Instituto Tecnologico de Costa Rica 2 h, 30 minEscuela de Ingenierıa de los Materiales 45 puntosMetodos Numericos para Ingenierıa I Semestre, 2015

Examen de Reposicion18 de junio

Instrucciones: Esta es una prueba de desarrollo, por lo tanto, debe presentar todos los pasosque le permitieron obtener cada una de las respuestas. Trabaje de forma clara, ordenada y utilicebolıgrafo para resolver el examen. No se aceptaran reclamos de examenes resueltos con lapiz o quepresenten algun tipo de alteracion. No se permite el uso de calculadora programable, telefonos,reproductores de musica, entre otros dispositivos similares. Lea y analice cuidadosamentecada uno de los enunciados, hacer preguntas o consultas respecto al enunciado espermitido solamente durante los primeros 15 minutos despues de haber iniciado laprueba, despues de transcurridos dichos 15 minutos no se atendera ningun tipo deconsulta o pregunta.

1. La velocidad v (en metros/segundo) de una partıcula en un tiempo t (segundos), esta dadapor la ecuacion:

v(t) = t3 − 2t2

a) [2 puntos] ¿Es posible aproximar el tiempo en el que la partıcula alcanza una velocidadde 1 m/s, a partir del reposo, tomando como tiempos iniciales 1 y 2 segundos?

b) [5 puntos] Utilice el metodo de Newton-Raphson para aproximar el tiempo en el que lapartıcula alcanza una velocidad de 1 m/s, a partir del reposo utilizando tiempo inicialde 2 seg., con un error relativo de al menos 0.001.

2. [4 puntos] Dado el siguiente sistema de ecuaciones:−x+ 2y = 1−3x+ 19z = 25x− y − 3z = 3

Determine la factorizacion LU de la matriz de coeficientes asociada al sistema anterior.

1

3. [4 puntos] La densidad del carbonato de potasio en solucion acuosa varıa con la temperaturay la concentracion. En un experimento para determinar la densidad del carbonato D, seconsidero la temperatura constante y se vario la concentracion C, obteniendo los siguientesdatos:

C 4 20 38D 1.027 1.1801 1.348

Utilice un polinomio de Lagrange, del mayor grado posible segun los datos dados, paraaproximar la concentracion cuando la densidad del cabonato es de 25.

4. Sea

I =

∫ 4

1

f(x) dx

Ademas, se sabe que

x 1 3 4f ′′′(x) -3 2.5 -1

a) [4 puntos] Aproxime el valor de

max[1,4]|f iv(x)|

si se sabe que dicho maximo se alcanza en x = 1, x = 3 o x = 4.

b) [4 puntos] Determine la cantidad mınima de puntos que debe utilizar la regla compuestade Simpson para aproximar el valor de I con al menos 3 decimales correctos.

5. [10 puntos] A un circuito RC (una resistencia y un capacitor en serie) se le aplica una fuerzaelectromotriz constante de E = 20V , con una resistencia de R = 60Ω y una capacitancia deC = 0,1F . La carga q del capacitor en un determinado tiempo t esta dada por la siguienteecuacion

Rdq

dt+q

C= E

Si se sabe que la carga inicial es nula, aproxime la carga durante los primeros 30 segundos,cada 10 segundos. Para ello, utilice el metodo de Taylor de orden 2 y mejore todos losresultados que sea posible por medio del metodo AM3.

6. Considere una placa metalica, rectangular y aislada de 12x20 cm2 a la cual se le aplica unatemperatura de 20C en todos sus bordes.

a) [2 puntos] Discretice el espacio de la placa de tal manera que entre cada par de puntoshaya una distancia tanto horizontal como vertical de 4 cm.

b) [2 punto] Discretice la ecuacion diferencial que describe la transferencia del calor en laplaca en un momento fijo t dado, si se sabe que la ecuacion que describe la transferenciade calor en el interior de la placa es

∂2T

∂x2+∂2T

∂y2= 0

2

c) [3 puntos] Determine el sistema de ecuaciones que ayudar a aproximar la temperaturaen el interior de la placa, en un momento fijo t, segun las discretizaciones indicadasanteriormente.

d) [5 puntos] Realice tres iteraciones del metodo de Gauss-Seidel para aproximar la so-lucion del sistema anterior tomando como valor incial (0, 0, 0)T . Debe asegurar laconvergencia del metodo. Calcule el error relativo obtenido en la ultima iteracion,para ello utilice con norma-4

Formulario:

f(xi+1)− f(xi)

h

f(xi)− f(xi−1)

h

f(xi+1)− f(xi−1)

2h

f(xi+1)− 2f(xi) + f(xi−1)

h2

bi −n∑

j=1; j 6=i

ai,jx(k)j

ai,i

bi −i−1∑j=1

ai,jx(k+1)j −

n∑j=i+1

ai,jx(k)j

ai,i

|ai,i| >n∑

j=1; j 6=i

|ai,j|

n∑i=0

(yi

n∏j=0; j 6=i

x− xjxi − xj

)∣∣∣∣∣f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!

n∏i=0

(x− xi)

∣∣∣∣∣n∑xiyi − (

∑xi) (

∑yi)

n∑x2i − (

∑xi)

2∑yi −m

∑xi

n

b− an

a+ hi

|xi+1 − xi|∣∣∣∣xi+1 − xixi+1

∣∣∣∣bn−1 − an−1

2

xn−1 −xn−1 − xn−2yn−1 − yn−2

· yn−1

xn−1 −f(xn−1)

f ′(xn−1)

a(k−1)i,j −

a(k−1)i,k

a(k−1)k,k

a(k−1)k,j

b(k−1)k −

n∑r=k+1

a(k−1)k,r xr

a(k−1)k,k

|ai,k|maxj=k,...,n|ai,j|

wi +n∑

k=1

hkf(k−1)i

k!

f(ti, wi)

f(ti+1, wi + hK1)

3

wi +(K1 +K2)

2h

f(ti + 0.5h,wi + 0.5hK1)

f(ti + 0.5h,wi + 0.5hK2)

f(ti+1, wi + hK3)

wi +(K1 + 2K2 + 2K3 +K4)

6h

wi + h

m−1∑j=0

cjfi−j

wi + h

m−2∑j=−1

cjfi−j

m−1∑j=0

cjQ(−j) =m−1∑j=0

cjfi−j

f(xi+1, yj)− f(xi−1, yj)

2∆x

f(xi, yj+1)− f(xi, yj−1)

2∆y

f(xi+1, yj)− 2f(xi, yj) + f(xi−1, yj)

(∆x)2

f(xi, yj+1)− 2f(xi, yj) + f(xi, yj−1)

(∆y)2

h(f(a) + f(b))

2+ h

n−1∑i=1

f(a+ ih)− (b− a)h2

12f ′′(ξ)

h

3

f(a) + 4

n2∑

i=1

f(x2i−1) + 2

n2−1∑

i=1

f(x2i) + f(b)

− (b− a)h4

180f iv(ξ)

4