8/15/2019 Existencia y Unicidad de Ecuaciones Diferenciales

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Existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales

Consideremos una funcion f dada tal que

∂ f 

∂ y= f  ( x , y ); y ( x0 )= y0   (1)

Sin saber más de este problema con valores iniciales rápidamente nos vienena la cabeza tres preguntas:

1. ¿Cómo sabems que (1) tiene solición si sabemos que no siemprepodemos e!ibirla"

#. ¿Cómo sabemos$ en caso que eistiera$ que tal solución es %nica" ¿sondos$ tres o !a& una in'nidad de soluciones a (1)"

. ¿ara qu* nos molestamos en saber esto" despu*s de todo ¿qu* utilidadtiene molestarse en encontrar una solución que podamos e!ibir conpresición"

+a respuesta a la tercer pregunta está en la observacón en que casi nunca$ enaplicaciones reales$ es necesario una solución eacta: basta con e!ibirla!asta unos cuantos decimales para que sea ,su'cientemente precisa- lo cuales sencillo con la a&uda de una computadora. s/ pues$ el saber que eiste talsolución es motivo su'ciente para buscarla.

Sea dada una ecuación diferencial  y' =f  ( x , y )   donde la función f  ( x , y )

está de'nida en un recinto 0 del plano XOY  que contiene el punto

 x0

, y

(¿¿ 0)

¿

Si la

función satisface a las condiciones:

a)   f  ( x , y ) es una función continua de dos variables x  e y, en el recinto 0

b)   f  ( x , y ) admite derivada parcial∂ f 

∂ y continua con respecto

de x  e y  en el recinto 0$ entonces$ eiste una$ & sólo una$ solución de laecuación dada que satisface a la condición .

2l problema de la b%squeda de la solución de la ecuación  y' =f  ( x , y ) que

satisface la condición inicial $ lleva el nombre de Cauchy .

3eom*tricamente esto signi'ca que se busca la curva integral que pasa por el

punto dado

 x0

, y

(¿¿ 0) M 

0¿

 del plano XOY ('g. 1).

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4ig. 1.

2l teorema epresa las condiciones su'cientes para la eistencia de solución

%nica del problema de Cauc!& para la ecuación  y' =f  ( x , y ) pero estas

condiciones no son necesarias. recisamente$ puede eistir una solución %nica

de la ecuación  y' =f  ( x , y ) que satisface a la condición$ a pesar de que en el

punto no se cumpla la condición a) o la condición b)$ o estas condiciones

simultáneamente.

Ejemplos

1. Considere la ecuación diferencial y

' = 1

 y2

qu/$f  ( x , y )=  1

 y2 ,

 ∂ f 

∂ y=−2

 y3

2n los puntos ( X 0 ,0) del e5e OX no se cumplen las condiciones a) & b) (la

función f  ( x , y ) & su derivada parcial∂ f 

∂ y son discontinuas en el e5e OX )$

mas$ por cada punto del e5e OX  pasa por una sola curva integral

 y=3√ 3( x− x0) .

#. Considere la ecuación diferencial:  y' = xy+e

− y

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2l segundo miembro de la ecuación f  ( x , y )= xy+e− y

& su derivada parcial

∂ f 

∂ y= x−e− y

  son continuas con respecto a x  e y en todos los puntos del

plano XOY . 2n virtud del teorema de eistencia & unicidad$ el recinto en el que

la ecuación dada tiene solución %nica es todo el plano XOY .

. Considere la ecuación diferencial:  y' =

3

2

3

√  y2

2l segundo miembro de la ecuaciónf  ( x , y )=3

2

3

√  y2

es una función de'nida &

continua en todos los puntos del plano XOY . +a derivada parcial∂ f 

∂ y=

  1

3

√  y se

!ace in'nita para  y=0 se infringe la condición b) del teorema de eistencia

& unicidad. or consiguiente$ es posible que no !a&a unicidad en los puntos del

e5e OX . 4ácilmente se comprueba que la función  y=( x+c )3

8 es solución de la

ecuación considerada. demás$ la ecuación tiene la solución evidente  y=0 .

s/$ pues$ por cada punto del e5e OX  pasan por lo menos dos curvas integrales&$ por consiguiente$ en los puntos de este e5e$ verdaderamente$ quedainfringida la unicidad.

Son tambi*n l/neas integrales las formadas por trozos de las parábolas c%bicas

 y=( x+c )3

8  & los segmentos del e5e OX  por e5emplo$ las l/neas ABOC1,

 ABB2C2, A2B2x $ etc. 0e este modo$ por cada punto del e5e OX pasan in'nitasl/neas integrales.