DIVISIÓN

SINTETICA

La división sintética es un procedimiento práctico para hallar el cociente y el residuo de la división de un polinomio entero en x por x-a.

Dividamos entre 

Sin efectuar la división, el cociente y el residuo pueden hallarse por la siguiente regla práctica:

1)      El cociente de un polinomio en x cuyo grado es 1 menos que el grado del dividendo.

2)      El coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer término del dividendo.

3)      El coeficiente de un término cualquiera del cociente se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el segundo término del binomio divisor, cambiando el signo y sumando este producto con el coeficiente del término que ocupa el mismo lugar  en el dividendo.

4)      El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término del divisor, cambiando de signo y sumando este producto con el término independiente del dividendo.

EJEMPLOS Halla el residuo y cociente de la sig.

ecuación2 )  -45X - 2 + X3  ÷ X + 7    X3 - 45X - 2 ÷ X + 7 

Residuo = -30Cociente = X2 -7X + 4

TEOREMA DEL FACTOR Y DEL

RESIDUO

TEOREMA DEL RESIDUO El teorema del residuo indica que el resultado de evaluar numéricamente una función polinomial para un valor a es igual al residuo de dividir el polinomio entre x - a. 

Si se divide la función polinomial ƒ(x) entre el binomio x - a donde a es un número real, el residuo es igual a ƒ(a). 

Una conclusión muy importante del teorema del residuo es se puede evaluar numéricamente una función polinomial usando la división sintética. 

TEOREMA DEL FACTOR Si a es una raiz de ƒ(x), entonces x - a es

un factor del polinomio, donde a es un número real. 

Aqui podemos observar la importancia de conocer el valor del residuo, ya que si éste es igual a cero, nos va a indicar que hemos encontrado un factor del polinomio y con él, una raiz del polinomio (una solución a la ecuación polinomial ƒ(x) = 0).

5.5 TEOREMA DE FACTORIZACIÓN

LINEAL

Cada polinomio f (x) de grado n ≥ 1 puede ser expresado como el producto de n factores lineales.

EJEMPLOS DE FACTORIZACION LINEAL1.La ecuación x ² − 5x =0 se puede factorizar y

expresar así: x ² − 5x = x (x − 5) = 02. La ecuación x ² + x − 6 = 0 se puede

expresar como:x ² − x − 6 = (x + 3)(x − 2) =0

CEROS Y RAÍCES COMPLEJASComo se ha dicho antes, en el trazo de la gráca de

una función polinomial se presentan casos en los que algunas raíces son complejas, es decir, corresponden a puntos de la gráca que no intersecan al eje x, pero sus valores son ceros de la función.

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOSAl realizar operaciones con números complejos se

debe recordar que tienen una parte real y una parte imaginaria y además i² =−1.

Dos números complejos a+bi y c+di son iguales sólo cuando a = c y b =d.

SUMA Y DIFERENCIAPara los números complejos a+bi y c+di se

define la suma de la siguiente forma:(a+bi) + (c+di) =(a+c) + (bi+di)

=(a+c)+(b+d)i

Y la diferencia se dene así:(a+bi) − (c+di)= (a − c)+(bi − di)

=(a−c)+(b − d)iComo puedes observar, se efectúan

operaciones por separado en la parte real y la parte imaginaria de los números complejos dados.

NÚMERO DE CEROS DE UNA FUNCIÓNPOLINOMIAL; FACTORES LINEALES Y MULTIPLICIDAD

Cuando se expresa una ecuación como el producto de sus factores y éstos son diferentes, las raíces son diferentes y se dice que cada una de ellas es una raíz simple. Si el mismo factor se presenta dos

veces, una raíz ocurre dos veces y se le llama raíz doble. De presentarse un factor tres veces, habrá una raíz triple. En general, cuando un factor ocurre m veces, a la raíz correspondiente se le llama raíz de multiplicidad m.

TeoremaSi el número complejo a + bi , b ≠ 0 es una raíz de unaecuación polinomial con coeficientes reales, entonces elnúmero complejo a − bi es también una raíz.

5.6 GRÁFICAS DE FUNCIONES

POLINOMIALES FACTORIZABLES

CEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS

Para trazar la gráca de una función polinomial nos apoyamos en los teoremas anteriores con el propósito de encontrar las raíces reales de la ecuación polinomial. Dichas raíces reales corresponden a

los ceros reales de la función polinomial, es decir, son los valores de x para los cuales f (x) =0. Geométricamente representan los puntos de intersección con el eje x, pues en esos puntos y =0.