Extremos en funciones de dos variables

Práctica 6

Extremos locales

Definición: Sea (a; b) un punto del dominio de una función f(x; y); diremos que:

• f(x; y) tiene un máximo local en (a; b) si se tiene que f(a; b) ≥ f(x; y) para todo (x; y) en algún entorno de (a; b).

• f(x; y) tiene un mínimo local en (a; b) si se tiene que f(a; b) ≤ f(x; y) para todo (x; y) en algún entorno de (a; b).

• En cualquiera de los dos casos diremos que f(x; y) tiene un extremo local en (a; b).

Si alguna de las desigualdades anteriores se cumple para todo (x; y) del dominio

de f diremos que tiene en (a; b) un extremo absoluto (máximo o mínimo, según

el caso).

En los puntos donde la función tiene extremos, la gráfica tiene un plano tangente en posición

horizontal

Teorema Supongamos que en el punto (a; b) la función f(x; y) tiene un extremo local, y supongamos que existen las derivadas parciales fx(a; b) y fy(a; b). Entonces se tiene que: fx(a; b) = 0 fy(a; b) = 0

1. La conclusión del teorema anterior puede expresarse como ∇f(a; b) = 0.

2. En el caso de que f sea diferenciable en (a; b) la condición del teorema dice que la ecuación del plano tangente a la gráfica de f(x; y) en (a; b) es:

z = f(a; b)

y por lo tanto es un plano horizontal

Diremos que un punto (a; b) de continuidad de f(x; y) es un punto crítico (o punto estacionario) si no existe alguna de las derivadas parciales de f en (a; b) o si ambas derivadas son nulas.

De modo que del teorema anterior puede deducirse

el siguiente criterio:

Si f(x; y) tiene un extremo local en un punto de continuidad (a; b), entonces (a; b) es un punto crítico.

Criterio de las derivadas segndas:

Supongamos que las derivadas parciales de segundo orden de f(x; y) son continuas en un entorno de un punto crítico (a; b) (en particular las derivadas fx(a; b) y fy(a; b) existen y son nulas). Llamemos

D = D(a; b) = 𝑓𝑥𝑥(𝑎; 𝑏) 𝑓𝑦𝑦(𝑎; 𝑏) - 𝑓𝑥𝑦(𝑎; 𝑏)2 entonces: Si D > 0 y 𝑓𝑥𝑥(𝑎; 𝑏) > 0 entonces f(x; y) tiene un mínimo local en (a; b) Si D > 0 y 𝑓𝑥𝑥(𝑎; 𝑏) < 0 entonces f(x; y) tiene un máximo local en (a; b) Si D < 0 entonces f(x; y) no tiene ni un máximo ni un mínimo en (a; b). Diremos en este caso que f tiene un punto de ensilladura (o punto silla) en (a; b). Si D = 0 el criterio no da certeza. Puede haber un mínimo, un máximo o un punto silla.

Ejemplo

– Determinemos y clasifiquemos los puntos críticos de f(x; y) = x3 +y3 - xy.

Extremos absolutos

Teorema

Sea f(x; y) una función continua en un conjunto C que sea cerrado y acotado. Entonces f alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto en C

Ejemplo

Encontremos los extremos absolutos de f(x; y) = 2xy en el disco cerrado x2 + y2 ≤ 4.