examen final (punto 4)
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Examen FinalTRANSCRIPT
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Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas
Examen Final (Punto 4)
Estadstica
Profesor. Luis Alejandro Msmela Caita
Nombre. David Leonardo Garzn Vanegas
Punto 4
Considere
S 2 =1
n
ni=1
(Xi X
)2Obtenga
EMC (S2)
EMS (S 2)
Solucin.
Para dar solucin al ejercicio propuesto, antes debemos determinar algunos aspectos de S2 y S 2
como: el valor esperado, la varianza y el sesgo, respectivamente.
En efecto, para S2obtenemos:
El valor esperado
E(S2)=
(n 1)2(n 1)2
=2
(n 1)E[(n 1)S2
]=
2
(n 1)(n 1)
= 2
1
-
La varianza est dada por
V(S2)=
(n 1)2(n 1)2
=
[2
(n 1)]2V
[(n 1)S2
]=
(4
(n 1)2
)[2
(n 1)]
=24
(n 1)
El sesgo est dado por
E(S2) 2 = 2 2 = 0Para S 2, determinamos:
Sabemos que E (S2) = 2, entonces el valor esperado est dado por
E(S 2)= E
[(n 1)n
S2]
=
[(n 1)n
]E(S2)
=(n 1)n
2
Sabemos queX2 = (n1)S2
2tiene una distribucin chi-cuadrado con (n 1) grados de libertad,cuya varianza es 2 (n 1). Por lo tanto la varianza es
V(S 2)= V
[(n 1)n
S2]
=
[(n 1)n
]2V(S2)
=
[(n 1)2n2
] [24
(n 1)]
=24 (n 1)
n2
El sesgo es
E(S 2) 2 = (n 1)2
n 2 =
n2 2 n2n
= 2
n
Finalmente, empleando el resultado
EMC()= V ar
()+[sesgo
()]22
-
obtenemos que
EMC (S2)
EMS (S 2)=
V ar (S2) + [sesgo (S2)]2
V ar (S 2) + [sesgo (S 2)]2
=
24
(n1)24(n1)
n2+
4
n2
=
24(n1)
4[2(n1)+1]n2
=2n2
(n 1) (2n 1)=
2n2
2n2 3n+ 1Por tanto,
EMC(S2)EMS(S2) =
2n2
2n23n+1 , que es siempre mayor que 1 cuando n es mayor que 1.
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