Bárbara Cánovas Conesa

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Julio 2018

En una nave industrial se realiza el montaje de dos tipos de bicicletas: de paseo y de montaña. Para cada jornada

de trabajo tenemos las siguientes restricciones: El número de bicicletas de paseo montadas debe estar entre 1 y 2. El número de bicicletas de montaña montadas debe estar entre 3 y 6. Si al triple de bicicletas de paseo montadas sumamos el número de bicicletas de montaña montadas, el resultado debe ser al menos 9. El montaje de una bicicleta de paseo precisa una hora, mientras que el de una bicicleta de montaña necesita dos horas. Pretendemos cumplir todas las condiciones expuestas en un tiempo mínimo. Para ello se pide:

a) Expresa la función objetivo. b) Escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido. c) Halla el número de bicicletas de cada clase que se deben montar para que se cumplan todas las condiciones en un

tiempo mínimo, y calcula cuál será ese tiempo mínimo. Siendo 𝑥 el número de bicicletas de paseo e 𝑦 el número de bicicletas de montaña, la función objetivo (a minimizar) será:

𝑻 𝒙, 𝒚 = 𝒙 + 𝟐𝒚

Las restricciones del problema son:

{1 ≤ 𝑥 ≤ 23 ≤ 𝑦 ≤ 63𝑥 + 𝑦 ≥ 9

Los valores que toma la función 𝑇 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 2𝑦 en cada uno de los vértices:

En el vértice V1 : 𝑇 1,6 = 13 En el vértice V2 : 𝑇 2,6 = 14 En el vértice V3 : 𝑇 2,3 = 8

Por tanto la solución óptima se encuentra en el vértice V3, siendo el 2 el número de bicicletas de paseo que se tienen que montar y 3 el número de las de montaña, para que el tiempo sea mínimo, siendo este de 8 horas.

Las acciones de tres empresas, A, B y C, tienen los siguientes valores:

Empresa A: 20 euros por acción; Empresa B: 25 euros por acción; Empresa C: 40 euros por acción. Hemos gastado 7000 euros en comprar acciones de estas tres empresas. Las acciones compradas de la empresa A son la mitad de la suma de las compradas de B y C. En total hemos comprado 255 acciones, exclusivamente de estas tres empresas.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas acciones hemos comprado de cada empresa. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.

Siendo:

x = nº acciones empresa A y = nº acciones empresa B z = nº acciones empresa C

{

20𝑥 + 25𝑦 + 40𝑧 = 7000

𝑥 =𝑦 + 𝑧

2

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 255

→ {

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟐𝟓𝟓 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝒛 = 𝟎 𝟒𝒙 + 𝟓𝒚 + 𝟖𝒛 = 𝟏𝟒𝟎𝟎

Lo resolvemos por Gauss:

(1 1 12 −1 −14 5 8

|2550

1400

) → 𝐸2 = 2𝐸1 − 𝐸2

𝐸3 = 4𝐸1 − 𝐸3

→ (1 1 10 3 30 −1 −4

|255510−380

) →𝐸3 = 𝐸2 + 3𝐸3

→ (1 1 10 3 30 0 −9

|255510−630

) → 𝒛 = 𝟕𝟎

→ 𝒚 = 𝟏𝟎𝟎 → 𝒙 = 𝟖𝟓

Es decir, se han comprado 85 acciones de la empresa A, 100 acciones de la empresa B y 70 acciones de la C.

6 –

–

5 –

–

4 –

–

3 –

–

2 –

–

1 –

––

1 – –

2– –

3 – –

4– –

5– –

V3 (2, 3)

V2 (2, 6)

V1 (1, 6)

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EvAU _ Matemáticas _ CCSS _ CLM

Se considera la función 𝑓 𝑥 = {4𝑥 − 𝑡 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1 𝑥 − 2 2 + 𝑡 𝑠𝑖 𝑥 > 1

a) ¿Para qué valor de 𝑡 la función 𝑓 𝑥 es continua en 𝑥 = 1? b) Para 𝑡 = 0 representa gráficamente la función 𝑓.

Para que la función sea continua en x = 1:

𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1−

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1+

𝑓 𝑥 = 𝑓 1 → {

𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1−

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1−

4𝑥 − 𝑡 = 𝟒 − 𝒕

𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1+

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1+

𝑥 − 2 2 + 𝑡 = 𝟏 + 𝒕

𝑓 1 = 𝟒 − 𝒕

→ 4 − 𝑡 = 1 + 𝑡 → 𝒕 =𝟑

𝟐

Para t = 0:

𝑓 𝑥 = {4𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1𝑥2 + 4 − 4𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 1

𝑥 ≤ 1 → 𝑓 𝑥 = 4𝑥 𝑥 > 1 → 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4

Es una función afín Es una parábola

0,0

1,4

𝑉 = 2, 0

1, ,1

4,1

De la función 𝐺 𝑥 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 sabemos que tiene un punto de inflexión en 2,−44 y un mínimo relativo en el

punto de abscisa 𝑥 = 6 . Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros 𝑎, 𝑏 y 𝑐.

Si una función tiene un punto de inflexión en 2,−44 , significa por un lado que 𝐺′′ 2 = 0, y por otro lado 𝐺 2 = −44, es decir:

𝐺′ 𝑥 = 3𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐 𝐺′′ 𝑥 = 6𝑎𝑥 + 2𝑏 → 𝐺′′ 2 = 0 → 12𝑎 + 2𝑏 = 0 𝐺 2 = −44 → 8𝑎 + 4𝑏 + 2𝑐 = −44

Si tiene un mínimo relativo en 𝑥 = 6, quiere decir que 𝐺′ 6 = 0, por tanto:

108𝑎 + 12𝑏 + 𝑐 = 0

Nos hacemos un sistema de ecuaciones:

{12𝑎 + 2𝑏 = 0 8𝑎 + 4𝑏 + 2𝑐 = −44108𝑎 + 12𝑏 + 𝑐 = 0

→ {𝑏 = −6𝑎

→ {

8𝑎 − 24𝑎 + 2𝑐 = −44108𝑎 − 72𝑎 + 𝑐 = 0

→ {−8𝑎 + 𝑐 = −2236𝑎 + 𝑐 = 0

→ −44𝑎 = −22 → 𝒂 =𝟏

𝟐 → 𝒄 = −𝟏𝟖

→ 𝒃 = −𝟑

Por tanto, la función queda: 𝐺 𝑥 =1

2𝑥3 − 3𝑥2 − 18𝑥

–

–

4 –

–

3 –

–

2 –

–

1 –

–

–

–

–

–

–

–

–

– – – – – – – – –

1– –

2– –

3– –

4–

Bárbara Cánovas Conesa

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Julio 2018

En un municipio el 40% de los habitantes son aficionados a la lectura, el 50% al cine, y al 70% les gusta el cine o la

lectura o ambas cosas. a) Se elige un habitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que le guste la lectura y el cine? b) Si elegimos un habitante al azar y le gusta el cine, ¿cuál es la probabilidad de que le guste la lectura?

Si llamamos a los sucesos:

L = “ser aficionado a la lectura” C = “ser aficionado al cine”

Los datos que nos da el problema son:

𝑃 𝐿 = 0.4 𝑃 𝐶 = 0.5 𝑃 𝐶 ∪ 𝐿 = 0.7

La probabilidad de que a un habitante elegido al azar le guste el cine y la lectura será la probabilidad de la intersección de los dos sucesos:

𝑃 𝐿 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐿 + 𝑃 𝐶 − 𝑃 𝐿 ∪ 𝐶 = 0.4 + 0.5 − 0.7 → 𝑷 𝑳 ∩ 𝑪 = 𝟎. 𝟐

Para calcular la probabilidad de que si le gusta el cine, también le guste la lectura, empleamos la probabilidad condicionada:

𝑃 𝐿|𝐶 =𝑃 𝐿 ∩ 𝐶

𝑃 𝐶 =

0.2

0.5→ 𝑷 𝑳|𝑪 = 𝟎. 𝟒

Se desea investigar la resistencia en Kg/cm2 de cierto material suministrado por un proveedor, se sabe que esa

resistencia sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica =15 Kg/cm2. Se tomó una muestra aleatoria de 400 elementos de ese material y se comprobó que la resistencia media de dicha muestra era de 110 Kg/cm2.

a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional de la resistencia de ese material, con un nivel de confianza del 95 %.

b) Explica razonadamente el efecto que tendría sobre el intervalo de confianza el aumento o la disminución del nivel de confianza.

c) ¿Se puede admitir que la media de resistencia del material pueda ser de 111 kg/cm2 con una confianza del 95%? Razona tu respuesta.

El intervalo de confianza para la media es: 𝐼𝐶 = (𝑥 ̅ ± 𝑍𝛼2⁄·

𝜎

√𝑛)

𝑥 ̅ = 110 𝜎 = 15 𝑛 = 400

1 − = 0.95 → = 𝟎. 𝟎𝟓 → 𝜶 𝟐⁄ = 𝟎. 𝟎𝟐𝟓 → 𝟏 − 𝜶 𝟐⁄ = 𝟎. 𝟗𝟕𝟓

El valor crítico Zα2⁄

es aquel que cumple, en la distribución normal estándar P Z Zα2⁄ 1 − α

2⁄ buscamos

en la tabla P (Z Zα2⁄) 0.975 Zα

2⁄ = 1.96

𝐼𝐶 = (𝑥 ̅ ± 𝑍𝛼2⁄·𝜎

√𝑛) = (110± 1.96 ·

15

√400) = 110 ± 1.47 → 𝑰𝑪 = 𝟏𝟎𝟖. 𝟓𝟑, 𝟏𝟏𝟏. 𝟒𝟕

Por tanto, el intervalo de confianza al 95% para la media poblacional de la resistencia del material estudiado es de (108.53, 111.47). Esto significa que la resistencia del material está entre 108.53 y 111.47 kg/cm2 con una probabilidad del 95%. Si variamos el nivel de confianza la amplitud del intervalo se ve afectada, ya que dicha amplitud es directamente proporcional al nivel de confianza, con lo que si aumentamos el nivel de confianza también lo hará la amplitud del intervalo, y viceversa. Sí podemos admitir que la resistencia media del material en estudio sea de = 111 kg/cm2 con una probabilidad del 95%, ya que este valor se encuentra dentro del intervalo hallado para un nivel de confianza del 95%.

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EvAU _ Matemáticas _ CCSS _ CLM

a) Dada la matriz 𝐴 = (2 7−1 −3

) se pide que compruebes que su cuadrado coincide con su inversa, es decir: 𝐴2 = 𝐴−1

b) Calcula 𝐴3 y 𝐴4

Primero calculamos el cuadrado de la matriz:

𝐴2 = (2 7−1 −3

) · (2 7−1 −3

) → 𝐀𝟐 = (−𝟑 −𝟕𝟏 𝟐

)

Segundo calculamos su inversa:

𝐴−1 =1

|𝐴|· 𝐴𝑑𝑗. 𝐴 𝑡 →

{

|𝐴| = 1

𝐴𝑑𝑗. 𝐴 = (−3 1−7 2

)

𝐴𝑑𝑗. 𝐴 𝑡 = (−3 −71 2

)

→ 𝐀−𝟏 = (−𝟑 −𝟕𝟏 𝟐

)

Por tanto, se cumple que el cuadrado de la matriz es igual a su inversa.

𝐴3 = 𝐴2 · 𝐴 = (−3 −71 2

) · (2 7−1 −3

) → 𝐀𝟑 = (𝟏 𝟎𝟎 𝟏

) = 𝑰

𝐴4 = 𝐴3 · 𝐴 = 𝐼 · (2 7−1 −3

) → 𝐀𝟒 = (𝟐 𝟕−𝟏 −𝟑

) = 𝑨

Hemos gastado 7000 euros en comprar 85 acciones de la empresa A, 100 acciones de la empresa B y 70 acciones de

la empresa C. El valor de una acción de la empresa C es el doble que el de una acción de la empresa A. El valor de una acción de la empresa B supera en 5 euros al de una acción de la empresa A.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuál es el valor de una acción de cada una de las empresas mencionadas.

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. Siendo:

x = € acción empresa A y = € acción empresa B z = € acción empresa C

{𝟖𝟓𝒙 + 𝟏𝟎𝟎𝒚 + 𝟕𝟎𝒛 = 𝟕𝟎𝟎𝟎𝒛 = 𝟐𝒙 𝒚 = 𝒙 + 𝟓

→ 85𝑥 + 100 𝑥 + 5 + 70 2𝑥 = 7000 → 325𝑥 = 6500 → 𝒙 = 𝟐𝟎 → 𝒚 = 𝟐𝟓 → 𝒛 = 𝟒𝟎

Es decir, las acciones de la empresa A valen 20€, las de la empresa B 25€ y las de la empresa C 40€.

Se considera la función 𝑓 𝑥 = {|𝑥| + 5𝑡 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑥 + 𝑡 2 − 10𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0

a) ¿Para qué valor de 𝑡 la función 𝑓 𝑥 es continua en 𝑥 = 0? b) Para 𝑡 = 2, calcula los extremos relativos de la función 𝑓 𝑥 en el intervalo 0,+∞ . c) Para 𝑡 = 2, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑓 𝑥 en el intervalo 0, +∞ .

Para que la función sea continua en 𝑥 = 0, se tiene que cumplir:

𝑙𝑖𝑚𝑥 → 0−

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 0+

𝑓 𝑥 = 𝑓 0 → {

𝑙𝑖𝑚𝑥 → 0−

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 0−

|𝑥| + 5𝑡 = 𝟓𝒕

𝑙𝑖𝑚𝑥 → 0+

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 0+

𝑥 + 𝑡 2 − 10𝑥 = 𝒕𝟐

𝑓 0 = 𝟓𝒕

→ 5𝑡 = 𝑡2 → 𝑡2 − 5𝑡 = 0 → 𝑡 𝑡 − 5 = 0

→ {𝒕 𝟏 = 𝟎𝒕 𝟐 = 𝟓

Para 𝑡 = 2, la función queda:

𝑓 𝑥 = {|𝑥| + 10 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑥2 − 6𝑥 + 4 𝑠𝑖 𝑥 > 0

Bárbara Cánovas Conesa

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Julio 2018

Como nos piden el estudio de crecimiento en el intervalo 0,+∞ , trabajamos con la primera derivada de 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 6𝑥 +4

𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 − 6

2𝑥 − 6 = 0

𝑥 = 3

Mínimo: (3,-5)

Se corresponde con el vértice de la parábola.

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:

- Decrece (0, 3) - Crece (3, +)

Cierto club de fútbol acaba de cumplir 25 años de existencia. A lo largo de este tiempo su número de socios se ha

ajustado a la función: 𝑆 𝑥 = −1

3𝑥3 +

21

2𝑥2 − 54𝑥 + 180. Donde 𝑥 está en años, con 0 ≤ 𝑥 ≤ 25, y 𝑆 𝑥 está en cientos de

socios. Se pide: a) Calcula cuántos socios tiene el club en su inicio 𝑥 = 0 y cuántos en este momento 𝑥 = 25 . b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento del número de socios a lo largo de estos 25 años. c) Determina cuándo ha tenido el club su número máximo de socios y su número mínimo de socios, y cuántos socios

tuvo en cada uno de esos momentos.

El número de socios en el inicio del club será: 𝑆 0 = 180, es decir, el club empezó con 180 socios.

En el momento actual el número de socios será: 𝑆 25 = 18417, es decir, 18417 socios.

El crecimiento lo estudiamos con la primera derivada:

𝑓′ 𝑥 = −𝑥2 + 21𝑥 − 54

𝑓′ 𝑥 = 0 → −𝑥2 + 21𝑥 − 54 = 0 → {𝒙𝟏 = 𝟑 𝒙𝟐 = 𝟏𝟖

Decrece: (0, 3) (18, 25)

Crece: (3, 18)

Es decir el número de socios disminuyó los primeros 3 años de existencia del club, luego aumentó hasta los 18 años y por último ha disminuido hasta la actualidad.

El número mínimo de socios fue a los 3 años siendo sólo de 𝑆 3 = 103.5 , es decir, unos 103 socios aproximadamente.

El número máximo de socios fue a los 18 años siendo sólo de 𝑆 18 = 666, es decir, 666 socios.

En un cierto banco el 5% de los créditos concedidos son para la compra de una motocicleta. De los créditos

concedidos para la compra de una motocicleta, el 40% resultan impagados. Del resto de créditos concedidos que no son para la compra de una motocicleta, se sabe que el 10% de ellos resultan impagados.

a) Calcula la probabilidad de que elegido un crédito al azar sea de los impagados. b) Sabiendo que un crédito se ha pagado ¿cuál es la probabilidad de que el crédito fuera para una motocicleta?

Hacemos un diagrama de árbol. Si llamamos a los sucesos:

M = “créditos para comprar una motocicleta” M̅ = “restos de créditos” I = “créditos impagados”

I ̅= “créditos pagados”

f’(1)< 0 |

3

f’(4)> 0 |

0

0,05

M

I0,4

0,6

M

I

0,9

0,10,95

I

I

f’(1) < 0 f’(4) > 0 |

3

|

18

f’(20) < 0 |

0

|

25

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EvAU _ Matemáticas _ CCSS _ CLM

Para calcular la probabilidad de que un crédito elegido al azar resulte impagado, empleamos el teorema de la probabilidad

total:

𝑃 𝐼 = 𝑃 𝑀 · 𝑃 𝑀|𝐼 + 𝑃 �̅� · 𝑃 �̅�|𝐼 = 0.05 · 0.4 + 0.95 · 0.1 → 𝑷 𝑰 = 𝟎. 𝟏𝟏𝟓

Para calcular la probabilidad de que si se ha pagado, el crédito fuera para una motocicleta, usamos la probabilidad

condicionada, la probabilidad del suceso contrario y el teorema de Bayes:

𝑃 𝑀|𝐼 ̅ =𝑃 𝑀 ∩ 𝐼 ̅

𝑃 𝐼 ̅=

𝑃 𝐼|̅𝑀 · 𝑃 𝑀

1 − 𝑃 𝐼 =

0.6 · 0.05

1 − 0.115→ 𝑷 𝑴|�̅� = 𝟎. 𝟎𝟑𝟒

La probabilidad de que las cinco entradas sean para los cinco alumnos de Cuenca es de:

𝑃 𝐶1̅ ∩ 𝐶2̅ ∩ 𝐶3̅ ∩ 𝐶4̅ ∩ 𝐶5̅ =5

27·4

27·3

27·2

27·1

27→ 𝑷 �̅�𝟏 ∩ �̅�𝟐 ∩ �̅�𝟑 ∩ �̅�𝟒 ∩ �̅�𝟓 = 𝟖. 𝟑𝟔 · 𝟏𝟎−𝟔

Una empresa quiere estudiar cada cuánto tiempo los clientes vuelven a comprar ropa de su marca, sabe que el tiempo

entre compras se distribuye según una normal de media desconocida y desviación típica = 4 días. Se tomó una muestra aleatoria de 10 clientes y se comprobó que el tiempo hasta la siguiente compra fue de 50, 58, 59, 60, 62, 63, 64, 65, 68 y 71 días respectivamente.

a) Halla el intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo entre compras de esta marca, con un nivel de confianza del 95 %.

b) Explica razonadamente, cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza, con el mismo nivel de confianza.

c) ¿Crees que la media poblacional del tiempo entre compras puede ser 64 días con una probabilidad del 99%? Razona tu respuesta.

El intervalo de confianza para la media es: 𝐼𝐶 = (𝑥 ̅ ± 𝑍𝛼2⁄·

𝜎

√𝑛)

𝑥 ̅ =50+58+59+60+62+63+64+65+68+71

10→ 𝒙 ̅ = 𝟔𝟏. 𝟗 𝒅í𝒂𝒔

= 4 días n = 10

1 − = 0.95 → = 0.05 → 𝛼 2⁄ = 0.025 → 1 − 𝛼 2⁄ = 0.975

El valor crítico Zα2⁄

es aquel que cumple, en la distribución normal estándar P Z Zα2⁄ 1 − α

2⁄ buscamos

en la tabla P (Z Zα2⁄) 0.975 Zα

2⁄ = 1.96

𝐼𝐶 = (𝑥 ̅ ± 𝑍𝛼2⁄·𝜎

√𝑛) = (61.9 ± 1.96 ·

4

√10) = 61.9 ± 2.47 → 𝑰𝑪 = 𝟓𝟗. 𝟒𝟑, 𝟔𝟒. 𝟑𝟕

Por tanto, el intervalo de confianza al 95% para el tiempo entre compras de la marca estudiada es de (59.43, 64.37). Esto significa que tiempo que pasa entre una compra y otra para esta marca está entre 54.43 y 64.37 días con una probabilidad del 95%. Para disminuir el intervalo de confianza tenemos que aumentar el error máximo admisible:

𝐸 = 𝑍𝛼2⁄·𝜎

√𝑛

Como podemos ver, este valor es directamente proporcional al nivel de confianza e inversamente proporcional al tamaño muestral, por tanto, con el mismo nivel de confianza podemos aumentar el tamaño de la muestra. Creo que la media poblacional para los días que transcurren entre una compra y otra con una probabilidad del 99% sí puede ser = 64 días. Ya que al aumentar el nivel de confianza aumenta la amplitud del intervalo. Además, dicha media poblacional ya se encuentra dentro del intervalo para un nivel de confianza del 95%.