EXAMEN PARA CONTRATACIÓN DE DOCENTES-LAMBAYEQUE

2013SOLUCIONARIO PARA EL COMPONENTE DE

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

PROBLEMA 1

¿Qué letra continua en la sucesión?

E, F, M, A, M, J, ……….

Observemos detenidamente la sucesión por algunos instantes y nos daremos

cuenta del siguiente patrón:

E F M A M J J A S O N D

E ,F, M, A, M, J…….. es solo un disfraz para las primeras letras de los meses del año de Enero a

Diciembre y si seguimos ese orden la letra que sigue es la “j” de julio.

Respuesta : j

PROBLEMA 2En la siguiente analogía:

12 (3) 2120 (5) 4534 (x) 70

Hallar el valor de “x”

El algoritmo es muy sencillo y es el siguiente:

21 – 12 = 9 = 3 45 – 20 = 25 = 5

70 – 34 = 36 = 6

Problema 3 Hallar el término que ocupa el lugar 15 en la sucesión:

5, 8, 12, 17, 23,……………………………………………….

Observemos el siguiente patrón: 15 5 8 12 17 23 ---------------------x +3 + 4 + 5 + 6 + 7………………………… + 16 1 1 1 1 1

Vamos hasta el número 16 porque la razón en esta sucesión es 1 como lo indican los

números en verde.

Ahora aplicaremos la formula de la suma ,S = n(n + 1)/2, para hacer el cálculo rápido.

luego operamos de esta forma: [n(n + 1)/2 ] –1 – 2 = [16(17)/2 ] - 3 = 8*17 – 3 = 136 - 3 = 133

Hemos aplicado la formula de la suma y le hemos restado 1 y 2 que son los números que

faltarían en una suma completa del 1 al 16( 1+ 2 + 3+…….. +16)

Luego le sumamos 133 al primer término y resultaría: 5 +133 = 138, que es la respuesta.

PROBLEMA 4Si A ⊂ B, ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?

I. A U (B – A) = B II. A ⋂ (B – A) = A⋂B A ⋂ (B – A) = A⋂B III. A – (A – B) = A {1,2} ⋂ {1,2,3,4} (v)IV. (A – B) U (B – A) = B – A V. A ⋂ B = A A – (A-B) = A (f) A – (A – B) = ФAsumamos dos conjuntos: (A – B) U (B – A) = B – A

(v)A = {1,2} incluido en B = {1,2,3,4} Ф U (B – A) = B - A

Comprobando las proposiciones: A ⋂ B = A (v)

A U (B – A) = B; {1,2} U {1,2,3,4} = {1,2,3,4} (v) {1,2} ⋂ {1,2,3,4} = {1,2}

Respuesta: 4 proposiciones son verdaderas.

PROBLEMA 5Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC

se diferencian en 9 cm. Si la altura BD mide 6cm. Determina la medida de AD y CD

B

C A

Desarrollando la formula de la altura:

p/h = h/q por lo tanto:

h2 = p*q, h = √p*q

Si h = 6 entonces hallo p y q:

36 = p*q (i)

q – p = 9 (ii)

q = 9 + p, reemplazando en (i)

36 = p*(9+p), p2 + 9p - 36 p 12 p -3 p = 3cmq = 9 + p = 9 + 3 = 12cm

La respuesta es entonces 3 y 12cm.

p D

ADBD

= BDCD

Donde:

AD = p, CD= q, BD = h

q

h = 6

Aplicando el teorema de Euclides relacionado con la altura tenemos:

Siendo p y q las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y 9 su diferencia -q > p-.

PROBLEMA 6En la figura mostrada:

40º 60º

Un principio geométrico nos indica que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º por lo que operamos de la siguiente forma:

50º

xº

Determinar el valor de x.

50º

x º = 150º40º 60º

Sumando los ángulos que tenemos a la vista:

50º + 40º + 60º = 150º

Para 180º nos faltan 30º

Al formar dos triángulos uno externo y otro interno observamos que el ángulo de 30º es dividido en dos de 15º en el triángulo interior para que ambas figuras cumplan con el principio geométrico.

Probamos que la respuesta es 150º sumando los ángulos del triangulo interno:

15º + 15º + 150º = 180º

15º 15º

Problema 7En el trapecio ABCD; BC//AD Hallar AD

Por tratarse de un trapecio isósceles se sabe que sus lados opuestos son iguales, en este caso ambos lados miden 8 cm.

10 cm

8 cm

6 cm

B

A

C

D

α

10 cm

8 cm

6 cm

B

A

C

D

8 cm10 cm

8 cm

Aplicando Pitágoras:

82 + 62 = 64 + 36 = 10

Haciendo un simple trazo en el trapecio formamos la figura de un “deltoide”.

Este deltoide tiene dos lados contiguos iguales de 10 y 8 cm por lo que el segmento que completa la base del trapecio mide 8 cm.

“Un deltoide es un cuadrilátero no regular , cuyos lados contiguos son iguales dos a dos….”(Wikipedia)

α

Producto de esto la medida de AD es la siguiente:

AD = 8 cm + 6 cm = 14 cm

Problema 8Calcular el perímetro del paralelogramo

ABCD si BC = 3x + y2 ; CD = x + y; AD = x + 2y2 ;

AB = 2x – y

Graficamos el paralelogramo:

A B

D C

2x – y

x + 2y23x + y2

x + y

Planteando un sistema de ecuaciones

AD= BC (I)

x + 2y2 = 3x + y2

y2 = 2x (I)

AB = CD (ii)

2x – y = x + y

x = 2y (ii)

Reemplazando (ii) en (i)

y2 = 4y2

y = 4

Hallando x :

x = 2*4 = 8

Reemplazando los valores para hallar los lados del paralelogramo.

BC= 3*8 + 22 = 40CD= 8 + 4 = 12

BC = 40

CD = 12

AD = 40

AB = 12

P = 2(a + b)

P = 2( 40 + 12)

P = 2(52)

P = 104

Problema 9¿Cuántas placas para automóvil de 5 símbolos se pueden hacer si cada placa empieza con 2 letras distintas (P, Q o R) y termina con cualquier digito significativo diferente?

Si dibujamos una placa de automóvil esta luciría de esta forma:

P Q 0 1 5

Este dibujo tiene la respuesta a nuestro problema, el 5 es un ejemplo de cualquier dígito significativo(no igual a 0) diferente que siempre irá en la última casilla por lo que tenemos 4 lugares libres para 2 letras y 2 números que irán permutando con los dígitos del 1 al 9.

V m-n

m= 9!/(9 – 4)! = 9!/5! = 9x7x8x6x5!/5! = 9x7x8x6 = 3024

Respuesta: se pueden hacer 3024 placas.

Problema 10Sean las relaciones R2 :

R1 = {(x, y) ε R2/x2 + y2 ≤ 16} R2 = {(x, y) ε R2/ ∣x∣ + ∣y ∣≥ 4}

Hallar el área de la gráfica de R1 ⋂ R2

Para desarrollar este problema debemos graficar ambas funciones.

R1 la podemos escribir así x2 + y2 = 16

Tenemos una circunferencia que parte desde el origen y su radio es 4, aquí el proceso:

X = 0; y = 4 P0(0, 0)X = 4; y = 0 r = 4

R2 es una función de valor absoluto y tenemos 4 escenarios:

x,y ≥ 4; -x,y ≥ 4; x,-y ≥ 4; -x,-y ≥ 4

Estos escenarios implican puntos para la gráfica y asumiendo una ecuación estos serian :

∣x∣ + ∣y∣=4; P1(0,4), P2(0,-4), P3(4,0), P4(-4,0)

Graficando ambas funciones:

H = -42 + 42

= 32

Calculando el área gráfica que es la diferencia ente el área del circulo y el área del cuadrado

R1 ⋂ R2 = пr2 – l2 = 3.14*42 – ( 32 )2

= 50.24 – 32 = 18.24 m2

4

4-4

-4

r=4

0

Problema 11Hallar el valor de “x” si:

xx-1 = 4 4

Igualando las bases: xx-1 = 41/4

xx-1 = 22/4

(xx-1)-1= (21/2)-1

x1-x = 1/21/2

x2(1-x) = 1/2

La última ecuación la podemos escribir :

x2(1-x) = 1/22(1-1/2)

Igualadas las bases procedemos de la siguiente forma:

2(1-x) = 1

x = 1/2

Problema 12Benito se encuentra a una distancia de 40 metros de un edificio y observa la parte más alta de él con un ángulo cuya tangente es 7/10. A qué distancia debe encontrarse Benito del edificio para que el nuevo ángulo de elevación tenga como tangente 1/3.

b a

A B

C

α

Tag(α1)= a/b = sen α1/cos α1= 7/10

40 m

Asumamos que Benito es α y que la línea tangente a su cabeza es la hipotenusa del triangulo rectángulo que se forma desde un punto que esta a 40 m de un edificio.

α

En el problema nos dicen que habría una nueva tangente de 1/3(menor que 7/10) si Benito realiza un desplazamiento del lugar, en la figura observamos que Benito se aleja a una distancia “x”.

A B

C

ab

x m

Aplicando la regla de 3:

40 7/10

X 1/3

Las líneas rojas horizontales nos indican que las cantidades tienen una relación inversa es decir a mayor distancia menor tangente por lo que en esta ocasión no haremos el clásico cruce de cantidades y operamos de esta forma:

40*7/10 = x*1/3

x = 28*3 = 84 m

Tag(α2)= a/b = sen α2/cos α2= 1/3

α1 > α2

Problema 13Si (a + b + c)2 = 289

Hallar la suma de las cifras de:

E = abbab + baaba + ccccc

Para resolver este ejercicio requerimos de conocimientos básicos de numeración.

Paso 1:

Sacando raíz cuadrada obtenemos: a + b + c = 17

Paso 2:

Descomponiendo en cifras obtenemos: abc = 10a + b + c = 10(1) + 7 + 0

Paso 3:

Reemplazando “E” con los valores: a = 1, b = 7, c = 0

E = 17717 + 71171 + 00000 = 1+7+7+1+7 + 7+1+1+7+1 + 0 = 23 + 17 + 0 = 40

Problema 14En 100 litros de agua salada existen 910 gramos de sal ¿Cuántos litros de agua potable hay que añadir para que por cada 30 litros de mezcla existan 130 gramos de sal?

Paso 1: Planteando el problema:

100l 910gr (lo que hay)

30l 130gr (lo que habrá)

Paso2: Planteando la regla de 3:

xl 910gr

30l 130gr

La relación entre las cantidades es directa ya que tanto el agua como la sal disminuyen sus magnitudes, entonces cruzamos las cantidades como lo indican las líneas rojas.

Paso 3: Operando la regla de 3:

x*130 = 30*910

x = 30*910/130 = 30*7 = 210 Hay que añadir 210 – 100 = 110 litros de agua potable

Problema 15

En el siguiente gráfico se muestra la distribución de frecuencia sobre las edades de estudiantes de secundaria del 1er año.

i Edad fi hi% Fi

1 15 6

2 16 5

3 17 5

4 18 4

fi es la frecuencia o número de alumnos que tienen una determinada edad; ejemplo f3 indica que hay 5 alumnos de 17 años, la sumatoria de las frecuencias nos da el total de alumnos.

i Edad fi hi% Fi

1 15 6 30% 6

2 16 5 25% 11

3 17 5 25% 16

4 18 4 20% 20

20 100%

hi% es la frecuencia relativa y nos indica el porcentaje del total de alumnos que hay en una frecuencia; ejemplo h3 indica que en la frecuencia 3 hay 5 alumnos que representan 5/20 del total o 25%, la sumatoria de frecuencias relativas nos da el 100%.

Fi% es la frecuencia absoluta y nos muestra la frecuencia acumulativa o el número total de alumnos que venimos registrando hasta ese punto; ejemplo F3 nos muestra que la cantidad de alumnos hasta la frecuencia número tres es de 16 (6 +5+5).

La respuesta es 16 y 25%.

Determinar F3 y h3%

Problema: 16Se efectúa el experimento aleatorio, que consiste en lanzar una moneda y luego un dado ¿Cuál es la probabilidad de salir sello y un número impar?

Usaremos la siguiente formula de la probabilidad:

P = Casos favorables/Casos posibles = h/n

Paso 1: Probabilidad de salir sello en el lanzamiento de una moneda:

c = cara, s = sello ; p1 = s/(s,c) = 1/2

Paso 2: Probabilidad de salir un número impar al lanzar un dado:

p2 =(1,2,3)/(1,2,3,4,5,6) = 3/6 = 1/2

Paso 3 : Como los eventos ocurren simultáneamente ambas probabilidades se multiplican:

p1 x p2 = 1/2 x 1/2 = 1/4

La probabilidad es 1/4.

Problema 17Los amigos Juan, Carlos, Pedro y Percy se turnan de a dos para asistir a la clase de estadística. Si un día se visita el salón de clases ¿Cuál es la probabilidad que esté presente Percy?.

Usaremos la siguiente formula de la probabilidad:

P = Casos favorables/Casos posibles = h/n

En el aula vamos a encontrar a dos amigos y uno de ellos puede ser Percy o cualquiera de los otros tres.

p = (Percy, amigo)/(Percy, Juan, Carlos, Pedro) = 2/4 = 1/2

La probabilidad es 1/2.

Problema 18Al lanzar dos dados de diferente color, la suma de sus caras superiores es 7. Hallar la probabilidad de que una de sus caras haya sido 3.

Usaremos la siguiente formula de la probabilidad:

P = Casos favorables/Casos posibles = h/n

Casos favorables:

Asumamos que en el primer lanzamiento el primer dado muestra la cara 3 y el segundo la cara 4, este es un caso favorable ya que la suma de las caras superiores es 7 y una de ellas es 3.

Con un poco de suerte en el segundo lanzamiento el primer dado muestra la cara 4 y el segundo la cara 3, este es un caso favorable ya que la suma de las caras superiores es 7 y una de ellas es 3.

Casos posibles:

Hay seis casos en los que las caras de los dados sumarán 7 y son: (1,6) (6,1) (2,5) (5,2) (3,4) (4,3)

Luego: p = [(3,4) (4,3)]/[(1,6) (6,1) (2,5) (5,2) (3,4) (4,3)] = 2/6 = 1/3

Problema 19Observe la tabla y responda:

Hombres Mujeres

Juegan fútbol

80 50

No juegan fútbol

120 90

¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar juegue fútbol?

Paso 1: El número total de personas que juegan fútbol entre hombre y mujeres es 130 (80 + 50)

Paso 2: El número total de personas es 340(80 + 120 + 50 + 90)

Paso 3: Calculando la probabilidad

P = h/n = 130/340 = 13/34

La probabilidad es 13/34

Problema 20En el siguiente gráfico de frecuencia, se muestra la estatura de los bebes nacidos en un hospital en un mes.

47 48 49 50 51 52 53 540

5

10

15

20

25

30

35

40

4

12

28

36

18

10

6

2

Nº de Bebes

Estatura(cm)

Determinar la frecuencia absoluta F4

F4 = ∑f4 = f1+f2+f3+f4 = 4 + 12 + 28 + 36 = 80