*TEMA:Forma Polar y Exponencial del Nmero Complejo

CEPRE-UNI

*2009

*Forma Polar y Exponencial del Nmero complejo (T/P)Sumario:.Definicin de la forma Polar..Propiedades..Operaciones..Notacin cis..Frmula de De Moivre..Forma exponencial de un nmero complejo..Propiedades y operaciones..Raz n-sima de un nmero complejo.

*Forma Polar de un Nmero complejoSea Z = x + yi cuyo mdulo es: = argumento principal de zDe la grfica obtenemoslas siguientes relaciones:x = r Cos y = r Sen Siendo la forma polar o trigonomtrica de un nmerocomplejo Z

*Propiedades de la forma Polar1.2.3.4.

*Operaciones en la forma PolarSean z1= r1(cos + isen ) y z2= r2(cos + isen ) dos nmeros complejos, con r1= |z1| y r2=|z2|entonces:

1) z1.z2=r1r2[ cos ( ) + i sen( ) ]

2) = [ cos ( ) + i sen( ) ]

*Notacin:Denotaremos a:Entonces:

*Ejemplos:1.2.3.

*Sea z = r ( cos +i sen ) y n N, entonces: z n = r n cis ( n )

Frmula de De MoivreEs decir:

*Forma Exponencial de un ComplejoDada la frmula de EULER:

e i = Cos + i Sen

Nos da lugar a una representacin de los nmeros complejos en la forma exponencial:Z = re i Donde:r = | Z | = arg(Z)

*Propiedades de la forma Exponencial1.2.3.4.5.6.7.

*El Producto, cociente y potencia se realizan de igual forma a como se realizan en forma Polar Operaciones en la forma ExponencialEs decir:Tambin:Donde k es un entero

*Races n-simas de un nmero complejoLas races n-simas de zo son las soluciones wo de la ecuacin: won = zodonde: zo= r(cos + i sen )Para:

*7. LUGARES GEOMTRICOS EN EL PLANO DE GAUSS1.- = 1 Solucin: Como: = 2Re(z) = 2x = 1 x = , es una recta paralela al eje imaginario. Describir los lugares geomtricos, en el plano de Gauss (o plano complejo), de los afijos de los nmeros complejos z = x + iy, tales que:0

*

2.- = i Solucin:

Como: = 2iIm (z) = i Im (z) es una recta paralela al eje real. Y=1/2XY0 LUGARES GEOMTRICOS EN EL PLANO DE GAUSS

*3.- Re ( z) + Im(z) = 1 Solucin: Si: R e (z) + Im (z) = 1, luego de (I): x + y = 1 y = x +1, que es la ecuacin de una recta de pendiente 1 e intercepto el eje Y de 1. LUGARES GEOMTRICOS EN EL PLANO DE GAUSS

* 4.- i) = z2ii) |z i| = 2Circunferencia de centro (1,0), que pasa por el origen 0, tangente al eje imaginario i) Solucin: Si: = z2 2x = x2 + y2

(x 1)2 + y2 = 1en dicho punto y cuyo radio es 1. LUGARES GEOMTRICOS EN EL PLANO DE GAUSS

*ii) Solucin: Si: z i = 2 luego,es una circunferencia con centro (0,1) y radio 2, puesto que, si z= x + iy z-i = x + iy i z- i = x + i (y 1) z-i = x+i(y 1) = 2 x2 + (y 1)2 = 22 LUGARES GEOMTRICOS EN EL PLANO DE GAUSS

*5.- , y z1 , z2 C (dados) 0Solucin: Supongamos que: z1 = a + ib , z2 = c + id los complejos dados Si: z z1 = (z z2 ) , y como z = x + iy x + iy (a+ib) = x + iy (c + id) x a + i(y-b) = (x-c) + i (y-d)Por igualdad de nmeros complejos, podemos establecer que x a = (x c) .... (1)y b = (y d) .... (2)(1) (2) Ecuacin de la recta que pasa por lo afijos de z1 y z2.

LUGARES GEOMTRICOS EN EL PLANO DE GAUSS

*El parmetro representa la razn simple (variable con z) de la terna de puntos afijos de z, z1 y z2 : = ( z, z1, z2) = Con tal identificacin, z recorre la recta que pasa por z1 y z2, cuando recorre R. LUGARES GEOMTRICOS EN EL PLANO DE GAUSS

*6. y z1 , z2 C (dados)Solucin :

Si: z z1 = i (z z2) x + iy (a + ib) = i x +iy (c + id)x a + i(y b) = i (x c) i(d y) x a + i(y b) = (d y) + i (x c x a = (d y) (1)

Por igualdad de nmeros complejos, podemos establecer que:x a = (d y) (1)y b = (x-c) (2) LUGARES GEOMTRICOS EN EL PLANO DE GAUSS

* (1) (2) 0 (x a) (x c) = (y b) (d y) x2 (a + c)x + ac = y2 + (b + d)y bd x2 (a +c)x + = = = db C: LUGARES GEOMTRICOS EN EL PLANO DE GAUSS

* Ecuacin de una circunferencia de centro: 0C afijo del punto medio entre los complejos z1 y z2 que pasa por ellos y , por lo tanto, cuyo radio es : LUGARES GEOMTRICOS EN EL PLANO DE GAUSS

*7. Si A, B, C, D, E y F son nmeros complejos que determinan el hexgono regular con centro en el origen y lado de longitud 2, determinar el valor de:A) 1 B) 1/2 C) 1 D) 2 E) 3Solucin : Sea z, el nmero complejo, uno de los vrtices del hexgono, luego, sea: z = x + iy.... (1) = x iy .... (2) = (x+iy) (x-iy) = x2-i2y2 = x2- (-1) y2 =x2 + y2 .... (3) LUGARES GEOMTRICOS EN EL PLANO DE GAUSS

*Si (x, y) es un punto de la circunferencia, de radio R, circunscrita al hexgono, entonces el lado del hexgono es igual al radio yx2 + y2 = R2 = .... (4)= 22 = 4 Entonces, de (3) y (4), si z = A, B, C, D, E y F z . = A. = B. = C. = D. = E. = F. = 4 K R LUGARES GEOMTRICOS EN EL PLANO DE GAUSS

*PROBLEMAS DE REAS1.- En el plano complejo, halle el rea de la regin R, definida por:Solucin: Sea: z = x + iy = rei ... (1) (a) De (1): ()

*PROBLEMAS DE REASDe () y (), el rea de la regin pedida es:

A(R) = pu2

*PROBLEMAS DE REAS2.- Determinar el rea de la regin:R = A) B) C) D) E) Solucin: Si .... (2)Luego, la regin R es una parte de la regin limitada por dos circunferencias concntricas de radios R1 y R2 (R1 < R2) y los rayos a y es decir , es la regin del trapecio curvilneo.

*PROBLEMAS DE REAS

*FORMA MONMICA DE UN NMERO COMPLEJOEl complejo z al expresarlo en su forma monomia resulta : z = re i Es importante poder expresar cualquier complejo, dado en su forma binomia, a su forma monomia, para realizar diversas operaciones entre complejos, las cuales se realizarn de una forma sencilla y rpida. As, por ejemplo, daremos algunos complejos, de uso frecuente para expresarlo a su forma monomia, tales como:1.- z = 1 + i Solucin: Si: z = 1 + i =

*0FORMA MONMICA DE UN NMERO COMPLEJO2.- z = 1 i Solucin: Si: z = 1 i = Note que: 1 i =

*0FORMA MONMICA DE UN NMERO COMPLEJO3.- z = 1 + i Solucin: Si:

z = 1 + i = 2

*FORMA MONMICA DE UN NMERO COMPLEJO4.- z = 1 i Solucin: Como z = 1 - i = lo cual lo podemos verificar fcilmente, puesto que, si:z = 1 i = 2

*FORMA MONMICA DE UN NMERO COMPLEJO5.- z = + iSolucin:A) Mtodo I z = + i = 2

*FORMA MONMICA DE UN NMERO COMPLEJOB) Mtodo IIComo:

*FRMULAS TRIGONOMTRICAS DE NGULOS MLTIPLES UTILIZANDO NMEROS COMPLEJOSUtilizando la frmula de Moivre, expresar sennx, cosnx, tgnx y ctgnx, si n = 2,3,4,5, 6,7,8, en funcin de las potencias de senx, cosx, tgx y ctgx.1.- si n = 5 : cos5x + isen5x = (cosx + isenx)cos5x + isen5x = cos x+ 5cos x (isenx) + 10cos x(isenx)2 + 10cos x(isenx)3 + 5cosx(isenx)4+(isenx)5 cos5x + isen5x = cos5x + i5cos4x senx 10 cos3x sen2x i10cos2x sen3x + 5cosx sen4x + isen5x

*FRMULAS TRIGONOMTRICAS DE NGULOS MLTIPLES UTILIZANDO NMEROS COMPLEJOScos5x + isen5x = cos5x 10cos3xsen2x + 5cosxsen4x +i(5cos4xsenx-10cos2xsen3x+sen5x)Por igualdad de nmeros complejos, de la igualdad anterior, podemos expresar:a) sen 5x = 5cos4x senx 10cos2x sen3x +sen5xb) cos 5x = cos5x 10cos3x sen2x + 5cosx sen4x

*0PROBLEMAS SOBRE SERIESDetermine la suma de las series:1.- Solucin: Sea: S = S =

*PROBLEMAS SOBRE SERIESS = Como: einx = cosnx +isennx , entonces,S = S = Esta suma es una progresin geomtrica infinita de razn por tanto convergente, entonces,

*PROBLEMAS SOBRE SERIESS = S = S = S = y

*0IDENTIDADES ESPECIALES IMPORTANTESDe la frmula de Euler:Sabemos que:z = eiq = cosq isenq (1) = eiq = cosq isenq (2)entonces de (1) y (2), si i) (1) + (2): eiq + eiq = 2cosq

ii) (1) (2): eiq - eiq = i2senq (I) (II)

*0IDENTIDADES ESPECIALES IMPORTANTESEjemplos :De (I), si: De (II), si: En general, podemos expresar, en las relaciones (I) y (II), si = nx que: (III) iv) (IV)

*De estas ltimas relaciones, podemos obtener que:0IDENTIDADES ESPECIALES IMPORTANTESv) vi) (V) (VI) Identidades que se obtienen fcilmente de las relaciones (III) y (IV), respectivamente al multiplicarlas por la exponencial . As tenemos que:

*EJERCICIOS RESUELTOS1.-Si: z = A) Solucin: Si : luego, si: z = De (I), si n = 9

*EJERCICIOS RESUELTOS2.- Calcule el mdulo del nmero complejo definido por: ,

A) sen B) sen C) sen/2 D) sen2 E) sen/2Solucin: Sabemos que

*PRCTICAS Y EXMENES PARCIALES DEL CEPRE UNIEXMENES DE ADMISIN UNI3.- Si a, b y c son nmeros reales y entonces el valor de la tag es:(CEPRE UNI. Examen Final: 2000 1)A) B) C) D) E) Solucin: Resolveremos este ejercicio de tres formas diferentes:A) Mtodo I: Si: (1)

*PRCTICAS Y EXMENES PARCIALES DEL CEPRE UNIEXMENES DE ADMISIN UNIAplicando proporciones en la igualdad (1): (2)De (2), como: tg = tg B) Mtodo II: Por igualdad de nmeros complejosDe (1): + =

*PRCTICAS Y EXMENES PARCIALES DEL CEPRE UNIEXMENES DE ADMISIN UNIi) a = acos + bsen a(1 cos) = bsen (3) ii) b = asen bcos b(1+cos) = asen (4) (3) (4): Resultado que es idntica que la expresin (2), luego, la respuesta ser idntica.C) Mtodo III: Hagamos: De (1), si:

*Gracias por su atencin Hasta otra oportunidad

ProfesorIng. Carlos Armbulo Ostos

Lima, 09 de diciembre del 2009