Traduciendo al lenguaje algebraico

Guimonos con las expresiones

Algunas palabras que indican adicin son:

Expresa algebraicamente las siguientes situaciones.

Considera x como un nmero y responde

EnunciadoExpresin algebraica

La suma de 2 y un nmero

3 ms que un nmero

La distancia entre un nmero y el 5

4 menos que un nmero

Un nmero aumentado en 1

Un nmero disminuido en 10

Cinco veces un nmero

Ene veces un nmero

El producto de p y q

3 veces un nmero aumentado en 10

El cociente entre c y x

El cuadrado de un nmero A

Expresa e indica la letra que daras a la(s) variable(s), guate por el ejemplo3 kilos de papas ms 2 kilos de tomatesRespuesta: P = kilos de papas T = Kilos de tomates 3P+2T 1. 6 sacos de cemento divididos entre 5 2. 5 ollas y 6 sartenes3. El triple del doble de horas4. La mitad de los calcetines mas todos los pantalones5. El triple de, la suma entre los rojos y los azules6. El triple de , los que son rojos ms los que son verdes7. El triple de los que son rojos ms los que son verdes8. El triple de los que son rojos ms los que son verdes

Analiza detenidamente las tres ltimas, Cmo afecta la coma el sentido de lo que se comunica?

Moldeamiento con expresiones algebraicasDadas las condiciones establezca una expresin que solucione cada situacin:

situacinModelo algebraico y variables

el rea del tringulo es la multiplicacin de base por altura , todo dividido por dos , A= rea, h=altura, b = base

el permetro de un rectngulo que tiene largo 5 y ancho x se puede expresar como:

Juanito gano el doble de dinero que ayer, si ayer tena x, cunto gano en estos dos das?

Cunto gano si tengo x lpices y los vendo en n pesos?

Cunto debo si en un plazo de n das gasto 1000 pesos diarios?

Compro n kilos de pan en m pesos Cunto vale un kilo?

Vendo n kilos de pan en m pesos Cunto pague en total?

Si tengo $40 000 y pago n colaciones de $2 000 Cunto me queda?

Hoy tengo x, maana x+y ,y pasado maana x+2y De cunto dinero fui aumentando mi saldo diariamente?

Cada hora gano r pesos cunto dinero gano en un da completo?

En cada paradero bajan x personas si hay 10 paraderos y haban inicialmente z personas Cuntos bajaron?

De la pregunta anterior cuntos quedan arriba del bus?

Regalas s juguetes y me quedan a-s cunto tenas?

En un ao ahorre s pesos diarios y gaste al final 20000 Qu saldo me queda?

Si estoy en el piso n y mi amigo en el piso m Cuntos pisos hay entre yo y mi amigo?

Un perro pesa x kilos, otro pesa el doble y un tercer perro pesa 10 kilos ms que el primero Cunto pesan los tres perros juntos?

Andrs tiene $x y Mauricio $y , si juntos invierten en un negocio, ganando 5 veces lo que invirtieron Cunto tienen entre ambos ahora? Escrbelo de dos formasForma 1Forma 2

Si compro r autos cada uno en x millones Cunto gaste?

Si compro r autos al mismo precio por un total de x millones Cunto vala cada uno?

Si compraba un auto en r pesos y antes de comprar me descontaron z pesos Cunto vale ahora?

Si compro un auto en r millones sin impuestos, y los impuestos son z millones ms Cunto debo pagar?

Cada minuto se descargan n toneladas de petrleo, cunto se descarga en una hora y media?

ACTIVIDADES: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Un trmino algebraico es el producto de una o ms variables (llamado factor literal) y una constante literal o numrica (llamada coeficiente).

Ejemplos: 3xy ; 45 ; 2m

En todo trmino algebraico podemos distinguir: signo, coeficiente numrico y factor literal, tal como se muestra en el recuadro de la derecha.

- 2 abFactor literalCoeficiente numricoSigno

Completa la siguiente tabla:

ExpresinsignoC. numricoFactor literal

9abc+9abc

-6pq

0,5p

Una expresin algebraica es el resultado de combinar, mediante operaciones aritmticas uno o ms trminos algebraicos.

Ejemplos: 4m 3t + 8p - 2q

La expresin algebraica se llamar:

Monomio: Si tiene solo un trmino algebraico. Ejemplo: 35z

Binomio: Si posee dos trminos algebraicos. Ejemplo: 3 5b

Trinomio: Si posee tres trminos algebraicos. Ejemplo: a + 5b -19

Polinomio: Si posee ms de un trmino algebraico. Ejemplo: 2x 4y + 6z 8m

Completa la siguiente tabla:

Expresin algebraicaNmero de trminos y nombre

2x 5y2, binomio

a b + c 2d

-300xyz

ax + bx + cx

a-b+c

m + mn + n

x + y + z xyz

4ac

Los trminos semejantes en una expresin algebraica son todos aquellos trminos que tienen el mismo factor literal.

Ejemplos:En esta expresin algebraica 5 ab es semejante con 6ab y con 7 ba5 ab + 3abx + 6 ab 7 ba 5 a + 3b + 6 a 7 b En esta expresin algebraica 5a es semejante con 6a y 3b es semejante con -7b

Nota : el factor literal ab y ba son el mismo, recuerde el orden de los factores no altera el producto

Ejemplos de factores no equivalentes X no es equivalente a X23X no es equivalente a 3Yy no es equivalente a xy

ZX2 no es equivalente a XZ2xw no es equivalente a xw24x no es equivalente a x4

Inventa 5 trminos equivalentes a cada caso3Y

2X

Z

3YX

ZX3

Ejercicio 3:En cada una de las siguientes expresiones MARCA CON EL MISMO SIMBOLO aquellos trminos que son semejantes. NO ES NECESARIO QUE REDUZCA

2b + 3a + 6b + 7c 2a

Ejemplo: 4aaa

1. 5x + 7y + 8z + 4x 2xy + 6xz 2y

1. 8ax + 2cd 2ax + 5ax 4by + 7cd

1. 4ab ba + 5ac +2ab

1. 56xy + 45xy 3yx + 8xz

las expresiones algebraicas podemos dejarlas ms simples reduciendo sus trminos semejantes. En este caso se asocian los trminos que tienen el mismo factor literal y luego se suman o restan, segn corresponda.Ejemplo:

3a + 5b 2a + c b = 3a 2a + 5b - b + c = a + 4b + c

ESTABLECER ESTRATEGIAS PARA REDUCIR TRMINOS SEMEJANTESEjercicio 4:

Reduce los trminos semejantes de las siguientes expresiones como en el ejemplo anterior.

a) 3x + 5y + 4z + 2x 2y =

b) 4ab ab + 5ac ac =

c) 6xy + 5xy + 3xz + 8xy xz =

d) 4abc + 17 abd 3 abc + 5abc 7abd =

Ejercicio. = 5pk + 3ad + 5hz + y

= 6ad 2pk 2hz + y

= y + 4ad + 2pk + 3hz

Sea:

Reduce trminos semejantes y encuentra el valor de: =1.+

=2.+

=3.+

=+4.+

Aplica la distributividad a las siguientes expresiones:

Ejemplos

3 ( a + b )= 3a + 3b .

2 ( x + y )= 2x + 2 y .

a ( x + y )= ax + ay .

2 ( 3x + 4 )= 6x + 24 = 6x+8 .

a) 6( x + y ) =b) 3( 2a + 3 )=c) ( a + c ) =d) 5( x + 3y ) =e) 1,5( 2p + q ) =f) x( 3 + y ) =g) 2a( 2 + x ) =h) 3z( x + 3 ) =i) d( a + b + c ) =

Aplica la distributividad y luego reduce los trminos semejantes:

2(x + 4) + 3(x + 2) =4(y + 5) +3(y + 1) =5(x + 3) + 4(y + 2) =4(3x + 3) +3(2x + 5) =0,2(5x + 5y) +3(x + p) =2(2a + 4b) +5(3a + 2b) =4(3a + b) + 5(2a - b) =4(x + 3y + 5z) +2(4x + 3y + 8z) =4x + 5(x + 5x + 7) + 6 +4(4 + 3x) =

Factorizar con el mayor termino comn

Las expresiones algebraicas en ocasiones se pueden factorizar mediante la ley distributiva por ejemplo las tres siguientes son posibles factorizaciones de 16x+8

ejemplo 1 16x + 8 = 8(2x + 1) ejemplo 2 16x + 8 = 4(4x + 2) ejemplo 3 16x + 8 = 2(8x + 4)

Para encontrar la factorizacin con el mayor termino comn debe buscarse un trmino que sea el mayor de todos, en el caso anterior seria el numero 8 pues 16x + 8 = 8(2x + 4)

Ejemplos 3a + 3b = 3( a + b )6a+12b = 6( a + b )8x+12x = 4x ( 2+ 3)2e + 2f + 2w = 2(e + f + w)

Ejercicios

2a + 2b =0,2a + 0,2b =a + c =6a + 6x + 6s =0,5x + 0,5y + 0,5z =xa + xb + xc =ya+ by + dy =3x + 6xy + 6xz = 25xy+5x+20xg= 100x+10y+1.000z=0,1a+0,1b+0,1c

Ejercicio Aplica la conmutatividad y la asociatividad para reordenar las siguientes expresiones. Luego factoriza la expresin obtenida, es decir, escrbela como un producto.

a) 2a + 5b + 7a b 2a + 9b =

b) -6r + 7q 8r + 18q + 2r q =

c) 18st + 30s 3st + 17s + 15st 2s =

d) 16b + 5ba 18b 7ab + 3b + 3ab = Ejercicio Aplica la distributividad, la conmutatividad y la asociatividad para reordenar las siguientes expresiones. Luego factoriza la expresin obtenida, es decir, escrbela como un producto.

a) 2(x+0,5y) +2x + y =

b) 3(a 5b) + 2(6b + 9c) =

c) r(1 + s) + 5s + 10 + r =

Ejercicios algebra y geometra (Ocupa tu cuaderno para responder)

Considera los siguientes rectngulos y la medida de sus lados:

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 45hk2k5k32k3h

1. Calcula el rea de cada uno de los rectngulos

1. Escribe la suma de las reas de todos rectngulos como una expresin algebraica.

1. Si h = 3, k = 2, reemplaza estos valores en la expresin anterior para calcular el rea total de los rectngulos.

Ejercicio (Ocupa tu cuaderno para responder)

Considera los siguientes rectngulos y la medida de sus lados: Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4m5pp3h12m3h

1. Escribe el permetro de cada uno de los rectngulos como una expresin algebraica.

1. Suma los permetros de todos los rectngulos.

1. Si m = 3, p = 2 y h = 1. Evala la expresin obtenida para calcular el permetro total de los rectngulos.

Interpreta las frmulas siguientes:

Reemplaza cada formula con los valores asignadosxyzx+y+zx+1z+yy-z(x+z):y

82-4

523

915

-6516

0,60,40,2

Una aplicacin:

El centro de alumnos est organizando una fiesta en el colegio, para comprar bebidas

Al comprar la razn entre el agua mineral, jugos naturales y limonadas debe ser de 2 : 3 : 5.

El distribuidor de bebidas ms cercano al colegio tiene en su bodega 5 cajas de agua mineral, 7 cajas de jugos naturales y 12 cajas de limonadas, todas las cajas con la misma cantidad de agua

Si usamos las variables a para las cajas de agua mineral, b para las cajas de jugos naturales c para las cajas de limonadas

a) Cul es la cantidad mxima de cada tipo que puede entregar el distribuidor con lo que tiene en bodega?

El trmino algebraico para el total de las bebidas del distribuidor es: 5a + 7b + 12c. Descompongamos estos trminos de un modo conveniente:

Aplicar la asociatividad de la adicin: = 4a + a + 6b + b + 10c + 2c

Aplicar la asociatividad y la conmutatividad de la adicin: = 4a + 6b + 10c + a + b + 2c

Factorizar la suma de los primeros tres sumandos = 2(2a + 3b + 5c) + a + b + 2c

El distribuidor puede confeccionar 2 conjuntos de bebidas en la razn de 2 : 3 : 5 , por lo tanto puede entregar 4 cajas de agua mineral, 6 cajas con bebidas y 10 cajas con limonada (4a + 6b + 10c)

b) Cuntas bebidas le faltan al distribuidor para completar otro conjunto de bebidas en la razn de 2 : 3 : 5 ?

Le sobran a + b + 2c, luego completando: a + a + b + 2b + 2c + 3c = 2a + 3b + 5c

Al distribuidor le falta 1 botella de agua mineral, 2 botellas de jugo natural y 3 botellas de limonada para completar otro conjunto de bebidas.