UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE PROFESORA: CECILIA TOLEDO V. FACULTAD DE CIENCIA PRIMER SEMESTRE DEl 2005DEPARTAMENTO DE FÍSICA

LABORATORIO DE FISICA Nº 7ROTOTRASLACIÓN

Objetivo:

Calcular el momento de inercia de un sólido por medio de una rototraslación. y usando el principio de conservación de la Energía Mecánica.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL En esta sesión de laboratorio, usted dispondrá de diferentes materiales para determinar el momento de inercia de algunos cuerpos.1.- Calcular el momento de inercia de la rueda de Maxwell

La rueda de Maxwell es cuerpo rígido formado por dos cilindros delgados de igual radio, conectados a través de un cilindro de radio mayor, como muestra la figura (a)

a) Use el principio de conservación de la energía mecánica para determinar el momento de Inercia de la Rueda de Maxwell

.- Escriba las ecuaciones que le permitirán lograr el objetivo.

.- Explique brevemente las medias que deberá tomar para lograr el objetivo

.- Registre los datos en forma ordenada

b) Se puede realizar otro procedimiento experimental.

Método para calcular el Momento de Inercia aplicando el concepto de densidad.La rueda de Maxwell está formada por un disco de radio “R” y dos cilindros coaxiales de radio “r” por la tanto, su momento de inercia puede expresarse como la suma de los momentos de inercia de los cuerpos que la forman. Escriba la ecuación del momento de inercia de la rueda respecto del eje que pasa por su centro de masa:

¿ Cómo determinaría masa del cilindro mayor y de los cilindros menores?

Aplique las siguientes ecuaciones:

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Figura a

Donde:masa discomasa cilindro

Determine el momento de inercia de la rueda .

c) Use las ecuaciones dinámicas para determinar finalmente el momento de inercia de la Rueda d Maxwell. Escriba las ecuaciones que le permitirán hacerlo . Haga los cálculos.

d) Verificación del Teorema de Steiner:

Elija como eje instantáneo de rotación un punto P del borde del cilindro y verifique el Teorema de Steiner.

Utilice los datos medidos anteriormente.

e)..Suponga que le pasan tres cuerpos, una esfera, un aro y un cilindro, todos de igual masa e igual radio, cuyos momentos de inercia son 2/5 MR2, MR2 ; y ½ MR2 respectivamente y los suelta desde la posición que indica la figura ¿ Llegan los tres al mismo tiempo a la base del plano inclinado? Explique con argumentos físicos su respuesta.

Materiales: 1 rueda de Maxwell 1 plano inclinado (rieles de madera) 2 fotopuertas 1 regla 1 pie de metro 2 soportes universales 4 barras 4 nueces 1 balanza

ANEXO TEORICO

ECUACIONES GENERALES DEL MOVIMIENTO PLANO

De acuerdo a lo estudiado a la fecha, la aceleración del centro de masa de un sistema sobre

el cual actúa una fuerza resultante es:

Por otra parte, cuando un rígido rota respecto de un eje fijo su ecuación de movimiento es:

Analizaremos, brevemente, a partir de estas ecuaciones, el movimiento de un cuerpo rígido, tenga o no tenga eje de rotación.

Si sobre un rígido actúan varias fuerzas, el sistema de fuerzas puede reducirse a los siguientes casos:

a) una sola fuerza cuya línea de acción pasa por el centro de masa , en cuyo caso el rígido sólo traslada.b) a un par o cupla, es decir, dos fuerzas de línea de acción paralela, de igual módulo, igual dirección y sentido opuesto; en este caso el rígido rota respecto de un eje que pasa por el centro de masa sin ser necesario de que exista ese eje en forma real.c) una fuerza única cuya línea de acción no pasa por el centro de masa, en este caso el rígido rota y traslada simultáneamente. Las ecuaciones del movimiento son:

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y

De los tres casos planteados, analizaremos el tipo (c), que es una rototraslación para cuerpos que presentan una simetría esférica.

RODADURA

Cuerpos rígidos como las esferas, cilindros, aros, discos, pueden rodar o tienen movimiento de rodadura. Esto significa que a la vez que traslada también rota respecto de un eje. Es un movimiento combinado de rotación y traslación.

Analizaremos el caso sencillo de un cuerpo que rueda sin deslizar sobre una superficie plana rugosa. Este tipo de movimiento impone una relación determinada entre las variables lineales y angulares de su desplazamiento, velocidad y aceleración. Analicemos el movimiento de un cilindro macizo y homogéneo de masa M y radio R.

El centro de masa del cilindro coincide con el centro de gravedad de él.La distancia que se desplaza al centro de masa del cilindro en un intervalo de tiempo ( cuando rueda sin deslizar) es:

(1)

Esta es la primera condición cinemática del movimiento de rodadura. Si se deriva sucesivamente dos veces esta expresión respecto del tiempo, se encuentran las ecuaciones:

(2)

(3)

De las ecuaciones (1), (2) y (3), se deduce que las variables lineales y angulares respectivas, no son independientes entre sí .En este movimiento se cumple que la velocidad del punto de contacto P es nula en todo instante.

El movimiento de rodadura puede analizarse por dos métodos que son totalmente equivalentes:

a) Como una rototraslación, es decir, una traslación del cuerpo rígido y una rotación en torno de un eje que pasa por su centro de masa en forma simultánea.

b) Como una sucesión de rotaciones puras respecto de un eje, llamado eje instantáneo de rotación.

A través del movimiento del cilindro que rueda sin deslizar, mostraremos la equivalencia de ambos métodos, usando el concepto de energía cinética.

Se llama eje instantáneo de rotación a un eje perpendicular al plano de la figura que pasa por el punto de contacto P entre el cilindro y la superficie. (Para otros casos de rototraslación, el eje instantáneo puede estar en el exterior del cuerpo).

Como la velocidad del punto de contacto P es nula, podemos considerar que en cada instante t del movimiento, el cuerpo tiene una rotación pura en torno del eje instantáneo que pasa por el punto P.

Supongamos que w es la rapidez angular del cilindro respecto del eje instantáneo en un instante t, entonces la energía cinética total de él es:

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P

cm

cm

cm

A

A

B

B

B

S=2R

A

cm

P

(I)

siendo el momento de inercia del cilindro respecto del eje instantáneo.

Mediante el teorema de Steiner:

luego:

(II)

Analicemos cada uno de los sumandos de esta expresión.

El término representaría la energía cinética de rotación de un cilindro, si sólo

estuviese rotando respecto de un eje que pasa por el centro de masa.

El término representaría la energía cinética de traslación de un cilindro que solo

trasladara con la velocidad del centro de masa ( vcm= R )

La velocidad angular respecto del eje instantáneo y respecto de un eje que pasa por el centro de masa, en un instante t,es la misma.

La ecuación II vemos que esta representa la energía cinética total del cilindro que rueda sin deslizar, expresado por los efectos combinados de la traslación del centro de masa y de una rotación alrededor del un eje que pasa por el centro de masa. Resumiendo, podemos concluir que una rotación pura en torno del eje instantáneo, es equivalente a una rototraslación.

Gráficamente, podemos ilustrar la equivalencia de una rototraslación en una rotación pura, a través del movimiento de un cilindro que rueda sin deslizar.

(a) (b) (c)

En la figura (a), se han dibujado las velocidades de los puntos A, B, O y P, suponiendo que el cilindro sólo traslada.

En la figura (b), se han dibujado las velocidades de los mismos puntos anteriores, suponiendo que el cilindro sólo rota en torno del centro de masa.

En la figura (c), se han dibujado las velocidades de dichos puntos que resultan de hacer la suma de los vectores velocidad cuando se considera que sólo traslada (a) y cuando se considera que sólo rota (b).

Se observa que el punto P no tiene velocidad, que el punto O se mueve con la velocidad del centro de masa, que el punto A se mueve con el doble de la velocidad del centro de masa,

y que el punto B con rapidez una rapidez de .

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CMV2

P P

vc

m

A A A

P

BB B

O O O

CMV

cmV

=

En sistemas en los cuales la única fuerza no conservativa es la fuerza de roce estático, la energía mecánica se conserva constante, ya que la fuerza de roce estático no disipa energía, o no realiza trabajo.

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