EXAMEN GENERAL DE POSGRADO. TOPOLOGIA GENERAL.23 de agosto de 2004. 16 a 19 hrs.

Para aprobar es necesario un mınimo de 10 puntos.

1) Pruebe que X tiene la topologıa indiscreta si y solo si todas las funcionesde [0, 1] en X son continuas........................(1 punto)

2) Pruebe que si cada uno de los conjuntos Xn, n = 1, 2, 3, ... es separableentonces X = X1 × X2 × X3 × ... tambien lo es..........(2 puntos).

3) Encuentre el interior, la cerradura y la frontera de cada uno de los sigu-ientes subconjuntos de R2:

a) Q × N.b) {(x, sen(1/x) : x > 0}c) C × C donde C es el conjunto de Cantor..... (3 puntos)

4) ¿Es X = Cerradura ({(x, sen(1/x) : x > 0}) . conexo?. (demostrar).......(4puntos).

5) A partir del Teorema de Baire, demuestre que Q no es un subconjuntoGδ de R (2 puntos)

6) Sean τ1 y τ2 topologıas en X , τ1 ⊆ τ2. Considere las afirmaciones sigu-ientes:si es verdadera, demostrarla, si es falsa dar un contraejemplo.(.

i) (X, τ1) es T2 ⇒ (X, τ2) es T2.ii) (X, τ1) es compacto ⇒ (X, τ2) es compacto.iii) (X, τ2) es compacto ⇒ (X, τ1) es compacto.iv) (X, τ1) es separable ⇒ (X, τ2) es separable................................2 pun-

tos)

1

X un conjunto no numerable y τ la topologıa cofinita en X . Demostraremosque X no es 1o. numerable. Recordemos primero que τ = {A ⊆ X : X�Aesfinito}∪{∅} .

Sea p ∈ X y sea B = {V1, V2, V3, ..} .una familia numerable de abiertos. quecontienen a p. Entonces, para cada i ∈ N, X rVi es finito y se sigue de aquı que∞

i=1X r Vi es un subconjunto numerable de X.Como X es no numerable, Xr (∞i=1

X r Vi) es no numerable, ası que podemoselegir

q ∈ Xr (∞i=1

X r Vi), q 6= p. Entonces q ∈∞

i=1Vi. Sea W = X r{q} . Es claro

que W es abierto y no contiene ninguna Vi, (pues, de lo contrario, q serıa unelemento de W ) Esto demuestra que B, no es base local en p, por lo tanto X notiene una base local numerable en p y de aquı que X no es 1o. numerable.

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Definicion de topologıa caja.Sean (Xi, τi) i = 1, 2, 3, 4,...espacios topologicos y sea X = X1×X2×X3×.....La topologıa caja en X es la topologıa que tiene como base a los conjuntos

de la formaU1 × U2 × U3 × ..... donde Ui ∈ τi.

Sea X un conjunto no numerable y τ la topologıa cofinita en X . Demostraremosque X no es 1o. numerable. Recordemos primero que τ = {A ⊆ X : X�Aesfinito}∪{∅} .

Sea p ∈ X y sea B = {V1, V2, V3, ..} .una familia numerable de abiertos. quecontienen a p. Entonces, para cada i ∈ N, X rVi es finito y se sigue de aquı que∞

i=1X r Vi es un subconjunto numerable de X.Como X es no numerable, Xr (∞i=1

X r Vi) es no numerable, ası que podemoselegir

q ∈ Xr (∞i=1

X r Vi), q 6= p. Entonces q ∈∞

i=1Vi. Sea W = X r{q} . Es claro

que W es abierto y no contiene ninguna Vi, (pues, de lo contrario, q serıa unelemento de W ) Esto demuestra que B, no es base local en p, por lo tanto X notiene una base local numerable en p y de aquı que X no es 1o. numerable.

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Definicion de topologıa caja.Sean (Xi, τi) i = 1, 2, 3, 4,...espacios topologicos y sea X = X1×X2×X3×.....La topologıa caja en X es la topologıa que tiene como base a los conjuntos

de la formaU1 × U2 × U3 × ..... donde Ui ∈ τi.

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Tarea de Topologıa #6 Examen en fecha de 1er final.

1. Sea X un espacio topologico. Definimos x˜ysi existe una trayectoria dex a y. Demuestre que esta es una relacion de equivalencia.

2. Demuestre que XxY es conexo por trayectorias si y solo si X y Y sonconexos por trayectorias.

3. Sea X un conjunto y B ⊆ P (X). Supongase que B satisface lo siguiente:i) Si B1, B2 ∈ B,, entonces B1 ∩B2 ∈ B. ii) La union de todos los elementos deB es X .

Sea τB = {A ⊆ X : paracadaa ∈ A, existeB ∈ Btalquea ∈ B ⊆ A}. Demuestreque τB es una topologıa en X.

4. Sea X = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] × ........ De un ejemplo de abierto para latopologıa caja que no lo sea para la topologıa producto.

5. Sea X = X1 ×X2 ×X3 × ... y sea πi : X → Xi la proyeccion en la iesimacoordenada. ¿ es continua, abierta, cerrada?. Demuestre que si X es conexo,compacto. Entonces cada Xi es conexo, compacto.

6. Sean X y Y espacios topologicos, B una base para la topologıa de Y yf : X → Y una funcion. Demuestre que f es continua si y solo si la imageninversa de cada elemento de B es un abierto en X .

7. Sea X un espacio topologico y B una base para la topologıa de X. De-muestre que un subconjunto C de X es denso en X si y solo si C ∩ B 6= ∅ paratoda B ∈ B.

Tarea de Topologıa #6 Examen en fecha de 1er final.

1. Sea X un espacio topologico. Definimos x˜ysi existe una trayectoria dex a y. Demuestre que esta es una relacion de equivalencia.

2. Demuestre que XxY es conexo por trayectorias si y solo si X y Y sonconexos por trayectorias.

3. Sea X un conjunto y B ⊆ P (X). Supongase que B satisface lo siguiente:i) Si B1, B2 ∈ B,, entonces B1 ∩B2 ∈ B. ii) La union de todos los elementos deB es X .

Sea τB = {A ⊆ X : paracadaa ∈ A, existeB ∈ Btalquea ∈ B ⊆ A}. Demuestreque τB es una topologıa en X.

4. Sea X = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] × ........ De un ejemplo de abierto para latopologıa caja que no lo sea para la topologıa producto.

5. Sea X = X1 ×X2 ×X3 × ... y sea πi : X → Xi la proyeccion en la iesimacoordenada. ¿ es continua, abierta, cerrada?. Demuestre que si X es conexo,compacto. Entonces cada Xi es conexo, compacto.

6. Sean X y Y espacios topologicos, B una base para la topologıa de Y yf : X → Y una funcion. Demuestre que f es continua si y solo si la imageninversa de cada elemento de B es un abierto en X .

7. Sea X un espacio topologico y B una base para la topologıa de X. De-muestre que un subconjunto C de X es denso en X si y solo si C ∩ B 6= ∅ paratoda B ∈ B.

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