EVOLUTA DE UNA ELIPSE

Elaborado por el Ing. Oscar Acevedo

1/2 1 3/2 2 5/20

11/4

23/8

47/1

6

y

x

149

22

yx

2

1

Originalxy 293

2

derivadax

x

dx

dyª1

93

22

12

derivadaxxd

ydª2

9

62

322

2

3-1/2-1-3/2-2-5/2

-11/4

-23/8-47/16-3

2

1

0

y

x

PC( x, y )

dx

dym1

P( x1, y1)

)(

1m

dxdy

2

Ecuación de la recta: y - y1 = m2 ( x - x1)…………...[1]

Distancia de un punto a otro: d2 = (y - y1)2 + ( x - x1)

2 ……...[2]

Según el dibujo de la derecha, tenemos que la recta perpendicular a la tangente ala curva en el punto P(x1, y1) tiene como pendiente el siguiente valor:

m2 =

y la distancia entre los puntos P(x1, y1) y PC(x, y) está dada por el radio p, por loque podemos establecer dos ecuaciones con dos incógnitas así:

y - y1 = ( x - x1)…………....[1]

p 2 = (y - y1)2 + ( x - x1)

2 …………...[2]

Para simplificar el desarrollo de las dos ecuaciones con las dos incógnitasbuscadas, las cuales son las coordenadas (x, y), sustituimos los nombres de lasconstantes de la siguiente manera:

x1 = Celda A (programa excel)y1 = Celda B (programa excel)

= Celda C (programa excel)

p = Celda E (programa excel)

Sustituyendo cada uno de estos valores, las ecuaciones quedan representadasde la siguiente forma:

Sustituyendo [1] en [2]:

)(

1

dx

dy

)dxdy

(

1

dx

dy

]2[............................................................)Ax()By(E

]1..[..........BAxC

1y:dondede,Ax

C

1By

222

)C1(AxCE

)Ax(CAxCE

)Ax(AxC

1E

)Ax(BBAxC

1E

2222

22222

22

22

22

2

AC1

CEx

AC1

CEx

AC1

CEx

)C1(

CEAx

2

2

22

2

22

2

222

Las coordenadas de cada uno de los puntos PC que son centros de loscorrespondientes círculos osculadores vienen dadas por:

BAx

C

1,A

C1

CEP

2C

x1

y1

1/2 1

3/2 2

5/20

11/

4

23/

84

7/1

6

y

x

149

22

yx

EVOLUTA

2

1

Originalxy 293

2

derivadax

x

dx

dyª1

93

22

12

derivadaxxd

ydª2

9

62

322

2

2

2

2 23

1

xd

yd

dx

dy

213

4

5

67

8

[0; -2,5]

[0,008; -2,397]

[0,062; -2,095]

[0,494; -1,035]

[0,965; -0,422]

[1,284; -0,160][1,467; -0,058]

[5/3; 0,000]

3

[0,208; -1,624]

9

[1,565; -0,021]10

4/3 5/3 0,0001,438 1,565 -0,021

4,5004,3964,0903,5962,9412,1661,7521,542

0,0000,0080,0620,2080,4940,9651,2841,467

-2,500-2,397-2,095-1,624-1,035-0,422-0,160-0,058

x y

Coordenadas de cada unode los centros de los radios

m = 0

m = -0,112

m = -0,236

m = -0,385

m = -0,596

m = -1,005

m = -1,529m

= -2,236m = -3,215

m =

y

x