Nmeros Reales

Lic. Nasser Cosavalente

Lic. Nasser Cosavalente

Divisin algebraica

Capacidades:

Determina el cociente y residuo, utilizando el mtodo clsico, de Horner, la regla prctica de Ruffini o el teorema del resto.

Resuelve problemas aplicando la divisin algebraica.

Desarrollo del Tema:DIVISIN ALGEBRAICA

Operacin que se realiza entre polinomios que consiste en hallar dos polinomios llamados COCIENTE y RESIDUO, conociendo otros dos polinomios denominados DIVIDENDO y DIVISOR que se encuentra ligados por la relacin:

. D(x) = d(x) Q(x) + R(x) .Donde:

D(x) : Dividendo

d(x) : Divisor

Q(x) : Cociente

R(x) : Residuo o Resto

Propiedades de la DivisinGdo. (D(x)) ( Gdo. (d(x))

Gdo. (Q(x)) = Gdo. (D(x)) Gdo. (d(x))

Gdo. (R(x)) < Gdo. (d(x))

Adems:

Mximo Gdo. (R(x)) = Gdo. (d(x)) 1

PRINCIPALES MTODOS DE DIVISIN

Mtodo de William G. Horner

Pasos a seguir:

1. Coeficiente del dividendo ordenado decrecientemente en una variable completa o completada.

2. Coeficiente del divisor ordenado decrecientemente en una variable, completo o completado, con signo contrario salvo el primero.

3. Coeficientes del cociente que se obtienen de dividir la suma de los elementos de cada columna entre el primer coeficiente del divisor. Cada coeficiente del cociente se multiplica por los dems coeficientes del divisor para colocar dichos resultados a partir de la siguiente columna en forma horizontal.

4. Coeficientes del residuo que se obtienen de sumar las columnas finales una vez obtenidos todos los coeficientes.

OBSERVACIN:

La lnea divisoria se colocar separando tantos trminos de la parte final del dividendo como grado del divisor:

Mtodo de Paolo Ruffini

Pasos a seguir:

1. Coeficientes del dividendo ordenado decrecientemente, completo o completado, con respecto a una variable.

2. Valor que se obtiene para la variable cuando el divisor se iguala a cero.

3. Coeficientes del cociente que se obtienen de sumar cada columna, luego que el coeficiente anterior se ha multiplicado por (2), y colocado en la siguiente columna.

4. Resto de la divisin que se obtiene de sumar la ltima columna

OBSERVACIN:

Si el coeficiente principal del divisor es diferente de la unidad, el cociente obtenido se deber dividir entre este valor.

Teorema del Resto

Se utiliza para obtener el resto de una divisin. Consiste en igualar a cero al divisor y despejar la mayor potencia de la variable, para que sea reemplazada en el dividendo.

OBSERVACIN:

Despus de realizar el reemplazo, debe comprobarse que el grado del polinomio obtenido sea mayor que el grado del divisor.

Ejemplo:

Resolucin:

d(x) = x 2 = 0 ( x = 2

Reemplazo x en D(x):

R(x) = (2)3 + 2(2) 10 ( R(x) = 2PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Sea R el resto y Q el cociente de la divisin:

Hallar Q + R

2. Hallar el residuo al efectuar:

3. Al efectuar la divisin:

El residuo, es (6x7), hallar: (a.b)

4. En la divisin exacta:

Hallar: E = a9 + b65. Si al dividir:

Los coeficientes del cociente son iguales, hallar el resto.

6. Sabiendo que el resto de la siguiente divisin:

8x5+4x3+mx2+nx+p entre

2x3+x2+3, es: R(x) = 5x23x7; calcular el valor de: (m+np)

A) 1B) 2C) 3

D) 4E) 5

7. Encontrar la relacin entre p y q para que: x3 3px + 2q; sea divisible entre (x+a)2A) p = qB) p2 = qC) p3 = q2

D) p = 2qE) p = q

8. Dar la suma de coeficientes del cociente de la siguiente divisin indicada:

A) 24B) 22C) 20

D) 23E) 26

9. Al efectuar la divisin indicada: se obtiene como residuo (x 2). Determinar el resto que se obtiene al efectuar:

A) xB) x + 1C) x 2

D) 3x 2E) 11x 2

10. Calcular: ; sabiendo que al dividir: (ax2 ax 2b) entre (ax + b) se obtuvo como resto 2b y adems el trmino independiente del cociente es (4a)

A) 2B) 3C) 4

D) 5E) 6

11. Al dividir el polinomio:

P(x) = 2x53x4x3+1 entre x3+x2+bx+b

Se obtiene del resto R(x). Hallar el resto de dividir dicho resto entre x+1

A) 6B) 1C) 3

D) 1E) 4

12. El residuo de la divisin:

Es igual a 32, cuando y vale:

13. Al realizar una divisin por Horner, se obtuvo el siguiente cuadro:

S = k + m + n + p + q + r

14. Dividir e indicar el cociente:

15. Hallar el trmino independiente del cociente que se obtiene al dividir:

3x12 4x9 x6 + 2x3 1 entre x3 + 2

16. Hallar el residuo al dividir:

x7 +x6 +x2 + ax + 6 por x + 1

Si la suma de los coeficientes del cociente es 3.

17. Indicar el residuo de la divisin

6x3 + 9x2 + 2Ax 1 entre (2x + 1)

Sabiendo que la suma de los coeficientes del cociente es 6.

18. Calcular n si en la divisin:

Si la suma de los coeficientes es igual al cuadrado del residuo

19. Hallar el residuo de dividir:

20. Calcular el residuo que se obtiene al dividir

21. En la siguiente divisin:

Deja como resto 13x + 3

Determinar: A/B

22. Hallar el residuo de la divisin:

A) 1B) xC) x2

D) x + 1E) x2 + 1

23. Hallar el valor de (k + m) para que la siguiente divisin sea exacta:

24. El polinomio P(x) = 2x6x511x4+4x3+ax2+bx+c

Es divisible separadamente entre los binomios (x1), (x+1) y (x23); segn esto, Cunto vale a+2b+3c?

A) 25B) 17C) 15

D) 20E) 18

25. Calcular la suma de coeficientes del polinomio cociente, que se obtiene de la siguiente divisin:

A) 69B) 69C) 65

D) 63E) 63

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. La divisin:

Es exacta, calcular a + b

2. Calcular el residuo de:

3. Calcular el cociente de:

4. Calcular el cociente de:

5. Calcular el resto de la divisin:

6. Calcular la suma de los coeficientes del residuo al dividir:

7. Al dividir: ; Seale el residuo.

8. Calcular el valor de ( en:

9. Calcular el resto de:

10. Hallar el trmino independiente del cociente, luego de dividir:

11. Si la divisin

; Es exacta, hallar

12. Hallar el resto de la divisin

13. Si el resto de:

Es 256, hallar el valor de n

14. Hallar el T.I. del resto de:

A) 1B) 2C) 3

D) 4E) 5

15. Hallar el resto de:

16. Si la divisin:

Es exacta. Halla (m+n)

17. Hallar el resto de:

18. Hallar la suma de coeficientes del cociente:

A) 1B) 2C) 3

D) 4E) 5

19. Luego de dividir:

Se sabe que el residuo es 5, hallar a

A) 4B) 2C) 1

D) 3E) 1

20. Hallar el residuo de la divisin:

21. Si el coeficiente del trmino lineal del cociente es 45, hallar

22. Calcular el resto de la siguiente divisin:

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Expertos en Preparacin Preuniversitaria! Mariscal Cceres 245 Celular: (#)945157071Expertos en Preparacin Preuniversitaria! Mariscal Cceres 245 Celular: (#)945157071

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