Extremos: Máximos y Mínimos

Ejercicio resuelto

Ejercicio:

Vamos a hallar los extremos relativos y absolutos de la función racional

cuyo dominio es

Ya sabemos que:

Máximo: f ’(x)=0 y f ’’(x)<0

Mínimo: f ’(x)=0 y f ’’(x)>0

EXTREMOS

Paso 1: Hallar la derivada

Calculamos la derivada de

Los puntos en los que se anula la derivada son:

Si estudiamos la monotonía, podremos saber cuándo es creciente y decreciente, y por tanto si en x=0 tenemos un máximo o un mínimo.

Paso 2: f’(x)=0

Para estudiar el signo de una función racional tenemos que hallar por separado las raices de numerador y denominador, y luego estudiar el signo en cada intervalo:

Signo de la derivada:

Las soluciones que hemos obtenido dividen la recta real en varios intervalos. En cada uno de ellos el signo es constante.

Para saber qué signo hay en cada intervalo, tomamos un valor cualquiera y lo sustituimos en f’(x). Si es positivo, lo será en todo el intervalo, e igualmente si es negativo:

0 2

Tomamos del

intervalo (-,0) el

valor x=-1 por

ejemplo:

f’(-1)=-4/27

NEGATIVO

Tomamos del

intervalo (0,2) el

valor x=1:

f’(1)=4

POSITIVO

Tomamos del

intervalo (2,+) el

valor x=3 por

ejemplo:

f’(3)=-12

NEGATIVO

0 2

Como hemos dicho, el signo se mantiene en cada intervalo, por lo que podemos asegurar que:

Como a la izquierda de x=0 la función decrece y a su derecha crece, debe haber un mínimo relativo en x=0.

En x=2 pasamos de creciente a decreciente, pero NO podemos decir que haya un máximo, ya que x=2 no está en el dominio de f(x).

El problema está terminado. Sabemos que hay un mínimo relativo en x=0.

Si no quisiéramos estudiar la monotonía, podríamos haber usado la segunda derivada:

Como es positiva, en x=0 hay un MÍNIMO.

Signo de la segunda derivada:

Podemos comprobarlo por la gráfica: