(Evaluacin y Clculo de la Confiabilidad)Fulvio Corno, Maurizio Rebaudengo, Matteo Sonza ReordaPolitecnico di Torino Dipartimento di Automatica e Informatica

Tcnicas para el diseo de sistemas electrnicos tolerantes a fallas

IntroduccinPara obtener un producto confiable se debe partir de un diseo confiable a travs de:Lineas gua durante el diseo Previsin de la confiabilidad y anlisis de riesgo. Mejoramiento de la confiabilidad.

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ResumenMedidas Cuantitativas de ConfiabilidadTcnicas para la evaluacin de la confiabilidad. Clculo de la confiabilidad de un sistema.

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ResumenMedidas Cuantitativas de ConfiabilidadTcnicas para la evaluacin de la confiabilidad. Clculo de la confiabilidad de un sistema.

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Clculo de la ConfiabilidadSe analizarn algunos conceptos cuantitativos que buscan calcular la confiabilidad como caracterstica de un objeto, a travs de la funcin matemtica

de confiabilidad

El objetivo es un tratado matemtico que pueda definir la confiabilidad a nivel de sistema, partiendo de la confiabilidad de cada componente.5

ConfiabilidadLa confiabilidad es un campo relativamente nuevo cuyo nacimiento se debe principalmente a la creciente complejidad de las tecnologas modernas y al rpido progreso de la microelectrnica.

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Un poco de historia Los problemas de escasa confiabilidad se hicieron evidentes en los equipos militares usados por los norteamericanos desde los aos 60. Algunos estudios revelaron que:Los equipos electrnicos eran operativos slo el 50% del tiempo. 2/3 de los equipos del ejrcito estaban en reparacin.7

Tasa de Falla y Funcin de ConfiabilidadIntuitivamente:Tasa de Falla = nmero esperado de fallas (deun DISPOSITIVO de o de un SISTEMA) por unidad de tiempo. Funcin de Confiabilidad = Probabilidad de que un nico componente NO est daado en el tiempo t

Se deben proveer definiciones formales8

Funcin de ConfiabilidadR(t) = Probabilidad condicional de que el componente funcione correctamente durante el intervalo (t0,t), dado que en el tiempo t0 l funcionaba correctamente.

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Derivacin de la Funcin de ConfiabilidadSe someten a prueba N componentes idnticos en el tiempo t0 Despus de un tiempo t tendremos N0 componentes funcionantes (operational) y Nf componentes daados (failed): N = NO + NF .

NO (t ) NO (t ) R (t ) = = N NO (t )+ N F (t )10

InterpretacinR(t) es la probabilidad de que el componente sobreviva al intervalo (t0, t) Prolongando el tiempo, el nmero de componentes funcionantes NO disminuye, como consecuencia la Funcin de Confiabilidad disminuye.

NO (t ) R (t ) = NO (t )+ N F (t )11

Funcin de No-Confiabilidad (I)Q(t) es la probabilidad de que un componente NO sobreviva al intevalo (t0, t). Se llama tambin Funcin de Densidad

de Malfuncionamiento.Componente Componente mentarios:

Los eventos

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Funcin de No-Confiabilidad (II)

N F (t ) Q (t ) = NO (t )+ N F (t )

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Ritmo de Decaimiento (I)Calculamos la derivade de R(t) con respecto al tiempo N F (t ) R(t ) = 1 Q(t ) = 1 N dR(t ) 1 dN F (t ) = dt N dt dN F (t ) dR(t ) = ( N ) dt dt14

Ritmo de Decaimiento (II)dNF/dt se puede interpretar como el nmero de componentes que sufren daos durante un intervalo de tiempo dt, comprendido entre t y t+dt; que equivale a la velocidad de dao en el tiempo t.

dN F (t ) dR(t ) = ( N ) dt dt15

Tasa de Dao (I)Dividiendo ambos miembros de la ecuacin entre NO(t) se obtiene z(t), conocida como Funcin de Peligro o Tasa de Dao o Tasa de Falla

N dR(t ) 1 dN F (t ) z (t ) = = N O (t ) dt N O (t ) dt16

Tasa de Dao (II)Siendo R=NO/N , la Tasa de Dao se puede expresar como:

dR(t ) z (t ) = dt R(t )

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Frmula matemtica de la ConfiabilidadManipulando e integrando se obtiene la frmula matemtica de Confiabilidad:d R (t ) z (t ) d t = R (t ) t R ( t ) d R (t ) R d R (t ) 0 z (t )dt = R ( 0) R (t ) = 1 R (t )

z (t )dt = ln R (t )0

t

t z (t ) d t R (t ) = exp 0

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Comportamiento de la Tasa de Daoz(t) no es constante sino que evoluciona atravezando 3 fases.mortalidad infantil (o peligro de asentamiento) vida til envejecimiento

En la regin de vida til:z(t) ~ constante = (tasa de falla)

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Comportamiento de la Tasa de DaoFuncin Tasa de Falla

z(t)

Curva en forma de Tina de baoTasa de Fallas Constante

Fase de Mortalidad Infantil

Periodo de vida til

Fase Senil

T1Tiempo

T220

Tasa de Dao Representa un tasa de dao constante en la vida til del producto. Se expresa como el nmero de daos por unidad de tiempo Es conveniente hacer funcionar el sistema en la zona en la cual z(t)=

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Tiempo de MisinEs la cantidad de tiempo que se necesita para garantizar que el sistema satisfaga un cierto grado de servicio. Ejemplos de tiempo de misin:Misil: pocas horas PC: 5 aos Satlite: 10 aos Central telefnica: 20/25 aos22

Ciclo de vida de un productoEl comportamiento de la tasa de dao, en forma de tina de bao aparece sistemticamente cada vez que se analiza por completo el ciclo de vida de un gran nmero de sistemas de diferente tipo: mecnicos, elctricos, electrnicos, etc.

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Ciclo de vida de un productoSe analizan los tres periodos separadamente.

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Periodo de AsentamientoLa tasa de dao decrece debido a que los elementos dbiles se daan. Despus del tiempo T1 todos los elementos de constitucin dbil cesan de funcionar.

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Daos Infantiles (I)El perodo de asentamiento se caracteriza por daos debidos a la calidad del proceso productivo, se atribuyen tpicamente a la rotura de componentes que presentan algn defecto intrnseco. En el caso de los semiconductores: soldaduras mal hechas, contenedores no hermticos, grandes defctos tecnolgicos, 26

Daos Infantiles (II)Estos componentes se daan durante las primeras horas (das o meses) dado que son ms dbiles que los dems (mortalidad infantil) y los daos que producen se llaman Daos Infantiles (early fault).

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Prevencin de Daos InfantilesLos Daos Infanties relacionados con el periodo de asentamiento:Pueden ser reconocidos y eliminados fcilmente usando procedimientos (pruebas aceleradas, burn-in) que permitan forzar la manifestacin del defecto intrnseco en el sistema.

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Las Pruebas Aceleradas (I)Buscan acelerar la degradacin del sistema en un tiempo dado, aumentando las condiciones de exigencia con respecto a aquellas de uso normal. Resultan vlidas y significativas cuando no introducen modos o mecansmos de dao diferentes a los que se verificaran en la condiciones de uso normal.29

Las Pruebas Aceleradas (II)Las exigencias que se exaltan para acelerar la vida de los dispositivos pueden ser de tipo:Ambiental Elctrico Mecnico (temperatura, humedad) (voltaje, corriente) (vibraciones, golpes).

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Burn-inAproximadamente, la vida operativa vivida se duplica cada vez que la temperatura supera el 10% de la temperatura nominal de trabajo. El burn-in ms utilizado es:Para aparatos: funcionamiento a 45C de 12 a 45 horas. Para componentes: funcionamiento a 125C por 168 horas.31

Periodo de Vida tilDespus del asentamiento, la tasa de dao se estabiliza sobre un valor casi constante por un periodo de tiempo relativamente largo (periodo de vida til) Este es el periodo ms interesante para el usuario, porque se caracteriza por el valor ms bajo de tasa de dao.

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Daos en la Vida til (I)El periodo de vida til se caracteriza por daos causados por eventos que, relacionados tpicamenten con el ambiente, alcanzan incrementos imprevistos de exigencia, ms all de la resistencia mxima establecida por el diseo.

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Daos en la vida til (II)Como consecuencia:Tales daos se pueden verificar durante intervalos casuales, de manera imprevista, del todo inesperada (daos casuales) Ningn asentamiento ni ningn mantenimiento es capaz de eliminarlos

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Periodo de DesgasteLa Tasa de Dao crece rpidamente. Los daos son debidos al envejecimiento progresivo de los componentes: Daos Seniles (wearout fault)

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Daos SenilesDurante este periodo se hacen evidentes los mecansmos de dao intrnsecos de cada tecnologa e independientes de la construccin especfica de cada componente.

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EjemploLa utilizacin de un sistema metlico Au-Al para la realizacin de soldaduras hace inevitable el hecho de que, despus de algunos aos (por ejemplo 10), la soldadura se despegue, debido a la formacin de compuestos intermetlicos frgiles.

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Prevencin de Daos por Desgaste (I)Si la utilizacin del sistema no es contnua y ste se puede apagar peridicamente, es conveniente reemplazar, a intervalos regulares y de duracin apropiada, los componentes accesibles que se sabe estn sometidos al desgaste (mantenimiento preventivo).

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Prevencin de Daos por Desgaste (II)Si los componentes sometidos a desgaste son inaccesibles entonces deben ser diseados larga vida, de tal forma que el desgaste suceda despus del tiempo de misin. La aplicacin de este segundo mtodo comprende los sistemas de un solo intento (one shot) que se utilizan solo una vez, por ejemplo misiles o satlites.

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Ley Exponencial de DaosAplicando la frmula matemtica de la confiabilidad durante el periodo de vida til, con z(t)=: R(t ) = e tR(t) 1

1/

t40

Medidas de ConfiabilidadMs all del comportamiento estadstico de R(t), es posible definir algunas medidas particularmente representativas del nivel de disponibilidad de un sistema. Estas medidas son vlidas exclusivamente cuando z(t)= (Daos Casuales).

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Tiempo Medio antes de la Falla (MTTF Mean Time To Failure)Es el tiempo previsto durante el cual el sistema funcionar antes de la primera Falla.

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Relacin entre MTTF y ConfiabilidadDespreciando algunos pasos:

MTTF = R(t )dt0

Durante la vida til:

MTTF = e dt = 1 t 0

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Relacin entre MTTF y Tiempo de Misint MTTF MTTF / 10 MTTF / 20 MTTF / 100 MTTF / 1000 R(t) 0.368 0.905 0.951 0.990 0.999R(t) 1

1/=MTTF

t

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Consecuencias (I)La confiabilidad de un sistema que posee una MTTF igual al su tiempo de misin es igual a 0.368. Esto implica que: haciendo funcionar 100 dispositivos del mismo tipo, al final del tiempo de misin funcionarn ~37, mientras que ~63 se habrn daado antes.

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Consecuencias (II)Para obtener, al final del tiempo de misin, una confiabilidad del 99.9%, se debe garantizar un MTTF 1000 veces superior al Tiempo de Misin.

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Sistemas Reparables (I)Se define un Sistema Reparable a aquel, despus de un malfuncionamiento, se puede restablecer gracias a alguna accin de mantenimiento o reparacin.

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Sistemas Reparables (II)El mantenimiento de un Sistema Reparable se puede hacer de 2 modos:Accin Correctiva: realizada como respuesta a un malfuncionamiento Accin Preventiva: realizada para prevenir o retardar un malfuncionamiento.

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Modelado de un SistemaUn Sistema Reparable se encuentra en 2 estados posibles:Funcionante (up) En reparacin (down).

Ntese que el sistema puede estar en Reparacin por una Accin Correctiva o por una Accin Preventiva.49

Tiempo Medio antes de la Reparacin

(MTTR Mean Time To Repair)

Se define como el tiempo medio necesario para reparar el sistema. Es difcil modelarlo matemticamente; generalmente se recurre a datos estadsticos medidos en laboratorio.

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Tiempo Medio Entre Fallas (MTBF Mean Time Between Failure )Es el tiempo medio que pasa entre dos fallas del sistema Es diferente al MTTF, porque el MTTF hace referencia a la Primera Falla Toma en cuenta tambin el tiempo de reparacin Si navg es el nmero medio de fallas en un T periodo T, se tiene: MTBF = navg51

Relacin entre MTTF, MTBF, MTTRSe supone que las reparaciones son siempre posibles y perfectas (good as new) Luego de cada reparacin, el sistema funcionar durante el MTTF Cuando el sistema falle, restar inactivo durante el MTTR Como consecuancia: MTBF = MTTF + MTTR52

DisponibilidadProporcin de tiempo durante el cual el sistema est disponible

MTTF A= MTTF +MTTR

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EjemploConsiderando un sistema con:MTTF = 886 horas MTTR = 25 horas

A = 886/911 = 0.972

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ResumenMedidas Cuantitativas de ConfiabilidadTcnicas para la evaluacin de la confiabilidad. Clculo de la confibilidad de un sistema.

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Calculo de la Confiabilidad de un SistemaProblemaCalcular la Confiabilidad de un sistema, conociendo las tasa de dao de los componentes que lo constituyen.

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Modelo de Previsin de ConfiabilidadExpresin matemtica que permite calcular un valor esperado dada la tasa de dao de un componente como funcin de las caractersticas tecnolgicas, de las exigencias elctricas, trmicas y ambientales en las cuales el componente trabaja.

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Finalidad de un Modelo de PrevisinVerificar el cumplimiento de los objetivos del diseo Establecer los valores contractuales Confrontar ms soluciones.

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Modelos de Previsin: los Bancos de DatosLas tasas de dao son elencadas en manuales La tasa de dao se expresa a travs de un modelo que contiene todo lo conocido sobre las leyes de degradacin de los componentes y la dependencia de factores importantes.

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Condiciones Habituales de FuncionamientoLa estimacin correcta de la confiabilidad calculada para un sistema, depende de la exctitud de los valores de tasa de dao adoptadas para los componentes.

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Condiciones No Habituales de funcionamientoLa Tasa de Dao sufre fuertes variaciones con la variacin de los niveles de exigencia. La Tasa de Dao de los componentes electrnicos son fuertemente influenciadas por los niveles de voltaje, corriente y temperatura.

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Valor de la Tasa de DaoEl valor asumido como Tasa de Dao de los componentes se refierea un conjunto de:Condiciones de funcionamiento (ej.: valores de voltaje, corriente y temperatura). Niveles de exigencia mecnica (ej.: las vibraciones y los golpes).

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ManualesMIL-HDBK-217: Departamento de la Defensa a partir de 1962 RDF: CNET Francia 1974 HRD: British Telecom UK 1974 RPP: Bell Core USA 1984 AT&T: USA 1990 IRPH93: Italtel, CNET e BT EU - 199363

MIL-HDBK-217En el mbito electrnico, la referencia ms conocida y usada es el manual MIL-HDBK217, publicado por el Departamento de la Defensa USA en 1962 y actualizado peridicamente. De este manual es posible extraer la tasa de falla de cualquier componente electrnico bajo cualquier condicin de uso.64

MIL-HDBK-217: ObjetivoDefinir y mantener mtodos consistentes y uniformes para estimar la confiabilidad de los sistemas electrnicos en el mbito militar. Proveer modelos para el clculo de tasas de dao.

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MIL-HDBK-217Presenta 2 mtodos:de la informacin detallada del sistema y por tanto se utiliza al final del diseo. Parts count: necesita menos informacin y se utiliza en la fase preliminar del diseo para obtener una primera estima.

Part stress analysis: presupone el conocimiento

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MIL-HDBK-217: Part Stress Analysis (I)Se debe disponer de una lista detallada de las partes utilizadas en el sistema y de los esfuerzos (stress) a los cuales se somenten Hiptesis:Componentes independientes. Tasa de dao constante.

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MIL-HDBK-217: Part Stress Analysis (II) p = b Q E A p: Tasa de dao de la componente b: Tasa de dao base i : Factores que modifican la tasa de dao base en funcin de los parmetros que pueden influenciar la confiabilidad de la parte.68

MIL-HDBK-217: Part Stress Analysis (III)Principales factores utilizados:Q: Factor de Calidad: depende del seleccin efectos de las condiciones ambientales (sobre la tierra, sobre una nave, al vuelo, en el espacio, sobre un misil, etc.)

(screeining) sufrida por la parte E: Factor Ambiental: Toma en cuenta los

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MIL-HDBK-217: Part Stress Analysis (IV)Otros factores utilizados solo en modelos especficos:de la tecnologa. T: Factor de Temperatura. E: Factor de Aplicacin R: Factor de Potencia S: Factor de Esfuerzo Elctrico C: Factor de Construccin del Contacto S: Factor de Funcin.L: Factor de Aprendizaje, tiene en cuenta la madurez

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MIL-HDBK-217: EjemploGAL (Generic Array Logic) y Microprocesadores:p = (c1 T + c2 E) Q L

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Ejemplo de condiciones de referenciaPara la definicin del factor ambiental (E) se definen 3 clases de ambiente:Protegido climatizado No protegido Mvil E = 0 E = 2.5 E = 4

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MIL-HDBK-217: Parts CountInformacin necesaria:Tipo y cantidad de partes: Nivel de calidad de las partes:

= N i (G Q )in i =1

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Limitacin de las previsiones de Confiabilidad a travs de manualesLimitacin de los bancos de datos que normalmente contienen poca informacin acerca de los mecanismos de dao. Hipotesis de tasa de dao constante. La tecnologa electrnica est en constante evolucin cosa que aumenta la dificultad de evaluar la confiabilidad.74

Estimacin de la Confiabilidad de un SistemaInstrumentos de software disponibles en el mercado, permiten calcular los parmetros de confiabilidad partiendo del modelo de descripcin del sistema.

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Diagrama de Bloques de Confiabilidad

(RBD Reliability Block Diagram)

Diagrama de eventos Muestra como el dao de cualquier componente influenciara el desempeo del sistema. Un sistema subdividido en unidades lo suficientemente pequeas para poder calcular la confiabilidad.76

RBD: anlisis del sistemaEn el diseo de un sistema cada parte puede ser:nica (el dao de tal elemento implica la falla del sistema); tales elementos son necesarios para realizar la funcin del sistema Repetida (el dao de una de estas las partes se compensa con el funcionamiento de sus iguales)77

Esquema de ConfiabilidadA partir del diseo se puede realizar un sistema de bloques, conocido como esquema de confiabilidad, en el cual:Los elementos nicos se conectan en serie Los elementos repetidos se conectan en paralelo.

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Ejemploinc1 c2 c3 c4 c5

El sistema est formado por C1, C2 e C3 que son esenciales para el funcionamiento del sistema. C5 es una repeticin de C4.

out79

Sistemas Serie (I)En los sistemas Serie es suficiente con que un solo elemento se dae para interrumpir toda la cadena.R1 R2 R3

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Sistemas Serie (II)La probabilidad de sobrevivencia del sistema es el producto de la probabilidad de sobrevivencia de cada bloque en serie. Rs(t) = R1(t) R2(t) R3(t) = e -(1+2+3) t

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Sistemas Serie (III)En un sistema Serie la confiabilidad est dada por el producto de la confiabilidad de cada bloque y la Tasa de Dao es la suma de las Tasas de Daos = i Rs = Ri

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Ejemplo 1Analizando una central de conmutacin compuesta por 10.000 componentes y asumiendo que cada componente tenga una Tasa de Dao = 10-7 = 0.1 ppm/hora. La confiabilidad del sistema es: MTTF = 1000 horas83

Rs = e

-(10^4 10^-7) t

=e

- t / 1000

Ejemplo 2 (I)Consideremos un circuito electrnico compuesto por:4 transistores de silicio, 10 diodos de silicio 20 resistencias de aglomerado. 10 condensadores cermicos.

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Ejemplo 2 (II)Supongamos adems que:El cableado (circuito impreso) y las soldaduras sean 100% confiables. Que los componentes trabajan bajo sus niveles nominales de voltaje, corriente y temperatura.

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Ejemplo 2 (III)Supongamos que las tasas de dao sean las siguientes para cada componente:diodos: transistores: resistencias: condesasdores: d t r c = = = = 0.000002 0.00001 0.000001 0.000002

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Ejemplos 2 (IV)Para evaluar la confiabilidad del circuito se deben sumar las tasas de dao:s = 10 d + 4 t + 20 r + 10 c s = 0.0001 MTTF = 1 / s = 10.000 horas

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Sistemas Paralelo (I)Un conjunto de elementos tales que cada uno es suficiente para asegurar el funcionamiento del sistema.

R1

R2

88

Sistemas Paralelo (II)Un sistema paralelo est constituidos por dos aparatos similares, uno de los cuales es redundante y entra en funcionamiento cuando el otro se daa. Un sistema paralelo se daa cuando ambos aparatos se daan.

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Sistemas Paralelo (III)La probabilidad de dao de un sistema paralelo se debe a la probabilidad del dao contemporneo de cada aparato. Suponiendo que los daos en cada aparato sean independientes:Qp(t) = Q1(t) Q2(t) Q3(t)

Qp(t) = [1 - e

-1 t

] [1 - e

-2 t

] [1 - e

-3 t

]90

EjemploUn aparato constituido por dos bloques redundantes de 10.000 componentes, posee una tasa de dao de 10-7 la probabilidad de dao del sistema es:Qs = ( 1 - e Rs = 1 Qs-t/1000

)(1-e

-t/1000

)

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DuplicacinEn un sistema duplicado:Q (t) = [1 - e - t ]2 = 1 - 2 e - t + e R(t) = 1 - Q (t) = 2 e - t - e 2 t2 t

MTTF = R(t )dtMTTF = 1.5 / = 1.5 MTTF00

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M1

Redundancia 2-de-3

M2 M3

V

Como hipotesis el comparador de votos (voter) est libre de daos. La confiabilidad se determina enumerando los casos disyuntos de funcionamiento correcto.Los 3 estn libres de daos (probabilidad R03) M1 y M2 funcionante, M3 daado (probabilidad R02(1-R0)) M1 y M3 funcionante, M2 daado (probabilidad R02(1-R0)) M2 y M3 funcionante, M1 daado (probabilidad R02(1-R0))

R = R03 + 3R02(1-R0) = 3R02 2R03 = 3e-2t 2e-3t MTTF = 3/2-2/3=5/6= 5/6 MTTF0

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Cut SetEs el conjunto de componentes, cuyo dao provocara unmalfuncionamiento del sistema1 3 2 4

Cut Set: {(1,3), (2,3), (4)}94

Tie SetEs el conjunto de componentes, cuyo funcionamiento asegura el funcionamiento del sistema.1 3 2 4

Tie Set: {(1,2,4), (3,4)}95

Redundancia (I)Activa: los elementos redundantes son sometidos a la misma carga que el resto de los elementos operativos, durante todo el tiempo de misin. Caliente: los elementos redundantes son sometidos a una carga ms baja hasta que uno de los elementos operativos se daa (R < 0) Stand-by: los elementos redundantes no se somenten a ninguna carga hasta que uno de los elementos operativos se daa (R= 0).96

(R= 0)

Redundancia (II)En los casos de redundancia caliente y stand-by se existe de un interruptor (switch) que permite el cambio maestro/esclavo (master/slave) en el momento en el que se presenta el dao en el maestro (master).

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Caso de studioCalcule la confiabilidad del sistema ilustrado en la figura.A1 CS S

A298

Descripcin del sistemaLos dos aparatos A1 y A2 don redundantes. Un interruptor S (accionado usando un comando de cambio CS) permite seleccionar uno de los dos aparatos.

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Construccin del Esquema de ConfiablidadPara obtener el esquema de confiabilidad se deben buscar los eventos que pueden conducir al dao del sistema. Tales eventos son:1. Se daan ambos, A1 y A2 2. Se daa S 3. Se daan ambos, A1 y CS.

100

Esquema de ConfiabilidadCada uno de los eventos considerados es suficiente para bloquear el sistema, entonces se conectan confiabilsticamente en serie. Los sub-eventos que componen los eventos 1 y 3 se deben conectar en paralelo porque deben suceder los dos para que el sistema se dae.101

Esquema de ConfiabilidadEl esquema de Confiabilidad es el siguiente:1 2 s 1 cs

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EjercicioEl servidor de una base de datos necesita 315GByte de disco, tal espacio se obtiene usando 9 discos de 35GByte. Por cuestiones de desempeo, no se conectan ms de 3 discos a un mismo controlador. Considere los siguientes sistemas:

Sistema no tolerante a fallas: el sistema se daa cuando se daa un disco o un controlador o el servidor. Sistema tolerante a fallas: Con esta arquitectura el malfuncionamiento de un disco debido al controlador es compensado por el sistema.

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Ejercicio

(continuacin)

Disear el esquema confiabilstico Calcular las funciones de confiabilidad asumiendo los siguientes valores de MTTF:Disco, MTTFD = 200.000 horas Controlador, MTTFC = 500.000 horas Servidor, MTTFS = 25.000 horas.

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Solucin (I)Sistema no tolerante:s c1 c2 c3 d1 d4 d7 d2 d5 d8 d3 d6 d9

s = S + 3 C + 9 D = 4*10-5 + 6*10-6 + 4.5*10-5 = 9.1*10-5 MTTF = 1 / s = 1098 horas105

Solucin (II)Sistema tolerante:d1 d2 d3 c2 s c1 c2 d4 d5 d6 d7 d8 d9 c4 d10 d11 d12

s = S + 4 C + 4*6/5 D + = 4*10-5 + 8*10-6 + 2.4*10-5 = 7.2*10-5 = 1388 horas106