TRABAJO Y ENERGIA DEL

CUERPO RIGIDO

ENERGIA CINETICA

La energía cinética esta sometida a:

TraslaciónRotación alrededor de un eje fijoMovimiento plano general

La energía cinética es igual al trabajo que debe realizarse en el solido para llevarlo del estado de reposo al estado de velocidad. La energía cinética es una medida de la capacidad del solido de realizar trabajo, la cual esta asociada al movimiento del solido.

Consideremos el cuerpo rígido , el cual esta representado por una losa que se mueve en un plano de referencia x-y inercial. Una partícula iésima arbitraria del cuerpo, de masa dm, se encuentra a una distancia r del punto arbitrario P. Si en el instante que se muestra la partícula tiene una velocidad vi entonces la energía cinética de la partícula es 21

2i iT dmv

La energía cinética de topo el cuerpo se determina por:

21

2 imT dmv

Esta ecuación también se puede expresar en función de la velocidad del punto P. Si la velocidad angular del cuerpo es w

El cuadrado de la magnitud de vi, será:

Al sustituir ésta ecuación en la energía cinética se obtiene

La ecuación resultaría:

Si el punto P coincide con el centro de masa G de cuerpo, entonces :

Traslación: cuando un cuerpo rígido de masa m esta sometido a traslación rectilínea o curvilínea, la energía cinética debida a la rotación es cero.

Rotación con respecto a un eje fijo: cuando cuerpo rígido esta girando con respecto aun eje fijo el cuerpo tiene energía cinética de traslación y rotación como esta definida por la ecuación:

Esta ecuación también se puede expresarse si consideramos vG = rGω, de modo que T = ½(IG+mrG

2) ω2. Según el teorema de los ejes paralelos, los términos entre paréntesis representan el momento de inercia IO del cuerpo con respecto a un eje perpendicular al plano de movimiento y que pasa por el punto O.

Movimiento plano general: cuando un cuerpo rígido esta sometido a un movimiento plano general tiene velocidad angular ω y su centro de masa tiene velocidad VG. Por consiguiente es definida mediante la ecuación:

Esta ecuación también puede expresarse en función de su centro instantáneo de velocidad cero

TRABAJO DE UNA FUERZAEl trabajo de una fuerza variable: si una fuerza externa F actúa sobre un cuerpo rígido, el trabajo realizado por la fuerza cuando se mueve a lo largo de trayectoria s.

Trabajo de una fuerza constante: si una fuerza externa Fc actúa sobre un cuerpo rígido y mantiene un magnitud constante Fc y una dirección constante ө, mientras el cuerpo experimenta una traslación s la ecuación puede ser integrada de manera que el trabajo se convierte en:

Trabajo de un peso: el peso de un cuerpo efectúa el trabajo solo cuando el centro de masa G del cuerpo experimenta un desplazamiento vertical Δy. Si este desplazamiento es hacia arriba el trabajo es negativo puesto que el peso y el desplazamiento están en sentidos opuestos.

Trabajo de una fuerza de resorte: la fuerza del resorte Fs = ks ; que actúa en el cuerpo realiza trabajo cuando el resorte se alarga o comprime desde S1 a S2 y en ambos casos el trabajo será negativo puesto que el desplazamiento del cuerpo se opone ala dirección de la fuerza.

FUERZAS QUE NO REALIZAN TRABAJO: están fuerzas actúan o en puntos fijos en el cuerpo o tienen una dirección perpendicular al desplazamiento.

Ejemplos:

La reacciones en un soporte de

pasador alrededor del cual gira el

cuerpo.

La reacción normal que actúa en

un cuerpo que se mueve a lo largo

de una superficie fija.

El peso de un cuerpo cuando su

centro de gravedad se mueve en un

plano horizontal.

Una fuerza de fricción que actúa

en un cuerpo redondo cuando

rueda sin deslizarse sobre una

superficie áspera.

TRABAJO DE UN MOMENTO PARConsideremos un cuerpo que se somete a un momento par M=Fr cuando el cuerpo se traslada el trabajo de cada fuerza lo realiza solo el componente de desplazamiento a lo largo de la línea de acción de las fuerzas dst. Cuando el cuerpo experimenta una rotación diferencial dθ alrededor de un punto arbitrario, entonces cada fuerza experimenta un desplazamiento dsθ =(r/2)dθ en la dirección de la fuerza. Por tanto el trabajo realizado es:

M variable

M constante

PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGIAAl aplicar el principio del trabajo y la energía a cada una de las partículas del cuerpo rígido y sumando los resultados algebraicamente, ya que la energía es un escalar, el principio del trabajo y la energía para un cuerpo rígido toma la forma:

Esta ecuación establece que la energía cinética inicial de traslación y rotación del cuerpo mas el trabajo realizado por todas las fuerzas externas y momentos de par actúan en el cuerpo a medida de que se mueve desde su posición inicial al final, es igual a su energía cinética final.

SISTEMA DE FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO

CONSERVATIVASSITEMA DE FUERZAS CONSERVATIVAS: Si el trabajo de una fuerza es independiente a la trayectoria y depende solo de la posición inicial y final en la trayectoria, entonces podemos clasificarla como una fuerza conservadora. Ejemplos: El peso de un cuerpo La fuerza desarrollada por un resorte

SITEMA DE FUERZAS NO CONSERVATIVAS: El trabajo realizado por una fuerza conservadora depende de la trayectoria, cuanto más larga sea la trayectoria, mayor será el trabajo realizado por la fuerza. El trabajo se disipa de un cuerpo en forma de calor Ejemplo:La fuerza de fricción ejercida en un cuerpo que se desliza por una superficie.

CONSERVACION DE LA ENERGIA

PLANO DE REFERENCIA

Cuando un sistema de fuerzas que actúa en un cuerpo rígido se compone de solo fuerzas conservadoras, puede realizarse el teorema de la conservación de la energía. El trabajo de una fuerza conservadora puede expresarse como la diferencia de la energía potencial del cuerpo medida con respecto a una referencia o un plano de referencia seleccionados.

Energía potencial gravitacional: Su energía potencial gravitacional se determina al conocer la altura de su centro de gravedad sobre o bajo un plano de referencia horizontal.

Energía potencial : es una medida de la cantidad de trabajo que una fuerza conservadora realizará cuando se mueve de una posición dada al plano de referencia.

Energía potencial elástica: La energía potencial que un resorte imparte a un cuerpo conectado cuando el resorte se alarga o comprime desde una posición no deformada (s=0) hasta una posición final s.

Posición no alargada del resorte, s = 0

Conservación de la energía: En general, si un cuerpo se somete tanto a fuerzas gravitacionales como elásticas la energía potencial total puede expresarse como una función potencial como la suma algebraica:

Aquí la medición de V depende de la ubicación del cuerpo con respecto a un plano de referencia seleccionado.

no cons

En este caso (ΣU1-2) no cons representa el trabajo de las fuerzas no conservadoras, como la fricción. Si este término es cero, entonces:

Esta ecuación se le conoce como la conservación de la energía mecánica y establece que la suma de las energías potencial y cinética del cuerpo permanece constante cuando el cuerpo se mueve de una posición a otra.

El tubo de 700 kg cuelga por igual de los dos dientes del montaje que se muestra en la fotografía. Experimenta un movimiento de oscilación de modo que cuando θ = 30º está momentáneamente en reposo. Determine las fuerzas normal y de fricción que actúan en cada uno de los dientes necesarias para sostener el tubo cuando θ = 0º. Las mediciones del tubo y dientes se muestran en la figura. Ignore la masa de los dientes y el espesor del tubo.

EJERCICIO Nº1

Solución:

Aplicaremos el principio de trabajo y energía para determinar la velocidad angular del tubo cuando θ = 0

Calculando la energía cinética inicial y final:

Como el tubo está en un principio en reposo, entonces:

La energía cinética final se calcula con respecto al punto fijo O o al centro de masa G. Para el cálculo consideramos que el tubo es un anillo delgado de modo que IG = mr2. Si se considera el punto G, tenemos:

Si consideramos el punto O entonces debe utilizarse el teorema de los ejes paralelos para determinar Io. Por tanto:

Calculando el trabajo:

Las fuerzas normal y de fricción no realizan trabajo en los dientes puesto que no se mueven cuando el tubo oscila. El peso realiza trabajo positivo puesto que desciende una distancia vertical Δy = 0.4 – 0.4cos(30º) = 0.05359m

Ecuaciones de movimiento:

Se utilizan dos dientes para soportar la carga, por consiguiente

EJERCICIO Nº2

El disco homogéneo de 10 kg que se muestra en la figura está conectado a una barra AB uniforme de 5 kg. Si el ensamble se suelta desde el punto de reposo cuando θ = 60º, determine la velocidad angular de la barra cuando θ = 0º. Suponga que el disco rueda sin deslizarse. Ignore la fricción a lo largo de la grúa y la masa del collarín en B.

Solución:

Plano de referencia

Calculando la energía potencial:

Cuando el sistema está en la posición 1, sólo el peso de la barra tiene energía potencial positiva. Por tanto

Cuando el sistema está en la posición 2, tanto el peso de la barra como el peso del disco tienen energía potencial cero.

Calculando la energía cinética:

Como todo el sistema está en reposo en la posición inicial:

En la posición final la barra tiene una velocidad angular (ωr)2 y su centro de masa tiene una velocidad (vG)2. Como la barra está totalmente extendida en esta posición, el disco está momentáneamente en reposo, y (ωd)2 = 0 y (vA)2 = 0. Por lo que se refiere a la barra (vG)2 puede relacionarse con (ωr)2 con respecto al centro instantáneo de velocidad cero, el cual se encuentra en el punto A. De modo que (vG)2=rG/CI(ωr)2 o (vG)2=0.3(ωr)2. Por consiguiente:

Aplicando la conservación de la energía:

La barra delgada uniforme de 50kg está en reposo en la posición que se muestra cuando se aplica una fuerza P=600N.Determine su velocidad angular cuando alcanza la posición vertical.

EJERCICIO Nº3

DIAGRAMA CINÉTICO

SOLUCIÓN Primero hallamos la energía cinética

2 2 / 2( ) ( ) (2.5)G G CIV r

2 2 21 1(50 )(5 ) 104.17 .

2 12GI ml kg kg m

1 0T

2 22 2 2

1 1( )

2 2G GT m v I

Como VG1 =0 entonces:

Para hallar T2 primero hallamos:

2 2 22 2 2 2

1 1(50) (2.5) (104.17) 208.332 2

T

( ) 600(3) 1800P pU P s J

( ) 50(8.91)(2.5 2.5sin(53))

245.25w

w

U W h

U J

Hallamos los trabajos de la fuerza P y del peso W

Aplicamos el principio de trabajo y energía

1 1 2 2

22

2

0 1800 245.25 208.33

2.732 /

T U T

rad s

EJERCICIO Nº4

La rueda mostrada en la figura pesa 30lb y su radio de giro es kG = 0.6 pies. Está conectada a un resorte de rigidez K = 2lb/pie y longitud no alargada de 1 pie. Si el disco se suelta desde el punto de reposo en la posición que se muestra y rueda sin deslizarse, determine su velocidad angular en el instante en que G se mueve 3 pies a la izquierda.

Solución:

Calculando la energía potencial:

En este caso no se necesita un plano de referencia gravitacional puesto que el peso no se desplaza verticalmente.

El resorte esta alargado S1 = ((32+42)1/2 – 1) = 4 pies en la posición inicial y S2 = (4 – 1) = 3 pies en la posición final.

Calculando la energía cinética:

El disco se suelta desde el punto de reposo y por tanto (vG)1 = 0 ω1 = 0

Como el centro instantaneo de velocidad cero esta en el suelo, entonces:

Aplicando la conservación de la energía mecánica: