expo fluidos 2

MECNICA DE FLUIDOS II

INTRODUCCIN

Los sistemas de tuberas que distribuyen el agua en las ciudades o en grandes plantas industriales pueden ser extremadamente complicados. En este captulo solo se considerarn unos pocos casos bajo condiciones relativamente sencillas. En la mayora de los casos, el fluido que circula es el agua, si bien los procedimientos de anlisis y resolucin pueden aplicarse a otros fluidos. Por lo general, la relacin de longitud a dimetro ser grande. En este caso hablaremos sobre los sistemas de tuberas en paralelo

est constituido por dos o ms tuberas que, partiendo de un punto, vuelven a unirse de nuevo en otro punto, aguas abajo del primero.

Tuberias en Paralelo


FUNDAMENTO TERICO



SISTEMAS DE TUBERIASLos sistemas de tuberas que distribuyen el agua en las ciudades o en grandes plantas industriales pueden ser extremadamente complicados. En este captulo solo se considerarn unos pocos casos bajo condiciones relativamente sencillas. En la mayora de los casos, el fluido que circula es el agua, si bien los procedimientos de anlisis y resolucin pueden aplicarse a otros fluidos. Por lo general, la relacin de longitud a dimetro ser grande.

A.

Tuberas en paralelo

Un sistema de tuberas en paralelo est constituido por dos o ms tuberas que, partiendo de un punto, vuelven a unirse de nuevo en otro punto, aguas abajo del primero.

Sea una tubera AD como la mostrada en la Figura 5.1. En el punto B esta tubera se ramifica. Se produce una bifurcacin, dando lugar a los ramales BMC y BNC, los que concurren en el punto C. La tubera contina a lo largo de CD.

M

A

B N

C

D



Figura 5.1 Sistema de tuberas en paralelo

Se dice que las tuberas BMC y BNC estn en paralelo. Ambas tienen en su origen (B) la misma energa. Lo mismo ocurre con su extremo (C) en el que ambas tienen la misma energa. Se cumple entonces el siguiente principio

Energa disponible para BMC = Energa disponible para BNC

La diferencia de energa entre B y C es la energa disponible. La energa disponible determina, de acuerdo a la naturaleza del contorno y del fluido, las caractersticas del escurrimiento. La energa disponible se transforma en energa de velocidad, de presin y elevacin. En un conducto horizontal muy largo con velocidad relativamente pequea se puede considerar que la energa disponible da lugar ntegramente a la prdida de carga continua. Ntese que la ramificacin puede ser en la forma de dos o ms tuberas, cada una de las cuales tiene su propio dimetro, longitud y rugosidad.



A modo de ilustracin se ha efectuado el trazo de la lnea de gradiente hidrulica (L. P.) para el sistema mostrado en la Figura 5.2

Figura 5.2 Lnea piezomtrica en un sistema en paralelo

Como las tuberas en paralelo se caracterizan por tener la misma energa disponible se producir en cada una de ellas la misma prdida de carga.

Sea una representacin esquemtica de varias tuberas en paralelo. 1 2 3 A B 4 5 Figura 5.3 Varias tuberas en paralelo C D


MECNICA DE FLUIDOS II Se cumplir que:

hf 1 = hf 2 = hf 3 = h f 4 = h f 5 = h f 6

(5-1)

h f representa la prdida de carga en cada uno de los tramos. La suma de los gastos parciales de cada una de las tuberas es igual al gasto total Q de la tubera AB (y de la tubera CD).

Q = +Q 2 Q 3Q 4Q Q 1 + + +

5

(5-2)

La ecuacin de continuidad debe verificarse para el nudo B y para el nudo C. Para el clculo de tuberas en paralelo se presentan bsicamente dos casos. En ambos suponemos conocidas las caractersticas de las tuberas, dimetro, longitud y rugosidad, as como las propiedades del fluido. Se conoce la energa disponible h f entre B y C y se trata de calcular el gasto en cada ramal. Se conoce el gasto total Q y se trata de determinar su distribucin y la perdida de carga. El primero corresponde al caso general de clculo de tuberas. Se puede proceder, por ejemplo, con la ecuacin de Darcy o con cualquier otra, al clculo del gasto en cada ramal. Se recomienda el siguiente procedimiento. Combinado las ecuaciones de Darcy y Continuidad (Q=VA) se obtiene:


MECNICA DE FLUIDOS II fLQ 2 D5

h f = 0.0827 Expresin en la que

(5-3)

h f : prdida de carga en el tramo considerado f : coeficiente de Darcy L : longitud del tramo considerado D : dimetro de la tubera Q : gasto

De la que obtenemos inmediatamente: D5 0.5 Q = 3.477 hf fL (5-4)

Para una tubera dada los valores del dimetro y la longitud son constantes. En muchos Casos se puede considerar que f tambin es constante, por lo menos para un determinado rango de velocidades. Luego,

Q = Khf 1/ 2tubera. En ella

(5-5)

A esta ecuacin la denominaremos ecuacin de descarga de la

D5 Q = 3.477 fL

(5-6)

Si usamos la ecuacin de Darcy. Aplicando la ecuacin de descarga 5-5 a cada ramal se obtiene el gasto respectivo. La ecuacin 5-5 es un caso particular de una ecuacin general que toma la forma.

Q = Kh f xTuberias en Paralelo

(5-7)


En donde los valores de K y de x dependen de la ecuacin utilizada. Podran fcilmente obtenerse los valores de K y de x para la ecuacin de Chezy, ya estudiada. Posteriormente se obtendrn, por ejemplo, para la ecuacin de Hazen y Williams. Para el segundo caso se empieza por aplicar la ecuacin de descarga a ambos ramales y se obtiene as la relacin entre Q1 y Q2. Combinando con la ecuacin de continuidad se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas. Se halla as los gastos parciales. Otro mtodo consiste en plantear las ecuaciones de descarga para cada ramal y luego sumarlas

K hi

x f

=0

(5-8)

Esta ecuacin permite la resolucin inmediata del sistema, pues h f o Q es un dato. Hay un sistema de conduccin que se caracteriza porque se produce una ramificacin, pero los ramales no concurren en un punto. Este sistema puede tener un caso particular: que en las bocas de descarga de los ramales la energa sea la misma. Este sistema se considera como un sistema de tubera en Paralelo.

E1 E2 A E3 B


MECNICA DE FLUIDOS II E1 = E2 = E3 Figura 5.4 Tubera ramificadaMETODOS DE RESOLUCION

Los mtodos de resolucin implican el establecimiento en nmero suficiente de un sistema de ecuaciones simultneas o el empleo de modificaciones especiales de la frmula de Darcy en las que el coeficiente de friccin depende nicamente de la rugosidad relativa de la tubera. Para el caso del agua o de otros lquidos de viscosidad parecida), dichas frmulas han sido obtenidas por Manning, Scoder, Scobey, Hazen-Williams y otros. SISTEMA PARALELO EN TUBERA COMN: Un sistema paralelo de tubera comn, incluye dos ramas dispuestas como se muestra en la figura. La rama inferior se agrega para evitar que parte del fluido pase a travs del intercambio de calor, permitiendo el flujo continuo, mientras que se le da servicio al equipo.

EL FLUJO DE FLUIDO EN TUBERAS DE SISTEMA PARALELO La situacin ideal del flujo en una tubera se establece cuando las capas de fluido se mueven en forma paralela una a la otra. Esto se denomina "flujo laminar". Las capas de fluido prximas a las paredes internas de la tubera se mueven lentamente, mientras que las


MECNICA DE FLUIDOS II cercanas al centro lo hacen rpidamente. Es necesario dimensionar las tuberas de acuerdo al caudal que circular por ellas, una tubera de dimetro reducido provocar elevadas velocidades de circulacin y como consecuencia perdidas elevadas por friccin; una tubera de gran dimetro resultar costosa y difcil de instalarSISTEMA DE TUBERA EN PARALELO DE Redes abiertas.

No existe un mtodo especial, dado que se conocen las demandas del flujo. Dada una cierta geometra, se deben calcular las presiones en los nodos Dadas estas presiones requeridas en los nodos, se debe disear la red SISTEMA DE TUBERA EN PARALELO DE Redes cerradas.

Se emplea generalmente el mtodo de Hardy - Cross, el cual esun mtodo iterativo, para una solucin factible inicial

Ejemplo 1 Para un sistema de dos tuberas en paralelo se dispone de los siguientes datos

L1 = 1000 m D1 = 16" f1 = 0.018

L2 = 750m D2 = 12" f 2 = 0.018

El gasto total es de 100 l/s. Calcular el gasto en cada una de las tuberas. Solucin. Por ser tuberas en paralelo la prdida de carga debe ser la misma en ambas. Aplicamos la ecuacin 5-3



0.0827De donde,

f1 L1 2 f L Q1 = 0.02827 2 52 Q2 2 D15 D2

Q12 L2 D1 750 16 5 = ( ) = 3.16 = 2 Q2 L1 D2 1000 12Se llega as a un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas

5

Q1 = 1.78Q2Obtenindose finalmente

Q1 + Q2 = 0.1

Q2 = 36 l / s

Q1 = 64 l / s

El mtodo alternativo de solucin consiste en aplicar a cada ramal la ecuacin de descarga 5-4

D 5 0.5 Q = 3.477 hf fLObtenindose:

Q1 = 0.0863hf 1/ 2Sumando:

Q2 = 0.0485hf 1/ 2

Q = 0.1348hf 1/ 2Tuberias en Paralelo


Que es la ecuacin de descarga del sistema.f Para Q = 0,1 m3/s se obtiene h = 0,55 m. Al reemplazar este valor en cada una de las dos ecuaciones se obtiene el gasto en cada ramal. El mtodo es extensible a cualquier nmero de ramales.

Ejemplo 2 Para un sistema de dos tuberas en paralelo se dispone de los siguientes datos

L1 = 100 m D1 = 14" f1 = 0.018

L2 = 156m D2 = 12" C2 = 80m1/2 / s

Si con la energa disponible el gasto total es de 1 m3/s, calcular el gasto en cada ramal, teniendo en cuenta que en el ramal 1 hay una vlvula (K = 2,5). Solucin. En primer lugar aplicamos la ecuacin 3-2



f2 =

8g = 0.0122 C2

Por ser tuberas en paralelo la prdida de carga debe ser la misma en cada ramal

f1

L1V12 V2 LV 2 + 2.5 1 = f 2 2 2 D1 2 g 2g D2 2 g

Reemplazando valores y operando se obtiene

V2 = 1.1V1Por continuidad,

D12 D2 2 V1 + V2 = 1 4 4Se obtiene as

V1 = 5.57 m / sQ1 = 553l / s

V2 = 6.13 m / sQ2 = 447 l / s

A modo de verificacin se calcula la prdida de carga en cada tramo obtenindose h f = 11,97 m, que es la energa disponible. En este problema tambin se pueden aplicar los mtodos alternativos de solucin descritos anteriormente.



Redes de tuberas. Mtodo de Hardy CrossUna red es un sistema cerrado de tuberas. Hay varios nudos en los que concurren las tuberas. La solucin de una red es laboriosa y requiere un mtodo de tanteos y aproximaciones sucesivas.


MECNICA DE FLUIDOS II Representemos esquemticamente la red muy simple de la Figura 5.15. Esta red consta de dos circuitos. Hay cuatro nudos. En la tubera MN tenemos un caso tpico de indeterminacin: no se puede saber de antemano la direccin del escurrimiento. En cada circuito escogemos un sentido como positivo. Se escoge una distribucin de gastos respetando la ecuacin de continuidad en cada nudo, y se asigna a cada caudal un signo en funcin de los circuitos establecidos. Se determina entonces las prdidas de carga en cada tramo, que resultan ser positivas o negativas.

M

I B

II C

NFigura 5.15 Esquema tpico de una red de tuberas

Las condiciones que se deben satisfacer en una red son: 1. La suma algebraica de las prdidas de carga en cada circuito debe ser cero. Ejemplo

h f BM + h f MN + h f NB = 0Tuberias en Paralelo


2. En cada nudo debe verificarse la ecuacin de continuidad. 3. En cada ramal debe verificarse una ecuacin de la forma

h f = KQ xEn donde los valores de K y de x dependen de la ecuacin particular que se utilice. Como los clculos son laboriosos se recurre al mtodo de Hardy Cross. En este mtodo se supone un caudal en cada ramal, verificando por supuesto que se cumpla la ecuacin de continuidad en cada nudo. Si para un ramal particular se supone un gasto Q0 este valor ser, en principio, diferente al gasto real que llamaremos simplemente Q, luego

Q = Q0 + QEn donde Q es el error, cuyo valor no conocemos. Si tomamos, por ejemplo, la frmula de Hazen y Williams se tiene que la prdida de carga en cada tubera es

h f = KQ1.85Si esta ecuacin se aplica a los valores supuestos se obtiene

h f0 = KQ01.85La prdida de carga real ser

h f = K (Q0 + Q)1.85Luego, desarrollando y despreciando los trminos pequeos se llega a



h f = KQ01.85 +1.85 h f = h f0 + 1.85De donde, para cada circuito

h0 Q Q0

h0 Q Q0

h

f

=

h

f0

hf + Q1.85 0 = 0 Q0

De ac obtenemos finalmente el valor de Q

Q =

hf 0 hf 1.85 0 Q0

Esta es la correccin que debe hacerse en el caudal supuesto. Con los nuevos caudales hallados se verifica la condicin 1. Si no resulta satisfecha debe hacerse un nuevo tanteo. Ejemplo 3 Para la red mostrada en la figura calcular el gasto en cada ramal. Considerar CH = 100 en todas las tuberas.

M

200 l/s

B

C

N

Solucin. Para la solucin de esta red vamos a aplicar el mtodo de Hardy Cross. La ecuacin de descarga en cada tubera es:Tuberias en Paralelo


h f =kQ

1.85

6 1.72(10 ) L K = 1.85 4.866 CH D

Estas ecuaciones corresponden a la frmula de Hazen y Williams, que es la que utilizaremos, dado que el coeficiente de resistencia est en los datos referido a dicha frmula. Si ste no fuera el caso se utilizara las ecuaciones correspondientes. Empezaremos por dividir la red en dos circuitos en cada uno de los cuales consideramos como sentido positivo el correspondiente al sentido contrario de las agujas del reloj. Esto es puramente convencional y podra ser al contrario. Haremos tambin, tentativamente, una suposicin con respecto a la distribucin de caudales. En consecuencia cada caudal vendr asociado a un signo. Habr caudales positivos y negativos. Por consiguiente las prdidas de carga en cada tramo tambin estarn afectadas del correspondiente signo. Sabemos, sin embargo, que ni los caudales ni las prdidas de carga tienen signo. Se trata solamente de algo convencional para expresar la condicin 1 que debe satisfacer una red. Se obtiene as


MECNICA DE FLUIDOS II La magnitud y el sentido del caudal en cada ramal se ha escogido arbitrariamente, cuidando tan slo que se cumpla la ecuacin de continuidad en cada nudo (en valores absolutos naturalmente). Ahora debemos hallar los valores de K en cada ramal para facilitar as el clculo de la prdida de carga con los diferentes caudales que nos irn aproximando sucesivamente a la solucin final.

CIRCUITO I BN NM MB 0,03367 0,02806 0,00692

CIRCUITO II CM MN NC 0,00969 0,02806 0,00830

Calculamos ahora los valores de perdida de carga ht0 en cada circuito aplicando la ecuacin de descarga BN + 87.23 NM 7.16 MB 56.35 CM 57.93 MN + 7.16 NC + 34.23

h

0

= +23.72

h hf 0 hf 1.85 0 Q0Q =

0

= 16.54

Aplicando ahora la ecuacin:

Q =

Q =

23.72 = 6.3 1.85 x 2.04

16.54 = 7.1 1.85 x1.26

Q = 6

Q = 7


MECNICA DE FLUIDOS II Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la prdida de carga h f son los siguientes

CIRCUITO I

CIRCUITO II

Tramo BN NM MB

Caudal +70 - 6 = +64

hf +73,91 -18,09 -61,26f

Tramo CM MN NC

Caudal -110 + 7 = -103 +20 + 7 + 6 = +33 +90 + 7 = +97

hf -51,29 +18,09 +39,32f

-20 - 6 - 7 = -33 -130 - 6 = -136

h

=

h

= +6,12

5,44

Calculamos nuevamente la correccin Q

5.44 = +1.37 1.85 x 2.15 Q = +1 Q =

6.12 = 2.28 1.85 x1.45 Q = 2 Q =

Los nuevos caudales y los correspondientes valores h f son

CIRCUITO I

CIRCUITO II

Tramo BN NM MB

Caudal + 64 + 1 = + 65

hf +76,06 -15,16 -60,43f

Tramo CM MN NC

Caudal -103 - 2 = -105 +33 - 2 - 1 +97 - 2

hf -53,15

- 33 + 1 + 2 = -30 - 136 + 1 = - 135

= +30 +15,16 +37,83f

= +95

h

= +0,47

h

= 0,16

Calculamos ahora nuevamente la correccin QTuberias en Paralelo


0.47 = 0.12 1.85 x 2.12 Q = 0 Q =

0.16 = 0.06 1.85 x1.41 Q = 0 Q =

Estos caudales satisfacen las tres condiciones de una red. Obsrvese que la condicin 1,

h

f

= 0 para

cada circuito es la

expresin de conceptos bsicos del flujo en tuberas. Aplicada, por ejemplo, al circuito I, debe entenderse que en realidad refleja el comportamiento de un sistema en paralelo, tal como se ve a continuacin.

Por lo tanto se debe cumplir la ecuacin fundamental



h fB M + h f M N = hf B NComo efectivamente ocurre con los resultados obtenidos. Debe cumplirse, por las mismas razones, las siguientes ecuaciones

h f MC + h f MN + h fCN = 0 h f BNC = h fBMC

La condicin 3 queda tambin satisfecha. Tomemos un ramal cualquiera (NC).

D = 8" cH = 100 L = 0.6km h f = 37.83m

Q = 0.00426 x100 x82.63 x 63.050.54 Q = 94.7l / s



KCircuito 1

Qo

hf0

h

f

0

Q

Q

hf

h

f

Q

Q

hf

h

f

Q

BN NM MB

0,03367 0,02806 0,00692Circuito 2

+70 -20 -130

+87,23 -7,16 -56,35 +23,72

-6 -13 -6

+64 -33 -136

+73,91 -18,09 -61,26 -5,44

+1 +3 +1

+65 -30 -135

+76,06 -15,16 -60,43 +0,47

0 0 0

CM MN NC

0,00969 0,02806 0,00830

-110 +20 +90

-57,93 +7,16 +34,23 -16,54

+7 +13 +7

-103 +33 +97

-51,29 +18,09 +39,32 +6,12

-2 -3 -2

-105 +30 +95

-53,15 +15,16 +37,83 -0,16

0 0 0

ConclusionesTuberias en Paralelo

MECNICA DE FLUIDOS II La naturaleza de los sistemas paralelos requiere que la tcnica

utilizada para su anlisis sea diferente ala que se utiliza en el anlisis de los sistemas en serie. En general. un sistema paralelo puede tener cualquier nmero de ramas. Un sistema de tuberas en paralelo est constituido por dos o

ms tuberas que, partiendo de un punto, vuelven a unirse de nuevo en otro punto, aguas abajo del primero En el mtodo de Hardy Cross las condiciones que deben

satisfacer en la red son La suma algebraica de las prdidas de carga en cada circuito debe ser cero.

BIBLIOGRAFATuberias en Paralelo


NOMBRE DE LIBRO MECANICA DE FLUIDOS E HIDRAULICA MECANICA DE FLUIDOS APLICADA

AUTOR Ranald V. Giles / Jack B. Evett / Cheng Liu Robert Mott

HIDRAULICA DE TUBERIAS Y CANALES

Arturo Rocha Felices Merle C. Potter / David C. Wiggert Irving H. ShamesFernndez Bono, Juan F y Marco Segura, Juan B

MECANICA DE FLUIDOS MECANICA DE FLUIDOS APUNTES DE HIDRAULICA TECNICA

TEMA PAGINAS Flujo de fluidos en 160 167 tuberas Perdidas de Energa 237- 257 debido a la friccin Resistencia de la superficie en el movimiento 91 - 150 uniforme / diseo de tuberas Flujo turbulento en un 281 - 305 tubo Flujos turbulentos consideraciones 327 - 335 experimentales Perdida de carga en tuberas


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