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Examenes de Algebra Conmutativa

Pedro Sancho

2003

Indice General

1 Examen de Algebra II. Febrero-1999 5


3 Examen de Algebra Conmutativa. Febrero de 2002 9

4 Examen de Algebra II. Mayo-1999 11

5 Examen de Algebra II. Junio-1999 13


7 Examen de Algebra Conmutativa. Febrero-2001 17

8 Examen de Ampliacion de Algebra Conmutativa. Mayo-2001 19

9 Examen de Ampliacion de Algebra. Septiembre del 2001 21

10 Examen de Algebra Conmutativa. Junio-2001 23

11 Examen de Algebra Conmutativa. Septiembre del 2001 25

12 Examen de Ampliacion de Algebra Conmutativa. Febrero-2002 27

13 Examen de Ampliacion de Algebra Conmutativa. Junio 2002 29

14 Examen de Algebra Conmutativa. Setiembre-2002 31

15 Examen de Ampliacion de Algebra Conmutativa. Septiembre-2002 33

16 Examen de Algebra Conmutativa. Febrero-2003 35

3

4 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Examen de Algebra II

Febrero-1999

Teorıa:

1. Formula de la fibra.

2. Sea A un dominio de ideales principales. Demostrar que todo A-modulo finito generado librede torsion es libre.

Problemas:

1. Sea A → AS el morfismo de localizacion por el sistema multiplicativo S. Demostrar que es unisomorfismo si y solo si el morfismo inducido en los espectros es isomorfismo.

2. Sea M ⊆ Q un Z-modulo finito generado no nulo. Probar que M es como Z-modulo isomorfo aZ.

3. Sea T : R3 → R3 un endomorfismo de matriz en la base estandar

T =

4 2 31 3 1−1 −2 0

Clasificar T y calcular una base de Jordan.

4. Calcular

(a) Z/3Z⊗Z Z/6Z.

(b) AS ⊗A AS .

(c) (Z/3Z⊕ Z/5Z)⊗Z (Z⊕Q).

5

6 Capıtulo 1. Examen de Algebra II. Febrero-1999

Capıtulo 2


Febrero-1999

Teorıa:

1. Sea A un dominio de ideales principales. Demostrar que todo A-modulo finito generado librede torsion es libre.

Problemas:

1. Sea T : E → E un endomorfismo lineal de un espacio vectorial de dimension finita. Probar quela condicion necesaria y suficiente para que el endomorfismo p(T ) sea invertible es que p(x) ycT (x) sean primos entre sı.

2. Sea T : R3 → R3 un endomorfismo de matriz en la base estandar

T =

4 2 31 3 1−1 −2 0

Clasificar T y calcular una base de Jordan.

3. Calcular

(a) Z/3Z⊗Z Z/6Z.

(b) AS ⊗A AS .

(c) (Z/3Z⊕ Z/5Z)⊗Z (Z⊕Q).

7

Capıtulo 3

Examen de Algebra Conmutativa

Febrero de 2002

Teorıa:

1. Demostrar el Lema de Nakayama.

2. Enunciar los teoremas de clasificacion de los modulos finito generados sobre dominios de idealesprincipales.

Problemas:

1. Sea N un A-submodulo de M , e I ⊆ A un ideal. Probar que (M/N)/I · (M/N) es un A-moduloisomorfo a M/(IM + N).

2. Calcular una base de Jordan para el endomorfismo T del C-espacio vectorial C4, cuya matrizen la base estandar es

−1 −1 0 04 3 0 00 0 1 −10 0 4 −3

3. Sean A y B dos anillos que contienen un cuerpo k (es decir, dos k-algebras), S ⊂ A y S′ ⊂ Bsistemas multiplicativamente cerrados y S ⊗S′ = {s⊗ s′ ∈ A⊗k B : s ∈ S, s′ ∈ S′}. Probar que

AS ⊗k BS′ = (A⊗k B)S⊗S′

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10 Capıtulo 3. Examen de Algebra Conmutativa. Febrero de 2002

Capıtulo 4


Mayo-1999

Teorıa:

1. Construccion del producto tensorial de modulos.

2. Clasificacion de los grupos abelianos finito generados.

Problemas:

1. Sea el morfismo de anillos R[x] ↪→ C[x], p(x) 7→ p(x). Calcular todas las fibras del morfismoinducido en los espectros. (Recuerdese que los polinomios irreducibles de R[x] son de grado doso uno).

2. Sea A un anillo y f ∈ A. Probar que Af = Af2 .

3. Sea A un anillo ıntegro, e 0 6= I ⊂ A un ideal. Probar que si I es un A-modulo libre, entoncesexiste un a ∈ A, no nulo, de modo que I = aA.

4. Sea A → B un morfismo de anillos, M un A-modulo y N,P B-modulos. Probar que

(M ⊗A N)⊗B P = M ⊗A (N ⊗B P )

5. Sea E un R-espacio vectorial de dimension finita y T : E → E un endomorfismo R-lineal.Probar que si en E no existen subespacios vectoriales propios E′ tales que T (E′) ⊆ E′, entoncesla dimension de E es 1 o 2.

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12 Capıtulo 4. Examen de Algebra II. Mayo-1999

Capıtulo 5


Junio-1999

Teorıa:

1. Escribir cinco propiedades del producto tensorial.

2. Mostrar cual es la forma de Jordan de la matriz de un C-endomorfismo lineal, de un C-espaciovectorial de dimension finita.

Problemas:

1. (a) Sean I1 e I2 dos ideales de A. Demostrar que (I1 · I2)0 = (I1)0 ∪ (I2)0.

(b) Probar que los ideales (y− x2, x2 + (y + 1)2 − 1), (y− x2, x2 + (x2 + 1)2 − 1) de k[x, y] soniguales.

2. Probar que los anillos k[x, y]/(xy − 1) y k[x]1,x,x2,... son isomorfos.

3. (a) Sea N ′ ⊂ N un A-submodulo y M = N/N ′. Probar que si N ⊗A N = 0 entoncesM ⊗A M = 0.

(b) Sea I un ideal de A, calcular A/I ⊗A A/I.

(c) Probar que si M es un A-modulo finito distinto de cero entonces M ⊗A M es distinto decero.

4. Sea E un C-espacio vectorial de dimension finita. Sea T : E → E un endomorfismo C-lineal deE. Demostrar que si cT (x) es el polinomio caracterıstico de T considerado como endomorfismoC-lineal, entonces el polinomio caracterıstico de T considerado como endomorfismo R-lineal escT (x) · cT (x) (donde cT (x) es el conjugado de cT (x)).

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14 Capıtulo 5. Examen de Algebra II. Junio-1999

Capıtulo 6


Febrero-2000

Teorıa:

1. Lema de Nakayama.

2. Teoremas de descomposicion para modulos sobre dominios de ideales principales.

Problemas:

1. Sea Ai

↪→ B un morfismo inyectivo de anillos. Sea x ∈ Spec A, tal que px ⊂ A sea un idealprimo minimal. Sea i∗ : Spec B → Spec A el morfismo inducido por i en los espectros. Probarque i∗−1(x) 6= ∅. Probar que la imagen de i∗ es densa en Spec A.

2. Sea f : M → M ′ un morfismo de A-modulos. Sea N ⊆ M ′ un submodulo. Probar existe unisomorfismo

M/f−1(N) ' Im f/(Im f ∩N)

3. Sea G un grupo abeliano finito. Si para cada divisor n del orden de G existe un unico subgrupode G de orden n, probar que G es un grupo cıclico.

4. Calcular una base de Jordan del endomorfismo T : R3 → R3, cuya matriz en la base estandar es

T ≡

0 −1 −11 2 10 0 1

5. Sean M y M ′ A-modulos y m ⊂ A un ideal maximal. Probar

(a) (M ⊗A M ′)⊗A A/m = (M ⊗A A/m)⊗A/m (M ′ ⊗A A/m).

(b) Si A es local y M es finito generado, M ⊗A M = 0 si y solo si M = 0.

(c) Si M es finito generado, M ⊗A M = 0 si y solo si M = 0.

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Capıtulo 7


Febrero-2001

Teorıa:

1. Probar la formula de la fibra.

2. Probar el lema de Nakayama.

Problemas:

1. Sea A un anillo y a ∈ A. Probar que Aa es un anillo isomorfo a Aa2 .

2. Probar que Z[x]/(2x+3) no es un Z-modulo finito generado. (Pista: compruebese que 1, x, . . . , xn

no forma un sistema Z-generador de Z[x]/(2x + 3)).

3. Sea T : R3 → R3 la aplicacion lineal, cuya matriz en la base estandar de R3 es

T ≡

4 0 0−2 3 −12 1 5

Calcular una base de Jordan de T .

4. Dado el Z-modulo M = Z/8Z⊕ Z/6Z, calcular los divisores elementales de M ⊗Z M .

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18 Capıtulo 7. Examen de Algebra Conmutativa. Febrero-2001

Capıtulo 8

Examen de Ampliacion de Algebra Conmutativa

Mayo-2001

Teorıa:

1. Demostrar la existencia de descomposiciones primarias reducidas en anillos noetherianos.

2. Probar el teorema de los ceros de Hilbert.

Problemas:

1. Consideremos el anillo k[[x]]. Probar:

(a) s(x) = λ0 + λ1 · x + · · · ∈ k[[x]] es invertible si y solo si λ0 6= 0.

(b) Probar que si 0 6= I ⊆ k[[x]] es un ideal entonces existe un n ∈ N, de modo que I = (xn).

(c) Probar que k[[x]] es un anillo noetheriano.

2. Probar que Z[x]/(2x + 3) no es un Z-modulo finito generado.

3. Sea A = [C[x, y, z]/(x3) · (x− 1, y − 2) · (y, z)]z. Calcular la dimension de Krull de A.

4. Calcular la multiplicidad de corte de y2 − x3 = 0 con cada recta ax + by = 0, en el origen.Calcular las asıntotas de y2 − x3 = 0.

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20 Capıtulo 8. Examen de Ampliacion de Algebra Conmutativa. Mayo-2001

Capıtulo 9

Examen de Ampliacion de Algebra

Septiembre del 2001

Teorıa:

1. Probar el teorema de la base de Hilbert.

2. Probar el Lema de de Normalizacion de Noether.

Problemas:

1. (a) Si A es un anillo noetheriano y radA es el radical de A, probar que existe un n ∈ N demodo que (radA)n = 0.

(b) Si A es noetheriano y S ⊂ A es un sistema multiplicativamente cerrado, probar que AS esun anillo noetheriano.

(c) Si A es un anillo que contiene solo un numero finito de elementos, probar que A es unanillo noetheriano.

2. Sea A un anillo noetheriano, de modo que Spec A es irreducible.

(a) Probar que si a ∈ A no es nilpotente y existe b ∈ A de modo que a · b = 0, entonces b esnilpotente.

(b) Probar que si a no es nilpotente ni invertible, entonces el morfismo A → Aa no es finito.

3. Calcular la multiplicidad de interseccion de las curvas planas proyectivas de ecuaciones afinesy2 − x3 = 0, y − x2 = 0 en cada uno de los puntos de la recta del infinito.

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22 Capıtulo 9. Examen de Ampliacion de Algebra. Septiembre del 2001

Capıtulo 10


Junio-2001

Teorıa:


2. Enunciar los teoremas de clasificacion de A-modulos finitos sobre dominios de ideales principalesy aplicarlos a la clasificacion de los grupos abelianos de orden finito.

Problemas:

1. Probar que en todo anillo existen ideales primos minimales.

2. Demostrar que (Af )g = Af ·g.

3. Demostrar que no existen tres elementos e1, e2, e3 ∈ Q2 de modo que sean Z-linealmente inde-pendientes.


T ≡

0 −1 −20 1 01 1 3


5. Sea S ⊂ A un sistema multiplicativamente cerrado y M y N A-modulos. Demostrar queM ⊗A NS = MS ⊗AS

NS .

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24 Capıtulo 10. Examen de Algebra Conmutativa. Junio-2001

Capıtulo 11


Septiembre del 2001

Teorıa:

1. Probar el lema de Nakayama.

2. Dar la clasificacion de los grupos finitos abelianos.

Problemas:

1. Sea A un anillo ıntegro y a ∈ A. Probar que (an)/(an+1) es un A-modulo isomorfo a A/(a).

2. Probar que C(x) ⊗C C(y) es un anillo isomorfo a C[x, y]S , donde S = {p(x) · q(y), con p(x) ∈C[x], q(y) ∈ C[y]}. Calcular SpecC(x)⊗C C(y).

3. Sean

A =

2 −2 10 4 −12 2 2

B =

2 0 2−2 4 21 −1 2

Calcular C tal que CAC−1 = B.

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26 Capıtulo 11. Examen de Algebra Conmutativa. Septiembre del 2001

Capıtulo 12


Febrero-2002

Teorıa:

1. Probar el teorema de la base de Hilbert

2. Probar el lema de normalizacion de Noether.

Problemas:

1. Probar que el anillo Z[ 2√

5] ⊂ R es noetheriano.

2. ¿Es el ideal (x4, x3y, y2) ⊂ C[X, y] un ideal primario? Calcular la descomposicion primaria delideal (x2) · (x, y)2 ⊆ C[x, y].

3. Demostrar que dimZ[x] = 2.

4. Encontrar alguna conica no singular, que corte a la curva afın plana y2 − x3 = 0 en solo trespuntos (contando multiplicidades) del plano afın.

27

28 Capıtulo 12. Examen de Ampliacion de Algebra Conmutativa. Febrero-2002

Capıtulo 13


Junio-2002

Teorıa:



Problemas:

1. Consideremos el anillo k[[x]]. Probar:

(a) s(x) = λ0 + λ1 · x + · · · ∈ k[[x]] es invertible si y solo si λ0 6= 0.

(b) Probar que si 0 6= I ⊆ k[[x]] es un ideal entonces existe un n ∈ N, de modo que I = (xn).

(c) Probar que k[[x]] es un anillo noetheriano.

2. Probar que Z[x]/(2x + 3) no es un Z-modulo finito generado.

3. Calcular la multiplicidad de corte de y2 − x3 = 0 con cada recta ax + by = 0, en el origen.Calcular las asıntotas de y2 − x3 = 0.

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30 Capıtulo 13. Examen de Ampliacion de Algebra Conmutativa. Junio 2002

Capıtulo 14


Setiembre-2002

Teorıa:


Problemas:

1. Sea Z[ 23 ] := {an · (23 )n + . . . + a1 · ( 2

3 ) + a0 ∈ Q, con ai ∈ Z y n ∈ N variables}. Probar que Z[ 23 ]es isomorfo a Z[x]/(3x− 2).

2. Demostrar que AS ⊗A M = MS .


T ≡

1 −1 −11 0 00 1 2


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32 Capıtulo 14. Examen de Algebra Conmutativa. Setiembre-2002

Capıtulo 15


Septiembre-2002

Teorıa:



Problemas:

1. Sea A un anillo noetheriano reducido, es decir, sin nilpotentes. Demostrar que en la descompo-sicion primaria del cero no hay componentes sumergidas.

2. Probar que C(x) no es una C-algebra de tipo finito.

3. Calcular la multiplicidad de corte de y2 − x2 + x3 = 0 con cada recta ax + by = 0, en el origen.Calcular las asıntotas de y2 − x2 + x3 = 0.

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34 Capıtulo 15. Examen de Ampliacion de Algebra Conmutativa. Septiembre-2002

Capıtulo 16


Febrero-2003

Teorıa del tema cuarto:

1. Construccion del producto tensorial de A-modulos.

2. Definicion de modulo plano. Demostrar que los modulos libres son planos.

Problemas del primer cuatrimestre:

1. Probar que Z[x]Z[x]−{0} = Q(x).

2. Sea G un grupo abeliano de orden n y m un divisor de n. Probar que existe algun subgrupo deG de orden m.

3. Clasificar el endomorfismo lineal de R3 de matriz

−1 0 00 −1 01 2 −1

en la base estandar. Dar

una base de Jordan.

4. (a) Sean M y M ′ dos A-modulos y N ⊆ M un submodulo. Denotemos por N ⊗A M ′ :=〈n⊗m′ ∈ M ⊗M ′ | n ∈ N, m′ ∈ M ′〉. Probar que

(M/N)⊗A M ′ = (M ⊗A M ′)/N ⊗A M ′

(b) Probar que (Q/Z)⊗Z (Q/Z) = 0.

5. Calcular

(a) Z/3Z⊗Z Z/6Z.

(b) AS ⊗A AS .

(c) (Z/3Z⊕ Z/5Z)⊗Z (Z⊕Q).

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