas del 1 al 6. Hallar las siguientes probabilid de:
22. Obtener 5
Rpta:...........................................................
23. Obtener cualquier número del 1 al 6
Rpta:...........................................................
24. Obtener un número múltiplo de 2
Rpta:...........................................................25. Obtener un número menor que 3.
Rpta:...........................................................
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26. Obtener un número mayor que 4
Rpta:...........................................................
27. Obtener cualquier número mayor que 2 y menor que 5.
Rpta:...........................................................
* Se introduce una bola por la parte superior del aparato representado en la figura. Hallar la probabilidad de que llegue a cada uno de los terminales, teniendo en cuenta que en cada bifurcación tiene la misma probabilidad de ir por uno u otro camino.
28.
Rpta:...........................................................29.
Rpta:...........................................................
30. Un ratón entra en el laboratorio de la figura. Sabiendo que en cada bifurcación tiene la misma probabilidad de ir por uno u otro camino. Halla la probabilidad de llegar a cada uno de los terminales.
Rpta:...........................................................