expresiones algebraicas

1

Expresiones Algebraicas

• Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz.

• Ejemplos

12.)

2)

2)

2

32

2

xxyxc

xyxb

xyxa

2


3

Expresiones Algebraicas comunes

• El doble o duplo de un número: 2x• El triple de un número: 3x• El cuádruplo de un número: 4x• La mitad de un número: x/2• Un tercio de un número: x/3• Un cuarto de un número: x/4• Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x...• Un número al cuadrado: x²

4


• Un número al cubo: x³• Un número par: 2x• Un número impar: 2x + 1• Dos números consecutivos: x y x + 1• Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2• Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3• Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x

5


• La suma de dos números es 24: x y 24 − x• La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x• El producto de dos números es 24: x y 24/x• El cociente de dos números es 24: x y 24 · x

6

Tipos de Expresiones Algebraicas


Racionales Irracionales

Enteras Fraccionarias

7

Expresión Algebraica Racional

• Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicación

• Ejemplo

312

.2

22

y

yxx

8

Expresión Algebraica Irracional

• Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación

• Ejemplo

yxx 2

9

Expr.Algebraica Racional Entera

• Una expresión algebraicas es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia natural.

• Ejemplo

542 3 yyxx

10

Expresión Algebraica Racional Fraccionaria• Una expresión algebraicas racional es

fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algún denominador.

• Ejemplo

31 2 yxx

11

Polinomios

• Son las expresiones algebraicas más usadas.

• Sean a0, a1, a2, …, an números reales y n un número natural, llamaremos polinomio en indeterminada x a toda expresión algebraica entera de la forma:

a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn

12

Ejemplos de polinomios

A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).

3

2

323)

31)

xxb

xa

3

3

532)

21)

xxdx

c

13

Términos• Monomio : polinomio con un solo término.• Binomio : polinomio con dos términos.• Trinomio : polinomio con tres términos.

• Cada monomio aixi se llama término.

• El polinomio será de grado n si el término de mayor grado es anxn con an0.

• A a0 se lo llama término independiente.

• A an se lo llama término principal.

14

Ejemplos

18

Ejercicio• Indicar cuáles de las siguientes expresiones

algebraicas son polinomios. En este último caso indicar su grado.

213)

)3)(2()

1231)

4

3

xc

xxb

xxa

132)

312)

52)

2

2

xxxf

xxxe

xd

19

Suma de Polinomios

• Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes.

• Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios

P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1

Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2

20

Propiedades de la Suma• Asociativa• Conmutativa• Existencia de elemento neutro• Existencia de elemento opuesto

21

Resta de Polinomios

• Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x).

P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]

• Ejemplo: Restar los siguientes polinomios

P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1

Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2

22

Multiplicación de Polinomios• Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada

monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los términos de igual grado.

• Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios

P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1

Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x – 2

P(x).Q(x) = P(x) 3x3 + P(x) (-6x2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)

23

Propiedades del Producto

• Asociativa• Conmutativa• Existencia de elemento neutro.

24

Algunos productos importantes

• (x+a)2 =(x+a)(x+a)= x2 + 2ax + a2

• (x-a)2 =(x-a)(x-a)= x2 - 2ax + a2

• (x+a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3

• (x-a)3 = x3 - 3ax2 + 3a2x - a3

• (x+a)(x-a)= x2 –ax +ax-a2 = x2-a2

25

Ejercicio

• Escribir los desarrollos de

243

232

2

31

32)

)()

)32()

xxc

xxb

xa

323

34

3

32

21)

)()

)32()

xxf

xxe

xd

26

Ejercicio: Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el cuadrado de un binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos como el cubo de un binomio.

93025)

4914)

144)

2

2

2

xxc

xxb

xxa

6543

23

23

81

2368)

16128)

8126)

xxxxf

xxxe

xxxd

27

Ejercicio: La expresión x2 - a2 es una diferencia de cuadrados. Escribir las siguientes diferencias como producto de binomios.

64)

4)361)

100)

8

4

2

2

xd

xc

xb

xa

28

División de polinomios

• Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de números enteros.

• Recordemos algunas definiciones de la división entre números enteros.

29

División entre números enteros

• En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y d0 es el divisor, existen y son únicos dos enteros c (cociente) y (r (resto) tales que

D = d . C + r 0 ≤ r < |d|

• Si r=0 se dice que D es divisible por d.

30

División entre números enteros

• Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras:

• 29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues 29 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6

• 29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues 29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6|

¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?

31

División de polinomios• Dados los polinomios D(x) = 6x3 – 17x2+15x-8 d(x) = 3x – 4

determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales que

D(x) = d(x). C(x) + r(x)

de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien r(x)=Op(x)

32

-6x3 + 8x2

Ejemplo

6x3 – 17x2 + 15x – 8 3x – 42x2

0x3 - 9x2+ 15x

- 3x

9x2- 12x

0x2+ 3x - 8

+ 1

-3x + 4

0x - 4

6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4

33

Ejercicios

a) D(x) = 4x5 + 2x3 – 24x2 + 18x d(x) = x2 – 3x

b) D(x) = 16x8 + 24x6 + 9x4 d(x) = 4x5 + 4x4 + 3x3 + 3x2

c) D(x) = 2x4 – 6x3 + 7x2 – 3x +2 d(x) = x-2

34

División de Polinomios

• Dados los polinomios D(x) y d(x); d(x)Op(x), diremos que d(x) divide a D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) tal que

D(x) = d(x) . c(x)

35

Ejercicios

• Dados los polinomios P(x) y Q(x) indica si alguno de ellos es divisible por el otro

a) P(x) = x4 -2x3 +x2 -5x + 1 Q(x) = x3 + x2 + x + 1b) P(x) = x4 +2x3 +4x2 + 8x +16 Q(x) = x5 - 32

36

Regla de Ruffini 3 -2 -5 -92

-3

División de un polinomio por otro de la forma (x-a)

3x3 – 2x2 – 5x – 9 x – 2- 3x3 + 6x2 3x2 + 4x + 3 4x2 – 5x - 4x2 + 8x 3x – 9 -3x + 6 -3 3

6

4

8

3

6

3x3 – 2x2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x2 + 4x + 3) + (-3)

expresiones algebraicas

Documents