INTRODUCCIÓN

Estaba en mi casa pensando qué explorar usando la matemática.

Cuando sobre la mesa observé que había un envase de leche de 1 litro

(TetraPack) y me surgió la siguiente interrogante:

¿Cómo lo harán para saber la mínima cantidad de cartón para que

tenga un menor costo el envase?

Me di la tarea de averiguar y le pregunte a mi hermano que estudió

ingeniería, cómo lo harían. Me contestó que eso lo hacen con Métodos de Cálculo

de Funciones y que consultara en un buen libro de Cálculo en el tema de

optimización y aplicación de la derivada de una función. Conseguí algunos libros y

me puse a revisarlos, dándome cuenta que precisamente es uno de los clásicos

problemas estudiados del tema en la Universidad, pues aparecía en casi todos los

libros que consulté. Me di cuenta que había varias cosas que no entendía y que

tendría que estudiarlas, pero me tranquilizó la idea de que el problema en sí

estaba más o menos abordado y, por lo tanto, ya había encontrado el inicio de la

ruta de mi exploración matemática.

Es importante mencionar que los ejemplos de optimización que aparecen

en los libros son de cajas sin tapa (como una caja de zapatos). Por ello modifiqué

el enfoque considerando como está construido el envase de cartón que tenía en

mis manos.

Consideré un envase de base cuadrada, aclaro que no pierde generalidad

el proceso realizado, si quisiéramos podríamos considerar las 3 dimensiones

distintas sería similar procedimiento a realizar. Uno de los aspectos que me di

cuenta es que podemos modificar las longitudes del envase, es decir, por ejemplo

disminuyendo la altura tendríamos que aumentar una o ambas dimensiones de la

base para contener el volumen constante de 1 litro. También aclaro que sería

evidentemente similar proceso si las dimensiones son para un envase menor

como por ejemplo, el típico de 200 ml.

COMIENZO

Primero abrí el envase de cartón y lo corté, resultando un rectángulo con

dobleces de dimensiones dadas en las siguientes figuras.

* La zona celeste son los bordes de pegado de unión de la caja.

* La zona amarilla corresponde a la caja que contiene el líquido.

El problema matemático que debemos abordar consiste en hallar las

dimensiones del prisma de base cuadrada formado por la caja contenedora del

l{iquido, para que su área total sea mínima.

Sabemos que el volumen de un prisma rectangular de base cuadrada y el

área de un rectángulo son respectivamente.

2V a c A a b

En el volumen del prisma a la variable (largo=ancho) a le asignaré la x y a la

(altura) c le asignaré h.

Luego, el volumen queda expresado así:

2V x h

Como el volumen es de 1 litro lo que corresponde a 31000 cm .

Sustituyendo v=1000 resulta.

21000 x h

Necesitamos plantear la función de área de la caja, porque es la funci{on que

vamos a optimizar.

La obtenemos a partir del siguiente diagrama, donde las líneas negras son

dobleces de la caja:

Sumamos las dimensiones del largo y ancho del rectángulo dado y las

multiplicamos entre sí, obteniéndose:

(2 2 0.8) (4 2 0,8)2

xA h x

Simplificando el primer término del factor izquierdo, se tiene:

( 1.6) (4 1.6)A x h x

Queda una expresión con 2 variables y necesitamos que esté en una variable. Por

lo tanto, debemos sustituir la variable h en términos de x. Lo logramos de la

expresión de volumen dada anteriormente.

2

2

10001000 x h h

x

Al sustituir h en la expresión de A se tiene una función de una variable que es:

2

1000( ) ( 1.6) (4 1.6)A x x x

x

Si multiplicamos ambos factores y sumamos términos semejantes se tiene la

siguiente función de una variable:

2

2

4000 1600( ) 4 8 2.56A x x x

x x

La que corresponde a una función racional con dominio pues la variable x

corresponde a una medida de longitud no nula.

Ahora viene la etapa de encontrar la derivada de la función área para poder

encontrar los puntos críticos, que corresponden a puntos de máximo, mínimo o

puntos de inflexión que es donde cambia la concavidad la curva de la función.

Primero voy a escribir la función de área sin fracciones para calcular la derivada

de potencias que es más simple. Por lo tanto, sólo tenemos derivada de potencias

y de constante.

2 1 24 8 4000 1600 2.56A x x x x

Derivando con respecto a la variable x tenemos:

2 3'( ) 8 8 4000 3200A x x x x

Ahora la función encontrada la igualamos a 0 porque es el valor de la pendiente de

la recta tangente horizontal cuando un punto es un mínimo o máximo. Esto es:

'( ) 0A x

Quedando la siguiente ecuación de grado 4:

2 3

4000 32008 8 0x

x x

Le damos forma entera pues la variable es no nula, quedando:

4 38 8 4000 3200 0x x x

Dividimos por 8, teniendo:

4 3 500 400 0x x x

Para resolver esta ecuación de grado 4 (ya que no tengo conocimientos

suficientes para resolverla. Porque averigüé que se puede resolver por métodos

de aproximación y fórmulas de aplicación complejas) utilicé un programa y

grafiqué la función para encontrar sus ceros (intersecciones con el eje x),

resultando:

En el punto A hay un cero que es por aproximación x = 7.88.

El punto B no lo considero porque es negativo y la variable x es positiva.

Luego x = 7.88 es la solución que cumple las condiciones del problema.

Pero debemos saber si en x = 7.88 existe un mínimo, para ello una de las formas

de verificar es por “el criterio de la segunda derivada” que afirma: Si el punto

crítico evaluado en la segunda derivada resulta positivo corresponde a un mínimo

local o absoluto.

Determinemos la segunda derivada, que corresponde a derivar con respecto a la

variable x la primera derivada encontrada anteriormente.

3 4

8000 9600'' 8A x

x x

Evaluamos x = 7.88 en la función segunda derivada, teniendo:

3 4

8000 9600''(7.88) 8

7.88 7.88A

Vemos que claramente es positivo el resultado de la evaluación pues todos los

términos son mayores que cero.

Entonces, concluimos que en x = 7.88 hay un mínimo.

Lo cual nos confirma la gráfica de la función dada a continuación:

Recordar que el punto lo aproximamos y usé siempre el valor aproximado en mis

cálculos.

Ahora determinemos la altura, sustituyendo x = 7.88 en la expresión anteriormente

dada para h en función de x.

2

2

1000 y 7.88

1000h(7.88)= 16.1

7.88

h xx

Por aproximación a la décima resulta h = 16.1

En consecuencia, las dimensiones óptimas para que el costo sea mínimo debido a

la obtención de área mínima de la caja serían:

La base de la caja: largo = 7.88 cm y ancho = 7.88cm

La altura de la caja: 16.1 cm

CONCLUSIÓN

Lo que pude concluir que las dimensiones basales difieren solo de

aproximadamente 0,6 cm pero, en la altura se nota la diferencia mayor que es de

3.7 cm.

Seguramente entran otras condiciones no posibles de considerar aquí, que

podrían ser dimensiones de los insumos que son los rollos de papel kraft, papel

aluminio, medidas de las máquinas de corte y armado, tambores de impresión,

márgenes de sujeción y holgura para corte y prueba de pigmentación en las

impresiones, las medidas de la máquina de adhesión de las capas de plástico,

entre otros aspectos propios de la producción y almacenamiento de estas cajas.

Pude aprender que las matemáticas están presentes en la vida cotidiana

más de lo que yo me imagino o creo, y más que eso. Las matemáticas tanto como

el lenguaje oral, la música, las artes, cine, etc, son muy importantes y necesarias

en nuestra vida aunque nos parezca que están lejanas; en los libros, el aula, etc.

Fue enriquecedor explorar un poco de este mundo infinito de posibilidades

de las matemáticas que nos hacen posible con las investigaciones y avances una

mejor calidad de vida.