EXAMEN DE CONVOCATORIAJUNIO – (11-7-2002)FUNDAMENTOS DE FÍSICA II.T.I. EN QUÍMICA INDUSTRIAL

SOLUCIÓN DEL EXAMENNOTA: La duración del examen es de 3.5 horas

Problema 1 [10 ptos.]. En el sistema representado en la figura las masas de las poleas y los cables son despreciables, siendo el coeficiente de rozamiento entre la superficie inclinada y el bloque B de 0.25 (considérese que los coeficientes de rozamiento estático y dinámico poseen el mismo valor). Si el sistema parte del reposo:

a) Determinar en qué sentido se mueve el sistema, siendo las masas de los bloques A y B de 100 y 50 kg, respectivamente.

b) Dibujar el diagrama de fuerzas que actúan sobre cada uno de los cuerpos.

c) Calcular las aceleraciones de ambos bloques.

Solución:

a) Para determinar en qué sentido se mueve el sistema basta comprobar si el peso del cuerpo A, PA

(=mA g), supera a la suma de la componente tangencial del peso de B, PBx ( = mB g sen 30, ver figura de apartado b), y la fuerza de rozamiento estática máxima FR ( = NB, que además coincide, en este pro-blema, con la fuerza de rozamiento dinámica, por cuanto es el mismo en ambos casos) que actúa so-bre el cuerpo B.

Como puede observarse, el peso del cuerpo A (980 N) supera la suma de la fuerza de rozamiento está-tica máxima y la componente tangencial del peso de B (351.09 N). Por consiguiente, el sentido del movi-miento del sistema será el horario, esto es, el cuerpo B ascenderá por la superficie inclinada y el cuerpo A descenderá.

b) Las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo son:

ULPGCPROBLEMA 1 PROBLEMA 2 PROBLEMA 3 PROBLEMA 4

CALIFICACIÓN

30

A

PBy

PBx

PB

30

NB

FR

T

A

PA

T T

T

T

c) A la vista de los diagramas anteriores, la aplicación de la segunda ley de Newton a cada uno de los bloques conduce a las siguientes expresiones:

Bloque A

Bloque B

teniendo en cuenta, además, que: ; y que: (figura apartado b), entonces

y siendo: . Así pues, las aceleraciones de ambos bloques son:

Problema 2 [10 ptos.]. Un bloque de masa m1 se encuentra en reposo en la posición A comprimiendo a un resorte de constante elástica k al cual no está ligado. Tras ser soltado, dicho bloque recorre una dis-tancia 2L, deslizando sin rozamiento por el plano horizontal, hasta chocar elásticamente con otro blo-que, de masa m2, que se encuentra en reposo en la posición B. Después de la colisión, el bloque m1

queda inmóvil en B y el bloque m2 recorre una distancia 2L por el mismo plano horizontal (que ahora presenta un coeficiente dinámico de rozamiento ) hasta llegar a C, donde sufre una nueva colisión to-talmente inelástica con una varilla de masa mV y longitud L, que pende verticalmente de un punto O. Se-guidamente, el sistema varilla-bloque gira respecto del punto O.

a) ¿Se conservan el momento lineal y la energía cinética en el choque entre los dos bloques?; ¿y en el choque del bloque m2 con la varilla?. Justifíquelo brevemente.

b) Si la deformación inicial del resorte es d, ¿qué ángulo , con respecto a la vertical, formará el siste-ma varilla-bloque al finalizar su ascenso (posición D)?.

2L

k m1 m2

2L

A B

C

D

O

Datos: k = 172 N m–1; m1 = m2 = 1 kg; mV = 2 kg; L = 1 m; = 0.25; g = 10 m s–2; ; d = 0.5 m.

Solución:

a) En el choque entre los dos bloques, por ser elástico, se conserva la energía cinética del sistema. El momento lineal del sistema también se conserva en este caso, puesto que las fuerzas impulsivas que actúan en el choque son internas, con lo cual, durante la colisión, el resto de las fuerzas externas pre-sentes son despreciables.

Por el contrario, no se conserva la energía cinética en el choque entre el bloque m2 y la varilla, por ser ésta una colisión plástica. En este último caso, tampoco se conserva el momento lineal del sistema, pues aparece una fuerza impulsiva de reacción en la articulación, que es externa.

b) Para obtener el ángulo , descomponemos el problema en varias partes:

Tramo AB : en este tramo, se conserva la energía, pues las fuerzas que actúan producen trabajo nulo (la normal y el peso) o bien son conservativas (la fuerza elástica). Por tanto, se tendrá:

Choque en B : como se ha dicho anteriormente, en este choque se conservará el momento lineal (y la energía cinética). De la conservación del momento lineal del sistema formado por las dos partículas, se obtiene, directamente, que:

Tramo BC : como en este tramo existe una fuerza disipativa que realiza trabajo, no se conserva la energía. Utilizando entonces el teorema del trabajo/energía cinética, y teniendo en cuenta que los trabajos del peso y de la normal son nulos, se tendrá:

Choque en C : como se dijo anteriormente, en este choque se conserva el momento angular del sistema respecto del punto O; en consecuencia:

B

C

A

b = 1.2 m

a = 1.5 m

d

El momento de inercia del sistema varilla-partícula, respecto del eje que pasa por el punto O, se-rá:

por lo tanto:

Tramo CD : en este tramo también se conserva la energía, pues sólo actúa el peso del sistema, que es una fuerza conservativa; así:

donde h es la distancia que asciende el CM, habiendo tomado como nivel de referencia de ener-gía potencial gravitatoria el propio CM del sistema varilla-partícula, cuando éste se halla en posi-ción vertical. El valor de h se obtiene directamente de la ecuación anterior, de la forma:

Por último, para calcular el ángulo , hemos de hallar dónde está situado el CM. Así, tomando como origen de coordenadas el punto O, el CM estará a una distancia:

La altura que asciende el CM viene dada por:

Por lo tanto, se tendrá:

Problema 3 [10 ptos.]. Una pequeña esfera maciza de masa m y radio R se suelta del reposo en el punto A de la figura y rueda sin deslizar sobre la superficie curva hasta llegar al punto B, en que abandona la superficie con una velocidad horizontal; cayendo finalmente al suelo en el punto C.

C

D

O

yCM=2L/32Lcos /3

h

a) Responder de forma breve pero razonada a las siguientes cuestiones:a.1) ¿Cómo se expresa cinemáticamente la condición de rodar sin deslizar?.a.2) ¿Debe existir rozamiento entre la superficie curva y la esfera para que ruede sin deslizar?.a.3) ¿Se conserva la energía mecánica entre el punto A y B?. ¿Y entre los puntos B y C?.

b) Resolver los siguientes apartados para los valores de a y b indicados en la figura:b.1) Determinar la velocidad de la esfera en el punto B.b.2) Determinar el vector velocidad de la esfera al caer al suelo en el punto C.b.3) Determinar la distancia horizontal d entre los puntos B y C.

Datos:

Solución:

a) Las respuestas a las cuestiones son las siguientes:

a.1) La condición de rodar sin deslizar es:

a.2) Sí, debe existir una fuerza de rozamiento. Ocurre que, partiendo del reposo, la esfera al ir rodando sin deslizar aumenta paulatinamente su velocidad angular siendo, por tanto, su aceleración angular distinta de cero. Este hecho es admisible en tanto exista una fuerza capaz de producir, a su vez, un momento de fuerza (con respecto al centro de masas de la esfera) no nulo, siendo la de rozamiento la única fuerza capaz de producirlo.

a.3) Sí se conserva la energía mecánica en el tramo A–B, puesto que las únicas fuerzas que actúan sobre la esfera son: el peso (conservativa), la normal (perpendicular al movimiento) y la fuerza de rozamiento que, aunque no es conservativa, al ser de tipo estático no realiza trabajo y, por consiguiente, no disipa energía. También se conserva la energía en tramo B–C ya que la única fuerza que actúa es el peso que es conservativa.

b) Siendo los valores de a = 1.5 m y b = 1.2 m, resolvamos los siguientes apartados:

b.1) Para calcular la velocidad en B, , aplicaremos el Principio de Conservación de la Energía entre los puntos A y B:

donde se ha tomado como origen de energías potenciales el plano horizontal que contiene al CM de la esfera en la posición B (ver figura). Por otro lado, sabiendo que (rodar sin deslizar) y que , la expresión anterior queda como:

b.2) Con objeto de obtener el vector velocidad en C plantearemos las ecuaciones cinemáticas para el tiro parabólico, teniendo como condiciones iniciales las siguientes:

así pues, integrando las ecuaciones del movimiento, obtenemos:

En el punto C se cumple que: , que es el tiempo que tarda la esfera en llegar al suelo. Por lo tanto, es el vector velocidad, , particularizado para el instante t = 0.49 s, esto es,

b.3) Siendo la componente x del vector igual a: , el alcance d coincide con el valor de dicha componente particularizado para el instante t = 0.49 s en que la esfera alcanza el suelo, esto es,

(ver dibujo)

B

d

b = 1.2 m

C

Y

XO

p

p2

p1 = p3 1

2

3

VV1 = V2 V3

Problema 4 [10 ptos.]. Un mol de un gas ideal diatómico ( = 7/5) se encuentra, inicialmente, a 1 atm y 273 K. El gas se calienta a volumen constante hasta T2 = 423 K y luego se expansiona adiabáticamente hasta que su presión vuelve a ser de 1 atm. Después se comprime a presión constante hasta su estado original:

a) Dibujar el ciclo en un diagrama p–V.b) Calcular la temperatura T3, después de la expansión adiabática.c) Calcular el calor intercambiado por el sistema durante cada proceso indicando, en cada caso, si es

absorbido o cedido.d) Calcular el rendimiento del ciclo.e) Calcular el rendimiento de un ciclo de Carnot que operara entre las temperaturas extremas del ciclo.

Datos: R = 8,314 J / mol K = 0,082 atm-l / mol K = 2,0 cal / mol K1 atm-l = 101,3 J

Solución:

a) El ciclo descrito por el gas es el siguiente:

Proceso 12: Calentamiento isócoro (V = cte)

Proceso 23: Expansión adiabática (Q23 = 0)

Proceso 31: Compresión isobárica (p = cte)

b) En tanto que conocemos el valor de las variables p y T en el estado 1 ( ), iniciaremos el cálculo obteniendo, por medio de la ecuación de estado de los gases ideales, el valor de V1 (=V2 , proceso 12 es isócoro):

Del mismo modo, conocidos ahora los valores de y de , podemos ahora, volviendo a hacer uso de la ecuación de estado del gas ideal, calcular p2:

Estando gobernado el proceso 23 (adiabático) por la ecuación: , ésta puede ser aplicada a dichos estados, esto es,

Finalmente, bastaría con volver a emplear la ecuación del gas ideal para obtener la temperatura del estado 3 ( ):

Resulta conveniente, de cara a los cálculos posteriores, agrupar en un mismo cuadro el valor de las va-riables para los distintos estados:

1 2 3p (atm) 1 1.55 1

V (l) 22.4 22.4 30.63

T (K) 273 423 373

c) A continuación calcularemos, para los distintos procesos, el calor intercambiado. Usaremos el valor de R 2 cal / mol K. Recordemos también que, para un gas diatómico, se cumple que , y que .

PROCESO 1 – 2 (Calentamiento Isócoro, ):

(absorbido)

PROCESO 2 – 3 (Expansión adiabática, ):

PROCESO 3 – 1 (Compresión isobárica, ):

(cedido)

d) Una vez calculados los calores intercambiados en los diferentes procesos del ciclo, puede obtenerse

fácilmente el rendimiento de éste según:

e) Conocidas las temperaturas extremas del ciclo ( y ), el rendimiento de un ciclo de Carnot que operara entre ellas sería: