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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

Expresiones Algebraicas

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Expresiones AlgebraicasExpresiones Algebraicas

• Una Una expresión algebraicaexpresión algebraica es una expresión en es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz.producto, cociente, potencia y raíz.

• EjemplosEjemplos

12.

)

2)

2)

2

32

2

xxyx

c

xyxb

xyxa

3

Tipos de Expresiones AlgebraicasTipos de Expresiones Algebraicas

Expresiones AlgebraicasExpresiones Algebraicas

Racionales IrracionalesRacionales Irracionales

Enteras FraccionariasEnteras Fraccionarias

4

Expresión Algebraica RacionalExpresión Algebraica Racional

• Es racional cuando las variables no están Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicaciónafectadas por la radicación

• EjemploEjemplo

312

.2

22

y

yxx

5

Expresión Algebraica IrracionalExpresión Algebraica Irracional

• Es irracional cuando las variables están Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicaciónafectadas por la radicación

• EjemploEjemplo

yxx 2

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Expr.Algebraica Racional EnteraExpr.Algebraica Racional Entera

• Una expresión algebraicas es racional entera Una expresión algebraicas es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo cuando la indeterminada está afectada sólo por operaciones de suma, resta, por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia natural.multiplicación y potencia natural.

• EjemploEjemplo

542 3 yyxx

7

Expresión Algebraica Racional Expresión Algebraica Racional FraccionariaFraccionaria• Una expresión algebraicas racional es Una expresión algebraicas racional es

fraccionaria cuando la indeterminada aparece fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algún denominador.en algún denominador.

• EjemploEjemplo

31 2 yxx

8

PolinomiosPolinomios

• Son las expresiones algebraicas más Son las expresiones algebraicas más usadas.usadas.

• Sean aSean a00, a, a11, a, a22, …, a, …, ann números reales y números reales y n n

un número natural, llamaremos un número natural, llamaremos polinomio polinomio en indeterminada xen indeterminada x a toda expresión a toda expresión algebraica entera de la forma:algebraica entera de la forma:

aa00 + a + a11 x + a x + a22 x x22 + … + a + … + ann x xnn

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Ejemplos de polinomiosEjemplos de polinomios

A los polinomios en indeterminada x los A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).

3

2

32

3)

31

)

xxb

xa

3

3

532)

21)

xxd

xc

10

TérminosTérminos

• Monomio : polinomio con un solo término.Monomio : polinomio con un solo término.• Binomio : polinomio con dos términos.Binomio : polinomio con dos términos.• Trinomio : polinomio con tres términos.Trinomio : polinomio con tres términos.

• Cada monomio aCada monomio aiixxii se llama se llama términotérmino..

• El polinomio será de El polinomio será de gradogrado n si el término de mayor n si el término de mayor grado es agrado es annxxnn con a con ann0.0.

• A aA a00 se lo llama se lo llama término independientetérmino independiente..

• A aA ann se lo llama se lo llama término principaltérmino principal. .

11

EjemplosEjemplos

El polinomio 0 + 0x + 0x2 + … +0xn se llama polinomio nulo. Lo simbolizaremos por Op(x).

No se le asigna grado.

12

EjercicioEjercicio• Indicar cuáles de las siguientes expresiones Indicar cuáles de las siguientes expresiones

algebraicas son polinomios. En este último caso algebraicas son polinomios. En este último caso indicar su grado.indicar su grado.

2

13)

)3)(2()

1231

)

4

3

xc

xxb

xxa

132

)

312

)

52)

2

2

xxx

f

xxxe

xd

13

Polinomios igualesPolinomios iguales• Dos polinomios son iguales si y sólo si los Dos polinomios son iguales si y sólo si los

coeficientes de los términos de igual grado lo coeficientes de los términos de igual grado lo son.son.

• Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)

2

2

33

)2()1()(

25)12(5)()

)()(;52)()

xbcxbaxQ

xxxPb

xbaaxQxxPa

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Suma de PolinomiosSuma de Polinomios

• Para sumar dos polinomios se agrupan los Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus términos del mismo grado y se suman sus coeficientes.coeficientes.

• Ejemplo: Sumar los siguientes polinomiosEjemplo: Sumar los siguientes polinomios

P(x) = -2xP(x) = -2x44 + 5x + 5x33 – 3x + 1 – 3x + 1

Q(x) = 3xQ(x) = 3x33 – 6x – 6x22 – 5x - 2 – 5x - 2

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Propiedades de la SumaPropiedades de la Suma

• AsociativaAsociativa• ConmutativaConmutativa• Existencia de elemento neutroExistencia de elemento neutro• Existencia de elemento opuestoExistencia de elemento opuesto

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Resta de PolinomiosResta de Polinomios

• Para restar el polinomio Q(x) del polinomio Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x).Q(x).

P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]

• Ejemplo: Restar los siguientes polinomiosEjemplo: Restar los siguientes polinomios

P(x) = -2xP(x) = -2x44 + 5x + 5x33 – 3x + 1 – 3x + 1

Q(x) = 3xQ(x) = 3x33 – 6x – 6x22 – 5x - 2 – 5x - 2

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Multiplicación de PolinomiosMultiplicación de Polinomios

• Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los términos de términos del otro y luego se suman los términos de igual grado.igual grado.

• Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomiosEjemplo: Multiplicar los siguientes polinomios

P(x) = -2xP(x) = -2x44 + 5x + 5x33 – 3x + 1 – 3x + 1

Q(x) = 3xQ(x) = 3x33 – 6x – 6x22 – 5x – 2 – 5x – 2

P(x).Q(x) = P(x) 3xP(x).Q(x) = P(x) 3x3 3 + P(x) (-6x+ P(x) (-6x22 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2) ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)

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Propiedades del ProductoPropiedades del Producto

• AsociativaAsociativa

• ConmutativaConmutativa

• Existencia de elemento neutro.Existencia de elemento neutro.

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Algunos productos importantesAlgunos productos importantes

• (x+a)(x+a)22 =(x+a)(x+a)= x =(x+a)(x+a)= x2 2 + 2ax + a+ 2ax + a22

• (x-a)(x-a)22 =(x-a)(x-a)= x =(x-a)(x-a)= x22 -- 2ax + a2ax + a22

• (x+a)(x+a)33 = x = x33 + 3ax + 3ax22 + 3a + 3a22x + ax + a33

• (x-a)(x-a)33 = x = x33 - 3ax - 3ax22 + 3a + 3a22x - ax - a33

• (x+a)(x-a)= x(x+a)(x-a)= x22 –ax +ax-a –ax +ax-a22 = x = x22-a-a22

20

EjercicioEjercicio

• Escribir los desarrollos deEscribir los desarrollos de

243

232

2

31

32

)

)()

)32()

xxc

xxb

xa

323

34

3

32

21

)

)()

)32()

xxf

xxe

xd

21

EjercicioEjercicio: Expresar los siguientes trinomios : Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el cuadrado de un cuadrados perfectos como el cuadrado de un binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos como el cubo de un binomio.como el cubo de un binomio.

93025)

4914)

144)

2

2

2

xxc

xxb

xxa

6543

23

23

81

23

68)

16128)

8126)

xxxxf

xxxe

xxxd

22

EjercicioEjercicio: La expresión x: La expresión x2 2 - a- a22 es una diferencia es una diferencia de cuadrados. Escribir las siguientes de cuadrados. Escribir las siguientes diferencias como producto de binomios.diferencias como producto de binomios.

64)

4)

361

)

100)

8

4

2

2

xd

xc

xb

xa

23

División de polinomiosDivisión de polinomios

• Existe una estrecha analogía entre el Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de cociente de polinomios y la división de números enteros.números enteros.

• Recordemos algunas definiciones de la Recordemos algunas definiciones de la división entre números enteros. división entre números enteros.

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División entre números enterosDivisión entre números enteros

• En el conjunto de números enteros, si D En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y des el dividendo y d0 es el divisor, 0 es el divisor, existen y son únicos dos enteros c existen y son únicos dos enteros c (cociente) y (r (resto) tales que(cociente) y (r (resto) tales que

D = d . C + r 0 D = d . C + r 0 ≤ r < |d|≤ r < |d|

• Si r=0 se dice que D es divisible por d.Si r=0 se dice que D es divisible por d.

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División entre números enterosDivisión entre números enteros

• Ejemplo: Realizar las siguientes Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras:divisiones enteras:

• 29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues

29 = 6 . 4 + 5 y 0 29 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6≤ 5 < 6

• 29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues

29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6|≤ 5 < |-6|

¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?

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División de polinomiosDivisión de polinomios

• Dados los polinomiosDados los polinomios

D(x) = 6xD(x) = 6x33 – 17x – 17x22+15x-8+15x-8

d(x) = 3x – 4d(x) = 3x – 4

determinar, si es posible, dos polinomios c(x) determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales quey r(x) tales que

D(x) = d(x). C(x) + r(x) D(x) = d(x). C(x) + r(x)

de modo que el grado de r(x) sea menor que de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien r(x)=Oel grado de d(x) o bien r(x)=Opp(x)(x)

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-6x3 + 8x2

EjemploEjemplo

6x6x33 – 17x – 17x2 2 + 15x – 8 3x – 4+ 15x – 8 3x – 4

2x2

0x3 - 9x2+ 15x

- 3x

9x2- 12x

0x2+ 3x - 8

+ 1

-3x + 4

0x - 4

6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4

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EjerciciosEjercicios

a)a) D(x) = 4xD(x) = 4x55 + 2x + 2x33 – 24x – 24x22 + 18x + 18x

d(x) = xd(x) = x22 – 3x – 3x

b)b) D(x) = 16xD(x) = 16x88 + 24x + 24x66 + 9x + 9x44

d(x) = 4xd(x) = 4x55 + 4x + 4x44 + 3x + 3x33 + 3x + 3x22

c)c) D(x) = 2xD(x) = 2x44 – 6x – 6x33 + 7x + 7x22 – 3x +2 – 3x +2

d(x) = x-2d(x) = x-2

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División de PolinomiosDivisión de Polinomios

• Dados los polinomios D(x) y d(x); Dados los polinomios D(x) y d(x); d(x)d(x)OOpp(x), diremos que (x), diremos que d(x) divide a d(x) divide a

D(x)D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) tal quetal que

D(x) = d(x) . c(x)D(x) = d(x) . c(x)

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EjerciciosEjercicios

• Dados los polinomios P(x) y Q(x) Dados los polinomios P(x) y Q(x) indica si alguno de ellos es divisible indica si alguno de ellos es divisible por el otropor el otro

a)a) P(x) = xP(x) = x44 -2x -2x33 +x +x2 2 -5x + 1-5x + 1

Q(x) = xQ(x) = x33 + x + x22 + x + 1 + x + 1

b)b) P(x) = xP(x) = x44 +2x +2x33 +4x +4x2 2 + 8x +16+ 8x +16

Q(x) = xQ(x) = x55 - 32 - 32

31

Regla de Ruffini

3 -2 -5 -92

-3

División de un polinomio por otro División de un polinomio por otro de la forma (x-a)de la forma (x-a)

3x3x33 – 2x – 2x22 – 5x – 9 x – 2 – 5x – 9 x – 2- 3x- 3x33 + 6x + 6x22 3x 3x22 + 4x + 3 + 4x + 3

4x4x22 – 5x – 5x - 4x- 4x22 + 8x + 8x

3x – 93x – 9 -3x + 6-3x + 6

-3 -3 3

6

4

8

3

6

3x3x33 – 2x – 2x22 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x – 5x – 9 = ( x – 2)(3x22 + 4x + 3) + (-3) + 4x + 3) + (-3)

32

División de un polinomio por otro División de un polinomio por otro de la forma (x-a)de la forma (x-a)• División de P(x) = 3xDivisión de P(x) = 3x33 – 2x – 2x22 – 5x – 9 por (x-2) – 5x – 9 por (x-2)

realizada por la Regla de Ruffinirealizada por la Regla de Ruffini

3 -2 -5 -93 -2 -5 -9 2 6 8 62 6 8 6 3 4 3 -33 4 3 -3

1º operación : 3.2 -2 = 41º operación : 3.2 -2 = 4

2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 32º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3

3º operación : [3(2) 3º operación : [3(2) 22 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3

Por lo tanto 3.(2)Por lo tanto 3.(2)22 -2.(2) -2.(2)22 -5.2 -9 = -3 -5.2 -9 = -3

33

Raíces de un polinomioRaíces de un polinomio

• Un número real a es Un número real a es raíz de un raíz de un polinomiopolinomio P(x) si y solo si P(a) = 0 P(x) si y solo si P(a) = 0

• Ejercicio:Ejercicio:

Verifique que x=1 es raíz del polinomio Verifique que x=1 es raíz del polinomio P(x) = 3xP(x) = 3x22 + 2x – 5 + 2x – 5

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Raíces de un PolinomioRaíces de un Polinomio

• Si un polinomio tiene coeficientes Si un polinomio tiene coeficientes enteros y enteros y aa es una raíz entera del es una raíz entera del polinomio entonces polinomio entonces a a divide al término divide al término independiente.independiente.

• Ejercicio: Calcular las raíces de Ejercicio: Calcular las raíces de

P(x) = 2xP(x) = 2x3 3 - 2x- 2x2 2 - 16x + 24- 16x + 24

35

Ejercicio: Calcular las raíces deEjercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2x P(x) = 2x3 3 - 2x- 2x2 2 - 16x + 24 - 16x + 24 • Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe

ser divisor de 24.ser divisor de 24.• Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)

2x2x33 – 2x – 2x22 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x – 16x + 24 = ( x – 2)(2x22 + 2x -12) + 2x -12)

Ver x=2 también es raíz de

2x2 + 2x -12

2x2 + 2x -12 = (x-2)(2x+6)

36

EjercicioEjercicio

• Calcular las raíces deCalcular las raíces de

P(x) = xP(x) = x44 - x - x33 - 6x - 6x22 + 4x + 8 + 4x + 8

P(x) = (x-2)2 (x+1) (x+2)

37

Resolver la siguiente Resolver la siguiente ecuaciónecuación

0)2(

1)2()2)(2)(2(

)2)(1()2(

0)2)(2)(4(

846

02

12

14

2

2

22

234

22

xxx

xxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxx

38

Soluciones de la Ecuación Soluciones de la Ecuación FraccionariaFraccionaria