1. ¾De qué tipo son las siguientes funciones? Represéntalas gráficamente.

(a) elpuente (x) = 6

(b) mombuey (x) = sen x

Solución:

(a) Es una función constante. Su grá�ca es:

(b) Es una función trigonométrica. Su grá�ca es:

2. Explica con tus propias palabras el significado gráfico de que una función f−1 sea inversa de otra función f .

Solución:

Dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante, la recta y = x.

3. Un invernadero visto de frente presenta la forma de la gráfica de la función h (x) = −2x2 + 8x− 6.

(a) ¾A qué tipo de gráfica corresponde esa forma?

(b) Representa gráficamente la función.

(c) Calcula la altura máxima del invernadero.

(d) ¾Para qué valores de la variable x tiene sentido la función?

1

Solución:

(a) Es una parábola.

(b) Su vértice tiene coordenadas:

xV = −b2a = −8

2·(−2) = −8−4 = 2 =⇒ yV = −2 · 22 + 8 · 2− 6 = −8 + 16− 6 = 2 =⇒ V = (2, 2)

Los puntos de corte con el eje OX vienen dados por y = 0:

y = 0 =⇒ −2x2 + 8x− 6 = 0 =⇒ x =−8±√

82−4·(−2)·(−6)2·(−2) = −8±

√64−48−4 = −8±4

−4 =↗ −8+4

−4 = 1

↘ −8−4−4 = 3

El punto de corte con el eje OY viene dado por x = 0:

x = 0 =⇒ y = −2 · 02 + 8 · 0− 6 = −6

La grá�ca pedida será, pues:

(c) La altura máxima se alcanza en el vértice. Como este es el punto (2, 2), la altura buscada es de 2 metros.

(d) Para 1 ≤ x ≤ 3, pues en el resto de valores la altura sería negativa.

4. Sea la siguiente función a trozos:

espadanedo (x) =

x2 + 2x+ 1 , si x ≤ 0

2x− 2 , si 0 < x < 1

−x+ 1 , si x ≥ 1

(a) Calcula el valor de la función en los puntos -1, 0 , 1 y 2.

(b) Esboza un dibujo de la función.

Solución:

(a) espadanedo (−1) = (−1)2

+ 2 · (−1) + 1 = 1− 2 + 1 = 0

espadanedo (0) = 02 + 2 · 0 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1

espadanedo (1) = −1 + 1 = 0

espadanedo (2) = −2 + 1 = −1

2

(b) El primer trozo resulta ser un trozo de parábola, para lo cual calculamos sus características:

El vértice es: xV = −b2a = −2

2·1 = −1 =⇒ y = (−1)2

+ 2 · (−1) + 1 = 0 =⇒ V = (−1, 0)

Los puntos de corte con el eje OX son: y = 0 =⇒ x2 + 2x + 1 = 0 =⇒ x = −2±√22−4·1·12·1 = −2±

√0

2 = −22 = −1.

El punto de corte con el eje OY es: x = 0 =⇒ y = 02 + 2 · 0 + 1 = 1.

El segundo trozo resulta ser un trozo de recta. Su ordenada en el origen es -2, y tomando el valor x = 1 sabemos que

dicha recta pasa por el punto (1, 0).

El tercer trozo resulta ser otro trozo de recta. Su ordenada en el origen es 1, y tomando el valor x = 1 sabemos que

pasa por el punto (1, 0).

Dibujemos espadanedo (x):

5. Por el alquiler de un coche cobran 100 ¿ diarios más 0'30 ¿ por kilómetro.

(a) Encuentra la ecuación de la recta que relaciona el coste diario con el número de kilómetros.

(b) ¾Cómo se llama una función de este tipo?

(c) Represéntala gráficamente.

(d) ¾Tiene la función algún máximo o mínimo? Calcúlalo.

(e) Si en un día se ha hecho un total de 300 km, ¾qué importe debemos abonar?

Solución:

(a) La ecuación será y = 0′30 · x + 100, representando la variable x el número de kilómetros y la variable y el coste diario.

(b) Es una función lineal.

(c) Su ordenada en el origen es 100, y si le damos el valor x = 100 observamos que pasa por el punto (100, 130). Su grá�ca

será:

3

(d) No lo tiene, pues una recta de este tipo es creciente en todo su dominio porque tiene coe�ciente principal positivo.

(e) x = 300 =⇒ y = 0′30 · 300 + 100 = 90 + 100 = 190 ¿ deberemos pagar.

6. Para cada apartado, escribe la expresión algebraica de una función cuadrática que cumpla la condición descrita:

(a) Tiene un máximo relativo.

(b) Pasa por el origen de coordenadas.

(c) Pasa por el punto (0, 2).

Solución:

Como hay in�nitas soluciones posibles, escribiremos una por apartado a modo de ejemplo:

(a) f (x) = −x2 + 3x + 2; debe tener coe�ciente principal negativo.

(b) g (x) = x2 + 4x; su término independiente debe valer 0, pues coincide con la ordenada en el origen.

(c) h (x) = x2 + 3x + 2; su término independiente debe valer 2, pues coincide con la ordenada en el origen.

7. Observa la siguiente representación gráfica. En ella aparecen dibujadas cinco funciones.

Asocia cada una de ellas con una de las siguientes expresiones:

y = x2 + 3 y = x+ 0′5 y = sen x y = 2x y = log3x

4

Solución:

requejo (x) = x2 + 3

asturianos (x) = 2x

cubelo (x) = sen x

rabanillo (x) = log3x

palacios (x) = x + 0′5

8. Sin dibujarlas, di si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes. Y explica por qué, claro.

(a) pitagoras (y) = log4y

(b) tales (z) =(12

)z(c) gauss (j) = −3j + 2

(d) euler (δ) = 3

(e) perelman (λ) = 3λ

(f) guzman (ϕ) = ϕ2 − 2ϕ+ 1

Solución:

(a) pitagoras es creciente porque su base (4) es mayor que 1.

(b) tales es decreciente porque su base está entre 0 y 1.

(c) gauss es decreciente porque su pendiente (-3) es negativa.

(d) euler es constante porque se trata, precisamente, de una función constante.

(e) perelman es decreciente porque la constante de proporcionalidad inversa (3) es positiva.

(f) guzman es decreciente hasta x = −b2a = −(−2)

2·1 = 1 y creciente a partir de ahí, pues su coe�ciente principal (1) es positivo.

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