examenes talleres calculo 1

Universidad

Industrial de

Santander

Facultad de CienciasEscuela de Matemáticas

Cálculo I — Taller ANúmeros reales – desigualdades

Prof. Doris González RojasGilberto Arenas Díaz

Nombre: Código:

I. Determine si cada una de las siguientes afirmaciones es cierta o falsa. Justifica tu respuesta:

a) Todo número entero es irracional.

b) Existen números reales que sean racionales eirracionales a la vez.

c) pq y p− q son números naturales si p y q lo son.

d) La suma de cualquier par de números irracionaleses un número irracional.

e) Si m es un número irracional y n es un númeroracional entonces n+m es un número irracional.

f) Existen números irracionales r y s tales que r · ses racional.

g) No existe ningún número real tal que x2 + 1 = 0.

h) 3a < 7a para todo a ∈ R.

i) Para todo a y b en R, a.b > 0 implica a > 0 y b > 0.

j) |x− 5| < 2 implica que 3 < x < 7.

k) Si x ≥ y entonces |x− y| = |x| − |y|.l) No existe número real x para el que |x− 1| = |x− 2|.

m) Para todo x > 0 existe un y > 0 tal que |2x+ y| = 5.

n) Para todo x ∈ R, |x− 5| = |5− x|.ñ) Para todo x ∈ R, si x2 > 1 entonces x > 1.

o) La expresión2− 7x

3 + xrepresenta un número real para todo

x ∈ R.

p) Si x < 5 entonces |x| < 5.

q) |1 + 3x| ≤ 1 entonces x ≥ −2

3.

II. Hallar la solución de la ecuación o desigualdad dada, expresarla en forma de intervalo y representarla en la rectanumérica.

1) (x− 2)5 − 9 (x− 2)

3= 0

2)x+ 7

x− 2=

x− 4

x+ 2+

15

x2 − 4

3) |x− 2| = 2x− 6

4) x2/3 + 4x1/3 − 5 = 0

5) 3 |x− 2| − 2 |x| = 5

6)4

x− 1+

2

x+ 1=

20

x2 − 1

7) 2 =√3− x

8) x4 − 81 = 0

9) 3x− 7 ≥ 2x+ 1

10) 2x2 + 5x− 1 < 2x+ 1

11) 2 (7x− 3) ≤ 12x+ 16

12)∣

∣5− 1

x

∣

∣ < 1

13) |3x− 4| ≤ 2x

14) |x+ 2| ≥ 5

15) |x− 1| > 2

16)x2 − 4

1− x2≤ 2

17) |x− 1| |x+ 2| = 3

18) |x| − 2 |x+ 1|+ 3 |x− 2| = 0

19) |x+ 2| − |x− 1| < 0

20)

∣

∣

∣

∣

1

x− 3

∣

∣

∣

∣

≥ 3

21) (x+ 5)(x− 2) ≤ 0

22)1

(x+√2)(x− π)

≥ 0

23)x+ 8

x− 2< 0

24) |x− 1/3| ≤ 2

25) |2x+ 1| < −5

26) |x+ 4| ≥ −2

27) |2x+√2| = 4

28) |3x+ 4| < x− 1

29) |8x+ 5| > x

30) 4|x+ 1| − 2|x− 3| ≥ 4

31)7x− 1

|x+ 2| < 3

32)1

x+ x > 1

33) 7x < 3x− 4

34) 9− 5x ≥ 5 + 3x

35) x− 7 ≤ 3x− 5− 2x

36) 12x > 5x− 4

37) 4x2 − 4x− 3 < 0

38) 3x2 − 4x+ 1 > 0

39) 8x2 + 53x− 21 > 0

40) x2 − 3x ≥ 4

41) 3x2 + 10x+ 3 ≥ 0

42) −x2 − x− 1 ≥ 0

43) x3 + 4x2 + x− 6 ≥ 0

44) x3 − 37x+ 84 < 0

45)x+ 7

x− 5> 0

46)x− 1

x≤ 0

47)x2 − 8x+ 15

x− 2< 0

48)3x+ 2

x2 + 4x− 5> 0

49)x+ 1

2− x<

x

3 + x

50)1

x+ 1<

2

3x− 1

51)1

3x− 7≥ 4

3− 2x

52)1− x

x+ 1<

x

x− 1

53)3

x+ 4+

12

x− 5< 1

54)√x2 + 3x+ 2 > 1 +

√x2 − x+ 1

55)√x2 + 3x+ 2 > 1−

√x2 − x+ 1

56)√1− x ≥ 2

57)√x− 2 + 1 ≥ 0

58)√25− x+

√5− x− 2 > 0

59)1−

√1− 4x2

x< 3

60)√

2 +√3 + x <

√4 + x

Recopilación de material complementario: talleres y exámenes (propuestos y algunos resueltos); DEGR-GAD, octubre/2014. 1

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Industrial de

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Cálculo I — Taller BPlano cartesiano


Nombre: Código:

1. Dados los puntos A (−3, 1) y B (−5, 3) encuentrela ecuación de la recta que es perpendicular al seg-mento AB y pasa por el punto medio entre A y B.

2. Si A (−1,−3) , B (5, 1) y C (−5, 3) ; encuentre uncuarto punto D de tal forma que ABCD sea un rec-tángulo.

3. Encuentre la ecuación de la circunferencia cuyodiámetro tiene extremos en los puntos A (1, 2) yB (5, 6) .

4. Sean las circunferencias B1 y B2 con ecuaciones

x2 − 8x+ y2 + 6y + 16 = 0 y

x2 + y2 + 4x+ 12y + 15 = 0

respectivamente. Encuentre la ecuación de la rectaque es paralela al segmento que une los centros deB1 y B2 y pasa por el punto (1, 1).

5. Encuentre una ecuación de la circunferencia que sa-tisface las siguientes condiciones: es tangente a losdos ejes con centro en el cuarto cuadrante y tieneradio 3.

6. La recta que pasa por los puntos P (−2, 3) yQ (0,−1) es perpendicular a la recta 3x− 6y+1 = 0.

7. La circunferencia con ecuación

x2 + y2 − 6x+ 4y + 4 = 0,

tiene centro en C (3,−2) y radio r = 3.

8. Utilizando el teorema de Pitágoras, demuestre que eltriángulo cuyos vértices son A(6, −7), B(11, −3) yC(2, −2) es rectángulo.

a) Utilice las pendientes para demostrar queABC es un triángulo rectángulo.

b) Encuentre el área del triángulo.

9. Demuestre que los puntos (−2, 9), (4, 6), (1, 0) y(−5, 3) son los vértices de un cuadrado.

10. Demuestre que A(1, 1), B(7, 4), C(5, 10) yD(−1, 7) son los vértices de un paralelogramo.

11. Encuentre la ecuación de la recta que satisface lascondiciones dadas.

a) Pasa por (2, −3), pendiente 6.

b) Pasa por (2, 1) y (1, 6).

c) Intercepción x igual a 1, intercepción y iguala −3.

d) Pasa por (1, −6), paralela a la rectax+ 2y = 6.

e) Pasa por (−1, −2), perpendicular a la recta2x+ 5y + 8 = 0.

12. En los ejercicios dibuje la región dada en el plano xy.

a) {(x, y) | x < 0}.

b) {(x, y) | xy < 0}.

c) {(x, y) | x < 0}.

d) {(x, y) | x ≥ 1 y y < 3}.

e) {(x, y) | |x| < 3 y |y| < 2}.

f ){

(x, y) | −x ≤ y <x+ 3

2

}

.

13. Encuentre un punto del eje y que sea equidistante alos puntos (5, −5) y (1, 1).

14. Demuestre que el punto medio del segmento de rec-ta que une los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es

(

x1 + x2

2,

y1 + y22

)

15. Encuentre la ecuación de la circunferencia que satis-face las condiciones dadas en cada uno de los Ejer-cicios.

a) Centro (3, −1); radio 5.

b) Centro (−1, 5); pasa por (−4, −6).

16. Demuestre que la ecuación dada representa una cir-cunferencia; encuentre el centro y el radio.

a) 16x2 + 16y2 + 8x+ 32y + 1 = 0.

b) 2x2 + 2y2 − x+ y = 1.


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Cálculo I — Taller CFunciones - Modelos


Nombre: Código:

1. Dados los siguientes gráficos, determine cual no es la grá-fica de una función con regla de asignación y = f (x).

a)

b)

c)

d)

e)

f )

2. Dada la función f , determine el dominio y el recorrido

a) f (x) =1√

x2 − 4.

b) f (x) =1

x2 + 1.

c) h(x) =|2 + 5x|√x2 − 1

.

d) g (x) =

√

x

x− 5.

3. Conteste verdadero o falso justificando su respuesta

a) El dominio de la función f (x) =

√

2− 3x

1 + xes el con-

junto(

2

3,∞

)

.

b) El dominio de (f ◦ g) (x) , cuando f (x) =√x y

g (x) =1 + x

x− 1es el conjunto (−∞,−1] ∪ [1,∞) .

c) El recorrido de la función t (x) =√x2 + 1 es R+.

4. Con base en el gráfico de la función polinómica f (x), de-termine:

a) dominio y recorrido,

b) {x ∈ R : f (x) ≥ 0}.

c) f (−2) , f (2) , f (0) .

5. Considere la siguiente función

g (x) =

(x+ 2)2 + 2, si x < −2,∣

∣ |x| − 1∣

∣, si |x| ≤ 2,√x− 2 + 3, si 2 < x.

Encuentre g(−2), g(0), g(2), g(5); determine dom g y re-corrido; grafique la función g (x).

6. Resuelva la siguiente desigualdad:x+ 1

2− x<

x

3 + x.

7. Encuentref(x+ h)− f(x)

h, si

a) f(x) =x− 1

x+ 2. b) f(x) = ax2 + bx+ c.

8. Una refinería se localiza al norte de la orilla de un río rectoque es de 2 km de ancho. Se debe construir una tuberíadesde la refinería hasta un tanque de almacenamiento quese localiza al sur de la orilla del río 6 km al este de la re-finería. El costo de instalación de la tubería es 400.000dólares/km en tierra hasta el punto P al norte de la orilla y800.000 dólares/km bajo el río hasta el tanque. Encuentreuna expresión para el costo de la tubería en función de ladistancia entre la refinería y el punto P .

9. El crecimiento de un feto de más de 12 semanas se puedeaproximar mediante la fórmula L = 1,53t − 6,7, en la cualL es la longitud en cm, y t la edad en semanas. La lon-gitud prenatal se puede determinar mediante ultrasonido.Calcule la edad aproximada de un feto cuya longitud es 28cm.

10. Halle la expresión para la función cuadrática cuya gráficase muestra en la Figura A.

y

x0 1

1(0, 1)

(−2, 2)

(1,−2.5)

Figura A.

11. Se va a construir un canal para el agua de lluvia a par-tir de una lámina de metal de 30 cm de ancho doblandohacia arriba una tercera parte de la lámina en cada ladoa través de un ángulo θ. Encuentre una expresión para elárea frontal del canal en función del ángulo θ. (Ver FiguraB).

θ θ

10 cm 10 cm 10 cmFigura B.

12. Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulocoronado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventanaes de 30 pies, exprese el área A de ella como función delancho de la misma.

13. Las ballenas azules recién nacidas tienen aproximada-mente 24 pies de longitud y pesan 3 toneladas. Las ba-llenas bebés maman durante 7 meses, y para cuando sondestetadas, con frecuencia tienen 53 pies de largo y pe-san 23 ton. Sean L y W la longitud (en pies) y el peso(en toneladas), respectivamente, de una ballena que tienet meses de edad.

a) Si L y t están relacionadas linealmente, exprese Len función de t.

b) ¿Cuál es el aumento diario de longitud de una balle-na bebé? (1 mes = 30 días).

c) Si W y t están linealmente relacionados, exprese Wen términos de t.

d) ¿Cuál es el incremento diario en el peso, de una ba-llena bebé?


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Cálculo I — Taller DFunciones


Nombre: Código:

1. Determine si la afirmación dada es verdadera o falsa, justifique claramente su respuesta.

a) Sea x ∈ R− {0}, entonces −x < x.

b) Si a, b ∈ R y a < b entonces a2 < b2.

c) El valor máximo de la función g(x) = x2 − 2x+ 2 es g(1) = 1.d ) Existen números racionales que son también irracionales.

2. Encuentre el dominio de las siguientes funciones.

a) f (x) =

√x− 1

x2 + 1. b) h(x) =

∣

∣x2 − 1∣

∣

√2 + 5x

. c) g(x) =

√16− x2

ln(1 + x).

3. a) Considere la siguiente función

g(x) =

1− 2x, x < −1;

3, −1 < x < 3;√x+ 1, x > 3.

Encuentre dom g, g(−2), g(0), g(2), g(5) ytrace su gráfica.

b) Evalúe f (−π/2), f (0), f (1) y trace el gráfi-co de la función f (x) definida como sigue:

f (x) =

cosx si x < 0,

3/2 si x = 0,

x2 + 2 si x > 0.

4. Se debe construir un corral rectangular para animales, se usará una pared como uno de los cuatro lados.El pie de cerca para los otros tres lados cuesta $ 5 000 y debe gastar $ 1 000 por cada pie de pinturapara la parte de la pared que forma el cuarto lado del corral. Se tienen $ 180 000 para dicho trabajo.¿Cuáles dimensiones maximizan el área del corral que se debe construir?

5. a) Se sabe que la relación entre la temperatura en grados Celsius y la temperatura en grados Fahren-heit es lineal y que al nivel del mar, el agua se congela a 32◦F (0◦C) y hierve a 212◦F (100◦C).Determine una ecuación lineal que relacione dichas temperaturas y úsela para determinar quetemperatura Fahrenheit corresponde a 30◦C.

b) Se corta un borde de ancho uniforme de un pedazo de tela rectangular. El pedazo de tela resultantees de 20 por 30 cm. Si el área original era el doble de la actual, halle el ancho del borde que secortó.

6. En la figura se muestra la gráfica de una función y = f (x), cuyo dominio es [0, 4]. Graficar la ecuacióndada.

x

yy = f(x) a) y = f (x+ 3).

b) y = f (x− 2).

c) y = f (x)− 3.

d ) y = f (x) + 2.

e) y =1

3f (x).

f ) y = −2f (x).

g) y = f (−3x).

h) y = 2− f (x+ 4).

i) y = f (x− 3)− 2.

j) y = f

(

1

2x

)

.


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Cálculo I — Taller EComposición e inversas


Nombre: Código:

1. Considere las gráficas de las funciones f(x), g(x) y h(x).y

x

f(x)

b

b

bc

bc

bc

y

x

g(x)

b

b

bc

y

x0 1

1h(x)

a) Determine el dominio y el recorrido de las funciones f , g y h.b) Halle f(−1), g(2), (f + g)(0), (f ◦ g)(4), (g ◦ f)(4), (f ◦ f)(1) y (g ◦ g)(2).c) Determine los siguientes conjuntos:

[f ]1 = {x ∈ Dom(f) | f(x) ≥ 1} y [g]0 = {x ∈ Dom(g) | g(x) ≥ 0}.d ) Halle los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de cada una de las funciones.

2. Considere las funciones f(x) =1

x2 − 1y g(x) =

√x+ 4. Determine las funciones compuestas f ◦ g,

g ◦ f , f ◦ f y g ◦ g si existe, indicando su dominio.

3. Verifique si la función dada es invertible y si lo es encuentre su inversa:

a) f (x) =−x

1 + x. b) g(x) = 4−

√x+ 3.

4. Demuestre o refute: la función f(x) =x+ 1

x− 1es su propia inversa.

5. Considere la gráfica de la función h(x) dada en el primer item. Úsela para trazar la gráfica de las fun-ciones:

a) y = h(x

2

)

− 1. b) y = h−1(x). c) y = h−1(x− 2).

6. A partir de la gráfica de la función seno, grafique detalladamente f(x) = 3 sen(

x− π

2

)

+ 1.

7. En la teoría de la relatividad, la masa de una partícula con rapidez v es m = f (v) =

√

m20c

2

c2 − v2donde m0

es la masa en reposo de la partícula y c es a rapidez de la luz en el vacío. Encuentre la función inversade f y explique su significado.

8. Se sabe que en condiciones ideales cierta población de bacterias se triplica cada hora. Suponga que alprincipio hay 1000 bacterias.

a) Establezca una expresión para la población de bacterias después de t horas.b) ¿Cuándo la población alcanzará 80000 bacterias?

9. El crecimiento de una colonia de abejas en función del tiempo t, en días, está determinado por laecuación

P (t) =200 000

1 + 49e−t/10.

a) ¿Cuántas abejas había inicialmente?b) Encuentre la inversa de la función P (t) y explique su significado.c) ¿En cuánto tiempo habrá una colonia de 100 000 abejas?


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Cálculo I — Taller FRepaso de funciones


Nombre: Código:

1. Encuentre el dominio y el recorrido de las si-guientes funciones:

a) f (x) =x2 + 1

3x+ 2.

b) g (x) =√25− x2.

c) h (x) = ln (2x− 3) .

d ) F (x) =

5, si − 3 < x ≤ 2,

cos x, si 3 < x < 5,

2x+ 1, si 7 < x ≤ 12.

2. El costo mensual de conducir un automóvil de-pende del número de kilómetros que se recor-ren. Manuel encontró que en el mes de juliorecorrer 800 kilómetros le costo 160 000 pesosy en el mes de agosto le costó 135 000 pesosrecorrer 600 kilómetros.

a) Exprese el costo mensual como función dela distancia recorrida, suponiendo que lacorrespondencia es lineal. Trace la gráficacorrespondiente.

b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y quérepresenta?

c) ¿Cuál es la intersección y de la gráfica yque representa?

3. Un barco se mueve con una rapidez de 30 Km/hparalelo al borde recto de la playa. El barco es-tá a 6 Km de la playa y pasa frente a un faro almedio día.

a) Exprese la distancia s entre el faro y el bar-co como una función de d, la distancia queel barco recorre desde el medio día; es de-cir, hallar f de modo que s = f(d).

b) Exprese a d como una función de t, el tiem-po transcurrido desde el medio día; es de-cir, hallar g de tal manera que d = g(t).

c) Hallar f ◦g. ¿Qué representa esta función?

4. Resuelva para x

a) 2 ln(x) = 1. b) e2x+3 − 7 = 0.

5. Un cultivo de bacterias inicia con 1000 bacteriasy duplica su tamaño cada media hora.

a) ¿Cuántas bacterias existen después de 3horas?

b) ¿Cuántas bacterias existen después de thoras?

c) ¿Cuántas bacterias existen después de 40minutos?

d ) Estime el tiempo para que la población al-cance 100000 bacterias.

6. El crecimiento de una colonia de abejas en fun-ción del tiempo t, en días, está determinado porla ecuación

P (t) =150 000

1 + 49e−t/10.

a) ¿Cuántas abejas había inicialmente?

b) Encuentre la inversa de la función P (t) yexplique su significado.

c) ¿En cuánto tiempo habrá una colonia de100 000 abejas?

7. Determine si la proposición es verdadera o fal-sa. Si es verdadera, explíque por qué. Si es fal-sa, explíque por qué o dé un ejemplo que refutela proposición.

a) Si f es una función, entonces f (s+ t) =f (s) + f (t) .

b) Si f y g son funciones, entonces(g ◦ f) (x) = (f ◦ g) (x) .

c) tan−1 x =sen−1 x

cos−1 x.

d ) Si f es una función uno a uno, entonces

f−1 (x) =1

f (x).

e) f (x) = x3 − x7 es una función par.


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Cálculo I — Taller GLímite y continuidad (a)


Nombre: Código:

1. Determinar el valor de los siguientes límites, si existen:

(1) lımx→2

8− x3

x2 − 2x

(2) lımx→∞

3x2 − 2x+ 3

2x2 + x− 4

(3) lımx→1

x3 − 1

|x− 1|

(4) lımx→∞

cos 2x

x

(5) lımx→∞

(√x2 + 1− x

)

(6) lımx→2

3

(x− 2)2

(7) lımx→3−

[|x|]− x

3− x

(8) lımx→π/2

(2 senx− cosx− cot x)

(9) lımx→∞

(

2− 1

x+

4

x2

)

(10) lımn→∞

1 + 2 + 3 + · · · + n

n2

(11) lımx→∞

x2 + x− 1

2x+ 5

(12) lımx→0

4x3 − 2x2 + x

3x2 + 2x

(13) lımx→0

√x+ 1− 1

x

(14) lımx→a

m√a− m

√x

x− a

(15) lımx→∞

(√x2 + 1−

√x2 − 1

)

(16) lımx→2

8− x3

x2 − 2x

(17) lımx→0

senx

tan x

(18) lımt→1

(1− t) tan(π

2t)

(19) lımx→0

sen(a+ x)− sen(a− x)

x

(20) lımx→∞

(

x

1 + x

)x

(21) lımx→∞

√x2 + 1

x+ 1

(22) lımx→0

sen 4x

x

(23) lımx→0

x√1− cos x

(24) lımu→π/3

1− 2 cos u

sen(u− π3 )

(25) lımx→∞

x [ln (x+ 1)− lnx]

(26) lımt→∞

ln(1 + et)

t

(27) lımx→0

sen ax

sen bx

(28) lımx→−∞

ax − 1

x, a > 1

(29) lımx→∞

eax − ebx

x, a > b > 0

(30) lımx→∞

eax − ebx

x, b > a > 0

(31) lımx→∞

eax − ebx

x, a < b < 0

(32) lımx→∞

eax − ebx

x, b < a < 0

(33) lımx→∞

eax − ebx

x, a < 0 < b

(34) lımx→∞

√x

√

x+√

x+√x

(35) lımx→1

(

x− 1

x2 − 1

)x+1

(36) lımx→−8

√1− x− 3

2 + 3√x

(37) lımx→0

x+ x2

|x|

(38) lımx→0

sen (x− 1)

x(x− 1)3

(39) lımx→0−

csc x

(40) lımx→0+

tan 2x

cot(π4 − x)

(41) lımx→−∞

x(√

x2 + 1− x)

(42) lımx→−∞

√x2 + 1

x+ 1.

(43) lımx→−∞

|x||x|+ 1

.

(44) lımθ→0

sen(2θ)

θ + sen θ.

(45) lımx→1

x2 + 2x− 3

x2 − 3x+ 2.

(46) lımx→−5+

x2 + 3x− 10

x+ 5.

(47) lımθ→0

2θ

θ − sen θ.

(48) lımx→1

x+ 1

x2 − x− 2.

(49) lımx→1+

1− x

|1− x| .

(50) lımθ→0

sec 2θ tan 2θ

θ.

(51) lımx→−∞

x25 + x

x10 (2x15 + π).

(52) lımh→0

1

h

(

1√1 + h

− 1

)

.

(53) lımθ→0

1− θ−1

θ − θ−1.

(54) lımx→−1

x+ 1

x2 − x− 2.

(55) lımx→2+

x2 + 3x− 10

x+ 5.

(56) lımx→0+

e−2x(cos x+ 2 sen x).

(57) lımx→0+

e−x(cos 2x+ sen 2x).


2. a) Trace la gráfica de la siguiente función y úsela para determinar los valores de a para los cuales NOexiste lım

x→af (x) si:

f (x) =

{

2− x si x < −1,x si −1 ≤ x < 1,

(x− 1)2 si x ≥ 1.

b) Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que cumpla con la siguiente condiciones:dom { f } = [−4, 5], lım

x→3+f (x) = 4, lım

x→3−f (x) = 2, lım

x→−2f (x) = 3, f (3) = 3, f (−2) = 1.

3. De acuerdo con la gráfica de la función f (x) responda justificando claramente su afirmación .

a) lımx→−3

f (x), lımx→0−

f (x),

lımx→2

f (x), lımx→4

f (x).

b) Indique los puntos donde la funciónes discontinua y que clase de dis-continuidad presenta.

c) Escriba las ecuaciones de las asín-totas verticales y horizontales (si lashay).

d ) ¿Se puede aplicar el teorema delvalor intermedio en el intervalo[−4,−3]?

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5−6

y = f(x)


a) lımx→−2

f (x), lımx→2

f (x), lımx→3

f (x).

b) Indique los puntos donde la función esdiscontinua y que clase de discontinuidadpresenta.

c) Escriba las ecuaciones de las asíntotasverticales y horizontales (si las hay).

d ) ¿Se puede aplicar el teorema del valorintermedio en el intervalo [−2, 2]?

1

2

3

4

−1

−2

−3

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

y = f(x)


a) lımx→−2

f (x), lımx→0

f (x), lımx→2

f (x).

b) Indique los puntos donde la función esdiscontinua.

c) En que punto o puntos la función tienediscontinuidad removible.

d ) Escriba las ecuaciones de las asíntotasverticales y horizontales (si las hay).

e) Se puede aplicar el teorema del valor in-termedio en el intervalo [1, 2].

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5−6−7 x

yy = f(x)

•


Universidad

Industrial de

Santander


Cálculo I — Taller HLímite y continuidad (b)


Nombre: Código:

1. Para cada una de las siguientes funciones, determine el valor o los valores de la constante k, que hacenque la función sea continua para los valores de x dados.

a) g (x) =

{

kx2 + 2x, x ≤ 1,8x− k2, x > 1,

x = 1. b) g (x) =

{

(kx)2 − kx+ 1, x < 1,3x− 2, x ≥ 1,

x = 1.

c) g (x) =

k cosx, x < 1,x2 − k, 1 ≤ x < 2,5− kx, x ≥ 2,

x = 1 y x = 2. d) g (x) =

k cos x, x < 0,x2 + k, 0 ≤ x < 2,3kx− 1, x ≥ 2,

x = 0 y x = 2.

2. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que x5 + x = 1 tiene una solución en [−1, 1].

3. Determine si la afirmación dada es falsa o verdadera. Si es verdadera, explique por qué. Si es falso,explique por qué o de un contraejemplo de lo establecido.

a) Si f(1) = −1 y f(2) > 0, entonces existe un número c ∈ (1, 2) tal que f(c) = 0.b) Si f(x) es continua en 3 y f(3) = 4 y f(4) = 2 entonces lım

x→52f(2x− 6) = 4.

c) Si f (x) y g (x) son dos funciones discontinuas en x = a, entonces f (x)·g (x) es también discontinuaen x = a.

d ) Si lımx→a

f (x) = 0 y lımx→a

g (x) = 0, entonces lımx→a

[f(x) · g (x)] es cero.

e) Si lımx→a

f (x) = 0 y lımx→a

g (x) = 0, entonces lımx→a

[f(x)/g (x)] no existe.

4. Determine lımh→0

f (x+ h)− f (x)

h, para cada una de la siguientes funciones

a) f(x) =x+ 1

x− 1.

b) f(x) =√2x+ 1.

c) f(x) =x− 1

x+ 2.

d ) f(x) = ax2 + bx+ c.

e) f (x) = senx.

f ) f (x) = cos x.

5. Considere la función

g (x) =

√−x si x < 0,

4− x2 si 0 ≤ x < 2,

(x− 4)2 si x > 2.

a) Evalúe cada límite, si existe.

(i) lımx→0+

g(x). (ii) lımx→0−

g(x). (iii) lımx→0

g(x).

(iv) lımx→2+

g(x). (v) lımx→2−

g(x). (vi) lımx→2

g(x).

b) ¿Dónde es discontinua g? c) Trace la gráfica de g.

6. Utilice inicialmente una calculadora para determinar el comportamiento de cada expresión cuando x seacerca cada vez más al valor indicado. Si tal comportamiento sugiere la existencia del límite, corrobórelopor manipulación algebraica. Si no lo sugiere, justifique la no existencia.

a) lımx→0+

√x

√

4 +√x− 2

b) lımx→2

|x− 2|x− 2


7. Utilizando una calculadora, determine el comportamiento de la expresión

f(y) =1

y− 1

|y|√

1− 3y,

cuando y toma valores próximos a 0,

a) por la derecha, b) por la izquierda.

¿Existe lımy→0+

f(y)? ¿Existe lımy→0−

f(y)? ¿Existe lımy→0

f(y)?

8. Halle lımx→a

f(x), para el a indicado, si

a) f(x) =

1

2− 3x, x < −3,

3√x+ 2, x ≥ −3,

a = −3. b) f(x) =

√x− 1

x− 1, 0 ≤ x < 1,

x2 − x

x2 − 1, x > 1,

a = 1.

9. Encuentre las asíntotas verticales de las gráficas de las funciones indicadas:

a) f(x) =x+ 2

x2 − 1.

b) f(x) =x2 + 1

x+ 1.

c) f(x) =2x

x− 3.

d ) f(x) =x2 − x− 2

x4 − 5x2 + 4.

10. Considere la gráfica de la función f(x).

1

2

−1

1 2 3−1−2

bc

b

Función definida en [−1, 3]

¿Cuáles de las afirmaciones siguientes acerca dela función f(x) son verdaderas?

a) lımx→−1+

f(x) = 1.

b) lımx→2

f(x) = −2.

c) lımx→1+

f(x) = 1.

d ) lımx→1

f(x) no existe.

e) lımx→0+

f(x) = lımx→0−

f(x).

f ) lımx→c

f(x) existe para todo c entre 1 y 3.

11. Evalúe el límite, si existe.

a) lımx→0

f(x), si f(x) ={

x2, x < 01 + x, x > 0

b) lımh→0

1

h

(

1√1 + h

− 1

)

.

c) lımx→0−

x

√

1 +1

x2

d ) lımx→0+

x

√

1 +1

x2.

12. Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que cumpla con la siguiente condiciones:dom { f } = [−4, 5], lım

x→3+f (x) = 4, lım

x→3−f (x) = 2, lım

x→−2f (x) = 3, f (3) = 3, f (−2) = 1.


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Industrial de

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Cálculo I — Taller I

Funciones, límites y continuidad


Nombre: Código:

1. Halle lımx→a

f(x), para el valor a indicado, si

a) f(x) =

1

2− 3x, x < −3,

a = −3;3√x+ 2, x ≥ −3,

b) f(x) =

√x− 1

x− 1, 0 ≤ x < 1,

a = 1.x2 − x

x2 − 1, x > 1,

2. Encuentre las asíntotas verticales y horizontales de las gráficas de las funciones indicadas:

a) f(x) =x+ 2

x2 − 4. b) f(x) =

x2 + 1

x3 − x. c) f(x) =

2x

x− 3.

3. Determine los valores de la constante a, para que la función

f(x) =

{

ax2 + 2x, x ≤ 1,

8x− a2, x > 1,

sea continua en x = 1.

4. Sea f(x) = x3 − 5x2 + 7x− 9. Demuestre que existe un número real a, tal que f(a) = 0.

5. Dé un ejemplo de una función f tal que

a) f es continua en (a, b), f(a)f(b) < 0 y no existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.b) f está definida en [a, b], es discontinua en x0 ∈ (a, b), f(a)f(b) < 0 y no existe c ∈ (a, b) tal que

f(c) = 0.

6. Diga si las siguientes funciones son continuas en x = p. Justifique su respuesta usando la definición decontinuidad.

a) f(x) =

x2, si x ∈ Q,

0, si x ∈ Q′,en x = 0. b) f(x) =

x2 − 1

x− 1, si x 6= 1,

2,001, si x = 1,

en x = 1.

7. Dé un ejemplo de una función en cada caso:

a) lımx→a

f(x) no existe.

b) lımx→a

f(x) existe, f(a) existe y lımx→a

f(x) 6= f(a).

8. Considere f(x) =x

|x| . Muestre que existen lımx→0+

f(x) y lımx→0−

f(x). Es f continua en x = 0.

9. Sea f(x) ={

senx x < πkx+ 2 x ≥ π Halle el valor de k tal que f sea continua en x = π.

10. Escriba cuidadosamente el teorema del valor intermedio (TVI).

a) Sea f(x) = tanx. Halle f(π/4) y f(3π/4). Muestre que no existe c ∈ [π/4, 3π/4] tal que f(c) = 0.Contradice esto el TVI?

b) Compruebe el TVI para f(x) = x3 + 4x2 − 2x con x ∈ [0, 2]


11. Dadas las funciones f y g, y sus gráficas. Úselas para evaluar cada límite, si existe. Si el límite no existe,explique por qué.

f (x) =

x2 + 2x, x ≤ −1x, −1 < x < 21, x = 2

4− x, 2 < x

g (x) =

2(

1− x2)

, x ≤ 0

1− 1

4x2, 0 < x

a) lımx→2

[f (x) + g (x)] .

b) lımx→1

[f (x) + g (x)] .

c) lımx→0

[f (x) · g (x)] .

d ) lımx→−1

f (x)

g (x).

e) lımx→2

x3f (x) .

f ) lımx→1

√

3 + f (x).

(∗) Determine si existen valores de x en el dominio de (f · g) (x) en los cuales el límite no exista.

12. Determine si la proposición es verdadera (V) o falsa (F), justificando su respuesta.

a) La ecuación x3 − 5 = 0 tiene una solución en el intervalo [1, 2].

b) Sea f (x) =

{

cx+ 1, si x ≤ 3cx2 − 1 si x > 3

. El valor c = 0 hace que la función f sea continua.

c) lımx→0+

√x esen(π/x) = 0. d ) El lım

x→9

9− x√3−√

xno existe.

13. Evalúe los siguientes límites si existen:

a) lımx→1

2x2 − 3x+ 1

x+ 1.

b) lımx→7+

|x− 7|7− x

.

c) lımh→0

1−√1− h2

h2.

d ) lımx→0

sen 3x

senx.

e) lımx→∞

5x3 + 2x2 − 3

(x+ 1) (x2 − 4).

f ) lımx→∞

cos x

x.

g) lımx→1

3x+ cos x

x+ senx.

h) lımx→0

tan x− senx

1− cos x,

i) lımx→0−

2x

|x| − x,

j) lımx→2

√

4− x2

k) lımx→0

1√4 + x

− 1

2

x,

l) lımx→0

senx− x tanx

x,

m) lımx→3

[[x

2

]]

,

n) lımx→7−

7− x

|x− 7| + 2.

14. Teniendo en cuenta la gráfica de la función f (x), deter-mine si la afirmación dada es verdadera o falsa (justifiquesu respuesta):

a) f (x) tiene una discontinuidad removible en x = 3.

b) lımx→−1

f (x) = ∞.

c) El lımx→3

f (x) no existe.

d ) f (x) es continua en el intervalo (−1, 2] .

e) lımx→−∞

f (x) = 0.

bc

b


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Industrial de

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Cálculo I — Taller JSobre la noción de derivada


Nombre: Código:

1. Haga la gráfica de la función f (x) = x2 + 1.

2. Ubique los puntos (1, 2) y (3, 10)

3. Encuentre la ecuación de la recta secante a la curva y = f (x), que pasa por los puntos (1, 2) y (3, 10).

4. Trace nuevamente la curva y = f (x) y ubique los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)), con a < b.

5. Encuentre la ecuación de la recta secante a la curva y = f (x), que pasa por los puntos (a, f(a)) y(b, f(b)) .

6. Si denotamos como ∆x = b− a obtenemos que b = ∆x+ a, y denotamos, ∆y = f (b)− f (a), entonces∆y = f (a+∆x, a)− f (a), obtenemos que la pendiente de la recta secante a la curva es

m =∆y

∆x=

f (a+∆x, a)− f (a)

b− a= 2a+∆x.

7. ¿Qué pasa con la recta secante cuando (b, f(b)) esta cada vez más cerca del punto(a, f(a)) ?

8. ¿Qué pasa con la pendiente de la recta secante cuando (b, f(b)) esta cada vez más cerca del punto(a, f(a)),es decir, cuando ∆x toma valores cercanos a cero?

9. Si usted no desea encontrar la ecuación de la recta secante a la curva, sino la ecuación a la rectatangente a la curva en el punto (a, f(a)), que procedimiento haría para encontrarla?¿ Qué puede deciracerca de la pendiente de la recta tangente?

10. Repita el procedimiento para encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva, tomando el punto(1, 2), y después para el punto (3, 10)

11. Para una curva cualquiera y = f (x), ¿cual sería la ecuación que representa la pendiente de la rectatangente a la curva en un punto (a, f(a))?


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Industrial de

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Cálculo I — Taller KDerivadas de funciones


Nombre: Código:

1. Sea s = f (t) la ecuación de una curva de posición de una partícula en movimiento rectilíneo quedepende del tiempo, donde s está en metros y t en segundos. Suponga que s = −1 cuando t = 2 yque la velocidad instantánea de la partícula en ese instante es 3 m/s. Determine la ecuación de la rectatangente a la curva de posicón cuando el tiempo t = 2.

2. Suponga que y = x2 − x.

a) ¿La razón de cambio promedio de y con respecto a x en el intervalo 2 ≤ x ≤ 5 es?b) ¿La razón de cambio instantánea de y con respecto a x en x = 0 es?

3. Se deja caer una roca desde una altura de 784 pies y cae hacia la Tierra en línea recta. La posición dela roca en función del tiempo t, en segundo, es dada por s = 784− 16t2 pies.

a) ¿Cuánto segundos demora en caer al piso?b) ¿Cuál es la velocidad promedio de la roca durante el tiempo que demora en caer?c) ¿Cuál es la velocidad promedio de la roca durante los primeros 2 segundos?d ) ¿Cuál es la velocidad instantánea de la roca durante cuando toca el piso?

4. Dibuje la gráfica de una función f para la cual f (0) = −1, f ′ (0) = 0, f ′ (x) < 0 si x < 0 y f ′ (x) > 0 six > 0.

5. Utilice la definición de derivada para encontrar f ′ (x) y después determine la recta tangente a la gráficade y = f (x) en x = a.

a) f (x) = x−2; a = −1. b) f (x) =√2x+ 1; a = 4. c) f (x) = x2 + x; a = 1.

6. Demuestre que

f (x) =

{

x2 + 1, x ≤ 1,2, x > 1,

es continua pero que no es derivable en x = 1. Trace la gráfica de f .


f (x) =

x2 sen

(

1

x

)

, x 6= 0,

0, x = 0.

a) ¿Es f continua en (−∞,∞)? b) ¿Es f diferenciable en (−∞,∞)?

8. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = f (x) en x = −3, si f (−3) = 2 yf ′ (−3) = 5.

9. Demuestre que y = x3 + 3x+ 1 satisface la ecuación diferencial y′′′ + xy′′ − 2y′ = 0.

10. Deduzca la fórmula para encontrardnf

dxnsi

a) f (x) =1

x2. b) f (x) = cos x. c) f (x) =

1

x. d ) f (x) = senx.


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Cálculo I — Taller KDerivadas de funciones


Nombre: Código:

11. Sea g (x) = x5 + 3x− 5; encuentre

lımx→1

g′ (x)− g′ (1)x− 1

.

12. En cada caso determine h′ (3) dado que f (3) = −1, f ′ (3) = 4, g (3) = 1, y g′ (3) = −5.

a) h (x) = 3f (x) + 7g (x).

b) h (x) = 2f (x)− 5g (x).

c) h (x) = f (x) · g (x);d ) h (x) = f (x) /g (x).

e) h (x) = 3x4 − 2g (x) .

f ) h (x) =(

2x2 + 1)

/f (x) .

13. Determine todos los valores de x en los cuales la recta tangente a la curva y =x2 − 1

x+ 2es horizontal.

14. Determine todos los valores de x en los cuales la recta tangente a la curva y =x2 + 1

x+ 1es paralela a la

recta y = x.

15. Sea f (x) = 3x2 y g (x) = 1 + senx. Encuentre:

a) (f ◦ g) (x) y (f ◦ g)′ (x). b) (g ◦ f) (x) y (g ◦ f)′ (x).

16. Para cada una de las siguiente funciones, encuentre una ecuación para la recta tangente en el valorespecificado de x.

a) f (x) = cos(

x− π

2

)

cuando x = 3π2 .

b) f (x) =

(

x2 +1

x2

)3

cuando x = 1.

c) f (x) = tan

(

x4

4

)

cuando x = 4√π.

d ) f (x) = x3√

x2 + x3

x+ 1cuando x = 2.

17. Encuentre todos los valores de x para los cuales la recta tangente a la curva y = 3x− tan x es paralelaa la recta y + 1 = x.

18. Encuentredy

dxsi

a) y = ln∣

∣x3 − 7x2 − 3∣

∣.

b) y = ln

∣

∣

∣

∣

x+ 1

1− x

∣

∣

∣

∣

.

c) y = ln (lnx).

d ) y =ln∣

∣x2 + 1∣

∣

1 + lnx.

e) y = arctan(sec2 7x)).2

3

f ) y =[

x2 +(

2 + 3x4)−3/2

]2/3.

g) f(x) =(

xcos2 x)

senx.

h) y = cos√

sen (tan πx).

i) y = cos√

1 + sen (arctan πx).


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Cálculo I — Taller LDerivadas de funciones (b)


Nombre: Código:

1. El movimiento de un resorte que se somete auna fuerza de fricción o una fuerza amortiguado-ra (como un amortiguador en un automóvil)se modela a menudo mediante el producto deuna función exponencial y una función seno ocoseno. Suponga que la ecuación del movimien-to de un punto sobre tal resorte es

s (t) = 2e−1,5t sen 2πt

donde s se mide en centímetros y t en segundos

a) Halle la velocidad después que transcurrent segundos.

b) ¿Cuáles son la posición inicial y la veloci-dad inicial de dicho punto del resorte?

2. En la Figura A se muestra la gráfica de la funciónf . Enuncie, con razones, los números en que fno es diferenciable.

Figura A.


f (x) =

x2 − 1

x+ 1, x < 0, x 6= −1,

−2, x = −1,

senx

x, x ≥ 0.

Analice la continuidad de la función f (x) cuandox = 0 y x = −1.

4. Determine las ecuaciones de la recta tangente

y la recta normal a la curva y = ln(

xex2)

, en el

punto (1, 1).

5. La ecuación x2 − xy + y2 = 3 representa una“elipse girada”; es decir, una elipse cuyos ejesno son paralelos a los ejes de coordenadas (verFigura B). Encuentre los puntos en que estaelipse cruza el eje x y demuestre que las rec-tas tangentes en estos puntos son paralelas.

x

y

Figura B.

6. Hallar una parábola con ecuación y = ax2 + bx+ c,que tiene pendiente 4 en x = 1, pendiente −8en x = −1 y pasa a través del punto (2, 15) .

7. Si f(x) =x− 1

x+ 1, encuentre f ′(x) utilizando la

definición de derivada.

8. (i) Pruebe que la ecuación 3√x = 1 − x tiene

cuando menos una raíz real en el intervalo (0, 1).(ii) Halle un intervalo de longitud 0,01 que con-tenga una raíz de dicha ecuación.

9. Encuentredy

dx, después escriba una ecuación

para la recta normal a la gráfica de la ecuaciónx2y3−x5y2 = 4 en el punto (1, 2). ¿Existen pun-tos donde la recta tangente sea horizontal?, siexisten, ¿cuáles son dichos puntos?

10. Sea

g(x) =

{ −1− 2x si x < −1,x2 si −1 ≤ x < 1,x si x ≥ 1.

(a) Determine en que puntos la función es dis-continua.(b) Determine en que puntos del dominio la fun-ción g es diferenciable.(c) Proporcione una fórmula para g′, y(d) trace las gráficas de g y g′.


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Cálculo I — Taller MGráficas vs. derivadas


Nombre: Código:

A partir de la gráfica responda las siguientes preguntas de selección múltiple. (De una justificación de cada respuesta).

x

y

y = −10

y = f(x)

x1 x2 x5 x6

x3 x4

1. Cual afirmación es verdadera:

a) f ′ (x1) > 0;

b) f ′ (x3) > 0;c) f ′ (x1) = 0;

d) f ′ (x2) = 0;

e) N. A.

2. Podemos afirmar que:

a) f ′ (0) = 0;b) f ′ (x2) > f ′ (x3);c) f ′ (x1) > f ′ (x2);d) f ′ (x1) > f ′ (x4);e) N. A.

3. lımx→∞

f ′ (x) es:

a) positivo;b) negativo;c) +∞;

d) −∞;e) 0.

4. lımx→−∞

f (x) es:

a) 0;b) −∞;

c) 10;d) −10;

e) N. A.

5. La afirmación verdadera es:

a) f ′ (x) > 0, x3 ≤ x ≤ x5;b) f ′′ (x) > 0;c) f ′ (x) es creciente entre x3 y x5;d) f ′′ (x4) = 0;e) N. A.

6. Existe un punto de inflexión para:

a) x > x6;b) x entre x3 y x4;c) x < x1;d) En ninguna parte;e) N. A.

7. El máximo absoluto de la función f (x) en el intervalo[0,∞) está en x =

a) 0; b) x1; c) x4; d) x6; e) ∞.

8. El mínimo absoluto de la función f (x) en el intervalo[0, x6] está en x =

a) 0; b) x1; c) x4; d) x6; e) ∞.

9. Sea f una función tal que f ′(x) = −3(x− 1)2 para todox ∈ R. Determine la afirmación verdadera:

a) sobre el intervalo [0, 2] la f alcanza su valor máxi-mo en en x = 1.

b) f alcanza su valor mínimo en [0, 2] en x = 1.c) f alcanza su valor máximo en [0, 2] en x = 2.d) f alcanza su valor máximo en [0, 2] en x = 0.e) f no tiene puntos críticos en [0, 2].

10. Determine si la afirmación dada es verdadera o falsa(justifique claramente su afirmación).

a)d

dx(

3

√

1 + x3) =x2

( 3√1 + x3)2

.

b) Si y = f(x) satisface la ecuación

x2y + 3xy2 − 5xy = 0

entonces

dy

dx= −2xy + 3y2 − 5y

x2 + 6xy − 5x.

c) Si f(x) =x2 + 1

x2 − 4entonces

f ′′(x) =10(3x2 + 4)

(x2 − 4)3.

d)d

dt(√

f(t)) =1

2√

f(t).


Universidad

Industrial de

Santander


Cálculo I — Taller NMás sobre derivadas


Nombre: Código:

1. Utilice la definición de la derivada para encontrar

f ′(2) si f(x) =1

2x+ 4.

2. Escriba una ecuación para la recta tangentey otra para la recta normal a la curva y =√1 + 4 sen x en el punto (0, 1).

3. Encuentre la quinta y la n-ésima derivada dey = 5(4x+1).

4. Generalice el ejercicio anterior, es decir, en-cuentre la n-ésima derivada de y = a(bx+c),donde a ∈ R+ y a, b ∈ R.

5. Si h(x) =√

4 + 3f(x), donde f(1) = 7 y f ′(1) =4, hallar h′(1).

6. Halle una ecuación de la recta tangente a la cur-va x = sen 2y en el punto (1, π/4).

7. Encuentredy

dx, después escriba una ecuación

para la recta tangente a la gráfica de la ecuaciónxy3−x5y2 = 4 en el punto (1, 2). ¿Existen puntosdonde la recta tangente sea horizontal? ¿Exis-ten puntos donde la recta tangente sea verti-cal? Si existen, ¿cuales son dichos puntos? Ex-plique.

8. La ecuación(

x2 + y2)2

= x2−y2 representa unalemniscata. Determine los puntos de la lemnis-cata donde la tangente es horizontal y los pun-tos donde la tangente es vertical.

9. a) Si f(x) = h(g(x)) y h(2) = 55, g(−1) = 2,h′(2) = −1 y g′(−1) = 7, determine f ′(−1).

b) Encuentre y′′ si x7 + y7 = 1.

c) Si y = (1 + u3)2 y u = (1 − x2)1/2, calculedy

dx.

10. Trace la gráfica de una función que cumpla lascondiciones dadas.f es impar,f ′ (x) > 0 para 0 < x < 3,

f ′ (x) < 0 para x > 3,

lımx→∞

f (x) = 2, f ′′ (x) < 0 para 0 < x < 4 y

f ′′ (x) > 0 para x > 4.

Determine claramente los intervalos de creci-miento y decrecimiento, los intervalos de con-cavidad, las asíntotas, y los máximos y mínimos.

11. Trace la gráfica de una función continua quecumple las siguientes condiciones:f (−x) = −f (x), f ′ (x) < 0 si 0 < x < 2,f ′ (x) > 0 si x > 2, f ′ (2) = 0, lım

x→∞f (x) = −2,

f ′′ (x) > 0 si 0 < x < 3, f ′′ (x) < 0 si x > 3.

12. Trace la gráfica de una función que cumpla conlas siguientes condiciones:f es par, f(0) = 1,

f ′ (−1) = f ′ (−3) = f ′ (−5) = 0,

f ′ (x) > 0 en (0, 1), (2, 3), (5,∞),

f ′ (x) < 0 en (1, 2), (3, 5),

f ′′ (x) > 0 en (4, 6),

f ′′ (x) < 0 en (0, 2), (2, 4), (6,∞),

lımx→2

f (x) = −∞ y lımx→∞

f (x) = 2.

13. Esbozar la gráfica de la función

f (x) = −3x5 + 5x3

indicando puntos críticos, valores extremos, in-tervalos de crecimiento y decrecimiento, puntosde inflexión e intervalos de concavidad.

14. Trace la gráfica de f (x) =x2

x2 − 1. Identifique y

etiquete todos los extremos, puntos de inflexión,intersecciones con los ejes y asíntotas. Muestrela estructura de concavidad, intervalos de cre-cimiento y de decrecimiento, así como el com-portamiento de la gráfica en ±∞ y para x cercade las discontinuidades de la función.

15. Esbozar la gráfica de la función

f (x) = x1/3 (3− x)2/3

indicando puntos críticos, valores extremos, in-tervalos de crecimiento y decrecimiento, puntosde inflexión e intervalos de concavidad.

16. Demuestre que la suma de las interseccionesx y y de cualquier recta tangente a la curva√x+

√y =

√c es igual a c.


17. Aplique sus conocimientos sobre gráficas, para relacionar cada función con su gráfica.

a) senx+ cos x.

b)x3

x2 − 1.

c)x2

x2 − 1.

d ) x1/3 (3− x)2/3.

e)x

x2 − 1.

f )1

x2 − 1.

α)-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

β)-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

γ)-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

δ)-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

ε)-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

ζ)-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

18. Determine si la proposición es verdadera o falsa. Si es verdadera, explique por qué. Si es falsa, expliquepor qué o dé un ejemplo que refute la proposición.

a) Si f ′ (c) = 0, entonces f tiene un máximo o un mínimo local en c.

b) Si f es continua sobre (a, b) entonces f alcanza un valor máximo absoluto f (c) y un valor mínimoabsoluto f (d) en algunos números c y d en (a, b) .

c) Existe una función f tal que f (x) < 0, f ′ (x) < 0 y f ′′ (x) > 0 para todo x.

d ) Si f ′ (x) existe y es diferente de cero para todo x, en tal caso f (1) 6= f (0) .

e) Si f(c) es un máximo local de la función f entonces f ′(c) = 0.

f ) Toda función de la forma f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d con a 6= 0 tiene puntos de inflexión.

g) Si h(x) = (f ◦ g)(x) y g(2) = 3, f ′(3) = 4, f ′(2) = 5, g′(2) = 2, entonces h′(2) = 10.

h) f(x) = (1− x2)1/2(3 + x2)−1 satisface las condiciones del Teorema de Rolle en el intervalo [−1, 1].

i) Para la función f(x) = −3x5+5x3, f(1) = 2 es un máximo relativo y O(0, 0) un punto de inflexión.

19. Halle la derivada de las siguientes funciones.

a) y = 2arctan(sen x),

b) y =

√

1 + sen(√

3x)

,

c) y =

√

x

x2 + 1,

d ) y = cot(sec 7x)).

e) y =[

1 + (2 + 3x)−3/2]2/3

.

f ) y = ex+3 − log5(1 + 2x)

g) y = (tan x)1/x

h) y = x arctan√x

a

a2

i) y =t

1− t2

j) y =

2x+ 3 si x < 0,

4 si 0 ≤ x < 5,

5x2 − 9 si x > 5.

20. Para cada una de las siguientes ecuaciones determinedy

dx.

a) x3 − x2y + xy2 − y3 = 6.

b) x3 cos y + sen(2x2y) = x2y2.

c) x2 cos y + sen 2y = xy.

d ) (xy)4 − x3y + 3xy3 − y4 = 2.


Universidad

Industrial de

Santander


Cálculo I — Taller ÑAplicaciones de la derivada


Nombre: Código:

1. Un globo esférico con un radio inicial r = 5pulgadas comienza a desinflarse en el instan-te t = 0 y su radio t segundos más tarde esr = (60− t) /12 pulgadas. ¿A qué razón (en pul-gadas cúbicas/segundo) sale el aire del globocuando t = 30?

2. El aire sale de un globo esférico a razón cons-tante de 300π cm3/seg. ¿Cuál es el radio delglobo cuando su radio decrece a razón de 3cm/segundo?

3. Una embarcación parte al medio día en di-rección Norte con una velocidad de 30 km/hr.Una hora más tarde una segunda nave sale delmismo sitio en dirección Este con rapidez de40 km/hr. ¿Con qué rapidez se separan a la1:30 pm?

4. Al derretirse una bola de nieve con radio inicialde 12 cm, su radio decrece a una razón constan-te. Comienza a derretirse cuando t = 0 (horas)y tarda 12 horas en desaparecer.

a) ¿Cuál es la razón de cambio del volumencuando t = 6?

b) ¿Cuál es la razón de cambio promedio delvolumen de t = 3 a t = 9?

5. Un granizo esférico pierde masa por la fusiónuniforme sobre su superficie, durante su caída.En cierto instante, su radio es 2 cm, y su volu-men decrece a razón de 0,1 cm3/seg. ¿Qué tanrápido decrece su radio en ese instante?

6. Una escalera de 41 pies de largo descansa so-bre una pared vertical, cuando comienza a res-balar. Su parte superior se desliza hacia abajosobre la pared, mientras que su parte inferior semueve sobre el piso a una velocidad constan-te de 10 pies/seg. ¿Qué tan rápido se mueve laparte superior de la escalera cuando está a 9pies del suela?

7. Un observador sobre el piso ve un avión que seaproxima, volando a velocidad constante y a unaaltura de 20 000 pies. Desde su punto de vista,el ángulo de elevación del avión aumenta a 0.5o

por segundo, cuando el ángulo es 60o. ¿Cuáles la velocidad del avión?

8. En un tanque entra agua a razón de 5 m3/min,el tanque tiene la forma de cono invertido, de al-tura 10 m, y radio de la base 10 m. ¿Con quévelocidad sube el nivel del agua en el instanteen que la profundidad del agua es de 8 m?

R: 5/16π m/min.

9. Un depósito tiene 10 metros de longitud y susextremos son trapecios isósceles con dos me-tros de altura, 2 m de base inferior y 3 m de basesuperior. Si se vierte agua en este depósito arazón de 3 m3/min. ¿A qué velocidad sube el ni-vel de agua cuando la profundidad es de un me-tro? R: 0,12 m/min.

10. Una cámara de televisión sigue desde el sueloel despegue vertical de un cohete, que se pro-duce de acuerdo con S = 50t2, con S en pies y ten segundos. La cámara esta a 2000 pies del lu-gar de despegue; hallar la razón de cambio delángulo de elevación de la cámara 10 segundosdespués del despegue. R: 2/29 rad/seg.

11. Una escalera de 25 pies de longitud esta apo-yada en una casa si la base de la escalera sesepara de la pared a razón de 2 pies/seg; ¿aqué velocidad esta bajando su extremo superiorcuando la base esta a 15 pies de la pared?

R: -3/2 pies/seg.

12. Un controlador aéreo sitúa dos aviones en lamisma altitud, convergiendo en su vuelo haciaun mismo punto en ángulo recto. Uno de ellosesta a 150 millas de ese punto y vuela a 450 mi-llas por hora. El otro esta a 200 millas del puntoy vuela a 600 millas por hora. ¿A qué ritmo variala distancia entre los dos aviones? ¿De cuántotiempo dispone el controlador para situarlos entrayectorias distintas?

R: -750 millas/hora; 20 minutos.

13. Una persona de 6 pies de altura camina a razónde 5 pies/seg; alejándose de una farola de 15pies de altura. Cuando la persona esta a 10 piesde la farola. ¿A qué velocidad se mueve el ex-tremo de su sombra? ¿A qué velocidad cambiala longitud de su sobre?

R: 25/3 pies/seg; 10/3 pies/seg.

14. Un avión vuela a 6 kilómetros de altura hacia elpunto donde se encuentra un observador; convelocidad de 600 km/h. Hallar la razón de cam-bio del ángulo de elevación cuando él es de 30o.

R: 1/2 rad/min.

15. La temperatura de un alimento colocado en un

refrigerador es T (t) =700

t2 + 4t+ 10; t es el tiem-

po medido en horas; calcular el ritmo de cambiode la temperatura cuando t = 5 horas.

R: -3,240 grados/hora.


16. Una bola de nieve esférica se forma de ma-nera que su volumen aumenta a razón de 8pies3/min; hallar la razón a la cual aumenta elradio cuando la bola tiene 4 pies de diámetro.

R: 1/2π pies/min.

17. Un auto que viaja a 30 m/seg se acerca a unaintersección. Cuando el auto esta a 120 metrosde la intersección, un camión que va a 40 m/segcruza la intersección. El auto y el camión es-tán en carreteras que forman ángulos rectos en-tree sí. ¿Con qué rápidez se separan 2 segun-dos después que el camión pasó por la intersec-ción? R: 14 m/seg

18. Un avión que vuela a una altura de 25000 piestiene una falla en el indicador de la velocidaddel aire. Para determinar su velocidad, el pilotove un punto fijo en el piso. En el momento enque el ángulo de depresión (desde la horizontal)de su línea de visión es 65o, observa que esteángulo aumenta a razón de 1,5o por segundo.¿Cuál es la rapidez del avión? (Ver Figura A).

piso

x

θ

25000 pies

Figura A.

19. Una lata de aceite debe tener un volumen de1000 pulgadas cúbicas y la forma de un cilindrocon fondo plano pero cubierto por una semies-fera. Desprecie el espesor del material de la la-ta y determine las dimensiones que minimizaránla cantidad de material necesario para fabricarla(ver Figura B).

h

r

A = 2πr2

Figura B.

20. Suponga que va a fabricar una caja rectangu-lar con una base cuadrada, con dos materialesdistintos. El material de la tapa y los cuatro la-dos de la caja cuesta $100 por pie cuadrado; elmaterial de la base cuesta $200 por pie cuadra-do. Determine las dimensiones de la caja con elmáximo volumen posible, si se le permite gastar$14400 para el material.

21. Usted debe fabricar una lata cilíndrica con fon-do pero sin tapa, a partir de 300π pulgadascuadradas de una hoja metálica. No debe des-perdiciarse la hoja de metal; se le permite or-denar una pieza circular de cualquier tamañopara labase y cualquier pieza rectangular ade-cuada para formar su lado curvo, siempre quese cumplan las restricciones. ¿Cuál es el volu-men máximo posible de dicha lata?

22. Si se cuenta con 12000 cm2 de material para ha-cer una caja con base cuadrada y la parte supe-rior abierta, encuentre el volumen máximo posi-ble de la caja.

23. Un modelo aplicado para el rendimiento R deun cultivo agrícola como una función del nivelde nitrógeno N en el suelo (que se mide en lasunidades apropiadas) es

R =α2N

1 +N +N2,

donde α es una constante. ¿Qué nivel denitrógeno proporciona el mejor rendimiento?¿Qué pasa con el rendimiento cuando el nivelde nitrógeno es muy grande? ¿Es cierto que lamayor razón de crecimiento se obtiene cuandoN = 1/2?

24. Encuentre los intervalos sobre los cuales f(x) =2x3 + 3x2 − 36x es:

a) creciente,

b) decreciente,

c) cóncava hacia abajo,

d ) cóncava hacia arriba.

25. Verifique que se satisfacen las condiciones de la regla de L’Hôpital para encontrar los siguientes límites.

a) lımx→0

cos(ax)− cos(bx)

x2

b) lımx→0+

e−1/x

x;

c) lımx→0

ex − e−x

1− x− ln (e− x);

d ) lımx→0

2x+ e−x − ex

x− senx;

e) lımx→0

e− (1 + x)1/x

x;

f ) lımx→0+

xr lnx, r > 0;

g) lımx→∞

lnx

xr, r > 0;

h) lımx→∞

xr

ax, a > 1 y r > 0;

i) lımx→0

(

1

x2− cot2 x

)

;

j) lımx→∞

(

arctan x− π

2

)

;

k) lımx→0

(senx

x

)1/(1−cos x);

l) lımx→0+

(tan(2x))x;

m) lımx→0

(

1

1− cos x

)x/ senx

;

n) lımx→0+

(1 + tanx)1/√x;

ñ) lımx→0

(1 + tanx)1/x;

o) lımx→0

(1 + senx)1/x;

p) lımx→∞

(1 + 2x) ln

(

1 +3

x

)

.


Universidad

Industrial de

Santander


Cálculo I — Taller OAplicaciones de la derivada:Gráfica de funciones


Nombre: Código:

1. Si f(x) = x3 + 3ax + 5 demostrar que si a > 0,f no tiene extremos relativos; si a < 0, f tieneun máximo relativo y un mínimo relativo.

2. Hallar un polinomio cúbico con un máximo rela-tivo en (3, 3); un mínimo realtivo en (5, 1) y unpunto de inflexión en (4, 2).

R: p(x) = x3/2− 6x2 + 45x/2− 24.

3. Graficar cada una de las siguientes funciones,dando extremos relativos, puntos de inflexión,análisis de concavidad, asíntotas, etc.

a) f(x) = −3x5 + 5x3.

b) f(x) =x2 + 1

x2 − 1.

c) f(x) = x√x+ 3.

d ) f(x) = x− senx; 0 ≤ x ≤ 4π.

e) f(x) =x√

x2 + 2.

f ) f(x) = 2x5/3 − 5x4/3.

g)1

x− 2− 3.

h) y = 3x2/3 − 2x.i) f(x) = x4 − 4x3 + 16x− 16.j) f(x) = |2x− 3|.

4. Esbozar la gráfica de una función f tal que:f(2) = f(4) = 0; f ′(x) < 0 si x < 3; f ′(3), no es-ta definida; f ′(x) > 0 si x > 3; f ′′(x) < 0, x 6= 3.

5. ¿Qué dimensiones debe tener un rectángulo de100 metros de perímetro para que su área seamáxima? R: largo igual a ancho igual 25 m.

6. Un granjero dispone de 200 metros de vallapara delimitar dos corrales adyacentes rectan-gulares. ¿Qué dimensiones debe elegir paraque el área encerrada sea máxima?

R: b = 25m y h = 100/3m.

7. Se desea hacer una caja abierta con una piezacuadrada de material de 12 decímetros de lado,cortando cuadrados iguales de cada esquina ydoblando, hallar el máximo volumen que puedelograrse. R: 128 dm3.

8. Se forman triángulos rectángulos en el primercuadrante, limitados por los ejes coordenados, ypor una recta que pasa por (2, 3) hallar los vér-tices del triángulo de área mínima.

R: (0, 0), (4, 0) y (0, 6).

9. Hallar el punto de la gráfica y =√x que dista

menos del punto (4, 0). R:(

7/2,√

7/2)

.

10. Hallar el volumen máximo de un cono circularrecto inscrito en una esfera de radio R.

R: 32πR3/81.

11. Un tanque esta formado por un cilindro circularrecto con dos semiesferas en sus extremos, elvolumen es de 12 pies cúbicos, hallar el radiodel cilindro que minimiza el área del tanque.

R: 3

√

9/π pul.

12. Con 10 pies de alambre se forman un círcu-lo y un triángulo isósceles rectángulo. ¿Cuántoalambre hay que emplear en el círculo para queel área total encerrada por ambos sea:

a) Mínima b) Máxima.

R: a) 10π/(π + 3 + 2√2) b) 10 pies.

13. Una central productora de energía esta al ladode un rio de media milla de ancho, y una fábricaesta 6 millas abajo al otro lado del rio. El tendi-do de líneas de conducción energética cuesta 6dólares/milla en tierra y 8 dólares/milla en agua.Hallar el trazado del tendido más económicodesde la central a un punto situado al otro ladodel rio. R: 3/(2

√7) millas aguas abajo.

14. La base de un triángulo esta en el eje x, un ladoesta sobre la recta y = 3x, y el tercer lado pasapor (1, 1). ¿Cuál es la pendiente del tercer ladosi el área del triángulo ha de ser mínima?

R: −3.

15. Hallar la longitud de la varilla más larga quese puede transportar horizontalmente en la es-quina que une un corredor de 6 metros de anchocon otro de 4 metros de ancho?

R: 4(1 + 3√4)3/2 m.

16. Un faro se encuentra ubicado en un punto A,situado a 4 kilómetros del punto más cercano ode una costa recta. En un punto B, también enla costa y a 4 km de O hay una tienda. Si elguardafaros puede remar a 4 km/h, y caminara 5 km/h. ¿Qué camino debe seguir para llegardel faro a la tienda en el menor tiempo posible?


Universidad

Industrial de

Santander


Cálculo I — Taller PTaller suplementario


Nombre: Código:

1. Trace la gráfica de la función

f(x) =

{ −1 si x ≤ 5,√25− x2 si − 5 < x < 5,x− 5 si x ≥ 5.

2. Sea f(x) =2x− 1

x+ 1y g(x) =

1

x− 1.

a) Determine f(g(x)).

b) ¿El dominio natural de la función

h(x) =3− x

x

es el mismo que el dominio de f ◦ g?Explique su respuesta.

3. Encuentre f−1, si existe la inversa:

a) f(x) = 8x3 − 1

b) f(x) = x2 − 2x+ 1

c) f(x) =x+ 2

x− 1

4. Encuentre los límites:

a) lımx→−1

x3 − x2

x− 1

b) lımx→2−

x+ 2

x− 2

c) lımx→0

√x2 + 4− 2

x2

d ) lımx→∞

(2x− 1)5

(3x2 + 2x− 7) (x3 − 9x)

e) lımx→0

sen 3x

tan 3x

f ) lımx→(π/2)+

etan x

g) lımx→0

ln (sen 2x)− ln (tanx)

h) lımx→∞

(

1 + 3x

)−x

i) lımx→2

f(x), si

f(x) =

3, si x < 0,x+ 1, si 0 ≤ x < 2,x+ 1

x− 3, si x > 2.

5. Use la definición formal de los límites para de-

mostrar que lımx→3/2

4x2 − 9

2x− 3= 6.

6. Suponga que

f(x) =

{

−x4 + 3, si x ≤ 2,x2 + 9, si x > 2.

¿f es continua en todas partes? Justifique surespuesta.

7. Demuestre que la ecuación x4+5x3+5x−1 = 0tiene al menos dos soluciones reales en el inter-valo [−6, 2] .

8. Suponga que f es continua en el intervalo [0, 1],que f(0) = 2 y que f no tiene ceros en el in-tervalo. Demuestre que f(x) > 0 para toda x en[0, 1] .

9. Suponga que

f(x) =

{

x2 − 1, si x ≤ 1,k(x− 1), si x > 1.

¿Para qué valores de k la función f es:

a) continua? b) derivable?

10. Una paracaidista salta de un avión. Supon-ga que la distancia que desciende durante losprimeros t segundos antes de abrir el paracaí-das es s(t) = 976((0,835)t − 1) + 176t, donde sestá en pies. Grafique s contra t para 0 ≤ t ≤ 20,utilice la gráfica para estimar la velocidad ins-tantánea en t = 15. Compare este resultadocon la velocidad intantánea hallada utilizandoderivadas.

11. Encuentre todas las rectas que son tangentessimultáneamente a la gráfica y = x2 + 1 y a lagráfica de y = −x2 − 1.

12. Suponga que f ′(x) = 2xf(x) y f(2) = 5.

a) Encuentre g′(π/3) si g(x) = f(secx).

b) Encuentre h′(2) si h(x) = [f(x)/(x− 1)]4


13. Una mancha de aceite sobre un lago está rodea-da por una barrera flotante circular de con-tención. Cuando se jala la barrera, el área decontención circular se reduce. Si la barrera sejala a razón de 5 metros por minuto, ¿con quérapidez se reduce el área de contención cuandoésta tiene un diámetro de 100 metros?

14. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es-tá creciendo a razón constante de a centíme-tros por segundo y un cateto está decreciendoa razón constante de b centímetros por segun-do. ¿Con qué rapidez cambia el ángulo entre lahipotenusa y el otro cateto en el instante en queambos catetos miden 1 cm?

15. En cada inciso, utilice la información indicadapara determinar ∆x,∆y y dy.

a) y =1

x− 1; x disminuye de 2 a 1.5.

b) y = tanx; x se incrementa de −π/4 a 0.

16. ¿En qué punto(s) la recta tangente a lacurva y2 = 2x3 es perpendicular a la recta4x− 3y + 1 = 0?

17. En cada inciso, trace una curva continuay = f(x) con las condiciones indicadas:

a) f(2) = 4, f ′(2) = 1, f ′′(x) < 0 para x < 2,f ′′(x) > 0 para x > 2.

b) f(2) = 4, f ′(2) = 1, f ′′(x) > 0 para x < 2,f ′′(x) > 0 para x > 2,lım

x→2−f ′(x) = ∞, lım

x→2+f ′(x) = ∞.

c) f(2) = 4, f ′(2) = 1, f ′′(x) < 0 para x 6= 2,lım

x→2−f ′(x) = 1, lım

x→2+f ′(x) = −1.

18. Sea g(x) = x3 − 4x + 6. Encuentre f(x) de talmodo que f ′(x) = g′(x) y f(1) = 2.

19. En cada inciso, determine si se satisfacen lashipótesis del teorema del valor medio en el inter-valo indicado. De no ser así, señale cuáles sonlas hipótesis que no se cumplen. Si las hipóte-sis se cumplen, encuentre todos los valores cgarantizados en la conclusión.

a) f(x) = |x− 1| en [−2, 2]

b) f(x) =x+ 1

x− 1en [2, 3]

c) f(x) =

{

3− x2 si x ≤ 12x si x > 1

en [0, 2]

20. Un campo está delimitado por un triángulo rec-tángulo con la hipotenusa a lo largo de un arroyorecto. Una cerca delimita los otros dos lados delcampo. Determine las dimensiones del campocon área máxima que puede delimitarse utilizan-do 100 metros de cerca.

21. Se va a inscribir un rectángulo en un triángu-lo rectángulo que tiene lados de longitud de 6pulgadas, 8 pulgadas y 10 pulgadas. Determinelas dimensiones del rectángulo con área mayorsuponiendo que sólo uno de los vértices estásobre la hipotenusa.

22. Utilice la curva x2 + y2 = 1 para demostrar que(1, 0) es el punto de la curva más próximo a(2, 0) .


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Industrial de

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Cálculo I — Taller QTaller complementario


Nombre: Código:

1. a) Demuestre que la función

f(x) = ln(x+√

x2 + 1)

es una función impar.b) Encuentre la función inversa de f .

2. (i) Si desplaza una curva hacia la izquierda,¿qué pasa con su reflejo respecto a la lí-nea y = x? En vista de este principio ge-ométrico, encuentre una expresión para lainversa de g(x) = f(x+ c) donde f es unafunción uno a uno.

(ii) Encuentre una expresión para la inversa deh(x) = f(c · x), donde c 6= 0.

3. Una ventana normanda tiene la forma de unrectángulo coronado por un semicírculo. Si elperímetro de la ventana es de 30 pies, expreseel área A de ella como función del ancho de lamisma. (Ver Figura B).

Figura B.

4. Cuando se apaga el flash de una cámara, lasbaterías empiezan de inmediato a recargar elcapacitor del flash, el cual almacena carga eléc-trica dada por

Q(t) = Q0

(

1− e−t/a)

.

(La capacidad máxima de carga es Q0 y t semide en segundos).

a) Encuentre la inversa de esta función y ex-plique su significado.

b) ¿Cuánto tarda en cargar el capacitor hasta90 % de su capacidad si a = 2?

5. Determine si la afirmación dada es verdadera ofalsa, justifique claramente su respuesta.

a) Sea x ∈ R− {0}, entonces −x < x.

b) Si a, b ∈ R y a < b entonces a2 < b2.c) El valor máximo de la función

g(x) = x2 − 2x+ 2

es g(1) = 1.d ) Existen números racionales que son tam-

bién irracionales.e) El dominio de la función h(x) = (g ◦ f)(x),

donde f(x) =√x y g(x) =

1 + x

x− 1, es el

conjunto (−∞,−1] ∪ (1,∞).

6. Encuentre una fórmula para la función inversa

de f(x) =5 + 2x

2 + 5x.

7. A partir de la gráfica de y = f(x) trace la gráficade y =

∣

∣

12f (x+ 1)

∣

∣+ 3.

x

y

y = f(x)

8. Se desea construir una caja sin tapa partiendode una pieza rectangular de cartón, cuyas di-mensiones son 20 × 30 pulgadas, cortando enlas esquinas cuadros idénticos de área x2, y do-blando los lados hacia arriba. Exprese el volu-men V , de la caja, como función de x.


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Industrial de

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Cálculo I — Taller RTaller (derivadas)


Nombre: Código:

1. Hallar la derivada pedida

a) f ′(1); para f(x) =

{

x+ 1 , x ≤ −1

(x+ 1)2 ; x > −1

b) f ′(1); para f(x) =

{

3x2 ; x ≤ 1

2x2 + 1 , x > 1

c) f ′(3); para f(x) =

−x2

2; x < 3

−3x ; x ≥ 3

2. Hallar F ′(x) para:

a) F (x) =ax− b

cx− d;

b) F (x) = x3 − 3x− 2

x4;

c) F (x) = 3√x+ 5

√x;

d ) F (x) =√x2 + a2;

e) F (x) =a2 + x2√a2 − x2

;

f ) F (x) = 4ℓn(ax2 + bx+ c);

g) F (x) = ℓn

√

1 + x2

1− x2;

h) F (x) = (x+ 1)ℓn(x2 + 1);

3. Hallar una ecuación de la recta tangente; y de larecta normal a la gráfica de la función

y = x4 − 3x2 + 2 en x = 1.

4. Determinar los puntos, en los que la gráfica dela función dada tiene tangente horizontal:

a) y = x+ senx; 0 ≤ x ≤ 2π

b) y = x4 − 3x2 + 2;

c) y =1

x2

5. Hallar f ′(0) y f ′(1) para:

a) f(x) =1− x2

1 + x2

b) f(x) =ax+ b

cx+ d;

6. Si h(0) = 3; h′(0) = 2; hallar f ′(0) para:

a) f(x) = xh(x);

b) f(x) = h(x)− 1

h(x).

7. Hallar:

a)d

du

(

u

u− 1− u

u+ 1

)

;

b)d

dt

(

t4

2t3 − 1

)

;

8. Si f(t) = (t−1 + t−2)4. Hallar f ′(1).

9. Hallar y′(x) para:

a) y =1

1 + u2; u = 2x+ 1;

b) y =2u

1− 4u; u = (5x2 + 1)4.

10. Hallardy

dtpara y =

1− 7u

1 + u2; u = 1 + x2;

x = 2t− 5.

11. Hallar:

a)d

dx

[

f(x2 + 1)]

;

b)d

dx

[

{f(x)}2 + 1]

.

12. Para cada función hallar los extremos locales (orelativos) y los intervalos de crecimiento y de-crecimiento de la función

a) f(x) = x+1

x.

b) f(x) =x2 − 2x+ 1

x+ 1.

c) f(x) = sen2 x+ senx 0 ≤ x < 2π.

13. Hallar los intervalos en que la función es conca-va hacia arriba y concava hacia abajo.

a) f(x) = x3 + 9x.

b) f(x) = x4 − 8x3 + 24x2.

c) f(x) =x

x2 − 1.

d ) f(x) = (x− 2)1/5.


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Industrial de

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Cálculo I — Taller STaller (Límites)


Nombre: Código:

1. Explique con sus palabras qué se quiere dar a entender mediante la ecuación: lımx→2

f (x) = 5.

¿Es posible que se cumpla está ecuación y sin embargo f (2) = 3? Dé una explicación.

2. Explique qué se quiere dar a entender con lımx→2+

f (x) = 5 y lımx→2−

f (x) = 3.

En esta situación, ¿es posible que lımx→2

f (x) exista? Dé una explicación.

3. A partir de la gráfica dada, dé el valor del límite, si existe. Si no existe, explique por qué.

a) lımx→3+

f (x) .

b) lımx→3−

f (x) .

c) lımx→1

f (x) .

d ) lımx→3

f (x) .

e) lımx→−3+

f (x) .

f ) lımx→−3

f (x) .

.

4. Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que satisfaga todas las condiciones dadas:

lımx→3+

f (x) = 4, lımx→3−

f (x) = 2, lımx→−2

f (x) = 2, f (3) = 3, f (−2) = 1.

5. Teniendo en cuenta la gráfica de la función f (x), diga si la afirmación dada es verdadera o falsa:

f(x) =

1

x+ 2, si x < −2

− tan2,5

πx, si − 2 < x ≤ 0

1

2x2, si 0 < x < 2

−2x+ 8, si 2 ≤ x < 31, si x = 3

2 (x− 4)2 si 3 < x ≤ 5

a) f (x) tiene una discontinuidad removible en x = 3.b) lım

x→−2f (x) = ∞.

c) El lımx→3

f (x) no existe.

d ) f (x) es continua en el intervalo (−2, 2).e) f (x) es sobreyectiva.

6. Evalúe las funciones en los números dados (correcto hasta seis cifras decimales). Use los resultadospara conjeturar el valor del límite o explique por qué no existe.

g (x) =x− 1

x3 − 1; x = 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 0,9; 0,99; 1,01; 1,1; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8.

f (x) =1− cosx

x2; x = ±1; ±0,5; ±0,4; ±0,3; ±0,2; ±0,1; ±0,05; ±0,01; ±0,001.

7. Evalúe el límite y justifique cada paso indicando las propiedades de los límites utilizadas.


a) lımx→4

(

5x2 − 2x+ 3)

.

b) lımx→−1

x− 2

x2 + 4x− 3.

c) lımt→−2

(t+ 1)9(

t2 − 1)

.

d ) lımx→−1

√x3 + 2x+ 7.

e) lımx→4−

√16− x2.

f ) lımx→1

x2 − 1

x− 1.


a) lımx→−3

x2 − x+ 12

x+ 3.

b) lımh→0

(5 + h)2 − 25

h.

c) lımx→2

x3 − 8

x2 − 4.

d ) lımx→−1

|x+ 1| .

e) lımx→4

|4− x|x− 4

.

f ) lımx→1

[

1

x− 1− 2

x2 − 1

]

.

9. Considere la función f (x) = x3 + x− 6.

a) Encuentref (2 + ∆x)− f (2)

(2 + ∆x)− 2para ∆x ∈ {1; 0,5; 0,2; 0,1}.

b) Halle lımx→4

f (x)− f (4)

x− 4.

c) Dé una interpretación geométrica de los cocientes y del límite.

10. Encuentre lımh→0

f (x+ h)− f (x)

hsi:

a) f (x) =1

x+ x. b) f (x) = x2 + x− 2

x2. c) f (x) =

√x. (Racionalice).

11. Explique que se quiere dar a entender mediante las ecuaciones:

lımx→∞

f(x) = L y lımx→a

f(x) = ∞.


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Cálculo I — Taller TTaller (funciones)


Nombre: Código:

1. Responda verdadero (V) ó falso (F), justificando claramente su respuesta.

a) La función f (x) = x5 + 1 es inyectiva.

b) Si f (x) = 1x y g (x) = x2 + 1. Entonces (f ◦ g) (x) = 1

x2 + 1.

c) La función f (x) = 1 +√x− 1 tiene como imagen el conjunto [1,∞).

2. (a) Exprese f (x) en la forma a (x− h)2 + k, (b) calcule el valor máximo o mínimo de f (x),(c) encuentre los ceros de f (x), (d) trace la gráfica de f .

i) f (x) = 6x2 + 7x− 24. ii) f (x) = −2x2 + 20x− 43. iii) f (x) = −3x2 − 6x− 6.

3. En cada caso determine el dominio de la función dada.

a) f (x) =

√x− 1

x2 + x.

b) f (x) =

√

1− x2

4− x2.

c) f (x) =

√1 + x−

√1− x

x.

d ) f (x) =√x2 − 1− 1.

(e) h (x) = (f ◦ g) (x) , donde f (x) =1

x2 + 1y g (x) =

1√x

.

4. Encuentre el dominio de f ◦ g y g ◦ f y una expresión para (f ◦ g) (x) y (g ◦ f) (x), si:

a) f (x) = 1− x2 y g (x) =1√x.

b) f (x) =1

x2y g (x) =

1√x− 1

.

c) f (x) =√x− 3 y g (x) =

√1− x2.

d ) f (x) =x

x2 + 5y g (x) = 3x+ 1.

e) f (x) =√x2 − 1 y g (x) = x+ 1.

f ) f (x) =x+ 1

xy g (x) =

√x+ 3.

5. Halle (f ◦ f) (x) y (f ◦ (1/f)) (x), si:

a) f (x) = 6x− 2. b) f (x) = (x− 2)2 − 4x. c) f (x) =x+ 4

x.

6. Halle (f ◦ g ◦ h) (x) para las funciones dadas.

a) f (x) = x−1 − 1, g (x) =1

x2, h (x) = 2x+ 1.

b) f (x) =√x, g (x) = x2, h (x) = x− 1.

7. Para cada caso, evalúe f (−3), f (−1), f (0) y f (1), y haga un esbozo del gráfico de la función.

a) f (x) =

{∣

∣x2 + 2x∣

∣ si x < 0;x si 0 ≥ x.

b) f (x) =

{

x+ 2, si x ≤ 0;x2 + 1, si x > 0.

8. Si f (x) = x2 determine una función g tal que g (f (x)) = x4 + 1.

9. Evalúe y simplifiquef (x+ h)− f (x)

hsi f (x) = x3 − 2x+ 1.


10. Para cada caso, halle las gráficas de las funciones indicadas, trasladando la gráfica de la función dada.

1 2−1−2

1

2

3

4

1 2−1−2

1

−11 2 3−1−2−3

1

2

3

a) y = f (x) + 1;

b) y = f (x)− 2;

c) y = f (x− 1);

d ) y = f (x+ 2);

e) y = 12f (2x);

f ) y =∣

∣f(

−12x)∣

∣.

11. Verifique si la función dada es invertible y si lo es encuentre su inversa.

a) f (x) =2

x3 + 1. b) f (x) =

3− x

x+ 5. c) f (x) =

4x− 1

3x. d ) f (x) =

x+ 1

2x− 1.

12. Exprese el área de un hexágono regular en función del perímetro.

13. Exprese el área de un triángulo equilátero en función de su lado.

14. La tasa de crecimiento y, de un niño, en libras por mes, se relaciona con su peso actual x, en libras, me-diante la fórmula y =

x

200(30− x), y 0 < x < 30. ¿A qué peso se tiene la tasa máxima de crecimiento?

¿Y cuál es la tasa de crecimiento?

15. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de v0 pies/seg, y su distancia alpiso s (t) en pies a los t segundos, es s (t) = −16t2 + v0t.

a) Si el objeto llega al piso pasados 12 seg, determine su velocidad inicial v0.b) Calcule su altura máxima sobre el piso.

16. Se debe construir un corral rectangular para animales, se usará una pared como uno de los cuatro lados.El pie de cerca para los otros tres lados cuesta $ 5 000 y debe gastar $ 1 000 por cada pie de pinturapara la parte de la pared que forma el cuarto lado del corral. Se tienen $ 180 000 para dicho trabajo.¿Cuáles dimensiones maximizan el área del corral que se debe construir?

17. Halle dos números reales que hacen máxima la diferencia entre el cuadrado del primero y el duplo delcuadrado del segundo, si la suma de los números es 6.

18. Halle dos números cuya suma sea 20 y tal que la suma de sus cuadrados sea mínima.

19. Desde el techo de un edificio de 30 metros de altura se lanza una pelota hacia arriba. Suponga que suposición por encima del suelo después de t segundos está dada por

s(t) = −16t2 + 256t+ 30.

a) ¿Cuál es la máxima altura desde el suelo alcanzada por la pelota?b) ¿Cuándo alcanza esa máxima altura?c) ¿Cuánto tiempo tarda en tocar el piso?


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Industrial de

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Cálculo I — Taller UTaller (funciones)


Nombre: Código:

1. Determine si la curva es la gráfica de una fun-ción de x. Si los es, dé el dominio y el recorridode la función.

a)

b)

c)

d )

2. Dada las gráficas de f y g.

a) Dé los valores de f(2) y g(−1).b) ¿Para cuáles valores de x se tiene que

f(x) = g(x)?

c) Estime la solución de la ecuación f(x) = 1.

d ) ¿En qué intervalo es f(x) decreciente?e) Trace la gráfica de f + g.f ) Dé el dominio y el recorrido de f , g y f + g.

f(x)

g(x)

3. Encuentre f(0), f(2), f(√2), f(1 +

√2), f(−x),

f(x+ 1), 2f(x), f(x+ h) yf(x+ h)− f(x)

hsi

a) f(x) = 2x2 + 3x− 4.

b) f(x) = x− x2.

c) f(x) =x

x+ 1.

4. Encuentre el dominio y trace la gráfica de la fun-ción dada.

a) f(x) = 3− 2x.

b) f(x) = x2 + 2x− 1.

c) f(x) = 1 +√x+ 2.

d ) f(x) =

{

1− x si x < 1lnx si x ≥ 1.

e) f(x) = 3− 2 senx.

f ) f(x) = cos 3x.

5. A partir del gráfico de la función f(x), dibuje lassiguiente funciones.

a) y = f(x− 3).

b) y = 2− f(x).

c) y = f−1(x).

d ) y = −f(x).

e) y = 12f(x)− 1.

f ) y = f−1(x+ 3).

6. Determine si f es par, impar o ninguna de la doscosas.

a) f(x) = 2x5 − 3x2 + 2.

b) f(x) = e−x2

.

c) f(x) = x3 − x7.

d ) f(x) = 1 + senx.

7. (a) Exprese f (x) en la forma a (x− h)2+k, (b)calcule el valor máximo o mínimo de f (x), (c)encuentre los ceros de f (x), (d) trace la grá-fica de f .

a) f (x) = 6x2 + 7x− 24.

b) f (x) = −2x2 + 20x− 43.

c) f (x) = −3x2 − 6x− 6.

8. La tasa de crecimiento y, de un niño, en libraspor mes, se relaciona con su peso actual x, enlibras, mediante la fórmula y =

x

200(30 − x), y

0 < x < 30. ¿A qué peso se tiene la tasa máxi-ma de crecimiento? ¿Y cuál es la tasa de creci-miento?


9. Un objeto se lanza verticalmente hacia arribacon una velocidad inicial de v0 pies/seg, y su dis-tancia al piso s (t) en pies a los t segundos, es

s (t) = −16t2 + v0t.

a) Si el objeto llega al piso pasados 12 seg,determine su velocidad inicial v0.

b) Calcule su altura máxima sobre el piso.

10. Encuentre el dominio de f ◦ g y g ◦ f y unaexpresión para (f ◦ g) (x) y (g ◦ f) (x), si:

a) f (x) =x

x2 + 5y g (x) = 3x+ 1.

b) f (x) =1

x2y g (x) =

1√x− 1

.

c) f (x) =√x− 3 y g (x) =

√1− x2.

11. Halle la inversa de la función dada.

a) f (x) =2

x3 + 1.

b) f (x) =3− x

x+ 5.

c) f (x) =4x− 1

3x.

12. En los problemas conteste verdadero o falso

a) 32x = 9x

b) 3x · 3y = 9x+y

c) (5x)2 = 5x2

d ) (7x + 7−x) =(

7 + 7−1)x

e) ex + e−x = e0

13. Grafique en el mismo plano las funciones dadas.

a) f (x) = 3x, g (x) = 2x, h (x) = 5x.

b) f (x) = e|x|, g (x) = ex, h (x) = e−x.

c) f (x) =(

32

)x, g (x) =(

23

)x,h (x) = 1

2

[(

32

)x+(

23

)x].

14. Escriba el enunciado exponencial dado en la for-ma logarítmica equivalente.

a) 9−1/2 = 1/3.

b) 5y = x.

c) u−t = s.

d ) 3x · 3y = 3x+y.

15. Escriba el enunciado logarítmico dado en la for-ma exponencial equivalente.

a) log4 1/2 = −1/2.

b) logt v = −s.

c) log√3 3 = 2.

d ) ln(

1/e2)

= −2.

16. Resuelva la ecuación dada.

a) log2 x+ log2 (x− 2) = 3.

b) log4√x2 + 60 = 2.

c) 6x + 6−x = 2.

d ) 8(

22−x)

=(

21−x)2

.

17. Grafique detalladamente las seis funcionestrigonométricas.

18. Determine los intervalos en los que cada fun-ción trigonométrica es invertible y grafique cadafunción inversa.

19. Dados los siguientes valores para las funcionesseno y coseno:

grados 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦

radianes 0 π6

π4

π3

π2

cos θ 1√32

√22

12 0

sen θ 0 12

√22

√32 1

Evalué:

a) cos (15◦)b)

sen (105◦)

c) cos (120◦)

d ) cos(

π12

)

e) sen(

7π12

)

f ) cos(

5π12

)

20. Resuelva la ecuación

cos 2θ + cos θ = 0, 0 ≤ θ ≤ π

2.

21. Muestre que

cos(

sen−1 γ)

=√

1− γ2, para −1 ≤ γ ≤ 1.

22. Evalué:

a) sen(

arc sen 12 + arc cos 0

)

b) tan(

arc cos 12 + arc sen

√32

)

23. Demuestre o refute las siguiente identidades:

a)2 senx+ sen 2x

2 senx− sen 2x= cot2 x.

b) sen2(

θ2

)

=1− cos θ

2.

c) cos2(

θ2

)

=1 + cos θ

2.

d ) tan2(

θ2

)

=1 + cos2 θ

sen2 θ.

24. Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométri-cas en el intervalo dado.

a) 2 sen2 t− cos t = 1, 0 ≤ t ≤ π.b) sen θ tan θ = sen θ, 0 ≤ θ ≤ π.

c) tanα = tan2 α, 0 ≤ α ≤ π.

d ) 2 sen3 x+sen2 x−2 senx−1 = 0, 0 ≤ x ≤ π.


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Santander


Primer examenCálculo I

Mayo 27 de 2010

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada página de su hoja de examen.No se permite el préstamo de borradores, calculadoras, lápices, etc.El profesor no responderá preguntas, porque parte de la evaluación es la comprensión de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.No se permite el uso de teléfonos celulares durante el examen.

1. a) Una caja rectángular abierta con volumen de 2m3, tiene una base cuadrada. Exprese el área su-perficial de la caja como función de la longitud de uno de los lados de la base.

b) Se infla un balón esférico y el radio del mismo se incrementa en una cantidad de 2 cm/s.i) Exprese el radio r del balón como función del tiempo t (en segundos).ii) Si V es el volumen del balón como una función del radio, halle V ◦ r.

2. a) Sean f y g funciones lineales con ecuacionesf(x) = m1x + b1 y g(x) = m2x + b2 ¿Es f ◦ g unafunción lineal? Si es así, ¿cuál es el valor de supendiente?

b) En la figura se muestra la gráfica de f . Dibuje lagráfica de la función y = f−1(x+ 3).

y

x0 1

1

3. La población de cierta especie en un ambiente limitado, con población inicial 100 individuos y que so-

porta una capacidad de 1000 individuos, está dada por P (t) =100000

100 + 900e−tdonde t se mide en años.

Encuentre la inversa de la función y úsela para encontrar el tiempo requerido para que la poblaciónllegue a 900 individuos.

4. Determine si la proposición es verdadera o falsa. Si es verdadera, explíque por qué. Si es falsa, explíquepor qué o dé un ejemplo que refute la proposición.

a) tan−1(x) =sen−1(x)

cos−1(x).

b) Siempre se puede dividir entre ex.

c) Si f(s) = f(t) entonces s = t.

d ) Si f es una función entonces f(3x) = 3f(x).

e) Si 0 < a < b entonces ln(a) < ln(b).


Solución del Primer Examen de Cálculo I

1.

a)x

y

V = 2m3; Abase = x2; Asuperficial = 4xy + x2

Como V = x2y = 2, entonces y = 2/x2.

Reemplazando en el área superficial se obtiene

Asuperficial = 4x

(

2

x2

)

+ x2 =8

x+ x2 =

8 + x3

x.

b)

r

i) r (t) = 2t.

ii) V (r) = 43πr

3

(V ◦ r) (t) = V (r (t)) = V (2t) =4

3π (2t)3 =

4

3π(

8t3)

=32

3πt3.

2. a) f (x) = m1x+ b1, g (x) = m2x+ b2.

(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f (m2x+ b2) = m1 (m2x+ b2) + b1 = m1m2x+m1b2 + b1Por tanto (f ◦ g) (x) es una función lineal con pendiente m = m1m2.

b)y

x0 1

1f f−1

Se refleja f

respecto a larecta y = x

y

x0 1

1f−1(x+ 3)

se corre 3 unidadeshacia la izquierda

3. P (t) =100000

100 + 900e−t

=⇒ P ∗[

100 + 900e−t]

= 100000

=⇒ 900Pe−t = 100000 − 100P

=⇒ e−t =100000 − 100P

900P

=⇒ et =900P

100000 − 100P=

9P

1000 − P

=⇒ t (P ) = ln

(

9P

1000 − P

)

Luego t (900) = ln

(

9 ∗ 9001000 − 900

)

= ln 81 = 4 ln 3.


4. a) Falsa. Contraejemplo: tan−1 (1) =π

4,

sen−1 (1)

cos−1 (1)=

π/2

0no esta definido.

b) Verdadera, ya que ex > 0, ∀x ∈ R.

c) Falsa. Contraejemplo: si f (x) = x2, se tiene que f (a) = f (−a) = a2, pero a 6= −a.

d ) Falsa. Contraejemplo: si f (x) = x5, no es cierto que:

f (3x) = (3x)5 = 35x5 sea igual a 3f (x) = 3x5.

e) Verdadera, porque la función f (x) = lnx es una función creciente.


Universidad

Industrial de

Santander


Primer examen – CIFCálculo I

17 de marzo de 2014Prof: Gilberto Arenas Díaz

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.No se permite el préstamo de borradores, calculadoras, lápices, etc.El profesor no responderá preguntas, porque parte de la evaluación es la comprensión de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.No se permite el uso de teléfonos celulares durante el examen.

1. Un hombre se encuentra parado en un punto A en la orilla de un río recto de dos kilómetros de ancho.Para llegar al punto B, 7 kilómetros corriente abajo en la orilla opuesta, rema primero en su bote hastaun punto P en la orilla opuesta y luego camina la distancia restante x hasta el punto B. Él puede remara una velocidad de 2 km/h y caminar a una velocidad de 5 km/h. Encuentre una función en términosde la distancia x que permita modelar el tiempo necesario para el recorrido. (Recuerde que distancia esigual a velocidad por tiempo).

2. Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequeña con 100000 habitantes.Después de t días, el número de personas que han sido infectadas por el virus se modela mediante lafunción

I (t) =100000

5 + 12495e−t.

a) ¿Cuántas personas infectadas hay inicialmente?b) Encuentre la inversa de la función I (t) y explique su significado.c) ¿En cuántos días habrán 10000 personas infectadas?

3. Utilizando propiedades de los límites, determine si existen.

a) lımt→4

t−√2t+ 8

4− t. b) lım

x→1

x3 − 3x+ 6

x4 + 7x3 + 1. c) lım

θ→0

sen 8θ

sen 3θ.

4. Determine el dominio de la función

f (x) =ln (1 + |x+ 2| − 2 |x|)√

(x2 − 16) (1− x2).


Solución del primer examen de Cálculo I - C5 (Curso intensivo Facultad de Ciencias)

1. Un hombre se encuentra parado en un punto A en la orilla de un río recto de dos kilómetros de ancho.Para llegar al punto B, 7 kilómetros corriente abajo en la orilla opuesta, rema primero en su bote hastaun punto P en la orilla opuesta y luego camina la distancia restante x hasta el punto B. Él puede remara una velocidad de 2 km/h y caminar a una velocidad de 5 km/h. Encuentre una función en términosde la distancia x que permita modelar el tiempo necesario para el recorrido. (Recuerde que distancia esigual a velocidad por tiempo).Solución . Obsérvese que se tienen dos velocidades v1 = 2 km/h (remando) y v2 = 5 km/h (caminando).

b

v2 = 5 km

7 km

A

P Bx

2 kmℓ

v1 = 2 km

El tiempo se puede expresar como

t =ℓ

v1+

x

v2,

donde ℓ2 = 22 + (7− x)2; luego ℓ =

√

4 + (7− x)2. Por lo tanto

t (x) =

√

4 + (7− x)2

2+

x

5.

2. Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequeña con 100000 habitantes.Después de t días, el número de personas que han sido infectadas por el virus se modela mediante lafunción

I (t) =100000

5 + 12495e−t.

a) ¿Cuántas personas infectadas hay inicialmente?b) Encuentre la inversa de la función I (t) y explique su significado.c) ¿En cuántos días habrán 10000 personas infectadas?

Solución . Al reemplazar en el t = 0 se tiene

I (0) =100000

5 + 12495e0=

100000

12500= 8.

Es decir, el número de personas infectadas inicialmente es de 8.Encontremos ahora la inversa:

I =100000

5 + 12495e−t=⇒

(

5 + 12495e−t)

I = 100000

=⇒ 12495Ie−t = 100000 − 5I

=⇒ e−t =100000 − 5I

12495I

=⇒ −t = ln100000 − 5I

12495I

=⇒ t = − ln100000 − 5I

12495I= ln

12495I

100000 − 5I.


La función inversa representa el número de días en función del número de infectados.

I−1(t) = ln12495t

100000 − 5t.

Utilizando la inversa se tiene

t (10000) = ln12495 · 10000

100000 − 5 · 10000 = ln 2499 = 7,8236.

Por lo tanto el número de días necesario para que se tengan 10000 personas infectadas es de 8 (o7,8236).

3. Utilizando propiedades de los límites, determine si existen.

a) lımt→4

t−√2t+ 8

4− t.

Solución . Como se da la indeterminación 00 debemos realizar el siguiente procedimiento:

lımt→4

t−√2t+ 8

4− t= lım

t→4

t−√2t+ 8

4− t· t+

√2t+ 8

t+√2t+ 8

= lımt→4

t2 − (2t+ 8)

(4− t)(

t+√2t+ 8

)

= lımt→4

(t+ 2) (t− 4)

(4− t)(

t+√2t+ 8

)

= lımt→4

− (t+ 2)

t+√2t+ 8

=− (4 + 2)

4 +√2 · 4 + 8

=−6

4 + 4= −3

4

b) lımx→1

x3 − 3x+ 6

x4 + 7x3 + 1.

Solución . Puede observase que no hay indeterminación, por tanto se puede evaluar directamente,esto es

lımx→1

x3 − 3x+ 6

x4 + 7x3 + 1=

lımx→1

x3 − 3x+ 6

lımx→1

x4 + 7x3 + 1=

1− 3 + 6

1 + 7 + 1=

4

9.

c) lımθ→0

sen 8θ

sen 3θ.

Solución . Nuevamente se da la indeterminación 00 , luego hacemos lo siguiente para evaluar el

límite

lımθ→0

sen 8θ

sen 3θ= lım

θ→0

8θ · sen 8θ8θ

3θ · sen 3θ3θ

= lımθ→0

8 · sen 8θ8θ

3 · sen 3θ3θ

=8 · lım

θ→0

sen 8θ

8θ

3 · lımθ→0

sen 3θ

3θ

=8 · 13 · 1 =

8

3.

4. Determine el dominio de la función

f (x) =ln (1 + |x+ 2| − 2 |x|)√

(x2 − 16) (1− x2).

Solución . Dadas las expresiones que se tienen en la función se tiene que

Dom (f) ={

x | 1 + |x+ 2| − 2 |x| > 0 ∧(

x2 − 16) (

1− x2)

> 0}

= {x | 1 + |x+ 2| − 2 |x| > 0} ∩{

x |(

x2 − 16) (

1− x2)

> 0}

.

El primer conjunto puede verse como la solución de la desigualdad

1 + |x+ 2| > 2 |x| .


Graficamente puede verse que el conjunto solución es el intervalo (a, b) donde a es la solución de1 + (x+ 2) = −2x y b es la solución de 1 + (x+ 2) = 2x; al solucionar esto se obtiene que a = −1 yb = 3.Si se busca la solución vía la definición del valor absoluto se tiene

|x| ={

x, x ≥ 0,−x, x < 0, y |x+ 2| =

{

x+ 2, x ≥ −2,−x− 2, x < −2,

(−∞,−2)

(a)

[−2, 0)

(b)

[0,∞)

(c)

a) (−∞,−2): 1 + (− (x+ 2)) > 2 (−x) =⇒ 1− x− 2 > −2x =⇒ x > 1.Luego S′

1 = (−∞,−2) ∩ (1,∞) = ∅.

b) [−2, 0): 1 + (x+ 2) > 2 (−x) =⇒ 1 + x+ 2 > −2x =⇒ 3x > −3 =⇒ x > −1.Luego S′′

1 = [−2, 0) ∩ (−1,∞) = (−1, 0).

c) [0,∞): 1 + (x+ 2) > 2 (x) =⇒ 1 + x+ 2 > 2x =⇒ 3 > x.Luego S′′′

1 = [0,∞) ∩ (−∞, 3) = [0, 3).

Luego tenemos que S1 = S′1 ∪ S′′

1 ∪ S′′′1 = ∅ ∪ (−1, 0) ∪ [0, 3) = (−1, 3), que corresponde con el mismo

intervalo (a, b) = (−1, 3).

Para el segundo conjunto se debe solucionar la desigualdad(

x2 − 16) (

1− x2)

> 0 o equivalentemente

(x+ 4) (x− 4) (1 + x) (1− x) > 0.

Si tabulamos tenemos

(−∞,−4) (−4,−1) (−1, 1) (1, 4) (4,∞)

x+ 4 − + + + +x− 4 − − − − +1 + x − − + + +1− x + + + − −

(x+ 4) (x− 4) (1 + x) (1− x) − + − + −

El conjunto solución será entonces S2 = (−4,−1) ∪ (1, 4).A partir de lo anterior se tiene que

Dom (f) = (−1, 3) ∩ {(−4,−1) ∪ (1, 4)} = (1, 3) .


Universidad

Industrial de

Santander


Abril de 2011Primer examenCálculo I

Prof. Doris González

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :


1. a) Exprese el área de un triángulo equilátero como función de la longitud de uno de los lados.

b) Exprese la función H (x) = sec4 (√x) como la composición de tres funciones f ◦ g ◦ h.

2. a) En la figura se proporciona la gráfica de la función f (x).

i) Utilice la gráfica de la función f (x) para dibujar lagráfica de f−1 (x).

ii) Utilice la gráfica de la función f (x) para dibujar lagráfica de y = −1

2f (x) + 3.

b) ¿Cómo se relaciona la gráfica de y = f (|x|) con la gráfi-ca de f (x)? Utilice este hecho para graficar y = sen |x| .

x

y

y = f(x)

3. Recuerde que en este punto sólo debe contestar dos de los items.

a) Trace la gráfica de la siguiente función y úsela para determinar los valores de a para los cuales NOexiste lım

x→af (x) si:

f (x) =

{

2− x si x < −1,x si −1 ≤ x < 1,

(x− 1)2 si x ≥ 1.


x→3+f (x) = 4, lım

x→3−f (x) = 2, lım

x→−2f (x) = 3, f (3) = 3, f (−2) = 1.

c) Evalúe el límite, si existe. lımh→0

1

h

(

1√1 + h

− 1

)

.

4. Se sabe que en condiciones ideales cierta población de bacterias se duplica cada hora. Suponga que alprincipio hay 500 bacterias.



Solución del primer examen de Cálculo I – PS2011

1. a) Exprese el área de un triángulo equilátero como función de la longitud de uno de los lados.

Solución . Denote el lado con una variable, por ejemplo x.Ahora, el área de un triángulo se calcula como

A =(base) × (altura)

2=

x · h2

.

Por el teorema de Pitágoras se tiene que

x2 = h2 +(x

2

)2=⇒ x2 −

(x

2

)2= h2

=⇒ 3

4x2 = h2 =⇒

√3

2x = h

x

x/2

h

(dado que x es una distancia, sólo se considera la solución positiva).Reemplazando el valor de h, se tiene que

A (x) =x ·

√32 x

2=

√3

4x2.

b) Exprese la función H (x) = sec4 (√x) como la composición de tres funciones f ◦ g ◦ h.

Solución . Observe queH (x) = sec4

(√x)

=(

sec(√

x))4

.

Por tanto, se ve que la función h (x) =√x.

La función g (h (x)) = sec (√x) =, es decir, g (x) = sec x.

La función f (g (h (x))) = (g (h (x)))4 = (sec (√x))

4, es decir, f (x) = x4.Existen otras formas para hacer la composición, por ejemplo:

h(x) = x, g(x) = sec2√x, f(x) = x2.

2. a) En la figura se proporciona la gráfica de la función f (x).

i) Utilice la gráfica de la función f (x) para dibujar la gráfica de f−1 (x).Solución . La gráfica de la función f−1 (x) se puede dibujar haciendo que los puntos (a, b) de lagráfica y = f (x), se reflejen con respecto a la recta y = x, quedando convertidos en los puntosde la forma (b, a), cómo se muestra a continuación.

x

y

y = f(x)

x

y

y = f(x)

ii) Utilice la gráfica de la función f (x) para dibujar la gráfica de y = −12f (x) + 3.

Solución . La gráfica de la función que se solicita, se obtiene siguiendo los siguiente pasos:12f (x) reduce todas las coordenadas en y a la midad;


−12f (x) hace que la gráfica obtenida se refleje con respecto al eje x;

−12f (x) + 3 hace que la gráfica que tenemos hasta el momento se traslade 3 unidades

hacia arriba.En la gráfica se muestra cada uno de los pasos realizados:

x

y

y = f(x)

x

yy = 1

2f(x)

x

y

y = −12f(x)

x

y = −12f(x) + 3

b) ¿Cómo se relaciona la gráfica de y = f (|x|) con la gráfica de f (x)? Utilice este hecho para graficary = sen |x| .Solución . Dado que |x| =

{

x, x ≥ 0,−x, x < 0 , entonces

y = f (|x|) ={

f (x) , x ≥ 0,f (−x) , x < 0.

Por tanto, y = f (|x|), refleja la grafica de y = f (x) , x ≥ 0 con respecto al eje y. (Observe que elefecto de componer con la función valor absolutos es que la función resultante es par).Por ejemplo:

x

y

0 1

1

f(x)

x

y

0 1

1

f(|x|)

En consecuencia, para el caso de la función

y = sen |x| ={

sen (x) , x ≥ 0sen (−x) , x < 0

={

senx, x ≥ 0,− senx, x < 0.

De donde se tiene que la gráfica correspondiente es:

x

yy = senx

x

yy = sen |x|

3. a) Trace la gráfica de la siguiente función y úsela para determinar los valores de a para los cuales NOexiste lım

x→af (x) si:

f (x) =

{

2− x si x < −1,x si −1 ≤ x < 1,

(x− 1)2 si x ≥ 1.


Solución .f (−3) = 2− (−3) = 5; f (−1) = −1;lım

x→−1−f (x) = 2− (−1) = 3;

lımx→1−

f (x) = 1;

f (1) = (1− 1)2 = 0.

para x < −1 como la semirrecta que tienependiente −1 y se acerca por izquierda alpunto (−3, 5)

para −1 ≤ x < 1 es el segmento de rectacon pendiente 1, inicia en el punto (−1,−1)y se acerca por izquierda al punto (1, 1).

para x ≥ 1 es el parte derecha de la parabo-la (x− 1)2.

La gráfica quedaría:

x

y

0 1

1 y = f(x)

b

Es claro que el límite no existe en los puntos x = −1 y x = 1 dado que en dichos puntos el límitepor derecha es diferente al límite por izquierda.


x→3+f (x) = 4, lım

x→3−f (x) = 2, lım

x→−2f (x) = 3, f (3) = 3, f (−2) = 1.

Solución . Hay varías opciones para una gráfica con estas características, por ejemplo:

Ejemplo A.

x

y

0 1

1 y = f(x)b

bbc

Ejemplo B.

x

y

0 1

1 y = f(x)b

bbc

bc

bc

c) Evalúe el límite, si existe. lımh→0

1

h

(

1√1 + h

− 1

)

.

Solución .

lımh→0

1

h

(

1√1 + h

− 1

)

= lımh→0

1

h

(

1−√1 + h√

1 + h

)

= lımh→0

1−√1 + h

h√1 + h

· 1 +√1 + h

1 +√1 + h

(

dado que tiene la forma0

0

)

= lımh→0

1− (1 + h)

h√1 + h

(

1 +√1 + h

)

= lımh→0

−h

h√1 + h

(

1 +√1 + h

)

= lımh→0

−1√1 + h

(

1 +√1 + h

) =−1√

1 + 0(

1 +√1 + 0

) =−1

2.

4. Se sabe que en condiciones ideales cierta población de bacterias se duplica cada hora. Suponga que alprincipio hay 500 bacterias.



Solución . Observe que

P (0) = 500

P (1) = 500 · 2 = 1000

P (2) = 500 · 22 = 2000

P (3) = 500 · 23 = 4000

P (4) = 500 · 24 = 8000

En general, se tiene que una expresión para la población en cualquier tiempo t es

P (t) = 500 · 2t.

Ahora, para encontra el tiempo necesario para alcanzar 80000 debemos resolver la siguienteecuación

80000 = 500 · 2t =⇒ 2t =80000

500=⇒ 2t =

80000

500= 160 =⇒ t = log2 160 =

ln 160

ln 2≈ 7,3219

Es decir que el tiempo necesario para que la población se 80000, es de apróximadamente 7. 321 9horas.


Universidad

Industrial de

Santander



Noviembre 11 de 2010

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :


1. Los biólogos han notado que la cantidad de chirridos que emiten los grillos de cierta especie está rela-cionada con la temperatura y la correspondencia parece casi lineal. Un grillo produce 113 chirridos porminuto a 70◦F y 173 chirridos por minuto a 80◦F.

a) Encuentre una ecuación lineal que modele la temperatura como una función del número de chirridospor minuto N .

b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica? ¿Qué representa?c) Si los grillos están chirreando a 150 chirridos por minuto, estime la temperatura.

2. Se da la gráfica de f . Úselapara trazar la gráfica de las fun-ciones:

a) y = 2− f(x− 3).

b) y =1

2f(x)− 1

1

2

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3

f

y

x

3. Cuando se apaga el flash de una cámara, las baterías empiezan de inmediato a recargar el capacitordel flash, el cual almacena carga eléctrica dada por

Q(t) = Q0

(

1− e−t/a)

.

(La capacidad máxima de carga es Q0 y t se mide en segundos).

a) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado.b) ¿Cuánto tarda en cargar el capacitor hasta 90 % de su capacidad si a = 2?


a) Si f y g son funciones pares, entonces f + g es una función par.b) Si f y g son funciones impares, entonces fg es una función impar.

c) Si g(x) = 3 + x+ ex entonces g−1(4) = 0.d ) Si f es una función par y g es una función impar, entonces no se puede afirmar que fg es una

función impar.e) Si g es una función par y h = f ◦ g, entonces h es una función par.


Solución del Primer Examen de Cálculo I – SS2010

1. a) Como lo sugiere el problema, denotemos con N el número de chirridos por minuto y con T latemperatura, entonces como se pide que T este en función de N , entonces de los datos dadosse tiene que T (113) = 70 y T (173) = 80, es decir que tenemos dos puntos de la recta (113, 70) y(173, 80), con estos puntos se encuentra la pendiente de la recta

m =80− 70

173 − 113=

10

60=

1

6.

Utilizando la pendiente y uno de los puntos se obtiene que

T − 70 =1

6(N − 113) =⇒ T (N) =

1

6(N + 307) .

b) Claramente la pendiente de la recta es 16 y representa el incremento de la temperatura con relación

al incremento en el número de chirridos (por cada 6 chirrido aumento 1◦F la temperatura).c) Ahora,

T (150) =1

6(150 + 307) =

457

6≈ 76. 167◦

2. a) f (x− 3): corre la gráfica de f (x) tres unidades hacia la derecha; −f (x− 3): refleja la gráficaanterior con respecto al eje x; 2 − f (x− 3): suma dos unidades hacia arriba a la gráfica obtenidaen el paso anterior.(Por claridad hago una gráfica por paso)

1

2

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11−1−2−3

f(x− 3)

y

x

1

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11−1−2−3

−f(x− 3)

y

x

1

2

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11−1−2−3

2− f(x − 3)

y

x


b) 12f (x): contrae a la mitad verticalmente; 1

2f (x)−1: corre una unidad hacia abajo la gráfica anterior.

1

2

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3

1

2f(x)

y

x

1

2

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3

1

2f(x)− 1

y

x

3. La inversa de la función se puede encontrar de la siguiente forma

Q(t) = Q0

(

1− e−t/a)

=⇒ Q

Q0= 1− e−t/a

=⇒ e−t/a = 1− Q

Q0

=⇒ − t

a= ln

(

1− Q

Q0

)

=⇒ t = −a ln

(

1− Q

Q0

)

a) La función inversa es t (Q) = −a ln(

1− QQ0

)

, esta expresión representa el tiempo en función de lacarga.

b) Ahora, si a = 2 y se quiere que Q sea igual al 90 % de la carga máxima Q0, entonces Q = 90100Q0,

luego el tiempo será

t = −2 ln

(

1−910Q0

Q0

)

= −2 ln

(

1− 9

10

)

= −2 ln

(

1

10

)

= 2 ln 10 ≈ 4,6052 segundos.


a) Si f y g son funciones pares, entonces f + g es una función par.Verdadera . Se debe mostrar que (f + g) (x) = (f + g) (−x) .En efecto

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

= f (−x) + g (−x)

= (f + g) (−x) .


b) Si f y g son funciones impares, entonces fg es una función impar.Falso . Por ejemplo, considere las dos funciones impares como f (x) = x y g (x) = x3, claramente(fg) (x) = x4 que es par.

c) Si g(x) = 3 + x+ ex entonces g−1(4) = 0.Verdadero . Si g−1 (4) = 0, entonces g (0) = 4, veamos si eso es así:

g (0) = 3 + (0) + e(0) = 3 + 1 = 4.

d ) Si f es una función par y g es una función impar, entonces no se puede afirmar que fg es unafunción impar.Falso , ya que si f es par y g es impar, entonces fg es impar. Para esto se debe mostrar que(fg) (x) = − (fg) (−x). En efecto:

(fg) (x) = f (x) · g (x)= f (−x) · [−g (−x)]

= −f (−x) · [g (−x)]

= − (fg) (−x) .

e) Si g es una función par y h = f ◦ g, entonces h es una función par.Verdadero . Si g es una función par entonces g (x) = g (−x). Ahora sin importar quien sea f , sedebe mostrar que h es para, es decir, que h (x) = h (−x). En efecto:

h (x) = f ◦ g (x)= f (g (x))

= f (g (−x))

= f ◦ g (−x)

= h (−x) .


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Industrial de

Santander



Noviembre 13 de 2010Prof. Doris González

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.No se permite el préstamo de borradores, calculadoras, lápices, etc.El profesor no responderá preguntas, porque parte de la evaluación es la comprensión de los enunciados.No se permite el uso de teléfonos celulares durante el examen.El primer punto tiene un valor de 10 puntos, el segundo 10 puntos, el tercero 10 puntos y el cuarto 20 puntos.

1. Encuentre f ′ (2), utilizando la definición de derivada si f (x) =1

2x− 3.

2. Determine la ecuación de la recta tangente y la normal a la curva y = (1 + 2x)2 en el punto (1, 9) .

3. a) Si g (x) =x

ex, halle g(n) (x) .

b) Considere f (2) = −3, g (2) = 4, f ′ (2) = −2 y g′ (2) = 7. Encuentre h′ (2) si

h (x) = 5f (x)− 4g (x) f (x) .

4. Encuentre la derivada(

dy

dx

)

de las siguientes expresiones:

a) y =[

x+(

x+ sen2 x)3]4

. b) x3 + y3 = 2x− 3y.

c) y =x2 − 5x+ 6√

4x2 − 1.

d ) xy = yx.

e) y =(

4x8 + 6x− 3x2)6

+ ln (x+ 1) .


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Industrial de

Santander


SupletorioPrimer examenCálculo I

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :


1. Un barco se mueve con una rapidez de 30 Km/h paralelo al borde recto de la playa. El barco está a 6Km de la playa y pasa por un faro al medio día.

a) Exprese la distancia s entre el faro y el barco como una función de d, la distancia que el barcorecorre desde el medio día; es decir, hallar f de modo que s = f(d).

b) Exprese a d como una función de t, el tiempo transcurrido desde el medio día; es decir, hallar g detal manera que d = g(t).

c) Hallar f ◦ g. ¿Qué representa esta función?

2. a) Halle la expresión para la función cuadrática cuya gráfica se muestra en la Figura A.b) (i) Si desplaza una curva hacia la izquierda, ¿qué pasa con su reflejo respecto a la línea y = x? En

vista de este principio geométrico, encuentre una expresión para la inversa de g(x) = f(x+ c)donde f es una función uno a uno.

(ii) Encuentre una expresión para la inversa de h(x) = f(c · x), donde c 6= 0.

y

x0 1

1(0, 1)

(−2, 2)

(1,−2.5)

Figura A. Figura B.

3. Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Si el perímetro dela ventana es de 30 pies, exprese el área A de ella como función del ancho de la misma. (Ver Figura B).

4. a) Demuestre que la función f(x) = ln(x+√x2 + 1) es una función impar.

b) Encuentre la función inversa de f .


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Industrial de

Santander


Primer examen — SSCálculo I

Septiembre de 2011

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :


1. El costo mensual de conducir un automóvil depende del número de kilómetros que se recorren. Manuelencontró que en el mes de julio recorrer 800 kilómetros le costo 160 000 pesos y en el mes de agosto lecostó 135 000 pesos recorrer 600 kilómetros.

a) Exprese el costo mensual como función de la distancia recorrida, suponiendo que la correspondenciaes lineal. Trace la gráfica correspondiente.

b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué representa?c) ¿Cuál es la intersección y de la gráfica y que representa?

2. Se da la gráfica de f . Úsela para trazar la gráfica delas funciones:

a) y = f(x

2

)

− 1.

b) y = f−1(x− 2).

y

x0 1

1f(x)

3. El crecimiento de una colonia de abejas en función del tiempo t, en días, está determinado por laecuación

P (t) =150 000

1 + 49e−t/10.

a) ¿Cuántas abejas había inicialmente?b) Encuentre la inversa de la función P (t) y explique su significado.c) ¿En cuánto tiempo habrá una colonia de 100 000 abejas?

4. Evalúe cada uno de los siguientes límites, sí existen.

a) lımx→−2

2− |x|2 + x

. b) lımx→1

(

1

x− 1+

1

x2 − 3x+ 2

)


Universidad

Industrial de

Santander




Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :


1. Encuentre el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:

a) f (x) =x2 + 1

3x+ 2.

b) g (x) =√25− x2.

c) h (x) = ln (2x− 3) .

d ) F (x) =

5, si − 3 < x ≤ 2,

cos x, si 3 < x < 5,

2x+ 1, si 7 < x ≤ 12.

2. En la teoría de la relatividad, la masa de una partícula con rapidez v es

m = f (v) =m0

√

1− v2

c2

donde m0 es la masa en reposo de la partícula y c es a rapidez de la luz en el vacío. Encuentre la funcióninversa de f y explique su significado.

3. Un cultivo de bacterias inicia con 500 bacterias y duplica su tamaño cada media hora.

a) ¿Cuántas bacterias existen después de 3 horas?b) ¿Cuántas bacterias existen después de t horas?c) ¿Cuántas bacterias existen después de 40 minutos?d ) Estime el tiempo para que la población alcance 100000 bacterias.


a) Si f es una función, entonces f (s+ t) = f (s) + f (t) .

b) Si f y g son funciones, entonces (g ◦ f) (x) = (f ◦ g) (x) .


cos−1 x.

d ) Si f es una función uno a uno, entonces f−1 (x) =1

f (x).



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Industrial de

Santander




Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :



a) f (x) =x2 + 1

3x+ 2.

b) g (x) =√25− x2.

c) h (x) = ln (2x− 3) .

d ) F (x) =

5, si − 3 < x ≤ 2,

cos x, si 3 < x < 5,

2x+ 1, si 7 < x ≤ 12.


m = f (v) =m0

√

1− v2

c2

donde m0 es la masa en reposo de la partícula y c es a rapidez de la luz en el vacío. Encuentre la funcióninversa de f y explique su significado.

3. Un cultivo de bacterias inicia con 500 bacterias y duplica su tamaño cada media hora.

a) ¿Cuántas bacterias existen después de 3 horas?b) ¿Cuántas bacterias existen después de t horas?c) ¿Cuántas bacterias existen después de 40 minutos?d ) Estime el tiempo para que la población alcance 100000 bacterias.





cos−1 x.

d ) Si f es una función uno a uno, entonces f−1 (x) =1

f (x).



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Industrial de

Santander


Septiembre de 2011Supletorio 1 er examenCálculo I

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :


1. a) Encuentre el dominio de las siguientes funciones:

(i) f (x) =x2 + 1

3x+ 2. (ii) g (x) =

√25− x2

ln (2x− 3).

b) Evalúe el límite, si existe.

(i) lımx→1

(

1

x− 1+

1

x2 − 3x+ 2

)

(ii) lımh→0

(3 + h)−1 − 3−1

h


m = f (v) =m0

√

1− v2

c2

donde m0 es la masa en reposo de la partícula y c es a rapidez de la luz en el vacío. Encuentre la funcióninversa de f , evalúe lım

m→m+0

f−1(m) y explique el significado de la función inversa y del límite encontrado.

3. Un cultivo de bacterias inicia con 1000 bacterias y duplica su tamaño cada tres horas.

a) ¿Cuántas bacterias existen después de t horas?b) Estime el tiempo para que la población alcance 100000 bacterias.


a) Si f es una función creciente, entonces f (s+ t) = f (s) + f (t) .



cos−1 x.

d ) Si f es una función uno a uno, entonces f−1 (x+ h) = f−1 (x)− h.

e) f (x) =x3 − x7

x2 + 1es una función impar.


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Industrial de

Santander


Enero 22 de 2014Supletorio 1 ◦ examenCálculo I

Prof. Gilberto Arenas Díaz

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.No se permite el préstamo de borradores, calculadoras, lápices, etc.El profesor no responderá preguntas, porque parte de la evaluación es la comprensión de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.No se permite el uso de teléfonos celulares durante el examen.

1. El resultado al simplificar la expresión1− a− a2

a3 − 1− a+ 2

a2 + a+ 1+

a+ 1

a− 1, es

2. Dibuje la región del plano xy. {(x, y) : |x| ≤ 2 y (x− 1)2 + (y + 1)2 < 16}.

3. Determine el dominio de la función f(x) =x2 − 8x+ 15

x− 2.

4. Se va a construir un canal para el agua de lluvia a partir de una lámina de metal de 30 cm de anchodoblando hacia arriba una tercera parte de la lámina en cada lado a través de un ángulo θ. Encuentreuna expresión para el área frontal del canal en función del ángulo θ. (Ver Figura).

θ θ

10 cm 10 cm 10 cm

5. El costo mensual de conducir un automóvil depende del número de kilómetros que se recorren. Manuelencontró que en el mes de julio recorrer 800 kilómetros le costo 160 000 pesos y en el mes de agosto lecostó 135 000 pesos recorrer 600 kilómetros.

a) Exprese el costo mensual como función de la distancia recorrida, suponiendo que la correspondenciaes lineal. Trace la gráfica correspondiente.


6. A partir de la gráfica de la función coseno, grafique detalladamente f(x) =∣

∣

∣2 cos

(

x− π

2

)

+ 1∣

∣

∣.


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Primer examen — SSCálculo I

Marzo 18 de 2011

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :


1. Un barco se mueve con una rapidez de 30 Km/h paralelo al borde recto de la playa. El barco está a 6Km de la playa y pasa frente a un faro al medio día.

a) Exprese la distancia s entre el faro y el barco como una función de d, la distancia que el barcorecorre desde el medio día; es decir, hallar f de modo que s = f(d).

b) Exprese a d como una función de t, el tiempo transcurrido desde el medio día; es decir, hallar g detal manera que d = g(t).

c) Hallar f ◦ g. ¿Qué representa esta función?

2. Resuelva para x

a) 2 ln(x) = 1. b) e2x+3 − 7 = 0.

3. a) Determine el dominio y el recorrido de la función

g(x) = sen−1(3x+ 1).

b) Encuentre una fórmula para la inversa de la función

f(x) =4x− 1

2x+ 3.

c) Determine las asíntotas verticales de la función

y =x

3x− 2x2.

4. Evalúe cada uno de los siguientes límites, sí existen.

a) lımx→−2

2− |x|2 + x

. b) lımh→0

(3 + h)−1 − 3−1

h


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Industrial de

Santander



Febrero de 2013Prof. Doris González

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :



a) f (x) =x2 + 1

3x+ 2.

b) g (x) =√25− x2.

c) h (x) = ln (2x− 3) .

d ) F (x) =

5, si − 3 < x ≤ 2,

cos x, si 3 < x < 5,

2x+ 1, si 7 < x ≤ 12.

2. Se da la gráfica de f . Úselapara trazar la gráfica de las fun-ciones:

a) y = 2− f(x− 3).

b) y =1

2(f(x)− 1)

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3

f

y

x


m = f (v) =m0

√

1− v2

c2

donde m0 es la masa en reposo de la partícula y c es la rapidez de la luz en el vacío. Encuentre lafunción inversa de f y explique su significado.





cos−1 x.

d ) f (x) = x3 − x7 es una función par.


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Industrial de

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Primer ExamenCálculo I

20 de diciembre de 2013Prof. Gilberto Arenas

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :El examen tiene una duración de 100 minutos.

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones claras y precisas.

Todos los puntos tienen el mismo valor.

Durante el examen NO les está permitido:

• El uso de libros y apuntes, ni el préstamo de implementos tales como lápices, bolígrafos, borradores, etc.

• Realizar preguntas acerca de las respuestas del examen, porque parte de la evaluación es la comprensión de los enun-ciados.

• El uso de computadores, teléfonos celulares o cualquier otro dispositivo electrónico; el uso de cualquiera de estoselementos o su presencia en la mesa de trabajo será catalogado como fraude, y acarreará la anulación del examen.

1.a) Sobre conceptos básicos:

i) Enuncie la fórmula del producto (a+ b)3.

ii) Escriba una ecuación de la circunferencia con centro en (h, k) y radio r.

iii) Simplifique la expresión1

x− 1− 2

x2 − 1.

1.b) Determine si la proposición es verdadera o falsa. Si es verdadera, explíque por qué. Si es falsa, explíquepor qué o dé un ejemplo que refute la proposición.

i) La función f (x) = ln(

x+√x2 + 1

)

es impar.

ii) La función g (x) = ax es una función creciente para todo a ∈ R+.

iii) La imagen de la función h (x) =√9− x2 es el conjunto [−3, 3].

2. a) Determine una función que describa la distancia del punto (1, 0) a cualquier punto de la parábolay = (x+ 1)2.

b) Exprese el área de un triángulo equilátero como función de la longitud de uno de los lados.

3. a) Encuentre el dominio de la función

f (x) =x2 + 1

ln (2 |x+ 1| − |x− 1|+ 1).

¿Existen valores de x para los cuales f (x) = 0?

b) Partiendo de la gráfica de y = senx con x ∈ [0, 2π], y utilizando transformaciones, trace la gráficade y = |3 sen(x+ π)− 1|

4. Un pequeño fabricante de electrodomésticos encuentra que le cuesta por semana 120 millones de pesosproducir 1500 hornos para tostar y 150 millones de pesos producir 2000 hornos para tostar.

a) Exprese el costo como una función del número de hornos para tostar que se producen, suponiendoque la relación es lineal. Trace la gráfica correspondiente.



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Industrial de

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Primer ExamenCálculo I

20 de diciembre de 2013Prof. Doris González

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :El examen tiene una duración de 100 minutos.

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones claras y precisas.


Durante el examen NO les está permitido:

• El uso de libros y apuntes, ni el préstamo de implementos tales como lápices, bolígrafos, borradores, etc.

• Realizar preguntas acerca de las respuestas del examen, porque parte de la evaluación es la comprensión de los enun-ciados.

• El uso de calculadoras, computadores, teléfonos celulares o cualquier otro dispositivo electrónico; el uso de cualquierade estos elementos o su presencia en la mesa de trabajo será catalogado como fraude, y acarreará la anulación delexamen.

1. Encuentre la inversa de h(x) =x− 3

x+ 2.

2. Partiendo de la gráfica de y = |x| con x ∈ [−2, 3], y utilizando transformaciones; trace la gráfica de

y =∣

∣

∣2 |x− 1| − 3∣

∣

∣ .

3. Determine si la proposición dada es verdadera o falsa. Justifique su elección. Respuesta sin justificaciónno tiene valor.

a) f(x) = ln(2 + lnx) no es inyectiva.

b) El dominio de f(x) =√

−(x2 + 4x+ 3) es [−3, 1] .

c) El producto de dos funciones impares es impar.

d ) Si f(x) = 3x+1

x+ 1y g(x) = x2, entonces f(g(x)) = 3x2 +

1

(x+ 1)2.

4. El área de un poster tiene que ser de 180pulg2,los márgenes laterales e inferior deben medir 1pulg y elmargen superior debe ser de 2pulg. Exprese el área impresa en función de uno de sus lados.


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Segundo examenCálculo I

3 de diciembre de 2010

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :



a) (24, p.107) lımx→−1

x2 + 2x+ 1

x4 − 1.

b) (17, p.167) lımx→∞

(√x2 + 4x+ 1− x

)

.

2. a) (34, p.168) Aplique el teorema del valor intermedio para demostrar que existe una raíz de laecuación e−x2

= x, en el intervalo (0, 1).

b) (57, p.142) Determine lımx→∞

f(x) si, para toda x > 1,

10ex − 21

2ex< f(x) <

5√x√

x− 1.

3. a) (41, p.129) ¿Para qué valor de la constante c la función f es continua sobre (−∞,∞)?

f(x) =

{

cx2 + 2x si x < 2,x3 − cx si x ≥ 2.

b) (56, p.108) Si lımx→0

f(x)

x2= 5, halle lım

x→0f(x).

4. (53, p.165) Dada la función f(x) = x|x|, use la definición de derivada para encontrar una fórmula paraf ′ y determine para que valores de x la función f es diferenciable.


Solución del Segundo Examen de Cálculo I – SS2010

1. a) lımx→−1

x2 + 2x+ 1

x4 − 1= lım

x→−1

(x+ 1)2

(x− 1)(x+ 1)(x2 + 1)

= lımx→−1

(x+ 1)

(x− 1)(x2 + 1)

=((−1) + 1)

((−1)− 1)((−1)2 + 1)=

0

−4= 0

b) lımx→∞

(√x2 + 4x+ 1− x) = lım

x→∞(√x2 + 4x+ 1− x)

√x2 + 4x+ 1 + x√x2 + 4x+ 1 + x

= lımx→∞

(x2 + 4x+ 1)− x2√x2 + 4x+ 1 + x

= lımx→∞

4x+ 1√x2 + 4x+ 1 + x

= lımx→∞

4x+ 1

x√x2 + 4x+ 1 + x

x

= lımx→∞

4 +1

x√

x2

x2+

4x

x2+

1

x2+

x

x

=

lımx→∞

(

4 +1

x

)

lımx→∞

(

√

1 +4

x+

1

x2+ 1

) =4 + 0√

1 + 0 + 0 + 1=

4

2= 2

2. a) Considere la función f (x) = e−x2 − x, la cual es continua para todo x ∈ R. Obsérvese que

f (0) = e0 − 0 = 1 > 0 y f (1) = e−1 − 1 ≈ −0,63212 < 0.

Es decir, que la función f (x) satisface las hipótesis del TVI en el intervalo [0, 1]. En consecuenciaexiste un c ∈ (0, 1) tal que f (c) está entre f (0) y f (1), como f (0) > 0 y f (1) < 0, entonces f (c)

puede ser igual a cero. Es decir, se ha mostrado que existe c ∈ (0, 1) tal que f (c) = e−c2 − c = 0,

es decir, existe c ∈ (0, 1) tal que e−c2 = c.b) Obsérvese que

10ex − 21

2ex< f(x) <

5√x√

x− 1.

Por otra parte,

lımx→∞

10ex − 21

2ex= lım

x→∞

(

10ex

2ex− 21

2ex

)

= lımx→∞

(

5− 21

2ex

)

= 5.

y

lımx→∞

5√x√

x− 1= lım

x→∞

5√x√x√

x− 1√x

= lımx→∞

5

√

x

x√

x− 1

x

= lımx→∞

5√1

√

1− 1

x

= 5.

Luego por el teorema de compresión se tiene que lımx→∞

f(x) = 5.


3. a) Para que la función sea continua se necesita que

lımx→2−

cx2 + 2x = lımx→2+

x3 − cx = f(2) =⇒ 4c+ 4 = 8− 2c =⇒ 6c = 4 =⇒ c =2

3.

b) lımx→0

f(x) = lımx→0

f(x)x2

x2= lım

x→0

(

f(x)

x2

)

· x2 = lımx→0

f(x)

x2· lımx→0

x2 = 5 · 0 = 0.

4. Observe que f (x) = x |x| ={

x2, si x ≥ 0,

−x2, si x < 0.Ahora, si x > 0, entonces

f ′ (x) = lımh→0

f (x+ h)− f (x)

h= lım

h→0

(x+ h)2 − x2

h

= lımh→0

(

x2 + 2xh+ h2)

− x2

h= lım

h→0

2xh+ h2

h= lım

h→02x+ h = 2x.

Y si x < 0 se tiene que

f ′ (x) = lımh→0

f (x+ h)− f (x)

h= lım

h→0

− (x+ h)2 −(

−x2)

h

= lımh→0

−(

x2 + 2xh+ h2)

+ x2

h= lım

h→0

−2xh− h2

h= lım

h→0−2x− h = −2x.

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2−1−2

y

x

Gráfica de f(x) = x|x|.

Por otra parte

f ′ (0) = lımh→0

f (0 + h)− f (0)

h= lım

h→0

f (h)− f (0)

h

Para calcular este límite necesitamos evaluarlo porderecha y por izquierda

lımh→0+

f (h)− f (0)

h= lım

h→0+

h2 − 0

h= lım

h→0+h = 0.

lımh→0−

f (h)− f (0)

h= lım

h→0−

−h2 − 0

h= lım

h→0−(−h) = 0.

Luego f ′ (0) = 0.

Por tanto

f ′ (x) =

{

2x, si x ≥ 0,

−2x, si x < 0,es decir f ′ (x) = 2 |x| .

1

2

3

4

5

6

7

−1

1 2 3−1−2−3

y

x

Gráfica de f ′(x) = 2|x|.

Por la fórmula obtenida para f ′ (x) se observa que es continua para toda x ∈ R, de donde se sigue quela función f (x) es diferenciable para toda x ∈ R.


Universidad

Industrial de

Santander


Segundo examen — SSCálculo I

Mayo 4 de 2011

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada página de su hoja de examen.No se permite el préstamo de borradores, calculadoras, lápices, etc.El profesor no responderá preguntas, porque parte de la evaluación es la comprensión de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.No se permite el uso de teléfonos celulares durante el examen.

1. El movimiento de un resorte que se somete a una fuerza de fricción o una fuerza amortiguadora (comoun amortiguador en un automóvil) se modela a menudo mediante el producto de una función exponencialy una función seno o coseno. Suponga que la ecuación del movimiento de un punto sobre tal resorte es

s (t) = 2e−1,5t sen 2πt


a) Halle la velocidad después que transcurren t segundos.b) ¿Cuáles son la posición inicial y la velocidad inicial de dicho punto del resorte?

2. a) En la Figura A se muestra la gráfica de la función f . Enuncie, con razones, los números en que fno es diferenciable.

b) Considere la función

f (x) =

x2 − 1

x+ 1, x < 0, x 6= −1,

−2, x = −1,

senx

x, x ≥ 0.

Analice la continuidad de la función f (x) cuando x = 0 y x = −1.

Figura A.

x

y

Figura B.

3. a) Determine una ecuación de la tangente a la curva y = ln(

xex2)

, en el punto (1, 1).

b) La ecuación x2 −xy+ y2 = 3 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyos ejes no sonparalelos a los ejes de coordenadas (ver Figura B). Encuentre los puntos en que esta elipse cruzael eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos son paralelas.

4. a) Hallar una parábola con ecuación y = ax2 + by + c, que tiene pendiente 4 en x = 1, pendiente −8en x = −1 y pasa a través del punto (2, 15) .

b) Halle la derivada de la función y = cos√

sen (tanπx).


Solución del segundo examen de Cálculo I — Sede Socorro


s (t) = 2e−1,5t sen 2πt


a) Halle la velocidad después que transcurren t segundos.b) ¿Cuáles son la posición inicial y la velocidad inicial de dicho punto del resorte?

Solución .

v (t) =ds

dt=

d

dt

(

2e−1,5t sen 2πt)

= 2 (−1,5) e−1,5t sen 2πt+ 2 (2π) e−1,5t cos 2πt

= −3e−1,5t sen 2πt+ 4πe−1,5t cos 2πt

Posición inicial:s (0) = 2e−1,5(0) sen [2π (0)] = 2 ∗ 1 ∗ 0 = 0.

Velocidad inicial:

v (0) = −3e−1,5(0) sen [2π (0)] + 4πe−1,5(0) cos [2π (0)]

= −3 ∗ 1 ∗ 0 + 4π ∗ 1 ∗ 1 = 4π.

2. a) En la Figura A se muestra la gráfica de la función f . Enuncie, con razones, los números en que fno es diferenciable.Solución .x = −4: no es diferenciable dado que la función en dicho valor es discontinua.x = −1: no es diferenciable dado que la derivada por derecha es distinta a la derivada por izquierda(en el punto (−1, f (−1)) hay un pico).x = 2: no es diferenciable dado que en dicho valor hay una discontinuidad al infinito.x = 5: no es diferenciable dado que en el punto (5, f (5)) hay una pendiente vertical.

b) Considere la función

f (x) =

x2 − 1

x+ 1, x < 0, x 6= −1,

−2, x = −1,

senx

x, x ≥ 0.

Analice la continuidad de la función f (x) cuando x = 0 y x = −1.

Solución .

lımx→−1

f (x) = lımx→−1

x2 − 1

x+ 1= lım

x→−1

(x− 1) (x+ 1)

x+ 1= lım

x→−1(x− 1) = −2 = f (−1) ; luego la función

f (x) es continua en x = −1.

lımx→0+

f (x) = lımx→0+

senx

x= 1 y lım

x→0−f (x) = lım

x→0−

x2 − 1

x+ 1= −1; por tanto el lım

x→0f (x) no existe y

en consecuencia f (x) no es continua en x = 0.


3. a) Determine una ecuación de la tangente a la curva y = ln(

xex2)

, en el punto (1, 1).

Solución .La derivada se obtiene como sigue:

dy

dx=

1

xex2

(

(1) ex2

+ x(

ex2

2x))

=ex

2

+ 2x2ex2

xex2=

1 + 2x2

x.

La pendiente de la recta tangente es:

dy

dx

∣

∣

∣

∣

(1,1)

=1 + 2x2

x

∣

∣

∣

∣

(1,1)

=1 + 2 (1)2

(1)= 3.

La ecuación de la recta tangente es:

y − 1 = 3 (x− 1) =⇒ y = 3x− 2.

b) La ecuación x2 −xy+ y2 = 3 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyos ejes no sonparalelos a los ejes de coordenadas (ver Figura B). Encuentre los puntos en que esta elipse cruzael eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos son paralelas.Solución .Para encontrar los puntos debemos hacer que y = 0, implicando que x2−x (0)+(0)2 = 3, entoncesx2 = 3, y por tanto x =

√3 ó x = −

√3. Luego los puntos donde la elipse cruza el eje x son

(√3, 0)

y(

−√3, 0)

.Por otra parte, derivando implícitamente tenemos que

2x−(

y + xdy

dx

)

+ 2ydy

dx= 0 =⇒ (2x− y) + (2y − x)

dy

dx= 0 =⇒ dy

dx=

y − 2x

2y − x.

Luego la pendiente en cada punto es:

dy

dx

∣

∣

∣

∣

(√3,0)

=y − 2x

2y − x

∣

∣

∣

∣

(√3,0)

=(0)− 2

(√3)

2 (0)−√3

=−2(√

3)

−√3

= 2

ydy

dx

∣

∣

∣

∣

(−√3,0)

=y − 2x

2y − x

∣

∣

∣

∣

(−√3,0)

=(0)− 2

(

−√3)

2 (0)−(

−√3) =

2(√

3)

√3

= 2.

Por tanto la pendiente de las rectas tangentes en los dos casos es 2, y en consecuencia sonparalelas.

4. a) Hallar una parábola con ecuación y = ax2 + by + c, que tiene pendiente 4 en x = 1, pendiente −8en x = −1 y pasa a través del punto (2, 15) .

Solución .La derivada de la parábola es y′ = 2ax+ b.Ahora:y′ (1) = 4 = 2a (1) + b =⇒ 2a+ b = 4.

y′ (−1) = −8 = 2a (−1) + b =⇒ −2a+ b = −8.

y (2) = 15 = a (2)2 + b (2) + c =⇒ 4a+ 2b+ c = 15.


En consecuencia se debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales{

2a+ b = 4 (1)−2a+ b = −8 (2)4a+ 2b+ c = 15 (3)

Observe que la ecuación (3) es equivalente a 2 (2a+ b) + c = 15, pero de la (1) se obtiene que2 (4) + c = 15, y en consecuencia c = 15− 8 = 7.

{

2a+ b = 4 (1)−2a+ b = −8 (2)

=⇒ 2b = −4 =⇒ b = −2.

Reemplazando en (1) se obtiene que 2a+ (−2) = 4 =⇒ 2a = 6 =⇒ a = 3.Por tanto la ecuación de la parábola es

y = 3x2 − 2x+ 7.

b) Halle la derivada de la función y = cos√

sen (tanπx).

Solución .

dy

dx= − sen

√

sen (tan πx) · 1

2√

sen (tan πx)· cos (tanπx) · sec2 (πx) · π

= −π · sen√

sen (tanπx) · cos (tan πx) · sec2 πx2√

sen (tan πx).


Universidad

Industrial de

Santander



29 de julio de 2011

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas .

Resuelva cuatro de los siguientes cinco puntos, uno en cada página de su hoja de examen.

No se permite el préstamo de borradores, calculadoras, lápices, etc.

El profesor no responderá preguntas, porque parte de la evaluación es la comprensión de los enunciados.


No se permite el uso de teléfonos celulares durante el examen.


g (x) =

√−x si x < 0,

4− x2 si 0 ≤ x < 2,

(x− 4)2 si x > 2.

a) Evalúe cada límite, si existe.

(i) lımx→0+

g(x). (ii) lımx→0−

g(x). (iii) lımx→0

g(x).

(iv) lımx→2+

g(x). (v) lımx→2−

g(x). (vi) lımx→2

g(x).

b) ¿Dónde es discontinua g?c) Trace la gráfica de g.


s (t) = 3e−t/2 cos(πt),

donde s se mide en centímetros y t en segundos.¿Cuáles son la posición y la velocidad de dicho punto del resorte pasados cinco segundos?

3. La ecuación x2 + xy + y2 = 5 representa una “elipse girada”;es decir, una elipse cuyos ejes no son paralelos a los ejes decoordenadas, como se muestra en la gráfica. Encuentre lospuntos en que esta elipse cruza el eje x y demuestre que lasrectas tangentes en estos puntos son paralelas. x

y

4. a) Si h (x) =√

4 + 3 [f (x)]4, donde f (1) = 2 y f ′ (1) = 3, hallar h′ (1).

b) Halle la derivada de la función f(x) =(

xcos2 x

)

senx.

5. a) (i) Pruebe que la ecuación lnx = 3− 2x tiene cuando menos una raíz real.(ii) Halle un intervalo de longitud 0,01 que contenga una raíz de dicha ecuación.

b) Encuentre una ecuación para la tangente a la curva y = ex que pasa a través del origen.


Solución del segundo examen de Cálculo I


g (x) =

√−x si x < 0,

4− x2 si 0 ≤ x < 2,

(x− 4)2 si x > 2.

a) Evalúe cada límite, si existe.Solución .(i) lım

x→0+g(x) = lım

x→0+4− x2 = 4− (0)2 = 4.

(ii) lımx→0−

g(x) = lımx→0−

√−x =

√−0 = 0.

(iii) lımx→0

g(x) no existes porque los límites laterales son distintos.

(iv) lımx→2+

g(x) = lımx→2+

(x− 4)2 = (2− 4)2 = 4.

(v) lımx→2−

g(x) = lımx→2−

4− x2 = lımx→2−

4− (2)2 = 0.

(vi) lımx→2

g(x) no existes porque los límites laterales son distintos.

b) ¿Dónde es discontinua g?Solución . Cada una de las partes de la función g (x) es continua en el intervalo donde se define,se tiene problemas sólo en x = 0 y x = 2, en dicho puntos los límites no existen, y además en x = 2las función no está definida, por tanto en dichos puntos la función es discontinua.

c) Trace la gráfica de g.

x

y


s (t) = 3e−t/2 cos(πt),

donde s se mide en centímetros y t en segundos.¿Cuáles son la posición y la velocidad de dicho punto del resorte pasados cinco segundos?Solución . La posición a los cinco segundos es

s (5) = 3e−5/2 cos(5π) = −3e−5/2 ≈ −0,246 25 (cm).

La velocidad es la derivada del desplazamiento, así aplicando derivada del producto se tiene que

v (t) = s′ (t) = −3

2e−t/2 cos(πt)− 3πe−t/2 sen(πt).

Luego la velocidad a los cinco segundos es

v (5) = −3

2e−5/2 cos(5π)− 3πe−5/2 sen(5π) = −3

2e−5/2(−1)− 0 ≈ 0,123 13 (cm/s2).


3. La ecuación x2 + xy + y2 = 5 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyos ejes no sonparalelos a los ejes de coordenadas, como se muestra en la gráfica. Encuentre los puntos en que estaelipse cruza el eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos son paralelas.Solución . Los puntos donde la elipse cruza el eje x son aquellos donde y = 0.

x2 + x · (0) + (0)2 = 5 =⇒ x2 = 5 =⇒ x =√5 ó x = −

√5.

Luego los puntos de corte son P1

(√5, 0)

y P2

(

−√5, 0)

.

Para que las rectas tangentes a la elipse en esos puntos sean paralelas se necesita que la pendientesean iguales.

La pendiente de la recta tangente es mT se encuentra por medio de la derivadady

dx.

Entonces tenemos:x2 + xy + y2 = 5,

derivando implícitamente se tiene

2x+

(

y + xdy

dx

)

+ 2ydy

dx= 0,

despejando ady

dxse obtiene

(x+ 2y)dy

dx= − (2x+ y) =⇒ dy

dx= −2x+ y

x+ 2y.

La pendientes en los puntos son:

mTP1=

dy

dx

∣

∣

∣

∣

P1

= − 2√5 + 0√

5 + 2 · 0= −2

y

mTP2=

dy

dx

∣

∣

∣

∣

P2

= − 2(

−√5)

+ 0(

−√5)

+ 2 · 0= −2.

Luego las pendientes en dichos puntos son iguales y por tanto las rectas son paralelas.

4. a) Si h (x) =√

4 + 3 [f (x)]4, donde f (1) = 2 y f ′ (1) = 3, hallar h′ (1).

Solución . Aplicando regla de la cadena se tiene que

h′ (x) =1

2

(

4 + 3 [f (x)]4)−1/2 (

12 [f (x)]3)

[

f ′ (x)]

.

Reemplazando en x = 1 se obtiene

h′ (1) =1

2

(

12 [f (1)]3)

[f ′ (1)]√

4 + 3 [f (1)]4=

6 (2)3 (3)√

4 + 3 (2)4=

9 (2)4

2√13

=72

13

√13 ≈ 19,969207.


b) Halle la derivada de la función f(x) =(

xcos2 x)

senx.

Solución . Esta función se puede escribir como f(x) = h (x) senx, donde h (x) = xcos2 x.

f ′ (x) = h′ (x) senx+ h (x) cos x

lnh (x) = cos2 x · lnx =⇒ h′ (x)h (x)

= 2 cos x (− senx) lnx+ cos2 x1

x

=⇒ h′ (x) = h (x)

[

cos2 x

x− 2 cos x sen x

]

= xcos2 x

[

cos2 x

x− 2 cos x senx

]

.

Por tanto

f ′ (x) = xcos2 x

[

cos2 x

x− 2 cos x senx

]

senx+ xcos2 x cos x

= xcos2 x

[(

cos2 x

x− 2 cos x senx

)

senx+ cos x

]

.

a) (i) Pruebe que la ecuación lnx = 3− 2x tiene cuando menos una raíz real.Solución . Considere la función f (x) = 3 − 2x − lnx, dado que lnx es continua para x > 0 y que3 − 2x es continua para todo x, se tiene que f (x) es continua para todo x > 0. Ahora, f (1) =3 − 2 (1) − ln (1) = 1 > 0 y f (2) = 3 − 2 (2) − ln (2) = −1 − ln 2 ≈ −1. 693 1 < 0, y en particularf (x) es continua en [1, 2], entonces f satisface las condiciones del teorema de valor intermedio,en consecuencia existe c ∈ (1, 2) tal que f (c) = 0, es decir, existe una raíz real c de la ecuaciónlnx = 3− 2x.(ii) Halle un intervalo de longitud 0,01 que contenga una raíz de dicha ecuación.Solución . Observe quef (1) = 3− 2 (1)− ln (1) = 1 > 0f (2) = 3− 2 (2)− ln (2) = −1− ln 2 ≈ −1. 693 1 < 0f (1,5) = 3− 2 (1,5) − ln (1,5) = − ln (1,5) ≈ −0,405 47 < 0f (1,3) = 3− 2 (1,3) − ln (1,3) = 0,137 64 > 0f (1,4) = 3− 2 (1,4) − ln (1,4) = −0,136 47 < 0

f (1,35) = 3− 2 (1,35)− ln (1,35) = −1. 045 9 × 10−4 < 0f (1,34) = 3− 2 (1,34)− ln (1,34) = 0,027 33 > 0Luego, el intervalo de longitud 0,01 que contiene la raíz de dicha ecuación es [1,34; 1,35] .

b) Encuentre una ecuación para la tangente a la curva y = ex que pasa a través del origen.Solución . Sea (a, b) el punto de la curva y = ex que pertenece a la tangente que pasa por el origen.La ecuación de la recta tangente a la curva y = ex que pasa por el origen es

y − 0 = m (x− 0) =⇒ y = mx. (∗)

Por otra parte, dado que (a, b) pertenece a la curva y = ex, entonces b = ea.La derivada de y (x) = ex es y′ (x) = ex, por tanto, y′ (a) = ea, y en consecuencia, la ecuación de larecta tangente en el punto (a, ea) es

y − ea = ea (x− a) =⇒ y = eax− aea + ea

pero por la ecuación (∗) se tiene que

ea − aea = 0 =⇒ ea (1− a) = 0 =⇒ a = 1.

Por tanto m = e1, y entonces la ecuación de la recta tangen a la curva y = ex que pasa por elorigen es

y = ex.


Universidad

Industrial de

Santander



17 de febrero de 2014Prof: Gilberto Arenas Díaz

Grupo

Nombre: Código:

1. Determine los valores de a y b que hagan la función

f(x) =

2x+ 1, si x ≤ 3

ax+ b, si 3 < x < 5

x2 + 2, si x ≥ 5

continua en (−∞,∞).

2. Trace la gráfica de una función f que cumpla las siguientes condiciones:f es continua en (−∞,−2), [−2, 1) , [1, 3] y (3,∞); lım

x→−4f(x) = 0; lım

x→−2−f(x) = ∞; lım

x→−2+f(x) = 0;

lımx→1−

f(x) = −∞; lımx→1+

f(x) = 2; lımx→3−

f(x) = 4; lımx→3+

f(x) = −1; lımx→5

f(x) = 0; lımx→0

f(x) = −3;.

3. Evalúe los siguientes límites, utilizando propiedades:

a) lımz→3

z2 − 9

z + 3

b) lımh→0

1

3 + h− 1

3h

c) lımt→∞

(√t+ 1−

√t)

d ) lımx→2

|x| − 1

|x| − x

4. Determine si la proposición dada es verdadera o falsa. Justifique su respuesta. Respuesta sin justifi-cación NO tiene valor.

a) La función g(x) =x

1− xes la función inversa de f(x) =

−x

1− x.

b) Si f(x) =x+ 2

x− 2y g(x) = 1

x , entonces (f ◦ g) (x) = 1x+ 2

x− 2

.

c) La ecuación 1 =√16− x2 tiene por lo menos una raíz real en el intevalo (0, 4) .

d ) Si 2x− 1 ≤ f(x) ≤ x2 para 0 < x < 3, entonces lımx→1

f(x) = 1.

5. La población de cierta especie en un ambiente limitado, con población inicial de 100 y que soporta una

capacidad de 1000, es P (t) =100000

100 + 900e−t. Calcule el tiempo en que la población llegue a 900.


Solución del segundo examen de Cálculo I (SS2013 – Grupos M12 34)

1. Determine los valores de a y b que hagan la función

f(x) =

{

2x+ 1, si x ≤ 3ax+ b, si 3 < x < 5x2 + 2, si x ≥ 5

continua en (−∞,∞).

Solución . Es claro que cada pedazo de la función es continua en el intervalo abierto correspondiente:2x+ 1 es continua en el intervalo (−∞, 3), x2 + 2 es continua en el intervalo (5,∞) y ax+ b es continuaen el intervalo (3, 5) para todo valor de a, b ∈ R. Ahora, para que la función sea continua en los puntosque faltan, es decir, en x = 3 y x = 5, necesitamos que

lımx→3−

f (x) = lımx→3+

f (x) y lımx→5−

f (x) = lımx→5+

f (x) ,

esto eslım

x→3−(2x+ 1) = lım

x→3+(ax+ b) y lım

x→5−(ax+ b) = lım

x→5+

(

x2 + 2)

,

esto implica que7 = 3a+ b y 5a+ b = 27.

Así las cosas, debemos resolver el sistema{

3a+ b = 7,5a+ b = 27.

Para resolver dicho sistema podemos utilizar cualquiera de los métodos que conocemos

3a+ b = 7, (−1)5a+ b = 27

2a = 20

}

=⇒ a = 10.

Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se tiene

3 · 10 + b = 7 =⇒ b = 7− 30 = −23 (o 5 · 10 + b = 27 =⇒ b = 27− 50 = −23).

Por lo tanto los valores que hacen continua en el intervalo (−∞,∞) a la función f (x) son a = 10 yb = −23.

2. Trace la gráfica de una función f que cumpla las siguientes condiciones:

a) f es continua en (−∞,−2), [−2, 1) , [1, 3] y (3,∞); lımx→−4

f(x) = 0; lımx→−2−

f(x) = ∞; lımx→−2+

f(x) = 0;

lımx→1−

f(x) = −∞; lımx→1+

f(x) = 2; lımx→3−

f(x) = 4; lımx→3+

f(x) = −1; lımx→5

f(x) = 0; lımx→0

f(x) = −3.

Solución . Como f (x) es continua en el intervalo (−∞,−2) y lımx→−4

f(x) = 0, entonces f (−4) = 0.

Como f (x) es continua en el intervalo [−2, 1), lımx→−2+

f(x) = 0 y lımx→0

f(x) = −3, entonces f (−2) = 0

y f (0) = −3.Como f (x) es continua en el intervalo [1, 3], lım

x→1+f(x) = 2 y lım

x→3−f(x) = 4, entonces f (1) = 2 y

f (3) = 4.Como f (x) es continua en el intervalo (3,∞) y lım

x→5f(x) = 0, entonces f (5) = 0.

Uniendo todas las condiciones anteriores tenemos que una posible gráfica de la función f (x) es lamostrada en la figura (la gráfica que cumple las condiciones no es única).


| | | | | | | | | | | | | |

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

b b

b

b

b

b

bcx

y

y = f(x)

3. Evalúe los siguientes límites, utilizando propiedades:

a) lımz→3

z2 − 9

z + 3.

Solución . Obsérvese que en este límite no se presenta ninguna indeterminación, es decir, el límitese puede resolver por sustitución directa (aunque se puede simplificar, no es necesario).

lımz→3

z2 − 9

z + 3=

32 − 9

3 + 3=

0

6= 0.

b) lımh→0

1

3 + h− 1

3h

.

Solución . Si se intenta resolver este límite por sustitución directa encontramos que se presentauna indeterminación, por lo cual hay que buscar como quitar dicha indeterminación.

lımh→0

1

3 + h− 1

3h

= lımh→0

3− (3 + h)

3 (3 + h)

h= lım

h→0

−h

3 (3 + h) h

= lımh→0

−1

3 (3 + h)= − 1

3 (3 + 0)= −1

9.

c) lımt→∞

(√t+ 1−

√t)

.

Solución . Obsérvese que en dicho límite se tiene la indeterminación ∞ − ∞. Para quitar dichaindeterminación se hace lo siguiente

lımt→∞

(√t+ 1−

√t)

= lımt→∞

(√t+ 1−

√t)

·(√

t+ 1 +√t)

(√t+ 1 +

√t)

= lımt→∞

(√t+ 1

)2 −(√

t)2

√t+ 1 +

√t

= lımt→∞

t+ 1− t√t+ 1 +

√t

= lımt→∞

1√t+ 1 +

√t= 0,


ya que√t+ 1+

√t → ∞ cuando t → ∞. Ahora si no ven tan claro el último paso hagan lo siguiente

lımt→∞

1√t+ 1 +

√t

= lımt→∞

1√t√

t+ 1 +√t√

t

=

lımt→∞

1√t

lımt→∞

(

√

t+ 1

t+

√

t

t

)

=

lımt→∞

1√t

lımt→∞

(

√

1 +1

t+ 1

) =0√

1 + 0 + 1= 0.

d ) lımx→2

|x| − 1

|x| − x.

Solución . Recuerdese que cuando x ≥ 0 entonces |x| = x. Ahora, cuando x → 2+ se tiene que|x|−1 → 1+ y |x|−x → 0; de forma análoga, cuando x → 2− se tiene que |x|−1 → 1− y |x|−x → 0.En los dos casos tenemos una constante sobre 0, por lo cual el límite no existe.

4. Determine si la proposición dada es verdadera o falsa. Justifique su respuesta. Respuesta sin justifi-cación NO tiene valor.

a) La función g(x) =x

1− xes la función inversa de f(x) =

−x

1− x.

(FALSO ). Puede hacerse de varias formas, una es ver que (g ◦ f) (x) 6= x, otra es ver que g−1 (x) 6= f (x).Veamos que (g ◦ f) (x) 6= x. En efecto,

(g ◦ f) (x) = g (f (x)) = g

( −x

1− x

)

=

( −x

1− x

)

1−( −x

1− x

)

=

−x

1− x(1− x) + x

1− x

=

−x

1− x1

1− x

= −x 6= x, (x 6= 1).

Veamos que g−1 (x) 6= f (x). En efecto, sea

y =x

1− x=⇒ y (1− x) = x =⇒ y − yx = x =⇒ y = x+ yx = x (1 + y) =⇒ x =

y

1 + y,

luego

g−1 (x) =x

1 + x6= −x

1− x= f (x) .

b) Si f(x) =x+ 2

x− 2y g(x) =

1

x, entonces (f ◦ g) (x) = 1

x+ 2

x− 2

.

(FALSO ). Obsérvese que

(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f

(

1

x

)

=

1

x+ 2

1

x− 2

=

1 + 2x

x1− 2x

x

=1 + 2x

1− 2x6= 1

x+ 2

x− 2

, (x 6= 0).

c) La ecuación 1 =√16− x2 tiene por lo menos una raíz real en el intevalo (0, 4) .

(VERDADERO). Sea f (x) =√16− x2. Es claro que f (x) es continua en el intervalo cerrado [0, 4]

y que f (0) = 4 y f (4) = 0. Por el TVI se tiene que para todo N entre f (0) = 4 y f (4) = 0, existeun c ∈ (0, 4) tal que f (c) = N . En este caso tomamos N = 1.


d ) Si 2x− 1 ≤ f(x) ≤ x2 para 0 < x < 3, entonces lımx→1

f(x) = 1.

(VERDADERO). El Teorema de Compresión dice que si g (x) ≤ f (x) ≤ h (x), para todo x ∈ I y

lımx→x0

g (x) = L = lımx→x0

h (x)

con x0 ∈ I, entonceslımx→x0

f (x) = L.

En este caso tenemos que 2x− 1 ≤ f(x) ≤ x2 para 0 < x < 3 y que

lımx→1

(2x− 1) = 1 = lımx→1

x2,

por lo tanto podemos concluir que lımx→1

f(x) = 1.

5. La población de cierta especie en un ambiente limitado, con población inicial de 100 y que soporta una

capacidad de 1000, es P (t) =100000

100 + 900e−t. Calcule el tiempo en que la población llegue a 900.

Solución . Encontremos la inversa de la función P (t).

P =100000

100 + 900e−t=⇒ P

(

100 + 900e−t)

= 100000

=⇒ 900Pe−t = 100000 − 100P

=⇒ e−t =100000 − 100P

900P

=⇒ −t = ln

(

100000 − 100P

900P

)

=⇒ t = − ln

(

100000 − 100P

900P

)

= ln

(

900P

100000 − 100P

)

.

Es decir t (P ) = ln

(

900P

100000 − 100P

)

. Luego

t (900) = ln

(

900 · 900100000 − 100 · 900

)

= ln

(

810000

100000 − 90000

)

= ln (81) = ln 34 = 4 ln 3 ≈ 4,394449155.

Luego el tiempo que la población necesita para llegar a 900 individuos es de 4,394449155 (unidades detiempo).


Universidad

Industrial de

Santander


Segundo examenCálculo I (Tema A)Junio de 2010G. Arenas & R. Martínez

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :



a) (26, p.107) lımt→0

(

1

t− 1

t2 + t

)

b) (60, p.108) lımx→2

√6− x− 2√3− x− 1

c) (15, p.167) lımx→π−

ln (senx)

d ) (24, p.141) lımx→−∞

√9x6 − x

x3 + 1

2. a) (41, p.129) ¿Para qué valor de la constante c la función f es continua sobre (−∞,∞)?

f(x) =

{

cx2 + 2x si x < 2x3 − cx si x ≥ 2

b) (50, p.129) Aplique el teorema del valor intermedio para demostrar que existe una raíz de laecuación lnx = e−x, en el intervalo (1, 2).

3. a) (63, p.130) Demuestre que la función

f(x) =

x4 sen

(

1

x

)

si x 6= 0

0 si x = 0

es continua en (−∞,∞) .

b) (30, p.167) Sea

g(x) =

2x− x2 si 0 ≤ x ≤ 22− x si 2 < x ≤ 3x− 4 si 3 < x < 4π si x ≥ 4

1) Para cada uno de los números 2, 3 y 4, descubra si g es continua por la izquierda, por la derechao continua en el número.

2) Bosqueje la gráfica de g.

4. (p. 165)

a) Qué significa decir que la recta y = L es una asíntota horizontal de la curva y = f (x)? Dibujecurvas para ilustrar las diversas posibilidades.

b) ¿Qué dice el teorema del valor intermedio?


Universidad

Industrial de

Santander


Segundo examenCálculo I (Tema B)Junio de 2010G. Arenas & R. Martínez

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :



a) (29, p.107) lımt→0

(

1

t√1 + t

− 1

t

)

b) (15, p.108) lımx→−3

x2 − 9

2x2 + 7x+ 3

c) (19, p.167) lımx→0+

tan−1

(

1

x

)

d ) (21, p.141) lımu→∞

4u4 + 5

(u2 − 2) (2u2 − 1)

2. a) (42, p.129) Halle el valor de a y b que hace a f continua en todas partes

f(x) =

x2 − 4

x− 2si x < 2

ax2 − bx+ 3 si 2 ≤ x < 32x− a+ b si x ≥ 3

b) (48, p.129) Aplique el teorema del valor intermedio para demostrar que existe una raíz de laecuación 3

√x = 1− x, en el intervalo (0, 1).

3. a) (24, p.167) Pruebe que lımx→0

x2 cos

(

1

x2

)

= 0.

b) (30, p.167) Sea

g(x) =


1) Para cada uno de los números 2, 3 y 4, descubra si g es continua por la izquierda, por la derechao continua en el número.

2) Bosqueje la gráfica de g.

4. (p. 165)

a) Qué quiere darse a entender al decir que la recta x = a es una asíntota vertical de la curvay = f (x)? Dibuje curvas para ilustrar las diversas posibilidades.

b) ¿Qué dice el teorema de compresión?


Solución del Segundo Examen – (Tema A)

1. a) lımt→0

(

1

t− 1

t2 + t

)

= lımt→0

(t+ 1)− 1

t (t+ 1)= lım

t→0

t

t (t+ 1)= lım

t→0

1

t+ 1= 1

b) lımx→2

√6− x− 2√3− x− 1

= lımx→2

[√6− x− 2√3− x− 1

·√6− x+ 2√6− x+ 2

·√3− x+ 1√3− x+ 1

]

= lımx→2

[

(6− x)− 4

(3− x)− 1·√3− x+ 1√6− x+ 2

]

= lımx→2

[

(2− x)

(2− x)·√3− x+ 1√6− x+ 2

]

= lımx→2

√3− x+ 1√6− x+ 2

=

√3− 2 + 1√6− 2 + 2

=1

2

c) Obsérvese que cuando x → π− entonces senx → 0+. Luego si hacemos la sustitución t = senx,se obtiene:

lımx→π−

ln [senx] = lımt→0+

ln t = −∞.

d ) Obsérvese que√9x6 − x =

√

x6(

9− 1

x5

)

= |x|3√

9− 1

x5=

x3√

9− 1

x5, x > 1/ 5

√9

(−1)x3√

9− 1

x5, x < 0

lımx→−∞

√9x6 − x

x3 + 1= lım

x→−∞

(−1)x3√

9− 1

x5

x3 + 1= lım

x→−∞

(−1)x3

x3

√

9− 1

x5

x3 + 1

x3

= lımx→−∞

(−1)

√

9− 1

x5

1 +1

x3

=(−1)

√9

1= −3


lımx→2−

cx2 + 2x = lımx→2+

x3 − cx = f(2) =⇒ 4c+ 4 = 8− 2c =⇒ 6c = 4 =⇒ c =2

3.

b) Considere la función f (x) = lnx− e−x, la cual es continua para todo x > 0. Obsérvese que

f (1) = ln 1− e−1 = −e−1 ≈ −0,367 88 < 0 y f (2) = ln 2− e−2 ≈ 0,557 81 > 0

Es decir, que la función f (x) satisface las hipótesis del TVI en el intervalo [1, 2]. En consecuenciaexiste un c ∈ (1, 2) tal que f (c) está entre f (1) y f (2), como f (1) < 0 y f (2) > 0, entonces f (c)puede ser igual a cero. Es decir, se ha mostrado que existe c ∈ (1, 2) tal que f (c) = ln c− e−c = 0.

3. a) Dado que x4 y senx son continuas para todo real y que 1/x es continua para todo real distinto decero, el único punto donde no se garantiza la continuidad de f (x) es en x = 0. Para decidir si lafunción es continua en dicho punto se necesita garantizar que

lımx→0

f (x) = f (0) = 0.

Obsérvese que

−1 ≤ sen1

x≤ 1,

entonces, dado que x4 ≥ 0, ∀x ∈ R, se tiene −x4 ≤ x4 · sen 1x ≤ x4.

Es fácil encontrar que lımx→0

(

−x4)

= 0 y lımx→0

x4 = 0, en consecuencia se tiene que

0 = lımx→0

(

−x4)

≤ lımx→0

x4 · sen 1

x≤ lım

x→0x4 = 0

y por el teorema de compresión se tiene que lımx→0

x4 · sen 1x = 0.

Por tanto se ha demostrado que f (x) es continua ∀x ∈ R.


b) Obsérvese que dada la definición de la función

g(x) =


se tiene que:lım

x→2−g (x) = lım

x→2−2x − x2 = 0 y lım

x→2+g (x) = lım

x→2+2 − x = 0, luego lım

x→2g (x) = 0 = g (2), es decir

que g (x) es continua en x = 2.

lımx→3−

g (x) = lımx→3−

2−x = −1 y lımx→3+

g (x) = lımx→3+

x− 4 = −1, luego lımx→3

g (x) = −1 = g (3), es decir


lımx→4−


x−4 = 0 y lımx→4+

g (x) = lımx→4+

π = π, luego lımx→4

g (x) no existe, pero es de observa

que lımx→4+

g (x) = g (4) = π, por tanto g (x) es continua por derecha en x = 4.

A continuación puede ver un esbozo de la gráfica de g (x).

1

2

3

−1

1 2 3 4 5 6 7

π

4. a) La recta y = L se dice que es una asíntota horizontal de y = f (x), si lımx→∞

f (x) = L o lımx→−∞

f (x) =

L. Esto quiere decir que: cuando los valores de x son muy grandes, los valores de f (x) son muycercanos a L o que cuando los valores de x son en valor absoluto muy grandes, pero negativos,entonces los valores de f (x) son muy cercanos a L. En la siguiente figura se ilustran dos asíntotasverticales, una en y = −3, otra en y = 1.

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5−6

b) TVI: Suponga que f es continua sobre el intervalo cerrado [a, b] y sea N cualquier número entref (a) y f (b), donde f (a) 6= f (b). Entonces existe un número c en (a, b) tal que f (c) = N .


Solución del Segundo Examen – (Tema B)

1. a) lımt→0

(

1

t√1 + t

− 1

t

)

= lımt→0

1−√1 + t

t√1 + t

= lımt→0

1−√1 + t

t√1 + t

· 1 +√1 + t

1 +√1 + t

= lımt→0

1− (1 + t)

t√1 + t

(

1 +√1 + t

) = lımt→0

−t

t√1 + t

(

1 +√1 + t

)

= lımt→0

−1√1 + t

(

1 +√1 + t

) =−1√

1 + 0(

1 +√1 + 0

) = −1

2

b) lımx→−3

x2 − 9

2x2 + 7x+ 3= lım

x→−3

(x− 3) (x+ 3)

(x+ 3) (2x+ 1)= lım

x→−3

(x− 3)

(2x+ 1)=

(−3− 3)

(2 (−3) + 1)=

−6

−5=

6

5

c) Obsérvese que cuando x → 0+ entonces 1/x → +∞. Luego si hacemos la sustitución t = 1/x, seobtiene:

lımx→0+

tan−1 [1/x] = lımt→+∞

tan−1 t =π

2.

d ) lımu→∞

4u4 + 5

(u2 − 2) (2u2 − 1)= lım

u→∞4u4 + 5

2u4 − 5u2 + 2=

4

2= 2


lımx→2−

f (x) = lımx→2+

f (x) = f(2) y lımx→3−

f (x) = lımx→3+

f (x) = f(3)

Esto lleva a:

lımx→2−

x2 − 4

x− 2= lım

x→2+

(

ax2 − bx+ 3)

y lımx→3−

(

ax2 − bx+ 3)

= lımx→3+

(2x− a+ b) ,

esto implica las siguientes ecuaciones{

4 = 4a− 2b+ 39a− 3b+ 3 = 6− a+ b =⇒

{

4a− 2b = 110a − 4b = 3

Al resolver dichas ecuaciones si obtiene{

4a− 2b = 1 (−2)10a− 4b = 3 =⇒

{ −8a+ 4b = −210a− 4b = 32a+ 0b = 1

=⇒ {a = 1/2

=⇒ {4 (1/2)− 2b = 1 =⇒ {b = 1/2

b) Considere la función f (x) = 3√x+ x− 1, la cual es continua para todo x ∈ R. Obsérvese que

f (0) =3√0 + 0− 1 = −1 < 0 y f (1) =

3√1 + 1− 1 = 1 > 0

Es decir, que la función f (x) satisface las hipótesis del TVI en el intervalo [1, 2]. En consecuenciaexiste un c ∈ (1, 2) tal que f (c) está entre f (0) y f (1), como f (0) < 0 y f (1) > 0, entonces f (c)puede ser igual a cero. Es decir, se ha mostrado que existe c ∈ (0, 1) tal que f (c) = 3

√c+ c− 1 = 0.

3. a) Obsérvese que

−1 ≤ cos1

x2≤ 1,

entonces, dado que x4 ≥ 0, ∀x ∈ R, se tiene

−x2 ≤ x2 · cos 1

x2≤ x2.

Es fácil encontrar que lımx→0

(

−x2)

= 0 y lımx→0

x2 = 0, en consecuencia se tiene que

0 = lımx→0

(

−x2)

≤ lımx→0

x2 · cos 1

x2≤ lım

x→0x2 = 0

y por el teorema de compresión se tiene que lımx→0

x2 · cos 1

x2= 0.


b) Obsérvese que dada la definición de la función

g(x) =


se tiene que:lım

x→2−g (x) = lım

x→2−2x − x2 = 0 y lım

x→2+g (x) = lım

x→2+2 − x = 0, luego lım

x→2g (x) = 0 = g (2), es decir


lımx→3−


2−x = −1 y lımx→3+

g (x) = lımx→3+

x− 4 = −1, luego lımx→3

g (x) = −1 = g (3), es decir


lımx→4−


x−4 = 0 y lımx→4+

g (x) = lımx→4+

π = π, luego lımx→4

g (x) no existe, pero es de observa

que lımx→4+

g (x) = g (4) = π, por tanto g (x) es continua por derecha en x = 4.

A continuación puede ver un esbozo de la gráfica de g (x).

1

2

3

−1

1 2 3 4 5 6 7

π

4. a) La recta x = a se llama asíntota vertical de la curva y = f (x) si por lo menos uno de los siguientesenunciados es verdadero

lımx→a

f (x) = ∞, lımx→a−

f (x) = ∞, lımx→a+

f (x) = ∞,

lımx→a

f (x) = −∞, lımx→a−

f (x) = −∞ ó lımx→a+

f (x) = −∞.

En la siguiente figura se ilustran dos asíntotas verticales, una en x = −3 y otra en x = 2:

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5−6

b) Si f (x) ≤ g (x) ≤ h (x), cuando x está cerca de a (excepto quizá en a) y

lımx→a

f (x) = lımx→a

h (x) = L,

entonceslımx→a

g (x) = L.


Universidad

Industrial de

Santander


Segundo ExamenCálculo I

Octubre de 2010Prof. Gilberto Arenas Díaz

Grupo

Nombre: Código:

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.

1. Determine si la proposición es verdadera o falsa. Justifique claramente su respuesta.

a) Si lımx→5


g(x) = 0, entonces el lımx→5

f(x)

g(x)no existe.

b) Si f tiene un dominio [0,∞] y no tiene asíntota horizontal entonceslımx→∞

f(x) = ∞ o lımx→∞

f(x) = −∞.

c) Si f es continua en [−1, 1] y f(−1) = 4 y f(1) = 3, entonces existe un número r tal que r ∈ (−1, 1)y f(r) = π.

d ) Si 2x− 1 ≤ f (x) ≤ x2 para 0 < x < 3, lımx→1

f(x) = 1.

2. Trace la gráfica de una función f que cumpla todas las siguientes condiciones:

a) lımx→−∞

f(x) = −2

b) lımx→0−

f(x) = 0

c) lımx→−3+

f(x) = ∞

d ) lımx→3−

f(x) = −∞

e) lımx→3+

f(x) = 2

f ) f es continua desde la derecha en 3.

3. Encuentre los siguientes límites:

a) lımx→−3

x2 − 9

x2 + 2x− 3

b) lımx→∞

√x2 − 9

2x− 6

c) lımx→0

sen 6x

2x

d ) lımx→5

f(x) si f(x) =

{

2x+ 1, si x > 5

11, si x < 5


Universidad

Industrial de

Santander



Segundo semestre de 2006Gilberto ARENAS

Grupo

Nombre: Código:

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Nota : Utilizar hoja de examen.Nota : No se permite el préstamo de borradores, calculadoras, lápices, etc.Nota : El profesor no responderá preguntas .

1. (10 pt.) Responda verdadero (V) ó falso (F), jus-tificando claramente su respuesta.

i) La función

f (x) =

{

4x2 − 5x+ 1, x < 13x− 2, x ≥ 1

es derivable en x = 1.

ii) Si f (x) = senx · cos x, entoncesf ′ (x) = sen 2x.

iii) La pendiente de la recta tangente a la gráfica dela ecuación

√x+

√y = 1 en el punto (3, 4) es 3

2 .

iv) El polinomio p (x) = 4x3 + 7x − 6, tiene exac-tamente una raíz real. (Use el teorema de Rolley/o el teorema del valor intermedio).

v) La función f (x) = 6x − 2x2 es creciente en elintervalo (−1, 1).

2. (15 pt.) Halle la derivada(

dy

dx

)

en cada caso.

a) y =x+ 1

x− 1,

b) xy = 25,

c) y =

√

x

x2 + 1,

d ) x3 − x2y + xy2 − y3 = 6,

e) y =

√

1 + sen(√

3x)

.

3. (10 pt.) A partir de la función

f (x) =−2x2

x2 − 4,

esboce la gráfica indicando: dominio, puntoscríticos y puntos de inflexión, intervalos de de-crecimiento y de crecimiento, intervalos de con-cavidad y asíntotas si existen.

4. (5 pt.) Un rectángulo de perímetro fijo 36 cm.se gira en torno a uno de sus lados, con lo quebarre una figura con la forma de un cilindro cir-cular recto. ¿Cuál es el volumen máximo posiblede ese cilindro?

5. (5 pt.) Una caja rectangular sin tapa debe ten-er un volumen de 512 pulgadas cubicas. Sufondo es cuadrado y cuesta el doble (por pul-gada cuadrada) que los cuatro lados. Qué di-mensiones minimizan el costo total del materialnecesario para hacer la caja?

6. (5 pt.) Se infla un globo esférico. El radio r delglobo aumenta a razón de 0,3 cm/sg cuandor = 5 cm. Con qué razón aumenta el volumenV del globo en ese instante?

7. (5 pt.) En la figura se muestran las gráficas deg, g′ y g′′. Identifique cada curva y explique suselecciones.

y

x

a

b

c


Universidad

Industrial de

Santander


SupletorioSegundo examenCálculo I

Julio de 2010

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :



a) (28, p.107) lımh→0

(3 + h)−1 − 3−1

h

b) (60, p.108) lımx→2

√6− x− 2√3− x− 1

c) (20, p.167) lımx→1

(

1

x− 1+

1

x2 − 3x+ 2

)

d ) (17, p.167) lımx→∞

(√x2 + 4x+ 1− x

)

2. a) (42, p.129) Halle el valor de a y b que hace a f continua en todas partes

f(x) =

x2 − 4

x− 2si x < 2

ax2 − bx+ 3 si 2 ≤ x < 32x− a+ b si x ≥ 3

b) (34, p.168) Aplique el teorema del valor intermedio para demostrar que existe una raíz de laecuación e−x2

= x, en el intervalo (0, 1).

3. a) (57, p.142) Determine lımx→∞

f(x) si, para toda x > 1,

10ex − 21

2ex< f(x) <

5√x√

x− 1.

b) (5, p.166) ¿Si lımx→5


g(x) = 0, entonces lımx→5

f(x)

g(x)no existe?

4. a) (48, p.142) Plantee una fórmula para una función cuyas asíntotas verticales son x = 1 y x = 3 yasíntota horizontal y = 1.

b) (55, p.142) Sean P y Q dos polinomios. Encuentre

lımx→∞

P (x)

Q(x)

Si el grado de P es (a) menor que el grado de Q y (b) mayor que el grado de Q.


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Industrial de

Santander


Supletorio 2 ◦ examenCálculo I

26 de febrero de 2014Prof: Gilberto Arenas Díaz

Grupo

Nombre: Código:


1. a) Sea f (x) = x− 1x y g (x) = x2 + 1, encuentre (f + g) (2), (fg) (2), f2 (2) + g2 (2).

b) Dada la gráfica de f (x) = senx, trace la gráfica de y = 2f (x+ π)− 1.

2. Encuentre el valor de las constantes a y b que hacen que la función

g (x) =

{

x+ 1, si x < 1;ax+ b, si 1 ≤ x < 2;

3x, si x ≥ 2

sea continua en todos los reales.

3. Evalúe los siguientes límites:

a) lımz→2

z2 − 4

z2 + z − 6.

b) lımx→0

sec 2x tan 2x

x.

c) lımt→∞

(3t+ 2)4 (2t− 1)2

6t6 + 2t+ 1.

d ) lımx→3+

x

x− 3.

4. a) Enuncie el teorema del valor intermedio.

b) Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que x5 − 4x3 − 3x+ 1 = 0 tiene solución enel intervalo [2, 3].

5. Dibuje la gráfica de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:

a) su dominio es R

b) f (0) = f (2) = f (4) = f (6) = 2,

c) f es continua en todo x ∈ [0, 6], excepto en x = 2,

d ) lımx→2−

f (x) = 1 y lımx→2+

f (x) = 3.

e) lımx→∞

f (x) = 4 y lımx→−∞

f (x) = −4.


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Industrial de

Santander


SupletorioSegundo examenCálculo I

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :



a) lımh→0

(3 + h)−1 − 3−1

h

b) lımx→2

√6− x− 2√3− x− 1

c) lımx→1

(

1

x− 1+

1

x2 − 3x+ 2

)

d ) lımx→∞

(√x2 + 4x+ 1− x

)

2. a) Halle el valor de a y b que hace a f continua en todas partes

f(x) =

x2 − 4

x− 2si x < 2

ax2 − bx+ 3 si 2 ≤ x < 32x− a+ b si x ≥ 3

b) Aplique el teorema del valor intermedio para demostrar que existe una raíz de la ecuación e−x2

= x,en el intervalo (0, 1).

3. a) Plantee una fórmula para una función cuyas asíntotas verticales son x = 1 y x = 3 y asíntotahorizontal y = 1.

b) ¿Si lımx→5


g(x) = 0, entonces lımx→5

f(x)

g(x)no existe?

4. Si f(x) =x+ 1

x− 1, encuentre f ′(x) utilizando la definición de la derivada.


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Santander


Tercer examenCálculo I

19 de agosto de 2011

Grupo

Nombre: Código:.

Instrucciones :

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas .

Resuelva cada punto en una página de su hoja de examen.




No se permite el uso de teléfonos celulares durante el examen .

1. Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el oeste a 4 millas por hora y la otra caminahacia el noreste a 2 millas por hora. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre las personas después demedia hora?

2. Si un resistor de R ohms se conecta a los bornes de una batería de E volts con resistencia interna r, ental caso la potencia (en watts) en el resistor externo es

P =E2R

(R+ r)2.

Si E y r son constantes pero R varía, ¿cuál es el valor máximo de la potencia?

3. Trace la gráfica de una función que cumpla con las condiciones dadas.f (0) = 0, f ′ (−2) = f ′ (1) = f ′ (9) = 0, lım

x→∞f (x) = 0, lım

x→6f (x) = ∞,

f ′ (x) > 0 en (−∞,−2), (1, 6) y (9,∞), f ′ (x) < 0 en (−2, 1) y (6, 9),

f ′′ (x) < 0 en (−∞, 0) y (12,∞) , y f ′′ (x) > 0 en (0, 6) y (6, 12) .

Determine claramente los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los intervalos de concavidad, lasasíntotas, y los máximos y mínimos.

4. a) Encuentre la aproximación lineal de la función g (x) = 3√1 + x en a = 0 y aplíquela para hacer una

aproximación a los número 3√0,99 y 3

√1,05. Ilustre dibujando g y la recta tangente.

b) ¿Existe una función f tal que f (0) = −1, f (2) = 4 y f ′ (x) ≤ 2 para toda x? (Explique claramentesu respuesta).


Universidad

Industrial de

Santander




Grupo

Nombre: Código:..

Instrucciones :

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas .

Resuelva cada punto en una página de su hoja de examen.




No se permite el uso de teléfonos celulares durante el examen .

1. Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el oeste a 2 millas por hora y la otra caminahacia el noreste a 4 millas por hora. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre las personas después demedia hora?


P =E2R

(R+ r)2.

Si E y r son constantes pero R varía, ¿cuál es el valor máximo de la potencia?

3. Trace la gráfica de una función que cumpla con las condiciones dadas.f (0) = 0, f ′ (−2) = f ′ (1) = f ′ (9) = 0, lım

x→∞f (x) = 0, lım

x→6f (x) = −∞,

f ′ (x) < 0 en (−∞,−2), (1, 6) y (9,∞), f ′ (x) > 0 en (−2, 1) y (6, 9),

f ′′ (x) > 0 en (−∞, 0) y (12,∞) , y f ′′ (x) < 0 en (0, 6) y (6, 12) .


4. a) Encuentre la aproximación lineal de la función g (x) = 3√1 + x en a = 0 y aplíquela para hacer una

aproximación a los número 3√0,95 y 3


b) ¿Existe una función f tal que f (0) = −1, f (2) = 4 y f ′ (x) ≤ 2 para toda x? (Explique claramentesu respuesta).


Solución del tercer examen de Cálculo I

1. (Tema A) Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el oeste a 4 millas por hora y la otracamina hacia el noreste a 2 millas por hora. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre las personasdespués de media hora?

Solución.

bx

yz

dx

dt= 4 millas/h

dy

dt= 2 millas/h

θ

x(t) = 4t, y(t) = 2t, z2 = x2 + y2 − 2xy cos θ,

Como θ = 135◦, cos 135◦ = −√2/2, entonces

z2 = x2 + y2 +√2xy. (∗)

Ahora, x(0,5) = 2 e y(0,5) = 1, y por tanto,

[z(0,5)]2 = 22+12+2√2 =⇒ z(0,5) =

√

5 + 2√2 ≈ 2,7979.

Por otra parte, como en el problema se pidedz

dt, entonces se deriva implícitamente la ecuación (∗),

obteniendo

2zdz

dt= 2x

dx

dt+ 2y

dy

dt+

√2

(

xdy

dt+ y

dx

dt

)

,

al despejardz

dt, se tiene

dz

dt=

(2x+√2y)

dx

dt+ (2y +

√2x)

dy

dt2z

.

Evaluando cuando t es media hora, se obtiene

dz

dt

∣

∣

∣

∣

t=0,5

=(2 ∗ 2 +

√2 ∗ 1)(4) + (2 ∗ 1 +

√2 ∗ 2)(2)

2 ∗√

5 + 2√2

=10 + 4

√2

√

2√2 + 5

≈ 5,5959.

El cambio de la distancia entre las dos personas después de media hora es de aproximadamente 5,5959millas por hora.

1. (Tema B) Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el oeste a 2 millas por hora y la otracamina hacia el noreste a 4 millas por hora. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre las personasdespués de media hora?

Solución.

bx

yz

dx

dt= 2 millas/h

dy

dt= 4 millas/h

θ

x(t) = 2t, y(t) = 4t, z2 = x2 + y2 − 2xy cos θ,

Como θ = 135◦, cos 135◦ = −√2/2, entonces

z2 = x2 + y2 +√2xy. (∗)

Ahora, x(0,5) = 1 e y(0,5) = 2, y por tanto,

[z(0,5)]2 = 12+22+2√2 =⇒ z(0,5) =

√

5 + 2√2 ≈ 2,7979.


Por otra parte, como en el problema se pidedz

dt, entonces se deriva implícitamente la ecuación (∗),

obteniendo

2zdz

dt= 2x

dx

dt+ 2y

dy

dt+

√2

(

xdy

dt+ y

dx

dt

)

,

al despejardz

dt, se tiene

dz

dt=

(2x+√2y)

dx

dt+ (2y +

√2x)

dy

dt2z

.

Evaluando cuando t es media hora, se obtiene

dz

dt

∣

∣

∣

∣

t=0,5

=(2 ∗ 1 +

√2 ∗ 2)(2) + (2 ∗ 2 +

√2 ∗ 1)(4)

2 ∗√

5 + 2√2

=10 + 4

√2

√

2√2 + 5

≈ 5,5959.

El cambio de la distancia entre las dos personas después de media hora es de aproximadamente 5,5959millas por hora.


P =E2R

(R+ r)2.

Si E y r son constantes pero R varía, ¿cuál es el valor máximo de la potencia?Solución.Para encontrar el valor máximo de la potencia se debe derivar P (R). Entonces,

P ′ (R) =d

dR

(

E2R

(R+ r)2

)

=E2 (R+ r)2 − E2R (2 (R+ r))

(R+ r)4=

E2 (R+ r) [(R+ r)− 2R]

(R+ r)4=

E2 (r −R)

(R+ r)3.

Ahora se deben encontrar los puntos críticos de la función, para ello se iguala la derivada a cero, dadoque no hay puntos donde la derivada no exista, ya que las condiciones del problema indican que E y r

son constantes positivas. Luego, P ′ (R) = 0, implica que E2(r−R)

(R+r)3= 0, y en consecuencia, (r −R) = 0,

de donde se obtiene que r = R.

Ahora, al encontrar la segunda derivada se obtiene

P ′′ (R) =d

dR

(

E2 (r −R)

(R+ r)3

)

= 2E2 R− 2r

(R+ r)4.

Al evaluarla en R = r, se obtiene

P ′′ (r) = 2E2 r − 2r

(r + r)4= − 1

8r3E2 < 0.

Como la segunda derivada es negativa, entonces la función es cóncava hacia abajo; por el criterio de lasegunda derivada se tiene que el punto crítico corresponde a un valor máximo de la función P (R), y enconsecuencia el valor máximo de la potencia es

P (r) =E2r

(r + r)2=

E2

4r.

(Observación: la última parte también se puede hacer aplicando el criterio de la primera derivada).


3. (Tema A) Trace la gráfica de una función que cumpla con las condiciones dadas.f (0) = 0, f ′ (−2) = f ′ (1) = f ′ (9) = 0, lım

x→∞f (x) = 0, lım

x→6f (x) = ∞,

f ′ (x) > 0 en (−∞,−2), (1, 6) y (9,∞), f ′ (x) < 0 en (−2, 1) y (6, 9),

f ′′ (x) < 0 en (−∞, 0) y (12,∞) , y f ′′ (x) > 0 en (0, 6) y (6, 12) .

Determine claramente los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los intervalos de concavidad, lasasíntotas, y los máximos y mínimos.Solución.

Las condiciones f ′ (−2) = f ′ (1) = f ′ (9) = 0, implican que los números x = −2, x = 1 y x = 9 soncríticos.La condición lım

x→∞f (x) = 0, implica que y = 0 es una asíntota horizontal.

La condición lımx→6

f (x) = ∞, implica que x = 6 es una asíntota vertical.

f ′ (x) > 0 en (−∞,−2), (1, 6) y (9,∞), implica que en dichos intervalos la función es creciente.

f ′ (x) < 0 en (−2, 1) y (6, 9), implica que en dicho intervalos la función es decreciente.

f ′′ (x) < 0 en (−∞, 0) y (12,∞) , implica que en dichos intervalos la función es cóncava hacia abajo, y

f ′′ (x) > 0 en (0, 6) y (6, 12), implica que en dichos intervalos la función es cóncava hacia arriba.

El hecho que en x = −2 la derivada cambia de signo positivo a negativo, implica que f(−2) es un valormáximo local.El hecho que en x = 1 la derivada cambia de signo negativo a positivo, implica que f(1) es un valormínimo local.El hecho que en x = 9 la derivada cambia de signo negativo a positivo, implica que f(9) es un valormínimo local.Relacionando todo lo anterior se obtiene que un esbozo de la gráfica de la función que cumple con lascondiciones es:

f ′ + − − ++f ր ց ր ց րf ′′ − −+ +f

b


3. (Tema B) Trace la gráfica de una función que cumpla con las condiciones dadas.f (0) = 0, f ′ (−2) = f ′ (1) = f ′ (9) = 0, lım

x→∞f (x) = 0, lım

x→6f (x) = −∞,

f ′ (x) < 0 en (−∞,−2), (1, 6) y (9,∞), f ′ (x) > 0 en (−2, 1) y (6, 9),

f ′′ (x) > 0 en (−∞, 0) y (12,∞) , y f ′′ (x) < 0 en (0, 6) y (6, 12) .

Determine claramente los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los intervalos de concavidad, lasasíntotas, y los máximos y mínimos.Solución.

Las condiciones f ′ (−2) = f ′ (1) = f ′ (9) = 0, implican que los números x = −2, x = 1 y x = 9 soncríticos.La condición lım

x→∞f (x) = 0, implica que y = 0 es una asíntota horizontal.

La condición lımx→6

f (x) = −∞, implica que x = 6 es una asíntota vertical.

f ′ (x) < 0 en (−∞,−2), (1, 6) y (9,∞), implica que en dichos intervalos la función es decreciente.

f ′ (x) > 0 en (−2, 1) y (6, 9), implica que en dicho intervalos la función es creciente.

f ′′ (x) > 0 en (−∞, 0) y (12,∞) , implica que en dichos intervalos la función es cóncava hacia arriba, y

f ′′ (x) < 0 en (0, 6) y (6, 12), implica que en dichos intervalos la función es cóncava hacia abajo.

El hecho que en x = −2 la derivada cambia de signo negativo a positivo, implica que f(−2) es un valormínimo local.El hecho que en x = 1 la derivada cambia de signo positivo a negativo, implica que f(1) es un valormáximo local.El hecho que en x = 9 la derivada cambia de signo positivo a negativo, implica que f(9) es un valormáximo local.Relacionando todo lo anterior se obtiene que un esbozo de la gráfica de la función que cumple con lascondiciones es

f ′ − + + −−f ց ր ց ր ցf ′′ + +− −f

b


4. a) (Tema A) Encuentre la aproximación lineal de la función g (x) = 3√1 + x en a = 0 y aplíquela para

hacer una aproximación a los número 3√0,99 y 3


Solución.

g′ (x) =d

dx

(

3√1 + x

)

=1

3 (x+ 1)2/3. g′ (0) =

1

3 (0 + 1)2/3=

1

3.

Ahora, g (0) = 1. Por tanto, la aproximación lineal de la funcióng (x) es

y − g (0) =1

3(x− 0) =⇒ y =

1

3x+ 1.

Luego,

3√

0,99 = 3√

1− (0,01) ≈ 1

3(−0,01) + 1 ≈ 0,99667

y3√

1,05 = 3√

1 + (0,05) ≈ 1

3(0,05) + 1 ≈ 1,0167

x

y

a) (Tema B) Encuentre la aproximación lineal de la función g (x) = 3√1 + x en a = 0 y aplíquela para

hacer una aproximación a los número 3√0,95 y 3


Solución.Análoga al Tema A, sólo cambia en los valores a aproximar

3√

0,95 = 3√

1− (0,05) ≈ 1

3(−0,05) + 1 ≈ 0,98333

y3√

1,01 = 3√

1 + (0,01) ≈ 1

3(0,01) + 1 ≈ 1,0033

b) ¿Existe una función f tal que f (0) = −1, f (2) = 4 y f ′ (x) ≤ 2 para toda x? (Explique claramentesu respuesta).Solución.La pendiente determinada por los puntos es

m =f(2)− f(0)

2− 0=

4− (−1)

2=

5

2.

Como la pregunta dice f ′ (x) ≤ 2 para toda x, entonces f debe ser continua en [0, 2] y diferenciableen (0, 2). Por tanto, por el TVM, existe c ∈ (0, 2) tal que f ′(c) = 2,5, lo cual es contradictorio con lacondición dada: f ′(x) ≤ 2, por esto una función de este estilo no puede existir.Se puede observar adicionalmente, que en el caso sencillo en el cual la gráfica de la función estápor arriba del segmento que une los puntos (0,−1) y (2, 4) (ver Figura A), se tiene que cuando losvalores de x ∈ (0, c) la pendiente es mayor que 2,5. Análogamente, si se observa el caso en el cualla gráfica de la función esté por debajo del segmento que uno los puntos (0,−1) y (2, 4) (ver FiguraB), se tiene que para valores de x ∈ (c, 2) la pendiente es mayor a 2,5. Por tanto, no puede existiruna función con las características que se piden.

x

y

Figura A.

x

y

Figura B.


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Industrial de

Santander



Agosto 10 de 2010G. Arenas

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :


1. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y =x− 1

x+ 1que sean paralelas a la recta

x− 2y = 2.

2. Determine f (n) (x), si f (x) =1

2− x.

3. Cuando se toma una bebida fría del refrigerador, su temperatura es 5◦C. Después de 25 minutos dentrode una habitación a 20◦C su temperatura se incrementa a 10◦C.

a) ¿Cuál es la temperatura de la bebida 50 minutos después?b) ¿Cuándo su temperatura será de 15◦C?

4. Encuentredy

dxsi y5 + x2y3 = 1 + yex

2

.

Solución del Tercer Examen de Cálculo I

1. Observe que la ecuación de la recta es equivalente a y = 12 (x− 2), por lo cual tenemos que la su

pendiente es mt =12 . Para encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva dada, se debe

derivar y =x− 1

x+ 1, de donde se obtiene

y′ =(1) (x+ 1)− (1) (x− 1)

(x+ 1)2=

2

(x+ 1)2.

Igualando a la pendiente mt, se obtiene

1

2=

2

(x+ 1)2=⇒ (x+ 1)2 = 4 =⇒ x+ 1 = ±2 =⇒ x = 1 o x = −3.

Si x = 1, entonces y = 1−11+1 = 0, luego se tiene que el punto de tangencia es P (1, 0), y al reemplazar en

la ecuación de la recta se obtiene y − 0 = 12 (x− 1) =⇒ y = 1

2(x − 1).

Si x = −3, entonces y = −3−1−3+1 = 2, luego se tiene que el punto de tangencia es P (−3, 2),y al reemplazar

en la ecuación de la recta se obtiene y − 2 = 12 (x+ 3) =⇒ y = 1

2x + 7

2.


2. Determine f (n) (x), si f (x) =1

2− x.

Observe que f (x) = (2− x)−1; al derivar por primera vez se tiene f ′ (x) = (−1) (2− x)−1−1 (−1) =

(2− x)−2 .

Si derivamos de nuevo se tiene f ′′ (x) = (−2) (2− x)−2−1 (−1) = 2 (2− x)−3 .

Volviendo a derivar se tiene f ′′′ (x) = (−3)× 2 (2− x)−3−1 (−1) = 6 (2− x)−4 .

Volviendo a derivar se tiene f (4) (x) = (−4)× 6 (2− x)−4−1 (−1) = 24 (2− x)−5 .

Volviendo a derivar se tiene f (5) (x) = (−5)× 24 (2− x)−5−1 (−1) = 120 (2− x)−6 .

De lo anterior puede deducirse que

f (n) (x) = (n!) (2 − x)−(n+1) =n!

(2 − x)n+1.

Lo anterior puede demostrase utilizando el principio de inducción matemática, lo dejo de ejercicio.

3. Recuerde que

dT

dt= k (T − Tm) =⇒ (T − Tm) = (T0 − Tm) ekt =⇒ T (t) = (T0 − Tm) ekt + Tm.

Dado que en este caso T0 = 5◦C, Tm = 20◦C y T (25) = 10◦C, se obtiene al reemplazar que:

T (25) = 10 = (5 − 20) e25k + 20 =⇒ 10 − 20

−15= e25k =⇒ ln

2

3= 25k

=⇒ k =1

25ln

2

3.

Como tenemos el valor de k, ahora se puede encontrar T (50)

T (50) = −15e50k + 20 = −15e2 ln(2/3) + 20 = −15

(

2

3

)2

+ 20 =40

3.

Para encontrar el tiempo t∗ en el cual la temperatura sea 15◦C, se debe resolver la siguiente ecuación:

T (t∗) = 15 = −15ekt∗

+ 20 =⇒ 15− 20

−15= ekt

∗

=⇒ ln1

3= kt∗

=⇒ t∗ =1

kln

1

3=

25 ln (1/3)

ln (2/3)≈ 67,738

4. Al derivar implícitamente la ecuación y5 + x2y3 = 1 + yex2

, se obtiene que

5y4y′ +(

2xy3 + x2(

3y2y′))

= 0 +(

y′ex2

+ y(

2xex2))

lo que es equivalente a5y4y′ + 2xy3 + 3x2y2y′ = y′ex

2

+ 2xyex2

agrupando términos se tiene(

5y4 + 3x2y2 − ex2)

y′ = 2xyex2 − 2xy3,

y despejando y′ se obtiene que

y′ =2xyex

2

− 2xy3

5y4 + 3x2y2− ex

2.


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Industrial de

Santander


Supletorio 3 er examenCálculo I

Agosto 20 de 2010G. Arenas & R. Martínez

Grupo

Nombre: Código:Instrucciones :


1. Si f(x) =x+ 1

x− 1, encuentre f ′(x) utilizando la definición de la derivada.

2. Encuentredy

dx, después escriba una ecuación para la recta tangente a la gráfica de la ecuación xy3 −

x5y2 = 4 en el punto (1, 2).

3. Sea g(x) =

{ −1− 2x si x < −1x2 si −1 ≤ x < 1x si x ≥ 1

determine en que puntos del dominio la función g es diferenciable. Proporcione una fórmula para g′ ytrace las gráficas de g y g′.

4. Si f(x) = h(g(x)) y h(2) = 55, g(−1) = 2, h′(2) = −1 y g(−1) = 7, determine f ′(−1).

5. Encuentredy

dx, si: a) y = cot(sec 7x).

2

3b) y =

[

1 + (2 + 3x)−3/2]2/3

.


Universidad

Industrial de

Santander


Tercer examen — SSCálculo I

Enero de 2012Gilberto Arenas D.

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :


1. Se instala una cámara de televisión a 4000 pies de la base de una plataforma de lanzamiento de cohetes.El ángulo de elevación de la cámara tiene que cambiar con la proporción correcta con el objeto de tenersiempre a la vista al cohete. Asimismo, el mecanismo de enfoque de la cámara tiene que tomar encuenta la distancia creciente de la cámara al cohete que se eleva.Suponga que el cohete se eleva verticalmente y que su rapidez es 600 pies/s cuando se ha elevado3000 pies.

a) ¿Qué tan rápido cambia la distancia de la cámara de televisión al cohete en ese momento?b) Si la cámara de televisión se mantiene dirigida hacia el cohete, ¿qué tan rápido cambia el ángulo

de elevación de la cámara en ese momento?

2. Trace la gráfica de una función continua que cumple las siguientes condiciones:f (−x) = −f (x), f ′ (x) < 0 si 0 < x < 2, f ′ (x) > 0 si x > 2, f ′ (2) = 0, lım

x→∞f (x) = −2, f ′′ (x) > 0 si

0 < x < 3, f ′′ (x) < 0 si x > 3.

3. Una lata de aceite debe tener un volumen de 1000 pulgadas cúbi-cas y la forma de un cilindro con fondo plano pero cubierto poruna semiesfera. Desprecie el espesor del material de la lata y de-termine las dimensiones que minimizarán la cantidad de materialnecesario para fabricarla.

h

r

A = 2πr2







Solución del Tercer Examen de Cálculo I — C1SS11SS

1. Se instala una cámara de televisión a 4000 pies de la base de una plataforma de lanzamiento de cohetes.El ángulo de elevación de la cámara tiene que cambiar con la proporción correcta con el objeto de tenersiempre a la vista al cohete. Asimismo, el mecanismo de enfoque de la cámara tiene que tomar encuenta la distancia creciente de la cámara al cohete que se eleva.Suponga que el cohete se eleva verticalmente y que su rapidez es 600 pies/s cuando se ha elevado3000 pies.



Solución .

a) . z2 = x2 + y2 =⇒ z2 = 40002 + y2 =⇒ 2zz′ = 2yy′ =⇒ z′ =y

zy′

z2 = x2 + y2 =⇒ z2 = 40002 + 30002 =⇒ z = 5000

z′ =3000

5000600 = 360pies/seg

b) . tan θ =y

4000=⇒ sec2 θ · θ′ = y′

4000=⇒ θ′ =

y′

4000 sec2 θ

tan θ =y

4000=⇒ tan θ =

3000

4000=

3

4=⇒ θ = arctan

3

4

tan2 θ + 1 = sec2 θ =⇒ sec2 θ =

(

3

4

)2

+ 1 =25

16=⇒ sec θ =

5

4

=⇒ θ′ =y′

4000 sec2 θ=⇒ θ′ =

600

40002516

=12

125≈ 0,096 rad/seg

2. Trace la gráfica de una función continua que cumple las siguientes condiciones:f (−x) = −f (x), f ′ (x) < 0 si 0 < x < 2, f ′ (x) > 0 si x > 2, f ′ (2) = 0, lım

x→∞f (x) = −2, f ′′ (x) > 0 si

0 < x < 3, f ′′ (x) < 0 si x > 3.Solución .f (−x) = −f (x) =⇒que f es impar y por tanto f (0) = 0.

f ′ (x) < 0 si 0 < x < 2 =⇒ que f es decreciente en (0, 2) y por ser impar también en (−2, 0) .

f ′ (x) > 0 si x > 2 =⇒ que f es creciente en (2,∞) y por ser impar también en (−∞,−2) .

f ′ (2) = 0, lımx→∞

f (x) = −2 =⇒ por ser impar entonces lımx→−∞

f (x) = 2.

f ′′ (x) > 0 si 0 < x < 3 =⇒ que f es cóncava hacia arriba en (0, 3) y por ser impar es cóncava haciaabajo en (−3, 0) .

f ′′ (x) < 0 si x > 3 =⇒ que f es cóncava hacia abajo en (3,∞) y por ser impar es cóncava hacia arribaen (−∞,−3). Por ser creciente después de x = 2, entonces f (2) < −2, y por ser impar f (−2) > 2.

Un esbozo de la gráfica es como el que sigue.

+ + + + + + + + + + + + + + + +

+

+

+

+

+

+

x

y


3. Una lata de aceite debe tener un volumen de 1000 pulgadas cúbicas y la forma de un cilindro con fondoplano pero cubierto por una semiesfera. Desprecie el espesor del material de la lata y determine lasdimensiones que minimizarán la cantidad de material necesario para fabricarla.Solución .Sean r el radio del cilindro recto circular y de la semiesfera y h la altura del cilindro. (r y h en mts). Elvolumen V del silo es constante e igual a

V = πr2h+ 12

(

43πr

3)

= πr2h+ 23πr

3. (1)

Si A es el área del silo.

A = πr2 + 2πrh+ 12(4πr

2) = 3πr2 + 2πrh (2)

Debemos hallar r y h para que la cantidad del material sea mínimo para un volumen constante V = 1000.Como A está en función de r y h, podemos despejar h en (1) y reemplazarla en (2) para que A quedeen función de una sola variable.

h =

(

V − 2

3πr3)

1

πr2=

V

πr2− 2r

3

A(r) =

(

3πr2 + 2πr

(

V

πr2− 2

3r

))

=

(

5

3πr2 +

2V

r

)

, r > 0.

Hallemos los puntos críticos de A y determinemos su naturaleza.

A′(r) =10

3πr − 2V

r2=

10πr3 − 6V

3r2.

A′(r) = 0 =⇒ 10πr3 − 6V = 0 =⇒ r =

(

3V

5π

)1/3

(A′(0) no existe, pero 0 6∈ Dc y por lo tanto no es punto crítico).

A′(r) < 0 en

(

0,

(

3V

5π

)1/3)

, A′(r) > 0 en

(

(

3V

5π

)1/3

,+∞)

Luego, A tiene en r =

(

3V

5π

)1/3

un mínimo. La altura h es

h =V (5π)2/3

(3V )2/3π− 2

3

(

3V

5π

)1/3

=

(

3V

5π

)1/3

.

Reemplazando el valor de V = 1000 se tiene que

r = h =

(

3 · 10005π

)1/3

=3

√

600

π≈ 5,758 8pies.


a) Si f ′ (c) = 0, entonces f tiene un máximo o un mínimo local en c. FALSOb) Si f es continua sobre (a, b) entonces f alcanza un valor máximo absoluto f (c) y un valor mínimo

absoluto f (d) en algunos números c y d en (a, b) . FALSOc) Existe una función f tal que f (x) < 0, f ′ (x) < 0 y f ′′ (x) > 0 para todo x. FALSOd ) Si f ′ (x) existe y es diferente de cero para todo x, en tal caso f (1) 6= f (0). VERDADERO

Solución .

a) FALSOb) FALSOc) FALSOd ) VERDADERO


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Industrial de

Santander



20 de enero de 2011

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :


1. En cada caso, halle la derivadady

dx.

a) y =√

x ln(x4).

b) y =[

x+(

x+ sen2 x)3]4

.

c) senx+ cos y = senx cos y.

2. ¿Dónde corta por segunda vez la normal a la parábola y = x−x2 que pasa por el punto (1, 0) a la mismaparábola? Elabore un esquema.

3. ¿Para qué valores de x la gráfica de f(x) = x+ 2 sen x tiene una tangente horizontal?

4. De un horno se toma un pavo rostizado cuando su temperatura ha alcanzado 180◦F y se coloca sobreuna mesa en un espacio donde la temperatura es 75◦F.

a) Si la temperatura del pavo es 150◦F después de media hora; ¿cuál es la temperatura 45 minutosdespués?

b) ¿Cuándo se enfriará el pavo a 100◦F?


Solución del Tercer Examen de Cálculo I – SS2010


dx.

a) y =√

x ln(x4).

y′ (x) =d

dx

(

√

x ln(x4))

=1

2√x lnx4

(

lnx4 + x · 1

x4(

4x3)

)

=lnx4 + 4

2√x lnx4

b) y =[

x+(

x+ sen 2x)3]4

.

y′ (x) =d

dx

(

[

x+(

x+ sen 2x)3]4)

= 4[

x+(

x+ sen 2x)3]3 (

1 + 3(

x+ sen 2x)2

(1 + 2senx cos x))

c) senx+ cos y = senx cos y.Derivando implicitamente se tiene

=⇒ d

dx(senx+ cos y) =

d

dx(senx cos y)

=⇒ cosx− (sen y) y′ = cosx cos y − sen x (sen y) y′

=⇒ cosx− cos x cos y = (sen y) y′ − sen x (sen y) y′

=⇒ [(1− senx) sen y] y′ = (1− cos y) cos x

=⇒ y′ =(1− cos y) cos x

(1− senx) sen y.

2. ¿Dónde corta por segunda vez la normal a la parábola y = x−x2 que pasa por el punto (1, 0) a la mismaparábola? Elabore un esquema.Solución . Observe que y′ (x) = 1− 2x, como se necesita encontrar la normal en el punto (1, 0), hay queencontrar primero la pendiente en dicho punto, por lo cual encuentro la pendiente m de la recta tangente,reemplazando x = 1 en la derivada, es decir m = y′ (1) = 1 − 2 (1) = −1; ahora, como la normal esperpendicular a la tangente, entonces la pendiente µ de la recta normal satisface que m ∗µ = −1, luegoµ = 1. Por tanto tenemos que la normal pasa por el punto (1, 0) y pendiente µ = 1, reemplazando en laforma general de la ecuación de una recta se tiene que la ecuación de la recta normal es

(y − 0) = 1 ∗ (x− 1) =⇒ y = x− 1.

Como se necesita encontrar el otro punto de cortecon la parabola entonces se reemplaza la ecuaciónde la recta normal y = x − 1 en la ecuación de laparabola y = x− x2, esto es

(x− 1) = x− x2 =⇒ x2 = 1 =⇒ x = ±1.

Si x = 1, entonces tenemos el primer punto quecorresponde al que ya tenemos (1, 0) .

Si x = −1, entonces reemplazamos en la cualquierade las dos ecuaciones y (−1) = (−1) − 1 = −2 (oy (−1) = (−1)− (−1)2 = −2), es decir que el segun-do punto es (−1,−2) .En la gráfica se muestra un esquema del problema.

y

x


3. ¿Para qué valores de x la gráfica de f(x) = x+ 2sen x tiene una tangente horizontal?

Necesitamos encontrar la derivada de f ′ (x) y posteriormente encontrar los puntos donde se hace cero,esto es

f ′(x) = 1 + 2 cos x.

Ahora 1 + 2 cos x = 0, esto implica que cos x = −12 .

y

x

Si se considera la gráfica de y = cos x, puede observarse que existen infinitos valores para x quesatisface cos x = −1

2 , los dos primeros valores que se observan son x = 2π3 y x = 4π

3 , como el periododel coseno es 2π, entonces todos los valores de que satisfacen la condición solicitada en el problemason

x =2π

3+ 2nπ ó x =

4π

3+ 2nπ, n ∈ Z.

4. De un horno se toma un pavo rostizado cuando su temperatura ha alcanzado 180◦F y se coloca sobreuna mesa en un espacio donde la temperatura es 75◦F.

a) Si la temperatura del pavo es 150◦F después de media hora; ¿cuál es la temperatura 45 minutosdespués?

b) ¿Cuándo se enfriará el pavo a 100◦F?

Solución. Observe que To = 180◦F, Tm = 75◦F, T (30) = 150◦FPor tanto, como el problema satisface la Ley de enfriamiento de Newton, entonces el la temperatura sedescribe por la siguiente función

T (t) = Tm + (To − Tm) ekt.

Teniendo en cuenta las condiciones se obtiene que

T (t) = 75 + (180 − 75) ekt = 75 + 105ekt.

Ahora,T (30) = 150 = 75 + 105e30k

luego

150− 75 = 105e30k =⇒ 75

105= e30k =⇒ ln

75

105= 30k =⇒ k =

1

30ln

5

7.

Por consiguiente la ecuación que describe la temperatura es

T (t) = 75 + 105et(1

30ln 5

7).

De aquí se tiene que la temperatura después de 45 minutos es

T (45) = 75 + 105e45∗(1

30ln 5

7) = 75 + 105e45

30ln 5

7 = 75 + 105e3

2ln 5

7 ≈ 138,3865691


Ahora, es necesario encontrar el tiempo τ , tal que T (τ) = 100, es decir

75 + 105eτ(1

30ln 5

7) = 100

=⇒ 105eτ30

ln 5

7 = 100 − 75

=⇒ eτ30

ln 5

7 =25

105

=⇒ τ

30ln

5

7= ln

5

21

=⇒ τ = 30ln 5

21

ln 57

≈ 127,9527137


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Industrial de

Santander


Supletorio 3 er examenCálculo I

Enero de 2012Prof. G. Arenas

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :

No se permite el uso de teléfonos celulares durante el examen .Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada página de su hoja de examen.No se permite el préstamo de borradores, calculadoras, lápices, etc.El profesor no responderá preguntas, porque parte de la evaluación es la comprensión de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.

1. Un globo sube con rapidez constante de 7 pies/s. Un niño va en bicicleta por un camino recto a unarapidez de 12 pies/s. Cuando pasa bajo el globo, éste está a 60 pies arriba de él. ¿Qué tan rápido seincrementa la distancia entre el niño y el globo 10 segundo más tarde?

2. Trace la gráfica de una función que cumpla las condiciones dadas.f es impar, f ′ (x) > 0 para 0 < x < 3, f ′ (x) < 0 para x > 3, lım

x→∞f (x) = 2, f ′′ (x) < 0 para 0 < x < 4

y f ′′ (x) > 0 para x > 4.Determine claramente los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los intervalos de concavidad, lasasíntotas, y los máximos y mínimos.

3. Un modelo aplicado para el rendimiento R de un cultivo agrícola como una función del nivel de nitrógenoN en el suelo (que se mide en las unidades apropiadas) es

R =α2N

1 +N +N2,

donde α es una constante. ¿Qué nivel de nitrógeno proporciona el mejor rendimiento? ¿Qué pasa con elrendimiento cuando el nivel de nitrógeno es muy grande? ¿Es cierto que la mayor razón de crecimientose obtiene cuando N = 1/2?

4. a) Una ventana tiene la forma de un cuadrado coronado por un triángulo equilátero. La base de laventana se mide como si tuviera un ancho de 75 cm, con un error posible en la medición de 2 mm.Use diferenciales para estimar el error posible máximo al calcular el área de la ventana.

b) Suponga que f(0) = −3 y f ′(x) ≤ 5 para todos los valores de x. ¿Qué tan grande es posible quesea f(2)?


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Industrial de

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25 de marzo de 2014Prof. Gilberto Arenas Díaz

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :


1. Encuentredy

dx, después escriba una ecuación para la recta tangente a la gráfica de la ecuación x3 +

xy2 − x2y + 3y3 = 4 en el punto (1, 1).

2. Trace la gráfica de una función que cumple las siguientes condiciones:f (−x) = −f (x), f ′ (x) > 0 si |x| < 2, f ′ (x) < 0 si |x| > 2, f ′ (2) = 0, lım

x→∞f (x) = 1, f ′′ (x) < 0 si

0 < x < 4, f ′′ (x) > 0 si x > 4.


dx.

a) y = (arctan x)√

ln(x4).

b) y =[

tanx+(

x+ sen2 x)3]4

.

c) y =(

xcos2 x)

senx.




c) Existe una función f tal que f (x) > 0, f ′ (x) < 0 y f ′′ (x) > 0 para todo x.



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Industrial de

Santander


Cuarto examenCálculo I

Agosto 27 de 2010

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada página de su hoja de examen.No se permite el préstamo de borradores, calculadoras, lápices, etc.El profesor no responderá preguntas, porque parte de la evaluación es la comprensión de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.No se permite el uso de teléfonos celulares durante el examen.

1. Un avión que vuela con una rapidez constante de 300km/h pasa sobre una estación terrestre de radara una altitud de 1 km y se eleva con un ángulo de 30◦:

a) (35 %) Halle la expresión que permite calcular la distancia entre el avión y la estación.b) (65 %) Determine en qué proporción se incrementa la distancia del avión a la estación de radar un

minuto más tarde.

2. Trace la gráfica de la función que cumple las condiciones: f es impar, f ′(x) < 0 para 0 < x < 2, f ′(x) > 0para x > 2, f ′′(x) > 0 para 0 < x < 3, f ′′(x) < 0 para x > 3, lım

x→∞f(x) = −2.

3. Encuentre las dimensiones del rectángulo de área más grande que tenga su base sobre el eje x y susotros dos vértices arriba del eje x sobre la parábola y = 8− x2.


a) La aproximación lineal de la curva y =√1− x en a = 0 es y = 1− 1

3x.

b) Si una función f tiene un mínimo absoluto en c entonces f ′(c) = 0.c) Si una función y = f(x) es par, entonces y′ = f ′(x) es par.d ) Si f ′(x) = g′(x) para 0 < x < 1, entonces f(x) = g(x) para 0 < x < 1.e) Existe una función f tal que f(x) > 0, f ′(x) < 0 y f ′′(x) > 0 para todo x.

Solución del Cuarto Examen de Cálculo I

1. t: tiempo (en horas),r (t): distancia entre el avión y la estación del radar(en kilómetros),x (t): distancia recorrida por el avión después decambiar el ángulo de elevación,dxdt = 300 km/h,θ = 90◦ + 30◦ = 120◦: ángulo de elevación.De la figura se observa que se puede aplicar la leyde los cosenos

r2 = a2 + b2 − 2ab cos θ

r2 = x2 + 12 − 2 (x) (1) cos 120

r2 = x2 + 1− 2x (−1/2)

b

θ = 30◦

radar

avión

b = 1 km

r(t)

a =x(t

)


Por tanto una expresión que relaciona la distancia recorrida por el avión después de cambiar el ángulode elevación y la distancia entre el avión y la estación del radar es

r2 = x2 + x+ 1. (∗)

Dado que x (t) = V · t, entonces x (t) = 300t de donde la expresión anterior se transforma en

[r (t)]2 = 90000t2 + 300t + 1. (∗∗)

Ahora, si t = 1min = 160h, se puede encontrar el valor de r de dos formas, una forma encontrando el

valor de x(

160

)

= 300 160 = 5 km y reemplazando en la ecuación (∗)

[

r(

160

)]2= 52 + 5 + 1 = 31 =⇒ r =

√31 km,

otra forma es reemplazar directamente en la ecuación (∗∗) el valor de t

[

r(

160

)]2= 90000

(

1

60

)2

+ 3001

60+ 1 = 31 =⇒ r =

√31 km,

Ahora, derivando implícitamente la ecuación (∗) se tiene que

2rdr

dt= (2x+ 1)

dx

dt

reemplazando los datos dados y los obtenidos se tiene

2√31

dr

dt= (2 ∗ 5 + 1) 300 =⇒ dr

dt=

3300

2√31

=1650√31

≃ 296. 35 km/h.

2. f es impar implica que f (−x) = −f (x), esto adicionalmente implica que f (0) = 0;

f ′(x) < 0 para 0 < x < 2 implica que f (x) es decreciente en 0 < x < 2 y como es impar también esdecreciente en el intervalo −2 < x < 0;f ′(x) > 0 para x > 2 implica que f (x) es creciente para x > 2 y como es impar también es creciente enel intervalo x < −2;el hecho de que f (x) sea y que f ′′ (x) > 0 para 0 < x < 3, implica que f (x) es cóncava hacia arriba enel intervalo 0 < x < 3 y cóncava hacia abajo en el intervalo −3 < x < 0;el hecho de que f (x) sea impar y que f ′′ (x) < 0 para x > 3, implica que f (x) es cóncava hacia abajopara x > 3 y cóncava hacia arriba para x < −3;dado que lım

x→∞f (x) = −2 y que f (x) es impar, implica que lım

x→−∞f (x) = 2. En la siguiente gráfica se

esboza lo anterior.


3. Área es igual a base por altura, la base es 2x y la altura esy, luego A = 2xy, y = 8 − x2, por tanto A = 2x

(

8− x2)

=

16x− 2x3, luegodA

dx= 16− 6x2.

Para encontrar los puntos críticos igualamos a cero:16− 6x2 = 0, implicando que

x2 =16

6=

8

3=⇒ x = ±2

√

2

3,

dadas las condiciones del problema consideramos solo el valor

de x positivos, es decir x = 2√

23 . Ahora, reemplazando se

obtiene y. y = 8 −(

2√

23

)2

= 8 − 83 = 16

3 . Por tanto se tiene

que la base es 2x = 4√

23 y la altura es y = 16

3 . x

y = 8− x2

y

x

4. a) (Falso ) La aproximación lineal de la curva y = f (x) =√1− x en a = 0 está dada por

L (x) = f (a) + f ′ (a) (x− a) = f (0) + f ′ (0) (x) .

Como f ′ (x) = −12√1−x

, entonces f ′ (0) = −12 , f (0) = 1, por tanto L (x) = 1− 1

2x.

b) (Falso ) Considere por ejemplo la función f (x) = |x|, esta función alcanza su valor mínimo absolutoen x = 0, pero f ′ (0) no existe.Puede considerarse también una función estrictamente creciente en un intervalo cerrado [a, b], elvalor mínimo se alcanza en x = a, pero claramente, dado que la función es estrictamente creciente,al evaluar la derivada en x = a, da mayor que cero.

c) (Falso ) Considere por ejemplo la función para f (x) = x2, f ′ (x) = 2x, la cual claramente es unafunción impar.En general si f (x) = x2n, donde n es entero, se tiene que f es una función par, ahora, f ′ (x) = (2n)x2n−1

claramente es una función impar.d ) (Falso ) Considere por ejemplo g (x) = ax+ c y f (x) = ax, claramente g (x) 6= f (x), pero g′ (x) =

a = f ′ (x).En general puede considerar una función derivable h (x), entonces si se consideran g (x) = h (x)+cy f (x) = h (x), se tiene que g (x) 6= f (x), pero g′ (x) = h′ (x) = f ′ (x).

e) (Verdadero ) Considere f (x) = e−x > 0 ∀x ∈ R, f ′ (x) = −e−x < 0 ∀x ∈ R y f ′′ (x) = e−x > 0,∀x ∈ R.


Universidad

Industrial de

Santander



Septiembre 3 de 2010

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :


1. Se instala una cámara de televisión a 4000 pies de la base de una plataforma de lanzamiento de cohetes.El ángulo de elevación de la cámara tiene que cambiar con la proporción correcta con el objeto de tenersiempre a la vista al cohete. Asimismo, el mecanismo de enfoque de la cámara tiene que tomar encuenta la distancia creciente de la cámara tiene que tomar en cuenta la distancia creciente de la cámaraal cohete que se eleva.Suponga que el cohete se eleva verticalmente y que su rapidez es 600 pies/s cuando se ha elevado3000 pies.



2. Trace la gráfica de una función que cumple las siguientes condiciones: f ′ (x) > 0 si |x| < 2, f ′ (x) < 0 si|x| > 2, f ′ (2) = 0, lım

x→∞f (x) = 1, f (−x) = −f (x), f ′′ (x) < 0 si 0 < x < 3, f ′′ (x) > 0 si x > 3.

3. Una refinería se localiza al norte de la orilla de un río recto que es de 2 km de ancho. Se debe construiruna tubería desde la refinería hasta un tanque de almacenamiento que se localiza al sur de la orilladel río 6 km al este de la refinería. El costo de instalación de la tubería es 400000 dólares/km en tierrahasta el punto P al norte de la orilla y 800000 dólares/km bajo el río hasta el tanque. Con la finalidad deminimizar el costo de la tubería, ¿dónde se localiza P?







Universidad

Industrial de

Santander



Febrero de 2011Prof. Doris González

Grupo

Nombre: Código:

1. Un granjero quiere cercar un área de 1,5 millones de pies cuadrados de un campo rectangular, y luegodividirla a la mitad mediante una cerca paralela a uno de los lados del rectángulo. ¿De qué manera debehacerlo para que los costos de la cerca sea mínimos?

2. Un globo sube con rapidez constante de 5 pies/s. Un niño va en bicicleta por un camino recto a unarapidez de 15 pies/s. Cuando pasa bajo el globo, éste está a 45 pies arriba de él. ¿Qué tan rápido seincrementa la distancia entre el niño y el globo 3 segundos más tarde?

3. Trace la gráfica de una función que cumple todas las condiciones dadas:f ′ (1) = f ′ (−1) = 0, f ′ (x) < 0 si |x| < 1, f ′ (x) > 0 si 1 < |x| < 2, f ′ (x) = −1 si |x| > 2, f ′′ (x) < 0 si−2 < x < 0, tiene un punto de inflexión en (0, 1).

4. Determine si la afirmación dada es verdadera o falsa, justificando su afirmación.

a) La aproximación lineal de la función y = x3 − 2x2 + 1 en a = 1 es y = x− 1.

b) Existe una función f tal que f (0) = −1, f (2) = 4 y f ′ (x) ≤ 2 para toda x.c) Si f ′′ (2) = 0, entonces (2, f (2)) es un punto de inflexión de la curva y = f (x).d ) Si f y g son funciones crecientes en un intervalo I, entonces f + g es creciente en I.

e) lımx→0

x

ex= 1.

Solución del cuarto examen de Cálculo I

1.

y

x

Área: xy = 1500000, esto implica que y = 1500000x .

Observe que x ∈ (0,∞) .Como se quiere minimizar el costo de la cerca, estese minimiza cuando se tiene la longitud minima, portanto debemos encontrar una expresión para la lon-gitud, que claramente se encuentra por medio de:Longitud: L = 2x+3y, reemplazando y, se tiene quela función a minimizar es

L (x) = 2x+4500000

x.

Derivando se tiene que

L′ (x) = 2− 4500000

x2.

Encontramos el punto critico igualando la derivada a cero:

2− 4500000

x2= 0 =⇒ x2 = 2250000 =⇒ x = 1500

Observe que no se consideró el caso x = 0 ya que no pertenece al dominio de definición del problema.No se consideró el valor de x = −1500, dado que x > 0.Por el criterio de la segunda derivada se tiene que

L′′ (x) =9000000

x3=⇒ L′′ (1500) =

9000000

15003> 0


Por tanto la curva es cóncava hacia arriba y en el punto x = 1500 la función L (x) tiene un valor mínimorelativo (que en este caso es absoluto).

Reemplazando en la ecuación para y se tiene que y = 15000001500 = 1000.

Por lo tanto las dimensiones que minimizan el costo de la cerca son y = 1000 pies y x = 1500 pies.

2. Según los datos dado se tiene que si y representa la al-tura y x representa la distancia recorrida por la bicicleta,

se tiene quedy

dt= 5 pies/s y

dx

dt= 15 pies/s. Si el

tiempo t = 0 cuando el niño pasa bajo el globo, entoncesy (t) = 45+5t y x (t) = 15t. Observe que si se denota conz (t) la distancia entre el niño y el globo, entonces por elteorema de Pitágoras se tiene que

[z (t)]2 = [x (t)]2 + [y (t)]2 .

y

x

z

↑dydtdxdt→

Si se deriva implícitamente se tiene que

2z (t)dz

dt= 2x (t)

dx

dt+ 2y (t)

dy

dt=⇒ dz

dt=

x (t)dx

dt+ y (t)

dy

dtz (t)

.

Ahora, [z (3)]2 = [x (3)]2+[y (3)]2, entonces z (3) =√

[15 · 3]2 + [45 + 5 · 3]2 =√452 + 602 =

√5625 = 75.

Luego se tiene que

dz

dt

∣

∣

∣

∣

t=3

=x (3)

dx

dt+ y (3)

dy

dtz (3)

=(45) (15) + (60) (5)

75=

975

75= 13.

Por tanto el incremento de la distancia entre el niño y el globo 3 segundo después esdz

dt

∣

∣

∣

∣

t=3

= 13 pies/s.

3. Trace la gráfica de una función que cumple todas las condiciones dadas:f ′ (1) = f ′ (−1) = 0, f ′ (x) < 0 si |x| < 1, f ′ (x) > 0si 1 < |x| < 2, f ′ (x) = −1 si |x| > 2, f ′′ (x) < 0 si−2 < x < 0, tiene un punto de inflexión (0, 1).Según los datos dados se tiene que x = 1 y x = −1son puntos críticos. Ahora el signo de la deriva-da implica que, donde es negativa la derivada en-tonces la función es decreciente y que donde espositiva la derivada entonces la función es cre-ciente. Esto es:

(−∞,−2) (−2,−1) (−1, 1) (1, 2) (2,∞)

f ′ − + − + −

f ց ր ց ր ց

En x = 1 la función tiene un valor mínimo relati-vo dado que la curva cambia de decreciente a cre-ciente.En x = −1 la función tiene un valor máximo relati-vo dado que la curva cambia de creciente a decre-ciente.Ahora, el signo de la segunda derivada determinadonde la función es cóncava hacia arriba o haciaabajo (f ′′ (x) > 0 ⇒ f∪ y f ′′ (x) < 0 ⇒ f∩ )

(−2, 0)

f ′′ −f ∩

La condición f ′ (x) = −1 si |x| > 2, implica que lapendiente para x < −2 y para x > 2 es m = −1.

Se debe considerar además que el punto (0, 1) esde inflexión.Un gráfica que cumple la condiciones anteriores esla siguiente.

1

2

−1

1 2 3 4−1−2−3−4

b

y

x

Es de observar que existen muchos posibles esbozos para una gráfica que cumpla dichas condiciones.


4. Determine si la afirmación dada es verdadera o falsa, justificando su afirmación.

a) La aproximación lineal de la función y = x3 − 2x2 + 1 en a = 1 es y = x− 1.

(Falsa) Observe que y (1) = 1−2+1 = 0, ahora y′ = 3x2−4x, y′ (1) = −1, por tanto la aproximaciónlineal es y = − (x− 1) = 1− x.

b) Existe una función f tal que f (0) = −1, f (2) = 4 y f ′ (x) ≤ 2 para toda x.(Falsa) El hecho que f ′ (x) ≤ 2, implica que f (x) es diferenciable para toda x, este hecho a suvez, implica que f (x) es continua. Ahora si f es continua, en particular para x ∈ [0, 2], por tantopodemos utilizar el TVM, es decir existe c ∈ (0, 2) tal que

f ′ (c) =f (2)− f (0)

2− (0)=

4− (−1)

2=

5

2> 2,

es decir que existe al menos un punto donde la función tiene por derivada 52 , que es mayor que 2.

Luego la afirmación es falsa.c) Si f ′′ (2) = 0, entonces (2, f (2)) es un punto de inflexión de la curva y = f (x).

(Falsa) Considere por ejemplo la función f(x) = (x − 2)4, claramente la segunda derivada esf ′′(x) = 12(x− 2)2, luego f ′′ (2) = 0, pero (2, f (2)) no es un punto de inflexión, dado que la funciónf(x) = (x− 2)4 es cóncava hacia arriba.

d ) Si f y g son funciones crecientes en un intervalo I, entonces f + g es creciente en I.(Verdadera) Si f y g son funciones crecientes en I, entonces f ′ (x) > 0 y g′ (x) > 0 para x ∈ I,luego f ′ (x)+ g′ (x) = (f + g)′ (x) > 0 para x ∈ I, entonces f + g es creciente en I.

e) lımx→0

x

ex= 1.

(Falsa) lımx→0

x

ex=

0

e0=

0

1= 0.


Universidad

Industrial de

Santander


Examen OpcionalCálculo I

21 de Febrero de 2011Prof. G. Arenas D.

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :


1. a) (3, p. 171) Evalúe lımx→0

|2x− 1| − |2x+ 1|x

.

(No se acepta dar respuestas tabulando).

b) (60, p. 305) Halle el límite lımx→∞

(ex + x)1/x .

c) (52, p. 214) Halle la derivada de la función F (θ) = arc sen√sen θ. Simplifique hasta donde sea

posible.

2. a) (75, p. 182) Sea{

x2 si x ≤ 2,mx+ b si x > 2.

Determine los valores de m y b que hacen que f sea siempre derivable.

b) (60, p. 262) Halle la ecuación de la línea tangente a la curva x2 + 4xy + y2 = 13 en el punto (2, 1).

3. (43, p. 247) Un individuo corre por una pista circular de 100 m de radio a una rapidez constante de 7m/s. Un amigo del corredor está parado a una distancia de 200 m del centro de la pista. ¿Qué tan rápidocambia la distancia entre los amigos cuando la distancia entre ellos es de 200 m?

4. (6, p. 352) Encuentre el punto sobre la parábola y = 1− x2 en el cual la recta tangente corta del primercuadrante el triángulo con el área más pequeña.


Solución del Examen Opcional de Cálculo I – SS2010

1. a) (3, p. 171) Evalúe lımx→0

|2x− 1| − |2x+ 1|x

.

(No se acepta dar respuestas tabulando).Opción 1 . Utilizando la definición de valor absoluto se tiene

|2x− 1| ={

2x− 1 si x ≥ 1/21− 2x si x < 1/2 y |2x+ 1| =

{

2x+ 1 si x ≥ −1/2− (2x+ 1) si x < −1/2

Luego, si x está cerca a cero, entonces

lımx→0

|2x− 1| − |2x+ 1|x

= lımx→0

(1− 2x)− (2x+ 1)

x= lım

x→0

−4x

x= −4.

Opción 2 . Dado que el límite tiene la forma(

00

)

, entonces se puede utilizar L’Hospital

lımx→0

|2x− 1| − |2x+ 1|x

= lımx→0

|2x−1|2x−1 (2)− |2x+1|

2x+1 (2)

1=

(2)(

|2·0−1|2·0−1 − |2·0+1|

2·0+1

)

1=

(2) (−1− 1)

1= −4.

b) (60, p. 305) Halle el límite lımx→∞

(ex + x)1/x .

Solución. De acuerdo a la continuidad de la función exponencial

lımx→∞

(ex + x)1/x = elımx→∞1

xln(ex+x).

Ahora

lımx→∞

ln (ex + x)

x= lım

x→∞

1ex+x (e

x + 1)

1= lım

x→∞ex + 1

ex + x= lım

x→∞ex

ex + 1== lım

x→∞ex

ex= 1.

Asílımx→∞

(ex + x)1/x = e1 = e.

c) (52, p. 214) Halle la derivada de la función F (θ) = arc sen√sen θ. Simplifique hasta donde sea

posible.Solución.

F ′ (θ) =1

√

1−(√

sen θ)2

(

1

2√sen θ

· cos θ)

=cos θ

2√sen θ

√1− sen θ

2. a) (75, p. 182) Sea{

x2 si x ≤ 2,mx+ b si x > 2.

Determine los valores de m y b que hacen que f sea siempre derivable.

Solución. Se necesita inicialmente que f (x) sea continua en x = 2, para esto se debe tener que

lımx→2−

f (x) = f (2) = lımx→2+

f (x) =⇒ lımx→2−

x2 = 4 = lımx→2+

mx+ b =⇒ 4 = 2m+ b.

Ahora, se sabe que f ′ (x) = 2x para x < 2 y f ′ (x) = m para x > 2, es decir que para que f (x) seadiferenciable en x = 2, se debe tener que

lımx→2−

2x = lımx→2+

m =⇒ 4 = m,


y por consiguiente, reemplazando en la ecuación anterior se obtiene que

4 = 2 ∗ 4 + b =⇒ b = −4.

Es decir, que los valores que hacen que la función f (x) sea diferenciable para todo x son m = 4 yb = −4, esto es

f (x) =

{

x2 si x ≤ 2,4x− 4 si x > 2.

b) (60, p. 262) Halle la ecuación de la línea tangente a la curva x2 + 4xy + y2 = 13 en el punto (2, 1).Solución. Es conveniente verificar inicialmente que el punto (2, 1) pertenece a la curva. En efecto,22 + 4 · 2 · 1 + 12 = 4 + 8 + 1 = 13 (X).Ahora, derivando implícitamente la ecuación se obtiene

2x+ 4

(

y + x · dydx

)

+ 2y · dydx

= 0 =⇒ (4x+ 2y)dy

dx= − (2x+ 4y) =⇒ dy

dx= −x+ 2y

2x+ y

dy

dx

∣

∣

∣

∣

(2,1)

= −2 + 2

4 + 1= −4

5.

Por tanto la ecuación de la línea tangente a la curva en el punto (2, 1) tiene pendiente −45 y es dada

por la ecuación

y − 1 = −4

5(x− 2) =⇒ y = −4

5x+

13

5.

3. (43, p. 247) Un individuo corre por una pista circular de 100 m de radio a una rapidez constante de 7m/s. Un amigo del corredor está parado a una distancia de 200 m del centro de la pista. ¿Qué tan rápidocambia la distancia entre los amigos cuando la distancia entre ellos es de 200 m?Solución. De la gráfica podemos observar que se puedeutilizar la ley del coseno para determinar como varia ladistancia entre los dos amigos en función del tiempo, siz (t) denota la distancia entre ellos y θ (t) denota el ánguloentre el segmento que une el centro de la pista con elobservador y el segmento que une el centro de la pistacon el corredor, se tiene que

z2 = 2002 + 1002 − 2 · 200 · 100 · cos θ

z2 = 50000 − 40000 cos θ. ((∗))

b b

b

b

θ200

r = 100z(t)

Ahora, si z = 200, entonces

2002 = 50000 − 40000 cos θ =⇒ cos θ =40000 − 50000

−40000=⇒ cos θ =

1

4.

Derivando implícitamente la ecuación (∗) se tiene que

2zdz

dt= 40000 sen θ

dθ

dt=⇒ dz

dt= 20000

sen θ

z

dθ

dt.

Observe que el dato de la velocidad, corresponde a velocidad tangencial dvdt , pero en la ecuación, se

necesita la velocidad angular dθdt , se sabe que dv

dt = r dθdt , como en este caso el radio es r = 100 m y

dvdt = 7 m/s, entonces se obtiene que dθ

dt = 7100 rad/s. Por otra parte, en la última ecuación se necesita

sen θ cuando z = 200, pero se sabe que cuando z = 200, cos θ = 14 , por la identidad trigonométrica

pitagórica se tiene que sen θ = ±√

1−(

14

)2= ±

√

1516 = ±

√154 , en consecuencia

dz

dt

∣

∣

∣

∣

z=200

= 20000

(

±√154

)

200

(

7

100

)

= ±7

4

√15.

El hecho que la respuesta de con signo positivo o con signo negativo, es dado por que hay dos momentosen los cuales los amigos están a 200 m, en un momento el corredor se va acercando al observado (−),y en el otro momento se va alejando del observador (+).


4. (6, p. 352) Encuentre el punto sobre la parábola y = 1− x2 en el cual la recta tangente corta del primercuadrante el triángulo con el área más pequeña.

Solución. Sea(

a, 1− a2)

un punto del primer cuadrante sobre la parábola y = 1 − x2 (a ∈ (0, 1], a nopuede ser cero porque en dicho caso no se formaría un triángulo, a no puede se mayor a 1 porque endicho caso el punto sobre la parábola no estaría en el primer cuadrante). Si b representa la distanciaentre el origen y el punto de corte entre la recta tangente y el eje x, y si h representa la distancia entreel origen y el punto de corte entre la recta tangente y el eje y, entonces A = 1

2bh.

Como y = 1 − x2, entonces dydx = −2x, ahora la pendiente de la recta tangente que pasa por el punto

(

a, 1 − a2)

es dydx

∣

∣

∣

(a,1−a2)= −2a, y en consecuencia la ecuación de la recta tangente que pasa por dicho

punto esy −

(

1− a2)

= −2a (x− a) =⇒ y = −2ax+ 1 + a2.

Se debe encontrar ahora los puntos de corte con los ejes.

Si x = 0, entonces y = 1 + a2, es decir, h = 1 + a2

Si y = 0, entonces 0 = −2ax+ 1 + a2, por tanto x =1 + a2

2a, luego b =

1 + a2

2a.

Ahora, la función a minimizar es

A (a) =1

2hb =

1

2

(

1 + a2)

(

1 + a2

2a

)

=⇒ A (a) =

(

1 + a2)2

4a, a ∈ (0, 1] .

Se debe encontrar ahora los puntos críticos, para ello se encuentra la derivada de A.

A′ (a) =

[

2(

1 + a2)

(2a)]

(4a)−(

1 + a2)2

(4)

(4a)2=

(

1 + a2) (

3a2 − 1)

4a2.

El punto crítico a = 0, no se tiene en cuenta dado que no pertenece al intervalo (0, 1], ahora A′ (a) = 0,

si(

1 + a2) (

3a2 − 1)

= 0, esto implia que 3a2 − 1 = 0, y en consecuencia a = ±√

13 = ±

√33 , se debe

considerar solo el valor positivo que es el que esta en el intervalo (0, 1] (no se considera(

1 + a2)

dadoque esta expresión es siempre positiva).Para determinar si es un valor máximo o mínimo relativo se puede utilizar el criterio de la segundaderivada.

A′′ (a) =d

da

[

(

1 + a2) (

3a2 − 1)

4a2

]

=

[

2a(

3a2 − 1)

+(

1 + a2)

(6a)] (

4a2)

−(

1 + a2) (

3a2 − 1)

(8a)

16a4

=8a([(

3a2 − 1)

+(

1 + a2)

(3)] (

a2)

−(

1 + a2) (

3a2 − 1))

16a4

=

(

6a4 + 2a2)

−(

3a4 + 2a2 − 1)

2a3=

3a4 + 1

2a3.

Claramente en el intervalo (0, 1], A′′ (a) > 0, por tanto el valor de

A

(√3

3

)

=

(

1 +(√

33

)2)2

4√33

=

(

43

)2

43

√3=

43√3=

4

9

√3 ≈ 0,769 8

corresponde a un valor mínimo relativo, que en este caso es absoluto.Dado que se está trabajando en un intervalo cerrado, se podría haber comparado con el valor de A(1) =(1 + (12))2

4(1)= 1, que claramente es mayor que el valor encontrado para A

(√33

)

.

En consecuencia el punto sobre la gráfica de la parábola y = 1 − x2 en el cual la recta tangente corta

del primer cuadrante el triángulo con el área más pequeña, es(√

33 , 1−

(√33

)2)

=(√

33 , 23

)

.


Universidad

Industrial de

Santander



Agosto de 2011

Grupo

Nombre: Código:.

Instrucciones :No se permite el uso de teléfonos celulares durante el examen .Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada página de su hoja de examen.No se permite el préstamo de borradores, calculadoras, lápices, etc.El profesor no responderá preguntas, porque parte de la evaluación es la comprensión de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.

Tema A1. Sea f (x) = 3

√x.

a) Si a 6= 0, use la definición de derivada para hallar f ′ (a).b) Demuestre que f ′ (0) no existe.c) Demuestre que y = 3

√x tiene una tangente vertical en el punto (0, 0).




3. Se entra grava por medio de una cinta transportadora a razón de 45 metros cúbicos por minuto; lasdimensiones de sus fragmentos permiten formar una pila en forma de cono cuyo diámetro y altura sonsiempre iguales. ¿Qué tan rápido se incrementa la altura de la pila cuando ésta mide 15 metros de alto?

4. Encuentre el área del rectángulo más gránde que puede inscribirse en la elipsex2

9+

y2

16= 1.

Tema B1. Sea f (x) = 3

√x.

a) Si a 6= 0, use la definición de derivada para hallar f ′ (a).b) Demuestre que f ′ (0) no existe.c) Demuestre que y = 3

√x tiene una tangente vertical en el punto (0, 0).




3. Se entra grava por medio de una cinta transportadora a razón de 36 metros cúbicos por minuto; lasdimensiones de sus fragmentos permiten formar una pila en forma de cono cuyo diámetro y altura sonsiempre iguales. ¿Qué tan rápido se incrementa la altura de la pila cuando ésta mide 12 metros de alto?

4. Encuentre el área del rectángulo más gránde que puede inscribirse en la elipsex2

25+

y2

16= 1.


Solución del examen opcional de Cálculo I

1. a) Tenga en cuenta que el factor x− a es equivalente a tener una diferencia de cubos, esto es,

x− a =(

x1/3 − a1/3)(

x2/3 + x1/3a1/3 + a2/3)

.

Ahora, si a 6= 0, se tiene

f ′ (a) = lımx→a

f (x)− f (a)

x− a= lım

x→a

x1/3 − a1/3(

x1/3 − a1/3) (

x2/3 + x1/3a1/3 + a2/3)

= lımx→a

1

x2/3 + x1/3a1/3 + a2/3=

1(

a2/3 + a1/3a1/3 + a2/3) =

1

3a2/3.

Por tanto, f ′ (a) = 13a

−2/3.

b)

f ′ (0) = lımh→0

f (0 + h)− f (0)

h= lım

h→0

h1/3 − 0

h= lım

h→0

1

h2/3.

La función g (h) = 1h2/3 crece indefinidamente cuando h → 0, por tanto el límite no existe, y en

consecuencia f ′ (0) no existe.c) Observe que la función f (x) = 3

√x es continua para todo número real, en particular para x = 0.

Ahoralımx→0

∣

∣f ′ (x)∣

∣ = lımx→0

1

3x2/3= ∞,

en consecuencia se tiene que f posee una tangente vertical en x = 0.

2. (Tema A)

a) Denótese por y el costo de producir x cantidad de hornos. Dado que el problema dice que el modeloes lineal, se tienen dos puntos de dicha línea: (1500, 120) y (2000, 150). Por tanto,

m =150− 120

2000 − 1500=

3

50,

y utilizando la ecuación punto-pendiente de una recta, se obtiene

y − 120 =3

50(x− 1500) =⇒ y =

3

50x− 90 + 120 =⇒ y =

3

50x+ 30.

b) La pendiente de la gráfica es 350 (millones / hornos) o equivalentemente $60 000 por horno, y repre-

senta que la produción de cada horno cuesta $60 000.c) La intersección con el eje y es 30 (millones) y representa el costo de funcionamiento (independiente

de si hace hornos o no, el administrador tiene que gastar a la semana 30 millones de pesos en elfuncionamiento de la industria).

(Tema B)

a) Denótese por y el costo de producir x cantidad de hornos. Dado que el problema dice que el modeloes lineal, se tienen dos puntos de dicha línea: (1000, 90) y (1500, 120). Por tanto,

m =120 − 90

1500 − 1000=

3

50,

y utilizando la ecuación punto-pendiente de una recta, se obtiene

y − 90 =3

50(x− 1000) =⇒ y =

3

50x− 60 + 90 =⇒ y =

3

50x+ 30.

(Observe que la respuesta es equivalente a la del Tema A)


3. (Tema A)

Las condiciones del problema dicen que dVdt = 45 (m3/min.).

V =1

3πr2h =

1

3π

(

h

2

)2

=1

12πh3 =⇒ dV

dh=

1

4πh2.

Ahora,dV

dt=

dV

dh

dh

dt=⇒ 45 =

(

1

4πh2

)

dh

dt=⇒ dh

dt=

180

πh2.

Cuando h = 15 m,dh

dt

∣

∣

∣

∣

h=15

=180

π (15)2=

4

5π≈ 0,254 65 m/min.

Por tanto, la rapidez de incremento de la altura cuando la pila mide 15 metros de alto es aproximada-mente 0,254 65 m/min.

(Tema B)

Las condiciones del problema dicen que dVdt = 36 (m3/min.).

V =1

3πr2h =

1

3π

(

h

2

)2

=1

12πh3 =⇒ dV

dh=

1

4πh2.

Ahora,dV

dt=

dV

dh

dh

dt=⇒ 36 =

(

1

4πh2

)

dh

dt=⇒ dh

dt=

144

πh2.

Cuando h = 12 m,dh

dt

∣

∣

∣

∣

h=12

=144

π (12)2=

1

π≈ 0,318 31 m/min.

Por tanto, la rapidez de incremento de la altura cuando la pila mide 12 metros de alto es aproximada-mente 0,31831 m/min.

4. (Tema A)El área del rectángulo inscrito es A = (2x) (2y) = 4xy. Ahora, como la ecuación de la elipse esx2

9 + y2

16 = 1, se obtiene al despejar y en función de x que

y2

16= 1− x2

9=⇒ y2 = 16

(

9− x2

9

)

=⇒ y =4

3

√

9− x2.

(Observe que sólo se considera le valor positivo de y dado que en este caso representa una longitud).De lo anterior se obtiene que el área en función del lado x es

A (x) = 4x

(

4

3

√

9− x2)

=16

3x√

9− x2.

(Se debe considerar a x ∈ [0, 3]).Ahora

A′ (x) =16

3

(

√

9− x2 +x (−2x)

2√9− x2

)

=16

3

(

9− 2x2√9− x2

)

.


Los números críticos se obtienen cuando cuando A′ (x) es cero o no existe. A′ (x) no existe cuandox = 3, pero en dicho caso el área es cero. Ahora, A′ (x) = 0 si 9 − 2x2 = 0, y esto implica que

x =√

92 = 3

√2

2 (observe que nuevamente sólo se considera el valor positivo de x). Es claro que 0 < 3√2

2 ,

A′ (0) = 163

(

9−2·02√9−02

)

= 16 > 0; también es claro que 3√2

2 <√8 < 3, A′ (√8

)

= 163

(

9−2·8√9−8

)

= 163 (−7) < 0,

y por el criterio de la primera derivada se obtiene que en x = 3√2

2 hay un valor máximo del área

A

(

3√2

2

)

=16

3

(

3√2

2

)

√

9− 9

2=

16

3· 92= 24.

Por tanto, el área del rectángulo más grande que se puede inscribir en la elipse es 24 (unidades2).

(Tema B)El área del rectángulo inscrito es A = (2x) (2y) = 4xy. Ahora, como la ecuación de la elipse esx2

25 + y2

16 = 1, se obtiene al despejar y en función de x que

y2

16= 1− x2

25=⇒ y2 = 16

(

25− x2

25

)

=⇒ y =4

5

√

25− x2.

(Observe que sólo se considera le valor positivo de y dado que en este caso representa una longitud).De lo anterior se obtiene que el área en función del lado x es

A (x) = 4x

(

4

5

√

25− x2)

=16

5x√

25− x2.

(Se debe considerar a x ∈ [0, 5]).Ahora

A′ (x) =16

5

(

√

25− x2 +x (−2x)

2√25− x2

)

=16

5

(

25− 2x2√25 − x2

)

.

Los números críticos se obtienen cuando cuando A′ (x) es cero o no existe. A′ (x) no existe cuandox = 5, pero en dicho caso el área es cero. Ahora, A′ (x) = 0 si 25 − 2x2 = 0, y esto implica que

x =√

252 = 5

√2

2 (observe que nuevamente sólo se considera el valor positivo de x). Es claro que 0 < 5√2

2 ,

A′ (0) = 165

(

25−2·02√25−02

)

= 16 > 0; también es claro que 5√2

2 <√24 < 5, A′ (√24

)

= 165

(

25−2·24√25−24

)

=

165 (−23) < 0, y por el criterio de la primera derivada se obtiene que en x = 5

√2

2 hay un valor máximo delárea

A

(

5√2

2

)

=16

5

(

5√2

2

)

√

25− 25

2=

16

5· 252

= 40.

Por tanto, el área del rectángulo más grande que se puede inscribir en la elipse es 40 (unidades2).


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Industrial de

Santander


Examen Opcional — SSCálculo I

Junio 10 de 2011

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :

No se permite el uso de teléfonos celulares durante el examen .Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada página de su hoja de examen.No se permite el préstamo de borradores, calculadoras, lápices, etc.El profesor no responderá preguntas, porque parte de la evaluación es la comprensión de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.

1. a) Determine lımx→∞

g (x), si para todo x > 1/9 se cumple que

7ex − 21x

3ex< g (x) <

7√x√

9x− 1.

b) Evaluar el siguiente límite lımx→0

x (x− 1) (1− ex)

cosx sen2 x.

2. a) Encuentre todos los puntos en [0, 2π], en la gráfica de la función f (x) = 2 sen x + sen2 x en loscuales la recta tangente es horizontal. ¿Existen puntos donde la recta tangente sea vertical?

b) Si h(x)=√

4+3 [f (x)]2, donde f (1)=4 y f ′(1)=7, hallar h′(1).

3. Trace la gráfica de una función que cumpla las condiciones dadas.f (2) = 2, f ′ (−2) = 3, f ′ (x) > 0 si |x| < 2, f ′ (x) < 0 si |x| > 2, lım

x→2|f (x)| = ∞ y f ′′ (x) > 0 para todo

x 6= 2.

4. Un modelo aplicado para el rendimiento R de un cultivo agrícola como una función del nivel de nitrógenoN en el suelo (que se mide en las unidades apropiadas) es

R =α2N

1 +N +N2,

donde α es una constante. ¿Qué nivel de nitrógeno proporciona el mejor rendimiento? ¿Qué pasa con elrendimiento cuando el nivel de nitrógeno es muy grande? ¿Es cierto que la mayor razón de crecimientose obtiene cuando N = 1/2?


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Industrial de

Santander


ValidaciónCálculo I


Grupo

Nombre: Código:.

Instrucciones :No se permite el uso de teléfonos celulares durante el examen .La nota obtenida en este examen se computará, sin importar si es inferior a la nota definitiva .Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada página de su hoja de examen.No se permite el préstamo de borradores, calculadoras, lápices, etc.El profesor no responderá preguntas, porque parte de la evaluación es la comprensión de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.

1. Un punto fijo de una función f es un número c en su dominio tal que f (c) = c. (La función no mueve ac; éste permanece fijo).

a) Dibuje la gráfica de una función continua con dominio [0, 1] cuyo recorrido también se encuentre en[0, 1]. Localice un punto fijo de f .

b) Intente graficar una función continua con dominio [0, 1] y recorrido [0, 1] que no tenga un punto fijo.¿Cuál es el obstáculo?

c) Use el teorema del valor intermedio para comprobar que cualquier función continua con dominio[0, 1] y recorrido en [0, 1] tiene que tener un punto fijo.

2. Un semicírculo con diámetro PQ descansa sobre un triánguloisóscels PQR para formar una región en forma de cono, comola que se ilustra en la figura. Si A (θ) es el área del semicírculoy B (θ) es el área del triángulo, halle

lımθ→0+

A (θ)

B (θ).

3. Un cono de radio r centímetros y altura h centímetros se introduce por la punta con una rapidez de 1cm/s en un cilindro alto de radio R centímetros que contiene una parte de agua (R > r). ¿Qué tan rápidosube el nivel del agua en el instante en que el cono está totalmente sumergido?

4. Dos postes verticales, PQ y ST , se aseguran por medio deun cable PRS extendido desde el extremo superior del primerposte hasta un punto R sobre el piso y, a continuación, hasta elextremo superior del segundo poste, como se ve en la figura.Demuestre que se tiene la longitud más corta de ese cablecuando θ1 = θ2.

5. A partir de las condiciones dadas para una función f , determine claramente los intervalos de crecimientoy decrecimiento, los intervalos de concavidad, las asíntotas, los puntos de inflexión y los máximos ymínimos. Por último, trace la gráfica de una función que cumpla con dichas condiciones.f es una función impar, lım

x→∞f (x) = 1, lım

x→5f (x) = −∞,

f ′ (x) > 0 en (0, 3) y (5, 8), f ′ (x) < 0 en (3, 5) y (8,∞),f ′′ (x) < 0 en (0, 5) y (5, 10) , y f ′′ (x) > 0 en (10,∞).


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Examen FinalCálculo I

Abril 23 de 2012

Grupo

Nombre: Código:

Lea con atención las siguientes instrucciones :No se permite el uso de calculadoras ni de teléfonos celulare s durante el examen.Resuelva cuatro de los siguientes cinco puntos, indique claramente cuales se deben considerar para califica r,de no hacerlo, se calificaran los cuatro primeros items.Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada página de su hoja de examen.No se permite el préstamo de borradores, reglas, lápices, etc.El profesor no responderá preguntas, porque parte de la evaluación es la comprensión de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.

1. Un vaso tiene la forma de un cono de altura igual a 10 cm y de radio 3 cm, en la parte superior. Si elagua se vierte en el vaso a razón de 2 cm3/s, ¿qué tan rápido sube el nivel del agua cuando ésta tiene5 cm de profundidad?

2. Se está transportando un tubo de acero por un pasillo de 9 pies de ancho. Al final de éste existe unavuelta en ángulo recto hacia otro pasillo más angosto de 6 pies de ancho (vea la Figura A). ¿Cuál es lalongitud del tubo más largo que se puede hacer pasar horizontalmente por la esquina?

3. En la Figura B se muestra un circunferencia con radio 1 inscrita en la parábola y = x2. Encuentre lascoordenadas del centro de la circunferencia.

Figura A.

y = x211 b

b b

Figura B.

4. Trace la gráfica de una función que cumpla con las siguientes condiciones:f es impar, f ′ (1) = f ′ (3) = f ′ (5) = 0, f ′ (x) < 0 en (0, 1), (2, 3), (5, 8), f ′ (x) > 0 en (1, 2), (3, 5),f ′′ (x) < 0 en (4, 6), f ′′ (x) > 0 en (0, 2), (2, 4), (6,∞), lım

x→2f (x) = ∞ y lım

x→∞f (x) = −1.

5. a) Demuestre que la ecuación 2x− 1− senx = 0 tiene exactamente una raíz real.

b) Encuentre dy/dx si y sen(

x2)

= x cos(

y2)

.

c) Halle el límite lımx→0+

(1 + senx)lnx.


Solución del examen final de Cálculo I

1. Un vaso tiene la forma de un cono de altura igual a 10 cm y de radio 3 cm, en la parte superior. Si elagua se vierte en el vaso a razón de 2 cm3/s, ¿qué tan rápido sube el nivel del agua cuando ésta tiene5 cm de profundidad?Solución.

dV

dt= 2 cm3/s, ¿

dh

dt

∣

∣

∣

∣

h=5cm?

h

r=

10

3=⇒ r =

3

10h

V =1

3

(

πr2)

h =⇒ V =1

3

(

π

(

3

10h

)2)

h =3π

100h3

dV

dt=

dV

dh· dhdt

=⇒ dV

dt=

9π

100h2 · dh

dt

dh

dt=

dV/dt

dV/dh=

dV/dt

9πh2/100=⇒ dh

dt

∣

∣

∣

∣

h=5cm=

2

9π (5)2 /100=

8

9πcm/s.

2. Se está transportando un tubo de acero por un pasillo de 9 pies de ancho. Al final de éste existe unavuelta en ángulo recto hacia otro pasillo más angosto de 6 pies de ancho (ver la figura A). ¿Cuál es lalongitud del tubo más largo que se puede hacer pasar horizontalmente por la esquina?Solución. Del gráfico se tiene que la longitud del tubo es dada por (se considerará el cuadrado de lalongitud, ya que hace más sencillo el proceso algebraico)

L = (9 + x)2 + (6 + y)2 .

Observe que se tiene la siguiente relación entre x y y,

6 + y

9 + x=

6

x=⇒ 6 + y =

6

x(9 + x) =⇒ y =

54

x,

luego

L (x) = (9 + x)2 +

(

6 +54

x

)2

, x > 0.

(Observe que cuando el valor de x es muy grande entonces la longitud también es muy grande, lo mismopasa si el valor de x se aproxima a cero, por tanto se debe busca el valor que hace que la longitud seamínima, es decir, el mínimo de dicha función).La derivada de esta función es

L′ (x) = 2 (9 + x) + 2

(

6 +54

x

)(

−54

x2

)

=2

x3(

x4 + 9x3 − 324x− 2916)

=2

x3{

x3 (x+ 9)− 324 (x+ 9)}

=2

x3(x+ 9)

(

x3 − 324)

.

Dado que x > 0, entonces se debe revisar cuando L′ (x) = 0, esto implica que (x+ 9)(

x3 − 324)

= 0,de donde x = −9 (no tiene sentido en el ejercicio) o x = 3

√324. Ahora

L′′ (x) =2

x4(

x4 + 648x + 8748)

,


de donde claramente se tiene que L′′ ( 3√324)

> 0, por tanto, por el criterio de la segunda derivada, setiene que el valor encontrado hace que la longitud sea mínima. Luego

L(

3√324)

=(

9 +3√324)2

+

(

6 +54

3√324

)2

y la longitud del tubo más largo que pasa por la esquina es

ℓ =

√

(

9 +3√324)2

+

(

6 +54

3√324

)2

ft.

3. En la figura B se muestra una circunferencia con radio 1 inscrita en la parábola y = x2. Encuentre lascoordenadas del centro de la circunferencia.Solución. De la figura se tiene que el centro es de la forma (0, h), por tanto la circunferencia tiene laecuación x2 + (y − h)2 = 1, derivando implícitamente se tiene

2x+ 2 (y − h) y′ = 0 =⇒ y′ = − x

y − h.

Por otra parte, y = x2, entonces y′ = 2x, como en el punto las pendientes son iguales, entonces se tieneque

− x

y − h= 2x =⇒ y = h− 1

2.

(Dado que y = x2, entonces también se tiene que x2 = h − 12 o h = 1

2 + x2). Reemplazando y = h − 12

en la ecuación de la circunferencia,

x2 +

((

h− 1

2

)

− h

)2

= 1 =⇒ x2 +1

4= 1 =⇒ x2 =

3

4=⇒ x = ±

√3

2

y

h =1

2+

3

4=

5

4.

Es decir, el centro de la circunferencia es(

0, 54)

.

4. Trace la gráfica de una función que cumpla con las siguientes condiciones:f es impar, f ′ (1) = f ′ (3) = f ′ (5) = 0, f ′ (x) < 0 en (0, 1), (2, 3), (5,∞), f ′ (x) > 0 en (1, 2), (3, 5),f ′′ (x) < 0 en (4, 6), f ′′ (x) > 0 en (0, 2), (2, 4), (6,∞), lım

x→2f (x) = ∞ y lım

x→∞f (x) = −1.

Solución. El signo de la derivada dice donde f es creciente y donde decreciente

(0, 1) (1, 2) (2, 3) (3, 5) (5,∞)f ′ − + − + −f ց ր ց ր ց

El signo de la segunda derivada dice donde f es cóncava hacia abajo y donde cóncava hacia arriba

(0, 2) (2, 4) (4, 6) (6,∞)f ′′ + + − +f ∪ ∪ ∩ ∪

Como f es impar, entonces se tiene que

(−∞,−5) (−5,−3) (−3,−2) (−2,−1) (−1, 0)f ′ − + − + −f ց ր ց ր ց

y(−∞,−6) (−6,−4) (−4,−2) (−2, 0)

f ′′ − + − −f ∩ ∪ ∩ ∩


La condición f impar y f ′ (1) = f ′ (3) = f ′ (5) = 0, implican que f ′ (−1) = f ′ (−3) = f ′ (−5) = 0; ahora,si agregamos las características encontradas con la primera y segunda derivada, se obtiene que enx = −5, 1, 3 hay valores mínimos locales, y en x = −3,−1, 5 hay máximos locales.La condición f impar junto con el hecho que lım

x→2f (x) = ∞, implican que x = −2 y x = 2 son asíntotas

verticales. La condición f impar, junto con el hecho que lımx→∞

f (x) = −1 implican que y = −1 y y = 1

son asíntotas horizontales.En la gráfica se hace un esbozo de una función que cumple todas las condiciones encontradas.

b b b b b b bb b b b b b b

5. a) Demuestre que la ecuación 2x− 1− senx = 0 tiene exactamente una raíz real.Solución. Una función tiene una única raíz real si ella es continua, monótona y tiene algún puntodonde es positiva y otro donde es negativa. Considere la función f (x) = 2x − 1 − senx, la cualclaramente es continua en todo R. Ahora, si se deriva se obtiene que f ′ (x) = 2 − cos x ≥ 1,∀x ∈ R, dado que cos x ∈ [−1, 1], en consecuencia f (x) es estrictamente creciente ∀x ∈ R. Ahoraf (0) = −1 < 0 y f (π) = 2π − 1 ≈ 5,2832 > 0, entonces se verifica que f (x) satisface las hipótesismencionadas, y en consecuencia existe un valor c ∈ [0, π] tal que f (c) = 2c− 1− sen c = 0.

b) Encuentre dy/dx si y sen(

x2)

= x cos(

y2)

.Solución. Al derivar implícitamente y aplicar la regla de la cadena, se obtiene

dy

dxsen(

x2)

+ y cos(

x2)

· 2x = cos(

y2)

+ x

(

− sen(

y2)

· 2y dydx

)

despejando se obtiene

dy

dx·(

sen(

x2)

+ 2xy sen(

y2))

= cos(

y2)

− 2xy cos(

x2)

de donde se obtienedy

dx=

cos(

y2)

− 2xy cos(

x2)

sen (x2) + 2xy sen (y2).


(1 + senx)lnx.

Solución. Observe que en el límite se tiene una de las formas de indeterminación (1∞), peroutilizando el hecho de la siguiente igualdad

(1 + senx)lnx = eln{(1+senx)lnx} = elnx·ln(1+senx)

se tiene que

lımx→0+

(1 + senx)lnx = lımx→0+

elnx·ln(1+sen x) = elım

x→0+lnx·ln(1+sen x)

.


Ahora, lımx→0+

lnx · ln (1 + senx) también tiene una indeterminación de la forma (0 · ∞), entonces

lımx→0+

lnx · ln (1 + senx) = lımx→0+

ln (1 + senx)

1/ ln x

= lımx→0+

cos x

senx+ 1

− 1

x ln2 x

= lımx→0+

− cosx

senx+ 1· x ln2 x

= lımx→0+

− cosx

senx+ 1· lımx→0+

x ln2 x

= −1 · lımx→0+

x ln2 x = − lımx→0+

x ln2 x.

El último límite también tiene la forma de la indeterminación (0 · ∞), entonces

lımx→0+

x ln2 x = lımx→0+

ln2 x

1/x= lım

x→0+

2x lnx

− 1x2

= lımx→0+

−2x ln x.

Este límite tiene de nuevo la misma forma de indeterminación, entonces

lımx→0+

−2x lnx = −2 lımx→0+

lnx

1/x= −2 lım

x→0+

1/x

−1/x2= 2 lım

x→0+x = 2 · 0 = 0.

Por tanto,

lımx→0+

(1 + senx)lnx = elım

x→0+lnx·ln(1+sen x)

= e0 = 1.


Universidad

Industrial de

Santander


HabilitaciónCálculo I

Abril 30 de 2012

Grupo

Nombre: Código:

Lea con atención las siguientes instrucciones :No se permite el uso de teléfonos celulares durante el examen .Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada página de su hoja de examen.No se permite el préstamo de borradores, reglas, lápices, etc.El profesor no responderá preguntas, porque parte de la evaluación es la comprensión de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.

1. Si P(

a, a2)

es cualquier punto en la parábola y = x2, excepto el origen y sea Q el punto donde lalínea normal cruza la parábola una vez más. Determine el valor de a que hace más corta la longitud delsegmento de línea PQ. (Ver Figura A).

2. La ecuación x2 − xy + y2 = 3 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyos ejes no sonparalelos a los ejes de coordenadas (ver Figura B). Encuentre los puntos en que esta elipse cruza el ejex y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos son paralelas.

b P

b

Q

x

y

Figura A.

x

y

Figura B.


4. Trace la gráfica de una función que cumpla con las siguientes condiciones:f es par, f(0) = 1, f ′ (−1) = f ′ (−3) = f ′ (−5) = 0,f ′ (x) > 0 en (0, 1), (2, 3), (5,∞), f ′ (x) < 0 en (1, 2), (3, 5),f ′′ (x) > 0 en (4, 6), f ′′ (x) < 0 en (0, 2), (2, 4), (6,∞),lımx→2

f (x) = −∞ y lımx→∞

f (x) = 2.


Solución de la Habilitación de Cálculo I — SS2011

1. Si P(

a, a2)

es cualquier punto en la parábola y = x2, excepto el origen y sea Q el punto donde lalínea normal cruza la parábola una vez más. Determine el valor de a que hace más corta la longitud delsegmento de línea PQ.Solución.Como y = x2, entonces y′ = 2x, así la pendiente de la recta tangente en el punto

(

a, a2)

es 2a y lapendiente de la recta normal es − 1

2a , para a 6= 0. Una ecuación para la recta normal es

y − a2 = − 1

2a(x− a) .

Reemplazando x2 por y se encuentra la coordenada x del punto de intersección de la recta normal conla parábola

x2 − a2 = − 1

2a(x− a) =⇒ 2ax2 + x− 2a3 − a = 0

=⇒ x =−1±

√

1− 4 (2a) (−2a3 − a)

2 (2a)=

−1±√1 + 16a4 + 8a2

4a

=−1±

√

(4a2 + 1)2

4a=

−1±(

4a2 + 1)

4a.

Luego x = a o x = −a − 12a . Por tanto las coordenadas del punto Q son

(

−a− 12a ,(

−a− 12a

)2)

. El

cuadrado de la distancia entre P y Q es dado por

L(a) =

(

−a− 1

2a− a

)2

+

[

(

−a− 1

2a

)2

− a2

]2

=

(

−2a− 1

2a

)2

+

[(

a2 + 1 +1

4a2

)

− a2]2

=

(

4a2 + 2 +1

4a2

)

+

(

1 +1

4a2

)2

=

(

4a2 + 2 +1

4a2

)

+ 1 +1

2a2+

1

16a4

= 4a2 + 3 +3

4a2+

1

16a4.

Derivando L con respecto a a se obtiene

L′(a) = 8a− 6

4a3− 4

16a5=

32a6 − 6a2 − 1

4a5

Dado que a 6= 0, entonces se debe encontrar cuando L′(a) = 0, pero

32a6 − 6a2 − 1 =(

2a2 − 1) (

4a2 + 1)2

,

entonces L′(a) = 0 si 2a2 − 1 = 0, de donde a = ± 1√2

. Ahora

L′′ = 8 +9

2a4+

5

4a6> 0,

por tanto, a = ± 1√2

hace que la longitud del segmento de recta PQ se la más corta posible.


2. La ecuación x2 − xy + y2 = 3 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyos ejes no sonparalelos a los ejes de coordenadas (ver Figura B). Encuentre los puntos en que esta elipse cruza el ejex y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos son paralelas.Solución .Para encontrar los puntos debemos hacer que y = 0, implicando que x2 − x (0) + (0)2 = 3, entoncesx2 = 3, y por tanto x =

√3 ó x = −

√3. Luego los puntos donde la elipse cruza el eje x son

(√3, 0)

y(

−√3, 0)

.

Por otra parte, derivando implícitamente tenemos que

2x−(

y + xdy

dx

)

+ 2ydy

dx= 0 =⇒ (2x− y) + (2y − x)

dy

dx= 0 =⇒ dy

dx=

y − 2x

2y − x.

Luego la pendiente en cada punto es:

dy

dx

∣

∣

∣

∣

(√3,0)

=y − 2x

2y − x

∣

∣

∣

∣

(√3,0)

=(0)− 2

(√3)

2 (0)−√3

=−2(√

3)

−√3

= 2

ydy

dx

∣

∣

∣

∣

(−√3,0)

=y − 2x

2y − x

∣

∣

∣

∣

(−√3,0)

=(0)− 2

(

−√3)

2 (0)−(

−√3) =

2(√

3)

√3

= 2.

Por tanto la pendiente de las rectas tangentes en los dos casos es 2, y en consecuencia las rectastangentes son paralelas.


Solución. Considere la siguiente notación:y : altura sumergida en el cono.x : radio correspondiente a la altura sumergida.H : altura inicial del cilindro.H + s : altura del liquido que queda en el cilindrodespués de empezar a sumergir el cono.Obsérvese que el volumen de agua se puede en-contrar de dos formas:

(a) Multiplicando el área de la base (πR2) por laaltura (H + s):

V = πR2 (H + s)

(b) Sumando el volumen inicial (πR2H) con el vo-lumen del cono en cada momento (13πx

2y):

V = πR2H +1

3πx2y

H

R

h

r

s

x

y

Como las dos ecuaciones son iguales, se tiene que πR2s =1

3πx2y =⇒ s =

x2y

3R2.

De la figura se tiene la siguiente relaciónr

h=

x

yla cual implica que x =

r

hy.


Reemplazando esto en la ecuación para s se obtiene que la altura del cilindro está dada por

s =x2y

3R2=⇒ s =

(

rhy)2

y

3R2=⇒ s =

r2y3

3R2h2.

Ahora, comody

dt= 1cm/s, entonces cuando la altura es h el tiempo transcurrido es también h; y como el

problema pide encontrards

dt

∣

∣

∣

∣

t=h

, entonces

ds

dt=

ds

dy· dydt

=⇒ ds

dt=

3y2r2

3R2h2· dydt

=⇒ ds

dt

∣

∣

∣

∣

t=h

=(h)2 r2

R2h2· (1) = r2

R2.

Es decir, la rapidez con que sube el nivel del agua cuando el cono está totalmente sumergido esds

dt

∣

∣

∣

∣

t=h

=r2

R2.

4. Trace la gráfica de una función que cumpla con las siguientes condiciones:f es par, f(0) = 1, f ′ (−1) = f ′ (−3) = f ′ (−5) = 0,f ′ (x) > 0 en (0, 1), (2, 3), (5,∞), f ′ (x) < 0 en (1, 2), (3, 5),f ′′ (x) > 0 en (4, 6), f ′′ (x) < 0 en (0, 2), (2, 4), (6,∞),lımx→2

f (x) = −∞ y lımx→∞

f (x) = 2.

Solución. El signo de la derivada dice donde f es creciente y donde decreciente

(0, 1) (1, 2) (2, 3) (3, 5) (5,∞)f ′ + − + − +f ր ց ր ց ր

El signo de la segunda derivada dice donde f es cóncava hacia abajo y donde cóncava hacia arriba

(0, 2) (2, 4) (4, 6) (6,∞)f ′′ − − + −f ∩ ∩ ∪ ∩

Como f es par, entonces se tiene que

(−∞,−5) (−5,−3) (−3,−2) (−2,−1) (−1, 0)f ′ − + − + −f ց ր ց ր ց

y(−∞,−6) (−6,−4) (−4,−2) (−2, 0)

f ′′ − + − −f ∩ ∪ ∩ ∩

La condición f par y f ′ (1) = f ′ (3) = f ′ (5) = 0, implican que f ′ (−1) = f ′ (−3) = f ′ (−5) = 0; ahora,si agregamos las características encontradas con la primera y segunda derivada, se obtiene que enx = −5, 5 hay valores mínimos locales, y en x = −3,−1, 1, 3 hay máximos locales.


La condición f par junto con el hecho que lımx→2

f (x) = −∞, implican que x = −2 y x = 2 son asíntotas

verticales. La condición f par, junto con el hecho que lımx→∞

f (x) = 2 implican que y = 2 es asíntota

horizontal.En la gráfica se hace un esbozo de una función que cumple todas las condiciones encontradas.

b b b b b b bb b b b b b b

b

b

y

x

y = f(x)


Solución del Examen Final de Cálculo I — PS2013

Para este examen no tengo el tema del examen.

1. a) Falso .Consideremos la función f (x) = x10 − 10x2 + 5. Claramente f (0) > 0 y f (2) > 0, pero esto no megarantiza que f (x) sea siempre positiva. Para ver el signo de f (x) ayudemonos de la deriva.

f ′ (x) = 10x9 − 20x = 10x(

x8 − 2)

.

Tenemos entonces que f ′ (x) = 0 si x = 0 o x = 8√2. Ahora, claramente 8

√2 ∈ (0, 2) y si reemplazo

este valor en f (x) se tiene que f(

8√2)

=(

8√2)10 − 10

(

8√2)2

+ 5 = 5 − 8 4√2 ≈ −4,5137 < 0. Por lo

tanto la ecuación x10 − 10x2 + 5 = 0 tiene dos soluciones en el intervalo (0, 2).Solución 2 : Obsérvese que f (0) = 5 > 0, f (2) = 989 > 0 y f (1) = −4 < 0 luego, dado que lafunción es continua para todo número real, debe existir un número x1 entre 0 y 1 tal que f (x1) = 0y otro x2 entre 1 y 2 tal que f (x2) = 0.

b) Falso .Dado que

|f (x)|′ =(

(

f2 (x))1/2

)′=

f (x) · f ′ (x)|f (x)| ,

entonces∣

∣x2 + x∣

∣

′=

(

x2 + x)

(2x+ 1)

|x2 + x| .

c) Falso .Como f ′ (x) > 1 para todo x se infiere que f es derivable para todo x y por lo tanto se tiene quef es continua en [1, 3] y derivable en (1, 3). Por el Teorema del Valor Medio se tendría que existec ∈ (1, 3) tal que

f ′ (c) =f (3)− f (1)

3− 1=

0− (−2)

3− 1= 1 contradicción!

d ) Verdadero .El área superficial del cubo es s = 6ℓ2 donde ℓ es la arista. El error máximo se estima como∆s ≈ ds = 12ℓ · dℓ = 12× 30× 0,01 = 36 cm2.

2. (a)z2 = h2 + (4000)2

=⇒ 2zdz

dt= 2h

dh

dt=⇒ dz

dt=

h

z

dh

dt.

En el instante pedido

dz

dt=

3000 × 600

5000= 360pies/seg.

h

4000

z

θ

(b) Ahora,

tan θ =h

4000=⇒ sec2 θ · dθ

dt=

1

4000· dhdt

=⇒ dθ

dt=

0,15

sec2 θ= 0,15 · cos2 θ = 0,12 rad/seg.


3. Como f ′ (x) < 0 para x < −1 se tiene que f es decreciente para x < −1. Como f ′′ (x) < 0 para x < −1,entonces f es cóncava hacia abajo para x < −1. Además f (−1) = 6. Como f ′ (−1) = f ′ (3) = −2 yf ′′ (x) = 0 para −1 < x < 3, se tiene que f es la linea recta de pendiente −2 entre los puntos (−1, 6) y(3,−2).

Como f ′′ (x) > 0 para x > 3, se tiene que f es cóncava hacia arriba para x > 3. La función de la gráficasatisface la descripción anterior.

x

y

0

b

b

b

4.b

x 10− x

i1 0 i2

I (x) =k i1x2

+k i2

(10− x)2, con 0 < x < 10 e i2 = 3i1.

I (x) =k i1x2

+3k i1

(10− x)2=⇒ I ′ (x) =

−2k i1x3

+6k i1

(10− x)3.

Ahora

I ′ (x) = 0 =⇒ 6k i1

(10− x)3=

2k i1x3

=⇒ 3x3 = (10− x)3 .

De donde obtenemos la ecuación polinomial

3x3 − (10− x)3 = 0 =⇒(

3√3x− (10− x)

)

(

(

3√3x)2

+(

3√3x)

(10 − x) + (10− x)2)

= 0

(∗)=⇒

(

3√3 + 1

)

x− 10 = 0 =⇒ x =10

3√3 + 1

.

Por lo tanto x =10

3√3 + 1

es punto crítico de la función I (x).

Ahora,

I ′′ (x) =6k i1x4

+18k i1

(10− x)4> 0, ∀x.

Luego en x =10

3√3 + 1

, I (x) es mínimo.

(∗)(

3√3x)2

+(

3√3x)

(10− x) + (10 − x)2 > 0, para todo x.


Universidad

Industrial de

Santander



Enero de 2012Gilbert Arenas

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :


1. Evalúe los siguientes límites, si existen.

a) lımt→0

(

1

t√1 + t

− 1

t

)

. b) lımx→∞

(√9x2 + x− 3x

)

. c) lımt→2

t2 − 4

t3 − 8.

2. a) Halle la derivada de la función y = cos√

sen (tanπx).

b) Derive la función f (x) = ln(

x2 − 2x)

y encuentre su dominio.

c) La curva con ecuación y2 = x3 +3x2 se llama cúbica de Tschirnhausen . Encuentre una ecuaciónde la recta tangente a esta curva, en el punto (1,−2). ¿En cuáles puntos esta curva tiene unatangente horizontal?

3. Un trozo de alambre de 10 m de largo se corta en dos partes. Una se dobla para formar un cuadradoy la otra para formar un triángulo equilátero. Cómo debe cortarse el alambre de modo que el área totalencerrada sea (a) máxima, y (b) mínima.

4. En la figura se ilustra la gráfica de la derivadaf ′ de una función f .

a) ¿En qué intervalos f es creciente o de-creciente?

b) ¿Para qué valores de x la función ftiene un máximo local o un mínimo lo-cal?

c) Trace la gráfica de f ′′.

d ) Trace la gráfica posible de f .


Solución del Examen Opcional de Cálculo I

1. a) lımt→0

(

1

t√1 + t

− 1

t

)

= lımt→0

1−√1 + t

t√1 + t

= lımt→0

1−√1 + t

t√1 + t

· 1 +√1 + t

1 +√1 + t

=

= lımt→0

1− (1 + t)

t√1 + t

(

1 +√1 + t

) = lımt→0

−t

t√1 + t

(

1 +√1 + t

) =

= lımt→0

−1√1 + t

(

1 +√1 + t

) =−1√

1 + 0(

1 +√1 + 0

) = −1

2.

También se puede por L’Hopital. (Cumple las condiciones)

lımt→0

(

1

t√1 + t

− 1

t

)

= lımt→0

1−√1 + t

t√1 + t

=

= lımt→0

− 1

2√1 + t

√1 + t+

t

2√1 + t

=

− 1

2√1 + 0

√1 + 0 +

0

2√1 + 0

=−1

21 + 0

= −1

2.

b) lımx→∞

(√9x2 + x− 3x

)

= lımx→∞

(√9x2 + x− 3x

)

·√9x2 + x+ 3x√9x2 + x+ 3x

= lımx→∞

9x2 + x− 9x2√9x2 + x+ 3x

= lımx→∞

xx

√

9x2

x2 + xx2 + 3x

x

= lımx→∞

1√

9 + 1x + 3

=1

3 + 3=

1

6.

c) lımt→2

t2 − 4

t3 − 8= lım

t→2

(t− 2) (t+ 2)

(t− 2) (t2 + 2t+ 4)= lım

t→2

(t+ 2)

(t2 + 2t+ 4)=

2 + 2

(22 + 2 · 2 + 4)=

1

3.

También se puede por L’Hopital. (Cumple las condiciones)

lımt→2

t2 − 4

t3 − 8= lım

t→2

2t

3t2= lım

t→2

2

3t=

2

3 · 2 =1

3.

2. a) Halle la derivada de la función y = cos√

sen (tanπx).

y′ =(

− sen√

sen (tan πx))(

12 (sen (tanπx))

−1/2)

(cos (tanπx))(

sec2 πx)

(π) .

b) Derive la función f (x) = ln(

x2 − 2x)

y encuentre su dominio.

f ′ (x) =(2x− 2)

x2 − 2x=

2 (x− 1)

x (x− 2); Dom {f ′} = R− {0, 2}; Dom {f} = R− [0, 2] .

c) La curva con ecuación y2 = x3 +3x2 se llama cúbica de Tschirnhausen . Encuentre una ecuaciónde la recta tangente a esta curva, en el punto (1,−2). ¿En cuáles puntos esta curva tiene unatangente horizontal?Observe que el punto si pertenece a la curva, ya que (−2)2 = (1)3 + 3 (1)2. Ahora

2y · dydx

= 3x2 + 6x =⇒ dy

dx=

3x2 + 6x

2y=⇒ dy

dx

∣

∣

∣

∣

(1,−2)

=3 (1)2 + 6 (1)

2 (−2)= −9

4, luego la ecuación de

la recta tangente es y + 2 = −9

4(x− 1).

Por otra parte, la curva tiene tangentes horizontales sidy

dx=

3x2 + 6x

2y= 0 y esto sucede si 3x2 +

6x = 0 =⇒ 3x (x+ 2) = 0 =⇒ x = 0 ∨ x = −2 =⇒ y2 = 03 + 3 · 02 = 0 ∨ y2 = (−2)3 + 3 (−2)2 = 4,luego los punto son P1 (0, 0), P2 (−2, 2) y P3 (−2,−2).


3. Llamemos x la longitud del pedazo con el que se construye el cuadrado y 10 − x la longitud del pedazocon el que se construye el círculo

A = A� +A© = L2 + πr2

Como la longitud del cuadrado es x, y en términos de L es 4L, entonces L =x

4.

Como la longitud de la circunferencia es 10 − x, y en términos de r es 2πr, entonces r =10− x

2π. Por

consiguiente

A (x) = A� +A© =x2

16+ π

(

10− x

2π

)2

, 0 ≤ x ≤ 10.

A′ (x) =x

8+ 2π

(

10− x

2π

)(

− 1

2π

)

=x

8−(

10− x

2π

)

.

Entonces, A′ (x) = 0 si

x

8− 10− x

2π= 0 =⇒ x

8− 10

2π+

x

2π= 0 =⇒ (π + 4) x

8π=

10

2π=⇒ x =

8π

π + 4· 102π

=40

π + 4.

Ahora evaluamos la función A (x) =x2

16+π

(

10− x

2π

)2

en el punto crítico y en los extremos del intervalo

de definición:

A (0) =02

16+ π

(

10− 0

2π

)2

=25

π≈ 7,9577 (máximo)

A (10) =102

16+ π

(

10 − 10

2π

)2

=25

4≈ 6,25

A(

40π+4

)

=

(

40π+4

)2

16+ π

(

10− 40π+4

2π

)2

=100

(π + 4)2+

25π

(π + 4)2=

=100 + 25π

(π + 4)2=

25

π + 4≈ 3,5006 (mínimo)


Universidad

Industrial de

Santander



Septiembre 14 de 2010

Grupo




No se permite el uso de teléfonos celulares durante el examen, ni el préstamo de borradores, calculadoras, lápices, etc.

1. a) Halle el valor de a y b que hace a f continua en todas partes

f(x) =

x2 − 4

x− 2si x < 2

ax2 − bx+ 3 si 2 ≤ x < 32x− a+ b si x ≥ 3

b) Determine lımx→∞

f(x) si, para toda x > 1,10ex − 21

2ex< f(x) <

5√x√

x− 1.

2. a) Halle la expresión para la función cuadrática cuya gráfica se muestra en la Figura A.b) (i) Si desplaza una curva hacia la izquierda, ¿qué pasa con su reflejo respecto a la línea y = x? En

vista de este principio geométrico, encuentre una expresión para la inversa de g(x) = f(x+ c)donde f es una función uno a uno.

(ii) Encuentre una expresión para la inversa de h(x) = f(c · x), donde c 6= 0.

y

x0 1

1(0, 1)

(−2, 2)

(1,−2.5)

Figura A. Figura B.

3. En la Figura B se ilustra la gráfica de la derivada f ′ de una función f .

a) ¿En qué intervalos f es creciente o decreciente?b) ¿Para qué valores de x la función f tiene un máximo local o un mínimo local?c) Trace la gráfica de f ′′.d ) Trace la gráfica posible de f .

4. El volumen de un cono circular recto es V = πr2h/3, en donde r es el radio de la base y h es la altura.

a) Halle la proporción de cambio del volumen con respecto a la altura, si el radio es constante.b) Encuentre la proporción de cambio del volumen con respecto al radio, si la altura es constante.

5. Calcule las dimensiones del triángulo isósceles de mayor área que se puede inscribir en un círculo deradio r.


Universidad

Industrial de

Santander



9 de abril de 2014Prof. Gilberto Arenas Díaz

Grupo

Nombre: Código:

Instrucciones :


1. Un individuo corre por una pista circular de 100 m de radio a una rapidez constante de 7 m/s. Un amigodel corredor está parado a una distancia de 200 m del centro de la pista. ¿Qué tan rápido cambia ladistancia entre los amigos cuando la distancia entre ellos es de 200 m?

2. Trace la gráfica de una función que cumpla todas las condiciones dadas:f ′ (x) > 0 si |x| < 2, f ′ (x) < 0 si |x| > 2,

f ′ (2) = 0, lımx→∞

f (x) = 1, f (−x) = −f (x),

f ′′ (x) < 0 si 0 < x < 3, f ′′ (x) > 0 si x > 3.

3. a) Halle el límite: lımx→∞

(ex + x)1/x .

b) Utilice diferenciales para estimar la cantidad de pintura necesaria para aplicar una mano de 0,05cm de espesor a un domo hemisférico que tiene un diámetro de 50 m.

4. Se va a construir un canal para el agua de lluvia apartir de una lámina de metal de 30 cm de anchodoblando hacia arriba una tercera parte de la lámi-na en cada lado a través de un ángulo θ. ¿Cómodebe elegirse θ de manera que el canal conduzca lamayor cantidad de agua?

θ θ

10 cm 10 cm 10 cm


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Industrial de

Santander


HABILITACIÓNCálculo I

15 de junio de 2011

Grupo


Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada página de su hoja de examen.La nota obtenida en este examen de habilitación se computará, sin importar si es inferior a la nota definitiva.No se permite el préstamo de borradores, calculadoras, lápices, etc.El profesor no responderá preguntas, porque parte de la evaluación es la comprensión de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.No se permite el uso de teléfonos celulares durante el examen.


a) Si y = cot(sec 7x), entoncesdy

dx= −7

sen 7x · cos(sec 7x)cos2 7x · sen2(sec 7x) .

b) Si f ′ (c) = 0, entonces f tiene un máximo o un mínimo local en c.

c) Si f es continua sobre (a, b) entonces f alcanza un valor máximo absoluto f (c) y un valor mínimoabsoluto f (d) en algunos números c y d en (a, b) .

d ) Existe una función f tal que f (x) < 0, f ′ (x) < 0 y f ′′ (x) > 0 para todo x.

e) Si f ′ (x) existe y es diferente de cero para todo x, en tal caso f (1) 6= f (0) .

2. Se instala una cámara de televisión a 4.000 pies de la base de una plataforma de lanzamiento decohetes. El ángulo de elevación de la cámara tiene que cambiar con la proporción correcta con el objetode tener siempre a la vista al cohete. Asimismo, el mecanismo de enfoque de la cámara tiene que tomaren cuenta la distancia creciente de la cámara al cohete que se eleva.Suponga que el cohete se eleva verticalmente y que su rapidez es 600 pies/s cuando se ha elevado3.000 pies.



3. Encuentre el punto sobre la parábola y = 1− x2 en el cual la recta tangente corta del primer cuadranteel triángulo con el área más pequeña.

4. Se va a construir un canal para el agua de lluvia a partir de una lámina de metal de 30 cm de anchodoblando hacia arriba una tercera parte de la lámina en cada lado a través de un ángulo θ. ¿Cómo debeelegirse θ de manera que el canal conduzca la mayor cantidad de agua? (Ver Figura del canal).

5. Trace la gráfica de una función que cumpla todas lascondiciones dadas:

f ′ (x) > 0 si |x| < 2, f ′ (x) < 0 si |x| > 2,

f ′ (2) = 0, lımx→∞

f (x) = 1, f (−x) = −f (x),

f ′′ (x) < 0 si 0 < x < 3, f ′′ (x) > 0 si x > 3.

θ θ

10 cm 10 cm 10 cm

Figura del canal.


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Industrial de

Santander



Junio 13 de 2006Doris GONZÁLEZ

Grupo

Nombre: Código:

Conteste ordenadamente y esmérese por apoyar sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Todo paso tiene que estar debidamente justificado.Nota : No se permite el préstamo de borradores, calculadoras, lápices, etc.

El profesor no responderá preguntas .

1). Muestre o refute las siguientes proposiciones, justificando en cada caso.

a) Si f (x) =1

xy g (x) = x2 + 1. Entonces f(g (x)) =

1

x2+ 1.

b) La ecuación x6 + 3x− 3 = 0 tiene exactamente una solución real en [0, 1].

c) lımx→0

(

3x

tan 4x+

1− cos x

x(senx)(1 + cos x)

)

=5

4.

d ) La derivada de f(x) =√

x2 + sen(x− 1) es f ′(x) =2x+ cos(x− 1)

2√

x2 + sen(x− 1)

e) Si f ′ es una función decreciente en el intervalo (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava haciaarriba en el intervalo (a, b).

2). a) Si y = (1 + u3)2 y u = (1− x2)1/2, calculedy

dx.

b) Utilizando la definición de derivada encuentre f ′(x), siendo f(x) =√2x+ 1

3). Halle una ecuación de la recta tangente a la curva x = sen 2y en el punto (1, π/4).

4). Una cometa que se encuentra a una altura de 50 metros es impulsada de manera horizontal a razón de0,1 metros por segundo alejándose de la persona que sostiene la cuerda de la cometa al nivel de suelo.¿Con qué razón aumenta la longitud de la cuerda cuando ya se han tendido 85 metros de cuerda?

5). Una caja rectangular tiene una base cuadrada con lados de al menos una pulgada de largo. No tienetapa, y el área total de sus cinco lados es 300 pulgadas cuadradas. ¿Cuál es el volumen máximo posiblede dicha caja?

6). Trace la gráfica de la función

f (x) =(x− 1)2

x2.

indicando: dominio y recorrido, puntos críticos, máximos y mínimos locales, intervalos de crecimiento ydecrecimiento, puntos de inflexión, concavidades y asíntotas.


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Junio 13 de 2006Gilberto ARENAS

Grupo

Nombre: Código:

1. Muestre o refute las siguientes proposiciones, justificando en cada caso.

a) Si f (x) =1

xy g (x) = x2 + 1. Entonces f (g (x)) = x+ 1.

b) La ecuación x6 + 3x− 3 = 0 tiene exactamente una solución real en [0, 1].

c) Si g(x) = ln f(x) y f(1) = e, f ′(1) = 2 entonces g′(1) = 1.

d ) lımx→0

(

3x

tan 4x+

1− cos x

x(senx)(1 + cos x)

)

=5

4.

e) La derivada de f(x) =√

x2 + sen(x− 1) es f ′(x) =2x+ cos(x− 1)

2√

x2 + sen(x− 1)

f ) Si f ′ es una función decreciente en el intervalo (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava haciaarriba en el intervalo (a, b).

2. a) Una piedra es lanzada a un estanque en el instante t = 0 segundos, causa una onda circular queviaja fuera del punto de impacto a razón de 5 m/s. A qué razón (en metros cuadrados por segundo)crece el área dentro del circulo cuando t = 10?

b) Determine la razón de cambio del volumen de una esfera de radio r con respecto del área de susuperficie cuando r = 10.

3. La ecuación(

x2 + y2)2

= x2 − y2 representa una lemniscata. Determine los puntos de la lemniscatadonde la tangente es horizontal y los puntos donde la tangente es vertical.

4. La base de un rectángulo aumenta a razón de 4 cm/seg mientras que su altura decrece a razón de 3cm/seg. Con qué razón cambia su área cuando la base mide 20 cm y la altura 12 cm?

5. Halle la derivada de las siguientes ecuaciones(

dy

dx

)

a) y = 2arctan(sen x),

b) y =

√

1 + sen(√

3x)

,

c) y =

√

x

x2 + 1,

d ) x3 − x2y + xy2 − y3 = 6,

6. a) Si f ′ (x) = 2 cos x y f (0) = 5. Cuál es la función f (x)?b) Enuncie el teorema del valor medio.

7. Un recipiente cilíndrico sin tapa debe tener un volumen de 125 pulgadas cúbicas. Qué dimensionesminimizarán la cantidad total de material utilizado al hacer el recipiente?

8. Trace la gráfica de

f (x) =x3

x2 − 1.

Indique los puntos críticos, los puntos de inflexión, intervalos de crecimientos y decrecimiento y laconcavidad y asíntotas si las hay.


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7 de abril de 2014Gilberto ARENAS

Grupo

Nombre: Código:

1. Una lámpara se encuentra suspendida a 4,5 metros sobre una calle horizontal y recta. Si un hombre de180 cm de altura camina alejándose de la lámpara a una rapidez de 150 cm/s, ¿qué tan rápido se alargasus sombra sobre el piso?

2. Un tumor en el cuerpo de una persona tiene forma esférica de modo que si r cm es la medida del radio yV cm3 es el volumen del tumor, entonces V = 4

3πr3. Utilice diferenciales para determinar el incremento

aproximado del volumen del tumor cuando el radio aumenta de 2 cm a 2,1 cm.

3. Dos aviones A y B vuelan horizontalmente a la misma altura de modo que la posición de B esta al suroeste de A, 20 km al oeste y 20 km al sur de A. Suponga que el avión A vuela al oeste a 16 km/min, yque el avión B vuela hacia el norte a 21,3 km/min. Determine en cuanto tiempo los aviones estarán lomás cerca posible y cuá será la distancia más corta.

4. Trace la gráfica de una función que cumple con las siguientes condiciones:f(−x) = −f(x), f ′ (−1) = f ′ (−3) = f ′ (−5) = 0,

f ′ (x) > 0 en (0, 1), (2, 3), (5,∞), f ′ (x) < 0 en (1, 2), (3, 5),

f ′′ (x) > 0 en (4, 6), f ′′ (x) < 0 en (0, 2), (2, 4), (6,∞),

lımx→2

f (x) = −∞ y lımx→∞

f (x) = 2.


5. Un faro se encuentra ubicado en un punto A, situado a 4 kilómetros del punto más cercano O de unacosta recta. En un punto B, también en la costa y a 4 km de O hay una tienda. Si el guardafaros puederemar a 4 km/h, y caminar a 5 km/h. ¿Qué camino debe seguir para llegar del faro a la tienda en elmenor tiempo posible?


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31 de marzo de 2014Gilberto Arenas Díaz

Grupo

Nombre: Código:

1. (15 pt.) Determine si la afirmación dada es verdadera o falsa. Justifique claramente su respuesta. Re-spuesta sin justificación NO tiene valor.

a) La ecuación x3 − 5x2 + 7x− 9 = 0 tiene solución en el intevalo [1, 5] .

b) lımx→0

x2ecos(π/x) = 0.

c) f(x) =

{

cx+ 1 si x ≤ 3cx2 − 1 si x > 3

es continua en x = 3, si c = 1.

d ) El lımx→2

4− x

2−√x

no existe.

2. (10 pt.) ¿Dónde la recta normal a la elipse x2 − xy + y2 = 3, en el punto (−1, 1) cruza la elipse porsegunda vez?

3. (10 pt.) Encuentre una ecuación de la tangente a la curva y = ex que sea paralela a la recta x− 4y = 1.

4. (15 pt.) Encuentre:

a) lımx→∞

(√x2 + x−

√x2 − 1

)

b) lımx→∞

−5x3 + x2 + 9

(x+ 2)(x2 − 4)

c) f (n)(x) si f(x) =1

2− x

d ) h′(3) si f(3) = −1, f ′(3) = 1, g(3) = 1 y g′(3) = 5 donde h(x) = (2x2 + 1)f(x) +2g(x)

f(x) + 1


Solución del Segundo Examen de Cálculo I — PS2014 CIFC

1. (FALSO O VERDADERO)

a) (VERDADERO) Considere la función f (x) = x3 − 5x2 + 7x − 9. Por ser polinómica la función escontinua para todo real, en particula en el intervalo [1, 5]. Ahora f (1) = (1)3 − 5 (1)2 + 7 (1) − 9 =

−6 < 0 y f (5) = (5)3 − 5 (5)2 + 7 (5) − 9 = 26 > 0. Luego se pueda aplicar el TVI, por lo tanto,existe c ∈ (1, 5) tal que f (c) = 0, es decir, existe solución de la ecuación x3 − 5x2 + 7x − 9 = 0 enel intervalo [1, 5]

b) (VERDADERO) Es conocido que la imagen de la función cos θ es el intervalo cerrado [−1, 1], estoimplica que

−1 ≤ cos(π

x

)

≤ 1.

Como la función exponencial es creciente, entonces

e−1 ≤ ecos(π/x) ≤ e.

También se tiene que x2 es no negativa, por lo tanto

x2e−1 ≤ x2ecos(π/x) ≤ x2e.

Ahora,lımx→0

x2e−1 = 0 = lımx→0

x2e,

luego, por el Teorema de Compresión se obtiene que

lımx→0

x2ecos(π/x) = 0.

c) (FALSO) Si c = 1 entonces la función queda

f(x) =

{

x+ 1 si x ≤ 3,x2 − 1 si x > 3.

Ahora,lım

x→3−f (x) = lım

x→3−x+ 1 = 4 y lım

x→3+f (x) = lım

x→3+x2 − 1 = 8.

Por lo tanto lımx→3

f (x) no existe, y en consecuencia f (x) no es continua en x = 3, cuando c = 1.

d ) (FALSO) El límite se puede calcular reemplazando directamente

lımx→2

4− x

2−√x=

4− 2

2−√2=

2

2−√2≈ 3,414213562

2. Solución . Derivando implicitamente se tiene

2x−(

y + xdy

dx

)

+ 2ydy

dx= 0 =⇒ 2x− y = (x− 2y)

dy

dx.

Luegody

dx=

2x− y

x− 2y=⇒ dy

dx

∣

∣

∣

∣

(−1,1)

=2 (−1)− (1)

(−1)− 2 (1)= 1.

Como la recta normal es perpendicular a la recta tangente, entonces si sus pendientes son m y m⊥,ellas satisfacen m · m⊥ = −1, como m = 1, entonces m⊥ = −1. Ahora, ya tenemos la pendiente ysabemos que dicha recta pasa por el punto (−1, 1), entonces tenemos

y − 1 = −1 · (x− (−1)) =⇒ y = −x.


Como la recta corta a la elipse se deben igualar las dos ecuaciones; reemplazando y = −x en laecuación de la elipse se tiene

x2 − x (−x) + (−x)2 = 3 =⇒ 3x2 = 3 =⇒ x2 − 1 = 0 =⇒ x = ±1.

Ahora, como los puntos también están en la recta, deben satisface y = −x, por lo tanto, si x = −1, setiene que y = 1 y si x = 1, se tiene que y = −1. El primer punto, es decir (−1, 1) corresponde al puntodado, el segundo punto, es decir (1,−1) corresponde al punto donde la recta normal vuelve a cruzar laelipse.

3. Solución . La ecuación x− 4y = 1 corresponde a la recta y = 14 (x− 1), que tiene pendiente m = 1/4 y

pasa por el punto (1, 0). Ahora, es muy conocido que la derivada de y = ex es y′ = ex, luego necesitamosencontrar un punto sobre la curva y = ex donde y′ (a) = 1/4 (la pendiente de la recta). Así las cosas,es necesario resolver ea = 1/4, de donde a = ln (1/4) = − ln 4. Luego la recta con pendiente 1/4 quees tangente a la curva pasa por el punto (− ln 4, 1/4), y por lo tanto la ecuación de la recta tangente esdada por

y − 1

4=

1

4(x− (− ln 4)) =⇒ y =

1

4x+

1

4(1 + ln 4) .

4. Encuentre:

a) Como el límite tiene la forma ∞−∞ hacemos la siguiente racionalización

lımx→∞

(√

x2 + x−√

x2 − 1)

= lımx→∞

(√

x2 + x−√

x2 − 1)

(√x2 + x+

√x2 − 1

)

(√x2 + x+

√x2 − 1

)

= lımx→∞

(

x2 + x)

−(

x2 − 1)

√x2 + x+

√x2 − 1

= lımx→∞

x+ 1√x2 + x+

√x2 − 1

= lımx→∞

x+ 1

x√x2 + x+

√x2 − 1

x

= lımx→∞

1 +1

x√

x2 + x

x2+

√

x2 − 1

x2

= lımx→∞

1 +1

x√

1 +1

x+

√

1− 1

x2

=

lımx→∞

(

1 +1

x

)

lımx→∞

(

√

1 +1

x+

√

1− 1

x2

) =1 + 0√

1 + 0 +√1− 0

=1

1 + 1=

1

2.

b) En este caso el límite tiene la forma ∞∞ , por lo cual hacemos lo siguiente:

lımx→∞

−5x3 + x2 + 9

(x+ 2)(x2 − 4)= lım

x→∞−5x3 + x2 + 9

x3 + 2x− 4x− 8

= lımx→∞

−5x3 + x2 + 9

x3

x3 + 2x− 4x− 8

x3

= lımx→∞

−5 +1

x+

9

x3

1 +2

x− 4

x2− 8

x3

=

lımx→∞

(

−5 +1

x+

9

x3

)

lımx→∞

(

1 +2

x− 4

x2− 8

x3

) =−5 + 0 + 0

1 + 0− 0− 0= −5.


c) f (n)(x) si f(x) =1

2− x. Escribamos la función como sigue: f (x) = (2− x)−1, la derivada podemos

encontrarla fácilmente

f ′ (x) = (−1) (2− x)−2 (−1) = (2− x)−2 =1

(2− x)2.

f ′′ (x) = (−2) (2− x)−3 (−1) = 2 (2− x)−3 =2

(2− x)3.

f ′′′ (x) = 2 (−3) (2− x)−4 (−1) = 6 (2− x)−4 =6

(2− x)4.

f (iv) (x) = 6 (−4) (2− x)−5 (−1) = 24 (2− x)−5 =24

(2− x)5.

f (v) (x) = 24 (−5) (2− x)−6 (−1) = 120 (2− x)−6 =120

(2− x)6.

De lo anterior podemos deducir que

f (n) (x) =n!

(2− x)n+1 .

d ) h′(3) si f(3) = −1, f ′(3) = 1, g(3) = 1 y g′(3) = 5 donde h(x) = (2x2 + 1)f(x) +2g(x)

f(x) + 1.

Aunque es posible obtener la derivada de h (x) de la siguiente forma

h′ (x) = 4xf (x) +(

2x2 + 1)

f ′ (x) + 2

[

g′ (x) (f (x) + 1)− g (x) f ′ (x)

(f (x) + 1)2

]

,

no es posible evaluar h′ (3) dado que h (3) no está defina debido a que f (3) + 1 = 0, es decir,3 /∈ dom (h).


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Supletorio Examen FinalCálculo I

Septiembre de 2014

Grupo

Nombre: Código:

Lea con atención las siguientes instrucciones :No se permite el uso de calculadoras ni de teléfonos celulare s durante el examen.Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada página de su hoja de examen.No se permite el préstamo de borradores, reglas, lápices, etc.El profesor no responderá preguntas, porque parte de la evaluación es la comprensión de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.

1. Un vaso tiene la forma de un cono de altura igual a 10 cm y de radio 3 cm, en la parte superior. Si elagua se vierte en el vaso a razón de 2 cm3/s, ¿qué tan rápido sube el nivel del agua cuando ésta tiene5 cm de profundidad?

2. Se está transportando un tubo de acero por un pasillo de 9 pies de ancho. Al final de éste existe unavuelta en ángulo recto hacia otro pasillo más angosto de 6 pies de ancho (vea la Figura A). ¿Cuál es lalongitud del tubo más largo que se puede hacer pasar horizontalmente por la esquina?

3. La Figura B presenta una recta tangente a la curva y =1

xen un punto P . Demuestre que el área del

triángulo OAB es siempre la misma, independientemente de la selección del punto P .

Figura A.

bc

y =1

x

A

B

P

x

y

OFigura B.

4. A partir de las condiciones dadas para una función f , determine claramente los intervalos de crecimientoy decrecimiento, los intervalos de concavidad, las asíntotas, los puntos de inflexión y los máximos ymínimos. Por último, trace la gráfica de una función que cumpla con dichas condiciones.f es una función impar, lım

x→∞f (x) = 1, lım

x→5f (x) = −∞, f ′(3) = f ′(8) = 0, el punto (10, 3) es de inflexión,

f ′ (x) > 0 en (0, 3) y (5, 8), f ′ (x) < 0 en (3, 5) y (8,∞),

f ′′ (x) < 0 en (0, 5) y (5, 10) , y f ′′ (x) > 0 en (10,∞).

5. a) Demuestre que la ecuación 2x− 1− senx = 0 tiene exactamente una raíz real.

b) Para la ecuación y sen(

x2)

= x cos(

y2)

, encuentre dy/dx.


(1 + senx)lnx.


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Primer Semestre 2014Prof. Gilberto Arenas Díaz

Grupo

Nombre: Código:

Lea con atención las siguientes instrucciones :No se permite el uso de calculadoras ni de teléfonos celulare s durante el examen.El examen tiene una duración de una hora y 45 minutos.Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.No se permite el préstamo de borradores, reglas, lápices, etc.El profesor no responderá preguntas, porque parte de la evaluación es la comprensión de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.

1. a) Demuestre que la función f (x) = ln(

x+√x2 + 1

)

es una función impar.

b) Encuentre una ecuación para la recta que pasa por el punto (1,−6) y es paralela a la rectax+ 2y = 6.

2. En la figura se muestra la gráfica de la función y = f (x). Use transformaciones para trazar la gráfica dey = 1

2 (1− f (x− 3)).

x

y

y = f(x)

3. Se quiere cercar un terreno rectangular con un alambre de 14 Km de longitud.

a) Exprese el área del terreno cercado como función de uno de sus lados.b) ¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno cercado para que su área sea máxima?

4. Determine si la afirmación dada es verdadera o falsa. Justifique claramente su respuesta. Respuesta sinjustificación NO tiene valor.

a) La ecuación (x− 2)5 − 9 (x− 2)3 = 0, tiene como conjunto solución a {−1, 2, 5}.

b) f ◦ (g + h) = f ◦ g + f ◦ h.

c) El dominio de la función h (x) = ln

(

x2 − 8x+ 15

2− x

)

es el conjunto (−∞, 2) ∪ (3, 5).

d ) La función f (x) =x+ 1

x− 1es su propia inversa.


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Examen final de CÁLCULO I

2o Semestre Académico de 2013Lunes 21.04.14, 4:00 p.m.

Grupo

Nombre: Código:

ADVERTENCIAS :

a) El examen tiene una duración de una hora y 45 minutos.

b) NO está permitido el uso NI de apuntes NI de libros. TAMPOCO se permite la utilización de calculadoras, NIde computadores, NI de teléfonos celulares, NI de ningún tipo de aparatos electrónicos (su presencia en lasproximidades de la mesa de trabajo puede ser motivo de anulación del examen).

c) Muestre explícitamente todo el trabajo que ha realizado para justificar sus respuestas .

d) Cada uno de los cuatro puntos se califica sobre 1,25.

(1) Un vaso de papel tiene la forma de un cono de altura igual a 12 cm y radio de 4 cm, en la parte superior.Si el agua se vierte en el vaso a razón de 3 cm3/s, ¿qué tan rápido sube el nivel del agua cuando éstatiene 6 cm de profundidad?

(2) A partir de las condiciones dadas para una función f , determine claramente los intervalos de crecimientoy decrecimiento, los intervalos de concavidad, las asíntotas, los puntos de inflexión y los máximos ymínimos. Por último, trace la gráfica de una función que cumpla con dichas condiciones.f (0) = 0, f ′ (−2) = f ′ (1) = f ′ (9) = 0, lım

x→∞f (x) = 1, lım

x→6f (x) = −∞,

f ′ (x) < 0 en (−∞,−2), (1, 6) y (9,∞), f ′ (x) > 0 en (−2, 1) y (6, 9),

f ′′ (x) > 0 en (−∞, 0) y (12,∞), f ′′ (x) < 0 en (0, 6) y (6, 12).

(3) El equipo Alianza Petrolera juega en el estadio Álvaro Gómez Hurtado que tiene una capacidad de 12000espectadores. Con el precio de la entrada fijado en $12000, la asistencia promedio en un juego es de4000 espectadores. Un estudio de mercado indica que por cada mil pesos que disminuya el precio de laentrada, la asistencia promedio aumentará en 1000 espectadores. ¿Cómo deben de fijar los directivosdel equipo el precio de la entrada para maximizar sus ingresos provenientes de la venta de entradas?

(4) Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. Su respuesta debe estar plenamentejustificada, solo decir si es verdadero o falso, así sea correcto, no da nota.

a) La función g (x) =

√9− x2

x2 − 2es continua en el conjunto D = [−3, 3]−

{

−√2,√2}

.

b) Una ecuación de la recta tangente a la curva x2 + 4xy + y2 = 13 en el punto (2, 1) es 4y + 6 = 5x.

c) Si f es derivable y f (−1) = f (1), entonces existe un número c tal que |c| < 1 y f ′ (c) = 0.

d ) Si y = (lnx)cos x entonces y′ = (lnx)cos x[ cos x

x lnx− senx ln (lnx)

]

.

e) Si f es un función creciente y positiva en un intervalo I, entonces g (x) =1

f (x)también es una

función positiva y creciente en el intervalo I.


Solución del Examen Final de Cálculo I – SS2013

1. Tenemos quedV

dt= 3 cm3/s y nos piden

dh

dt

∣

∣

∣

∣

h=6cm. También se tiene que

r

h=

4

12o equivalentemente,

r = 13h. Se sabe que el volumen de un cono es dador por

V =1

3πr2h =⇒ V (h) =

π

3

(

h

3

)2

h =⇒ V (h) =π

27h3.

Ahora, utilizando regla de la cadena se tiene:

dV

dt=

dV

dh

dh

dt=⇒ dV

dt=

π

9h2

dh

dt=⇒ dh

dt=

dV

dtπ

9h2

.

Luegodh

dt

∣

∣

∣

∣

h=6cm=

3 cm3/sπ

9(6 cm)2

=3

4πcm/s.

2. Asíntota vertical x = 6; asíntota horizontal x = 1.f es decreciente en los intervalos (−∞,−2), (1, 6) y (9,∞).f es creciente en los intervalos (−2, 1) y (6, 9);f es cóncava hacia arriba en los intervalos (−∞, 0) y (12,∞);f es cóncava hacia abajo en los intervalos (0, 6) y (6, 12).

(−∞,−2) (−2, 1) (1, 6) (6, 9) (9,∞)f ց ր ց ր ց

(−∞, 0) (0, 6) (6, 12) (12,∞)f ∪ ∩ ∩ ∪

Los número crítico 1 y 9 corresponden a valores máximo locales de f , y el número crítico x = −2corresponde a un valor mínimo local de f .Les dejo a ustedes hacer la gráfica.

3. Sea p el precio de la entrada y c la cantidad de espectadores, entonces el ingreso proveniente deentradas será f = p · c. El precio es dado por p (x) = 12000 − 1000x, mientras que la cantidad deespectadores será c (x) = 4000 + 1000x. Luego

f (x) = (12000 − 1000x) (4000 + 1000x) = 1000000 (12− x) (4 + x) ,

o equivalentementef (x) = 106

(

48 + 8x− x2)

.

Derivando se obtienef ′ (x) = 106 (8− 2x) .

Luego, f ′ (x) = 0, si 8−2x = 0, esto implica que x = 4. Luego x = 4 es un número crítico de f (x). Ahora,como f ′ (x) > 0 si x < 4 y f ′ (x) < 0 si x > 4, entonces f es creciente antes de x = 4 y decrecientedespués de x = 4, por lo tanto en x = 4 la función f (x) tiene un valor máximo. Luego el precio de laentrada para maximizar los ingresos provenientes de la venta de entradas es p (4) = 12000− 1000× 4 =8000.

4. a) (Verdadero)

A = Dom{√

9− x2}

={

x ∈ R | 9− x2 ≥ 0}

= {x ∈ R | (3− x) (3 + x) ≥ 0}= {x ∈ R | −3 ≤ x ≤ 3} = [−3, 3] .

Dom {g (x)} = A−{

x | x2 − 2 = 0}

= [−3, 3]−{

−√2,√2}

.

Como una función racional es continua, siempre que ella esté definida, es decir, es continua entodo su dominio.


b) (Falsa) Claramente el punto (2, 1) pertenece a la curva. Ahora, si se deriva implicitamente se tiene

2x+ 4

(

y + xdy

dx

)

+ 2ydy

dx= 0,

luegody

dx= −x+ 2y

2x+ y=⇒ dy

dx

∣

∣

∣

∣

(2,1)

= − 2 + 2

2 · 2 + 1= −4

5.

Entonces la ecuación de la recta tangente en el punto (2, 1) es dada por:

y − 1 = −4

5(x− 2) =⇒ 5y − 5 = −4x+ 8 =⇒ 5y + 4x = 13.

c) (Verdadera). Si f es derivable, entonces f es continua. Así, en particular f es continua en el in-tervalo cerrado [−1, 1] y derivable en el intervalo abierto (−1, 1), y como f (−1) = f (1) entoncespodemos utilizar el teorema de Rolle para garantizar que existe un c ∈ (−1, 1) tal que f ′ (c) = 0.

d ) (Verdadera). Basta con utilizar derivación logarítmica.e) (Falsa). Considere por ejemplo f (x) = x, en el intervalo (0,∞). En ese intervalo f es creciente y

positiva, pero g (x) =1

xes decreciente en el intervalo (0,∞).


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Examen de HabilitaciónCálculo I

28 de abril de 2014

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Instrucciones :El tiempo del examen será de una hora y 45 minutoss.Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones claras y precisas.Todos los puntos tienen el mismo valor.Durante el examen NO les está permitido:

• El uso de libros y apuntes, ni el préstamo de implementos tales como lápices, bolígrafos, borradores, etc.• Realizar preguntas acerca de las respuestas del examen, porque parte de la evaluación es la comprensión de los enun-

ciados.• El uso de calculadoras, computadores, teléfonos celulares o cualquier otro dispositivo electrónico; el uso de cualquiera

de estos elementos o su presencia en la mesa de trabajo será catalogado como fraude, y acarreará la anulación delexamen.

1. La recta y = mx+b corta a la parabola y = x2 en los puntos A y B, como lo muestra la figura. Determineel punto P en el arco AOB de la parábola que maximiza el área del triángulo PAB.

2. Demuestre que la ecuación 3x+ 2cos x+ 5 = 0 posee exactamente una raíz real.

3. Un círculo de radio 1 esta inscrito en la parabola y = x2. Encuentre el centro del círculo. Trace la gráfica.

4. Una rueda de la fortuna de 10 m de radio está girando con una proporción de una revolución cada 2minutos. ¿Qué tan rápido se está elevando un pasajero cuando su silla está a 16 m arriba del nivel dela superficie de la tierra?

5. Trace la gráfica de la curva y =1

x2 + 2x− 3indicando claramente:

a) Dominio y recorrido.b) ¿Es par, impar o ninguna?c) Asintotas horizontales y verticales (si existen).d ) Intervalos de crecimiento y decaimiento.e) Intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo.f ) Puntos críticos.g) Puntos de inflexión.h) Máximos locales y mínimos locales (si existen).


Universidad

Industrial de

Santander


Examen finalCÁLCULO I1er Semestre Académico de 2014Martes 16.09.14, 8:00 a.m.

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INSTRUCCIONES:


b) NO está permitido el uso NI de apuntes NI de libros. TAMPOCO se permite la utilización de calculadoras, NI decomputadores, NI de teléfonos celulares, NI de ningún tipo de aparatos electrónicos (su presencia en las proximi-dades de la mesa de trabajo puede ser motivo de anulación del examen).


d) Resuelva un punto en cada página de su hoja de examen.

e) No se permite el préstamo de borradores, reglas, lápices, etc.


1. Trace la gráfica de una función que cumple con las siguientes condiciones: f(−x) = f(x), f (3) = 3,f (7) = 1, f ′ (−7) = f ′ (−3) = f ′ (0) = 0; f ′ (x) > 0 en (0, 3); f ′ (x) < 0 en (3, 5), (5, 7), (7,∞); f ′′ (x) > 0en (0, 1), (5, 7), (8,∞); f ′′ (x) < 0 en (1, 5), (7, 8); lım

x→5−f (x) = −∞, lım

x→5+f (x) = ∞ y lım

x→∞f (x) = −1.


2. El ángulo de elevación del sol decrece a razón de 0, 25 rad/h. ¿Qué tan rápido crece la sombra de unedificio de 100 metros de altura cuando el ángulo de elevación es π/6?

3. Determine las dimensiones del rectángulo con el área más grande que se puede inscribir en una circun-ferencia de radio R.

4. Determine si la afirmación dada es verdadera o falsa. Justifique claramente sus respuestas. Respuestasin justificación NO tiene valor .

a) La ecuación 3x+ 2cos x+ 5 = 0 tiene exactamente una raíz real.b) Si f es continua en a entonces f es derivable en a.

c) lımx→0+

(1− 2x)1/x = −2.

d ) Se sabe que g (2) = −4 y que g′ (x) =(

x2 + 4)1/3 para todo x.

Por medio de aproximaciones lineales se estima que el valor de g (1, 95) es −4, 1.


Solución de Examen Final de Cálculo I — PS20141. f es par;

f ր: (−∞,−5) , (−5,−3) , (0, 3). f ց: (−3, 0) , (3, 5) , (5, 7) , (5,∞).Puntos críticos: −7, −3, 0, 3, 7; hay valores máximos locales en x = 3 y x = −3, y hay un valor mínimolocal cuando x = 0.f ⌣: (−∞,−8) , (−7,−5) , (−1, 1) , (5, 7) , (8,∞). f ⌢: (−8,−7) , (−5,−1) , (1, 5) , (7, 8).Hay asíntotas verticales en x = −5 y x = 5. Hay una asíntota horizontal cuando y = −1.

2. 100x = tan θ, luego x (θ) = 100 cot θ.

dx

dt=

dx

dθ

dθ

dt=⇒ dx

dt= 100

(

− csc2 θ) dθ

dt

dx

dt

∣

∣

∣

∣

θ=π/6

= −100 csc2 (π/6) · (−0, 25) = −100 · 4 · (−0, 25) = 100.

3. Los puntos sobre la circunferencia satisfacen la ecuación x2 + y2 = R2. El área del rectángulo inscritose puede ver por simetría que es A = 4xy, pero de la ecuación de la circunferencia se tiene quey =

√R2 − x2. Luego la función a optimizar es A (x) = 4x

√R2 − x2, x ∈ [0, R]. Claramente si x = 0 ó

x = R entonces A = 0. Encontremos entonces el valor que máximiza el área.Derivando se tiene que

A′ (x) = 4

[

√

R2 − x2 +x (−2x)

2√R2 − x2

]

=4(

R2 − 2x2)

√R2 − x2

.

A′ (x) = 0 si R2 − 2x2 = 0. Al factorizar esta expresión se tiene que(

R−√2x) (

R−√2x)

= 0, luego

x = ±√22 R, pero dado el dominio de definición de la función consideramos solo el valor x =

√22 R.

Se puede mostrar que en dicho punto hay un valor máximo utilizando el criterio de la primera derivada oel criterio de la segunda derivada.

Por el criterio de la primera derivada basta con ver que A′ (x) > 0 si x ∈(

0,√22 R

)

y A′ (x) < 0 si

x ∈(√

22 R,R

)

.

Por el criterio de la segunda derivada es necesario encontrar A′′ (x).

A′′ (x) = 4

(−4x)√R2 − x2 − (R2−2x2)(−2x)

2√R2−x2

R2 − x2

= 4

(

(−4x)(

R2 − x2)

+ x(

R2 − 2x2)

(R2 − x2)3/2

)

=4x(

2x2 − 3R2)

(R2 − x2)3/2.

Ahora A′′(√

22 R

)

< 0, por lo tanto en x =√22 R la función A se hace máxima.

A partir de lo anterior se tiene que los valores que hacen que el área sea máxima son X = 2x =√2R y

Y = 2y =√2R.

4. Falso o Verdadero.

a) (V) Sea f (x) = 3x+2cos x+5. Dado que f es continua y que f (−3) < 0 y f (0) > 0, entonces porel TVI existe un c ∈ (−3, 0) tal que f (c) = 0. Ahora como f ′ (x) = 3 − 2 senx > 0 para todo x ∈ R,entonces f es una función estrictamente creciente, por lo tanto el valor c es único.

b) (F) Considere por ejemplo la función f (x) = |x|. Ella es continua en cero, pero no es diferenciableen cero.

c) (F) lımx→0+

(1− 2x)1/x = elım

x→0+ln(1−2x)1/x

= e−2, ya que

lımx→0+

ln (1− 2x)1/x = lımx→0+

ln (1− 2x)

x= lım

x→0+

−2

1− 2x= −2.

d ) (V) La aproximación lineal es dada por g (x) ≈ g (a) + g′ (a) [x− a]. Por lo tanto

g (1, 95) ≈ g (2) + g′ (2) [x− 2] = −4 +(

22 + 4)1/3

(1, 95 − 2) = −4 + 2 (−0, 05) = −4, 1.


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Industrial de

Santander


HabilitaciónCÁLCULO I

1er Semestre Académico de 2014Lunes 22.09.14, 12:00 m.

Grupo

Nombre: Código:

INSTRUCCIONES:


b) NO está permitido el uso NI de apuntes NI de libros. TAMPOCO se permite la utilización de calculadoras, NI decomputadores, NI de teléfonos celulares, NI de ningún tipo de aparatos electrónicos (su presencia en las proximi-dades de la mesa de trabajo puede ser motivo de anulación del examen).


d) Resuelva un punto en cada página de su hoja de examen.

e) No se permite el préstamo de borradores, reglas, lápices, etc.


1. Sea

f (x) =

x sen1

x, si x 6= 0,

0, si x = 0.

a) Demuestre que f es continua en x = 0.

b) Utilice la definición de derivada para demostrar quef ′ (0) no existe.

c) Encuentre f ′ (x) para x 6= 0.

d ) Determine si lımx→0

f ′ (x) existe.

2. Un diamante de beisbol es un cuadrado cuyos lados miden30 metros de longitud (ver Figura). Suponga que un jugadorentre la segunda y la tercera base corre a una rapidez de 2metros por segundo en el instante en que está a 10 metros dela tercera base. ¿A qué razón está cambiando la distancia deljugador al plato en ese instante?

b

b

b

b

b

1a base

2a base

3a base

plato

3. Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en uncono circular recto dado.

4. Determine si la afirmación dada es verdadera o falsa. Justifique claramente sus respuestas. Respuestasin justificación NO tiene valor .

a) Demuestre que la función f (x) = x3 − 4x tiene solución única en el intervalo [−2, 1].

b) lımx→π2

− (cos x)tan x = 1.

c) La cantidad de pintura necesaria para aplicar una mano de 0, 05 cm de espesor a un domo hemis-férico que tiene un diámetro de 100 m es de aproximadamente 2, 5π m3.

d )d

dx

∣

∣x3 + x2∣

∣ =∣

∣3x2 + 2x∣

∣ .


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