evaluación para el acceso a la universidad curso 2019/2020

EvAU 2020 Ordinaria Matemáticas Aplicadas a las c.c. sociales II en Castilla la Mancha I.E.S. Vicente Medina (Archena)

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Evaluación para el Acceso a la Universidad Curso 2019/2020

Materia: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

El examen está compuesto de 3 secciones de dos bloques cada una. A su vez

cada bloque tiene dos ejercicios. El alumno deberá elegir un bloque de cada una

de las tres secciones. Se podrá utilizar cualquier tipo de calculadora.

Sección 1 (3 puntos) Bloque 1

1. Se considera la función

2

2

4 4 2

( ) 2 2

4 4 2

x si x

f x t si x

x si x

a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = –2. (0.5 ptos)

b) Para t = 3, representa gráficamente la función f. (1 pto)

2. La función 3 2 16f x ax bx x c tiene un punto de inflexión en (1, 10) y la pendiente de la

recta tangente en ese mismo punto es 7. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los

parámetros a, b y c. (1.5 ptos)

Bloque 2

1. Un artesano hace botines, botas de media caña y botas de caña alta, vendiendo cada par,

respectivamente, a 150, 200 y 250 euros. La diferencia entre los botines y las botas de caña alta

vendidas equivalen al número de caña media vendidas. El número de caña alta vendidas es la tercera

parte de los botines. Por el total de las ventas obtiene 5500 euros.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas botas de cada tipo se

vendieron. (1 pto)

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)

2. En el siguiente problema de programación lineal optimiza la función , 6 2f x y x y sujeta a las

siguientes restricciones:

2; 2; 1; 0x y x y y x

a) Dibuja la región factible. (1 punto)

b) Determina los vértices de la región factible. (0.25 ptos)

c) Indica el máximo y el mínimo y sus respectivos valores. (0.25 ptos)

Sección 2 (3.5 puntos) Bloque 1

3. En un instituto el 15% de los alumnos ven la tele todos los días, el 25% juegan todos los días a la

consola y el 26% ven la tele todos los días o juegan todos los días a la consola o ambos.

a) Se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que vea la tele todos los días y juegue a la

consola todos los días? (0.75 ptos)

b) Si elegimos un alumno al azar y juega todos los días a la consola, ¿cuál es la probabilidad de que

vea todos los días la televisión? (0.75 ptos)

4. Para hacer un estudio de las horas de duración de la batería de un juguete, se tomó una muestra

aleatoria de 10 de estas baterías, siendo el número de horas de duración obtenida de: 4.2, 4.6, 5, 5.7,

5.8, 5.9, 6.1, 6.2, 6.5 y 7.3 respectivamente. Sabiendo que la variable “número de horas de duración

de la batería" sigue una distribución normal de desviación típica 2.1 horas, se pide:


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a) Halla el intervalo de confianza para el número medio de horas de duración de la batería con un

nivel de confianza del 97 %. (1 pto)

b) Explica razonadamente cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza. (0.5

ptos)

c) ¿Crees que la media poblacional μ del número de horas es de 4 horas con una probabilidad del 90

%? Razona tu respuesta. (0.5 ptos)

Bloque 2

3. Se considera la función 3 2

1( )

2 4 1

x t si xf x

x x si x

a) ¿Para qué valor de t la función f(x) es continua en x = –1? (0.75 ptos)

b) Calcula los extremos relativos de la función f(x) en el intervalo (–1, +∞). (0.5 ptos)

c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) en (–1;+∞). (0.5 ptos)

4. Las botellas de agua vendidas por un hipermercado (que abre de 10 de la mañana a 4 de la tarde)

durante una ola de calor viene dado por la función 3 22 27 120C t t t t , con 1 6t siendo

1t la primera hora desde la apertura y 6t la última hora hasta el cierre y C(t) en cientos de

botellas.

a) ¿En que intervalos de tiempo las ventas aumentan? ¿Y en cuáles disminuye? (0.5 ptos)

b) ¿Cuándo se produce la máxima venta? ¿Y la mínima? (0.75 ptos)

c) ¿Cuántas botellas se venden en esos dos casos? (0.5 ptos)


5. Una marca ofrece paquetes de tortitas de arroz de tres tipos: con espelta, con amapola y con chía.

Se venden el triple de paquetes de las de amapola que de las de espelta. Se venden 40 paquetes más

de las de amapola que de las de chía. Los precios de los paquetes para espelta, amapola y chía son

respectivamente 2.50, 3.50 y 3 euros obteniendo por la venta de todas las tortitas 1640 euros.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos paquetes de cada tipo se

vendieron. (1.5 ptos)


6. Dadas las matrices

5 03 2 0 2 2

, , 4 16 1 0 0 2

0 1

A B C

a) Calcula ·T

M AC B I siendo I la matriz identidad de orden 2. (0.75 ptos)

b) Calcula, si es posible, la matriz X tal que · 2 4X B (0.75 ptos)

Bloque 2

5. En una ciudad el 1% de los habitantes ha ido a jugar alguna vez a una casa de apuestas. De las

personas que han ido a jugar alguna vez a una casa de apuestas, el 70% tiene problemas financieros.


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De los habitantes que no han ido a jugar alguna vez a una casa de apuestas, se sabe que un 5% tiene

problemas financieros.

a) Calcula la probabilidad de que elegido un habitante al azar tenga problemas financieros. (0.75

ptos)

b) Sabiendo que una persona tiene problemas financieros, ¿cuál es la probabilidad de que haya ido a

jugar alguna vez a una casa de apuestas? (0.75 ptos)

6. El tiempo medio de espera en una línea de atención al cliente sigue una distribución normal de

media desconocida y desviación típica σ = 2 minutos. Se hace un estudio de los tiempos de espera de

10 clientes al azar, siendo estos tiempos: 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15 y 16 minutos respectivamente.

a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de espera, con un nivel de

confianza del 95 %. (1.25 ptos)

b) ¿Cuál deberá ser el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con el mismo nivel de

confianza, el error máximo admisible sea menor que 1 minuto? (0.75 ptos)


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SOLUCIONES

Sección 1 (3 puntos) Bloque 1

1. Se considera la función

2

2

4 4 2

( ) 2 2

4 4 2

x si x

f x t si x

x si x

a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = –2. (0.5 ptos)

b) Para t = 3, representa gráficamente la función f. (1 pto)

a) Para que sea continua debe cumplirse que los límites laterales en x = –2 sean iguales al valor

de la función.

2

2

2

2

lim 4 4 4 4 0lim ( ) 0

lim

x

x

x

xf x t

t t

b) Para t = 3,

2

2

4 4 2

( ) 3 2 2

4 4 2

x si x

f x si x

x si x

Hacemos una tabla de valores.

2

2 2

22 2 2 2

4 4 4 4

6 0 2 03

5 3 3 31 3

4 4 4 41 3

3 3 5 3

2 0 6 6

( ) 4 4 ( ) 3 ( ) 4 4si x si x si x

x y x

f x x f x f x x

x y x

x y


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2. La función 3 2 16f x ax bx x c tiene un punto de inflexión en (1, 10) y la pendiente de la

recta tangente en ese mismo punto es 7. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los

parámetros a, b y c. (1.5 ptos)

Si tiene un punto de inflexión en x = 1 significa que se anula la derivada segunda.

3 2 216 ´ 3 2 16 ´́ 6 2

´́ 0 6 2 0 3 0 31

f x ax bx x c f x ax bx f x ax b

f a b a b b a

Además pasa por (1, 10), es decir 10 16 10 61 0f a b c a b c

Como la pendiente de la recta tangente en x = 1 es 7 tenemos que:

´ 7 3 2 161 7 3 2 9 0f a b a b

Reunimos las tres condiciones en un sistema y resolvemos.

2 6 033 6 0 2 6 0

6 0 93 6 9 0 3 9 0 3

3 2 9 0 3

6 6 0 0 9

a cb aa a c a c

a b ca a a a

a b

c c b

Los valores de los parámetros son: 3; 9; 0a b c


6 de 16

Bloque 2

1. Un artesano hace botines, botas de media caña y botas de caña alta, vendiendo cada par,

respectivamente, a 150, 200 y 250 euros. La diferencia entre los botines y las botas de caña alta

vendidas equivalen al número de caña media vendidas. El número de caña alta vendidas es la tercera

parte de los botines. Por el total de las ventas obtiene 5500 euros.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas botas de cada tipo se

vendieron. (1 pto)


a) Llamemos “x” al número de botines, “y” al número de botas de media caña y “z” al número

de botas de caña alta.

“La diferencia entre los botines y las botas de caña alta vendidas equivalen al número de

caña media vendidas” x z y

“El número de caña alta vendidas es la tercera parte de los botines” 3

xz

“El total de las ventas suponen 5500 euros, vendiendo cada unidad de botines, botas de

media caña y botas de caña alta a 150, 200 y 250 euros” 150 200 250 5500x y z

Juntamos todo en un sistema:

150 200 250 5500 3 4 5 110

3

3

x y z x y z

x z y x z y

x z xz

b)

3 4 5 1109 4 5 110 4 14 110

3 23

x y zz y z y z

x z yz z y z y

z x

1108 14 110 22 110 5 2·5 10 3·5 15

22z z z z y x

Se vendieron 15 botines, 10 botas de media caña y 5 botas de caña alta.


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2. En el siguiente problema de programación lineal optimiza la función , 6 2f x y x y sujeta a las

siguientes restricciones:

2; 2; 1; 0x y x y y x

a) Dibuja la región factible. (1 punto)

b) Determina los vértices de la región factible. (0.25 ptos)

c) Indica el máximo y el mínimo y sus respectivos valores. (0.25 ptos)

a) Dibujamos las rectas que delimitan la región factible.

; ; ;

2 2 1

0 2 0 2 0 1 0 1

2 0 2 0 1 1 0

2

2

2 1 0

x y x x y x x y x y

x y y yx x

Comprobamos si el punto P(2, 0.5) cumple las restricciones:

2 0.5 2; 2 0.5 2; 0.5 1; 2 0

Cumple las restricciones y la región factible es la zona rayada.


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b) Las coordenadas de los vértices se pueden determinar mirando la gráfica de la región

factible A(2, 0), B(1, 1) y C(3, 1).

También se puede comprobar resolviendo un sistema de ecuaciones para cada punto:

22 2

2

2

2 0 0 2 (2,0)2

1 2 1 (1,1)

1 2 3 (3

,1

1

1

2

2

)

x y

x y

x yy y y y x A

x y

x x B

x y

y

x

x

y

x Cy

c) Valoramos la función , 6 2f x y x y en cada uno de los vértices en busca de un valor

máximo y mínimo.

A(2, 0) 2,0 12f

B(1, 1) 1,1 6 2 4f

C(3, 1) 3,1 18 2 16f

El valor máximo es 16 que se alcanza en el punto C(3, 1).

El valor mínimo es 4 que se alcanza en el punto B(1, 1).


9 de 16


3. En un instituto el 15% de los alumnos ven la tele todos los días, el 25% juegan todos los días a la

consola y el 26% ven la tele todos los días o juegan todos los días a la consola o ambos.

a) Se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que vea la tele todos los días y juegue a la

consola todos los días? (0.75 ptos)

b) Si elegimos un alumno al azar y juega todos los días a la consola, ¿cuál es la probabilidad de que

vea todos los días la televisión? (0.75 ptos)

Realizamos una tabla de contingencia.

Juegan todos los días a la

consola

No juegan todos los días a

la consola

TOTALES

Ven la tele todos los

días 15

No ven la tele todos

los días

TOTALES 25 100

Como el 26% ven la tele todos los días o juegan todos los días a la consola o ambos, entonces

hay un 74% que no hace ninguna de las dos cosas.

El 74% ni ve la tele ni juega a la consola. Lo ponemos en la tabla.


consola


la consola

TOTALES


días 15


los días 74

TOTALES 25 100

Completamos la tabla.


consola


la consola

TOTALES


días 14 1 15


los días 11 74 85

TOTALES 25 75 100

a) De cada 100 alumnos hay 14 que ven la tele y juegan a la consola, la probabilidad

pedida es 0,14.

b) Hay 25 alumnos de cada 100 que juega a la consola todos los días y de ellos 14 ven la

tele todos los días. Aplicando la regla de Laplace:

14

Vea la tele / Juega a la consola 0,5625

P


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4. Para hacer un estudio de las horas de duración de la batería de un juguete, se tomó una muestra

aleatoria de 10 de estas baterías, siendo el número de horas de duración obtenida de: 4.2, 4.6, 5, 5.7,

5.8, 5.9, 6.1, 6.2, 6.5 y 7.3 respectivamente. Sabiendo que la variable “número de horas de duración

de la batería" sigue una distribución normal de desviación típica 2.1 horas, se pide:

a) Halla el intervalo de confianza para el número medio de horas de duración de la batería con un

nivel de confianza del 97 %. (1 pto)

b) Explica razonadamente cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza. (0.5

ptos)

c) ¿Crees que la media poblacional μ del número de horas es de 4 horas con una probabilidad del 90

%? Razona tu respuesta. (0.5 ptos)

X = Horas de duración de una batería.

X = N(μ, 2.1)

4.2 4.6 5 5.7 5.8 5.9 6.1 6.2 6.5 7.35.73

10Media muestral x

a) Con un nivel de confianza del 97%

1 – ∝ = 0,97 ∝ = 0,03 ∝/2 = 0’015 1 – ∝/2 = 0,985 /2z = 2,17

/2

2.1· 2.17· 1.441

10Error z

n

El intervalo de confianza para la media de la población es:

, 5.73 1.441, 5.73 1.441 4.289, 7.171x Error x Error

b) La amplitud del intervalo de confianza lo mide el /2 ·Error z

n

y este disminuye si

aumentamos el tamaño de la muestra (n está en el denominador) o disminuimos el /2z

disminuyendo el nivel de confianza.

c) Con un nivel de confianza del 97% el intervalo de confianza para la media es 4.289, 7.171 .

La media 4 no pertenece a este intervalo. Si disminuimos el nivel de confianza al 90% la

amplitud del intervalo de confianza disminuye y la media 4 seguirá sin pertenecer al intervalo

de confianza, pues este nuevo intervalo tiene el mismo centro pero menos amplitud.


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Bloque 2

3. Se considera la función 3 2

1( )

2 4 1

x t si xf x

x x si x

a) ¿Para qué valor de t la función f(x) es continua en x = –1? (0.75 ptos)

b) Calcula los extremos relativos de la función f(x) en el intervalo (–1, +∞). (0.5 ptos)

c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) en (–1;+∞). (0.5 ptos)

a) Para que la función sea continua en x = –1 debe de cumplirse:

1

3 23 21

1

lim 1

lim ( ) 1 1 2lim 2 4 1 2 1 4 1

x

x

x

x t t

f x t tx x

b) Calculamos la derivada de 3 2( ) 2 4f x x x .

3 2 2

2

( ) 2 4 (́ ) 3 4

0

(́ ) 0 3 4 0 3 4 0 43 4 0

3

f x x x f x x x

x

f x x x x xx x

Calculamos la derivada segunda y sustituimos

2(́ ) 3 4 ´́ ( ) 6 4

´́ (0) 0 4 4 0 0 es máximo

4 4 4´́ 6 4 4 0 es mínimo

3 3 3

f x x x f x x

f x

f x

3 2(0) 0 2·0 4 4f . El máximo es el punto (0, 4) 3 2

4 4 4 64 32 762 4 4

3 3 3 27 9 27f

. El mínimo es el punto 4 76

,3 27

c) Hemos encontrado el máximo relativo en x = 0 y el mínimo en x = 4

3, por lo que la función

tiene la evolución del gráfico:

Por lo que la función crece en 4

1,0 ,3

y decrece en

40,

3


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4. Las botellas de agua vendidas por un hipermercado (que abre de 10 de la mañana a 4 de la tarde)

durante una ola de calor viene dado por la función 3 22 27 120C t t t t , con 1 6t siendo

1t la primera hora desde la apertura y 6t la última hora hasta el cierre y C(t) en cientos de

botellas.

a) ¿En qué intervalos de tiempo las ventas aumentan? ¿Y en cuáles disminuye? (0.5 ptos)

b) ¿Cuándo se produce la máxima venta? ¿Y la mínima? (0.75 ptos)

c) ¿Cuántas botellas se venden en esos dos casos? (0.5 ptos)

a) Derivamos 3 22 27 120C t t t t

3 2 2

2 2

2 27 120 ´ 6 54 120

9 15

9 81 80 2´ 0 6 54 120 0 9 20 0

9 124

2

C t t t t C t t t

t

C t t t t t t

t

Hallamos la segunda derivada y comprobamos si los puntos críticos obtenidos son máximos o

mínimos relativos.

2´ 6 54 120 ´́ 12 54

´́ 48 54 6 0 4 es un máximo de ventas

´́ 60 54 6 0 5 es un mínimo de v5 e a

4

nt s

C t t t C t t

C t

C t

La evolución de las ventas entonces es como indica el esquema siguiente.

Las ventas aumentan desde la apertura hasta 4 horas más tarde (2 de la tarde), disminuyen de

la 4ª hora a la 5º hora (de 2 a 3 de la tarde) y vuelven a aumentar de 5ª a 6ª hora (de 3 a 4 de la

tarde)

b) La máxima venta relativa se produce a las 2 de la tarde y la mínima relativa a las 3 de la tarde.

Pero valoramos que ocurre en los extremos para establecer ese máximo y mínimo absolutos.

2 27 2 51 91 0C

3 22·4 27·4 120·4 128 4324 480 172C

3 22·5 27·5 120·5 250 6755 1 5600 7C

3 22·6 27·6 120·6 1806C

La máxima venta se produce en la última hora. Y la mínima en la primera hora.

c) La máxima venta es de 18 000 botellas.

La mínima venta es de 9500 botellas.


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5. Una marca ofrece paquetes de tortitas de arroz de tres tipos: con espelta, con amapola y con chía.

Se venden el triple de paquetes de las de amapola que de las de espelta. Se venden 40 paquetes más

de las de amapola que de las de chía. Los precios de los paquetes para espelta, amapola y chía son

respectivamente 2.50, 3.50 y 3 euros obteniendo por la venta de todas las tortitas 1640 euros.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos paquetes de cada tipo se

vendieron. (1.5 ptos)


a) Llamemos “x” al número de paquetes de tortitas de arroz con espelta, “y” al número de

tortitas de arroz con amapola y “z” al número de tortitas de arroz con chía.

“Se venden el triple de paquetes de las de amapola que de las de espelta” 3y x

“Se venden 40 paquetes más de las de amapola que de las de chía” 40y z

“Se obtienen 1640 € por la venta a 2.5 con espelta, 3.5 con amapola y 3 con chía”

1640 2.5 3.5 3x y z

El sistema queda:

1640 2.5 3.5 3 16400 25 35 30

40 40

3 3

x y z x y z

y z y z

y x y x

b)

16400 25 35 3016400 25 105 30 16400 130 30

403 40 3 40

3

16400 130 30 3 40 16400 130 90 1200 17600 220

1760080 240 40 200 240

220

x y zx x z x z

y zx z z x

y x

x x x x x

x z y

Se venden 80 paquetes de tortitas de arroz con espelta, 240 de tortitas con amapola y 200

con chía.


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6. Dadas las matrices

5 03 2 0 2 2

, , 4 16 1 0 0 2

0 1

A B C

a) Calcula ·T

M AC B I siendo I la matriz identidad de orden 2. (0.75 ptos)

b) Calcula, si es posible, la matriz X tal que · 2 4X B (0.75 ptos)

a)

5 03 2 0 15 8 0 0 2 0 7 2

4 16 1 0 30 4 0 0 1 0 26 1

0 1

2 2 1 0 3 2

0 2

·

3 0

2 1

3 0 10 2·

2 1 24

0 1 0 1

7 2

26 1 0

T

T

AC

B I

B I

M AC B I

b) Para que sea posible ese resultado debe ser la matriz X de dimensión 1x2 X a b

2 2

· 2 4 2 4 2 2 2 2 40 2

2 2 11 2 3

2 2 4 2

X B a b a a b

a ab b

a b a b

La matriz buscada es 1 3X


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Bloque 2

5. En una ciudad el 1% de los habitantes ha ido a jugar alguna vez a una casa de apuestas. De las

personas que han ido a jugar alguna vez a una casa de apuestas, el 70% tiene problemas financieros.

De los habitantes que no han ido a jugar alguna vez a una casa de apuestas, se sabe que un 5% tiene

problemas financieros.

a) Calcula la probabilidad de que elegido un habitante al azar tenga problemas financieros. (0.75

ptos)

b) Sabiendo que una persona tiene problemas financieros, ¿cuál es la probabilidad de que haya ido a

jugar alguna vez a una casa de apuestas? (0.75 ptos)

Realizamos un diagrama de árbol.

a) Se puede calcular observando el diagrama, multiplicando en horizontal y sumando en

vertical.

Tenga problemas financieros 0,01·0,7 0,99·0,05 0,007 0,0495 0,0565P

b) Es un problema a posteriori. Aplicamos el teorema de Bayes.

Haya ido a jugar / Tiene problemas financieros

Haya ido a jugar Tiene problemas financieros

Tiene problemas financieros

0,01·0,7 700,1239

0,0565 565

P

P

P

El juego y las finanzas

Ha ido a jugar a una casa de apuestas

0,01


0,7

No tiene problemas financieros

0,3

No ha ido a jugar a una casa de apuestas

0,99


0,05

No tiene problemas financieros

0,95


16 de 16

6. El tiempo medio de espera en una línea de atención al cliente sigue una distribución normal de

media desconocida y desviación típica σ = 2 minutos. Se hace un estudio de los tiempos de espera de

10 clientes al azar, siendo estos tiempos: 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15 y 16 minutos respectivamente.

a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de espera, con un nivel de

confianza del 95 %. (1.25 ptos)

b) ¿Cuál deberá ser el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con el mismo nivel de

confianza, el error máximo admisible sea menor que 1 minuto? (0.75 ptos)

X = Tiempo medio de espera en una línea de atención al cliente (en minutos).

X = N(μ, 2)

5 6 7 8 9 11 12 14 15 1610.3

10Media muestral x

d) Con un nivel de confianza del 95%

1 – ∝ = 0,95 ∝ = 0,05 ∝/2 = 0’025 1 – ∝/2 = 0,975 /2z = 1,96

/2

2· 1.96· 1.2396

10Error z

n

El intervalo de confianza para la media de la población es:

, 10.3 1.2396,10.3 1.2396 9.0604,11.5396x Error x Error

b) Con un nivel de confianza del 95% tenemos /2z = 1,96

Queremos encontrar un tamaño mínimo de la muestra para que el error sea menor de 1.

2

/2

2· 1.96· 1 1.96·2 1.96·2 15.3664Error z n n

n n

El tamaño mínimo es de 16 clientes.

evaluación para el acceso a la universidad curso 2019/2020

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