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Etnogeometría y Arqueogeometría: Patrones geométricos, ciencia y cultura en Antropología y Arqueología del Arte

Carlos ReynosoID

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES1

http://carlosreynoso.com.ar/etnogeometria

billyreyno@hotmail.com

Versión 03.21 – Marzo de 2020

1 – La etnogeometría como compromiso antropológico

Sin duda no está lejos la época en que las coleccio-

nes procedentes de esta parte del mundo abandona-

rán los museos etnográficos para ocupar un lugar,

en los museos de bellas artes, entre Egipto o Persia

antiguos y la Edad Media europea. Pues este arte no

desmerece junto a los más grandes y, durante el si-

glo y medio que conocemos de su historia, han ates-

tiguado una diversidad superior a la de aquéllos y ha

desplegado dones aparentemente inagotables de re-

novación.

Claude Lévi-Strauss, La vía de las máscaras

Lo primero que toca hacer en un trabajo que aspira a ser visceralmente antropológico es

destacar no sólo la necesidad de imprimir un carácter transdisciplinario a cualquier em-

prendimiento dedicado al estudio de la geometría en la cultura sino admitir de plano que

en el pasado esa iniciativa (de relevancia intelectual y científica mayor a la que se sos-

pecha) estuvo poquísimas veces en manos de la antropología, por más que los prefijos

‘etno-’ y ‘arqueo-’ sugieran otra cosa. Debido al estado fluctuante de la teoría antropo-

lógica en varios momentos críticos de su historia y dado que las corrientes teóricas que

se encuentran posicionadas más alto en el podio de las modas del día son aquellas que

tienden a arrojar más calor que luz, esa ausencia no implica necesariamente una mala

noticia. Pero está claro que el estudio etno- y arqueogeométrico en el seno de la acade-

mia podría y debería estar bastante mejor configurado disciplinariamente de lo que lo

estuvo hasta ahora.

1 Los aspectos técnicos de este trabajo se desarrollaron con recursos del proyecto “Redes dinámicas y mo-

delización en antropología – Nuevas vislumbres teóricas y su impacto en las prácticas”, UBACYT

20020130100662 (Programación Científica 2014-2017/2018). Las fuentes bibliográficas han estado dis-

ponibles a la comunidad científica gracias a las iniciativas de SciHub y Library Genesis a las que apoya-

mos incondicionalmente en estos momentos de dificultad (véase este vínculo).

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Amén de admitir la falta de compromiso por parte de nuestra disciplina y antes de co-

menzar el examen de las teorías y las prácticas etnogeométricas existentes cabe asentar

que el objetivo primordial de este trabajo es dar los primeros pasos para que nuestro

análisis de las geometrías de otros contextos culturales abandone de aquí en más el hábi-

to de las imputaciones de minorización, de no-proposicionalidad, de condescendencia,

de exotismo, de “pensamiento lento”, de esteticismo y de diferenciación compulsiva,

clausuras en las cuales, con diversos pretextos y eufemismos, el posestructuralismo de-

leuziano y el giro ontológico (tendencias dominantes de la antropología contemporánea)

intentan recluirlas todavía ahora (Reynoso 2019b: 5, 71, 228). Esta depreciación no es

cosa de hoy sino que ha comenzado hace tiempo. En el momento en que se iniciaba el

declive de la antropología interpretativa (y dos décadas antes de declarar insultante-

mente que en la cultura no existen cosas tales como “sistemas”) Clifford Geertz [1926-

2006], el antropólogo norteamericano más influyente del último cuarto del siglo XX, ni

siquiera se había referido con detenimiento a la geometría en su artículo sobre “El arte

como sistema cultural” (1994 [1983]), que es, a mi juicio, y solamente a la zaga de la

entrevista titulada –precisamente– “I don’t do systems” (2002) el más desempoderador,

desencantado y alejado del nivel de excelencia que jamás publicó.

Figura 1.1 – František Kupka – Izq.: Organization of graphic motives (ca. 1912) –

Der.: Localisation des mobiles graphiques (1917) – Pinturas del expresionismo geométrico anticipatorias de los fractales bifurcacionales de Lyapunov [ver].

Contrástese con las imágenes tridimensionales de Tom Gidden (2017).

El suyo no ha sido un caso aislado. Dos décadas más tarde el cognitivista Roy D’An-

drade (1995: 249) incurrirá en un juicio parecido. A lo largo de una trayectoria más que

centenaria y con apenas un puñado de excepciones (Haddon 1902; Boas 1927; Lévi-

Strauss 1968; por momentos Gell 1998: 200 y cap. §5; Jones y Cochrane 2018) la pro-

pia sub-disciplina de la antropología del arte ha mantenido a propósito de la geometría

en la cultura una concepción técnicamente inarticulada, flaca y pródiga en consignas,

una visión indigna de la riqueza, variedad y complejidad que se encuentra en los mate-

riales sobre los que debería haber trabajado. Por un lado hay quienes están exultantes

ante la existencia de una antropología y de una arqueología del arte (además de una

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etno-estética) que hoy prosperan en zonas marginales de la academia pero que meten

ruido y fogonean cada una deellas una estridente autoestima; por el otro hay multitud de

disconformes enfrascados con el mismo entusiasmo en sus respectivas deconstruccio-

nes, demasiado fáciles y apiñadas en bogas volátiles para merecer reverencia.

Pero en éstas y en otras varias disciplinas centradas en tópicos del arte en la cultura no

han sido multitud los que han sabido desentrañar geometrías (emic o etic) de manera

técnica, científica y artísticamente solvente sin caer en los estereotipos divergentes de la

subvalorización de lo distinto, de la exageración de la diferencia o de la exaltación de

sabidurías esotéricas hoy en día insostenibles. A excepción de unas pocas observaciones

anotadas por Claude Lévi-Strauss en los momentos más inspirados de su vida y tal

como tendré ocasión de demostrar, ni una sola de las corrientes teóricas encuadradas

explícitamente en la antropología del arte ha hecho justicia a los valores conceptuales, a

la sistematicidad y al potencial cognoscitivo y científico de la etnogeometría como

práctica que lo que aquí me propongo situar en el centro de la escena.

Figura 1.2 – Izq.: Leonardo da Vinci – Remolinos de agua [1507-1509]. Der.: Fractal en el plano complejo: Conjunto de Gaston Julia (detalle).

Cualquiera haya sido el caso, en dicha antropología ha habido un sinnúmero de obser-

vaciones de variado calibre y relieve a propósito de las etno- y arqueogeometrías cuya

lectura no tengo más remedio que dar aquí por ya consumada y cuya valía no discutiré

aquí más que circunstancialmente2 (cf. Balfour 1893: 66, 75, 117, 120, 124; Lévi-

2 No pienso implicarme en la discusión sobre si las artes geométricas de otros pueblos son en realidad

“artes” o no lo son, o sobre la naturaleza “estética” o “funcional” de estilos y artefactos fuera de la órbita

del Occidente moderno y posmoderno. No estoy conforme con las respuestas que se han propuesto, pero

me da la impresión que en etnogeometría hay multitud de cuestiones harto más apremiantes que determi-

nar si tales o cuales de ellas califican como arte o si sólo parecerían hacerlo. Si bien el trabajo geométrico

de un gran número de sociedades puede que no pretenda ser arte en la acepción contemporánea y occi-

dental de la palabra, me preocupa que quede flotando la idea de que él representa algo que es menos que

un arte, o que alguna vez fue arte en plenitud pero (como podría haber dicho hoy Carlos Vega o algún e-

sencialista como él) el tiempo, la hibridación, la comoditización, la inautenticidad o la reproducción masi-

va ocasionaron que se deturpara. Es mi percepción que la universalidad de la estética recién se está co-

menzando a estudiar de manera cientifica en un plano interdisciplinario, muy lejos del coto privado de la

corriente principal de la antropología del arte (v.gr. Stamenov y Gallese 2002; Shimamura y Palmer 2011;

Gallese 2017; Pennisi y Falzone 2020). Como respuesta preventiva a estas opciones, en consecuencia, se-

guiré hablando de artes etno- y arqueogeométricas aun a sabiendas de la impropiedad de la expresión y

hasta tanto muestre que ellas se inscriben en la esfera de la cognición social y demuestre que constituyen

ciencias en el pleno sentido, propósitos que espero consumar en el espacio del libro que aquí empieza.

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Strauss (1968 [1958 {1944-1945}]; 2005 [1979]); Wingert 1962: 21, 38, 48, 69-70; Jo-

pling 1971: 93; Otten 1971; Forge 1973; Flores Fratto 1978; 1985; Anderson 1989

[1979]; Mead 1979; Silver 1979; Guillon 1984; Hatcher 1985: 161, 168-170, 192; Price

1986; Layton 1991; Coote y Shelton 1992: 26, 141, 145; Dissanayake 1990 [1988];

1995 [1992]: 55, 80-84, 87, 145, 236, 237; Schneider 1996; 2017; Shiner 2001; Van

Damme 1996; 2003; 2011; Gell 1998; Layton 2003; Bowden 2004; Coleman 2005;

Morphy y Perkins 2006; Schneider y Wright 2006; Morphy 2009; Sanz, Fiore y May

2009; Currie 2011; Krstić 2011; Leuthold 2011: 6, 16, 128; Olbrechts y Preedy 2011;

Ingold 2013; Grimshaw y Ravetz 2015; Bakke y Peterson 2017; Fillitz y van der Grijp

2018; Jones y Cochrane 2018; Kisin y Myers 2019).

Figura 1.3 – Izq.: Máscara Fang – Museo del Louvre MH 65-104.1.jpg – Dominio público.

Centro: Pablo Picasso – Cabeza de mujer durmiendo (1907) – Metropolitan Museum, N.Y. – Idem. Der.: Silla “africana” Bauhaus por Marcel Breuer y Gunta Stölzl – Según Sayed Ahmed (2014: fig. 22).

En este estudio no pretendo ir contra la corriente, ni terciar en el debate, ni descifrar

enigmas, ni enderezar entuertos, que es lo que todo el mundo se afana en hacer en estas

circunstancias. La idea es más bien seguir otros cauces, que no por ser muy otros son

menos disruptivos. Es mi convicción, por empezar, que no hay nada de rudimentario ni

en la geometría en comparación con la aritmética ni en las geometrías de otras culturas

en relación con las nuestras. Aquéllas no son supervivencias exangües de saberes tem-

pranos ni preanuncios de conocimientos que recién llegarían a su culminación en otros

lugares, en otros tiempos o en manos de Euclides, de los no-euclideanos o de geómetras

de carrera que sólo se entienden entre ellos a través de jergas simbólicas invariablemen-

te turbias. Son, por el contrario, manifestaciones acabadas de competencias cognitivas,

de destrezas materiales y de modos performativos que (a caballo de sucesivas globaliza-

ciones) han llegado a constituirse en patrimonios que se encuentran en paridad o por en-

cima de cualesquiera otros, pero que en ese mismo plano global todavía no han sido ob-

jeto ni de una descripción a la altura de los tiempos, ni de una teorización explicativa

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satisfactoria, ni de una comparación sostenible, ni de una evaluación igualitaria, ni de

una gestión capaz de reanimar, perpetuar y hacer conocer las prácticas.

No es en absoluto verdad, entonces, que los diseños mayormente geométricos de las o-

tras culturas o del pasado distante ocupen los jalones iniciales en el camino de una His-

toria Universal del Arte cuyas instancias culminantes (sus obras maestras) son las que

nosotros hemos hecho o las que estamos destinados a hacer en un campo en el que se ha

impuesto la falacia de que lo geométrico no puede sino estar al servicio de (o subordina-

do a, o valorizado por debajo de) la figuración. Aun cuando ese camino lineal, gradual y

acumulativo haya efectivamente existido o pueda discernirse construyéndolo, destilán-

dolo de la cadena de los hechos (una empresa en la que no me interesa complicarme),

entiendo que en lo que al ejercicio de la geometría respecta los occidentales modernos y

posmodernos llevamos un sensible atraso en su recorrido y que en materia reflexiva es-

tamos bochornosamente fuera de forma en lo que toca a esclarecer las prácticas y a esta-

blecer su primacía respecto de la teorización, axiomáticas incluidas. Nuestro punto de

vista occidental, impensadamente etnocéntrico, está lejos de haber sido –como antes se

decía– un vantage point necesario o un regard éloigné sufíciente para comprender el

trabajo de los otros o el de nosotros mismos en ese rubro. Sea técnica o estéticamente,

en Occidente no estamos (y dudosamente hayamos estado alguna vez) a la vanguardia

de los pueblos en materia de geometría como para que nuestra perspectiva goce de al-

gún valor agregado o cale más hondo en la sustancia de las formas. Esta debería ser en-

tonces la primera y más imperiosa constatación que se nos impone.

Figura 1.4 – Izq.: Tela Kuba de Zaire (Congo) según Eglash y Bennett (2012: 10). Der.: Tela kente de los Ashanti de Ghana en el Museo Vaticano – Imagen en el dominio público.

En la opinión un tanto arbitraria de algunos círculos de especialistas, la teoría geomé-

trica occidental no ha alcanzado tampoco el mismo prestigio que la alta matemática, por

más que haya sido en aquélla donde se manifestó por primera vez la axiomatización, el

método teoremático y el desarrollo de la lógica formal (lo que no es poco) y por más

que haya sido en la aritmética (y no en las geometrías) donde el proyecto de sistema-

tización hilbertiana de las matemáticas y la subsunción de éstas a la lógica estuvo más a

menudo a punto de desbarrancarse.

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El filósofo moderno Baruch Spinoza [1632-1677] sabía que la geometría proporcionaba

un modelo del razonar cercano a lo perfecto, pero cuatro siglos más tarde (y salvando

las bellas y complejas incursiones de André Weil en geometría algebraica) los talibanes

del grupo Bourbaki la excluían junto con cualquier vislumbre de grafismo del panteón

de la matemática más exquisita, mientras que los cantabrigianos alineados en torno de

Principia Mathematica, aferrados a números, cálculos y conjuntos, simplemente se da-

ban el lujo de ignorarla (Viljanen 2011; Osserman 1981; Whitehead y Russell 1910: 27;

1927a; 1927b). Tan es así que Branko Grünbaum y Geoffrey Colin Shephard, autores de

uno de los libros más respetados sobre embaldosados y patrones, se vieron compelidos a

repudiar la moda contemporánea que establece que si la geometría pretende que se la

considere matemática avanzada ella debe ser abstracta y conceptual (es decir, puramente

argumentativa), debiendo por ello renunciar a todo despliegue de grafismos, iconemas,

glifos, formas, espacios, visualizaciones o diagramas. Promover una geometría que re-

nuncie a los dibujos (como abogan autores que se pretenden “sofisticados”) –aseveran

Grünbaum y Shephard– es como ensalzar las virtudes de la música sin sonido, alegando

que leerla en silencio directamente de las partituras es signo de madurez y superioridad

analítica (1987: vii-viii). Algo parecido llegó a expresar Bruno Latour al caracterizar

caricaturalmente los desenfrenos del iconoclasmo, una categoría que hacía falta acuñar:

“If only, some say, we could do without any image. How so much better, purer, faster

our access to God, to Nature, to Truth, to Science could be” (Latour 2002: 16).

Benoît Mandelbrot, el padre de la geometría fractal, impugnó las pretensiones antagó-

nicas a la imaginación y la imaginería arrogándose –como ha sido proverbial en él– un

papel protagónico: hasta el día en que llegó la temporada de los fractales (sostenía Be-

noît) las matemáticas eran iconoclastas; aborrecían las imágenes e incluso la geometría

más ligada a formas, coordenadas y posiciones buscaba razonar sin apoyarse en ellas

(cf. Obrist 2008). Casi lo mismo argumentó mucho antes nadie menos que el matemá-

tico David Hilbert [1862-1943] en uno de los dos grandes libros existentes que se titu-

laron Geometría e Imaginación (Hilbert y Cohn-Vossen 1952 [1932]; Conway, Doyle,

Gilman y Thruston 1991; Giovannini 2014).3 Desde sus obras tempranas, Hilbert salu-

daba los intentos históricos de constituir una geometría proyectiva que evitara las con-

sideraciones numéricas para establecer una ciencia autónoma, “en la que no se mida ni

se calcule, sino que sólo se construya” (Hilbert 2004 [1891]: 25).

Los científicos cognitivos polacos Mateusz Hohle y Marcin Miłkowski (2019a; 2019b),

refiriéndose a una bibliografía sobre cognición matemática que comprende a John

Adams et al (2017), Stanislas Dehaene (2011), Avisahi Henik (2016) y George Lakoff

& Rafael Núñez (2000), reconocen que se han estudiado suficientemente los aspectos

3 Originariamente Anschauliche Geometrie (o sea Geometría intuitiva, o gráfica, o ilustrativa). El otro

texto llamado casi igual es Geometry and the Imagination, de John Conway y otros (1991). Traductores y

editores mediante, ambos títulos quedan emparentados con Mathematics and the Imagination de Edward

Kasner y James Newman (2001 [1949]). El primer trabajo en hacer referencia a la imaginación geométri-

ca y en precisar su estatuto epistemológico fue, empero, el de Hilbert y Cohn-Vossen, 17 años anterior al

de Kasner y Newman. En lo que va del siglo se han convocado a docenas de conferencias llamadas Geo-

metry and the Imagination por iniciativa de la Bridges Organization en el año 2011, replicada con el mis-

mo nombre por muchas otras instituciones (véase este vínculo).

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cognitivos de la dimensionalidad, el álgebra y el cálculo pero que la geometría ha que-

dado al margen del campo de la cognición. Su propia concepción de la geometría como

“manifestación humana por excelencia” es puramente teorética y gira en torno, provin-

cianamente, de la concepción euclideana y de la geometría como función del pensa-

miento a la manera jónica antes que como manifestación material, conductual y obser-

vable de presencia ecuménica. Incluso el antropólogo particularista Franz Boas, en su

temprano estudio del arte que él llamaba primitivo (que sólo en contadas ocasiones con-

templó estilos que estuvieran más allá del arte contemporáneo de los indios del Nor-

oeste de los Estados Unidos) no tenía inconvenientes en generalizar a través del tiempo

y el espacio cuando era la geometría o la calidad del juicio estético lo que estaba en jue-

go. Tras examinar un puñado de ejemplares de su región favorita reducía toda la geome-

tría a lo convencional, reservando la idea de representación a la denotación figurativa

concreta, aún en estilos en donde lo figurativo y lo geométrico están inextricablemente

integrados o no se distinguen del todo: “When the purely decorative tendency prevails

we have essentially geometrical, highly conventionalized forms; when the idea of repre-

sentation prevails, we have, on the contrary, more realistic forms” (Boas 1927: 8, 354).

Figura 1.5 – Izq.: Fractal de Mandelbrot, detalle – Ejecutado por el autor en UltraFractal®

Der.: Frontispicio de la Biblia Moralizadora, “Dios arquitecto del Mundo”, París (ca. 1220-1230), Biblioteca Nacional de Austria, Viena, #2554 – Imagen en el dominio público. Obsérvense los pickover stacks flamígeros en la periferia azulada del mundo.

Contraste original pensado por Théodore Pavlopoulos (2011).4

4 Para cualquier usuario familiarizado con la gestión de paletas y gradientes de los programas generadores

de objetos fractales, el “mundo” que el geómetra manipula en la pintura luce como una interpolación o un

palimpsesto (un meme, diríamos hoy) demasiado “fractal de 32 bits” para ser históricamente auténtico; el

motivo procede, sin embargo, de una imagen genuina. Véase detalle de la pintura original en este vínculo.

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Mientras en las matemáticas de la corriente principal no se acepta la geometría como un

componente en paridad de jerarquía con el análisis o el álgebra, en ciertos reductos inte-

lectuales que usurpan la denominación de antropología del arte (sin casi referencia a la

especialidad disciplinar del mismo nombre) la situación de la geometría tampoco es aus-

piciosa (v. gr. Grüner 2017). Para los pensadores que integran ese movimiento o que se

encuentran en su área de influencia existirían imágenes de primera clase y de segunda

categoría, y quién sabe de cuántos niveles más de allí hacia abajo. En materia de repre-

sentación, de estética y de iconología siguen hablando de las artes geométricas como si

se tratara de una forma de expresión esquemática que desconoce la excelencia que sólo

se alcanza con las artes figurativas de semántica desbordante, sea en el registro de lo

sublime o en los abismos de lo unheimlich. La geometría, de la que se quiere que sea in-

capaz de esa trascendencia, sería entonces un callejón sin salida, un manifold ocasional,

una simple anomalía en la que los entendidos perciben dimensiones faltantes, simbo-

lismos vacíos y significados inexpresables, como si se tratara de un conjunto de costum-

bres que sólo proliferan en coordenadas periféricas, piezas sobrevivientes de los gabi-

netes de curiosidades de lugares muy lejanos o inclinaciones que son fruto de alguna

coacción mutilante a la que Occidente supo dejar atrás temprano en la historia.

Figura 1.6 – Izq.: Amorpha – Fuga en dos colores de František Kupka (1912).

Galería Nacional de Praga. Fotografía del autor, 1996.

Der.: Fractal de Newton – Ejecutado por el autor en Fractint. No se ha hecho ningún esfuerzo por unificar las paletas, las que en ambos casos

se atienen al teorema de los cuatro colores.

El trabajo interpretativo de los antropólogos y arqueólogos de las corrientes hermenéu-

ticas que participan de ese mismo modelo originado en las humanidades decimonónicas

se considera consumado cuando se demuestra que ciertas formas abstractas denotan,

connotan o sugieren determinadas figuras o clases de figuras concretas, a partir de lo

cual su morfología geométrica pasa a tener un interés secundario, si es que conserva al-

guno (v. gr. Von Petzinger 2011; cf. Malotki y Dissanayake 2018). Para esta mirada el

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sentido lo es todo, por más que en las figuras subsistan aspectos y ejemplares que se

muestran refractarios a la hermenéutica, aunque proliferen elementos de aparentes sis-

temas sígnicos de los que no se ha podido establecer qué funciones cumplen o qué estra-

tegias de representación encarnan y aunque en ocasiones resulte (como nos lo ha su-

gerido Dan Sperber [1974: 27] en Le symbolisme en général ) que el significado que la

investigación pone al descubierto acabe siendo una banalidad. Coincidentemente, la co-

rriente principal de esa antropología del arte que florece fuera de la antropología (y que

reposa en una sopa de ideas originada en autores como Adorno, Warburg, Freud, Nietz-

sche, Didi-Huberman, Carlo Severi y Claude Lévi-Strauss leído en clave filosófica) ni

siquiera se plantea que pueda existir algo así como un arte sin figuración, sin códigos

criptogramáticos y sin desbordes dionisíacos de significados inquietantes a la espera de

su desciframiento por medio de la analogía o de la especulación indiciaria.

Las pocas ocasiones en las que en la crítica de arte se habló de geometría siempre se

trató de la geometría euclideana lisa, plana, platónica, isométrica y lineal en la que el

trazado de las imágenes es una opción facultativa por cuanto las configuraciones en las

que ellas se inscriben son, por así decirlo, casi siempre imaginables, predecibles, con-

formes a la intuición, descifrables a través de un simple código de correspondencias en-

tre las formas geométricas y las estructuras sociales. En el libro que aquí comienza ten-

dremos ocasión desde el inicio de abordar las geometrías en plural, dando cabida a las

muy diversas geometrías de la fractalidad compleja e hipercompleja, de los volúmenes

paradójicos, de los embaldosados no periódicos, de las transformaciones recursivas y no

lineales, de las propiedades emergentes, de las trayectorias multifurcadas y de las super-

ficies y curvas esféricas, parabólicas e hiperbólicas a las que aquí se dará preminencia

por cuanto operan como las geometrías alternativas y descentradas a la luz de las cuales,

consistentemente, las prácticas que considerábamos más extrañas, inexplicables, acceso-

rias y heterodoxas adquieren congruencia formal y plenitud de sentido, pero de un senti-

do relacional sin referencia a convenciones internas de una sociedad particular o a cosas

de un dominio específico; un sentido que, al igual que el que se manifiesta en el len-

guaje, no se agota en una nomenclatura de cosas ajenas al sistema.

En lo que llamamos mundo civilizado no todos encontraron sentido a esta forma callada

de sentido. Por eso es que en el arte de caballete de la pintura clásica la geometría se en-

claustra en un espacio sin raíces que aparece muy tarde en la historia y que en la cultura

burguesa más conservadora se resigna a un menor impacto emocional y una cotización

más baja en el mercado. En ese espacio el egocentrismo de los más brillantes entre los

artistas que apostaron por la geometría jugó en contra de los objetivos del conjunto, el

cual nunca logró constituir una masa crítica. Por eso es que el arte abstracto requiere

que nosotros lo cualifiquemos de tal modo, mientras que del arte concreto no se necesita

decir que lo es porque en nuestra parte del mundo y desde nuestra perspectiva es el arte

que se presume por defecto.

Como siempre sucede en estas latitudes, en la reciente historia del arte cada escuela

jugó su propio juego y escribió su propio manifiesto explicativo, poblándolo de excusas

que el tiempo se encargó de barrer y que siempre giran en torno de un dogma primordial

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que nos dice que la figuración va siempre asociada a contenidos semánticos particulares

mientras que la geometría remite a prácticas pan-humanas o independientes de contexto

que (por ser tales) suelen excederse en abstracción y quedarse cortas en significancia.

En el corazón del influyente neo-conceptualismo neoyorkino y al impulso de una crisis

de la representación que cada quien describe de maneras distintas el proyecto geométri-

co fue decretado passé antes de comenzar (cf. Halley 1984). Por clausuras como ésas es

que las antropologías de sello interpretativo también llamadas “simbólicas”, al igual que

las de tono estructuralista (aunque por muy distintas razones), tienden a desatender las

geometrías que no sean más que geometrizaciones de entidades reconocibles o que va-

yan más allá de las simetrías en espejo, en serie o en rosetón basadas en objetos icónicos

henchidos de semántica, el único factor semiológico que ha logrado moverles el amperí-

metro, como si Claude Lévi-Strauss (acabando las Mitológicas) no hubiera dicho nada

sustancioso en su solitario intento de ponerlo en caja.

Figura 1.7 – Ornamentos geométricos de los Andamaneses –

Según Grosse (1897 [1894]: 126) – Basado en diseños de Edward Horace Man (1885). Los motivos simétricos en friso pertenecen a alguno de los 7 tipos canónicos,

prevalentemente p111. Los otros tipos son p1a1 – p1m1 – pm11 – p112 – pma2 y pmm2. Compárese con los surveys de Sreenathan, Rao y Bednarik (2008) y Bednarik (2017).

La geometría pura, en fin, no es una ciencia hecha para el desciframiento. La mera pala-

bra ‘geometría’ casi ni aparece en los mejores intentos semiológicos históricamente da-

dos, tales como la “paleontología de los símbolos” que alguna vez intentó André Leroi-

Gourhan [1911-1986] y que reconoce un “período pre-figurativo” basado en figuras (si-

multáneamente) “muy abstractas y primitivas” (1976 [1964]: 87) seguido de paulatinas

naturalizaciones en la que “el dominio de la técnica artística devino absoluto […] y las

pinturas, esculturas y grabados fueron de una calidad extraordinaria” (Ibid.: 89); tras

una naturalización ulterior sobrevendrían períodos de progresiva “estilización”.

Pero la periodización no es el punto en el que yo apoyaría la palanca de una posible im-

pugnación: el punto crítico en la visión de Leroi-Gourhan y de sus continuadores es por

un lado la liviandad de las expresiones valorativas y por el otro (a) la premisa de una

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antítesis entre figuración y la no-figuración como momentos netamente distintivos en el

proceso unitario y global de una historia del arte que discurre de manera lineal y por un

solo carril, (b) la premisa de la continuidad de sujetos o agentes artistas como lugares

geométricos (por así decirlo) de “perfeccionamientos”, “apogeos” y “degeneraciones”

(o de períodos “formativos”, “clásicos” y “terminales”) en el transcurrir de dicho pro-

ceso y (c) la premisa de la temporalidad, la memoria y la teleología que se imponen a

series cuyos momentos puntuales deberían ser coherentes por separado, y no tanto como

instancias causadas por lo que le precede o predeterminadas por lo que habrá de seguirle

(cf. Ingold 2004; Palacio Pérez 2017 véase Riegl 1980 [1893]; Balfour 1893: 17-77;

Grosse 1897 [1894]: 120; Haddon 1895: 6-8). Es grave, conjeturo, que una postura que

se siente afín al estructuralismo no sepa pensar sincrónicamente cuando debe hacerlo y

que los estudiosos que se aglutinan en ese mismo marco no atinen a percibir la incon-

gruencia.

Aparte de todo ello nos encontramos con el hecho de que (salvo en el período más “pri-

mitivo” y aun así no para todo el mundo) para muchos críticos no hay geometría propia-

mente dicha en la cultura humana, sino meramente geometrizaciones, las cuales suelen

entenderse no ya como procesos o figuras sustantivas sino como alteraciones diacríticas

del objeto primario, alternativas sustitutas, manifolds, variantes. Esta lógica preserva, en

general, la idea combatida por Alois Riegl [1898-1905] que estipulaba que “el estilo

geométrico […] es el más inferior” y que surgió, “espontáneamente, en todas partes”

(Riegl 1980 [1893]: 10, 11). Ni Leroi-Gourhan ni mucho menos Riegl consideran que la

aparición tardía en Occidente de un arte geométrico no representacional, no ornamental

y no geometrizante tras milenios de predominio del arte figurativo es un acontecimiento

que demanda explicación.

Figura 1.7b – Figuras sona de los Chokwe de Angola – Un macaco-perro (izq.) y una leona con dos cachorros (der.) – Una línea o un bucle en el lugar adecuado convierten un diseño monolinear

abstracto en una representación concreta. Basado en Paulus Gerdes (2000: 241-242). Véase capítulo sobre nitüs y grafos lineales más adelante (pág. 131)

Algunos autores de la línea degeneracionista cultivan cada tanto teorías que llegados a

este siglo contemplamos como la mar de extrañas. Para el etnólogo alemán Ernst Grosse

[1862-1927], por ejemplo, las geometrías ornamentales de primitivos y modernos difie-

ren en que aquéllas son de origen animal en tanto que éstas se inspiran en vegetales, co-

mo si en todas partes y en todas las épocas las sociedades clasificaran la naturaleza (o la

12

naturaleza y la cultura) acomodando las clases en los mismos reinos linneanos o aristo-

télicos. Citando profusamente al especialista en pueblos primordiales Paul Ehrenreich

[1855-1914] (aunque sin consignar su nombre), Grosse escribe en una temprana traduc-

ción inglesa de su libro mayor, Die Anfänge der Kunst:

“El hecho importante en la historia de la civilización fue así establecido de que todas esas

figuras que parecían ser dibujos geométricos eran representaciones abreviadas, en parte

convencionalizadas, de objetos concretos, mayormente de animales. De este modo, una lí-

nea ondulante con puntos alternados representa una serpiente gigante, la anaconda, la cual

está marcada por grandes puntos oscuros; un rombo, con sus ángulos rellenos de negro, re-

presenta un pez lacustre; mientras que un triángulo significa no una simple figura geométri-

ca, sino el atuendo de una mujer”. Los ornamentos de los Karayá consisten de diseños de

líneas, curvas, puntos, rombos y peculiares meandros interrumpidos en zigzag. Mientras

que lo cuadrados y los triángulos sólo se introducen casualmente (como por ejemplo en los

rellenos de las figuras) y los círculos faltan por completo. Como en la ornamentación de las

tribus Xingu, tipos concretos definidos yacen en el fondo de esas combinaciones geomé-

tricas que en apariencia se escogieron arbitrariamente, en las cuales los rasgos característi-

cos a lo sumo se replican convencionalizados. Por desdicha, no siempre es posible de-

terminar con certidumbre de qué objeto natural se trata. La cruz, frecuentemente recu-

rrente […] la que tan a menudo ha sido ocasión, en América, para aventuradas hipótesis, no

es más que una clase de lagarto (Grosse 1897 [1894]: 120; el subrayado es mío).

Con estos procedimientos inductivos de recolección de ejemplos Grosse sostenía que

Ehrenreich acabó demostrando irrefragablemente [hat unwiderleglich nachgewiesen]

que lo que se nos presenta como geometría no es más que una torpe representación a-

breviada, desprolija, taquigráfica o convencional de animales o partes de animales (fig.

1.7). En el mundo primitivo nunca hubo –pretende el autor– tal cosa como una geome-

tría independiente de la función iconográfica. Aunque no se comparta la idea, la verdad

es que en ocasiones insume un solo trazo o un levísimo esfuerzo de la imaginación con-

vertir lo abstracto en concreto, una geometría en una geometrización minimalista en el

umbral de lo figurativo, una figura geométrica en una representación (fig. 1.7b).

En la arqueo-geometría reciente las cosas tampoco han ido sobre ruedas para el tempra-

no arte rupestre de naturaleza geométrica-abstracta. Realizando ingentes esfuerzos de

síntesis y clarificación de este campo convulso –pero incurriendo también en no pocos

lugares comunes del género– han escrito recientemente Ekkehart Malotki y Ellen Dissa-

nayake:

Cuando la gente dice que los encuentros cara a cara con el arte rupestre temprano son atrac-

tivos, adictivos incluso, se refiere por lo común a imágenes representacionales. Como ha

notado un número de arqueólogos y otros estudiosos del arte rupestre, tanto los investiga-

dores como el público han desairado las marcas no figurativas como garabatos sin signifi-

cación, meros raspones o, en el mejor de los casos, como elementos desdichadamente in-

descifrables y por lo tanto no dignos de atención. […] Ken Hedges (2005) admite con re-

signación que “el así llamado arte abstracto […] ha eludido hasta hoy el análisis estilístico”;

Paul Bahn (1998) considera que su estudio es “uno de los desafíos largamente negados de

la arqueología”; Derek Hodgson (2003) nos recuerda que “la humanidad temprana necesita

ser tomada más seriamente dentro del contexto global como un importante indicador de la

temprana habilidad cognitiva humana”; y Solveig Turpin (2001), notando el globalismo de

los tempranos diseños geométricos, nos sugiere que debe ser su mera simplicidad y consis-

tente uniformidad lo que lo torna “el más ambiguo y difícil de interpretar”. Los arqueólogos

James Keyser y Michael Klassen (2001) llegan a una conclusión similar debida a la virtual

13

inexistencia de descripciones y análisis publicados del arte rupestre de la tradición abstracta

[…] y culpa a la “simplicidad formal y falta de motivos representacionales de esta tradición

lo que la hace tan difícil de interpretar” (Malotki y Dissanayake 2018: cap. 6).

En otro orden de cosas, se diría que se ha reflexionado poco sobre la evidente cualidad

no-euclideana de muchas de las etno- y arqueogeometrías y sobre el filtro euclideano a

través del cual nos inclinamos a contemplar los mundos geométricos distantes. A pesar

de que una inmensa proporción de las simetrías y series repetitivas presentes en otros

contextos culturales y en el registro arqueológico se inscriben en superficies curvas y en

volúmenes también curvos de tiestos cerámicos, astiles, bastones ovales o cilíndricos,

columnas, cúpulas, domos, cestas, redes globulares, huevos de avestruces, choiques y

ñandúes y concavidades y convexidades varias, por efecto de la bidimensionalidad del

espacio en que se plasma la escritura del texto y la reproducción gráfica y fotográfica de

los estudios que tratan de ellas las simetrías que imperan en todas nuestras ciencias han

devenido, forzosamente, simetrías del plano euclideano, un factor al cual se trata irre-

flexivamente pero que introduce –como se verá– un tropel de premisas limitantes en el

análisis y un surtido discordante de escorzos, Abschattungen, efectos de perspectiva y

anamorfosis distorsionantes en la representación (v. gr. Fiadone 2004; O. Jones 2016

[1856]; Hohol 2019; Hohol y Miłkowski 2019 versus Hargittay 1992; Penrose 1996

[1989]: 190-197). Embaldosados imposibles de articular en el plano sin dejar residuos

son perfectamente congruentes en superficies y volúmenes riemannianos que son los

que prevalecen en el registro cultural y que son también aquéllos en los que los postu-

lados euclideanos no se aplican (cf. fig. 9.5, pág. 169). La inversa también es real: por

efecto de las diferencias entre los modelos geométricos planos y los curvos muchos pro-

blemas técnicos reales de las proyecciones (tales como la distorsión creciente en la cer-

canía de los bordes y los ángulos, el desajuste paulatino entre los elementos y el efecto

Mercator) pierden entidad o no se manifiestan en absoluto. No es trivial, en síntesis, que

las etno- y las arqueogeometrías sean prevalentemente no euclideanas ni que lo hayan

sido desde tan temprano.

En cuanto a las artes geométricas que sobrevinieron en la pintura de Occidente no antes

del siglo XX, ellas carecieron, por otra parte, de la “conciencia de clase” que acompaña

al sentido de pertenencia multicultural. El movimiento de la abstracción geométrica de

Vassily Kandinsky, František Kupka, Kazimir Malevich, Piet Mondrian y unos cuantos

más, concretamente, no supo o no quiso inspirarse en (o aprender de) las prácticas geo-

métricas de otros pueblos y no conoció por ello su “período africano”, “oriental” o “pri-

mitivista” de fertilización cruzada, de intercambio, de reciprocidad, de crecimiento, co-

mo sí lo conocieron (aunque en pequeñas dosis) los estilos de las puertas de al lado (el

cubismo, cierto simbolismo, el expresionismo a secas). En la episteme en que habitamos

premodernos, modernos y posmodernos y en la tradición histórica que nos nutre la

geometría en general y esta geometría expresionista en particular han tendido a ser,

literalmente, in-significantes más allá de su posicionamiento puntual en una categoría

situada al margen de la corriente dominante.

14

Cierto es que Leonardo exploró premonitoriamente geometrías naturales, anticipándose

a la iconología de la fractalidad: nubes, ramificaciones, nervaduras, torrentes, vórtices,

fisuras, desgastes, borrascas, torbellinos (fig. 1.2, izq.); pero las geometrías de Leonardo

eran imágenes icónicas naturalistas que enmascaraban un juego de magnitudes signifi-

cativas o que ilustraban investigaciones de otros órdenes y no tanto una geometría espe-

cífica de la naturaleza o de la cultura que privilegiara la idea de una geometría en sen-

tido estricto. En el mundo moderno no hubo entonces un Leonardo que enseñara a nues-

tros artistas y científicos cuáles eran los códigos constructivos de los cuasicristales, de

las isometrías, de las catenarias parabólicas, de los murqanas o de las estructuras recí-

procas y aperiódicas que bastante más adelante se verán en qué consisten y que en el

Islām y en una constelación de culturas escondidas ya se practicaban con dominio vir-

tuoso, acentuando más la forma tangible y la posición relativa que la cantidad abstracta

y la significación, como si el asunto girara más alrededor de una topo-logía de relacio-

nes que de una hermenéutica cualitativa de signos o de una geo-metría de cantidades

(como la que trasunta el número de Leonardo, por nombrar un caso).

Aun cuando hasta principios del siglo pasado no existía ninguna exploración previa de

los espacios hipercomplejos, František Kupka [1871-1957], un extravagante pintor

checo y antisemita activo, admirador simultáneo de la teoría del caos, del espiritismo y

de la teosofía, produjo una serie de pinturas excepcionales que parecen explorar el espa-

cio tridimensional de los exponentes de [Aleksandr] Lyapunov [1850-1928] más de

ochenta años antes de que la representación de éstos fuese técnicamente posible y devi-

niera computacionalmente visualizable (cf. fig. 1.1 y 1.6). Mientras que en el género

fractal abundan conjeturas a las que considero infundadas y que no logran salirse del

territorio de una autosimilitud ni siquiera bien descripta (como las que urdieron o repli-

caron Marilyn Strathern, Donna Haraway, Ralph Abraham, Manuel DeLanda o Danièle

Dehouve), tanto científicos como artistas han sabido señalar similitudes entre obras de

František Kupka que incluso Mandelbrot ha reconocido fractales5 e inflexiones precisas

de fractales digitales de Lyapunov (y también un par de fractales de Newton), coinci-

dencias que no tienen todavía una explicación plausible pero que sería arduo entender

como obra de la mera casualidad o como un efecto que sólo existe en el ojo del observa-

dor (cf. Pickover 1995; 420; Hruby 2002: 322, fig. 23 y 24; Andel y Kosinski 2007;

Pavlopoulos 2011; Abraham 2013; 2015; Urban, Malečková y otros 2013; Gidden

2017; Varela Arzola S/f).

A pesar de estas suculentas excepciones y de los desafiantes paralelismos que han esta-

llado aquí y allá, el menoscabo explícito o implícito de las geometrías diferentes ha con-

5 Mandelbrot expresó ese punto de vista en reportaje con el curador suizo Hans Ulrich Obrist en el año

2008, admitiendo que estaba “profundamente interesado en las pinturas de František Kupka, el primer

pintor checo de vanguardia, debido a que ciertos períodos de su obra eran claramente ‘fractales’” (Obrist

2008). El exponente de Lyapunov, por su parte, se usa para caracterizar la diferencia de trayectorias un un

flujo caótico, un concepto que puede apreciarse en el modelado de la función logística (cf. Reynoso 2006:

cap. §4.1: esp. fig. 4.2 de ese texto). Estos y otros fractales aludidos en este capítulo demuestran cabal-

mente que –al lado de un número de otras culturas presumiblemente elevado– ciertos artistas explotaban

aspectos cruciales de la geometría de la fractalidad desde mucho antes que la inventaran o descubrieran

los matemáticos y los científicos euroamericanos.

15

tribuido además al desinterés de arqueólogos, etnógrafos e historiadores del arte hacia

los aspectos morfológicos y estructurales de patrones de asentamiento, artefactos, orna-

mentos, artes, códigos, sistemas y diseños geométricos en general. Los especialistas

aprecian cuando mucho los cambiantes valores estéticos pero ignoran (en todos los

sentidos de la palabra) los pormenores generativos, dinámicos y transformacionales que

hacen que las formas geométricas lleguen a ser como son sin historicismos, analogismos

ni spoiling teleológicos y las razones algorítmicas que motivan que (aunque las posibili-

dades combinatorias sean innumerables) las prácticas geométricas converjan en una

cifra muy pequeña de estrategias de representación.

Fuera de una literatura etnomatemática que casi nadie lee, de una arqueogeometría que

no ha coagulado como especialidad y de una antropología matemática que tuvo su cuar-

to de hora pero que muy pocos frecuentan, los descriptores de los objetos geométricos,

los códigos nomenclatorios y los modelos funcionales de los procedimientos construc-

tivos que se encuentran en la literatura de la arqueología o de la antropología cultural

dejan mucho que desear. Un número muy menguado de nuestros expertos conoce o ase-

gura conocer las claves que rigen el orden que seguramente hay en todos ellos pero que

desde el lugar en que estamos situados pocos miembros de nuestra tribu lo alcanzan a

desencriptar con alguna certidumbre. En tales circunstancias la comparación y el mode-

lado se encuentran al filo de lo imposible y es por eso que en el milenio en que han sur-

gido las herramientas analíticas o generativas más poderosas ellas han sido utilizadas

muy por debajo de su potencial. Consecuentemente, la etnogeometría ha devenido (por

motivos que habrá que interpelar) una afición de nicho para unos pocos especialistas

antes que un trabajo de referencia para todos.6 De la arqueogeometría (que ni siquiera se

nutre de una arqueología del arte amplia y consolidada) lo mejor es callar (cf. Albert

2016; Jones y Cochrane 2018: xi).

El añadido de una dimensión transcultural agrava el dilema. En el acto de lanzarme a

escribir un libro que gira en torno de la etnogeometría percibo que el nombre que yo

mismo escogí para designarla emana resonancias odiosas, idénticas a las que el musicó-

logo ghanés Kofi Agawu (2012 [2003]) señaló en su momento a propósito de la etno-

musicología cuando quiso enmarcar en ese espacio disciplinario un examen que él (un

científico africano) pretendía efectuar sobre los Lieder de Robert Schumann y Gustav

Mahler. El prefijo ‘etno-’, justamente, marcaba en este encuadre una asimetría irreducti-

ble, alimentando el supuesto de que se trataba de una mirada hacia lo que antes se

llamaba Tercer Mundo desde las coordenadas de alguien que habitaba la zona de con-

fort de lo que todavía se llamaba el Primero, involucrando además que la tarea que le

aguardaba había de ser fácil de resolver pues frente a la alteridad lo propio era siempre

6 Es por tal razón comprensible que algunos especialistas reputados en el estudio de prácticas geométricas

y matemáticas lleguen a desconocer la existencia misma de la subdisciplina. Eric Vandendriessche, por

ejemplo, máxima autoridad en figuras de cuerdas de la actualidad, acaba de publicar un artículo que lleva

el sorprendente nombre de “Des prémices d’une anthropologie des pratiques mathématiques à la constitu-

tion d’un nouveau champ disciplinaire: l’ethnomathématique”, como si la etnomatemática no hubiera sido

fundada al menos dos veces en el primer tercio del siglo pasado (Vandendriessche y Petit 2017). Se en-

contrará más sobre esto en el capítulo que sigue.

16

más sutil, rico, complejo y evolucionado que lo ajeno, como si tuviera en su haber el

beneficio de una historia más prolongada y de una experiencia más sustanciosa (Silver

1979; Flores Fratto 1978; 1985).

Todo lo etno- connota además una mirada desde lejos pero más que nada desde arriba,

como si se mirara desde lo más grande a lo más pequeño, desde el código más elabora-

do al más restringido. Esto hace que el observador caiga en la tentación de sentirse pre-

calificado para entender cualquier fenómeno “primitivo” que se cruce en su camino,

tanto más cuanto más precario, vacío de sentido, atestado de paradojas, carente de histo-

ria, inconmensurable, inconsecuente y bestialmente exótico luzca ese fenómeno y tanto

más cuando menos posibilidad hay que se cruce un nativo para desmentir una interpre-

tación que sentimos que no requiere ninguna clase de prueba en el sentido lógico, mate-

mático o (por supuesto) geométrico de la palabra. No es de extrañar que un etnolingüis-

ta ultraconservador, Dan Everett (2005), llegara a decir que los Pirahã de la Amazonia,

uno de los presuntos “pueblos sin geometría”, poseían (a causa de un lenguaje calificado

por debajo del nivel de indigencia) una cultura atravesada por todo género de déficits,

ausencias, constreñimientos, agujeros, gaps.

Figura 1.8 – Biomorfos de Pickover según Anna Jakubska-Busse y otros (2018: 49, fig. 4).

Restan investigar las operaciones de morphing y bio-morphing propias de los grupos de transformación de imágenes planteadas por Claude Lévi-Strauss (1968 [1954]) en referencia a modelos imaginados por

el biólogo y matemático D’Arcy Wentworth Thompson (1942).

Más ultrajante todavía que esta clase de animalizaciones y descerebramientos es el en-

tendimiento ilusorio, la idea bastarda de usar a los otros y a lo que ellos hacen como in-

dicadores para comprender mejor lo que nosotros maquinamos, tomando distancia y fin-

giendo que exploramos primero las formas más escuálidas y embrionarias de la cultura

para luego seguir ahondando el camino que (como ha sido costumbre en la antropología

desde los tiempos del primer y más feo evolucionismo) acompaña la evolución de lo

más elemental a lo más elaborado cuya traza pedagógica coincide con el camino que va

de lo más lejano y extraño a lo más próximo y familiar, aunque bien se sepa que una

multitud de sistemas no triviales en extremo complejos (sistemas de parentesco, tiempos

verbales, casos lingüísticos, sistemas fonológicos, modelos generativos, isometrías, te-

selaciones, estilos ornamentales, escuelas pictóricas, músicas escénicas y eclesiásticas,

17

polirritmias, polifonías) fueron fenomenalmente complicados hasta el límite en algún

momento y se fueron descomponiendo, esquematizando o simplificando con el paso del

tiempo.

Aquí, cuando la ciencia derrapa, es cuando hacen su aparición las formas elementales de

la pretextación evolutiva a las que no les preocupa mucho ni la evidencia ni los efectos

colaterales. Aun los mejores entre nosotros experimentamos estas siestas de Homero.

Incluso un autor tan poco sospechable de etnocentrismo como Paulus Gerdes insinuó

alguna vez que el estudio de las cesterías mozambiqueñas contemporáneas podía llevar

a que comprendiéramos un poco mejor cómo es que surgieron en la humanidad los con-

ceptos geométricos esenciales. En medio de una iteración aluvional de expresiones pare-

cidas, Gerdes acabó diciendo que “[e]thnographic data may be helpful in attempts to re-

construct some fragments of the emergence of geometrical concepts in weaving” y agre-

gando otras cláusulas criptoetnocéntricas por el estilo que no contribuyen a las ideas

rigurosas y mayormente igualitarias que desplegó en sus otros trabajos analíticos y que

tampoco favorecen la imagen de un modelo evolucionario mejor articulado como los

que sin duda existen (Gerdes 2003: 13 23-24; ver también Gay y Cole 1967: 63; Scriba

y Schreiber 2015: 6-9 versus Berlin y Kay 1969; Hutchins 1980). El propio Ward H.

Goodenough (1951), quien dos años más tarde habría de relevar la astronomía microne-

sia con una exactitud y una profusión de detalles que todavía deslumbran, dice de un

pueblo que desarrolló sistemas geográficos de posicionamiento astrales entre treinta y

cincuenta siglos antes que nosotros (operando sin escritura, a puro cerebro e imagina-

ción geométrica) que tal vez ese pueblo había logrado engendrar una especie de ciencia

incipiente e imprecisa con todas las limitaciones teóricas y prácticas que eso entraña.7

Es mi creencia (a reconfirmar en este ensayo) que a medida que avanza el siglo XXI

este estilo de pensamiento condescendiente está comenzando a apestar más allá de lo

humanamente tolerable. Cierto es que Paul Radin había publicado El hombre primitivo

como filósofo y el padre de la antropología transcultural George P. Murdock había es-

crito un libro titulado Nuestros contemporáneos primitivos; pero eso había sido en 1927

y en 1934 respectivamente, épocas en las que a la antropología y a la historia del arte no

le mortificaban extraviarse en enunciados que hoy serían considerados bastante más que

étnica, cognitiva y políticamente incorrectos. De allí mi absoluto rechazo a la idea lévi-

straussiana que en El pensamiento salvaje equipara (¡en 1962!) el pensamiento de socie-

dades perfectamente actuales con el de los pueblos primitivos, incapaces de “pensar” de

otro modo que echando mano de objetos sin forma (que denotan “seres” y “cosas”, dice

el autor) en un bricolaje que se materializa en estructuras que carecen de una geometría

elaborada, la que sí se manifiesta (aunque de manera esquemática) por poco que se

emprendan otros estudios que no se refieren de lleno al pensamiento. Más allá de la

doble coacción de los aciertos ocasionales y de las impropiedades terminológicas, hoy

7 No es accidental que Goodenough (alguna vez presidente de la Asociación [Americana] de Antropo-

logía Aplicada) haya considerado en plena era Kennedy que una utilidad potencial de la antropología es la

de servir a los poderes políticos y a los Estados Unidos en particular a combatir la insurgencia y la guerra

de guerrillas en contextos nativos situados en diferentes territorios del mundo (Goodenough 1963: 75).

18

me queda claro que la antropología lévistraussiana del arte no puede escapar de la in-

congruencia que atiborra otras visiones de menor calado: no hay en ella mención de

ninguna geometría en el estudio de la lógica de lo concreto ni hay recuerdo de esa lógica

en los ensayos sobre una geometría que se agota en una simetría axial ahogada en un

mar de detalles contextuales y minucias descritivas pero cuyo momento constructivo el

autor no ha sabido, querido o podido documentar sistemáticamente.

Entre unos y otros escritores, el ítalo-argentino Marcelo Bórmida [1925-1978] publicó

un artículo titulado “El estudio de los bárbaros desde la antigüedad hasta mediados del

siglo XIX” en el que el terminus ad quem no deja lugar a dudas de que el autor ha hecho

propia o siente próxima y aceptable esa conceptualización (Bórmida 1958-59). Se me

dirá que “primitivos”, “bárbaros” y “salvajes” son meras formas de decir; barrunto en

cambio que denotan formas de pensar que vienen de lo más hondo de una ideología di-

ferenciadora y que establecen una pauta que impacta no tanto en lo que se dice como en

lo que se hace. Habiéndose naturalizado y consentido semejante premisa de inferioriza-

ción del otro, es comprensible que en el momento en que se quiso articular una antropo-

logía o una arqueología del arte no se hiciera otra cosa que configurarla mal, toda vez

que la disciplina en su conjunto tiende a tolerar esos extremos a quienes presumen de

eruditos renacentistas, a quienes han sido los primeros, los únicos o los últimos en tratar

ciertos temas o quienes encarnan doctrinas a las que se les disculpa todo por ser ca-

racterísticas de tiempos en los que era muy poco lo que todos sabíamos.

Lo que intentaré hacer en este hipertexto siempre mutante es imponer una mirada in-

versa, desobediente a la que la antropología en general y la etnociencia en particular han

llegado a promover o se han resignado a tolerar. Lo que pretendo es, en efecto, modelar

las prácticas de estado de arte que se llevan a cabo desde tiempos sin memoria en encla-

ves culturales poco dados a la propaganda de sus propios logros: prácticas a las que

nunca supimos vincular con ningún cuerpo de conocimiento y a las que hemos llamado

“artes”, “artesanías”, “artificaciones”, “ergologías”, “marcaciones”, “simbolización”,

“semiosis”, “cultura material” u “ornamentación” a falta de toda comprensión verdade-

ramente metódica de su naturaleza científica, de sus rigores técnicos y de la instancia de

cognición situada que ellas encarnan; prácticas que desenvuelven procedimientos palpa-

blemente sistemáticos pero no necesariamente lexicalizados, alcanzando resultados mu-

chas veces desconcertantes por su complejidad, por su índole de fenómeno inexplicable

o por la intratabilidad o inverosimilitud de las explicaciones que se intentaron para do-

mesticarlas o (como diría geométricamente Hans-Georg Gadamer de la comprensión en

general) para añadirlas al espacio de nuestro horizonte hermenéutico (cf. Hutchins 1995;

Resnick y otr@s 1997; Hohol 2019; Malotki y Dissanayake 2018: 27, 35-36, 196-199;

Hohol y Miłkowski 2019 versus Gadamer 1999 [1975]: passim).

La segunda constatación contra la que nos estrellaremos atañe a la comprobación de que

(metodológicamente hablando) en el campo específico de la geometría los antropólogos

no estábamos haciendo las cosas bien, con la consecuencia de que nuestras teorías obs-

taculizaron nuestras prácticas e impedían la comprensión de las prácticas ajenas, o las

disolvían en la narratividad de un régimen descriptivo cuyo anecdotario diferenciador

19

(su pretextación bongo-bongoísta, dijo alguna vez Mary Douglas) se adivinaba inacaba-

ble. Fue así que cuando encontrábamos alguna solución genuina a algún problema tor-

tuoso rara vez resultaba ser obra de nuestros propios méritos.

Podríamos parafrasear esto diciendo que para llegar al resultado correcto en materia de

comprensión, explicación o construcción geométrica tuvimos que calcar o clonar a los

tumbos (y sin dialogar con nadie) el trabajo de actores a los que no acabábamos de en-

tender y a los que nunca se nos ocurrió consultar ni aun habiendo estado con ellos cara a

cara en el momento de convertir sus prácticas en datos. Incluso los más excepcionales y

perceptivos entre nuestros artistas (pienso en la relación entre Escher y el Islām, o entre

Picasso y los artistas africanos) incurrieron en estos despropósitos.8 Fuera de la antropo-

logía y del mercado del arte la situación era la misma. La historia del hallazgo tardío de

los cuasi-cristales o de los teselados no periódicos en Occidente, por ejemplo, ha pro-

bado sin embargo que la reflexión teórica y la formalización en las que siempre confiá-

bamos y a las que habíamos naturalizado como las formas normales y naturales de hacer

las cosas no oficiaron de heurísticas orientadoras a priori sino que se iniciaron parasita-

riamente, a posteriori de operaciones de prueba, error y (re)descubrimiento muchas ve-

ces fallidas y mucho más tentativas, casuales, derivativas e indiciarias que disciplinadas

y axiomáticas (cf. Steinhardt 2019; cf. cap. §5 más adelante).

Lo más mortificante, empero, es que la antropología del arte todavía no ha caído en la

cuenta de estos hallazgos o de los de otras etno- y arqueogeometrías raras (las de los fu-

llerenos, los adinkras, los nitüs, los cuasi-cristales, las algorítmicas del etak o de las téc-

nicas de tejido, los objetos fractales, las estructuras autotensionantes, los signos geomé-

tricos proto-gramatológicos) que cuando se reinventaron o redescubrieron en Occidente

revolucionaron campos enteros del conocimiento y que todavía se siguen regenerando,

penetrando ahora en las extremas vanguardias de la supersimetría y la hipercomplejidad

y transformando de raíz el corazón mismo de la cristalografía, reconocida de pronto

(con pico en el año epónimo del 2014) como la ciencia más innovadora e influyente del

nuevo milenio. Pero es el día de hoy que la palabra ‘geometría’, para mayor abunda-

miento, ni siquiera asoma en los principales surveys contemporáneos de la antropología

y la arqueología del arte (v. gr. Grimshaw y Ravetz 2017; Jones y Cochrane 2018; Kisin

y Myers 2019).

Si bien aquí hallaremos ocasión para liberarnos de estas y otras rémoras que nos lastran,

una lectura posible del libro que se está comenzando a leer podría estropear el efecto

que el autor tiene en mente. Si el lector se queda con el argumento de que las artes y las

ciencias de las culturas otras resultan ser inconmensurables con las nuestras, que no tie-

nen punto de comparación o que directamente son otra cosa se habrá perdido lo mejor

88

Lo que pretendo argumentar es que cuando a Escher le deslumbraron las isometrías de la Alhambra de

inmediato recurrió para su comprensión a geómetras occidentales (Pólya, Coxeter, Penrose) antes que al

diálogo con artistas musulmanes. Parecida situación se dio entre Pablo Picasso y el artista guyanés Au-

brey Williams [1926-1990], reunidos por Albert Camus en París en los años 50. Williams refiere a propó-

sito de ese encuentro que Picasso no manifestó interés en conversar con él como colega artista plástico

sino que pretendía esculpir su magnífica cabeza africana (Araeen 1987: 32; Gikandi 2014: 566-567). Más

adelante analizaremos en detalle este y otros casos relacionados.

20

de la moraleja. Debo al recientemente fallecido Michel Serres [1930-2019] (quien no

obstante nunca ha sido santo de mi devoción) un concepto que acuñó a principios de los

noventa: que la geometría, bien mirada, expresa un fundamento más universal que local.

Escribía Serres:

Dominant, the social sciences during this period of time taught us not only to love one

another but to recognize and respect the rights of cultures, genders, sexes, languages and

customs, others. We must be grateful to them for having opened up these varied multi-

plicities.

But by some perverse paradox, difference ends up imposing itself in turn as a universal

dogma that everywhere and always forbids speaking forever and everywhere. Is it only the

local that can be expressed globally? This law without justice forgets geometry (Serres

2017 [1995]: x).

Tras ese chispazo de luz Serres equivoca el diagnóstico y atribuye a las ciencias mal lla-

madas exactas, duras o formales la iniciativa de mantener pautas universales que (como

aquí veremos – y ésa es la clave de este libro) no surgieron milagrosamente en las islas

jónicas “un día casi fechable” (íbid.: xiii) sino que tienen un origen muy distinto y va-

riado en lugares dispersos en el espacio y en fechas que no importan mucho o que se

pierden en el tiempo, manifestándose en prácticas y oralidades que preceden por déca-

das, siglos o milenios a las teorías y a las historias escritas y que mantienen una vigen-

cia y un impulso que el modelo jónico ha perdido con el advenimiento de la geometría

no euclideana aunque algunas versiones de ésta (como veremos) habían sido también

jónicas –esto es, asiáticas– antes de naturalizarse griegas. Pero lo fundamental de la idea

de Serres (a la que he hecho mía con las alteraciones del caso) finca en otros acentos, es

la que expuse en la cita y es cristalinamente clara.

Fundadas en la práctica sostenible más que en la deducción a partir de primeros prin-

cipios, las geometrías complejas, no lineales, recursivas y no euclideanas que son rutina

en otras culturas y en las que aquí pongo el foco llegaron a Occidente extremadamente

tarde y siguen sin ser percibidas como tales, como experiencias más afines a las ideas de

Riemann, Lobachevsky o Mandelbrot que a la herencia helénica. Muchas de las geome-

trías plurales que trataremos en este libro han alcanzado estado de arte recién en la

década que corre. Salvo alguna que otra figura excepcional (Roger Penrose, por ejem-

plo, o mejor M. C. Escher, Kārlis Johanson o František Kupka) los tecnólogos y geóme-

tras de Occidente debimos implementar esas geometrías de altísima complejidad ope-

rando a máquina mediante métodos declarativos, algorítmicas no lineales o programa-

ción emergente porque nuestras manos no sabían cómo hacerlo paso a paso y nuestras

cabezas no daban en el clavo de una especificación procedimental o conexionista com-

putacionalmente tratable (cf. Reynoso 1991). El tiempo demostró que necesitábamos

organizar esas geometrías no sólo con objetivos puramente geométricos sino como heu-

rísticas y definiciones coordinativas para articular una representación de dominios que

resultaba casi imposible de operacionalizar a partir de un discurso lineal y sin un

habitus o una estructura estructurante de formas, imágenes, espacios y trayectorias. A la

hora del balance queda claro que las técnicas recursivas y emergentes de modelado, más

que los alardeados sistemas deductivos venidos desde Euclides, nos permiten realizar

21

hoy casi el mismo género de prácticas geométricas que el que es común en otros lugares

o era rutina en otras eras, anudando experimentalmente vínculos nunca antes vistos a

través de las ontologías, las disciplinas y las fronteras culturales, aunque –claro está, e

insisto en ello– con cien, quinientos, mil o muchos más años de demora (ver figs. 1.2;

1.6; 3.5; 3.6; 5.1, etc.).

Geometría e intuición, proponía Hilbert. El problema es que la intuición tal como acos-

tumbramos practicarla siempre vuela de manera lineal, en trayectorias isométricas y a

una altura demasiado baja. El estilo de intuición que prevalece entre nosotros, podría

decirse, casi siempre coincide limitantemente con el sentido común y con principios de

estricta proporcionalidad, factores que entre nosotros asumimos como normales y sufi-

cientes pero que las ciencias de la complejidad han demostrado restrictivos (Reynoso

2006). El problema es que, en ocasiones, la resultante de aplicar modificaciones casi

imperceptibles en las operaciones recursivas de funciones generadoras de imágenes

complejas que a nivel algorítmico parecerían ser la mar de simples excede lo que se

puede humanamente intuir: eleve al cubo en vez de al cuadrado la fórmula de la función

madre de todos los fractales (escriba por ejemplo z=z3+c en vez de z=z

2+c, como lo

hizo un día Clifford Pickover por error de tipeo) y obtendrá la forma de un biomorfo

unicelular parecido a un paramecio, una gástrula, un equinodermo, un radiolario o un a-

parato de Golgi en vez de un conjunto de Mandelbrot abstracto o del gráfico típico de

una función no lineal; modifique un poco los parámetros de su programa generador de

fractales en el plano complejo y obtendrá una imagen que se parece al cuadro de Kupka

‘Traits, plaines, profondeur III’ [1913-1923] y ya no a ‘Tale of pistils and stamens I’

[1919] del mismo autor; aplique una perspectiva tridimensional al conjunto fractal canó-

nico, navegue un poco en el espacio volumétrico y estará graficando la ornamentación

de un templo jaina o hindú, la cúpula de la mezquita Selimiye en Edirne, una instancia

salida de la arquitectura alienígena de H. R. Giger, la estructura de un centro comercial

afroposmoderno de Addis-Ababa, el Gran Museo de Giza o algún otro de entre los obje-

tos más abigarrados de las etnogeometrías, aproximables hoy mediante nuevas y dife-

rentes clases de programas generadores conocidos como biomorfos, flame fractals,

buddhabrots, mandelbulbs y mandelboxes (v. gr. Pickover 1987; Bourke 1991; Trivedi

2017; Jakubska-Busse & al 2018; figs. 1.8; 3.5 y 3.6 más abajo; véase p. ej. este

vínculo). Los fractales supieron alterar nuestra percepción del espacio y de las formas,

pero ellos son ahora mucho más que lo que fueron sesenta años atrás, cuando Mandel-

brot se esforzaba por conseguir un Nóbel que le fue esquivo sin imaginar que su ha-

llazgo (o su síntesis de hallazgos multiculturales y milenarios) llegaba más lejos, era

más complicado y tronaba más fuerte de lo que jamás se animó a pensar.

Todo esto sitúa la inducción geométrica en un plano inédito y distinto al que es propio

de otras formas de inducción. Resultó de pronto evidente que los otros, los otros gené-

ricos, diría yo, generalizando (indígenas, musulmanes, orientales, subalternos, ágrafos,

paganos, bohemios, nómades, artistas, arquitectos góticos, poetas matemáticos, hetero-

doxos, renacentistas, expresionistas, savants y ya veremos quiénes más), sabían operar

esas cosas desde mucho antes que concibiéramos solamente la posibilidad de su existen-

cia more geometrico. Resultó también que tales actores no estaban obstaculizados por

22

nociones equivocadas de “lo incongruente”, “lo inconsistente”, “lo falso” y “lo imposi-

ble” operadas por maestros científicos que sabían muy poco de aquellos principios que

pretendían enseñar cuando creían echar luz sobre fenómenos que percibían raros: fenó-

menos que no eran otra cosa que consecuencias de un conjunto de propiedades emer-

gentes de universales geométricos escondidos que aquellos que llamamos otros o mar-

ginales supieron en ocasiones promover como estéticas identitarias y (sobre todo) ins-

trumentar mejor sin necesidad de ponerles nombre, de prescribir su impracticabilidad

cuando se manifestaban difíciles o de sujetarlos a una normativa cuando se mostraban

insumisos (cf. Lu y Steinhardt 2007; Steinhardt 2019; Penrose 1974; Freudenthal 1980:

1982; Cahn, Gratias y Shechtman 1986).

Con estas premisas, restablecer (o mejor dicho instaurar) algún grado de simetría actan-

cial en el proyecto etno-geométrico se revela una empresa no sólo urgente sino una o-

portunidad esclarecedora si es que se confiere a la dimensión trans-étnica de la geome-

tría la entidad epistemológica, la reflexividad, el estatuto de paridad intelectual y el

esfuerzo comparativo que estimo corresponde. Mientras que cuando hablamos (ponga-

mos por caso) de etnociencia, etnomusicología e incluso etnomatemáticas mantenemos

implícita una distancia entre lo que nosotros y los otros entendemos respectivamente

por ciencia, por música, por arte o por cuantificación y podemos mantener incólume

nuestra autoestima y blandir el monumento de nuestra trayectoria, cuando se trata de

geometría nuestro autobombo empieza a sonar a hueco y nuestra presunta superioridad

se torna de pronto más difícil de sostener.

No hay dudas de que la geometría como ciencia sistemática, pautada, axiomatizada y

disciplinar es un producto occidental, aunque con más intervenciones, inspiraciones e

interferencias provenientes de otras culturas de lo que por lo común se admite. Entién-

dase bien: aunque a veces me sienta empujado a empañar su prestigio (como lo han

hecho otros con razón o sin ella) no pretendo minimizar lo que aportaron los griegos de

la época clásica, Platón incluido (v. gr. Dani y Athanase 2019). En materia de lógica y

de geometría teorética y aunque hoy se sospeche que él nunca fue griego, Euclides [ca.

325-265 aC] sigue siendo uno de mis héroes culturales y podría pasar años celebrando

sus Elementos; quizá me dedique a muy poco más que a eso cuando sea grande. Los es-

tructuralistas, los posmodernos, los autopoiéticos y los estudios culturales se pasan de

moda; él sigue dando que hablar, aunque la mayor parte de la gente que conozco que

habla y escribe sobre geometrías euclideanas y no-euclideanas decididamente no lo ha

leído ni siquiera fragmentariamente. Pocos se han enterado, por ejemplo, que en los Ele-

mentos Euclides no cuenta con cifras sino que compara medidas definidas relacional-

mente, una ocurrencia que creíamos inventada por los estructuralistas de París. Esta

perspectiva al mismo tiempo confirma y parece contradecir la concepción de Vincenzo

De Risi, quien afirma convincentemente que la noción de la geometría como la ciencia

del espacio no se puede encontrar ni siquiera en potencia en los escritos euclidianos

(centrados más bien en las figuras) y que los conceptos o términos espaciales no apare-

23

cen en absoluto antes de los últimos años del siglo XVI (De Risi 2015: 1).9 Son menos

aun los que saben que el maestro escribió otros libros antes y después de los Elementos

y que uno de ellos, Phaenomena, es un tratado que se basa en una geometría esférica

que hoy llamaríamos no-euclideana, un modelo que comenzó su andar mucho antes de

la época de Euclides (cf. Tóth 1969; 2000; Berggren y Thomas 2006; Thomas 2004;

Moiraghi 2013; Saccheri 2014 [1733] versus Unguru 2013).

Pero en materia de geometría como práctica (en el sentido de Hans Freudenthal) las

artes y las artesanías de la heterodoxia o de la alteridad (cualquiera sea la denominación

que les corresponda) reinan como los más rigurosos códigos elaborados que conocemos,

muy por encima de lo que Occidente ha sido capaz de accionar jamás, Euclides in-

cluido, tal como lo han dejado sentado Roger Penrose aquí en el segundo epígrafe de

nuestro cuarto capítulo o Claude Lévi-Strauss en el párrafo de apertura de esta otra sec-

ción del libro que se está leyendo. Lévi-Strauss, dije; y aunque eso no sucede con fre-

cuencia por esta única vez estoy incondicionalmente de acuerdo con él en esta idea

decisiva: si hay primitivos en lo que toca a estas cuestiones, esta vez puede que los pri-

mitivos seamos nosotros.

Hasta tal punto es así que hay comarcas de la alta cultura local y de los altos mercados

globales en los que a las formas artísticas venidas de África se las endiosa y no tenemos

empacho en admitirnos inferiores. Estatuillas y máscaras labradas en madera dura son

imitadas por Picasso y reformuladas por los diseñadores de la Bauhaus; las mejores de

estas piezas colman los principales museos, puntúan los más brillantes scripts y convo-

can multitudes crecientes (cf. Bennett 2012; Ahmed 2014; Cohen 2017; fig. 1.3 más

arriba). La imagen pública de los cuadros de Picaso inspirados en máscaras Fang le pisa

los talones a la de Guernica. “África siempre ha sido moderna”, ha dicho en tren de

encomio el artista Yoruba nigeriano Rufus Ogundele [1946-1996], en cuya obra lo

figurativo y lo geométrico, lo tradicional y lo vanguardista se interimplican creativa-

mente. De todas formas, no son las geometrías de África las que han logrado integrarse

al arte occidental sino más bien otras manifestaciones que han impactado más fuerte en

nuestra percepción, las máscaras y las esculturas antropomórficas y teriomorfas africa-

nas en primer lugar: estilizadas, es cierto, escuetas, macilentas, esquemáticas a veces,

cubistas en el límite, híbridas de iconismo y de leve abstracción pero no puramente geo-

9 Vincenzo De Risi expresa la transición moderna de la geometría desde una ciencia de las figuras hacia

una ciencia del espacio (considerada su transformación más radical) con la siguientes palabras: “In fact,

even though the divide between ancient and modern geometry may be arbitrarily demarcated into several

historically distinct episodes (such as the birth of algebraic geometry or the discovery of the infinitesimal

calculus), the transformation of geometry into a science of space is probably the most important change

the discipline underwent during the course of its development. In accepting space as its object of

investigation, geometry began to study relational structures instead of single figures or magnitudes (like

triangles or conic sections). In this sense, the entire structuralist approach of modern mathematics is

grounded in this important shift of perspective of eighteenth-century geometry, which (to use Cassirer’s

words) turned a classical geometry of substances (i.e. figures) into a geometry of functions (structures)”

(De Risi 2015: 2). Coincido en lo esencial con este punto de vista, salvo por el hecho de que Euclides ha

sido órdenes de magnitud más relacional y no-euclidiano de lo que De Risi estaría dispuesto a conceder.

Tampoco creo que la ideación relacional del espacio sea coextensiva con (o contemporánea de) el pensa-

miento moderno, puesto que aparece en los Elementos mismos.

24

métricas (cf. Laude 1966; Delafosse 2012; Salami y Blackmun Visonà 2013; Shakarov

y Senatorova 2015 versus LaGamma y Giuntini 2008).

Si los científicos la pifiaron tanto, de los teóricos de las humanidades mejor no les

cuento. Los antropólogos del arte de la línea posmoderna llegaron a culpar a los artistas

y a los curadores que lo presentaron en sociedad por los desaguisados conceptuales e

ideológicos del primitivismo (v. gr. Clifford 1995 [1986]; Myers 2006; Kisin y Myers

2019). Cierto es que los historiadores del arte, los semiólogos, los marchands artísticos

y los públicos de Occidente se han comportado de maneras sinuosas y han obedecido a

agendas ocultas, como cuando se lanzaron a entronizar un arte escultórico africano que

en sus contextos de origen nunca poseyó saliencia cultural de orden estético ni experi-

mentó los refinamientos cuasi-formales de auténtico código semiótico propios de una

geometría ornamental y de una industria textil a las que nunca prestamos atención, a las

que degradamos como epifenómenos utilitarios y cuyas virtudes en los registros de lo

conceptual, lo imaginario y lo simbólico recién estamos comenzando a (re)descubrir aún

si sólo las alcanzamos a comprender lagunarmente (Clifford 1996 [1988]: caps. 9 & 10;

Graburn 1976; Cohen 2017; cf. fig. 1.3 más arriba). Pero no sólo en África hay geome-

trías que nos empequeñecen. Esta circunstancia hace que recién ahora, cuando se ha

acabado de reunir la información básica necesaria y se han afilado los instrumentos sin-

téticos, analíticos y modelizadores, estemos en condiciones de afrontar algunos de entre

los desafíos que tales geometrías de dimensionalidad diversa y geometrías heterodoxas

nos presentan.

Ahora bien, no todo lo que se llamado geometría con visos de mutar en etno-geometría

puede ser incluido en este trabajo. La primera exclusión a la que nos vemos obligados

afecta a los dominios del saber proclives al oscurantismo, al neo-shamanismo, al diseño

inteligente y a las imaginerías psicodélicas y entópticas, sean ellos antiguos y de baja

estofa (como la tensegridad de Castaneda o el modelo neuropsicológico del trance de la

era psicodélica) o recientísimos y de alta alcurnia (como la ciencia de la bio-geometría,

la geometría sagrada o la arqueogeometría constituida), por más que algunas geometrías

perfectamente respetables compartan su nombre con una de ellas y que las enigmáticas

signaturas bio-geométricas sean morfológicamente indistinguibles de los adinkras, a los

que sí se abordará con justa razón.10

Por algo ha sido que la corriente principal de la et-

nogeometría ha dejado a la iconografía alucinatoria, a la astronomía esperpéntica, al

diseño geométrico intencional de la cultura y la naturaleza y demás tópicos del extravío

horoscopero, mediático, yuppie y pequeñoburgués fuera del más mínimo conato de ins-

pección; por algo es también que aquí optaré por dejar la mastodóntica bibliografía

10

El implacable libro de Patricia A. Helverston y Paul G. Bahn Desperately Seeking Trance Plants: Tes-

ting the "Three Stages of Trance" Model (2002), reimpreso como Waking the trance fixed (2005) y plas-

mado sin recurrir a un solo dibujo, agota las críticas necesarias y suficientes al “modelo de las tres etapas”

de la antropología psicodélica de los años sesenta que pretendía desentrañar los estados alterados de con-

ciencia usando sus geometrías ópticas como signaturas indiciales. Desdichadamente tendremos que com-

plicarnos en esta temática cuando desentrañemos el misterio de los “sólidos platónicos” escoceses del me-

galítico y también cuando abordemos el posible fraude de las geometrías sonoras de los shamanes Shi-

pibo, comedias de enredos generosamente condimentadas con dosis parejas de cristalografía imaginaria y

de perspectivismo amazónico (cf. más abajo pág. 98 y ss.; fig. 5.b; pág. 112 y ss.; Reynoso 2019b).

25

creacionista y su geometría numerológica (salvo por un par de links vergonzantes en

este mismo párrafo) huérfanas de toda referencia.11

La segunda serie de elaboraciones en la que no desearía complicarme por el momento

(aunque no excluyo hacerlo en otra oportunidad) es esa inexplorada y sin duda valiosa

geometría del espacio y de las proporciones que asoma en estudios tales como Lines o

en Redrawing Anthropology del antropólogo Tim Ingold (2007; 2011) o en The barbed

wire del historiador de las matemática Reviel Netz (2007), e incluso en etnografías del

tejido como las de Gerardo Reichel-Dolmatoff (1978) o Juan Camilo Niño Vargas

(2014), o en estudios sobre nudos, tejidos y telares como los de Mark Siegeltuch (2010;

S/f) o Brigitta Hauser-Schäublin (1996) y en viejos libros que anticipan la fractalidad

como el clásico The Curves of Life de Theodore Andrea Cook (1914) que precede a La

Geometría fractal de la Naturaleza (Mandelbrot 1982 [1977]) por sesenta y tres años, o

Spirals in Nature and Art (Cook 1903), noventa y seis años anterior a African fractals

(Eglash 1999). Se trata de textos que exploran las formas en que cosas, fenómenos y

procesos que no son en sí geometrías acabadas emergen a partir de elementos anicóni-

cos y dinámicas geométricas básicas, componenciales, constitutivas, tales como líneas,

curvas y sobre todo espirales de la naturaleza y la cultura. Entre los primeros dos textos

citados en el párrafo, en particular, se pueden encontrar paralelismos estremecedores en

la disposición de los razonamientos, como por ejemplo los que siguen. Dice, en efecto,

Tim Ingold:

Los hilos pueden transformarse en trazos, así como los trazos en hilos. Es a través de la

transformación de hilos en trazos, arguyo, que las superficies adquieren existencia (Ingold

2007: 52).

Netz, por su parte, escribe:

Defina usted, sobre la superficie bidimensional de la tierra, líneas a través de las cuales el

movimiento debe impedirse, y tendrá uno de los temas claves de la historia. Con una línea

cerrada (esto es, con una cuva encerrando una figura) e impidiendo el movimiento desde el

exterior de esa línea hacia su interior, usted deriva la idea de propiedad. Con la misma lí-

nea, e impidiendo el movimiento desde el interior hacia el exterior, usted deriva la idea de

prisión. Con una línea abierta (esto es, con una curva que no encierra una figura) e impi-

diendo el movimiento en cualquier dirección, usted deriva la idea de frontera. Propiedades,

prisiones, fronteras: es impidiendo el movimiento que el espacio entra en la historia (Netz

2007: xi).

No tengo excusas para excluir de este libro este campo de trabajo auténticamente gene-

rativo y exploratorio y de tan patente nivel de inspiración. El problema con él es que

llevaría el tratamiento de las etno- y las arqueogeometrías a un terreno al que por ahora

no siento que pueda mantener bajo control.

11

Los tópicos de la numerología son incontables: el número áureo como la firma de Dios en la naturaleza,

la proporción armónica como pauta-que-conecta universal, el orificio que atraviesa la pirámide como arti-

ficio para visualizar planetas en posiciones invariables a través de los siglos, las geometrías neolíticas es-

cocesas como precursoras de los sólidos platónicos a escala de milenios y así hasta el éxtasis. Si espe-

raban que este libro se consagrara de lleno a ese género de especulaciones les recomendaría que abando-

nen la lectura en este punto. Será inevitable que me refiera a alguno de esos tópicos aquí y allá; pero no lo

haré amablemente.

26

La tercera y más importante de esta serie de supresiones incluye desarrollos tales como

la persona fractal del recientemente fallecido Roy Wagner [1938-2018], incluyendo sus

fuentes de inspiración y sus secuelas en un mundillo intelectual atrapado al límite de la

obsesión entre el pretenderse original, el posar de transgresor y el soñarse influyente, lo

que sólo ha resultado posible a fuerza de un conjunto colosal de malentendidos interdis-

ciplinarios. En estudios recientes tuve oportunidad de cuestionar estas formas hiper-me-

tafóricas del razonamiento “fractal” que muchos tildan de pos-estructuralistas o decons-

truccionistas a pesar de que ni Ralph Abraham, ni Marilyn Strathern ni Wagner mismo

han leído puntillosamente o siquiera citado a Gilles Deleuze, a Giorgio Aganbem o a

Jacques Derrida (cf. Wagner 1991; Abraham 1993; Strathern 1992; Haraway 1985

versus Reynoso 2019b: 157-197).

Una demarcación mínima implica dejar también fuera de consideración otras tres for-

mulaciones esenciales que en la última década han ganado predicamento. La primera es

la geometría del poder desarrollada por Doreen Massey en For space (2005) que se tor-

na en etno- en manos de un número todavía pequeño pero creciente de especialistas en

antropología. La segunda exclusión atañe al tratamiento homónimo de una parte impor-

tante del pensamiento de Baruch Spinoza por Valtteri Viljanen (2011), quien nunca se

refiere ni a Massey ni a Gilles Deleuze, el primer filósofo (por su spinozismo ocasional)

en quien podría sospecharse como alguien capaz de avalar un enfoque llamado con ese

nombre. La tercera es la geometría social de Donald Black (2010 [1976]), último avatar

de un envejecido positivismo que acuñó una denominación potente pero no llegó muy

lejos. De todas estas geometrías del poder tratamos en un trabajo que se estuvo desa-

rrollando en paralelo, que acabamos de escribir y que a pesar de la coincidencia de

nombres no viene aquí excesivamente a cuento ni ha tenido que ver tampoco con alguna

geometría étnica en sentido estricto (Reynoso 2019a).

Malgrado los aspectos simbólicos, semánticos y metafóricos que podría involucrar cada

objeto y cada tradición que abordemos, la geometría de la que aquí se ha de tratar es la

geometría plena, pura y multicultural que conocemos incompletamente desde siempre,

pero de la que de ahora en más no tendrá sentido especular sobre sus “orígenes” oscu-

ros, sus “períodos formativos”, sus “formas elementales”, su “edad de piedra” o su te-

leología y a la que (y he aquí mi hipótesis central), la cultura de la que somos huéspedes

se ha atrevido a pensarla en fragmentos casi perfectos hace ya mucho tiempo o en

algunos pocos momentos de esplendor bastante más tarde, pero a la que unos cuantos

entre los otros pueblos y un buen número de entre los más inspirados artistas de todas

partes demuestran cada día que han sabido practicarla desde bastante antes, más honda-

mente, en más espaciosa libertad y con mayor plenitud.

27

2 - Orígenes, actualidad, promesas y dilemas de las etnogeometrías

Las matemáticas no fueron inventadas nunca ni en

parte alguna. […] Las ideas matemáticas no están

en absoluto restringidas al hombre. […] Cuando la

araña produce su tela, utiliza sus patas particular-

mente construidas como compás; las abejas resuel-

ven un difícil problema de maximización cuando

construyen sus celdas hexagonales.

Max Simon (1973 [1909]: xiii)

Oigo y olvido. Veo y recuerdo. Toco y comprendo.

Confucio [孔子] (555-479 aC)

Si bien el carácter óptimo de las geometrías enigmáticas de las telas de araña y de los

panales de celdas hexagonales de las abejas se formularon primero como conjeturas por

Marco Terencio Varrón [36 aC] y por Papo de Alejandría [290-350 aD] fue mucho más

tarde, en el siglo y en el milenio en que nos encontramos ahora, que las conjeturas fue-

ron promovidas a teoremas por Thomas Hales (2001) de la Universidad de Michigan.

Hales quedó eternizado en el registro histórico con la gloria de haber sido el demos-

trador de la conjetura geométrica bi-milenaria del panal de miel de las abejas como

estructura óptima de empaquetado u ocupación de un espacio tridimensional. Pero aun-

que sea geométrica y etológicamente excitante, la línea de argumentos que busca conec-

tar (o al menos aproximar) lo más sofisticado de las capacidades animales con lo más

primitivo de las actividades humanas se me hace difícil de ponderar o hasta de digerir,

en gran medida porque en muchas de sus lecturas destila ideas del evolucionismo más

trillado, el mismo que fue enfermedad infantil de la antropología un siglo y medio atrás,

que siguió campando a sus anchas hasta hace poco y que todavía sigue activo y

dominante aquí y allá, empañando aquellos campos en los que el evolucionismo es la

mejor algorítmica de las que se dispone.

Por empezar no hay ninguna correlatividad y ninguna congruencia entre las capacidades

intelectuales y la distancia evolutiva de los actores y de sus culturas, o como sea que se

las llame: ¿Geometría hecha por arañas y por abejas sin que haya nada más (esto es, la

obra de alguna otra especie) entre los logros de esos animalejos y los nuestros propios?

¿Es posible que la evolución marche en ese orden, dando brincos, salteando etapas, re-

trocediendo, recapitulando, estancándose? ¿No hay acaso especies que sean más com-

plejas que otras en sus capacidades y que hagan geometrías mejores que las de arác-

nidos e insectos que permanecen inmutables desde el Triásico? Hechos así nos hacen

quedar peor a los científicos de corazón evolucionario crítico que la superioridad del

canto de los pájaros sobre la música chimpancé o que la anomalía de los loros argen-

tinos que desde los años ‘50 hasta hoy, sin respeto alguno por la congruencia evolutiva,

entonaban la marcha peronista como si poseyeran música y lenguaje ¿Loros? ¿Qué les

pasó entretanto a los macacos, a los perros y a los delfines, a los que pensábamos más

28

evolucionados? ¿No alientan estas irregularidades que aparezca algún oscurantista y

proponga cualquier extravagancia? ¿No se corre el riesgo de usar abejas y arañas y sus

artes magistrales para devaluar la magnitud intelectual de la buena geometría o (peor

aún) para pretender que los demás pensemos (a la manera de Christopher Hallpike

[1979: 281-282, 324, 339; 2011] y de otros piagetianos que confundían alegremente

‘palabra’ y ‘concepto’) que la geometría empírica no es la gran cosa, que es sólo “pura-

mente perceptual” y “pre-conceptual”, y que en la naturaleza hay bichos innobles y ob-

jetivamente inferiores que la ejecutan tan bien o más inteligentemente que nosotros?

¿Qué sentido tiene invocar a la naturaleza a como dé lugar y sin medir consecuencias,

implicando además que los pueblos más simples son los que permanecen más cercanos

a ella? ¿Qué vigencia tiene el día de hoy la idea de una geometría natural que además

coincidiría con la geometría de Euclides, que más de uno ha pretendido innata, universal

y cableada en el cerebro? ¿Qué verosimilitud conserva hoy la afirmación originada en

alguna ciencia cognitiva que establece que “por 2500 años, el sistema de geometría que

ha aparecido el más natural a los humanos adultos es la geometría euclideana del pla-

no”? (Spelke y otros 2010: 864 versus Dehaene y otr@s 2006). ¿Importa algo que exista

registro de 6.000 sociedades humanas y adultas en las que tal cosa nunca sucedió?

Figura 2.1 – Pintura corporal Selk’nam para la ceremonia kewanix.

Fotografía de Martin Gusinde, 1923, copia en ARC-FOT-AIA. Según Dánae Fiore (2016: 34). Obsérvese el juego transformacional-combinatorio de particiones horizontales y verticales de motivos.

Compárese con las figuras 10.4 y 10.5.

Por aquí no hay, en fin, nada que no haga ruido. Al igual que pasa con el lenguaje o con

la música a través de las especies, el hecho es que las geometrías “naturales” (zoogeo-

metrías, dirán los biosemiólogos) no se asemejan tampoco a las geometrías humanas ca-

lificadas de “primitivas”, si es que ha existido alguna vez semejante cosa. Este es el mo-

mento entonces de introducir una tercera constatación axiomática, la cual establece de

manera taxativa que (fuera de unos cuantos casos cuyo carácter humano e intencional es

incierto) no hay constancia de que existan geometrías res gestae verdaderamente ele-

29

mentales fuera de los lindes de Occidente, una evidencia incontestable de la cual habrá

que hacerse cargo. Pueblos precerámicos con tecnologías exiguas sin metales, cerámica

o textiles, como los Selk’nam y los Yamana de Tierra del Fuego, desplegaban geome-

trías exquisitas en los grupos de transformación de sus pinturas corporales, en sus recién

descubiertas artes rupestres, en sus máscaras minimalistas y en las curvaturas hiperbó-

licas y parabólicas de su cestería de hierbas tejidas con una diversidad infinita de delica-

dos punzones y agujas de hueso (Gusinde 1920a; 1920b; 1922; 1924; 1951; 1982

[1931]; 1986 [1937]; Orquera y Piana 1999; Fiore 2001: 2005; 2009; 2014b; 2016; cf.

colección de punzones del CSIC y otras colecciones).12

Las propiedades físicas de las

cestas serían de la misma índole y magnitud que las que se están alcanzando hoy en día

empleando técnicas de nanotecnología dudosamente equiparables en términos de resis-

tencia, impermeabilidad, ergonomía, huella de carbono, biodegradabilidad, baja toxi-

cidad, disponibilidad local y –por supuesto– diversidad morfológica y calidad de diseño.

Volveré sobre esas y otras geometrías a las que considero nunca tratadas científicamente

de manera satisfactoria en el examen de las tareas pendientes de la etnogeometría latino-

americana (pág. 204 y ss.; ver figs. 2.1, 2.2, 10.4 y 10.5).

Figura 2.2 – Izq.: Cestos históricos Kawésqar [Alakalufe, Halakwulup] o tal vez Yámana.

Museo Marino Borgatello, Colección Carlos Ocampo E. – Museo Chileno de Arte Precolombino, Colección Hombres del Sur, p. 85.

Der.: Cesto del Cabo Froward [¿Kawésqar?], Museum für Völkerkunde, Berlín, Bert1_8. Digital CSIC – Serie “Fotografías de cestos fueguinos en Museos Europeos”.

A contramano de evidencias como las que he referido, los relativistas del cuestionado

Instituto Lingüístico de Verano siguen sosteniendo (en alianza táctica con los perspecti-

vistas y los militantes del giro ontológico) que todavía existen “pueblos sin arte” y con

múltiples vacíos culturales y que uno de esos pueblos es, como anticipé, el de los Pirahã

del río Maici en la cuenca amazónica. Los lingüistas de referencia no se detuvieron a

12

Aunque esta clase de declaraciones es muy rara en su escritura Boas llegó a afirmar en un párrafo algo

confuso y cualificado que “[en algunas tribus] existen intentos de decoración en los que no se ha alcan-

zado dominio de la técnica. [...] Entre los habitantes de Tierra del Fuego sólo se encuentran magros ejem-

plos de pinturas [¿corporales?], carentes de habilidad” (1922: 22).

30

pensar que estaban hablando de grupos humanos que habían sido víctimas de violencia

étnica y de intervenciones coloniales durante cinco siglos y que los relativistas mismos,

en su militancia evangelizadora, habían jugado un papel protagónico en ese despojo (cf.

Everett 2005). Tampoco repararon en que antes que los religiosos jesuitas y evangélicos

los adoctrinaran y quemaran sus fetiches esos y otros pueblos reputados primitivos po-

seían (en sus peinados y tatuajes, en su pintura facial y corporal efímera, en sus objetos

de cuero o de madera, en sus trabajos con punzón y finos juncos de Marippospermum a

mitad de camino entre el tejido y la cestería, en los collares de caracoles o plumas ex-

quisitamente modulados y simetrizados, en sus juegos de cuerdas, en sus tiendas y repa-

ros minimalistas pero resilientes, en sus diseños volátiles en arena) algunos principios

constructivos, alguna articulación de códigos, alguna clase de arte, expresión y orna-

mentación geométrica acaso tan fuera de lo común como la del pueblo Shipibo, la de los

adinkra ashanti o la de los tokapu incaicos pero de las que no hemos llegado a conocer

sus particularidades (cf. fig. 2.3). Las mejores y más viejas etnografías y los primeros

ensayos sobre el primitivismo ni siquiera describen sus formas como sería menester

pero no dejan lugar a dudas sobre la existencia de estas manifestaciones (v. gr. Lothrop

1931; 2001 [1929]; Goldwater 1938; Nimuendajú 1948: 267-268).

Figura 2.3 – Izq.: Quillango de cuero de guanaco chulengo de los Aonikenk [Tehuelche del Sur]

con decoración simétrica basada en frisos horizontales y verticales de objetos doblemente espejados [pmm2]. Colección Museo Mayorino Bogatello. Museo Chileno de Arte Precolombino,

Colección Hombres del Sur, p. 85 – Der.: Quillango sin identificar, encontrado en la Web. Comparar con racoti Shipibo, fig. 5.3.

La seriación, la cronología, la ontogenia y la filogenia, en fin, están alborotadas; las sis-

tematizaciones convencionales de sentido común no han hecho más que inyectar inco-

31

herencias supernumerarias. Por empezar y como habrá de verse, son las geometrías hu-

manas más enrevesadas, epigonales y postreras (los muqarnas y los mocárabes, tal vez)

las que más próximas se encuentran a las geometrías naturales de los panales de abejas.

La arcaicidad no ha sido ni es proporcional al tiempo transcurrido desde la gestación

histórica, etnohistórica o prehistórica de los estilos. Por el contrario, quien se asome a

papers tales como “Do you like paleolithic op-art?” de Slavik Jablan y Ljiljana Radović

(2011) podrá experimentar una pizca de las complejidades geométricas de la más genui-

na Edad de Piedra. La geometría compleja, positivamente, se inicia bastante más tem-

prano y con mayor intensidad de lo que se creía. Las marcas geométricas de los huevos

de avestruz en Diepkloof (Sudáfrica), por ejemplo, se remontan a una época entre

52.000 y 75.000 años antes de presente y son de reconocida diversidad y congruencia;

similares hallazgos se han reportado en otros sitios de la región (Blombos, Klein Klip-

huis, Loiyangalani, Muden, Wonderwerk, Palmenhorst-Rössing) con fechas que se re-

montan hasta entre 60 ka y 108 ka, como se dice ahora (Rigaud y otr@s 2006; Texier y

otr@s 2010; 2013; Anderson 2016; Henshilwood y otr@s 2002; 2007). El sitio de

Blombos, en particular, no deja de proporcionar sorpresas; por algo ha sido llamada “la

pistola humeante” de la temprana complejidad cognitiva (Wong 2005: 93).

Figura 2.4 – Tipología de signos geométricos de Genevieve von Petzinger (2009: 149, App. A).

Véase carta actualizada en el portal de la Fundación Bradshaw. Varios nomencladores son similares a los que se han utilizado en la arqueología latinoamericana.

No todos los signos ocurren juntos en todos los contextos. Compárese con fig. 2.5 y 10.6.

De un par de años a esta parte ha salido a la luz una serie de comprobaciones que obliga

a re-escribir la totalidad de la (pre)historia del arte paleo- y mesolítico: estudiosos de las

más variadas confesiones teóricas han encontrado que al revés de lo que se supuso du-

rante un cuarto de milenio, el arte no-representativo es cronológicamente anterior, más

universal y cognitivamente más complejo y polimorfo que el arte parietal figurativo.

Los conceptos claves en el siglo que corre son por un lado los aniconismos (un término

acuñado hace más de cien años por Johannes Adolph Oberbeck [1826-1895]) y por el

otro los signos geométricos. Los investigadores que están articulando este campo bajo

éstas u otras nomenclaturas son Robert G. Bednarik (2014a; 2014b; 2017), Milette Gaif-

man (2017), Michel Shenkar (2017), Jørgen Sørensen (2017), la TEDGlobal Fellow

32

Genevieve von Petzinger (2011; 2017), Christopher Henshilwood (2007) y Azideh

Moqqadam (S/f), entre otros, autores recientes si los hay, algunos de ellos erizadamente

polémicos, viralizándose y atravesando el umbral de la celebridad precisamente en los

días que corren.

Mención especial merecen las desencajadas especulaciones de la paleoantropóloga ca-

nadiense Genevieve von Petzinger, quien ha orientado sus exitosas conferencias, su di-

sertación de maestría (2009) y su ruidoso éxito editorial The first signs. Unlocking the

mysteries of the world's oldest symbols (2016) con el objetivo de posicionar los “signos”

geométricos del arte paleolítico europeo como elementos fundamentales en la transición

entre las manifestaciones más primitivas del arte rupestre y los orígenes de la escritura.

Si bien ella ha articulado su best-seller pensando en el público en general antes que en

sus colegas especialistas su modelo estadístico-inductivo que conduce al establecimien-

to de una tabla tipológica de signos geométricos (ver fig. 2.4) tiene el valor de un desa-

fio que bien podría ser un epifenómeno de la manipulación muestral o del agrupamiento

de datos de diferentes contextos pero que no ha sido contestado responsablemente por la

comunidad arqueogeométrica.13

Hoy por hoy parece más serio poner las fichas en las

proliferantes geometrías del sur de África que seguir insistiendo en la prioridad de Eu-

ropa. Incluso von Petzinger lo piensa de este modo (Henshilwood 2007; Henshilwood y

otr@s 2002; 2016: cap. iv; 2018; Joyce 2018).

En cuanto a que los signos referidos por von Petzinger lo sean verdaderamente todavía

es mucho lo que falta hacer. Por empezar, los motivos anicónicos y los signos son, las

más de las veces, geométricos. Los elementos que componen una geometría pueden ins-

cribirse en cualquier punto que va desde lo abstracto a lo estilizado, a lo figurativo, a lo

imaginario y a lo hiper-real. La distribución de los distintos tipos que postula von Pet-

zinger es prácticamente ecuménica, aunque todavía resta emprender una cuidadosa de-

puración de los datos, ajustar las cronologías en conflicto y practicar un análisis grama-

tológico/geométrico que en base a criterios de similitud, variabilidad, distintividad, con-

traste y redundancia establezca la viabilidad de los repertorios certificados de signos

como algo que está en camino de ser por su mera configuración geométrica un sistema

prototípico de comunicación probablemente logográfico o pictogramático (aunque no

haya llegado a ser ninguno de ellos). La idea es que el o los eventuales sistemas de sig-

nos puedan soportar una comparación de su ajuste estadístico con el de alguno de los

sistemas gramatológicos, semasiográficos, picto- o logogramáticos conocidos y que se

pueda asimismo establecer su mayor o menor similitud geométrica con algún otro can-

13

Algunas de las decisiones editoriales y metodológicas de von Petzinger lucen desafortunadas, tales co-

mo la tipificación de sus búsquedas como quests aventureros en procura de desvelar misterios, la elección

del polémico antropólogo y etnobotánico lisérgico Wade Davis como proveedor de frases elogiosas para

la contraportada, la adopción de un lenguaje coloquial y de una perspectiva centrada en su propia ordalía,

el empleo de interjecciones interpretativas geertzianas sin demasiada fundamentación, el uso de una ima-

gen de la Cueva de las Manos de Argentina para la tapa de un libro sobre los signos geométricos de la Eu-

ropa paleolítica, la adopción de las conferencias TED y de National Geographics Live! como plataformas

centrales de comunicación mediática y la omisión total del trabajo de especialistas en el tema como Ga-

rrick Mallery (1893), Hubert Kuhn (1956), Richard Daly (1993), Chris Arnett (2016) y, por supuesto, Ro-

bert G. Bednarik (1990: 1995).

33

didato a sistema de señalización, scripting o marcación simbólica conocido por los gra-

matólogos (von Petzinger y Nowell 2011 versus Gelb 1952; Coulmas 1994; 1999; Watt

1994; Daniels y Bright 1996; Haarmann 2001; Changizi y Shimojo 2005; Changizi y

otr@s 2006; Altmann y Fengxiang 2008; Borgwaldt y Joyce 2013).

El problema es que recién en este siglo se han comenzado a desarrollar teorías de los

sistemas de scripts (no necesariamente alfabéticos, silábicos, abjads o abugidas sino es-

trictamente a nivel de sistemas geométricos de comunicación) empleando (por ejemplo)

análisis de decrecimiento de la complejidad desde marcas ideogramáticas a símbolos

hieráticos (Hegenbarth-Reichardt y Altmann (2008), elaborando técnicas de medición

de complejidad en el trazado de los signos (Köhler 2008b) y técnicas de análisis de di-

mensión fractal de sistemas de escritura, scripting y notación (Köhler 2008a; Hřebíček

1995; Andres, Benešová, Kubáček y Vrbková 2012). La aplicación de una perspectiva

geométrica al estudio de un fenómeno que es geométrico por donde se lo mire, sin

embargo, no se ha establecido aun en la práctica académica de la gramatología, fundada

por Ignaz Gelb [1907-1985] sobre el esquema de un “desarrollo unidireccional” y con-

cebida por el arqueólogo canadiense Bruce Trigger [1937-2006] (en uno de los más

chispeantes papers gramatológicos que conozco) como una práctica alineada a la idea

de la evolución cultural de la cual sería un caso atinente (Trigger 2004 [1998]).

Figura 2.5 – Signos lineales de la “pre-escritura” de la cultura de Vinča. Basado en Harald Haarmann (2001: 83) – Comparar con fig. 2.4 y 10.6.

La idea geométrica-evolucionaria, como dije, no cuajó. Hoy prevalece en pequeños

círculos duramente cuestionados (hasta hace poco liderados por Marija Gimbutas [1921-

1994]) la convicción de que la escritura (y por ende, la civilización) se originan en Eu-

ropa y concretamente, en la cultura neolítica de Vinča o Vinča-Turdaș en los Balcanes,

cerca de Belgrado, remontándose a fines del VII milenio aC (Gimbutas 1974; 2001;

Berggren y Harrod 1996; Haarmann 2001: 80-86; Merlini 2005 versus Meskell 1995;

Palavestra 2017). En tanto la aproximación geométrica no se materialice (y hay muy po-

cas señales que se haya tomado conciencia de esta necesidad) no hay mucho que yo

pueda hacer en el estudio que aquí ofrezco para zanjar el dilema de la transición de los

signos rupestres a los sistemas de escritura semasiográfica (no necesariamente lingüís-

tica) o a los modelos de comunicación en los más diversos sentidos. Lo mejor será en-

34

tonces, insistir en comunicar este requisito en los foros que correspondan y concentrarse

aquí en otros asuntos en marcha porque en otros respectos es mucho más que eso lo que

está cambiando en arqueogeometría.

Aunque todavía hay quien sostiene que el “arte prehistórico” o “paleolítico” (o el arte en

general) nació plenamente maduro y figurativo en las cuevas de Francia y España las

ideas en etno- y arqueoestética y en etno- y arqueogeometría se están reacomodando a

medida que las herramientas se refinan o se imponen por la fuerza, la discusión se apla-

ca o estalla en escándalo y la data deviene big o se torna inmanejable. Aunque muchas

hipótesis de trabajo y premisas epistemológicas de las líneas de investigación más re-

cientes siguen siendo duras de tragar (empezando por la invitación de Bednarik a renun-

ciar a la concepción “simbólica” de las formas arcaicas y modernas de representación y

continuando por la similitud entre sus exogramas y trazas de memoria por un lado y los

fosfenos shamánicos y alucinatorios por el otro14

), en lo que va de las dos últimas déca-

das hay mucho libro que se va poniendo viejo y mucho mito que está cayendo por tierra,

mientras se va gestando un venero irreductible de nuevos metarrelatos.

No es esto lo único que ha cambiado. En las demostraciones que encadenaremos en este

trabajo se comprobará también que tanto en las teorías como en la prácticas nunca es

verdad que lo más básico sea lo más temprano y lo más complejo lo más reciente, ni

que las prácticas requieran que las teorías que se les refieren se lexicalicen y se conso-

liden con anterioridad, ni que la tecnología digital por sí misma posibilite geometrías

que no habrían podido hacerse, referirse o pensarse en ninguna cultura si no hubiésemos

contado con tales instrumentos. Cuando se mira el registro de los hechos con un mínimo

de reflexividad y sentido de la diversidad de contextos se comprueba que mucho de lo

que creíamos saber rara vez se sostiene. Por eso es que esbozar aunque más no sea el

plan de una historia coherente, real y pedagógicamente útil de la evolución de la etno-

geometría como disciplina es una faena mucho más complicada de lo que se pensaba.

Pienso enredarme en ese nudo, de todas maneras, aunque hasta cierto punto, procurando

no quedar atrapado en sus trampas retóricas y en la tentación de la linealidad. No sé si

se podrá.

Lo que debería quedar claro a esta altura es que si ahora parece que operamos más efi-

cientemente y no nos equivocamos tanto no es porque hayamos aprendido más de lo

mismo sino porque con semejante disponibilidad de información el paradigma del cono-

14

Véase Bednarik (1990; 1995), Lewis-Williams & Dowson (1988), Reichel-Dolmatoff (1985a) y Chris

Arnett (2016) versus Hodgson (2000; 2006) y Dehaene & otr@s (2006). Es importante señalar que Bedna-

rik nunca estableció una relación excluyente entre los engramas y el shamanismo. Los exogramas fueron

propuestos por Merlin Donald (1993) a partir de la idea de engrama con una leve referencia a shamanes y

bardos, agentes cuyo ejercicio de la memoria parece ser particularmente intenso. Los exogramas anicóni-

cos pueden verse como una forma de cognición situada, aunque nadie lo ha planteado de ese modo hasta

hoy. Las tres etapas del desarrollo mental propuesta por Donald (episódica, mimética y simbólica) fue re-

chazada como “ciencia pop” por el darwiniano C. Loring Brace IV [1930-2019] pero el esquema fue

adoptado prestamente por Bednarik (cf. Loring 1993). Este autor sin embargo no acepta el carácter sha-

mánico de esa variedad anicónica. Tal como he discutido en otros contextos (Reynoso 2019b) el concepto

de shamanismo se supone que ha sido desacreditado y puesto en crisis hace décadas, pero a la hora de la

discusión teórica muy pocos de nuestros expertos parecen dispuestos a renunciar a él por completo.

35

cimiento ha experimentado unos cuantos giros, retornos, arrepentimientos y realimenta-

ciones. Era hora que comenzara a experimentarlo. Más que estar depurando nuestras

rutinas de deuteroaprendizaje (“aprendiendo a aprender” como sugería Gregory Bateson

[1972: 275]),15

tarde pero decisivamente estamos más bien aprendiendo a desaprender,

lo cual entraña revisar certidumbres, activar el sentido crítico desde el comienzo, des-

montar condicionamientos adquiridos y –como decimos en Argentina– bajar un cambio,

caer en la cuenta que las “revoluciones” del conocimiento que se están multiplicando

con cada huevo inciso que se encuentra, con cada alótropo que se descubre o con cada

tecnología cristalográfica nueva que se implementa podrían ser no más que eufemismos

que designan otras tantas constataciones de que antes que las novedades sugieran está-

bamos una vez más recorriendo caminos equivocados.

La etno- y la arqueogeometría tal como están no son lo mejor que puede pensarse pero

es lo que hay y es a partir del conocimiento crítico de ellas que tal vez podrán construir-

se otras alternativas. Si pretendemos conocer mejor cómo ha sido que la etnogeometría

llegó a ser como es, lo primero sería identificar al responsable de la fundación de este

espacio. Hoy la mitad del mundo celebra al brasilero Ubiratan D’Ambrosio como el

padre indiscutido de las etnomatemáticas o, lo que es más exacto, como el escritor que

acuñó la palabra que designa a la disciplina matriz que viene estudiando este campo de

la antropología cognitiva desde hace largo tiempo. No estoy afiliado a esa mitad, como

se verá; tampoco me atengo a sus leyendas etiológicas. Según una parte de la documen-

tación disponible, Ubiratan introdujo la denominación en una conferencia dictada ante

la American Association for the Advancement of Science en 1977 (D’Ambrosio 1977;

1985; 1989; Vandendriessche y Petit 2017). Ubiratan mismo, no obstante, ha sido muy

moderado respecto de esa atribución de paternidad:

I recently learned from Claudia Zaslavsky that Otto Raum wrote, in a review of her book,

published in African Studies (1976): "(This Mathematics) might perhaps be most suitably

called ethno-maths on the analogy of ethno-music, ethno-semantics, etc." And Wilbur Me-

llerna, in a letter to Gloria Gilmer, published in the NEWSLETTER of the ISGEM (vol. 6, n.

1, November 1990), says that he had invented the word ethnomathematics in 1967 and that

he gave a talk in 1971 using it (D’Ambrosio 2004).

Hoy en día la Web nos presta la tecnología necesaria para comprobar que la carta a Gil-

mer que escribió Mellerna (1990) efectivamente existió y se despachó en el lugar y en el

momento preciso que Ubiratan consigna. Pronunciándose víctima de una conspiración

de silencio que Mellerna atribuyó a “motivos políticos y sociológicos” éste dice en su

carta, crispadamente:

Dear Ms. Gilmer:

15

Advierto que en la moderna teoría organizacional tanto el deutero-aprendizaje como el doble vínculo

batesoniano han trasmutado hasta quedar irreconocibles. Testimonio de esos desarreglos y malentendidos

(que también afectan a otros conceptos, tales como la “multiplicidad” perspectivista, la “articulación” de

los estudios culturales, la “deconstrucción” de la gramatología pos-estructuralista o a la “crisis de la re-

presentación” de los posmodernos) es el artículo de Max Viser (2003) sobre el destino de los conceptos

de Bateson.

36

I liked and valued your "Ethnomath Approach to Curriculum Development" presentation at

Salt Lake City.

When ISGEm's literature first came my way in the early 80's, I was glad to see the subject's

emergence, but angry that they stole my name for it.

I used the term Ethnomathematics as the title of a speech in 1971. It was at MSU, working

on my MA in Mathematics and collaborating with Dr. Victor Low, then Director of the

African Studies Center. I spoke to Africanists then, Spring 1971, defining Ethnomathema-

tics as the study of pre-Western and non-Western Mathematics and Logic. My qualifica-

tions to do so were years of teaching Mathematics in Africa and then receiving an MA in

Africa Studies from UCLA in 1967. It was there and then that I coined the term Ethnoma-

thematics as the focus of a personal quest to merge my two loves, Africa and Mathematics.

Resistance from the Mathematics community was at first polite ridicule; this has waned. It

remains for one of us to write THE definitive test, ETHNOMATHEMATICS. It must

DEFINE the term with approaches from its many facets, at length, deeply; and it must

DESCRIBE EXAMPLES from across time and space; and it must GENERALIZE.

The drift of some writers today is obviously motivated by a political and sociological

agenda. This concerns me, as this is not how scholarship works.

I will be honored to correspond with you.

Wilbur Mellerna

Mathematics Department

San José City College

San José, California

Mellerna omite toda mención a la práctica harto documentada de una etnomatemática

considerablemente temprana en el seno de la antropología y de la etnolingüística del

conocimiento16

y no ofrece evidencia de su prioridad en la invención del nombre, por lo

que aquí sigo considerando a D’Ambrosio como el digno tercer candidato a pionero

más creíble de la disciplina en cuestión, si es que de esa niñería se trata.

Si hemos de creer en lo que asevera Mellerna puede que él dispute los títulos de D’Am-

brosio pero no es rival para los dos precursores más tempranos que nombraré ahora en

este mismo párrafo. El reclamo de Mellerna es, bien mirado, vano. Hace tiempo se ha

probado, efectivamente, que el primero en utilizar la palabra ‘etnomatemática’ y en

haber sentado el precedente del dictado de conferencias sobre ese tópico disciplinar no

fue ni D’Ambrosio ni Mellerna sino el ignoto estudioso alemán Ewald Fettweis [1881-

1967] en la tercera década del siglo pasado y en un continente que tampoco es América

(Gerdes 1997; Rohrer 2010; Rohrer y Schubring 2011; Fettweis 1926; 1927; 1929a;

1929b; 1932; 1935; 1937a; 1937b; 1951). Aunque hay abundantes testimonios del uso

de la denominación entre los años 20s y los 50s, la primera vez que se usó en prensa fue

en un panegírico de la estatura de la obra de Fettweis por el temprano etnomatemático

Olindo Falsirol [1896-?], escrita cuando Mellerna era chico:

16

Véanse los estudios de Max Schmidt (1904; 1905); Theodor Kluge (1937; 1938; 1939; 1941; 1941-

1942) y (en orden cronológico) los de Conant (1896), Lounsbury (1946), Ardener (1957), Seidenberg

(1962a: esp. 521-523; 1962b; 1981), Gay y Cole (1967), etcétera.

37

“Professore all’Accademia Pedagogica di Aachen, dove tenne lezioni di didattica, di storia

delle matematiche e di etnomatematica fino al 1954, egli dedicò e viene dedicando parte

considerevole della sua attività scientifica alla matematica e all’astronomia dei popoli con-

sidetti primitivi” (Falsirol 1959: 262).

Tengamos en cuenta que todos etnificábamos en esos tiempos. Aquellos eran años en lo

que se le adosaba el prefijo ‘etno-’ a lo que entrañara contemplar un objeto de estudio

ajeno (o una objetivación, más bien) desde nuestras coordenadas particulares: etno-se-

mántica, etno-ciencia, etno-lingüística, etno-botánica, etno-arquitectura, etno-entomolo-

gía, etno-psicoanálisis, etno-psiquiatría, etno-psicodrama, etno-medicina, etno-lógica,

etno-semiótica, etno-navegación, etc. (cf. Reynoso 1986; 1993). Decir etno- era casi lo

mismo que decir “comparativo”, “diverso”, “transcultural”. También implicaba poner

un pie disciplinar, corporativamente pero con cierta justicia, en un espacio que nadie ha-

bía reclamado.

Mientras que es improbable que existan referencias a la etnomatemática anteriores a las

definiciones de Fettweis, Falsirol y D’Ambrosio, en lo que a la etnogeometría concierne

la situación no deviene más clara. El rastro se esfuma en los despertares y momentos

inaugurales de un enjambre de disciplinas y en esta circunstancia ninguna conclusión es

segura, aunque Paulus Gerdes, tal parece, nos lleva la delantera a todos. Al final del día,

el hecho concreto es que no existe en ninguna lengua y en ninguna institución una his-

toria suficientemente detallada y fidedigna de la especialidad que permita apoyar un ve-

redicto sobre bases confiables sin que nadie monte en rebeldía, se ponga sarcástico, nos

quiera meter en caja o mayusculice su escritura porque no se le ha hecho justicia.

No me resulta esencial deslindar quién fue a fin de cuentas el o la científic@ que le puso

nombre a la práctica o a la disciplina que se ocupa de ella. Ni falta que hace saberlo.

Hace ya más de treinta años Paulus Gerdes había revelado el rastro de varias nomencla-

turas entre las que me place intercalar muchísimas otras que vinieron después. El regis-

tro que sigue, el más inclusivo que conozco, comprende la Etnología Matemática (Falsi-

rol 1959), las Matemáticas Indígenas (Gay y Cole 1967; Laney 1976), las Sociomate-

máticas del África (Zaslavsky 1973), las Matemáticas Informales (Posner 1982), las

Matemáticas en Ambientes Socio-culturales [africanos] (Touré y Doumbia 1980), las

Matemáticas Espontáneas (D'Ambrosio 1982), las Matemáticas Orales (Carraher y otros

1982; Kane 1987), las Matemáticas del Oprimido (Gerdes 1982), las Matemáticas No-

Estándar (Carraher y otros 1982; Gerdes 1982; J. Harris 1987), las Matemáticas Ocultas

o Cristalizadas [ frozen] (Gerdes 1982; 1985), las Matemáticas Experimentales o Analó-

gicas (Davis y Hersh 1985; Hersh 2006: 27), las Matemáticas Folk (Mellin-Olsen

1986), las Matemáticas Codificadas en Know-hows (Ferreira 1987), las Matemáticas

Anti-Racistas (Cotton 1990), las Matemáticas No-Occidentales (Selin 2000), las Mate-

máticas de Pueblos Culturalmente Distintos (Leal Ferreira 2000), las Matemáticas Mul-

ticulturales (Raju 2007), las Matemáticas Naturales (Spelke y otros 2010) o Matemá-

ticas sin Escritura (Chemillier 2007), la Matemática como Verbo (Barta, Eglash y Bar-

kley 2014), la Antropología de las Prácticas Matemáticas (Vandendriessche y Petit

2017) y por supuesto la Etnomatemática de Fettweis, la más temprana de todo el reper-

torio hasta donde alcancé a entrever. Tal como surge de sus denominaciones, muchas de

38

estas matemáticas situadas se inclinan más a la geometría que a la aritmética pero nunca

se puede estar seguro de eso. El punto clave de este posicionamiento es que cuando hay

una geometría implicada hay no sólo una ciencia sino también un arte, no ya una teoría

sino una práctica, no sólo un saber hacer sino una materialidad en acción.

Al lado de estas búsquedas genuinas de saberes que quedaron en la periferia han habido

también no pocos intentos excedidos en celo étnico y en aspavientos reivindicativos, el

de Black Athena del polémico politólogo británico Martin Bernal [1937-2013] primero

que ninguno. Bernal dedicó tres volúmenes y varios libros complementarios a demostrar

que los saberes que se atribuyen a la inventiva milagrosa de los griegos reflejan concep-

tos urdidos en otras partes y en otros tiempos y en el Continente Negro en particular

(Bernal 1987; 1991; 2001; 2006; Lefkovits y McLean Rogers 1996; Adler 2016). Aun-

que el volumen de sus pruebas es por momentos impresionante Bernal no ha sido un au-

tor meticuloso; la calidad de su argumentación es desigual y su autocrítica a veces fla-

quea. Para dar una idea aproximada de su estatura intelectual alcanza con mencionar

que él se había tragado todo el cuento de la proporción áurea y de las medidas esotéricas

de las pirámides egipcias (sin mencionar en sus textos ni a Fibonacci ni a Badawy), que

estaba seguro que los egipcios eran negros nilóticos de piel de ébano y que Euclides

había vivido la totalidad de su vida en el delta del Nilo, visitando Grecia un par de veces

en plan turista y nada más que de pasada (Bernal 1987: 167, 173; Eglash 2000: 15 ver-

sus Shuenemann, Peltzer y Welte 2017; sobre la raza de los antiguos egipcios véase

Diop 1991: 103-108; 1955; Powell y Frankenstein 1997 versus Brace y otr@s 2006).

Algunos autores –tales como el fogoso decolonialista Chandra Kant Raju (2007; 2012)–

se han adherido a las conjeturas de Bernal con diminutas reservas.

Mucho más prudente y mejor fundamentado resulta el magnífico estudio de George

Gheverghese Joseph (2011 [1991]) The crest of the peacock: Non-european roots of

Mathematics, quien acaba con varias leyendas de la historiografía geométrica constitui-

da en un texto sugerente y por momentos sólido pero no que no llega a reunir una evi-

dencia abrumadora. Más atendible todavía (y más sustancial) es el argumento del ya

mencionado Hans Freudenthal [1905-1990], quien sugiere que lejos de haber impulsado

la causa de la geometría, los afanes de los griegos para probar y formular el conocimien-

to por medio de métodos enrevesados gobernados por estrictas convenciones desembo-

caron en un dogmatismo aterrador, retardando y a veces poniendo en peligro la disemi-

nación del conocimiento geométrico (Freudenthal 1982: 444). Los laboriosos estudios

de Raju sobre las proverbiales dificultades de los estudiantes occidentales con las mate-

máticas del cálculo, el álgebra y la prueba (fenómeno que no se manifiesta en las uni-

versidades del sur de la India) coinciden con este diagnóstico (2007: parte III; 2009;

2012).

Otros autores o bien coinciden con este diagnóstico o han formulado otros parecidos (v.

gr. Kappraff 1991; Selin 2000; Loeb 2003; Hodgkin 2005; Katz 2007; Fenyvesi y Läh-

desmäki 2017). La glorificación de lo griego, en una palabra (y eso es lo que unos cuan-

tos pensamos hoy), va de la mano con cierta disolución y pérdida de entidad de la geo-

metría temprana cuyo euclideanismo no puede darse por descontado. En su formidable

39

obra sobre embaldosados y patrones dice el inefable y recordado Branko Grünbaum

[1929-2018], con quien –haciéndome el encontradizo– me crucé alguna vez en Red-

mond en los alrededores de Microsoft Research y con quien coincidimos, root beer de

por medio, en expresar desconfianza por los excesos predictivos en los que el laplaciano

Ray Kurzweil incurría en ese entonces:

It is curious that almost all aspects of geometry relevant to the “man in the street” are igno-

red by our educational systems. Geometry has been almost squeezed out of school and uni-

versity syllabuses, and what little remains is rarely of any use to people who wish to apply

geometric ideas in their work—engineers, scientists, architects, artists, and the like. There

are two causes of this state of affairs. At high-school level it has long been traditional to use

geometry as a vehicle for teaching logical reasoning and the deductive method, without

much regard for the geometric content. At the research level geometry has become no more

than a specialized branch of algebra or analysis (Grünbaum y Shephard 1987: vii).

Parecida argumentación se encuentra en las ideas del recientemente fallecido Reuben

Hersh [1927-2020], el padre de las matemáticas analógicas y líder de un movimiento

heterodoxo y culturalmente abierto compendiado en sus 18 Ensayos no Convencionales

sobre la Naturaleza de las Matemáticas (Hersh 2006) y preanunciado en el clásico

¿Qué son las matemáticas, realmente? (Hersh 1997). El artículo más venerable de la

compilación de Hersh no es otro que “The Locus of Mathematical Reality: An Anthro-

pological Footnote” (2006 [1947]) del renombrado aunque vapuleado antropólogo

marxista Leslie White [1900-1975], un ensayo que soportó bastante bien los años

transcurridos desde su publicación y que invito a releer. Todos los autores comparten la

hipótesis del origen social y cultural de los objetos matemáticos y la necesidad de ir más

allá del modelo deductivo. En consonancia con el movimiento y en su “Introducción” a

Filosofia e Matematica escribía Carlo Cellucci:

[T]he logic of mathematics is not deductive logic but a broader logic, dealing with non-

deductive (inductive, analogical, metaphorical, metonymical, etc.) inferences in addition to

deductive inferences. It is by non-deductive inferences that one finds the hypotheses by

which mathematical problems are solved. The logic of mathematics is not, therefore, that

studied by mathematical logic, which is simply a branch of mathematics, but consists of a

set of non-deductive methods and techniques in addition to deductive methods and

techniques, and hence is not a theory but a set of tools. To claim that the logic of

mathematics is deductive logic because theorems are justified by deductive inference,

restricts mathematical experience to ways of reasoning found only in textbooks of

mathematical logic, and neglects those that are really used in mathematical activity.

Moreover, it does not account for the real nature of mathematics, because mathematical

reasoning is based mainly on non-deductive inferences, not on deductive inferences, which

play a somewhat restricted role within it. Contrary to widespread misunderstanding,

mathematics is never deductive in the making, since mathematicians first state problems,

then find hypotheses for their solution by non-deductive inferences. As even some

supporters of the dominant view, like Halmos, acknowledge, mathematics “is never

deductive in its creation. The mathematician at work makes vague guesses, visualizes broad

generalizations, and jumps to unwarranted conclusions. He arranges and rearranges his

ideas, and he becomes convinced of their truth long before he can write down a logical

proof” (Carlo Cellucci en Hersh 2006: 27)

Aunque no comparto por completo las ideas de todos y cada uno de ellos en lo que ata-

ñe (por ejemplo) a la geometría como práctica, quisiera creer que hay algo del espíritu

40

revoltoso e insurrecto de Grünbaum, de Freudenthal, de Hersh, de Cellucci, de Leslie

White (y del Hilbert de Anschauliche Geometrie) en el libro que se está leyendo. Pese a

que hoy casi no se lo menciona fuera del círculo de la educación matemática, recuerdo

que cuando yo era estudiante de la preparatoria Freudenthal tuvo sus quince minutos de

fama al oponerse a los lineamientos de la “matemática moderna” basados en una teoría

de conjuntos entendida a medias en el programa pedagógico de Holanda, logrando fuer-

tes ecos en casi todo el mundo. Durante un tiempo su postura pareció recalcitrante, arbi-

traria y retrógrada hasta que con el tiempo se comprobó que guardaba algo de razón. En

los Países Bajos, al menos, buena parte de la “reforma educativa” en matemáticas se re-

virtió en beneficio de la matemática práctica del saber hacer y de una “matemática como

verbo” participativa, auto-empoderadora y abierta que es hoy la que se estima técnica e

ideológicamente acertada aunque está muy lejos de ser la que prevalece (cf. Barta, E-

glash y Barkley 2014; Burbach 2015). Aunque el backlash anti-reformista experimentó

unos cuantos excesos (algunos de ellos decididamente aberrantes),17

fue positivo que

Joseph, Freudenthal, Grünbaum y algunos otros de la misma liga (como recientemente

lo ha hecho Amir Alexander [2010; 2019]) dijeran lo que tenían que decir. Aunque este

sigue siendo un terreno resbaloso, estimo que se ha hecho algo de justicia y que hacía

falta que se la hiciera; pero lo que habremos de ver en este libro aspira a ser, en lo que a

la geometría atañe, mil veces más radical que una toma de postura frente a una mate-

mática particular que se enseña en la escuela.

Fundamentales para este capítulo y para el objetivo de poner en valor la conceptualiza-

ción sobre la etnogeometría como objeto de estudio son las sugerencias de Paulus Ger-

des sobre la forma de reconocer pensamientos geométricos ocultos o latentes, las obser-

vaciones más recientes de Ron Eglash en American Anthropologist sobre las promesas y

los obstáculos en ese campo y las de Nigel Langdon para el manual de la UNESCO en

ese mismo sentido (Gerdes 1986; Eglash y otros 2006; Nigel Langdon en Keitel y otros

1989: esp. 178). Reconoco otras muchas influencias de las que me ocuparé llegado el

momento pues más importante ahora es enumerar aquellas de las que reniego.

Aunque suene chocante y me duela tener que hacerlo debo decir que excluyo de plano

los textos de Ubiratan D’Ambrosio del cuadro de honor de la antropología del arte por-

que a pesar de haber abierto el campo mayor de la ciencia etnomatemática y de haber

nombrado a Ron Eglash o a Paulus Gerdes un par de veces su concepción de la etnogeo-

metría como sub-dominio específico y primordial de la etnomatemática no está, mirán-

dola bien, fina y sustanciosamente desarrollada (cf. D’Ambrosio 2001). Ensayos enteros

de las etnomatemáticas de Ubiratan –reconozcámoslo– no mencionan la palabra ‘geo-

metría’, ni ponen lo geométrico en foco, ni alcanzan a entender sus aspectos prácticos,

17

La noticia ha sido reproducida tantas veces que ya suena como una leyenda urbana; tal vez lo sea. La

noticia dice, en pocas palabras, que la última dictadura militar argentina [1976-1983] llegó a prohibir la

enseñanza de las matemáticas modernas en general y más en particular la de la teoría de conjuntos, de la

cual se afirmaba (de acuerdo con lo que dicen que dijo un tal Julio Garrido, un “científico argentino resi-

dente en España” probablemente imaginario) que contenía terminología “de neto corte marxista”: “estruc-

tura”, “conjunto”, “vector”, “clase”... Haya sido esto verdad o rumor, no percibo mayores diferencias en-

tre las posturas de las matemáticas modernas y las de las matemáticas tradicionales respecto de la geome-

tría.

41

sus algorítmicas de las manos y del cuerpo, su impacto social o su especificidad en con-

textos en los que sería perentorio ahondar en esos exactos campos de la cultura y en esas

precisas dimensiones de sentido sin distraerse en el anecdotario de las diferencias que

tendemos a acentuar bajo el pretexto de la celebración de la diversidad.

En otro orden de cosas, impugno vigorosamente a D’Ambrosio por su apego acrítico al

proyecto pedagógico de Edgar Morin, proyecto éste que carece de todo vínculo sincero

con las ideas emancipatorias de Paulo Freire, Paulus Gerdes y D’Ambrosio mismo, y

que se apoya, por añadidura, en un fallido “pensamiento complejo” que encubre su filo-

sofismo tras una difusa transdisciplinariedad y que es antagónico a la especialización

científica y a la ciencia tout court. Lejos de encarnar una estrategia científica que im-

pulse una práctica liberadora, dicho pensamiento es un programa táctico que acabó

siendo un manto de cobertura para un grupo de presión patrocinado por el ala más con-

servadora de la UNESCO y que a la larga no pudo menos que devenir funcional a la peda-

gogía institucional, confesional y privada de la orden jesuítica, de las universidades

pontificias y hasta de las instituciones evangélicas que hoy se imponen particularmente

en Brasil. Malgrado sus desavenencias circunstanciales y sus muy contados personajes

de excepción, las organizaciones doctrinarias vienen desmontando sociedades concretas

y patrimonios intangibles desde la época de la Conquista sin haber pronunciado jamás

un acto de contrición (cf. D’Ambrosio 1997 versus Reynoso 2009: cap. §2 y cap. §12).

Más allá del caso de D’Ambrosio un problema que afecta a gran parte del campo es el

retraimiento de los avances metodológicos en compartimentos estancos, hecho que es

especialmente grave (según Michael Hann) en el caso de los métodos nomenclatorios de

las isometrías de Dorothy Washburn y Donald Crowe, las cuales no se han aplicado, por

ejemplo, en los estudios antropológicos de los Estados Unidos, que tampoco se aplican

con regularidad en los de América Latina que dependen conceptualmente de aquéllos y

que sufren ellos mismos de una profusión de notaciones incompatibles e inmotivadas.

Repito lo mismo en otras palabras por si no me he expresado bien: hasta la fecha la ar-

queología académica, la etnografía constituida y el campo de estudio de los textiles, ces-

terías y cerámicas del arte precolombino y sus afines en buena parte de la ecumene no

ha descripto adecuadamente las simetrías y geometrías de las diferentes culturas, cerran-

do la puerta a buena parte de las operaciones comparativas e incumpliendo su tarea

esencial más allá del coleccionismo de imágenes para los textos y del acopio y con-

fiscación de ejemplares para las estanterías.

Incluso a un pensador de los quilates de Ron Eglash se le ha escapado alguna que otra

puerilidad a propósito del uso de la nomenclatura técnica, producto de la hostilidad del

investigador hacia la naturaleza etic de esas elaboraciones venidas de la cristalografía y

de las que él descree precisamente por su carácter exógeno. Al contrario de Eglash me

inclino a pensar que una etnogeometría basada en una preceptiva emic excluyente corre

el riesgo de privilegiar la lexicalización en detrimento de las prácticas, los usos y las re-

presentaciones, que es lo que debería priorizarse si de geometría se trata. Para lo prime-

ro ya fue bastante desencanto, creo, la experiencia fallida y las oportunidades desperdi-

ciadas durante la moda antropológica del análisis componencial (Reynoso 1986), a lo

42

que podríamos sumar los fiascos del arte para turistas, de la invención de la cultura, de

las canciones tejidas de los Shipibo, de la improbable pre-escritura neolítica de Vinča y

de un amplio caudal de astucias y tramoyas que referiremos en su oportunidad (Lathrap

1976; Graburn 1976; S. Mead 1976; Salvador 1976; McDonald Boyer 1976; Hobsbawm

y Ranger 1992; Palavestra 2017; cf. más abajo pág. 98 y ss.).

Hoy por hoy los aportes de la etnogeometría como ciencia lucen como una muchedum-

bre de escrutinios más o menos felices a propósito de un conjunto politético de asuntos

geométricos de interés a través de las culturas antes que como el corpus orgánico de una

disciplina constituida respecto de la cual resulte sencillo saber en qué estado se encuen-

tra respecto de las geometrías de un lugar o de un momento dado. No puede negarse, de

todos modos y para cerrar el punto, que la notación cristalográfica inaugura una instan-

cia comparativa que habría sido difícil de imaginar por otros medios y que sienta la

bases de una saludable apertura transdisciplinaria, una de las pocas que han habido y

que toca por ende investigar aquí por tediosa y corta de miras que pudiera parecer.

Por eso y por las razones antes expuestas es que en este trabajo se postulan nueve ejes

temáticos que espero ayuden a ordenar un campo hasta ahora tan apasionante como

amorfo y a motivar la puesta en marcha de las investigaciones que resta hacer. Esos

nueve ejes describen los que parecen ser los hitos más relevantes en el desarrollo de los

estudios técnicos y en la práctica de la etnogeometría. Ellos tienen que ver con (1) el

descubrimiento del carácter fractal de muchas de las geometrías de una amplia región de

África como punto de partida para la comprensión de fenómenos análogos un poco más

o un poco menos intensamente fractales, recursivos, contraintuitivos, no lineales y no

euclideanos en otras partes del mundo; (2) las isometrías de las franjas, los espacios del

plano y los giros en círculo para organizar el campo de la simetría y articular sus tipo-

logías y sus procedimientos constructivos, definiendo la actuación de reglas cuyos e-

nunciados bien puede que hayan sido unilateralmente etic pero que ningún nativo parece

haber necesitado violar jamás para llevar a cabo sus prácticas; (3) el análisis de las con-

figuraciones geométricas del knotwork celta-eslavo-escita, de los flujos en grafos y de

las llamadas simetrías en estrella de las teselaciones del arte islámico, puestas en para-

lelo con los cuasi-cristales de las aleaciones complejas recién descubiertos en Occiden-

te, los cuales exhiben morfologías coincidentes con las de los embaldosados aperiódicos

conocidos desde la Edad Media en Irán, Siria y Anatolia que preceden por siglos a las

modalidades del Islām tardío a las que, por su virtuosismo, a veces creemos que son las

más representativas de todas; (4) las investigaciones y los logros conceptuales y meto-

dológicos alcanzados por el geómetra holando-mozambiqueño Paulus Gerdes en las

huellas de Ubiratan D’Ambrosio, de la pedagogía del oprimido de Paulo Freire y de los

proyectos revolucionarios del Frente para la Liberación de Mozambique, a efectos de

conocer en todas sus implicancias los poliominós y las geometrías complejas en el plano

esférico, entre otras realizaciones; (5) la comprensión de las relaciones entre los grafos

eulerianos y euclideanos y los diseños de flujos, ciclos y circuitos de Angola, Vanuatu y

otras regiones, así como la influencia de ambos campos en las más recientes técnicas

computacionales de graph based navigation; (6) una nueva comprensión de la forma en

que las artes populares recursivas de la India aldeana y campesina han materializado en

43

imágenes principios algorítmicos que sólo se han podido comprender acabadamente en

el último tercio del siglo XX y que tienen que ver con la programación de computadoras

de propósito general, con la lingüística computacional y con las formas más avanzadas

de modelado y diseño, fractalidad incluida; (7) la documentación de los últimos y más

sustantivos avances en formas geométricas de representación encarnadas en los fulle-

renos, en las estructuras de tensegridad de tiendas, pelotas, cestas y tejidos a través del

mundo y en los sistemas de símbolos Adinkra que comparten los Ashanti de Ghana con

los científicos dedicados a los arcanos del álgebra supersimétrica y de la teoría de cuer-

das, homólogos prácticos, a su vez, de los códigos de corrección de errores del ADN y

de la autocorrección en la mecánica cuántica y en la informática inteligente de avanza-

da; (8) la descripción sistemática de las geometrías proyectivas subyacentes a los siste-

mas tradicionales de navegación y de los sistemas de referencia y métodos formales

(también geométricos) que han precedido por milenios a las técnicas contemporáneas de

geoposicionamiento; y (9) la comprensión replicada y replicable de las técnicas de

alteración geométrica del cuerpo que han pasado de ser un tópico exotista de la antropo-

logía temprana a formar parte de nuestros propios usos culturales.

Algunos de los proyectos mencionados, en particular los que guardan relaciones con-

ceptuales o metodológicas con desarrollos de punta en ciencia y en tecnología que han

ganado presencia mediática, han sido objeto de todo género de exageraciones, rumores,

silenciamientos y tergiversaciones y por ello invitan a que se los trate con recaudos. Lo

primero a evitar es la argumentación teleológica y anticipatoria. Por eso es que en nin-

gún momento en el transcurso de este libro se verá que yo argumente (pongamos) que

en las sociedades ágrafas o en el Islām de hace mil años se han presagiado enunciativa-

mente la teoría cuántica, la fórmula de Euler, las signaturas de la biogeometría, la teoría

de la tensegridad arquitectónica, el modelado gráfico recursivo, el deslinde de las pro-

piedades de las nanoparticulas o la teoría de cuerdas, o que poseyeran –como ha sugeri-

do Peter Cromwell (2008: 36) – “un conocimiento intuitivo de la teoría de grupos”, lo

que él encuentra un argumento fácil de decapitar;18

lo que sí digo es que en Occidente

hubo que esperar hasta que esos y otros marcos operativos estuvieran disponibles para

encontrar formatos análogos de morfologías y relaciones que en otros lugares del mun-

do se expresaron desde hace tiempo bajo la forma de prácticas geométricas que hasta

hace poco ni siquiera éramos capaces de describir y re-producir y que seguimos sin en-

tender por completo.

Son las prácticas sistemáticas de la alteridad (y no las teorías y los textos que les sumi-

nistrarían fundamento y a las que los actores de las otras culturas no tendrían acceso)

aquellos procesos que se han definido para su tratamiento en este estudio. Y son las téc-

18

Cromwell, típicamente, la embarra todavía más cuando dice que [los artesanos del Islām] “probable-

mente tuvieran una comprensión intuitiva de la restricción cristalográfica y un feeling de que las rotacio-

nes quíntuples y décuples son de algún modo incompatibles con la periodicidad. Ellos poseían las herra-

mientas disponibles para construir diseños cuasi-periódicos, pero no el marco de referencia teórico para

apreciar la posibilidad o la significación de hacerlo”. No es importante aquí que nos estemos refiriendo a

los cuasi-cristales y al Islām o a algún otro intríngulis etno- o arqueogeométrico. Lo que importa es la

forma del problema.

44

nicas de modelado de Occidente (antes que las axiomáticas de linaje griego de las mate-

máticas o las teorías discursivas ligadas a dominio de las ciencias humanas) las prácti-

cas sistemáticas donde fincan, mayoritariamente, las pautas que nos han permitido co-

nectar unos y otros universos de sentido, aunque encontrar de qué manera un pueblo

dado construyó un objeto complejo califica como un problema inverso (en nomenclatu-

ra de Jacques Hadamard [1865-1963]) y aunque un problema de este tipo posea, por de-

finición, innumerables soluciones posibles, todas ellas equifinales y parejamente proba-

bles. Éste no es un dilema que sólo afecte a las ciencias humanas. A veces podremos ob-

tener indicios para inferir con alguna probabilidad cómo fue precisamente que los anti-

guos o los otros hicieron las cosas que hicieron; a veces no será tan fácil; un problema

de esta naturaleza, axiomáticamente, no tiene soluciones preferibles, sea cual sea la

ciencia, el paradigma o la disciplina de la cual se trate.

Digo además que las prácticas geométricas más complejas no requieren una normativa

discursiva y axiomática preliminar. Y lo que también digo es que ha sido nuestra expe-

riencia de las variedades científicas más revolucionarias de la geometría la que (sin ex-

cluir la legitimidad de otros acercamientos) nos permite calar más hondo, adoptar una

instancia metaheurística y exploratoria inédita e ir más lejos en la comprensión y sín-

tesis recursiva de las prácticas geométricas de las otras culturas (o de sus equivalentes

alternativos) en un grado que resultaba prohibitivo cuando meramente contábamos con

el positivismo metodológico, el análisis componencial, el método comparativo evolu-

cionista, el etnopsicoanálisis, las metáforas lingüísticas y semiológicas del estructura-

lismo, las pretensiones fundacionales de la hermenéutica, los giros ontológicos pos-so-

ciales del perspectivismo amazónico, los estudios culturales, el pensamiento débil, los

eslóganes rebeldes del decolonialismo y el malentendido constitutivo de la deconstruc-

ción. Cada moda sucesiva en filosofía, en semiótica o en antropología ha sido, de algún

modo, para mal o para bien, un manantial de desafíos y de ideas estimulantes; pero nin-

guna de todas las epistemologías nombradas nos ha permitido avanzar de manera crea-

tiva y perdurable en la comprensión última de las geometrías otras, de sus mecanismos

generativos, de su impacto global, de su excelencia práctica, de su independencia de

dominio ontológico y de su cabal dimensión cognitiva.

No está de más, empero, que en los campos de la geometría avanzada procuremos por

todos los medios fantasear lo menos posible, apoyándonos en la demostración de que

muchas veces los constreñimientos y potencialidades de la forma hacen que los objetos,

eventos y procesos geométricos tengan que ser como son y apoyándonos también en el

hecho de que han sido científicos de envergadura que no fueron y que no son excluyen-

temente geómetras (incluyendo unos cuantos Premios Nóbel, Premios Wolf, Premios

Kossuth, Premios Telesio Galilei, Medallas Albert Einstein, National Book Awards, una

Beca Homi Bhabha y hasta un Leonard Bernstein Fellowship en Tanglewood)19

quienes

19

Cf. Leonard Bloomfield (1927; 1929); Hermann Weyl (1952: cap. “Ornamental symmetry”); László

Fejes Tóth (1964: ix, 38-39); H. S. M. Coxeter (1969: 57-59, 63); Roger Penrose (1974); Richard

Buckminster Fuller y E. J. Applewhite (1975); Gift Siromoney (1978); Gift Siromoney, Rani Siromoney

y Kamala Krithivasan (1974); Peter J. Lu y Paul J. Steinhardt (2007); Reuben Hersh (2006: viii, xiv); S.

James Gates (2008; 2009; 2010; 2012); Dmitri Tymoczko (2011; 2012: 152); Paul J. Steinhardt (2019:

45

admitieron de buena gana que han sido las geometrías de estado de arte de otros pueblos

–antiguos y actuales– sus principales fuentes de inspiración, que hemos sido los científi-

cos sociales y los antropólogos del arte, la sociedad y la cultura aquellos quienes

(apoyándonos como podíamos en tales geometrías) suministramos a nuestros colegas de

Occidente algunas de las intuiciones esenciales de las ciencias contemporáneas de la

complejidad y que todo esto ha sucedido demasiadas veces como para ser una pura

coincidencia.

parte 2.7); Robert F. Curl, Harold W. Koto y Richard E. Smalley según Arthur Powell (2015: 32); y

nuevamente Sir Roger Penrose en Jay Bonner (2017: vii-viii), etcétera.

46

3 - Hitos de la etnogeometría (1): Fractales africanos y la búsqueda (frenética) de fractalidad en la cultura

Next time you bump into one of those idiots who

starts asking you questions like, 'where is the

African Mozart, or where is the African Brunel?' --

implying that Africans do not think -- send them a

copy of Ron Eglash’s study of fractals in African

architecture and watch their heads explode.

mentalacrobatics.com20

Figura 3.1 – Vista aérea de la aldea “fractal” de Labezanga en Mali.

Basado en Georg Gester (1985: 62).

La primera parte de este capítulo se consagrará a observar desde una perspectiva nueva

la obra seminal de Ron Eglash African fractals (1999) y sus consecuencias en la inves-

tigación etnogeométrica tras exactos veintiún años de gran impacto. No se trata de vol-

ver a resumir el libro, al que daré por bien conocido e instalado en el catálogo, sino de

examinar su influencia en una diversidad de disciplinas (la antropología, el diseño y las

20

http://www.vkii.org/index.php?option=com_content&task=view&id=1485&Itemid=2.

47

ciencias de la educación en primer lugar) para luego interpelar una multitud de casos de

posible fractalidad en otros contextos de África y en otras partes del mundo consideran-

do tipos fractales que no existían en el momento en que el libro de Eglash se publicó.

Tampoco es forzoso ahora volver a explicar los rudimentos de la fractalidad o de definir

esa geometría una vez más. He tratado de todo eso en múltiples ocasiones, suficientes

como para dar el tema por bien sabido (Reynoso 2006; 2008; 2019d: cap. §9).

Figura 3.2 – Izq.: Asentamiento de Jola en Mlomp, Senegal, y modelo fractal (Eglash 1999: 163).

Der.: Fractal ejecutado por el autor en Janus Fractals®.

La segunda sección de este capítulo tratará de sintetizar el estado actual de la búsqueda

de fractalidades en otras regiones del planeta, con México en primerísimas posiciones

(apenas después de África y de India, y últimamente a la par de Irán), no sin antes lla-

mar la atención sobre el hecho de que India es apenas mencionada unas pocas veces

veces y México no es casi nombrado en todo el transcurso del libro mayor de Eglash

(1999: 7, 47-48; cf. Kiani y Amiriparyan 2016).21

Ningún país de América Latina lo es,

en verdad, privando al caso africano de un contexto que determine su distintividad o su

semejanza respecto de otros escenarios y dejando que se imponga la sensación (abismal-

mente equivocada) de que en África no hay nada que no sea fractal, pese a que la frac-

talidad no es cuestión de esencia sino de grado, tal como se comprueba en la fractalidad

21

La primera vez que Eglash menciona fractales de la India en toda su carrera es en su disertación docto-

ral desarrollada entre 1990 y 1991 y publicada poco después, siete años antes de African fractals (Eglash

1992; 1999). Lo hace, inesperadamente, en relación con la dimensión fractal del templo de Kandariya

Mahadev en Khajuraho [ca. 1030 dC], con referencia a datos recabados por A. Murphy (1991). El libro

mayor de Eglash es unos doce años anterior al descubrimiento de fractales de tipo Mandelbox, la clase de

fractales hipercomplejos que ha revolucionado más estruendosamente todo ese campo en lo que atañe,

primordialmente, a la arquitectura (Lowe 2010). El templo de Khajuraho se asemeja más a esa clase es-

pecífica de fractales que a cualquier otra, o que a cualquier otra forma compleja de imaginería susceptible

de modelizarse. Eglash no considera la forma arquitectónica del templo sino solamente su dimensión

fractal, con lo cual es mucho lo que se pierde. Volveré sobre estas nuevas variedades de fractalidad poco

más adelante.

48

inconstante (y a veces muy magra) de los ejemplos muestreados por el propio Eglash.

Por diferente que sea la magnitud de las fractalidades implicadas en el Nuevo Mundo es

evidente que está faltando un libro de Fractales mexicanos (o peruanos, o amazónicos,

o andinos) y un desarrollo de pedagogía informática de excelencia que empareje el jue-

go con el antológico African fractals y con Culturally situated design tools; mientras

que él sí alcanzó a colaborar con un proyecto semejante en Brasil, la etnogeometría me-

xicana no ha tenido tampoco su Paulus Gerdes ni en el plano técnico ni en el político.

Figura 3.3 – Izq.: Generación recursiva de patrón fractal. Der.: Corrales Ba’Ila de Zimbabwe según Ron Eglash (1999).

Conocí a Ron Eglash en 1992 en un viaje que realicé por las universidades públicas y

privadas de California para establecer contacto con investigadores especializados en

ciencia cognitiva y en antropología de la complejidad. Él estaba entonces en el área

excéntricamente llamada History of Consciousness de la mágica Universidad de Santa

Cruz al sur de Silicon Valley, ocupando (recuerdo) una oficina muy cercana a las de

Angela Davis y James Clifford. Ron me presentó a sus colegas como el único otro an-

tropólogo de la galaxia que se estaba asomando a la fractalidad, un tema que entonces

parecía tener un futuro tan miserable como el de las redes sociales o la inteligencia arti-

ficial con las que yo ya me estaba entreteniendo (Reynoso 1991). Con Ron estuvimos

intercambiando ideas sobre tecnología fractal en diversas plataformas anteriores a Win-

dows o a Linux (tales como DOS, Macintosh o SmallTalk), incomprendiendo anacró-

nicamente a Bateson por su indiferencia ante la fractalidad, tratando de precisar la

dialéctica entre lo digital y lo analógico (confundida por Eglash con la distinción entre

lo discreto y lo continuo) y aguardando en vano que Clifford se presentara a dictar una

clase en un aula medianamente poblada en la que esperamos sentados sin que Jim (cuyo

Predicament of culture yo traduciría tres años más tarde) diera señales de vida. Una tar-

de memorable, aunque no del todo perfecta. Conservo aún los borradores que Ron me

obsequió y que venían a ser algo así como sus fotocopias de presentación en las cuales

se anticipaban ideas que él desarrollaría después. Al año siguiente de mi visita Eglash

realizó su viaje por siete países africanos en busca de fractales para poblar su libro de

ejemplos, aunque no hay casi testimonios de ese viaje en sus páginas (cf. Nelson 2000).

Como fuere, faltaban todavía seis años más para que Eglash publicara African fractals,

el libro en el que todavía encuentro ecos de aquellas conversaciones y que definitiva-

mente catapultó la etnogeometría africana al estado de excelencia.

49

Figura 3.4 – Generación recursiva de un templo hindú – Según Joye Yannick (2007: 315). Cuatro (o cinco) niveles de incrustación recursiva.

Una parte importante de ese libro consiste no tanto en una exploración de campo sino en

una serie de prospecciones bibliográficas de materiales de arquitectos y diseñadores he-

terodoxos tales como Jean-Paul Bourdier, Trinh T. Minh-Ha (Bourdier y Min-Ha 1985),

Georg Gester (1985) y ahora Ždímalová y Fecková-Škrabul’áková (2019), autor@s to-

d@s ell@s que publicaron imágenes fascinantes de África vista desde el aire y que el

lector puede consultar más provechosamente en los volúmenes originales. Con sus im-

perfecciones, las imágenes son, creo, un aspecto del libro de Eglash que ilustró la auto-

organización como pocas veces se había hecho y que ayudó a la difusión de la idea de

una geometría distinta y de una impronta algorítmica más cultural que ligada a la natu-

raleza. Aquí he preferido replicar una de aquellas imágenes (fig. 3.1) antes que las re-

producciones de Ron, las que no siempre son de la más alta calidad editorial.

Figura 3.5 – Fractal de tipo Mandelbox anónimo y cúpula dodecagonal del templo de

Ranakpur, Rajasthan (siglo XV) – Según Kirti Trivedi (2017).

Uno de los aspectos de la fractalidad que Eglash encontró en África tiene que ver con

las plantas urbanas y los patrones de asentamiento que exhiben una configuración simi-

lar a la del conjunto de Mandelbrot, con sus característicos bulbos de cebolla anidados a

distintas escalas. Esa peculiaridad se refleja en los kraales Ba’ila de Zimbabwe (fig. 3.3).

El problema que encuentro en imágenes como las de esas figuras, contundentes como

ellas lo son, es que tienen un aire de familia con conjuntos fractales fácilmente sintetiza-

bles como tales pero no son en absoluto específicas o privativas de África (cf. fig. 3.4;

comparar con figs. 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.11 y 3.13).

50

A esta altura del siglo XXI hay docenas de libros que revolotean en torno a nomencla-

dores tales como ‘Fractal Architecture’ y que despliegan ejemplos históricos y contem-

poráneos de edificios razonablemente fractales sea por su semejanza con atractores caó-

ticos, por su autosimilitud interna o por su dimensionalidad fraccional. El problema para

los lectores experimentados en estas ciencias de bajo vuelo es que nadie parece capaz de

hablar sobre fractales sin contar una y otra vez la misma historia. Día tras día debemos

soportar una agobiante pedagogía de curvas monstruosas, polvos de Cantor, costas de

Inglaterra, helechos, alcachofas y otros vegetales recursivos que todo el mundo se obs-

tina en incluir en un número cada vez mayor de páginas iniciales pero que aquí, por pri-

mera vez, procuraré ahorrarle al lector. Puede que mi propedéutica sufra un descalabro

que lastime o desoriente a futuros aprendices, pero la triste verdad es que semejante re-

dundancia prefatoria ya no se tolera más. En el curso de mi vida editorial caí en ese arti-

ficio un par de veces, es cierto, pero me he propuesto no volver a hacerlo (cf. Reynoso

2006).

Independientemente de que la generalidad de los autores comienza cada nuevo ensayo

sobre la fractalidad en la cultura como si fuera la primera vez que se trata el asunto, el

género fractal está definitivamente instalado en la práctica arquitectónica y en el diseño

urbano, especialidad en la que no siempre se manifiesta una inspiración africanista (Tri-

vedi 1988; 2017; Falconer 1990; Bovill 1996; Goldberger 1996; Portoghesi 2000; Ost-

wald 2001; Lorenz 2003; Capo 2004; Rian, Park y Ahn 2007; Yannick 2007; Situngkir

2010; J. Harris 2012; Torgovnick 2013; Dutta y Adane 2014; Sardar 2015; Vilalta 2017;

Dutta y Adane 2018; Jackson S/f).

Figura 3.6 – Izq. Esponja fractal de Menger – Ejecutada por el autor en Mandelbulber®

2.13.2.

Der.: Lideta Mercato, Addis Abbaba (Etiopía) – Según Vivalta Architecture, 2017.

En esta tesitura uno de los proyectos arquitectónicos que marcan la influencia de las

ideas de Eglash en el ejercicio de otras profesiones es el de Lideta Mercato, un mercado

diseñado y construido en Addis Abbaba, Etiopía, según principios constructivos deriva-

51

dos de la geometría, las vestimentas y diversas tradiciones fractales ya sea propias de

los nativos o generadas como epifenómenos del contacto cultural (Vilalta 2017 y fig.

3.6). Tras observar otros casos como éste, cae de suyo que muchas de las arquitecturas

desplegadas en diversas sociedades y en las épocas más imprevistas son tan convincen-

temente fractales como los ejemplos proporcionados por Eglash, cuyos criterios de se-

lección y representatividad –digámoslo– nunca fueron demasiado transparentes. La ar-

quitectura más contundente puede que sea la que refleja la construcción fractal de un

templo hindú procedente del artículo de Joye Yannick (2007) en páginas de la inevita-

ble revista Nexus Network Journal en el que se recuperan ideas vertidas por Kirti Tri-

vedi (1988), un contemporáneo mío de Mumbay, tejidas por él con suma discreción

once años antes que se publicara African Fractals sin que nadie señalara la importancia

de que semejantes ideas se pensaran en ese lugar tan periférico y en ese tiempo tan tem-

prano. Después de algunos años de silencio en los que se creyó que se había dedicado a

otros menesteres, Trivedi ha publicado recientemente ensayos en los que alinea las in-

trincadas ornamentaciones geométricas anidadas de templos hindúes y jainas con los

mandelboxes hipercomplejos de la más carismática tecnología fractal de culto de la se-

gunda década del siglo, encarnada en productos como Incendia, Infinity Fractal,

Mandelbulber y Mandelbulb 3D (Trivedi 2017; figs. 3.4, 3.5, 9.10. 9.11 y 9.12).

Figura 3.7 – Izq.: Ventana del rosetón norte de Notre Dame. Fotografía del autor, feb. 2000.

Der.: Conjunto fractal de Mandelbrot. Simetría dodecagonal magnificada por un factor de 37 trillones. Según Ary Goldberger (1996: 103).

Otras figuras en las páginas circundantes ilustran fractales arquitectónicos de gran es-

cala o de pequeño detalle en diferentes estilos. Algunos son viejos clásicos de la litera-

tura; otros debieron rescatarse del olvido. Muchos de los ejemplos de mayor efecto con-

sisten en contrastes entre fractales reales y virtuales: es así que un rosetón de la catedral

de Notre Dame tal como era a fines de 2018 –antes del incendio– se compara con una

región del conjunto de Mandelbrot ampliada 37 trillones de veces (fig. 3.7). Otro arte-

facto que despliega figuras de innegable fractalidad es el famoso espejo celta de Desbo-

52

rough (albergado en el British Museum) que se muestra en la fig. 3.8 (der.). La literatura

sobre la fractalidad ha ido creciendo después de Eglash pero las explicaciones que

aducen los fractalistas sobre la presencia de esa geometría en particular en distintos en-

tornos culturales siguen sin ser satisfactorias. Pensándolo bien, a la hora de la explica-

ción todas las geometrías culturales experimentan el mismo síndrome de lo que podría-

mos llamar analogía morfológica entre la configuración geométrica y el orden social,

una analogía susceptible de ser traída por los cabellos debido (como decía René Thom)

a las arbitrariedades de la descripción pero cuya verdad científica acaba en esa mala

metáfora.22

Ante la abundancia y dispersión temporal y espacial de los casos habría que imaginar

mejores explicaciones que las que se acostumbran, en las que se imaginan razones de

simbolismo religioso y de isomorfismos con las estructuras sociales específicas o con

las cosmovisiones típicas de África, un género al que no se debería prestar espacio des-

pués del arrepentimiento de Mary Douglas por sus excesos de analogía, un episodio de

reflexividad autodestructiva cuya bitácora culposa me entretuve en desarrollar larga-

mente en otros textos (cf. Reynoso 2019d: cap. §4.8). Acontecimientos como éste no

son suficientemente conocidos en la antropología de la corriente principal y a esta altura

del siglo eso es sin duda penoso. No obstante, espero que llegue el día en el que los fe-

nómenos en los que la geometría juega un papel central inspiren razonamientos mayor-

mente geométricos, más cercanos a los de Paulus Gerdes o a los de Dmitri Tymoczko

que a los de Ron Eglash o a los de las aladas paráfrasis simbólicas de la primera Mary

Douglas, a los de las analogías involuntariamente convencionales de Alfred Gell o in-

cluso a las de los símiles cosmológicos de Kirti Trivedi.

En la huella de Eglash se ha ido formando un amplio conjunto de diseñadores que han

llevado la práctica de la geometría fractal a un nivel que no estaba en los planes ni en la

imaginación de nadie en los años 90s. Han habido unas cuantas reseñas críticas del libro

de Eglash y de algunas de sus otras contribuciones. Las de Abdul Karim Bangura

(2000), Mazyar Lotfalian (2001) y David Hill (2003) no son más que comentarios posi-

tivamente inclinados pero insustanciales y prematuramente envejecidas; las de James V.

Rauff (1999) y Dwight D. Read (2004) son bastante más suculentas que eso.

La primera de éstas señala algunos puntos importantes. El más que interesante etnoma-

temático James V. Rauff (1999), autor de un memorable estudio sobre la iconografía

geométrica de los Warlpiri o Walbiri (Rauff 1997) que profundiza en el trabajo extraor-

dinario de Nancy Munn (1986) alega que la etnogeometría está acopiando partidarios y

detractores. Los primeros festejan el reconocimiento de serias ideas geométricas en las

sociedades tradicionales. Los segundos se quejan de las eventuales faltas de rigor y de la

tendencia de los etnogeómetras a estancarse en consignas autoindulgentes y a perpetrar

excesos posmodernos. Ambos utilizan ahora el libro de Eglash como coraza defensiva,

almacén de elementos de juicio y arma de ataque. Tras esa observación Rauff comienza

22

La misma clase de explicación por analogía metafórica entre la configuración social y la morfología

simbólica aparece en antropologías de muy distinto signo teórico. Véase, por ejemplo, la explicación

lévistraussiana de las máscaras caduveo más abajo (pág. 76 y ss.).

53

una prolija revisión del libro de Eglash que aquí reciclamos y parafraseamos en un úni-

co párrafo como un adecuado resumen del mismo.

Figura 3.8 – Izq.: Espejo celta de Birdlip, Gloucestershire - Museum of Gloucester (ca. 200 aC)

Der.: Espejo celta de Desborough, Northamptonshire - British Museum [924.0109.1] (50 aC-50 dC). Fotografía según Reginald Smith (1909).

Ambos ejemplares contienen elegantes alusiones al problema geométrico de Apolonio.

En su primer capítulo, no especialmente persuasivo (prosigue Rauff), Eglash enumera

los cinco rasgos distintivos de la fractalidad: recursión, scaling, auto-similitud, infinitud

(i. e. “progresión sin límite”) y dimensión fractal. El capítulo siguiente, en el que se des-

pliegan fotografías aéreas de asentamientos africanos al lado de simulaciones de figuras

fractales es el más deslumbrante de todo el libro (cf. fig. 3.1 y 3.3 más arriba). El tercer

capítulo discute la falta de fractalidad en otros lugares fuera de África; es el más débil

de todo el volumen, fundamentalmente debido a dos gruesos errores etnológicos. El pri-

mero de ellos es la atribución de Teotihuacán a la cultura Maya: una pifia flagrante y

una muestra de desconocimiento de las culturas y geometrías del país de la puerta de al

lado. El segundo error es la atribución de los dibujos en arena de Marcia Ascher en Eth-

nomathematics a los Warlpiri, el pueblo aborigen que llamó a los canguros por su nom-

bre y que habita un cronotopo clásico de la más vieja antropología. Rauff nos recuerda

que el análisis de Ascher referido a los Warlpiri de Australia tiene que ver con los

sistemas de parentesco y que el estudio de los diseños en arena se refiere a los Malekula

de las Nuevas Hébridas, el archipiélago de unas 80 islas que hoy llamamos Vanuatu (cf.

Ascher 1991: 45-61, 64, 70-77, 81-82; sobre los Warlpiri cf. Munn 1973; Rauff 1997).

54

Rauff tiene razón, naturalmente. Las observaciones de Eglash sobre la fractalidad son en

ambos casos inobjetables, pero su traspié antropológico no es por ello menos grosero;

de hecho, está muy cerca de tornar banal el desarrollo de todo el argumento de la espe-

cificidad cultural de la fractalidad. Rauff no hace objeción a otra observación cuestio-

nable suscripta por Eglash (1999: 43), que no es otra que la que afirma que los ‘Kwa-

kiutl’, los Haida y los Tlingut [sic] son las únicas culturas con arte fractal de América

nativa. En este punto el error antropológico de Eglash se torna triple. Por un lado los

Kwakiutl ya no deben llamarse así sino Kwakwaka wakw; por el otro, su arte es indis-

tinguible del de grupos vecinos como los Salish, los Tlingit y los Tsimshian. En tercer

lugar llamar America a los Estados Unidos suena por lo menos impreciso, imperial y

provinciano; ese topónimo exuda un retintín jingoísta de discurso presidencial; no es

algo que un antropólogo estaría inclinado a adoptar como forma normal de expresión.

En cuarto orden, y con mis disculpas, donde dice Tlingut debe decir Tlingit.

Hay al menos otra crítica igual de áspera que la de Rauff, por si les interesa. Dwight D.

Read realiza una revisión del libro de Ron mayormente simpática con sus ideas, aunque

con ásperas objeciones puntuales. Eglash –alega Read– no hace mayores esfuerzos por

vincular las geometrías fractales encontradas con los sistemas de organización social y

con la cosmología de las sociedades sur-saharianas. Tampoco le parece bien acabada la

idea de que la etnomatemática es un acercamiento a la intencionalidad indígena y no

tanto un simple registro de coincidencias circunstanciales. La objeción de fondo formu-

lada por Read es esencialmente metodológica y afecta a buena parte de la estructura del

libro. El argumento es el siguiente:

The style of the book is equally ambivalent, varying between explicit demonstration of the

fractal aspect of a particular settlement or design, and eclectic choice of examples. Eglash is

comfortable with mathematical patterning in his exposition, but ignores statistical patter-

ning. We are not provided with any sense of how examples were selected, the extent to

which they are typical or unusual examples of architecture or design, or the variability with

which fractal patterning appears in different cultural groups. In part, this reflects the dicho-

tomy between a topic that has to do with examining systems of thought, hence the parti-

cular pattern is crucial, versus considering the instantiation of those conceptual patterns in

terms of quantitative measures appropriate for describing patterning at a phenomenological

level (Read 2004: 203).

Aunque se entiende la objeción de Read, ella no guarda relación con ninguna modalidad

de “patrón estadístico” sino que afecta más bien a la representatividad de lo que Eglash

había establecido. La referencia de Read a presuntas o posibles “medidas cuantitativas

para describir patrones a un nivel fenomenológico” no es una expresión feliz después de

las demostraciones de Gregory Bateson en el sentido de que los números son el produc-

to de la operación de contar mientras que las cantidades son el producto de la operación

de medir (Bateson 1981 [1979]: 48 y ss.; Reynoso 2009). Dado que no proporciona nin-

gún ejemplo de lo que aduce, no sé si Read se está refiriendo a medir o a contar, pero

sea como fuere esta cuestión no se refiere a ninguna incumbencia conocida de lo que en

nuestra profesión acordamos llamar estadística.

55

En cuanto a las consecuencias del libro de Eglash más allá de las críticas puntuales pue-

de decirse que su obra ha desencadenado un movimiento mundial. Poco antes de morir

Paulus Gerdes comenzó a citarlo encomiásticamente, admiró la belleza de sus presenta-

ciones y modificó algunos de sus hábitos analíticos y de nomenclatura incorporando una

dosis mayor de fractalidad, la auto-similitud, la recursividad, las proporciones irraciona-

les, las secuencias de Fibonacci y la independencia de escala a su vocabulario analítico

más convencional y escolar (1994a: 365 versus 2007: 105; 2009: 113; 2011a: 133, 159,

328, 403, 404; 2011b: 133, 159, 173, 212, 328, 381-82, 400, 403-4, 406, 472, 500, 655,

853; 2012: 147; 2014b: 198). Como no podría ser de otra manera, Gerdes fue también

un autor a quien Eglash mencionó en pocas pero importantes ocasiones en distintos mo-

mentos de su obra (1999: 68, 122, 186, 222; Eglash y otros 2006: 347). Hace poco más

de doce años (en una Conferencia TED del 2007) Eglash pareció otorgar mérito a la

capacidad auto-organizativa del capitalismo, pero por lo demás él y Gerdes son autores

próximos en materia de perspectiva de género y de posicionamiento ideológico.

Figura 3.9 – Serie de Fibonacci en la superficie de las cámaras del templo de Karnak en Luxor (reproducida con otra ilustración en Eglash [1999: 88]) – Basado en Alexander Badawy [1965].

En la segunda década de este siglo XXI Eglash se ha convertido en el conductor indis-

cutido de la etnogeometría norteamericana, la cual hoy por hoy es una etnogeometría

etic predominantemente fractal. Como cuestión de hecho, la fractalidad se ha encontra-

do mucho más allá de los contextos africanos en los que Eglash ha escogido circunscri-

birla, lo cual configura un problema mayor porque –según al menos un puñado de egla-

shianos epigonales– no deberían haber tantos y tan buenos fractales allí donde positiva-

mente los hay porque si así fuera la fractalidad dejaría de ser un rasgo identitario dis-

56

tintivo de lo africano y porque la geometría de África al sur del Sahara (y al norte de la

selva lluviosa) ya no configuraría un caso tan excepcional (cf. Eglash y Bennett 2012;

Bennett 2012; Sayed y Fahrid Ahmed 2014; Beardsley 2016; Gundaker 2016).

A pesar de todo lo que hemos visto, la posición de África en un contexto supuestamente

“global” no es de envidiar. Salvo cuando toca alguna exhibición mayor en el Metropo-

litan, en el MOMA o en el British Museum, las grandes visiones panorámicas del arte,

de la estética y de la geometría que se plasman en este lado del mundo usualmente dejan

el continente fuera de consideración. Se dice siempre que los chinos, los japoneses, los

griegos, los romanos y eventualmente los peruanos (por obra de Machu Picchu) se han

atenido a ideas estructurales rigurosas en la construcción de sus ciudades y templos y en

la disposición de sus imágenes pero hasta ahí se concede. Sólo cuando se habla del

Islām entra a tallar la geometría, en cuya fractalidad no se ha ahondado mucho. La

creencia habitual sigue sosteniendo que la Grecia clásica es la fuente suprema de la tra-

dición geométrica y constructiva mientras que la antigua Babilonia ha sido la fuente

primera de la tradición algebraica o computacional, pero ‘geometría’ no significa lo

mismo en todos los contextos y muchos elementos de juicio son indicadores de ideas

contrarias a esta simplificación (cf. Seidenberg 1962b).

Figura 3.10 – Sonata para 3 pianos y percusión de Béla Bartók.

Ejemplo de geometría de la música basado (aparentemente) en la serie de Fibonacci.

La exclusión de África de las historias “universales” de diferentes asuntos geométricos

es entonces digna de inspección. Salvo cuando se discute ese momento específico del

“primitivismo” en la pintura moderna al que me referiré más adelante (pág. 204 y ss.),

siempre que los expertos en historia del arte hablan de África parecería que lo hacen por

conmiseración. En los libros en papel de ilustración las obras de arte africanas de los úl-

timos siglos se acomodan junto a la Venus de Willendorf o a las pinturas de Altamira,

como si hubiera un arte primitivo gourmet que vale lo que cuesta y que es signo de buen

tono admirar, pero que se aglomera en una misma antigüedad indefinida: un arte de mu-

seo que remite a un período (pre)histórico estilizado aunque figurativo cuya carga de

geometrización se detiene antes que las figuras comiencen a degenerar en estilizaciones

sin carga de significación o cuya denotación devenga una incógnita. Ni siquiera los es-

tudios inscriptos en lo mejor de la antropología del arte se abstuvieron de leer los pro-

cesos que van de lo figurativo a lo geométrico (o a la inversa) a la luz de juicios de

valor, debatiéndose entre la celebración por la estilización ganada y la pesadumbre por

los simbolismos perdidos; África no ha sido una excepción (cf. Goldwater 1964; 1938:

15-18; Hagen 1986). Cuando se extienden las referencias a casos al norte de África en

materia de geometrización los occidentales sólo piensan en el Islām, o a lo sumo en

Egipto; para bien o para mal, el África sub-Sahariana está invariablemente excluida de

57

la idea de globalización inherente a la idea de arte universal excepto en lo que hace a

sus contribuciones al primitivismo, más escultóricas que geométricas (cf. Gundaker

2016; Goldwater 1938; Goldwater y otros 1969). Así como el mercado de arte escultó-

rico africano responde a tradiciones pensadas para el gusto de clientelas de Europa y

(primordialmente) los Estados Unidos tendientes a un “mínimo común denominador”

(situación denunciada por antropólogos independientes décadas antes que los posmoder-

nos creyeran inventar la crítica cultural), una parte sustancial de los estudios de geome-

tría africana se basa en información que desde hace tiempo se sabe espuria (cf. Goldwa-

ter 1964: 119; Bascom 1976: 313 versus Clifford 1995 [1986]; Jules-Rosette 1984: 108-

141; Landau y Kaspin 2002; Jay y Ramaswamy 2004; Jules-Rosette y Osborn 2020).

Figura 3.11 – Geometrías anidadas en la cultura.

Motivos del piso de la Catedral de Anagni, ca. 1226 (ó 1104 según otros fechados). De estilo románico, muestran triángulos de Sierpiński con 4 y 2 niveles de anidamiento.

Caso a cuento es el hábito de considerar cualquier relación de proporción más o menos

aproximada como un caso de sección aúrea (o de sacro rectángulo). Lo cierto, sin em-

bargo, es que mucho de lo que se dice sobre la presencia del segmento áureo aquí y allá

no es más que el residuo de una vieja leyenda urbana que se resiste a morir. Audrey

Bennett (colaboradora ocasional de Eglash) cita al matemático y divulgador científico

Keith Devlin, un autor amplio de criterio pero libre de toda sospecha de afrofilia. Es-

cribe Devlin:

Ciertamente, la afirmación tantas veces repetidas de que el Partenón de Atenas se basa en la

proporción áurea [golden ratio] no es soportada por las mediciones concretas. De hecho,

toda la historia sobre los griegos y el segmento áureo parece no tener ningún fundamento

(Devlin 2005).

En musicología he llegado a apreciar sobremanera un reciente trabajo titulado algo así

como “Uso y abuso del número de Fibonacci y de la Sección Áurea en la musicología

actual”, un trabajo de la joven especialista en la buena y la mala numerología en la his-

toria de la música Ruth Tatlow (2006) de la Universidad de Uppsala. Aclaremos a todo

esto que ambas nociones suelen confundirse pero no son exactamente lo mismo, aunque

58

andan cerca. El segmento áureo fue creado por Euclides más de un milenio antes que

existiera la serie de Fibonacci, pero la cultura popular no lleva cuenta de esos detalles.

Euclides tampoco dijo nunca que el segmento áureo (cuya razón aproximada es de

1.6180339887498948482045868..:1 y se denota φ, o phi) poseyera alguna cualidad es-

tética específica, un mito que urdió Gustav Theodor Fechner [1801-1887], el psicólogo

favorito de Gregory Bateson a quien dediqué unos párrafos recientemente en mi libro

sobre Dilemas de la Comparación, la Semejanza y la Diferencia (Reynoso 2019d: 26-

27, 34). La relación entre ambos conceptos es por cierto estrecha pero un poquitín re-

buscada: si se toman dos números sucesivos de la serie se comprobará que su relación

en el límite es casi exactamente igual a φ. Créanme que no hay mucho más que eso, pe-

ro que eso alcanza para crear los misterios relacionales que a cada quien le venga en

gana: tales impresionismos pululan, precisamente, en esta variante de la numerología.

Figura 3.12 – Capitel del templete de Isis en Filae, Asuán, Egipto. Ornamentación autosimilar reminiscente del conjunto de Cantor.

Es un caso excepcional con cinco (o tal vez más) niveles de anidamiento. Según Emil Makovicky (2016: 206).

Contrástese con Ron Eglash (1999: 12-13, 15, 17, 93, 99, 147-148, 206-208).

El nombre de phi, como bien se sabe, lo inventó James Mark McGinnis Barr como ho-

menaje a Fidias (=Phidias = Φειδίας) [480-430 aC], el artista que esculpió la estatua de

Atenea del Partenón (Cook 1914: 420). En el par de siglos que nos preceden, el seg-

mento áureo ha conseguido un lugar permanente en el imaginario colectivo: en 1959 se

59

lo describió en la película Donald en el País de las Matemáticas y en 2003 se lo nombró

en El Código Da Vinci de Dan Brown. No sólo aparece en docenas de películas y series

(salvo, inexplicablemente, en The Simpsons, en Numbɛrs o en The Big Bang Theory)

sino que la música de muy diversos períodos está inundada de relaciones áureas. En el

tercer movimiento de la Sonata para 2 pianos y percusión (1937) de Béla Bartók [1881-

1945], el pasaje introductorio a cargo del xilofón utiliza el llamado “ritmo de Fibonacci”

que no es otro que 1:1:2:3:5:8:5:3:2:1:1 (cf. fig. 3.10). A lo que voy es a que hay una

rica geometría en la música (en toda la música, no sólo en la de África) y que las más de

las veces esa geometría es fractal y recursiva (cf. Reynoso 2008; Toussaint 2013). En

muchas instancias de las muy diversas geometrías afloran proporciones y relaciones que

bien pueden ser también epifenómenos, efectos colaterales o consecuencias del análisis.

Si se observa con cuidado la fig. 3.10 queda en evidencia que la “serie” de Fibonacci

aparece, sí, pero en un orden revuelto.23

Muchas veces se defienden las teorías contra-

rias, pues cada vez hay más gente que nos quiere hacer creer que esas series se encuen-

tran prevalentemente en el oído del oyente, en la imaginación del hermeneuta, en el ojo

del observador.

Figura 3.13 – Máscaras autosimilares Kwakiutl (hoy Kwakwakawakw) según Audun Holme (1965). El Kwakwakawakw (llamado por su nombre despectivo) es, como ya mencioné, casi el único estilo

amerindio reconocido como fractal por Ron Eglash (1999: 45). En ese estilo hay, sin embargo, una rica simetría axial pero poca fractalidad en el sentido estricto. La replicación de imágenes parecidas a

distintas escalas no guarda comparación con lo que es el caso de Nueva Guinea (ver fig. 10.3).

Cosas así no quitan que sobre todo en el dominio de la naturaleza la serie de Fibonacci y

la sección áurea posean propiedades sorprendentes y se oculten en los lugares más insó-

23

Sugiero echar una mirada a la página en que se muestra el uso de la serie de Fibonacci (ilustrada con la

espiral logarítmica del caracol Nautilus) en la música de konnakol del sur de la India ejecutada por Vid-

wan Shri B. C. Manjunath. Esa es la mejor ilustración que conozco de las geometrías latentes en el ritmo

musical. La página se encuentra en este vínculo.

60

litos; ni siquiera en un libro que se quiere transgresor y crítico de los mitos científicos

como quiere ser éste hay motivos para dudar de eso. Pero existe desesperantemente po-

ca obra de desmixtificación seria en contra de la espesa quimera que se ha formado en

torno suyo sobre todo cuando de la cultura se trata (Markowsky 1992; Livio 2002; Dev-

lin 2007). En etnogeometría se echa de menos un estudio esclarecedor de una numerolo-

gía que se ha tornado epidémica en el estudio de diseño y que merece una descontami-

nación como la que he comentado. Amén de eso el campo del análisis fractal de los

objetos arquitectónicos está disperso al grado de lo increíble: una disertación de maes-

tría titulada Fractal Analysis applied to ancient Egyptian Monumental Art de Jessica

Robkin (2012) se refiere nada más que a cuestiones de análisis de la dimensión fractal,

dejando de lado todo lo que tenga que ver con la geometría. Ni la serie de Fibonacci, ni

el segmento áureo, ni las ideas de Badawy ni African fractals le merecen a Robkin una

sola mención.

Consideremos, de todas maneras, el estatuto de la serie de Fibonacci y del segmento

áureo en la etnogeometría contemporánea. En el comienzo, Ron Eglash se refiere al te-

ma unas cuantas veces (1999: 87-89, 110-111, 156, 205-206). Los datos en que reposa

se basan en fuentes escritas antes que en la observación de indicios del uso de la serie o

del segmento en edificios y artefactos reunida en su trabajo de campo (del cual no hay

casi testimonios gráficos). La primera referencia le viene a Eglash de los libros de Ale-

xander Badawy [1913-1986] y en particular de Ancient Egyptian Architectural Design:

A study of the harmonic system (Badawy 1965: 12, 24, 55, etc.). Badawy (un egiptólogo

egipcio que descolló en la UCLA) dijo haber encontrado la serie de Fibonacci en el

templo de Karnak en Luxor y en unos cuantos sitios más, tal como se muestra en la fig.

3.9 más arriba. Badawy trabajó mucho con figuras y mapas, pero el respeto que ha ga-

nado su interpretación en torno de la serie de Fibonacci se deriva de su convicción de

que los antiguos papiros matemáticos documentan el conocimiento que los egipcios te-

nían de las matemáticas implicadas. Es de lamentar que ya en este siglo, tras examinar

todas y cada una de las fuentes matemáticas y las notaciones egipcias para series, pro-

porciones y fracciones Corinna Rossi y Christopher Tout (2002) del Churchill College

de Cambridge analizaron con minuciosidad las afirmaciones de Badawy y los documen-

tos existentes y llegaron a la conclusión opuesta:

Es importante señalar que no existe evidencia del uso de la serie de Fibonacci 1, 2, 3, 5, 8,

13 (o de cualquier serie parecida, tal como 1, 3, 4, 7, 11, 18 ... o 1, 4, 5, 9, 14, 23... etcétera)

en ninguna fuente matemática egipcia. Los restos arquitectónicos por desdicha no ayudan

porque los dibujos de Badawy mostrando el uso de la serie de Fibonacci en la arquitectura

no son ni numerosos ni convincentes (Rossi y Tout 2002: 29).

Es muestra de lucidez que Eglash rechace todo cuanto se refiera a la presencia de series

o rectángulos armónicos y dorados en el Partenón de Atenas. No es loable pero es com-

prensible que no haya conocido las críticas que arquitectos y egiptólogos contrapusieron

al modelo de Badawy. Lo que sí necesitaría alguna justificación es que Eglash acepte la

numerología del análisis del templo trimilenario de Karnak como una instancia reciente

de fractalidad representativa la concepción etno-matemática africana de la que se ocupa

el grueso de su libro. Las distancias entre el Africa Occidental sub-sahariana y Egipto

61

no son siderales pero los tiempos implicados se hallan milenios aparte. Lo cierto es que

Fibonacci está mucho más lejos en el tiempo de los constructores de Karnak de lo que

éstos lo están de Fidias o de Euclides y de lo que nosotros y los fractalistas africanos lo

estamos de Fibonacci: son mundos de diferencia cultural y milenios de información fal-

tante. En cuanto a Eglash y a Badawy, diré que en esta era de información en la punta

de los dedos proporcionar un ejemplo que no hacía falta y desencadenar sus consecuen-

cias quita, creo yo, mucho más que lo que agrega. Poco sentido tiene además, me temo,

ocuparse de Egipto y olvidar el Islām, pocas veces referido en el texto de Eglash a pro-

pósito de las geometrías africanas.

Figura 3.14 – “Cosmograma” del Códice Fejérváry-Mayer, lám. 1 – Dominio Público

Otra reproducciones en Walter Krickeberg (1961: 191) y en Dehouve y Vié-Wohrer (2008: 240)

Un tema de resolución pendiente es el de la presencia o la ausencia de fractales en otros

contextos culturales. Algo antes que los fractales se pusieran realmente de moda (lo que

recién llegó a suceder después del surgimiento y consolidación de las computadoras per-

sonales con monitores gráficos) James A. Marshall (1987), por ejemplo, había encontra-

do geometrías euclideanas complejas al lado de “geometrías de Fibonacci” en antiguos

sitios Hopewell en Ohio, Kentucky, Florida, Mississipi y otros estados, datados entre

400 aC y 400 dC y de una escala y complejidad comparables –dicen– a las de las líneas

de Nazca en Perú. Con la colaboración de la fallecida arqueóloga Patricia S. Essenpreis

de la Universidad de Florida, Marshall concluyó su impresionante estudio preguntándo-

62

se si es posible que existan otras culturas en África o en Oceanía capaces de ejecutar

geometrías similares. Essenpreis (o Marshall, no está claro) prometió reunir informa-

ción sobre los sitios Hopewell para completar algún día un Atlas de estas geometrías in-

dígenas, pero nunca supe que él o ella lo hayan hecho o que alguien más haya tomado la

posta.

Hay a pesar de ello un museo que hospeda una Colección Hopewell que comenzó a reu-

nirse a partir de aquel relevamiento, así como una extensa colección de objetos Hope-

well pertenecientes al mismo Museo que reúne un amplio muestrario de piezas geomé-

tricas (incluyendo no pocas svastikas) que constituyen cabales adinkras, objetos geo-

métricos denotativos que espero poder explicar de aquí a unos pocos capítulos.

Figura 3.15 – Dios fractal y personalidad genealógica objetivada

según Alfred Gell (2006 [1999]: figs. 7.11/1 y 7.11/2). Ninguna de las figuras exhibe rasgos estrictos de scaling recursivo y anidado que corresponderían a un fractal. La imagen mayor tampoco

es “plural” sino que es una unidad “contenedora”, replicando el papel de la multiplicidad que posee el colectivo que llamamos “sociedad” en Occidente.

Un excepcional estudio de Emil Makovicky sobre la simetría contiene un capítulo an-

tológico sobre fractalidad en algunos objetos y lugares inesperados, tales como el com-

plejo de edificios Jiu Tou Ma en la aldea Qi Yang en China, una vasija de bronce en el

Instituto de Arte de Chicago, la Mezquita del Viernes en Isfahan, Irán, la iglesia de

Santa Maria en el Trastevere de Roma y el templete de Isis en Filae, Asuán (fig. 3.12

más arriba). La inclusión de China e Irán en el club de la fractalidad incorporando obje-

tos rotunda y estrictamente autoafines marca una diferencia. Salvo por antiguas mencio-

nes del triángulo de Yang Hui a nadie se le había ocurrido antes que en esas regiones

del mundo habría fractales de ese tipo. Los objetos de esta colección son mucho más

63

convincentemente fractales que los que habitualmente se encuentran en la Web y lo

notable del caso es que el África sub-sahariana nada tiene que ver con ello; es la geo-

metría de la auto-similitud y de la iteración a distintas escalas (y no la métrica áurea, el

anidamiento infinito, las texturas abigarradas o la dimensión revelada por el conteo de

cajas) lo que define la naturaleza de estas fractalidades.

Dije hace un rato que después de Africa y de la India es en México donde se requiere di-

rimir la existencia y la naturaleza de las geometrías fractales que allí se encuentran

según una opinión minoritaria pero empedernida. En este libro se revisará la bibliografía

mexicana simplemente como ensayo de búsquedas posibles susceptibles de acarrear ha-

llazgos significativos, privilegiando lo geométrico por encima de lo fractal. Esto invo-

lucra emprender una búsqueda sin desesperar si la fractalidad que se encuentra es de

baja intensidad y si lo que asoma es más bien alguna otra clase heterodoxa de geometría

compleja, una isometría las más de las veces. Como anticipo de lo que podría hallarse

allí invito a considerar la figura 3.14, una imagen mesoamericana reputada “fractal” por

Danièle Dehouve y Anne-Marie Vié-Wohrer (2008) y por Dehouve (2015) pero que no

es más (y no es menos) que un majestuoso ejercicio de simetría cuádruple en rosetón.

Pese a la resistencia generalizada por parte de los analistas más convencionales, con los

años se ha acumulado una amplia bibliografía sobre la fractalidad en la arqueología de

México. En toda ella lo que más se acerca al logro de African Fractals es por un lado el

conjunto de estudios de Aline Lara Galicia y David Lagunas Arias y por el otro el sur-

vey de la etnóloga y socióloga comparativa Danièle Dehouve (Lara Galicia 2005; 2007;

2013; s/f; Lara Galicia y Lagunas Arias 2016; Dehouve 2017). Una serie de reportes

breves en los que participa Gerardo Burkle-Elizondo ha ganado también cierta presencia

en la bibliografía internacional (Burkle-Elizondo 2001; Burkle-Elizondo y Valdez-Ce-

peda 2001; Burkle-Elizondo, Sala y Valdez-Cepeda 2004; Burkle-Elizondo y Valdez-

Cepeda 2006; Burkle-Elizondo, Valdez-Cepeda y Sala 2007).

Mientras esos textos articulan los ejes principales, hay una parva de trabajos que arran-

can en los primeros años de este siglo y que aplican nociones de fractalidad al contexto

mexicano con variada plausibilidad sin contrastar casi nunca con los valores de otros ca-

sos testigo y sin distinguir mayormente entre fractales genuinos y formas enrevesadas

de simetría o iteración (Oleshko y otros 2000; Lorenz 2003; Sala 2002; 2006; Harris

2007; López Aguilar y Bali 2007; López Aguilar y Brambilla Paz 2007; Salvador

García y Vilanova de Allende 2007; Dehouve 2017).

[Describir trabajos sobre geometría fractal en México, considerando los equipos de

trabajo en orden cronológico]

Aunque su autora conoce muy fragmentariamente la bibliografía de la geometría fractal

en la cultura (desconociendo, por ejemplo, los trabajos de Paulus Gerdes y de la escuela

de Kirti Trivedi, anteriores al texto de Eglash por décadas), un punto de partida intere-

sante para elucidar la relación entre fractales y cultura en México es la que se presenta

en el ensayo de la mencionada Danièle Dehouve, algunas de cuyas observaciones críti-

64

cas sobre las interpretaciones metafóricas de lo fractal muestran un punzante sentido de

la oportunidad. Dehouve propone varios estilos en la comprensión de dichas relaciones:

Los fractales como un procedimiento geométrico desarrollado en ciertas

culturas (Eglash 1999). En lo personal, Dehouve se sitúa en esta categoría.

Los fractales como un procedimiento asociado con una cierta ontología

(Descola 2010).

Los fractales como una analogía que permite expresar representaciones

provenientes de sociedades no europeas o de una forma de entendimiento en

dichas sociedades (Wagner 1991).

Los fractales como una característica de las sociedades humanas

consideradas sistemas complejos (Mosko 2005).

Los fractales como repetición de ciertos motivos en distintas escalas,

fenómeno que se reproduce en cualquier cultura (Daryn 2006; Gausset

2010).

Encuentro un serio problema en la estructura de la enumeración, reminiscente de la en-

ciclopedia del emporio celestial de conocimientos benévolos de Jorge Luis Borges en

“El idioma analítico de John Wilkins” (Otras Inquisiciones, 1952). Por empezar, la cla-

sificación no satisface los requisitos de unidad de criterio, exclusión, especificidad y

tercero excluido que desde siempre deben regir las taxonomías. Bien podría ser que los

fractales, por ejemplo, sean un procedimiento geométrico desarrollado en ciertas cultu-

ras que se asocien con una cierta ontología puntual y que permitan ciertas representacio-

nes, y que todo ello ocurra simultáneamente. El esquema no permite seleccionar inequí-

vocamente las respuestas y está por ello defectuosamente articulado, pero por lo menos

el intento de Dehouve constituye un punto de partida tangible susceptible de corregirse.

En el marco wagneriano un problema tan serio y tan trabajado en las filosofias de O-

riente y Occidente como la mereología (esto es, la relación entre las partes y el todo) no

está tratado tampoco con un mínimo de rigor conceptual y metodológico. El hecho es

también que no todas las partes de un fractal se asemejan al todo, que el alcance, delimi-

tación y denotación de las partes no están precisad@s y que si la similitud es un con-

cepto vago la autosimilitud lo es todavía más. Que se manifieste similitud depende a ve-

ces de coincidencias excepcionales en la parametrización; lo usual es también que ella

se presente a escalas indiscernibles, micro- o nanoscópicas,24

no perceptibles al ojo hu-

mano, a distancias aperiódicas y ocupando un porcentaje ínfimo del espacio fractal. La

autosimilitud es además cuestión de grado y no de cualidad opositiva; pese a que se lo

necesita con urgencia, no se ha inventado tampoco ningún instrumento capaz de me-

dirla.25

Por lo demás, no es verdad que haya sido Roy Wagner quien trajera la idea de

24

Del orden de los trillones ¿por qué no?: véase fig. 3.7 en la pág. 50.

25 Es lástima que el lamentado Alfred Gell [1945-1997] haya creído el cuento de la autosimilitud fractal

impulsado por Roy Wagner y Marilyn Strathern sin reparar en los matices que impone el propio Mandel-

brot a las formas variadas y divergentes de autoafinidad y autosemejanza. Si se mira bien se verá que Gell

no menciona ni a Mandelbrot ni a nadie que se atenga a una visión sistemática de la fractalidad como en

este espacio podrían ser Ron Eglash o Paulus Gerdes. Por ello es que el “Dios Fractal” y la “personalidad

genealógica objetivada” que ilustra Gell (fig. 3.15 en estas páginas) no son “fractales” en el sentido de

implementar escalas anidadas suceivamene reducidas, ni se corresponden a la región geográfica del

mundo donde esa clase de figuras recursivas debería encontrarse (cf. Gell 2005: 113, 185-186, 274, 308).

65

fractal a la antropología en su “The fractal person” (1991), que es lo que Dehouve

(2015) afirma en un artículo relacionado, sesgado hacia una visión posmoderna del caos

que es como la camisa de fuerza en que ella ha quedado atrapada. No obstante sus acier-

tos eventuales, es manifiesto que Dehouve no ha buscado bien. Ron Eglash ya manejaba

la idea de fractalidad y dimensión fractal en su tesis de doctorado A Cybernetics of

Chaos (1992: 236, 237, 307, etc), elaborada a mediados de 1990. Eglash y yo, de hecho,

discutimos sobre gran número de textos antropológicos anteriores al artículo de Wagner

en nuestro encuentro en la Universidad de California en Santa Cruz ya referido (v. gr.

Murphy 1991). De hecho, hasta el día de hoy Eglash nunca mencionó a Wagner, cuyo

breve articulo carece de toda elaboración formal y de todo argumento útil y no había si-

do siquiera reseñado en antropología antes de su santificación en la literatura perspec-

tivista ya bien entrado el siglo XXI. Si hay alguien que introdujo la fractalidad en la

antropología sociocultural fue por amplio margen Jesús Ibáñez [1928-1992] en su falli-

da Investigación Social de Segundo Orden, un marco de referencia ya discontinuado, a-

travesado por toda clase de errores de concepto, de algorítmica, de notación matemática

y hasta de ortografía pero que es al menos seis años anterior a la fractalografía wagne-

riana (Ibáñez 1985; 1990: 132-138; 1991 [febrero]: 36-37, 41, 122, 163; cf. Reynoso

2006: 5, 64, 96).

En arqueología la idea de fractal aparece en los trabajos de Stephen Kennedy y Wei-

Hsiung Lin (1986; 1988) y en los de Jack Mecholsky y T. J. Mackin (1988: 1147). Por

la misma época, dos expertos en ciencias de la computación y dos arqueólogos de Lon-

dres, Diane Rees, G. G. Wilkinson, Clive Orton y Roger Grace (1988), respectivamente,

utilizaron la idea de dimensión fractal para analizar imágenes gráficas de microdesgaste

de instrumentos arqueológicos, prestando atención a los complejos patrones geométri-

cos de las texturas (cf. además Rees y Orton 1991). Estuve presente en la primera pre-

sentación pública de esos métodos en la conferencia de Computer Applications in Ar-

chaeology desarrollada en la Universidad de Birmingham en marzo de 1988; tres años

antes que Wagner descubriera la fractalidad señalé a Orton pormenores y complicacio-

nes del análisis de dimensión fractal que yo describiría tiempo más tarde –estando Clive

de nuevo presente– en una conferencia sobre complejidad que impartí en Kyoto (Rees y

otros 1988; Reynoso 2005; 2006: 239).

Otro problema no trivial es que las posturas de Philippe Descola y de Roy Wagner que

Dehouve describe sometiéndolas a una serie de distorsiones adicionales no han sido

adecuadamente desarrolladas en los textos de esos autores, un fenómeno del cual me he

ocupado en otros estudios dedicados específicamente al perspectivismo amazónico y las

filosofías que lo alimentan (Reynoso 2019b). A lo que apunto es a que ni Descola ni

Tampoco son formas propias de Nueva Guinea como las que ocuparon a Wagner y a Strathern, sino que

proceden de Rurutu y de las islas Cook, respectivamente, ambas en el mero centro de la Polinesia. Antes

de morir Gell preparó la escena para quedar en la historia como un heterodoxo, si es que no como un mal-

dito, escribiendo a grandes brochazos, con estudiada espinosidad y sin limar contradicciones. Sobre las

críticas que penden sobre su obra –nunca acabadamente respondidas– conviene conocer las de Robert H.

Layton (2003), Ross Bowden (2004), James Leach (2007), Irene J. Winter (2007) y Howard Morphy

(2009), las que desarrollaré en sucesivas revisiones de este mismo hipertexto.

66

Wagner son autoridades confiables en materia de fractalidad. Lo más grave es que Wag-

ner, siguiendo a Marilyn Strathern, mezcla indebidamente los conceptos de fractal y de

holograma, los cuales no se implican mutuamente: corte usted el dibujo de un conjunto

de Mandelbrot por el medio, observe lo que le queda entre manos y entenderá lo que

quiero decir.26

La infinitud es, como se imaginará, un aspecto de la fractalidad aun más problemático.

Casi todos los autores que han tratado el tema (incluido Eglash) parecen pensar que los

fractales se anidan indefinidamente y que el anidamiento prosigue hasta el infinito. El

problema con esta línea de argumentación es que los fractales culturales tienen, cuando

mucho, tres o cuatro niveles de anidamiento (ver fig. 3.4, 3.11 y 3.12); contrariamente a

lo que sostienen personajes como Donna Haraway, Marilyn Strathern y Roy Wagner, ni

el individuo como tal ni la sociedad ni las dichosas multiplicidades del perspectivismo

han demostrado ser susceptibles de representarse como geometrías anidadas autoafines,

como fractales en el plano complejo o (mucho menos) como hologramas.

La noción de fractalidad de Gil Daryn, asimismo, se basa en una imprecisa definición de

fractal/autosimilar derivada de Wagner y una enredada concepción de la idea de dimen-

sión fractal, a la cual no usa más que metafóricamente creyendo que es un indicador de

autosimilitud. El autor no mide la dimensión fractal de ningún objeto ni registra medi-

ciones de terceros. Ninguno de los criterios descriptivos que utiliza es de orden geomé-

trico. Para darles una idea de lo que quiero decir invito a que se considere que en las

300 páginas del libro no se menciona ni una sola vez la palabra ‘geometría’ como no sea

para referirse al título del libro de Mandelbrot sin mencionar ni una sola idea de este

pensador en el cuerpo del texto. El artículo de Descola, por su parte, no define fractali-

dad ni mal ni bien, utiliza una sola vez y al pasar el concepto de fractal sin especificar

claramente sus atributos y hasta pierde la oportunidad de vincular (como se esperaba

que lo hiciera) cada una de las ontologías existentes con alguna geometría particular.

La visión de Mark Mosko (2005) a la que Dehouve se refiere, por su parte, no ofrece

criterios adecuados para dirimir el grado de complejidad de las sociedades ni el grado de

similitud que se aceptaría como umbral de las “autosimilitudes”, el cual es un concepto

impropio a partir del momento en que la dimensión fractal (sobre todo cuando se la mi-

de faut de mieux mediante el método grosero del box counting) no mide similitud sino

grado de complejidad (o de orden/desorden, o de abigarramiento). Lo he probado hasta

el hartazgo y lo han comprobado también otros autores más calificados que yo: cual-

quier dibujo enmarañado, hirsuto, aleatorio, estocástico, sucio o revuelto más allá de un

monto moderado de ruido-señal posee casi la misma dimensión fractal que el conjunto

26

No existe en toda la literatura científica un solo ejemplo concreto de fractal hologramático. El hologra-

ma de una papa (tubérculo de fractalidad nula si los hay) no la fractaliza en absoluto. Puede hacerse desde

ya un holograma de un fractal, pero esa operación no es aplicable sólo a esa clase de objetos. Por más que

se haya convertido en tema usual de conversación, afirmar la afinidad entre el concepto de fractal y la

idea de holograma es un sinsentido insigne: ya va siendo hora de que estas clases de lugares comunes se

reconozcan como las naderías que son.

67

de Mandelbrot27

(típicamente 1,9 o más), considerado por todo el mundo como el objeto

matemático más complejo del universo (Dutta y Adane 2014; 2018 versus Jones-Smith

y Mathur 2016; Reynoso 2005; 2019d: cap. §9).

Desde el punto de vista antropológico y geométrico, además, la propuesta de Mosko se

da de narices contra el hecho de que existen sociedades tecnológicamente simples pero

con geometrías (o con sistemas de parentesco, o con sistemas fonológicos) de comple-

jidad inimaginable, tal como puede comprobar el lector en casi cualquier museo etno-

gráfico del mundo donde se expongan cerámicas, tallas en madera, textiles, cestos, arte-

sanías, arte corporal, máscaras, chaquiras... Para cerrar este punto diré que aunque algu-

nos de sus giros argumentativos me resultan sólidos, en todos los paradigmas fractales

que hilvana Dehouve en su enumeración la geometría fractal no es sino antropología

simbólica, hermenéutica o posmodernismo con otros nombres: una narrativa sin aristas

técnicas filosas, basada en literatura de divulgación y cocinada en un caldo de analogías

que habrían avergonzado a Nelson Goodman (y hasta quizá también a Mary Douglas

después de su ordalía goodmaniana).

El carácter aproximativo de los cálculos y mediciones prodigados en la mayor parte de

la literatura de fractales en la cultura ha disparado también algunas polémicas muchas

veces ríspidas, como si nos halláramos en un terreno conjetural y especulativo seme-

jante al de Black Athena, al de las mediciones de Richard Taylor de la dimensión frac-

tal de las pinturas de Jackson Pollock o las búsquedas desesperanzadas de cuasicristales

aperiódicos antes de los descubrimientos definitorios que los reposicionarían en la cús-

pide de las ciencias del milenio (cf. Reynoso 2019c: cap. §9).

Uno se pregunta en el caso de México (o en el de los textiles andinos, o el de los tem-

plos hindúes, o el de los muqarnas islámicos) si la tan socorrida fractalidad no es sim-

plemente el nombre sustituto para una simetría la mayor parte de las veces enredada

pero nada más que iterativa y puesta al lado de una autosimilitud esporádica y no dema-

siado exacta (cf. p. ej. http://Masdemx.com). La similitud y la diferencia (recordémoslo)

son conceptos extremadamente elusivos. En los ejemplos que pueblan la bibliografía

hay veces en que la fractalidad no es la característica dominante y que es la clase de iso-

metría geométrica lo que deviene la decisión más saliente; no hay tampoco una clara

línea de circunscripción entre lo simétrico y lo fractal, conceptos que parecen sufrir lo

que los lingüistas llaman distribución complementaria (cf. p. ej. en las secuencias de

embaldosados de Daud Sutton [2007]). Lectura esencial a este respecto es el conjunto

27

Típicamente 1.9 o más. Se supone que la dimensión fractal de la línea que bordea el conjunto de Man-

delbrot es (casi) exactamente igual a ‘2’. Desafío sin embargo a encontrar esa magnitud utilizando cual-

quier programa de cálculo de dimensión fractal disponible en el mercado, tal como Benoit (TruSoft),

HarFA (O. Smeškal y otros), Hausdorff Fractal Dimension for MATLAB (Florian Agen & Julien

Michot), FracLab (INRIA), FracLAC for ImageJ (Audrey Karperien), Fractal Count for ImageJ (Per

Christian Henden & Jens Bache-Wiig), HausDim (Alceu Costa), Fractalyse (Gilles Vuidel), Fractal Di-

mension Estimator (Autores del Visual Fractal Lab), Gwyddion (Instituto Checo de Metrología), Fractal

Analysis System for Windows (Hiroyuki Sasaki) o SensoMap 7.4.8443 [SSFA: Scale Sensitive Fractal

Analysis; cf. Rosso, D’Errico y Queffelec 2017; Henshilwood 2018: 119). Se comprobará que las cifras

de medición que se obtienen son en extremo divergentes. Sobre la magra confiabilidad de éstas y otras

piezas de software en la especialidad véase Reynoso (2005) y Hadzieva y otr@s (2015).

68

de textos críticos de Michael J. Ostwald y Josephine Vaughan (2013; 2016), los cuales

comprueban la extrema facilidad con la que pueden recolectarse rasgos de fractalidad

arquitectónica sin mayores consecuencias conceptuales, sin casi ninguna garantía me-

todológica y sin que lo fractal pase a designar algo más que lo meramente complicado.

Desde que el milenio comenzó se está pensando en fractales con menos rigor que el que

se requiere y se está hablando de ellos mucho más de lo que realmente hace falta, con la

consecuencia que se está haciendo a propósito del asunto mucho que no es ni metodoló-

gicamente atinado ni científicamente útil. Que los fractales abunden más allá de cierta

medida no ha sido en definitiva una buena noticia. La fractalidad es como una moneda

que se devalúa cuanta más emisión experimenta. El coleccionismo de objetos fractales

puede ser un primer paso en la búsqueda de indicadores sustantivos, pero esa búsqueda

debería hacerse de aquí en más en base a criterios más firmes, reflexivos y consensua-

dos. Mi persuación es que la definición de fractal debería ser más dura, más precisa y

más restrictiva, a menos que nos resignemos a aplicarla en términos blanda y mórbida-

mente metafóricos, como cuando en la antropología componencial o en la arqueología

procesual a cualquier ordenamiento de un conjunto lo llamábamos sistema sin precisar

el alcance de la idea y presuponiendo que su cualidad de objeto sistemático no merecía

demostración.

Si aquí me atrevo a hablar de blandura en el tratamiento de la fractalidad es (1) porque

el criterio de autosimilitud no es susceptible de medición, abre las puertas a la subjetivi-

dad más caprichosa y depende del nivel de abstracción que cada quien adopte; (2) por-

que la dimensión fractal calculada en base al cómputo de cajas (igual que sucede con la

media en las distribuciones estadísticas) dista de ser un parámetro robusto y varía con-

forme al efecto de las alas de mariposa, a diferencias microscópicas en la inclinación de

la imagen, a los más imperceptibles errores de redondeo o a lo que nuestro Gregory

Bateson (1979: 40-41) llamaba impredictibilidad de las secuencias divergentes; (3) por-

que no se puede pasar ida y vuelta de lo fractal a lo caótico (o a lo no-lineal, o a lo auto-

afin, o a lo holográfico, a lo aleatorio, a lo estocástico o a lo disipativo) como si se trata-

ra de la misma cosa; y (4) porque tres, cuatro o (con suerte) cinco niveles de anida-

miento no son ni por asomo indicadores de una recursión compleja que tiende a la infi-

nitud (cf. Reynoso 2005; 2006; ver fig. 3.4, 3.11 y 3.12).

Nadie en su sano juicio puede negar la enormidad del aporte de la geometría fractal al

conjunto de la ciencia, del arte y de la cultura. Pero los objetos fractales encarnan tam-

bién esa clase de ideas que empieza a perder filo y significación cuando no se entiende

perfectamente la geometría en la que se materializa y cuando se comienzan a encontrar

objetos de ese tipo en una cantidad demasiado grande de lugares en los que se supone

que no deberían estar, o en territorios en los que su presencia hace estallar la cota acep-

table de expresiones sistemáticamente engañosas (cf. Ryle 1931-32), deviniendo más un

recurso que genera problemas metodológicamente intratables que una solución obe-

diente a principios de saludable economía conceptual.

69

4 - Hitos de la etnogeometría (2): Simetrías en la cultura

Sería pues ilusorio imaginarse, como tantos etnólo-

gos e historiadores del arte siguen haciéndolo toda-

vía hoy, que una máscara y, de manera más general,

una escultura o un cuadro, pueden interpretarse cada

cual por su cuenta, por lo que representan o por el

uso estético o ritual al cual se destinan. Hemos visto

que, por el contrario, una máscara no existe en sí;

supone, siempre presentes a sus lados, otras másca-

ras reales o posibles que habrían podido ser esco-

gidas para ponerlas en su lugar.

C. Lévi-Strauss, La vía de las máscaras (1979).

Aquellos tracistas granadinos fueron capaces de de-

sarrollar, en los mosaicos de la Alhambra, las 17 po-

sibilidades que hoy conocemos desde el descubri-

miento de los rayos X y la Teoría de Grupos Crista-

lográficos Planos. Es más, la Alhambra es, actual-

mente, el único monumento construido antes del

descubrimiento de la teoría de grupos que cuenta

con al menos un ejemplo de cada uno de los grupos

cristalográficos planos.

Rafael Pérez Gómez (2004)

Las historias que han vuelto a surgir en el siglo XXI revelan que la simetría es un

concepto mucho más rico y polimorfo de lo que suponíamos, en tanto que brinda una

pauta que conecta diversos dominios del conocimiento y demuestra una vez más que el

conocimiento de la elaboración cultural de las diversas prácticas geométricas engloba-

das como simetrías podría llegar a ser esencial para comprender aspectos fundamentales

de las ciencias y las matemáticas contemporáneas que van mucho más allá del campo de

la geometría (cf. Weyl 1952; Shubnikov y Koptsik 1974; Hargittai 1986; 1989; Har-

gittai y Vanshtein 1988; Pérez Gómez 2004; Darvas 2007; Stewart 2007; Hon y Golds-

tein 2008; Field y Golubistsky 2009; Hargittai y Hargittai 2009; Ladd 2014; Fré 2018;

Jinzenji 2018). Sin nociones sustanciales y rigurosas de simetría –afirmo consecuente-

mente– no pueden entenderse algunos de los conceptos básicos de la teoría de grupos y

del análisis estructural de alta gama que fueron alguna vez moneda corriente en la lin-

güística y en la antropología de inclinación científica hasta que algunas incongruencias

metodológicas bastante feas se hicieron públicas y varias de las modas de aquel enton-

ces comenzaron a desvanecerse o a ser sustituidas por otras, no siempre mejores (cf.

Reynoso 1990).

Aquellas nociones, por cierto, no acaban en las operaciones de tipificación de diseños

simétricos sino que entrañan ramificaciones que (al igual que lo hacen otros aspectos de

la geometría) se extienden al dominio de la cognición, del simbolismo y de la represen-

tación, por cuanto la simetría es un campo en el que se encuentran con particular nitidez

los aspectos universales y particulares de un fenómeno definido con tanta claridad como

70

muy pocos otros, un fenómeno, además, de sólidas y amplias consecuencias anidadas.

Por más que se la pueda definir de casi infinitas formas, la simetría como plasmación

geométrica no es un evento periférico o de importancia episódica; aunque a nuestro

Clifford Geertz le haya molestado esta clase de generalizaciones, no conozco sociedad

en la que no se presente alguna clase de simetría y donde ella no sea capital a efectos de

vertebrar la representación en general, así como de vincular campos tan aparentemente

disjuntos como las matemáticas, el arte, la cultura material y la tecnología. A punto de

dar inicio a otro capítulo no quisiera incurrir en otro acto de spoiling indiscreto más allá

del epígrafe que he tomado de Rafael Pérez Gómez (2004), pero una vez más planeo

mostrar aquí de qué manera las artes y oficios geométricos de los otros pueblos se anti-

ciparon en el orden de los siete, ocho o más siglos a los hallazgos de las formas más ela-

boradas de la teoría de grupos, de la tecnología de rayos X, de las teorías de conserva-

ción en física, de la cristalografía y de la física de estado sólido. Y una vez más hubie-

ron de ser los matemáticos y los teóricos de la línea dura los que reconocieron la prece-

dencia de artistas y artesanos de los otros pueblos sobre los círculos científicos de Oc-

cidente, un hecho que la antropología del arte y las disciplinas conexas de las huma-

nidades todavía hoy se obstinan en ignorar.

Me refiero en particular a la obra del matemático y filósofo Hermann Weyl [1885-1955]

y en particular a su esplendente libro Symmetry (1952), un prodigio de inteligibilidad,

hondura analítica y sensibilidad estética que ningún antropólogo del arte y ningún etno-

geómetra debería darse el lujo de dejar de leer lo más completamente que su perfil pro-

fesional se lo permita. Sin distraerse en la especulación sobre sus orígenes o sobre sus

cualidades formativas, Weyl no duda en otorgar prioridad al arte egipcio y pre-islámico

en la intuición y sistematización de simetrías que llevarían sin discontinuidades a la teo-

ría de la relatividad y a la mecánica cuántica, entre otros campos de la ciencia. En algu-

na medida el libro que se está leyendo ha buscado expresamente generalizar los hallaz-

gos de Weyl a otros campos de la (etno)geometría aparte de las isometrías del plano.

Antes de comenzar a re-articular el campo de las geometrías en la cultura en base a los

marcos de referencias fijados por Weyl conviene esbozar una no necesariamente breve

demarcación para enumerar los múltiples campos del conocimiento que muy diversos

autores operando en un buen número de disciplinas han sistematizado en términos de

simetrías. No todas esas sistematizaciones se encuentran a pocos grados de separación

de los argumentos que se desarrollan en este libro. No conviene, empero, catalogar pos-

tulados científicos excomulgables o excluir líneas de investigación con demasiada prisa.

Estudios como los que presenta el científico húngaro István Hargittai (1992) en un libro

como Fivefold symmetry tocan asuntos que por momentos parecen ausentes de toda

preocupación antropológica o etnogeométrica pero que de pronto relevan una relevancia

inusitada, lo cual indica que las relaciones temáticas entre las ciencias, las disciplinas y

las corrientes teóricas no se distribuyen según proximidades y distancias lineales y uni-

formes sino que obedecen a una geometría laberíntica, no isométrica, cambiante, poli-

morfa y dependiente de perspectiva.

71

Basándose en un breve artículo pionero de John James Roche (1987), Giora Hon del

Departamento de Filosofía de la Universidad de Haifa y Bernard Goldstein del Depar-

tamento de Artes y Ciencias la Universidad de Pittsburgh han publicado hace no tanto

un libro de mediano porte titulado From Summetry to Symmetry: The Making of a Revo-

lutionary Scientific Concept (Hon y Goldstein 2008). Este libro contiene nutrida infor-

mación sobre la evolución del concepto de simetría a traves del tiempo, lo cual puede

llegar a ser desorientador para el lector concentrado en las geometrías de la cultura. Los

autores parten de la base de que el concepto de simetría no existía con anterioridad al

siglo XVIII. “Tal cual lo entendemos hoy” –dicen– el concepto sólo se forjó no antes

del siglo XIX. El problema con esta enunciación es que el entendimiento al que se refie-

ren Hon y Goldstein es de un carácter extremadamente técnico y no coincide con lo que

en las ciencias del diseño, en la historia del arte o en la etnogeometría entendemos coti-

dianamente por ese concepto. Lo mismo se aplica a publicaciones como las de Sandy L.

Zabell (2005), la cual ostenta el titulo sugerente de Symmetry and its discontents, pero

en la cual el concepto de simetría se trata en el marco de las problemáticas de la pro-

babilidad inductiva y en la que personalidades tales como la de Évariste Galois y la de

Hermann Weyl se nombran sólo al pasar o se callan del todo. El problema que se suscita

ante tantas significaciones dispersas, parcialmente convergentes o irregularmente sola-

padas de la idea, es que con la simetría todo acaba siendo como en las “Instrucciones

para subir una escalera” de nuestro Julio Cortázar, en la medida en que en este relato el

dilema fincaba en que tanto el pie izquierdo como el derecho se llaman ‘pie’, mientras

que en este otro dominio del saber tanto la simetría en la que pensamos por defecto

como cualesquiera otros conjuntos conceptuales poblados de atributos que apenas en-

tendemos se llaman todos ‘simetría’. Lo mismo sucede con categorías que denotan sub-

dominios particulares, tales como “las simetrías clásicas en espejo” (Jinzenji 2018) que

invito a husmear para comprobar el punto. Quien piense adquirir un libro que ostente

esa clase de nombres en el título pensando que el volumen aclarará algo vinculado con

el desdoblamiento lévistraussiano de la representación o con el arte de los nativos

canoeros de la costa oeste de los Estados Unidos, hará bien en inspeccionar sus conte-

nidos antes de cerrar trato.

A mi juicio, esa porción de la historia de la simetría que es a la vez inteligible y esclare-

cedora para la antropología del arte y la etnogeometría comienza precisamente con el

refulgente texto de breves y compactas 46 páginas de Évariste Galois [1811-1832] que

se publicó 14 años después de su muerte (a los 21 años) a raíz de las heridas que un ri-

val le infirió en un duelo que tuvo lugar tras una discusión por razones políticas que hoy

pensaríamos relativamente fútiles. Tras ser herido en ese duelo y adivinando que no le

quedaban más que unas horas de vida, Galois escribió esas páginas como sumido en un

delirio febril. Un amigo las guardó, las pasó en limpio y las publicó poco después. En

ellas se inaugura la teoría de grupos, tras la cual ni las matemáticas ni las geometrías

volverían a ser las mismas (cf. Alexander 2010). Pietro Giuseppe Fré (profesor de Física

Teórica de la Universidad de Turín) narra ese acontecimiento capital con estas palabras:

The theory named after him and the theorem which, within such a theory, constitutes Ga-

lois’ major result, are rather difficult both at the level of the definitions and of the proofs: in

72

addition one can honestly say that Galois theory of the solubility of algebraic equations is a

rather specialized topic which, nowadays, finds relevant applications eminently in number

theory and associated topics, but not too many in geometry at large and in physics. On the

contrary, the weapon that Galois developed to obtain his own results, namely the Theory of

Groups, has proved of extraordinary conceptual relevance and fertility, being the starting

point for an entirely new vision of Mathematics and in particular of Symmetry (Fré 2018:

21).

Fré también nos proporciona una descripción simple de un grupo de transformación. A

partir de nociones como éstas se desarrollará hacia fines del siglo XIX y principios del

XX una elaboración particular de la simetría o más técnicamente una aplicación (el es-

tudio de los embaldosados o teselaciones) que se investigará en el capítulo siguiente. El

lector interesado puede consultar alguna bibliografía reciente que permite comprender el

campo de la simetría de maneras que no eran posibles veinte o treinta años atrás y pene-

trar más hondo en muchas de sus especialidades como la cristalografía y la difracción

(v. gr. Shubnikov y Koptsik 1974; Hargittai y Vainshtein 1988; Ladd 2014). Algunas

nociones ligadas a la preservación de elementos en las transformaciones han alumbrado

teorías situadas en campos muy apartados de las ciencias sociales; el llamado teorema

de Emmy Noether [1882-1935], por ejemplo, se ha aplicado a la gestión de relaciones

públicas y ciencia política echando mano del concepto de conservación (v. gr. Sha

2004). Documentada la amplitud y heterogeneidad del macro-concepto de simetría es

oportuno ahora examinar el significado de esa noción de cara a la etnogeometría.

Desde el punto de vista geométrico y algebraico la mayor parte de las descripciones de

diseños simétricos en la literatura etnográfica y arqueológica es algo peor que simple-

mente inapropiada. Nuestros especialistas operan como si carecieran de un léxico para

llamar a las estructuras simétricas por su nombre o por algunas de las múltiples designa-

ciones que se han consensuado; es imposible, por lo tanto, saber qué estructuras o trans-

formaciones específicas se manifiestan en qué culturas, regiones o períodos de la (pre)-

historia y cuáles otras están conspicuamente ausentes. Desde sus orígenes las disciplinas

antropológicas han explotado la noción de estilo, pero no han articulado la idea de los

estilos geométricos de una manera útil y sistemática, contentándose con asignar cada

una de las simetrías encontradas a un estilo ‘geométrico’ indiferenciado y no recono-

ciendo como tales a un gran número de transformaciones e iteraciones isométricas tipi-

ficadas por los especialistas. El siglo XX finaliza con prácticamente ningún ejercicio en

torno del concepto de estilo en la antropología sociocultural del arte y con una serie de

metodologías divergentes en arqueología del arte en la que sólo el campo de la simetría

en la cultura experimenta avances tangibles que no siempre ayudan a reorientar las lí-

neas de investigación (v. gr. Conkey y Hastorf 1990; Carr y Neitzel 1995; Hurt y Rakita

2001; Sanz y Fiore 2014).

Lo peor de todo esto es que existe una profusa producción sobre la notación y nomen-

clatura de patrones simétricos en otras disciplinas; pero aunque pueden encontrarse al-

gunos precedentes dignos en estudios culturalmente sensitivos, es sólo a partir de los

73

trabajos de Dorothy Washburn, Donald Crowe y sus colaboradores en la Universidad de

Washington en Seattle a fines de la década de 1980 que el análisis de la simetría llegó a

nuestras disciplinas elaborado en forma científicamente productiva (Washburn y Crowe

1988; 2001; Zaslow 1990; Crowe 2001; Washburn y Humphrey 2001; Washburn 2004).

Por esa época y en años subsiguientes surgen los journals más importantes de la espe-

cialidad y de temas conexos de espacio y diseño: Symmetry: Culture and Science de

Symmetrion, Journal of Mathematics and the Arts de Taylor & Francis Online, Interna-

tional Journal of Space Structures de SAGE. Pero el trabajo de todos los autores suma-

dos a la iniciativa no habría sido lo mismo de no contar con la persuasiva sistemati-

zación de Henry John Woods [1903-1984], un físico que trabajaba en el Departamento

Textil de la Universidad de Leeds, que publicó cuatro tratados fundacionales sistemá-

ticos en el Journal of the Textile Institute tomando como punto de partida el estado de

avance de la simetría cristalográfica del momento (Woods 1935a; 1935b; 1935c; 1936).

Figura 4.1 – “Figura que representa un tiburón”, según Lévi-Strauss (fig. III de la sección de láminas;

descripto en la nota #29 de la pág. 239 de la edición citada de Antropología Estructural ). Tomado por razones de calidad gráfica del Report mencionado por Lévi-Strauss, donde se lo etiqueta

como “Haida dog fish” (Mallery 1888-1889, lám. XXV, pág. 402). Imagen en el dominio público.

Es lamentable que estos esfuerzos de sistematización no hayan sido acompañados por la

comunidad de los estudios etnogeométricos y por las comunidades de investigadores en

etnografía y arqueología con inquietudes metodológicas (v. gr. Politis y Alberti 2005

[1999]). De hecho, la nomenclatura ha experimentando un impacto más fuerte en huma-

nidades tales como la historia del arte, el diseño gráfico o las ciencias de la educación

que en disciplinas supuestamente más científicas y ligadas a la investigación tales como

la arqueología. En un campo en el que las buenas iniciativas no sobreabundan, Ron

Eglash cuestionó duramente la asignación de clasificaciones “sacadas de la cristalogra-

fía” para la comprensión de las simetrías aborígenes, como si ese acto de “traducción”

74

(como él lo llama) fuera cualitativamente lo opuesto a aplicar mediciones de dimensión

fractal o algorítmicas recursivas a los diseños de otras culturas (Eglash 2001; 2006: 349;

Rosa y Orey 2010: 11).

No obstante esta resistencia difícilmente justificable y contradictoria, la clasificación

“cristalográfica” de las simetrías ha producido una descomunal cantidad de análisis de

alta calidad y fuerte sustancia y ha puesto todo el campo de las simetrías en primer pla-

no, aunque la saliencia cognitiva de las operaciones básicas en el momento de la cons-

trucción de los ejemplares (la “realidad psicológica” de los postulados teóricos, como se

decía en aquellos tiempos) quede por siempre encerrado en el territorio de lo más in-

cierto y conjetural. Contrariando a Eglash, en un mundo globalizado para mal o para

bien el cuadro de las isometrías etic se usan activa y rutinariamente, por ejemplo, en los

Servicios de Educación de Ghana para reforzar los sentimientos identitarios de los

actores culturales y su comprensión más honda de los procedimientos que ellos mismos

emplean en la confección de su patrimonio (Langdon 1989: 178).

El error en que incurre Eglash ha puesto sobre el tapete las consecuencias más serias del

aislamiento disciplinario y de la falta de comprensión que impera en el seno de las cien-

cias sociales en cuanto a la necesidad de la colaboración transdisciplinaria si es que de

veras se persigue el objetivo de ampliar los horizontes metodológicos. A raíz de ese

error se ha demostrado imperativo que la antropología tome cartas en la investigación

reflexiva de la historia y la contextualización cultural de los conceptos que emplea más

allá del caso concreto de la simetría. Lo cierto es que ni siquiera Washburn y Crowe se

han ocupado de seguir el curso de la historia del método de tipificación “cristalográfico”

que utilizan, actuando como si creyeran que las reformulaciones antiguas y recientes de

las nomenclaturas simétricas son irrelevantes en la gran escala. Aquí sostengo que clara-

mente no lo son. Todo ponderado, debo salir al cruce del hecho de que el texto de

Washburn y Crowe es de los años 80s, carga con casi 40 años de uso académico a sus

espaldas y se ha quedado corto en cuanto a la conexión productiva de la simetría prác-

tica con toda clase de universos conceptuales y mundos algorítmicos, lo cual redunda en

nuestra progresiva incomprensión de las simetrías situadas en la cultura. Por otra parte,

la metodología de la escuela de Washington no es adecuada para la exploración de toda

clase de simetrías. Ya he anticipado su inadecuación para una comprensión más honda

de las simetrías en espejo. También comprobaremos más adelante que lo mismo se apli-

ca a las geometrías de los embaldosados islámicos, razón por la cual los principales es-

tudios que las sistematizan no mencionan su contribución (v. gr. Abas y Salman 2007;

Wichmann y Wade 2018). Algunas tradiciones simétricas en América Latina, como por

ejemplo las complejísimas simetrías textiles y cerámicas de los Shipibo-Conibo, no re-

sultan fácilmente tratables mediante el análisis provisto para las isometrías de frisos,

planos y rosetas que constituyen los llamados grupos ornamentales del plano (v. gr.

Martin 1987 [1982]: 88; Roe 2004).

En la gran escala, dos trabajos esenciales en la despareja trayectoria de la antropología

del arte y de los estudios de la simetrías (uno de ellos temprano, el otro no demasiado

reciente) ritman un espacio del conocimiento que desde su misma fundación ofrecía más

75

promesas explicativas, taxonómicas, comparativas e interpretativas de las que podía

cumplir. Me refiero primero al libro de Franz Boas (1922) sobre el arte primitivo y

luego al artículo de Claude Lévi-Strauss sobre la asimetría/simetría entre los Caduveo y

el desdoblamiento de la imagen en el arte del noroeste de USA, de la cultura Māori y de

la antigua china.

El primero, el texto de Boas, ofrece un régimen de ilustración gráfica deslumbrante para

la época, acompañándolo de interpretaciones geométricas que el propio Lévi-Strauss

reconoce compactas y elegantes;28

el segundo saca casi todas sus ilustraciones de aquél

para después estancarse en un problema apasionante de similitudes o isomorfismos en-

tre culturas distantes en el tiempo y en el espacio para el que Lévi-Strauss no puede, por

más que lo intenta, encontrar una solución satisfactoria (cf. fig. 4.1 más arriba). Una

versión moderna de ambos libros es Northwest Coast Indian Art de Bill Holm (2014).

En todos estos textos clásicos centrados en el Noroeste de los Estados Unidos y más in-

frecuentemente en la Amazonia (y en la virtual totalidad de la imagen que los arqueólo-

gos del mundo tienen de la simetría) la idea dominante de lo simétrico se agota en la

simetría espejada con eje primordialmente vertical. Este concepto de simetría no es el

que interesaba a la combativa escuela de Seattle en aquel entonces. Por eso es que el

nombre de Lévi-Strauss no aparece ni en el texto capital de esa orientación, Symmetries

of culture (Wahburn y Crowe 1988), ni tampoco casi veinte años más tarde en el con-

vencional pero triunfalmente titulado Symmetry comes of age (Washburn y Crowe

2004), un volumen que resume muchos de los avances realizados en base a esa con-

cepción de la simetría como isometría que no es –insisto– la que el común de los ar-

queólogos está utilizando hoy en día.

Además de su tratamiento sobre las máscaras simétricas de las culturas del noroeste de

los Estados Unidos, el centro gravitatorio de los trabajos sobre simetría en antropología

del arte antes de Washburn-Crowe había sido el tratamiento lévi-straussiano del desdo-

blamiento de la presentación cuya ilustración emblemática es la que se muestra en la

fig. 4.1;

La cabeza se muestra de frente, para que se puedan ver los símbolos característicos del tibu-

rón, pero el cuerpo está partido en toda su longitud y las dos mitades han sido extendidas

sobre el plano, a derecha e izquierda de la cabeza (Lévi-Strauss 1973 [1958]: lám. iii).

La descripción de los aspectos constructivos de la simetría por parte de Lévi-Strauss es

literariamente atrapante pero no es de su propio cacumen; se deriva de los agudos aná-

lisis veinte años anteriores de Herrlee Glessner Greel (1936: 10), de Leonhard Adam

28

En las décadas del 60 y del 70 era de buen tono cuestionar a Boas por cualesquiera circunstancias, in-

cluyendo entre ellas algunas buenas razones. La especialista en antropología del vestido Jane Schneider

aseguraba que los antropólogos modernos [sic] criticaban su excesiva fascinación por las repeticiones rít-

micas, como si el patterning tuviera que ver sólo con las matemáticas (Schneider 1987: 416; Chipp 1971:

153-154). Más recientemente Howard Morphy y Morgan Perkins (2006: 35) alegaban que los trabajos de

Boas sobre arte enfatizaban los aspectos formales, técnicos y estéticos, y que dichos estudios eran frus-

trantes para quienes querían explorar el significado del arte de la costa noroccidental en contexto. Como

sucedía a menudo con su trabajo –agregan– la ejemplificación detallada oscurecía el desarrollo coherente

de su argumentación.

76

(1936, 1949 [1940]) y en especial de Franz Boas, quien había tratado un ejemplar y

también había señalado la similitud de los desdoblamientos chinos y americanos utili-

zando palabras parecidas a las que Lévi-Strauss usó. En el texto lévistraussiano no que-

da claro en qué cultura se origina la imagen (¿Tsimshian, Tlingit, Haida, “Kwakiutl”,

Salish?). En la primera edición de Primitive art Boas (1927: 229) muestra un “pez

perro” de los Haida; el problema empieza a complicarse porque la figura que reproduce

Lévi-Strauss tiene un aire de familia con la que Boas había reproducido pero que no es

la misma ni por casualidad. La referencia que brinda Lévi-Strauss de su figura es in-

completa (“Tenth Annual Report, Bureau of American Ethnology, Pl. XXV”) y no se

indica ni el nombre de autor del cual proviene la imagen ni el rótulo de la figura ori-

ginal. Eso sí, ni los editores de la edición francesa de Anthropologie structurale ni sus

traductores al castellano (Eliseo Verón y Eduardo Menéndez) se dieron cuenta que algo

estaba fallando en el tratamiento de las fuentes. Ahora bien, el Décimo Reporte Anual es

de 1888-1889 y se encuentra por ello disponible en el dominio público y hay mucho que

decir sobre él.

Figura 4.2 – Izq.: Bronce descubierto en An-Yang, China – Según Lévi-Strauss (1958: 276 fig. 19).

Der.: Motivo de pintura facial Caduveo [Kadiwéu] – Según Lévi-Strauss (1958: 280, fig. 21). Los espirales de la imagen a la izquierda con su rara distribución de levógiros y dextrógiros (más

cuadrangulares que los Caduveo) no se perciben en la edición en castellano.

El trabajo principal publicado en el Reporte versa sobre las escrituras gráficas o picto-

grafías de los indios de América y había sido escrito por Garrick Mallery [1831-1894],

un investigador un siglo anterior a quien Lévi-Strauss no menciona nunca. La figura

numerada como XXVI del informe de Mallery (de donde tomé el ejemplar) se define

como un “Dog Fish” (una de las variedades más comunes de tiburones) y no como un

77

tiburón a secas. El coloreado del original reduce grandemente su similitud con el gabi-

nete metálico de China; la imagen no coincide con la figura que Boas reproduce con

ese nombre varios años más tarde; Lévi-Strauss tampoco menciona dicha variedad de

tiburón.

Así y todo Lévi-Strauss (partiendo de la base de que las culturas de Pacífico, al igual

que la sociedad china, son “sociedades de máscaras”) cree superar la interpretación

puramente geométrica de Boas sumergiéndose en un ejercicio que no es tanto estruc-

tural como analógico, parecido a aquéllos de los que Mary Douglas había renegado en

su propia obra temprana. Escribe Lévi-Strauss:

La independencia recíproca del elemento plástico y el elemento gráfico corresponde a un

juego más flexible entre el orden social y el orden sobrenatural, así como el desdoblamiento

de la representación expresa la estricta adhesión del actor a su papel, y del rango social a

los mitos, el culto y los pedigrees. Esta adherencia es tan rigurosa, que para disociar al indi-

viduo de su personaje es preciso reducirlo a pedazos. Aun cuando no supiéramos nada de la

sociedad china arcaica, la sola inspección de su arte permitiría entonces reconocer la

lucha de los prestigios, la rivalidad entre las jerarquías, la competencia entre los privile-

gios sociales y económicos, fundados todos en el testimonio de las máscaras y en la venera-

ción de los linajes (Lévi-Strauss [1958]: 240-241; el subrayado es mío).

La imagen china que debería mostrar el parecido entre el desdoblamiento propio del Pa-

cífico americano y el de la simetría axial de China no es muy convincente, ya que en la

figura no hay una cabeza de frente separada de un cuerpo hendido en la forma descripta

por Boas y sólo se muestra de frente una especie de cofre tridimensional del que no se

ven los paneles laterales (cf. Lévi-Strauss, Op. cit. fig. 19; imagen proveniente de Yetts

1942; fig. 4.2, izq. en la pág. 76 más arriba). Por otra parte, un crecido número de socie-

dades exhibe los mismos patrones jerárquicos y parecidas manifestaciones de prestigio

y sus artes no reflejan tales configuraciones de la manera prescripta. En el muestrario

hay, por añadidura, abundancia de sociedades de máscaras que (el caso fueguino viene a

cuento) no son en aboluto organizaciones jerárquicas (cf. nota al pie de la pág. 79).

En el mismo trabajo Lévi-Strauss había intentado explicar una pintura facial Caduveo

basado en la misma lógica metafórica (fig. 4.2, der.). Trabajando sobre materiales reco-

gidos en su trabajo de campo en la década de 1930, Lévi-Strauss argumentaba que cuan-

do los diseños se articulan en cuadrantes, aquellos situados opuestos por los vértices en

diagonal (el izquierdo superior y el derecho inferior, y el derecho superior y el izquierdo

inferior, respectivamente) resultan casi idénticos, aunque invertidos. Lévi-Strauss inter-

preta que lo que aquí se manifiesta es una oposición entre simetría y asimetría. Acto se-

guido intenta mostrar que la estructura subyacente es producida por una forma particular

de organización social. Partiendo de la base de que los Caduveo son remanentes de una

antigua sociedad Mbayá, el autor concluye que la estructura social Mbayá exhibía una

tensión hacia la jerarquía (en la medida en que las castas eran tanto segregadas como

estratificadas) y otra tensión hacia la reciprocidad (por cuanto había necesidad de man-

tener las castas juntas a través del intercambio). La hipótesis resultante de este ejercicio

de analogía casi douglasiano es que la oposición entre la simetría y la asimetría reflejaba

la oposición entre jerarquía y reciprocidad en la estructura social. Parecidos argumentos

78

(aunque con mejores conocimientos técnicos de simetría) elaboró F. Allan Hanson, del

Departamento de Antropología de la Universidad de Kansas, tomando como objeto las

ricas imágenes de simetrías quebradas del arte Māori compiladas ochenta años antes por

Augustus Hamilton (1901) y sugiriendo –como se ha tornado habitual– conexiones en-

tre los patrones artísticos y otros aspectos de la cultura (Hanson 1983: 79; 1985). Aun-

que Hanson ignora o afecta ignorancia sobre Lévi-Strauss y el caso caduveo, su hallaz-

go se torna previsible porque reposa en el mismo género de analogías pre-goodmanianas

de las que Douglas acabó arrepintiéndose:

The homologous relationship between the form of social relations and visual art is easy to

identify. The cultural principle in question holds that balance between interacting pairs is an

important consideration in any state of affairs. In social and political life this is instantiated

by a preoccupation with reciprocity, be it of gifts in a positive key or of insults and injuries

in a negative one. In visual art it is instantiated by compositions featuring figures in

balanced pairs, a condition which Maori artists achieve through the use of symmetry (or

antisymmetry, or near symmetry) (Hanson 1985: 58).

Es importante recordar que Hanson publicó su primer artículo en el mismo volumen en

que Dorothy Washburn presentó su esquema sistemático de isometrías simétricas. En

Arte y Agencia (1998), Gell señala –en una observación sólo parcialmente acertada– que

los elementos estilísticos considerados por Hanson son universales, o al menos de ocu-

rrencia frecuente, por lo que no pueden estar determinados por rasgos singulares de la

cultura Māori. Escribe Gell:

Las propiedades formales que Hanson identifica en el arte Māori son demasiado común-

mente obervables en el arte ornamental de todas clases para servir al rol culturalmente

diacrítico que él propone para ellas. Él dice que el arte Māori proporciona una especie de

“mapa” de la cultura Māori; pero ¿cómo podría demostrarse esto satisfactoriamente si los

rasgos distintivos de este “mapa” son arbitrarios en relación a la cultura Māori específica-

mente, como deben serlo, en tanto que se encuentran en culturas totalmente distintas, tales

como la India Moghul? La implicación parecería ser que lo que conecta el arte Māori al

resto de la cultura Māori no es la estética “formal” o los atributos estilísticos tales como la

simetría, sino la presencia en el arte de referencias iconográficas a los ancestros Māori, las

divinidades, etc. – precisamente la posición que Hanson ha decidido poner en cuestión en

primer lugar (Gell 1998: 161).

Cuando un párrafo atrás dije que el acierto en las observaciones de Gell era solamente

parcial me refería al hecho de que la alternativa propuesta por éste como correlato de la

organización social (la referencia iconográfica, necesariamente figurativa) constituye

una forma de representación que es tan universal y tan poco específica de la cultura

Māori como lo son las simetrías abstractas.

Retornando a Lévi-Strauss, diré que el antropólogo canadiense Michael P. Carroll en-

contró que las analogías trazadas por el maestro no se condecían con la descripción et-

nográfica que él mismo (Lévi-Strauss) había proporcionado (cf. Carroll 1979). Carroll

aduce que no hay ninguna prueba etnográfica de que exista o haya existido una tenden-

cia hacia la reciprocidad entre los Mbayá. La única evidencia que Lévi-Strauss ofrece

sobre esa tendencia proviene de sociedades vecinas, como los Guaná [o más bien Enl-

het] de Paraguay y los Bororo [o Coroados] del Mato Grosso. El inconveniente con este

79

razonamiento es que no hay tampoco testimonios de la presencia de diseños opositivos

en el arte de estos grupos. Lo más lejos que se ha podido llegar en esta clase de inferen-

cias estadísticas se manifiesta en los trabajos del antropólogo comparativista John Fis-

cher (1961), quien, ciñéndose a una metodología cien por ciento típica de los surveys

transculturales murdockianos, encontró una asociación estadísticamente significativa

entre la presencia de jerarquización y la ausencia de simetría en el arte.29

Habiendo di-

cho lo que tenía que decir sobre métodos comparativos, sobre las trampas de un mues-

treo nanoscópico y endémicamente sesgado, sobre la elección de conceptos resbalosos y

sobre el teorema del límite central y la prueba de significancia de la hipótesis nula en un

conjunto de trabajos recientes, me conformo con dejar sentado estos elementos de juicio

a título de advertencia y sin mayores comentarios (cf. Reynoso 2011b; 2019d).

La crítica de Carroll, lúcida como pueda sonar, no es la más contundente que pueda

imaginarse. Un etnogeómetra de orientación cognitiva podría interponer una objeción

mucho más refinada, toda vez que tanto Carroll como Lévi-Strauss, Fischer y también

Mary Douglas (antes de su epifanía goodmaniana) dan por sentado que en las culturas

involucradas existen dominios semánticos tales como ‘jerarquías’, ‘estratos’ o ‘clases

sociales’ que se vislumbran como si estuvieran dispuestos lakoffianamente a distintas

alturas a lo largo de un eje vertical, perpendiculares a otros dominios tales como ‘inter-

cambios’ o ‘reciprocidades’ que pueden imaginarse moviéndose horizontalmente en la

planicie de un capo semántico ortogonal al de las jerarquías. Ambas series de dominios

se articularían mediante una imaginería de posiciones, distancias y coordenadas similar

a la que empleamos nosotros en la vida cotidiana, susceptible de representarse en una

suerte de espacio isométrico que es el que Lévi-Strauss percibe en la fig. 4.2 a la dere-

cha. La misma objeción le cabe a la crítica de Gell, quien tampoco percibe los artificios

retóricos de la espacialización estructuralista y quien (acaso por su escasa familiaridad

con la literatura en otras lenguas científicas fuera del inglés) no deja indicios de haber

consultado la parte más sustanciosa de la obra lévistraussiana sobre arte. Es Lévi-

Strauss quien lleva la espacialización a su paroxismo irreflexivo en La vía de las más-

caras (2005 [1979]) cuando opone mitos Dené a otros mitos Salish y “Kwakiutl” según

el sentido en que ocurren los desplazamientos de prestaciones matrimoniales y de tras-

lado de objetos a lo largo de las relaciones de alianza en los diagramas de parentesco (en

notación de Rivers), perpendicularmente a las relaciones de filiación (Ibid.: 98-101).

Las ideas espacializadoras que comparten todos estos autores guardan correspondencia

con las figuras que George Lakoff y Mark Johnson en su famoso y perdurable libro Me-

taphors we live by [Metáforas de la vida cotidiana] (2009 [1980]) llaman metáforas

orientacionales, las que acuerdan valores posicionales a términos tales como status so-

29

Con plena deliberación he incluido en este libro al menos tres testimonios fotográficos referidos a una

sociedad (los Selk’nam) en las que no sólo hay máscaras sino también simetrías y asimetrías en la pintura

corporal sin que existan rudimentos de organización jerárquica. Eso en cuanto a excepciones. No está de-

mostrado, por otra parte, que las sociedades representadas en la HRAF que Fisher toma en consideración

hayan ido a parar ahí en base a un muestreo aleatorio, ni que el criterio de simetría utilizado en las etno-

grafías originales que componen los registros de la base de datos haya sido el mismo. Véanse figs. 2.1,

10.4 y 10.5.

80

cial, estado de salud, calidad de vida, fuerza o control. Algunas expresiones propuestas

son casi las mismas en inglés y en castellano mientras que otras no funcionan tan bien y

los traductores deben adaptar el texto. Los autores reconocen que en algunas culturas el

futuro está por delante, mientras que en otras está por detrás. También cumplen en reco-

nocer que esta clase de figuras no son una creación suya sino que se presentó por prime-

ra vez en una disertación de doctorado escrita por William Nagy (1974) sobre patrones

figurativos y redundancia léxica. El análisis lévistraussiano es décadas anterior a Meta-

phors... pero comparte el mismo esquema de sentido común.

Un par de ejemplos de metáforas orientacionales lakoffianas atinentes a nuestro caso

podrían ser estos que siguen:

UN STATUS ELEVADO ES ARRIBA; UN STATUS BAJO ES ABAJO

Tiene una elevada posición. Subirá hasta lo más alto. Está en la cumbre de su carrera. [...]

Tiene poca movilidad hacia arriba. Está en lo más bajo de la jerarquía social. Bajó de

posición.

LO BUENO ES ARRIBA; LO MALO ES ABAJO

Las cosas van mejorando [look up]. El año pasado alcanzamos un pico, pero hemos ido

cuesta abajo desde entonces. Las cosas están en el punto más bajo. Hace trabajo de alta

calidad (Lakoff y Johnson 2009 [1980]: 53).

La improbabilidad de un modelo espacial o vectorial como éste en el plano emic es ma-

nifiesta; que ambos conjuntos de factores ( jerarquía e intercambio) se consideren orto-

gonales a través de las culturas, que lo dominante se sitúe universalmente ‘arriba’ y lo

subordinado ‘abajo’, que la zona alta de una imagen sea la ‘superior’ y el borde bajo sea

el ‘inferior’ aunque la imagen se vea acostada horizontalmente, que las clases ‘altas’,

‘medias’ y ‘bajas’ lo sean literal y geométricamente, que la simetría con espejado ver-

tical sea indicador tanto de ‘oposición’ como de ‘jerarquía’ y que el intercambio presu-

ponga ecuménicamente un espacio plano por el que bienes, dones, servicios y mujeres

se deslizan de manera horizontal son hipótesis de trabajo de geometría social y de antro-

pología cognitiva que deberían corroborarse émicamente caso por caso.

Hasta el momento no conozco un solo estudio en antropología del conocimiento que

abone estas suposiciones o que demuestre la validez del modelo a través de las socieda-

des y de las lenguas: ni siquiera Lakoff y Johnson se tragan que sea posible este milagro

de concordancia transcultural. Que la crítica antropológica, filosófica y sociológica del

pensamiento de Lévi-Strauss a estos respectos no haya caído en la cuenta de esta falla

decisiva en la gestión de las metáforas me resulta, por todo lo dicho, desconcertante (cf.

v. gr. Gell 1993: 40, 128, 131, 203, 210, 222, 246, 271, 303-304, 307; Wiseman 2007: 2

, 135 –48, 154 , 155 , 159, 164 , 224 , 225; 2008; Merquior 2016 [2011]).

Aunque su influencia en la antropología del arte fue decayendo con el paso de los años

la visión lévistraussiana alcanzó a hacer estragos en ciertas ramas de la arqueología y

sobre todo en la arqueogeometría implícita del arqueólogo pos-procesual británico

Christopher Tilley (1990; 2015 [1991]). La responsabilidad no es enteramente de Lévi-

Strauss. Tilley intenta fusionar el modelo estructuralista del lenguaje con el modelo pos-

estructuralista de la escritura, maridando a Lévi-Strauss con Jacques Derrida, reducien-

81

do bruscamente la gramatología a la escritura de fonemas, palabras, frases y textos lin-

güísticos y eliminando de cuajo toda mención de la deconstrucción.30

No advierte que

estructuralismo y deconstruccionismo son posturas antagónicas y se contenta con una

lectura superficial de los marcos a los que acude. Este aspecto del proyecto de Tilley no

tenía perspectivas de funcionar ni siquiera mal, y no sólo por considerar que la “pala-

bra” es una entidad lingüística viable. La debilidad del modelo se percibe en párrafos

como estos que siguen:

If we now shift over to thinking about how we might read material culture 'writing', we

realize that, like reading a phonetic script, it is necessary to isolate the elements or words of

which it is composed. This is readily apparent through the practice of spacing in their

material inscription. It has already been noted that this is a practice extending to, or rather

from, material culture. The recognition of units and boundaries between the elements is

usually readily apparent: individual pots, graves, houses, dishes composing a meal, items of

clothing. We can also consider all these things in terms of a hierarchical structure: a pot

with individual designs on it, a house with items of furniture arranged in it, a grave with

grave goods, and so on. Depending on the level of our analysis we will identify different

words or meaning units and can considert heir articulation in terms of the sentences in

which they appear to create a text. For example, a design on a pot can be considered as

formally equivalent to a word, and its components as phonemes. Different designs on the

same pot serve to articulate a sentence. A set of pots in a house or a settlement can be

conceived as a text situated in relation to other texts. Material culture patterning

characteristically consists of sentences and texts within texts. For example, a series of pots

in a grave may form a sentence constituting part of the text of a cemetery. In other words

the text of material culture is like an edited book, sentences written by different authors

within a text constituting a larger overall text (2015 [1991]: 19-20).

Es notable que un texto como el anterior no requiera el montaje de una crítica y caiga

por el peso de su propia inconguencia.

En los años 80 culminan los intentos de relacionar lo social y lo simbólico, cuyo ejem-

plar más empeñoso tal vez sea el compendioso volumen en el que Edmund Carpenter

procura reciclar a Carl Schuster (Carpenter y Schuster 1986). A partir de esa misma dé-

cada, veinte años después de los intentos postreros de Lévi-Strauss y casi setenta años

después de Franz Boas, el momento de la primera madurez de la etnogeometría de las

simetrías culturales (redefinida conforme a nomenclaturas incubadas durante medio si-

glo en las matemáticas y la cristalografía) llega a una arqueología norteamericana que

ha olvidado el ensayo magistral de Boas y en la que sólo de tarde en tarde se encuentra

alguien a quien todavía le interese ese capítulo de la obra de Lévi-Strauss. A partir de

Symmetries of Culture (Washburn y Crowe 1988) la antropología del arte debería haber

cambiado desde la raíz. Es lástima que no lo haya hecho del todo; su efecto, empero, ha

sido irreversible.

30

La intancia clásica de ejercicio deconstructivo es, precisamente, el desmontaje de “La lección de escri-

tura” del capítulo 28 de Tristes trópicos de Lévi-Strauss que lleva a cabo Derrida en el primer capítulo de

De la Gramatología. En este texto Derrida arremete contra toda forma de logos, sea éste el logos de la

lógica, el del saber o el del lenguaje.

82

El análisis propuesto por la escuela de Washburn permite asignar diseños repetitivos en

hilera, en superficie o en rosetón a cada una de las clases o isometrías existentes. El

hecho es que para hileras y superficies en un solo color contrastante existen sólo siete y

diecisiete clases respectivamente (figs. 4.3 y 4.3b). La clasificación es esencial para

comprender la distribución de los procesos de transformación geométricos a través de

las sociedades; esta distribución se basa en unos pocos elementos de juicio que son uni-

versales por definición, pero aparece de maneras específicas en distintas culturas. To-

davía está faltando un mapa que establezca en qué regiones del mundo o en qué perío-

dos históricos se favorecen o se reprimen cuáles principios constructivos de la represen-

tación.

Figura 4.3 – Izq.: Los 4 tipos de isometrías: Reflejo, Traslación, Rotación y Traslación

con deslizamiento – Imágenes en el dominio público. Der.: Las 7 isometrías de frisos –Basado en György Darvas (Idem: 76)

El problema radica en que no está claro ni siquiera el vocabulario descriptivo a utilizar.

Investigadores que dedican su vida al estudio de cerámicas con motivos geométricos, a

la cestería o a los motivos ornamentales de los textiles no han documentado tener fami-

liaridad con las sistematizaciones de las formas estructurales conceptualizadas en di-

versos campos y disciplinas, desde las matemáticas hasta la cristalografía. Esta carencia

es sin embargo justificable: no parece fácil, de cara a los artefactos y a los sitios, llegar

trivialmente ni siquiera a la etapa nomenclatoria, no digamos ya a la distribución esta-

dística y a la visión comparativa. Hay algunos programas de computadora que ayudan a

realizar el análisis interactivamente, pero su gestión impone un aprendizaje tan tedioso

como la asimilación de los formalismos geométricos involucrados. Todos ellos presupo-

nen además que uno ya domina los detalles inherentes y que al cabo del análisis se en-

contrarán pautas inteligibles y distribuciones sugerentes.

Mi convicción es que antes de aspirar a alguna clase de síntesis en el plano teórico es

preciso familiarizarse con la práctica del análisis. En casos no necesariamente extremos

es incluso necesario vencer las resistencias que inhiben ese aprendizaje, las cuales ali-

mentan el supuesto de que los antropólogos tienen ya de fábrica las habilidades de sen-

tido común, sensibilidad estética y vocabulario que es menester dominar para alcanzar

esos objetivos. La experiencia demuestra que aunque el proceso clasificatorio se puede

83

simplificar mediante diagramas de flujo, tutoriales y otras herramientas pedagógicas, lo

cierto es que nuestros profesionales han experimentado dificultades a la hora de realizar

manualmente esa tarea. Consecuentemente, las descripciones a las que ellos se resignan

y que vician el vocabulario descriptivo de Lévi-Strauss inclusive (“motivos en greca”,

“guardas pampa”, “chevrones”, “equis”, “guardas”, “estilos geométricos”, “entrelaza-

dos”, “hilera de triángulos”, “líneas en zig-zag”, “enantiomorfos”, “diseños binarios”,

“desdoblamientos de la representación”, “iteraciones”, “simetrías bilaterales”, “geome-

trismos”, “sucesiones de escalonados”, etc.), no permiten inducir las concepciones geo-

métricas emic que acompañaron la producción de los diseños, ni comprender la posible

equivalencia estructural (isomorfismos, homomorfismos, homeomorfismos, catamorfis-

mos, difeomorfismos, etcétera) entre piezas que lucen completamente distintas a pri-

mera vista o entre colecciones de datos, ni tampoco sistematizar qué grupos de transfor-

mación se encuentran (o cuáles están faltando) en qué contextos concretos de tiempo,

cultura y lugar.31

Muchos de los diseños que se encuentran en artefactos, piezas y yaci-

mientos coinciden con varias de esas categorías a la vez. Cierto es que el diagnóstico

tipológico no resuelve todos los problemas de la antropología o de la fenomenología de

los estilos geométricos, pero es al menos un importante punto de partida que nos hace

cavilar sobre los juicios de similitud, diferencia y analogía: una instancia reflexiva que

(habida cuenta del progresivo descrédito de la antropología como la ciencia compara-

tiva por antonomasia) es órdenes de magnitud preferible a la anomia imperante (cf.

Reynoso 2019b).

Para atenuar estas pérdidas y para recuperar algo de la solvencia técnica que alguna vez

distinguió a la disciplina he confeccionado las planillas de referencia (que no repro-

duciré aquí pero que están en línea) y que podrían resultar útiles para asignar con rela-

tiva facilidad los diseños a sus correspondientes clases y para organizar la estadística y

las tablas de las distribuciones dentro de las culturas o a través de ellas. Cabe esperar

que en diversas sociedades las proporciones en que aparecen los distintos tipos sea dife-

rencial, o que algunos tipos (uno o dos, quizá más) no se manifiesten en absoluto. Si

bien hemos experimentado algunos avances en el estudio de las simetrías islámicas, to-

31

En matemáticas, particularmente en la teoría de la categoría, un morfismo es un mapa que preserva la

configuración de una estrutura matemática a otra estructura del mismo tipo. Algunas de la nociones liga-

das a morfismos son productivamente ejemplificables en etnogeometría mientras que otras no lo son tan-

to. La noción de morfismo aparece con significados y funciones distintas en distintas áreas de las mate-

máticas: en teoría de conjuntos los morfismos son funciones; en álgebra lineal, transformaciones lineales;

en topología, funciones continuas; en teoría de grupos, homomorfismos de grupos; etcétera. Un homomo-

fismo es un mapa que preserva la estructura entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo (dos grupos,

dos anillos, dos espacios de vectores). Hay algunos homomorfimos especiales, tales como los isomorfis-

mos, endomorfismos, automorfismos, monomorfismos y epimorfismos. En matemáticas, un difeomorfis-

mo es un isomorfismo en la categoría de las variedades diferenciables [smooth manifolds] lo que en geo-

metría se percibe como una deformación. Hay un ejemplo de ello es los dibujos de Escher de la serie

Circle Limit que exploran el efecto de perspectiva en superficies hiperbólicas (cf. Schattschneider y

Emmer 2003: vi; Schattschneider 1990: 150, 244, 296). En geometría una isometría del plano euclideano

es una forma de transformar el plano que preserva propiedades geométricas tales como la longitud. Como

hemos visto, hay cuatro tipos de estas isometrías: traslaciones, rotaciones, reflejos y reflejos con des-

lizamiento (ver fig. 4.3).

84

davía falta hacer el mapa estadístico de la distribución de las isometrías en práctica-

mente todas las regiones del mundo y en América Latina más que en cualquier otra.

Figura 4.3b – Placeholders de las 17 isometrías del plano.

Basado en M. J. Buerger y J. S. Lukesh (1937) – Ver figs. 5.13 y 5.14. Sobre equivalencias nomenclatorias véase fig. 4.5b.

Además de ser operativas en el sentido de permitir la implementación de funciones ana-

líticas y estadísticas inherentes al software de spreadsheet, las planillas pueden servir

(con algo de coloración y formateo de por medio) para la presentación de resultados en

monografías, tesis y ponencias. El límite de las operaciones analíticas posibles, desde la

suma de operaciones simétricas por región hasta la minería de datos multidimensional,

estará dado de ahora en más por el ingenio del usuario para aprovechar las capacidades

de estas planillas de cálculo (o de las piezas de software que acepten importar valores

separados por comas, tabulación, encolumnado o el formato que fuere).

Figura 4.4 – Simetría traslacional – Sala de las columnas de la Mezquita de Córdoba

Basado en György Darvas (2007: 8).

85

En nuestra analítica sólo se han tenido en cuenta las transformaciones isométricas, vale

decir, las que pertenecen a uno de los cuatro movimientos básicos: espejado (en una lí-

nea del plano), traslación, rotación (sobre un punto en el plano) y espejado con desliza-

miento [glide reflection]. El concepto de simetría que aquí se desenvuelve es entonces

más amplio que el significado atribuido popularmente a la palabra, el cual por lo común

se restringe a los espejados verticales como sucede, por ejemplo, en los análisis boasia-

nos o en los estudios estructuralistas de las simetrías en la obra de Lévi-Strauss que ya

hemos revisado (Boas 1922; Lévi-Strauss 1968 [1958 {1944-45}]). Es convicción del

autor del presente libro que a efectos de producir una adecuada descripción de los ejem-

plares analizados (y más todavía, en tren de dar sustento a una comparación productiva)

el uso de los métodos analíticos de los que trata la bibliografía de las etno- y arqueo-

geometrías simétricas es inexcusable, lo cual implica conocer al dedillo la notación es-

cogida. Las notaciones recomendadas son las que se utilizan en dos libros de la primera

década del milenio y que son The symmetries of things de Conway, Burgiel y Goodman-

Strauss (2008) e International Tables for Crystallography (2006; 2010). La notación

que he usado en este texto es la mas utilizada y familiar y es la que procede mayormente

de un texto clave, Tilings and patterns de Grünbaum y Shephard (1987). El lector puede

comparar las dos nomenclaturas al largo del reciente Islamic design: A mathematical

approach de Brian Wichman y David Wade (2017).

Fig 4.5 - Los 46 patrones del plano usados por H. J. Woods (1936)

86

La notación recomendada es un poco difícil de implementar pero cuando el investigador

perciba sus ventajas difícilmente aceptará cambiarla por alguna otra. Su nomenclatura

para las simetrías del plano es la que se muestra aquí:

* Este signo denota una simetría en espejo.

• Este signo implica que todas las simetrías fijan un punto.

• Este implica lo mismo, pero en combinación en un número entero que implica un giro,

por ejemplo 4• (c4).

x esto se denomina un milagro.

∞ Símbolo de infinnidad.

O Símbolo usado en diversas figuras (v. gr. Wichmann y Wade fig. A.17).

Aunque este campo de las simetrías es de importancia capital, lo cierto es que las trans-

formaciones isométricas no cubren la totalidad de las posibilidades articulatorias; aparte

de ellas existen otras más relacionadas a la coloración, a transformaciones, distorsiones

y cambios de escala que no habrá oportunidad de examinar aquí más que a través de una

referencia sucinta que ocupará, controladamente, sólo los confines del siguiente párrafo.

Las principales transformaciones irregulares fuera de la pauta estándar fueron tratadas

por la misma Dorothy Washburn (1995) en su contibución al volumen de Christopher

Carr y Jill Neitzel sobre el moderno tratamiento sistemático del estilo. En orden de com-

plejidad creciente las transformaciones suplementarias son las que se han denominado

de similitud, afinidad y de proyección. Las transformaciones de similitud preservan la

forma de un motivo pero cambian su tamaño. En las transformciones afines cambian los

ángulos de los motivos tal que éstos parecen retorcidos o estirados. Las transformacio-

nes proyectivas, tales como las perspectivas en disminución de las pinturas figurativas

occidentales, cambian prácticamente todas las propiedades excepto las “primitivas” co-

mo la straightness (Hagen 1983: tabla 5.3).

Emil Makovicky (1986), en uno de sus trabajos más tempranos y más deslumbrantes, ha

presentado una utilísima discusión de otras varias categorías transformacionales que

pueden usarse (y que recomiendo tener en cuenta) para describir una variedad todavía

indefinidas de formas diversas. Un ejemplo de ellas son las transformaciones catamór-

ficas, útiles para describir patrones en domos curvos, o en las paredes redondeadas de

vasijas cerámicas o canastas. El catamorfismo concierne a las figuras llamadas catamé-

tricas por Karl Lothar Wolf y Robert Wolff (1956) en un libro raro, Symmetrie, nunca

traducido del alemán. Se trata de la categoría más baja de la simetría, una definición

por lo menos ambigua. Es sin duda una categoría residual, ya que las figuras catamétri-

cas –se dice– no son congruentes, ni similares, afines o proyectivas-perspectivas, pero

sus formas todavía demuestran ciertas relaciones mutuas y pueden formar una progre-

sión de acuerdo con alguna regla ad hoc. Makovicky asevera que la noción nunca fue

usada en la práctica, pero él mismo brinda algunos ejemplos. El más familiar para

nosotros es Snakes de M. C. Escher 1969, una xilografía que representa tres serpientes

entrelazadas en un contexto de círculos que disminuyen de tamaño hacia el centro y

hacia los bordes hasta que desaparecen de la visión, un efecto muy utilizado en figuras

fractales como el triángulo de Sierpiński o el polvo de Cantor que recién pudieron vi-

87

sualizarse digitalmente algunos años después que Escher compusiera su obra en infor-

mática se perfeccionaran las técnicas de representación (cf. fig. 9.8 y 3.12).

Otro ejemplo de la técnica es el domo de la madrasa de Abdullah-khan en Bukhara,

Uzbekistan, un annulus catamétrico en el que se alternan estrellas unidas por los vér-

tices de cinco, seis y siete puntas, presentado por Makovicky varios años antes que se

hiciera común tratar de teselaciones no periódicas. Otro caso que nos toca más de cerca

es un ajuste catamétrico de motivos en zig-zag de acuerdo con los cambios en el área

disponible en el cuerpo de vasijas Pueblo, algo que sucede con regularidad en la cerá-

mica de toda América (cf. Makovicky 1985: fig. 40).

Figura 4.5b – Tabla nomenclatoria coordinada de las isometrías del plano. Originado en las planillas de codificación del autor, disponibles en línea.

El artículo de Makovicky, dos años anterior al manual de Washburn y Crowe (1988) es

uno de esos trabajos indiscutiblemente útiles, de los pocos que sugeriría como de lectura

obligatoria, por más que no haya quedado en el repertorio de los pedagogos del género.

En primer lugar, el trabajo acierta en posicionar el análisis de las isometrías en su justo

enclave etnogeométrico. En segundo orden, presenta un arsenal de conceptos descrip-

tivos que nunca antes (o sólo de maneras ocultas) habían aparecido en la literatura

técnica de la simetría: las nociones de sub-motivo, sub-mesh, supermesh, twinning,

seudo-simetría, no-conmensurabilidad de patrones, fenómenos de orden-desorden posi-

cionales y “ocupacionales”, casos de alta simetría local, disimetría, acentuación de si-

metría, dicotomía, modulación, delimitaciones de antifase, jerarquía y superposición de

simetrías y por último la simetría de múltiples colores, entrevista, estudiada y trabajada

por M. C. Escher antes que los matemáticos tuvieran oportunidad de codificarla (cf.

Macgillavry 1965). Todas estas categorías se aplican y se ejemplifican con una selec-

88

ción perfecta de lo más granado e inclasificable de la arqueo- y la etnogeometría. En ter-

cer lugar, la ejemplificación cubre una oportuna diversidad de casos, desde pinturas es-

cherianas hasta la tumba de Gunbad-i 'Alaviyan en Hamadan y la mezquita de Córdoba,

desde los textiles peruanos a los ornamentos del Codex Vindobonensis Mexicanus y

desde los nudos celtas hasta las máscaras de los Abelam del río Sepik en Nueva

Guinea.32

Hay por último patrones simétricos específicos de tecnología, aunque no se descuenta

que algunas de ellas (el arte textil, por ejemplo) acaben incidiendo sobre algunas otras

(v. gr. en el arte rupestre, en la metalurgia o en los quillangos de cuero de guanaco, co-

mo parece haber sucedido alguna vez en Patagonia) (cf. Fernández C. 1997). Siete años

antes de escribir su obra maestra, Branko Grünbaum y Geoffrey Colin Shephard publi-

caron “Satins and twills” (1980), una breve sistematización de referencia obligada de las

simetrías actuantes en telas (mayormente industriales), asomándose a un espacio poco

tratado y elaborando una tipificación anticipatoria de lo que serán las texturas “tejidas”

en cestería elaboradas por Paulus Gerdes que se revisarán dos capítulos más adelante.

Las geometrías del tejido, en fin, han sido un tema mucho menos desarrollado que las

técnicas textiles mecánicas, un tema de importancia crítica pero que excede los propó-

sitos de este libro. Aunque desde el punto de vista técnico el análisis geométrico está

decididamente vacante en el estudio de los textiles o más bien tejidos, hay sin embargo

nutridas referencias en Huff (1976), J. Schneider (1987), Adanur (2000) y Hann & Tho-

mas (2005). Un exitoso texto de James Essinger (2007) en el que se narra la historia de

la máquina de Joseph Marie Jacquard [1752-1834] y del frustrado Charles Babbage

[1791-1871] podría suministrar un vínculo inconsútil entre técnicas que vienen del neo-

lítico y un momento definitorio en la historia de la tecnología informática muy en línea

con los objetivos de este libro y que se estaba tejiendo (valga la expresión) en una co-

munidad intelectual que se encontraba transicionando entre la época romántica y la

ciencia victoriana (Ada Lovelace era el nexo), una inflexión a la que Charles Darwin no

fue ajeno. Lo que intentó hacer Jacquard y luego Babbage con sus códigos y sus tarjetas

perforadas fue, a fin de cuentas, sistematizar los patrones geométricos de tejido que et-

nógrafos y arqueólogos analizarían más tarde desde los tempranos días de la disciplina.

Lo primero que se advierte en el análisis comparativo de las manifestaciones simétricas

y de la geometría en general (al menos en las transfomaciones básicas) es que en todas

partes prevalece una especie de Ley de Zipf o de la Ley de [George] Miller (el mágico

número 7 ± 2), la cual sin duda tiene que ver con constreñimientos universales de la

cognición: en cualquier contexto y en cualquier estilo de representación de carácter geo-

métrico las formas de expresión verdaderamente existentes no son (no pueden ser) ni

demasiado complicadas, ni confusamente redundantes ni astronómicamente numerosas

(Zipf 1949; Miller 1987 [1956]). Aunque la diversidad parezca ser infinita y aunque

aquí y allá existan estilos y ejemplares que se salen de la norma, en el nivel de abstrac-

32

No por nada he optado por poner en línea discretamente este artículo esencial pero casi olvidado por

medio de este vínculo para que nadie deje de asomarse a él. Otro paper invalorable en la producción tem-

prana de un sistematizador excepcional es Makovicky y Makovicky (1977).

89

ción adecuado se observa que todas las culturas fatigan una y otra vez un número ridí-

culamente pequeño de formas geométricas lógica, gráfica y materialmente posibles.

Figura 4.6 – Izq.: Matriz de similitud entre grupos. Colores más claros indican mayor similitud.

Der.: Grafo de similitud entre grupos de wallpapers.33

Basado en Clarke y otros (2011: figs. 4 & 7).

Sobre equivalencias nomenclatorias véase fig. 4.5b.

Hay que insistir en que aun cuando las operaciones básicas lucen elementales, el análisis

de las simetrías no siempre es fácil o de resolución fluida. Dado que cada isometría se

compone de uno, dos o tres espejados, es evidente que la composición de dos espejados

es una traslación (si las líneas de espejado son paralelas) o una rotación (sobre su punto

de intersección, si es que las dos líneas se intersectan), mientras que la composición de

tres espejados es ya sea un espejado o un espejado con deslizamiento. Tal como hemos

comprobado en una multitud de experiencias pedagógicas todos estos hechos complican

la prueba. La complican bastante.

Como sea, la planilla de referencia puede usarse entonces para asignar nomenclatura a

los diseños simétricos antedichos. He sincronizado las más importantes de las tablas

nomenclatorias, comenzando a detallar cuáles son las transformaciones que llevan a e-

llas; el investigador podrá optar por metodologías más formales o por los engañosa-

mente simples hops y jumps de John Horton Conway, según le resulte más sencillo. Los

resultados deberían ser convergentes pero (una vez más) no apostaría mi salario en ello.

33

Izq.: Matriz de similitud. Cada fila y columna representa una imagen. El color del pixel en la posición

(i; j) indica el número de veces que la imagen i fue puesta en un subconjunto con la imagen j. Colores

más brillantes indican mayor similitud. El alto valor de la diagonal se debe a la similitud de cada imagen

consigo misma. – Der.: Grafo que muestra la similitud entre los grupos. Las diferentes formas representan

las rotaciones de un grupo (cículo = 0, rectángulo = 1, cuadrado = 2, triángulo = 3, hexágono = 6) y el

color el número de espejados (negro = 0, azul = 1, celeste = 2, verde = 3, rosa = 4, rojo = 6). El tamaño

de las formas muestra cuan consistentemente los participantes agruparon juntos miembros del mismo

grupo; el grosor de las líneas representa la similitud entre los grupos. Sólo se muestra el cuartil superior

de las similitudes. Los grupos de simetrías en el plano se ilustran en las figuras 5.13 y 5.14 más abajo.

90

En revisiones futuras de este trabajo se agregarán dibujos ilustrativos y enlaces de hiper-

texto a las galerías fotográficas de simetrías de cada tipo. Las nomenclaturas que valgan

la pena serán explicadas hasta las últimas consecuencias, a fin que pueda apreciarse la

diferencia que media entre una genuina metodología analítica y una concepción discur-

siva de estilo y diseño. El objetivo de esta elaboración es que se pueda llevar adelante la

analítica con un máximo de simplicidad, plena comprensión y capacidad operativa.

Aunque mi propósito de máxima es cubrir cualquier estructuración geométrica, por el

momento se considerarán en futuras versiones de este libro sólo los diseños periódicos

en hilera de uno y dos colores y las simetrías periódicas en superficies en un color. Para

3 colores habría 23 patrones posibles, pero sólo hay ejemplo de 12 de ellos en la litera-

tura. Para 4 colores, Thomas Wieting (1982) ha sistematizado 96 clases, pero éstas son

todavía más raras en las representaciones culturales existentes.34

A medida que se va avanzando en la clasificación y mapeado de las simetrías va resul-

tando evidente que en ninguna de las disciplinas a la vista se ha ahondado suficiente-

mente en materia de vincular la clasificación con niveles cognitiva o antropológicamen-

te más significativos. A la fecha existe, por ejemplo, un solo artículo sobre la forma en

que “los humanos” perciben diferencialmente los tipos diferenciados en la clasificación

de las isometrías, dando por resultado que efectivamente se percibe mayor afinidad en-

tre los ejemplares de cada grupo de wallpaper que a través de los grupos pero que no to-

dos los grupos presentan las mismas formas de auto-afinidad (Clarke y otros 2011). El

hallazgo reviste cierto interés, por cierto (cf. fig. 4.6), aunque resta determinar su va-

rianza a través de las sociedades; en tanto la antropología no se comprometa y tome car-

tas en el asunto no es de esperar que esta situación experimente un cambio sustancial.

No quisiera cerrar este capítulo en construcción permanente sin capitalizar lo que ya

hemos visto invitando a considerar una bella y útil redefinición de la simetría haciendo

hincapié en su carácter construido y en su naturaleza sistemática. Es ésta entonces la

definición levemente afásica de Boris Vainshtein (1994: 29 [1981: 28]) de la Academia

Rusa de Ciencias refedinida por Makovicky (1985: 973): “Simetría es la invariancia de

objetos bajo algunas de sus transformaciones en el espacio experimentadas por las va-

riables que los describen”. La expresión requiere al menos una segunda o incluso una

tercera lectura para empezar a comprender el potencial tipológico, analítico y compa-

rativo encapsulado en ella.

34

Esta sección del libro puede considerarse en construcción. En versiones ulteriores se detallarán casos

representativos de cada una de las isometrías en la cultura. Si bien en el cuadro completo el número de

clases es elevado (rondando los 300, pongamos), la cifra es baja si consideramos que existen unas 6000

unidades culturales y unos cuantos millones de ejemplares con representaciones simétricas. Con todo, la

ejecución manual de estos procedimientos puede que no escale muy bien. Por el momento el estudio que

realicé se encuentra completo a nivel de la especificación ilustrada para simetrías en frisos en mis páginas

de Web (http://carlosreynoso.com.ar/analisis-de-simtrias/). Las simetrías del plano y las rotaciones debe-

rán esperar. Yo mismo estoy a la espera que el campo se depure, pues en la propensión neo-pitagórica a

que el análisis de las simetrías degenere en una pretenciosa ‘teoría del todo’ es probable que se albergue

el germen de su propia destrucción, la cual ya se está experimentando en muy precisos rincones de la

disciplina (v. gr. Mainzer 2005; 2007; 2011).

91

Más allá de un muestrario que podría ampliarse ad nauseam nos parece esencial que el

antropólogo y el estudioso del diseño geométrico en la cultura se aventure en la explora-

ción del extenso dominio de las transformaciones isométricas y de las invariancias que

está cuajando en esta década del siglo XXI, reflexionando sobre el hecho de que, al

igual que sucede en el campo de las teselaciones aperiódicas, de los adinkras, de los

fullerenos y de las muqarnas y mocárabes que se abordarán en capítulos subsiguientes,

en todas y cada una de esas variedades han sido los actores de las otras culturas, los

“pueblos culturalmente distintos”, por primitivos que los hayamos considerado, los que

nos han llevado la delantera.

92

5 - Hitos de la etnogeometría (3): Nudos celtas, embaldosados, cuasi-cristales y muqarnas islámicos

Geometry, like any other branch of mathematics,

gives much more than is asked of it. When the

Greek geometer Menaechmus sliced a cone to study

the properties of the curves which later became

known as conic sections, he had no way of fore-

seeing that more than two thousand years later these

same curves would be needed for understanding the

paths of the planets. Similarly, when Muslim artists

set out to explore two-dimensional symmetric perio-

dic patterns, they could not have foreseen that se-

veral hundred years later symmetry would turn out

to be central in an awe-inspiring range of human

intellectual endeavor.

Syed Abas y Amer Salman (2007: 45)

It is, to me, quite extraordinary how some of these

Islamic designers were able to fit such improbable

symmetries as 13-fold symmetric stars combined

with 9-fold ones so as to create a design with such a

natural-looking elegance, and a periodicity that

appears at a distance not much greater than the

extent of these stellar shapes themselves. Mathe-

matical quasisymmetric patterns with, say 11-fold

or 13-fold quasisymmetry, can now be produced in

computer generated pictures, but it would only be at

extremely remote places where local regions with

this symmetry would be evident. If one is looking

for beauty of design, with such regions of, say, 11-

fold or 13-fold symmetry, then the ancient Islamic

designs win hands down!

Roger Penrose (2017)

Recientemente el campo de las simetrías y los embaldosados se ha transformado de

manera dramática tras el Premio Nóbel 2011 concedido a Dan Shechtman por sus traba-

jos sobre los cuasicristales y los materiales cuasi-periódicos en aleaciones de metal, pe-

ro en materia de simetrías periódicas todo lo dicho en el capítulo anterior todavía se

mantiene. El campo de los embaldosados o teselaciones [tilings] es un área de los estu-

dios que se ocupa de diversas simetrías y pautas constructivas, un campo en el que no

siempre los isomorfismos simétricos son el foco de atención ni la clave para organizar y

sistematizar el método que se aplica al análisis de los datos. En el campo mayor de las

teselaciones en general (que abarca disciplinas muy alejadas de la geometría) los em-

baldosados islámicos constituyen el grueso de las referencias.

Lo primero en una sistematización como la que aquí procuramos edificar debería ser el

armado de una taxonomía geométrica que incluya las teselaciones en dos y en tres

dimensiones. El material de inicio podría ser la clasificación propuesta en estudios espe-

cializados o en las enciclopedias de dominio público. Un par de artículos de Wikipedia

93

que son los primeros que se encuentran cuando uno ingresa en este terreno podrían ser,

según todos los indicios, buenos puntos de partida: como si se hubieran escrito recién.35

Figura 5.1 – Izq.: Embaldosado de Darb-i Imam en Isfahan, Irán.

Der.: Modelo de teselación basado en un decágono central y formas intermedias. Imágenes en el dominio público.

Se diría que hay un antes y un después en el estudio de las simetrías cuando entra a

tallar el estudio de los embaldosados periódicos a partir del siglo XVII; y en esta última

línea de estudios también hay un primer momento importante de revolución y ruptura

cuando gracias a Roger Penrose se introducen embaldosados aperiódicos en la década

de 1970 y un segundo momento de transformación revolucionaria que sobreviene en la

primera década de este siglo cuando Dan Shechtman, Paul Steinhardt y Dov Levine des-

cubren un universo de cristales cuasi-periódicos (o de cuasi-cristales no periódicos) que

irrumpen en la física y en la biología, mil años clavados después que el arte musulmán

los materializara en el sentido estricto de la palabra. Es esta última metamorfosis en el

arte y en la ciencia por donde comenzaré a armar el meollo de este capítulo con el obje-

to de poder acentuar con mayor dramatismo la prioridad temporal y conceptual de las

artes blandas por encima de las ciencias duras, de las prácticas por encima de las teorías,

del accionar posible más allá de lo que algunos creyeron virtualmente imposible de

hacer, de intuir o de razonar (cf. Steinhardt 2019: 7, 11, 12, 27).

El trabajo de Shechtman se inscribe en una disciplina muy alejada de la antropología en

la que habito, pero estimo que la lección que arroja es importante como contribución a

las teorías del diseño y la geometría más allá de los constreñimientos que imponen las

sucesivas teorías disciplinares, atrapadas cada una de ellas en el confinamiento de sus

propios dominios ontológicos y sus tradiciones folklóricas específicas. Los elementos

que componen un patrón cuasi-periódico obedecen a arreglos regulares pero que nunca

se repiten. Se trata de una configuración que es familiar en el palacio de la Alhambra en

35

Me refiero a artículos como https://es.wikipedia.org/wiki/Patrones_geométricos_islámicos o mejor aun

https://en.wikipedia.org/wiki/Islamic_geometric_patterns, ambos con diferentes intervenciones del autor.

94

España o en el templo de Darb-i Imam (1453 dC), el de Gunbad-i Kabud en Irán, el

palacio de I'timād-ud-Daulah en Agra y en los ejemplos consignados en el célebre Per-

gamino Timúrida de Topkapı (Necipoğlu 1992), pero de la que hasta hace diez años se

creía que no era posible que se manifestaran en la naturaleza y que su existencia en la

cultura era en extremo marginal.

En un material sólido los átomos se disponen de una manera ordenada que es usualmen-

te periódica con arreglo a una simetría rotacional particular. Una disposición cuadrada

posee una simetría rotacional cuádruple: si se giran los átomos 90 grados resultará una

disposición igual a la que estaba al principio. Si se gira así cuatro veces se regresará al

punto de partida. Una simetría triple (three-fold ) significa que el objeto puede rotarse

120 grados y lucirá igual. Lo mismo se aplica a una simetria one-fold (girándola 360

grados), doble (180°) o sexta (60°). La simetría quíntuple no se permite en cristales pe-

riódicos por severas razones geométricas. Expulsado de los órganos de comunicación

académica de varias organizaciones por haberse empecinado con una búsqueda rotacio-

nal que se juzgaba fútil, el trabajo de Shechtman sufrió embates de bullying por parte

del doble premio Nóbel Linus Pauling, quien aseguraba que “Dany Shechtman dice

tonterías; no hay cuasi-cristales; sólo hay cuasi-científicos”.

Figura 5.2 – Izq. Patrón de difracción de electrón de Ta1.6Te y patrón dodecagonal de Zaouïa Moulay Idriss II. – Der.: Patrón dodecagonal de Zaouïa Moulay Idriss II de Fez,

Marruecos – Época Merínida (bereber, 1244-1465). Basado en Makovicky y Makovicky (2011)

Shechtman dio finalmente con los cuasi-cristales en el laboratorio y revolucionó la quí-

mica y la industria sintetizando materiales de propiedades asombrosas. Poco después

del descubrimiento de Shechtman el término cuasicristal fue usado por primera vez por

Paul Steinhardt y Dov Levine a propósito del templo de Darb-i Imam. Lo notable del

caso (semiológicamente hablando) es que Steinhardt (2019), otro protagonista impor-

tante en esos menesteres, narra una historia estructuralmente idéntica a la de Shechtman,

95

salvo por el hecho de que su Némesis acosador no fue Linus Pauling sino otro Premio

Nóbel en actitud de trickster y abogado del diablo que esta vez no ha sido otro que Ri-

chard Feynman [1918-1988], premio Nóbel de física de 1965 (con Richard Schwinger y

Shin'ichirō Tomonaga) y un personaje carismático rankeado como uno de los diez físi-

cos más grandes de todos los tiempos.

Esta clase de relatos heroicos de las búsquedas científicas de criaturas míticas y cisnes

negros es muy claramente un molde estereotipado de formes fixes y funciones narrativas

a la Vladimir Propp o a la Benjamin Colby con sus héroes, sus villanos, sus viajes de

exploración, sus obstáculos superados y sus finales felices, tal como lo plasma el

atrapante The Second Kind of Impossible: The Extraordinary Quest for a New Form of

Matter o la saga titulada Indiana Steinhardt and the Quest for Quasicrystals (cf. Propp

1971 [1925]; Colby y Colby 1981; compárese con Steinhardt 2019; Burton 2016). No es

casual que la palabra escogida en estos dos últimos casos para evocar la epopeya de la

búsqueda sea precisamente quest.

El tema toca tan centralmente el meollo de nuestra hipótesis que se impone una deta-

llada especificación técnica que deje sentada la importancia de una forma de represen-

tación independiente de la naturaleza ontológica del elemento representado:

At the end of 2003 more than 22 million different chemical substances were known. For

approximately 400.000 of them the crystal structure was determined. Apart from the exis-

tence of a few hundred incommensurately modulated structures (IMS) and composite struc-

tures (CS), there was no reason to doubt that the ground state (i.e. the thermodynamic equi-

librium state at 0 K) of all these compounds and of condensed matter in general is re-

presented by a periodic crystal structure.

On April 8th, 1982, D. Shechtman discovered a novel phase with icosahedral diffraction

symmetry in rapidly solidified Al86Mn14. This was the discovery of quasicrystals, which

fundamentally changed our understanding of structural order on atomic scale. Quasicrystals

(QC) rang in a paradigm change (Kuhn 2006 [1962]) in crystallography. The completely

new thing on QC is that they cannot be described properly by a periodic basis structure and

a periodic modulation with incommensurate ratio of length scales such as IMS, or as an in-

commensurate intergrowth of two or more mutually modulated periodic structures such as

CS.

However, QC, IMS and CS have in common that they can be described as three-dimensio-

nal (3D) irrational sections of nD (n > 3) translationally periodic hypercrystal structures

[…]. All three of them form the class of known aperiodic crystals. Even twenty years after

the first publication on icosahedral Al–Mn […] and more than 8000 publications later, there

is still not a single QC structure known with the reliability that is normal in standard struc-

ture analysis. This is reflected, for instance, in the long-lasting and still ongoing discussion

about the structure of decagonal Al–Co–Ni, the best studied decagonal QC model system so

far (Steurer 2004: 391-392).

Tanto en el arte como en la ciencia cada tanto surgen personajes inclinados a las des-

mentidas teatrales, a las indignadas denuncias de fake news y a los reclamos de prece-

dencia. Emil Makovicky (2007), por ejemplo, ha pretendido poner en duda que existie-

ran embaldosados decagonales y cuasi-periódicos en el templo de Darb-i Imam en parti-

cular, aunque (contrariando la línea editorial escéptica de la revista Science) reconoce la

96

aperiodicidad de los patrones de la torre Gunbad-i Kabud en Marāgha, fechada entre

1196 y 1197, fecha muy anterior a la que Lu y Steinhardt asignan a aquel otro templo,

configurando un caso de cuasi-cristales que él descubrió sin debido reconocimiento por

parte de sus colegas (Makovicky 1992). Escribiendo en modo cómplice para los lectores

más conservadores de Science, John Bohannon, quien asumió el rol de enemigo exis-

tencial de Makovicky una vez fallecido Feynman, llegó a ornamentar un comentario

suyo con un subtítulo que declara que “el acertijo de los cuasi-cristales abre una lata de

gusanos” (cf. Bohannon 2007; Ball 2007a; 2007b; Cromwell 2008; Bonner 2017).

Hoy en día no hay polémica posible; Makovicky tenía por lo menos algo de razón. Re-

sultó ser que los musulmanes en Irán, en Uzbekistán y en Turquía (en lo que fue el

imperio Timúrida) y los artistas andaluces y marroquíes en el otro extremo del mundo

islámico, igual que los artesanos pre-islámicos antes que ellos, se habían adelantado a

los geómetras y físicos de Occidente en varios siglos.

On the one hand this pattern confirms that Islamic ornamentalists mastered the constructive

geometry of all three known varieties of cartwheel quasiperiodic patterns based on a combi-

nation of a quasilattice of their own special kind with a configuration composed of promi-

nent ornamental elements. On the other hand it opens our eyes to the fact that, possibly as

early as the 15th century, the ‘practical mathematicians’ recognized the entire spectrum of

quasiperiodicity and strove to master even the last, dodecagonal, case, and not only the de-

cagonal (pentagonal) and octagonal ones. Finally, the hitherto held belief that the few his-

torical pieces of strictly geometric octagonal and decagonal patterns in Morocco, nearly

identical to the corresponding pieces in Andalusia, were probable Andalusian imports may

have suffered a final blow by this discovery (Makovicky y Makovicky 2011: 573).

. Figura 5.3 – Simetrías en vasija y en textil Shipibo de la Amazonia peruana.

Según Emil Makovicky (2016: 164).

97

Un solo templo falso positivo no hace a la diferencia, pues los testimonios de ejempla-

res cuasi-cristalinos son ahora copiosos; algunos de ellos se basan en formas octogo-

nales, decagonales, dodecagonales, icosogonales y hexadecagonales; su área de disper-

sión es enorme y su horizonte temporal se expande por siglos (cf. Rigby 2005; Mako-

vicky y Makovicky 2011; Makovicky 2016). Si antes no se los hallaba era porque nadie

los estaba buscando. Hace cuatro años Aboufadil, Thalal y Eldrissi (2016) desarrollaron

métodos para construir otros patrones nuevos y sugirieron emplazamientos donde en-

contrar precedentes culturales. No se descartan tampoco manifestaciones de esos mis-

mos principios en otras culturas nómades y sedentarias de Asia Central que ni siquiera

se han catalogado en el inventario oficial.

Figura 5.3b – Manto de mujer (racoti) Shipibo-Conibo. Según Günter Tessmann (1928: lám. II, frente a pág. 40) – Dominio público.

Lo más importante para nosotros, antropólogos latinoamericanos, es que Emil Makovi-

cky, el geólogo y cristalógrafo eslovaco que llevó el estudio de los embaldosados ape-

riódicos a su punto culminante, escribió alguna vez un artículo sobre las asombrosas si-

metrías de los Shipibo, un arte surgido (según las evidencias) hace poco más de 130

años en condiciones de las que se conoce muy poco (Makovicky 2011). En otro trabajo

reciente, el mismo autor alterna de manera inconsútil entre las geometrías mas compli-

cadas del Islām y el arte geométrico Shipibo-Conibo (Makovicky 2016). Aunque he

conseguido fragmentos de aquí y de allá y el mismo autor se ha ocupado del tema en

otras ocasiones que no he logrado documentar con la exactitud que desearía; los ele-

mentos que reuní, sin embargo, me alcanzan para asegurar que las geometrías laberín-

ticas y filigranadas de ese grupo de la Amazonia Peruana (estudiado tangencialmente

por Gerardo Reichel-Dolmatoff) soportan comparación con lo más granado de las sime-

trías del Islām. Por desdicha, en tiempos no tan recientes fueron analizadas por Angeli-

ka Gebhart-Sayer (1985) de la Universidad de Tübingen a la manera simbólica, psico-

délica y shamánica propia de los años 60s (“fenomenológica” se la llamaba entonces),

98

prestando atención exclusiva a su “contexto ritual” emic y perdiendo la oportunidad de

comprender los aspectos que hacen de esas simetrías y cuasi-simetrías una manifesta-

ción única en esta parte del mundo (v. gr. Charing 2012; Reynoso 2008: cap. §3; Roe

2004; Castillo-Torres 2019).

Muchísimo más elaborada pero por igual incursa en simbología shamánica es la com-

pleja sistematización del proceso productivo de las telas Shipibo por Peter G. Roe

(2004), quien combina diseño operado en computadoras de muy vieja tecnología con

observaciones de Angelika Gerbhart-Sayer que encuentro difíciles de creer. Hay en el

capítulo multitud de datos esenciales para comprender el estilo, como las referencias a

las gruesas líneas (canoa) y las finas lineas parentéticas (quétana), que se combinan de

acuerdo con complicadas reglas que configuran un conjunto infinitamente productivo de

motivos y articulaciones significativas.

En un trabajo casi escondido en los confines de la Web y en un magazine electrónico

llamado Oniogénia – Enteógenos, Plantas Maestras, Chamanismo, José Chamorro (S/f)

realizó mientras tanto una acertada comparación entre las curvas de la geometría Shi-

pibo y la curva fractal de Hilbert, un motivo que se encuentra con no poca frecuencia

como fondo de diversas teselaciones musulmanas. El análisis de Chamorro no aporta

geométricamente mucho más que eso, pero eso ya es bastante. Literalmente, cualquiera

puede comprobar la afinidad entre las curvas de Peano, de Gosper, de Moore o de Hil-

bert con las que articulan el fondo de los diseños Shipibo. Aunque estas curvas fractales

difieren un poco de las curvas Shipibo (ya que éstas utilizan curvas de diferente grosor

tal que los diseños con las curvas más finas sólo son aproximadamente simétricos)

siempre es posible sintetizar los patrones ornamentales como Sistemas de Lindenmayer.

Con alguno de los programas fractales disponibles (como Visions of Chaos, por ejem-

plo) se puede comprobar cómo es que esas líneas “suenan” musicalmente y cómo habría

que configurar las definiciones coordinativas para que lo hagan de manera aceptable. Y

me complico en decir eso por las razones que ahora siguen.

Figura 5.4 – Simetrías Diaguitas según Paola González (2016: 35 fig. 10d)

Comparar el efecto Op-art con el de la figura 3.6 en la página 126.

99

El caso es que el siguiente estudio que menciono trae a colación un asunto más serio

que acaso califique como un sonoro fraude, literalmente. Bernd Brabec de Mori y Laida

Mori Silvano de Brabec (2012 [2009]) intentaron comprobar la relación entre los dise-

ños geométricos Shipibo-Conibo y las músicas que se les asocian, muy en la línea del

maestro de Bernd, quien no es otro que el (etno)musicólogo Gerhard Kubik, estudioso

reconocido de las geometrías sonoras y las pautas que conectan sonidos e imágenes. El

problema es que la presunta relación no soportó la evidencia presentada en su contra por

los Mori y que ahora pasamos a revisar.

Para comprobar la veracidad de la leyenda (perpetrada y perpetuada por Angelika Geb-

hart-Sayer [1986: 210; 1987: 170-298], Theodore Lucas [1970: 118] y –en una época–

Bruno Illius [1994]) los Mori entrevistaron un buen número de practicantes médicos en

20 comunidades diferentes entre Orellana y Bolognesi, llegando a la conclusión de que

las “canciones de diseños” o “canciones tejidas del Amazonas” grabadas en discos de

sellos shamánicos y representadas triunfalmente en filmes en los Estados Unidos no

eran más que una fabulación que los propios informantes tomaban para la chacota,

tildándola de una artimaña al estilo New Age para los boxo jonibos, esto es, los blancos

(cf. Martin 2005; Martin y Shipibo Shamans 2006; 2019). La prueba musicológica es

concluyente, con ribetes de escándalo: distintos shamanes que afirmaban poder inter-

pretar musicalmente las geometrías Shipibo ejecutaban canciones diferentes para los

mismos diseños. Otros estudios de los mismos autores confirmaron y consolidaron su

crítica, configurando una nutrida serie que redefine el estado de una polémica caracte-

rística del mundillo mediático que orbita en torno de lo shamánico que se viene arras-

trando desde los psicodélicos años 60s (Brabec de Mori 2011; 2018 [2011]; Brabec de

Mori y Silvano de Brabec 2009; 2012 [2009]).

En el mejor escenario se trataba de un cabal “arte para turistas”, una categoría definida

clásicamente por Donald Lathrap (1976) en un artículo que Gebhart-Sayer incluyó en su

bibliografía pero del que nada se le ocurrió decir. La cereza del postre es que la esposa

de Bernd, Laida Mori, es Shipibo de nacimiento y pudo dar fe del engaño, traduciendo

las conversaciones entre las informantes que inventaban canciones “leídas” de las pintu-

ras geométricas, coordinando a voz en cuello la forma de engañar al gringo (nonra rinko

paranai, nonra ramikanai). Aunque puso fin a una sugerente línea de investigación e in-

crementó el riesgo de empujar a los investigadores hacia un exceso de errores del Tipo

II por mero requisito de prudencia, el trabajo de los Brabec propinó un duro golpe para

las hipótesis demasiado laxas en cuanto al valor de verdad de las analogías sinestésicas

en que se fundam esas geometrías.

El género analógico, no obstante, todavía subsiste y Martin y sus shamanes cantores han

lanzado un nuevo disco (Woven songs of the Amazon II ), acabado de subir a Spotify en

el año que acaba de terminar. Otra contribución reciente al inagotable caudal del neo-

shamanismo aparece en la monografía perspectivista de Paola González (2017), en la

que la descripción de las geometrías Shipibo-Conibo (sumada a paralelismos con el arte

geométrico de los Diaguita chilenos) es presentada en el seno de un tropel de analogías

sinestésicas en el que no faltan referencias a una presunta complejidad peculiar de las si-

100

metrías (Op. cit., pp. 39, 44, 46), sumadas a un conjunto de enunciados sinestésicos de

Bruno Illius (1994) escritos antes que él cambiara drásticamente de idea.

A esas ideas se agregan citas selectas y convenientes de un autor tan desacreditado ideo-

lógica y metodológicamente como Gerardo Reichel Dolmatoff (1985a) en cuanto a las

“similitudes” que se presentarían entre las formas del arte Shipibo y los “fosfenos” Tu-

kano, afirmación que no se condice con ninguna ilustración entóptica ni con la estruc-

tura geométrica de las simetrías reproducidas en sus textos. A todo eso se suma la carac-

terización de “shamánicas” aplicadas a imaginerías claramente fractales que podrían en-

contrarse tranquilamente en África (donde no hay shamanismo), una distorsión de las

ideas de Washburn y Crowe (1988) acerca de similitudes entre el estilo Mojocoya y el

arte visual de la cultura Diaguita (ver fig. 5.4 más arriba) y una frase de Brabec de Mori

y Mori de Brabec (2012 [2009]) sacada de contexto que equivoca lo que estos autores

sostienen y hasta retuerce la ortografía de sus apellidos. Todo ello acompañado, desde

ya, de un silencio absoluto respecto de posturas en contrario que González no podía

desconocer (la de los Brabec y la de Washburn-Crowe en primer lugar) y de la represión

de un registro comparativo que podría refutar de un plumazo sus afirmaciones sobre las

“ilusiones ópticas” específicas del arte shamánico, como podría hacerlo el contraste

entre algunos ejemplos de esas artes que ella refiere con (por ejemplo) el vibrante panel

op-art de simetrías Bamileke de Camerún (mayormente islamizados) que reproduzco

más adelante (fig. 6.4, pág. 126). González sabe muy bien (pues lo dice un par de veces,

sin motivo aparente) que esos efectos visuales son comunes en el Islām. Y el Islām (en

sus encarnaciones africanas al menos) es singular entre las muchas ontologías del mun-

do por no haber recurrido nunca al shamanismo.

Figura 5.5 – Nudos “celtas” – Basado en repositorio de https://www.shutterstock.com/es/image-

vector/set-celtic-patterns-ornament-corners-black-248021107?studio=1

Pero también en el Viejo Mundo se cuecen habas. En este sentido, nos hemos resignado

a que no importe mucho si los arquitectos y artistas turcos o musulmanes han o no cons-

101

truido de manera deliberada sus complicados patrones ateniéndose a un plan matemáti-

co explícito del cual circunstancialmente no quedan registros. Gülru Necipoğlu nos co-

menta que especialiastas soviéticos como G. A. Pugachenkova y L. I. Rempel (1965)

han debido recurrir a un pesado andamiaje matemático para dar cuenta de los procesos

constructivos subyacentes a las arquitecturas Timúridas y de otros estilos islámicos pre-

Otomanos como los que se documentan en los pergaminos del Museo de Topkapı. Es

importante que lo diga una insider familiarizada con estrategias tradicionales de

construcción de esa región en particular: “Mientras que toda forma geométrica puede

expresarse de manera matemática, ésa no es necesariamente la manera en que los arqui-

tectos las concibieron” (Necipoğlu 1992: 65 n. 42).

Figura 5.6 – Frieze patterns [= patrones de frisos] en nudos celtas según Cromwell (2001: 304-305).

Véase el significado de la codificación en este vínculo.

Algunas algorítmicas de la complejidad (los sistemas complejos adaptativos que se co-

nocen como autómatas celulares, por ejemplo) nos han dejado lecciones que afectan a

prácticamente a la totalidad de las algorítmicas y que dan su cuota de razón a Necipo-

ğlu: todas las artes, simples y complejas, están afectadas de equifinalidad, tal que nunca

puede saberse qué procedimientos tenía cada actor cultural en la cabeza al articular la

solución de un problema de diseño por más que el planteo del problema sea determi-

nista y que el soporte material esté en perfecto estado (cf. Reynoso 2006: cap 3.1). Sa-

ber de qué manera se hizo algo es en cualquier contexto y circunstancia –diría el lapla-

ciano Hadamard– un problema inverso que admite infinitas respuestas posibles. Hada-

mard, entre paréntesis, sostenía que un problema inverso (es decir, uno que no admitiera

una única solución) era un problema “mal planteado”, idea de la cual, al filo de mi

jubilación, todavía no estoy seguro que sea la más refinada o la más lamentable de la

historia científica. Ni que decir tiene que todos los problemas de reconstrucción de un

procedimiento en etnogeometría pertenecen a este raro género de retro-inducción o in-

102

geniería reversa, la cual se sabe computable pero (aun si se pudiera aventar de un soplo

el fantasma del Entscheidungsproblem) de muy incierto valor de verdad.

A lo que voy es que la historia de Shechtman, sensibilizadora como lo es, pasa por enci-

ma del hecho de que en muchas artes y artesanías del mundo, particularmente en el arte

islámico, las simetrías fatigosamente encontradas por él son rutinas desde hace siglos.

Si se lo piensa bien, quedará claro que en el arte y la ciencia de Occidente recién se

pudo resolver el problema del encaje perfecto de las varias clases de polígonos cuando

el físico, matemático y filósofo de la ciencia inglés Roger Penrose escribió sus artículos

sobre los embaldosados [tilings] cuya construcción hoy se considera no problemática,

enseñándose en todas las escuelas como si nuestros mayores hubieran conocido su me-

cánica desde el amanecer de los tiempos (Penrose 1974; Senechal 1995; Lu y Steinhardt

2007). Hoy el número de aplicaciones informáticas que permiten armar teselaciones

penrosianas o que las generan automáticamente puede que se acerque a la docena sin

desangrarse mucho en su búsqueda (Arabeske, Bob Penrose tiling generator, Craft De-

sign Online, Penrose Tilings Online Generator, QuasiCrystal Generator, Tess, Tim

Hutton, etc). En el resto del capítulo ahondaremos en este aspecto del diseño geométrico

después de un breve y necesario desvío por los sistemas geométricos de los nudos

celtas.

Figura 5.7 – Izq.: Embaldosados arquimedeanos. Basado en Kaplan (2002: 30, fig. 2.6).

Der.: Teselaciones de Laves correspondientes (Idem: 33, fig. 2.8). En ambos conjuntos el embaldosado (3

4.6) ocurre en dos formas espejadas.

Antes que nada aclaremos que los diseños en estrella son apenas uno entre las docenas o

cientos de artefactos, estilos o fenómenos disponibles como objetos de estudio en la

geometría humana. También nos podríamos haber ocupado de las geometrías carto-

gráficas de las islas Marquesas, en las simetrías en arena de los Navajo o de los ya nom-

brados nudos celtas, de los cuales nos dice desafiantemente Craig Kaplan:

Celtic knotwork is the intellectual cousin of the Islamic star patterns. […] Both can be redu-

ced from a richly decorated rendering to an underlying geometric description. Both are hea-

103

vy users of interlacing as an aesthetic device. But most intriguing is the fact that in both

cases, the historical methods of design are now lost. Research into both Celtic knotwork

and Islamic star patterns has at times required the unraveling of historical mysteries (Ka-

plan 2002: 10).

Los geómetras se han lucido con modelados computacionales que permiten comprender

y sintetizar esas bellas criaturas geométricas [figs. 5.5 y 5.6] aunque no hay cómo con-

trastar que los principios de construcción propuestos hayan tenido sustancia cognitiva y

saliencia cultural. Aunque su entidad conceptual sea dudosa, el juego es de todos modos

seductor.36

La lógica de las modas, además, reclama que así sea: los diseños celtas han

demostrado ser rentables, aunque más no sea porque (por influencia de Lord of the

Rings, Lord of the Dance, Vikings o la cultura gótica) todo el mundo se los quiere tatuar

y los tatuadores necesitan saber cómo se construyen esas geometrías isleñas y boreales

de origen que están viviendo el punto más alto de su convulso revival global (Cromwell

1993; 2001; Sloss 2002 [1995]; Abbott 2009; Mercat 2019; véase pág. 209 más abajo).

Figura 5.8 – Embaldosados de Penrose – Generados por el autor en Visions of Chaos

®.

Izq.: “Kite and dart” [“Cometa y dardo”] – Der.: “Rombos finos y gruesos”. Compárense con los de la figura 5.11.

Urge interpolar un toque de atención que acaso deje sentado un nuevo ítem en el catá-

logo de paralelismos entre el orientalismo hardcore de la pedagogía Occidental sobre el

Islām y las múltiples variantes de la moda celta (cf. Necipoğlu 2012). En The Archaeo-

logy of Celtic Art el arqueólogo Dennis W. Harding ha escrito lo siguiente:

Few topics in archaeology have spawned as many perceptions and misconceptions as Celtic

art. An Internet search for ‘Celtic art’ immediately offers patterns of ‘Celtic’ interlace and

knot-work, elements of later Celtic art in fact derived from Mediterranean or Germanic

origins, or images of high crosses of ninth-century date or later and related icons of the

early ‘Celtic’ church. For coffee-table books a dust-jacket depicting the Gundestrup caul-

36

Los nombres, textos y programas de computación claves en esta especialidad son los de Steve Abbott

(S/f), John Romilly Allen (1912 y otros), George Bain 1977 [1951], Peter R. Cromwell (1993; 2001),

Andrew Glassner (1999a, 1999b, 2000), Christian Mercat (2019), Douglas Zongker (2001-2006). Peter

Cromwell es uno de los que mejor trabajó sobre los fundamentos matemáticos de los nudos celtas, esta-

bleciendo el análisis de las simetrías presentes en ellos, especialmente en los patrones de hileras o frisos

[ frieze patterns]. Todavía queda mucho por hacer en ese sentido (véanse figs. 5.5 y 5.6).

104

dron is considered representative, notwithstanding the fact that it was almost certainly of

Thracian manufacture, and discovered in northern Jutland, well beyond the limits of Celtic

Europe. In academic publications, Celtic art is generally synonymous with the La Tène

ornamental style of the pre-Roman Iron Age, but even this equation should not pass un-

qualified. Since in recent years the concept of Celts and Celtic as an ethnic descriptor has

itself been questioned, it seems appropriate now to re-define and re-assess what we mean

by Celtic art (Harding 2007: 1).

Figura 5.9 – Teselaciones en estrella según Craig Kaplan (2002: 86 y 87)

Retornando a los motivos geométricos islámicos que están en el centro de este capítulo,

debo decir que mientras en esta monografía se ha procurado dejar al margen las mani-

festaciones procedentes de las llamadas Altas Culturas, con las representaciones en es-

trella elaboradas en diversas sociedades islámicas haremos una necesaria excepción. Por

empezar, existe una necesidad técnica de hacerlo así, pues sólo en el arte islámico y en

muy pocas otras instancias se presentan todas las simetrías posibles en el plano, lo cual

permite establecer el ámbito total y el límite de las opciones disponibles a las demás so-

ciedades. Aunque en un tiempo hubo discusiones en torno de la existencia de las 17 si-

metrías cristalográficas en la Alhambra hoy ese problema parece definitivamente diri-

mido; por más que le pese a los refutadores de leyendas (y aunque el hecho, mal que le

pese a un Branko Grünbaum ocasionalmente sardónico, no guarda relación con el “co-

nocimiento intuitivo de la teoría de grupos” por parte de egipcios y moros como “expli-

cación” del fenómeno) , la respuesta es que las simetrías efectivamente están allí (;

105

Fejes Tóth 1964: 38, 39, 43; Pérez-Gómez 1986; Blanco Blanco y Nogueira de Camar-

go 2011; Bodner 2013 versus Grünbaum 1984; Grünbaum, Grünbaum y Shepherd

1986).37

Lo cual nos indica, entre otras cosas, que la sobrestimación de la “explicación”

de un fenómeno por encima del reconocimiento de los hechos básicos (o la glorificación

de las teorías por encima de las prácticas) ha sido un indicador de nuestra soberbia y una

de las marcas más insidiosas de nuestras geometrías.

Figura 5.10 – Experimentos de Johannes Kepler en empaquetado de polígonos. Los 11 embaldosados arquimedeanos son los rotulados D, F, E, L, P, N, M, S, V, Ii y Mm.

La figura más grande es la teselación canónica Aa que luego modificaría Penrose (fig. 5.8). Basado en Marjorie Senechal (1995:14).

En segundo lugar, tampoco cabe duda de que las artes de las teselaciones simétricas de

la alta cultura musulmana se originan en tiempos pre-islámicos y en un abanico cultural

cuyo estudio sigue incompleto el día de hoy (Grabar 1978). No parece fácil demostrar

que todas las posibilidades de los grupos de simetría y de la periodicidad de los embal-

dosados se encuentren en contextos nómades y pre-islámicos, pero lo cierto, insisto, es

que unas cuantas de ellas se originan allí. El problema con los estudios de contextos

37

Las cuatro isometrías antes faltantes en la Alhambra fueron las denominadas p2, pg, pgg y p3m1 (cf.

Grünbaum, Grünbaum y Shepherd 1986; Pérez-Gómez 1986). Si bien todas las 17 simetrías están pre-

sentes en el mundo islámico, de acuerdo con Abas y Salman (2007 [1995]) las p6m y pm4 son las más

ampliamente distribuidas; las cmm, pmm y p6 están muy bien representadas, las p4, p31m, pm y p3m1

son bastante menos y las p4g, p3, cm, p2, pgg, pmg, p1 y pg son las más raras. Sería una gloria para la ar-

queo- y la etnogeometría si dispusiéramos de esta clase de cómputos de presencia/ausencia para las iso-

metrías de América Latina en lugar de las usuales especulaciones sobre significados que pendulan entre lo

obvio y lo presunto. Véase planilla de clasificación de isometrías del plano en este vínculo.

106

pre-islámicos es que la investigación actual se restringe al ámbito de otras altas tradicio-

nes (babilónicas, sasánidas, egipcias, seléucidas, otomanas, timúridas, moghules) sin

que se llegue nunca a documentar la participación de las sociedades tribales mayormen-

te nómades en la gestación de los estilos, como es el caso (por ejemplo) de los kilims.

Este es un campo de estudios virgen, de los pocos que quedan.

En tercer lugar, algunos estudios de las simetrías en estrella han sido instrumentales

para la recuperación y la puesta en valor de artes cuyas metodologías generativas se

habían perdido en los laberintos de la historia y a las cuales una observacion partici-

pante bien articulada (lejos de ser “nuestra principal fuente de mala fe” como alucinaba

Clifford Geertz) nos ha permitido recuperar (cf. Kaplan 2002; Bonner 2017). La historia

de las teselaciones se remonta a orígenes tan confusos y equívocos como la trayectoria

del arte celta. Los antiguos romanos le pusieron nombre a la técnica y dejaron algunos

embaldosados comparativamente simples que las sucesivas culturas fueron comple-

jizando.

Figura 5.10b – Una de las teselaciones zelij [يج زل de la Alhambra que atrajo la atención de Escher [ال

“por su gran complejidad y su arte geométrico” (Bool y otros 1992: 24, 41). Fotografía del autor en la Alhambra de Granada, 1995. Ver reproducción autógrafa de Escher en Broug (2013)

No fue sino Johannes Kepler [1571-1630] quien las sistematizó primero que nadie en el

libro II de Harmonices mundi (1619); un siglo antes Albrecht Dürer se había ocupado

de la construcción de polígonos regulares con regla y compás en El Manual del Pintor

(1525) que sirvió desde entonces como materia prima de las elaboraciones geométricas

107

europeas aunque los teóricos de la época no le prestaron mayor atención. En 1891 el

cristalógrafo ruso Evgraf Stepanovich Fedorov [1853-1919] en Simetría en el plano

probó que cada embaldosado del plano se construye de acuerdo con uno de los 17 gru-

pos de isometrías que revisamos en el capítulo anterior. Su texto es hoy reconocido co-

mo el comienzo de la teoría matemática de los embaldosados; ha sido traducido al in-

glés, pero no al castellano, y en todas las lenguas a las que se tradujo es extraordinaria-

mente difícil de conseguir en formato digital (Fedorov 1891). Hay quien dice que la cla-

sificación de las isometrías en el plano no fue más que un ejercicio de precalentamiento

para lo que realmente le interesaba a Fedorov y que era la clasificación de las figuras y

enrejados tridimensionales en lo que hoy se llaman space groups. Los 230 grupos espa-

ciales que encontró son hoy la columna vertebral de la cristalografía y juegan un rol

fundamental en todos los aspectos de la físico-química (Fré 2018: 61). Hoy se conocen

las estructuras cristalinas de todos los grupos espaciales que existen en la naturaleza. El

cuadro de todas las estructuras, que se puede visualizar en este vínculo, tiene una extra-

ña e inexplicada similitud con los diccionarios de Adinkras que se examinarán en el

capítulo 9 (pág. 162) cuya variedad alcanza, según cómputos concurrentes, exactamente

la misma cifra.

Figura 5.10c – Izq.: Las 17 isometrías del plano según George Pólya (1924).

Der.: Elaboración de Escher sobre las isometrías de Pólya según Schattschneider (1987). Sobre las equivalencias notacionales véase la tabla de Schattschneider (1978).

Aunque no se conocen equivalentes culturales para todos los grupos, el arte de Occiden-

te tampoco ha sido ajeno a estas innovaciones. La contribución del pintor de escenas y

cosas paradójicas Maurits Cornelis Escher [1898-1972], figura de culto de varias tribus

intelectuales, es más reconocida en la actualidad que la de Fedorov aunque no haya un

modelo geométrico explícito y original que proporcione sustento y englobe la totalidad

de sus extrañas experiencias (Coxeter 1969: 57-59, 63; Penrose 1996 [1989]: 10, 13,

108

191-192, 385; Kaplan 2002: 116-181; Schattschneider y Emmer 2003; Schattschneider

2010; Hoffmann 2020).

Mientras una multitud de artistas y científicos celebra la imaginación matemática de

Escher y elogia sobre todo el uso de figuras o “motivos” (como él llamaba a sus dise-

ños) Doris Schattschneider prefería poner el acento en su geometría incluso en los mo-

mentos más agudamente figurativos:

Escher used geometry masterfully in his works. His early scenes of Italian villages clinging

to steep mountainsides with valleys sweeping out below seem carefully sculpted from geo-

metric forms. His later works celebrate polyhedra, spheres, knots, and Möbius bands. Geo-

metry works magic in his prints – classical Euclidean geometry, spherical geometry, projec-

tive geometry, transformation geometry, hyperbolic geometry, and self-similarity all are

skillfully employed to achieve intricate and surprising visual effects. Not only was he a

master of the craft of graphic art, he was also (despite his denials) an original researcher in

the realm of science and mathematics (Schattschneider y Emmer 2003: vi).

La relación entre las simetrías embaldosadas de Escher con el arte islámico es un hecho

reconocido (Schattschneider 1990; Kaplan y Salesin 2000; Kaplan 2002: 116-181; Abas

2003; du Sautoy 2009: 62-87; Broug 2013; Piller 2013; ver fig. 5.10b). Los geómetras y

matemáticos de primera línea que ejercieron infuencia sobre Escher (Pólya, Coxeter,

Haag, Penrose) admiraban el arte geométrico del Islām no menos que él (Schattschnei-

der 1987). En su primera visita a la Alhambra en 1922 Escher no conocía aun la obra de

estos autores. Dos años más tarde George Pólya publicó Sobre la Analogía de la Sime-

tría Cristalográfica en el Plano (1924), un artículo sucinto en el que clasificó los 17

grupos que habían sido descriptos por Fedorov (1891), incluyendo una ilustración de

una página que incluye algunos ejemplos clásicos al lado de otros inventados (ver fig.

5.10c izq.). Escher estudió minuciosamente cada una de las simetrías de Pólya, copián-

dolas en su libro de notas en tamaño ampliado, a razón de dos ejemplares por página.

Luego tomó algunas de esas piezas, combinándolas y convirtiendo las formas geométri-

cas en estilizaciones teriomórficas (fig. 5.10c, derecha). Aunque Escher reconocía no

entender suficientemente los aspectos técnicos de los grupos de transformación, él mis-

mo operó transformaciones inéditas y hasta elaboró una sistematización del uso de co-

lores contrastantes en las simetrías del plano que todavía estaba faltando en la literatura

científica (Schattschneider 1986).

El aspecto más importante para referirnos a este artista en el contexto de este libro tiene

que ver con la presencia de una técnica compleja de escherización (diríamos, siguiendo

a Craig Kaplan) en el arte de los quillangos del sur de la Patagonia y Tierra del Fuego

que hemos analizado a partir de la figura 2.3 más arriba. El momento de inicio de la

plenitud artística de Escher coincide con su segunda visita a la Alhambra de Granada en

1936, una visita mucho más breve (tres días) de lo que reza la leyenda; allí tuvo opor-

tunidad de estudiar en cierto detalle las teselaciones islámicas, a las que dedicó muchos

de sus bocetos y anotaciones. “Los Moros eran maestros en llenar la superficie con figu-

ras congruentes sin huecos entre ellas. En la Alhambra, en España, especialmente, ellos

decoraron las paredes colocando juntas piezas congruentes de mayólica sin dejar ningún

intersticio” (Ernst 1976: 37). En las anotaciones a su pequeño libro Regular Divisions of

109

the Plane (Regelmatige Vlakverdeling, 1957), el cual contiene colección de imágenes

que he puesto en este vínculo anota Escher:

I have often wondered why, in their decorative zeal, the designers of patterns such as these

never, as far as I know, went beyond abstract motifs to recognizable representation. This

does not detract from the beauty and ingenuity of their creations, in which more and less

complicated systems can already be distinguished. […] As it is precisely this crossing of

the divide between abstract and concrete representations, between ‘mute’ and ‘speaking’

figures, which leads to the heart of what fascinates me above all in the regular division of

the plane, it is important to discover whether there are actually reasons why figurative

representations are not found anywhere (Bool y otr@s 1992: 162).

En su brillante disertación de doctorado Computer graphics and geometric ornamental

design Craig Kaplan comienza recordándonos los fundamentos euclideanos básicos de

los embaldosados regulares y uniformes, lo que muchas culturas situadas mundos aparte

de Grecia y Roma tomaron como premisa fundante de sus emprendimientos en ese

terreno. Pensándolo un poco, nos daremos cuenta que en el plano euclideano hay sólo

tres y nada más que tres formas de diseñar embaldosados regulares homogéneos usando

(1) cuadrados, (2) triángulos regulares y (3) hexágonos. En principio se puede describir

un embaldosado usando un símbolo de vértice el cual es una secuencia p1, p2, …, pn que

enumera, en orden, los polígonos regulares que se encuentran alrededor de cada vértice.

Los embaldosados que se pueden enumerar de este modo se llaman embaldosados regu-

lares. En el plano euclideano el resultado de esta enumeración es un conjunto de 11

embaldosados conocidos como los embaldosados arquimedeanos (fig. 5.7 izq.).

Nombramos esos embaldosados colocando sus símbolos de vértice entre paréntesis. En-

tre los embaldosados uniformes los embaldosados regulares son aquellos cuyos símbo-

los de vértice son de la forma pq: (4

4) para los cuadrados, (3

6) para los triángulos equi-

láteros y (63) para los hexágonos regulares (fig. 5.7 izq., 3 primeros embaldosados).

Tengamos en cuenta que en un símbolo de vértice abreviamos los bloques de valores

repetidos usando exponenciación. La figura 5.7 muestra los únicos embaldosados arqui-

medianos posibles en el plano de referencia.

Figura 5.a – Los cinco cuerpos platónicos. El tetrahedro aparece dos veces como su propio dual.

Basado en György Darvas (2007: 139).

Cada embaldosado uniforme posee un dual geométrico bien definido, el cual se obtiene

remplazando cada uno de n lados por un vértice n-valente y viceversa. Estos embaldo-

sados duales son monohédricos y poseen la característica de que cada vértice es regular,

110

esto es que las líneas que parten del vértice están regularmente espaciadas alrededor de

él. En el espacio euclideano los duales se llaman embaldosados de Laves y cada uno de

ellos tiene el mismo nombre que su dual arquimediano. Se ilustran en la figura 5.7 (de-

recha) y se exponen aquí sólo porque en algunas construcciones usando el software

Taprats u otras herramientas se usan para generar formas más complejas de las que se

alcanzan con los arquimedianos.

Un embaldosado periódico es un embaldosado del plano euclideano que exhibe simetría

periódica, lo que no es sino una simetría en la que existen dos direcciones linearmente

independientes de simetría traslacional. Estos embaldosados son más simples que los

aperiódicos, cuyos ejemplares más conspicuos son los embaldosados de Penrose (1974).

Debe tenerse cuidado de no confundir los embaldosados aperiódicos con los no-periódi-

cos. Los primeros son una clase especial de estos últimos, una clase que ha recibido mu-

cha mayor atención que muchas otras clases de embaldosados. Hay innumerables herra-

mientas para generarlo, entre ellas una basada en Sistemas de Lindenmayer que se

puede utilizar en el popular programa Visions of Chaos como se muestra en la figura

5.8. También generan excelentes teselados de Penrose programas como Fractal Grower.

Las teselaciones de Penrose no tienen necesariamente que ver con los diseños en estrella

pero sin duda fueron funcionales a una mejor comprensión de los embaldosados en

general.

En cuanto a los diseños islámicos en estrella, ellos se definían en tiempos de la tesis de

Kaplan como una disposición periódica de motivos, definición que después de los even-

tos que hoy son de dominio público en torno de los cuasi-cristales ya no se puede sos-

tener pero que alcanza para comenzar con la descripción de los ejemplares más comu-

nes. Lo que estos diseños tenían en común es que con unas pocas excepciones (tal como

algunos indicios sueltos en el pergamino de Topkapı) el método de construcción se ha-

bía perdido hacía siglos. Usando como base la convicción de que los artistas musulma-

nes estaban bien versados en la geometría griega clásica, Kaplan intentó reconstruir los

métodos generativos de no todos pero sí de unos cuantos patrones en estrella.

Más allá de la disertación de Kaplan, que versa más bien sobre los aspectos constructi-

vos, los textos escritos sobre los patrones de diseño islámicos en estrella son ya incon-

tables. Hay que tener en cuenta que en un alto porcentaje están escritos en ruso, árabe,

turco y uzbeko y son por ello difíciles de localizar ya sea en bibliotecas o en la Web. En

la porción restante hay sin embargo abundancia de estudios que valen la pena, aunque

hay también propensión orientalista a considerar esas artes como “ornamentales”, cali-

ficativo desafortunado si los hay. Es importante también considerar la bella y sistemá-

ticamente ordenada colección de imágenes de Daud Sutton (2007) y las láminas de lí-

neas puras, sin comentario alguno, compiladas por Jules Bourgoin (1973).

Dado que vamos mediando este capítulo que también ocupa el centro del libro, es más

que oportuno referir un testimonio de la persistente minorización de las geometrías de

las otras culturas. En un apasionante libro sobre los cuasi-cristales y la geometría, Mar-

jorie Senechal (profesora de Matemáticas de Smith College) analiza la evolución de las

teselaciones diciéndonos que

111

Desde la más remota antigüedad, los diseñadores de patrones en mosaico han sabido que el

plano puede pavimentarse con cuadrados, triángulos equiláteros y hexágonos regulares, y

alguna combinaciones de elos con otros polígonos, pero hasta donde conozco Kepler fue el

primero en estudiar el problema de manera sistemática (Senechal 1995: 13).

Luego la autora reproduce una lámina con los experimentos de Kepler con el empa-

quetado de polígonos (fig. 5.10) y subraya la similitud entre la primera colección de em-

baldosados aperiódicos de Penrose y el mosaico Aa de Kepler, celebrando una y mil

veces la idea de extender la construcción de Kepler hasta cubrir todo el plano mediante

el método de sustitución, poniendo de manifiesto que el orden geométrico no es necesa-

riamente periódico y estableciendo vínculos con otras estructuras aperiódicas, los frac-

tales y las series de Fibonacci, identificadas estas últimas por Eglash en África y bien

conocidas por Paulus Gerdes y hasta por nuestro Gregory Bateson (1981 [1979]).

Senechal no presta atención al hecho de que los constructores de los embaldosados

antiguos de Irán habían no descubierto en la naturaleza sino inventado en la práctica

cultural éstas y otras aperiodicidades, tal como lo hemos corroborado ya sobradamente.

La autora conocía por cierto los anuncios de Shechtman pero pasó por alto que este

autor (al igual que Lu y que Steinhardt) sabía de la existencia de las aperiodicidades en

las artes antiguas de aquellas regiones lejanas del mundo. En los últimos años, no obs-

tante, Senechal limó sus aristas y puso al día su perspectiva. Apenas encabezado un

capítulo de un Handbook de excelencia ella acometió el tema escribiendo:

¿Están buscando un capítulo sobre ‘Cristales y cuaicritales’? No busquen más: lo han

encontrado. Hoy en día la palabra ‘cristal’ cubre tanto los periódicos como los no

periódicos. Así como en el siglo XIX ‘seudogeometría’ pronto devino ‘geometría no

euclideana’, hoy hablamos de cristales aperiódicos (Senechal 2018: 1695).

Volveremos al tema de los embaldosados aperiódicos más adelante, pasando ahora de

las teselaciones en dos dimensiones a los embaldosados en tres. Ambas transiciones de

fase, como se verá, tienen sus bemoles.

Mientras vamos haciéndonos a la idea de que la (pre)historia de la etnogeometría mere-

cería re-escribirse, cada día que pasa se acumulan observaciones y elementos de juicio

que van poniendo en crisis las más acendradas leyendas urbanas de la especialidad aun-

que construyendo a veces nuevas mitologías de recambio. Ilustrar cada caso pertinente

insumiría un volumen mayor que el que ya va tomando este libro, pero al menos un a-

contecimiento que despertó un eco desproporcionado merece mención. El ejemplo que

viene a la mente es el que sigue.

En un tiempo pareció que estaba tomando estado público que los cuerpos platónicos,

gloria de la geometría volumétrica griega (fig. 5.a), ni siquiera eran griegos de origen.38

Diversos autores afirmaron que hacía tiempo se habían descubierto piezas que confor-

38

Platón nombra los cinco sólidos en su diálogo Timeo (ca. 360 aC), atribuyéndolos a su colaborador

Teeteto (Θεαίτητος = Theaítētos). Los sólidos son el tetraedro, el hexaedro o cubo, el octaedro, el

dodecaedro y el icosaedro.

112

maban el conjunto completo de cuerpos equivalentes a los sólidos platónicos en sitios

neolíticos de Escocia (fig. 5.b) procedentes de una época mil años anterior a Platón.

Figura 5.b – Conjunto completo de los “cuerpos platónicos neolíticos” encontrado en Escocia. Basado en Jay Kappraff 1991: 35, fig. 1; basado a su vez en Keith Critchlow (1982).

Redibujado por Bruce Brattstrom a partir de una foto de Graham Challifour. Reproducido en Sacred Geometry de Robert Lawlor (1982: 96)

De acuerdo con la descripción de Kappraff en el libro de Hargittai sobre la simetría

quíntuple, estos cuerpos se mencionaron por primera vez en un libro de Keith Critchlow

(1982) que ha sido un renombrado best-seller de la geometría sagrada. Tanto Kappraff

como en apariencia Hargittai, así como los prestigiosos Paul Sutcliffe y [Sir] Michael

Francis Atiyah [1929-2019] (“el más grande geómetra inglés después de Newton”), la

disertante Gloria Judith Florez de mi apreciada Universidad Nacional de Colombia y el

brillante Eric Weisstein de Wolfram MathWorld, han considerado que los objetos, pro-

cedentes de yacimientos escoceses casi siempre innombrados y de los que se dice que

están expuestos o depositados en el Ashmolean Museum de Oxford, son por completo

auténticos (cf. Atiyah y Sutcliffe 2003: 3; Florez 2011: 1-2; Weisstein 2019).

Invito sin embargo a que se examine cuidadosamente la figura 5.b. De izquierda a dere-

cha los modelos de las bolas de piedra corresponden al cubo, al tetrahedro, al dodecae-

dro, al isosaedro y al octaedro tal que los bultos corresponden a “caras” de los poliedros

regulares. El primer problema que se encuentra es que alguien agregó cintas uniendo los

centros de las protuberancias de las bolas de piedra, tal que las caras resultan multipli-

cadas por 2. También sucede que ninguna de las cinco piedras del Ashmolean Museum

posee exactamente las 12 caras que se requieren para ser un dodecaedro; ninguna de

ellas coincide tampoco con alguna de las piedras de la fotografía del libro de Critchlow

(fig. 5.c). Tampoco es el caso que todas las figuras de cualquiera de las fotos de conjun-

tos “platónicos” procedan con certeza del mismo contexto; hasta donde se puede com-

probar todos los conjuntos han sido armados acomodando piezas dispersas.

Figura 5.c – Las 5 piedras auténticas del Ashmolean Museum, sin icosaedros

y sin rastros de caras planas – Según John Baez (2009).

113

Hizo falta que los arqueólogos hipercríticos de Neverendingbooks y en particular Lie-

ven Le Bruyn, matemático de la Universidad de Amberes, demostraran con abundante

documentación que todo el ruido en torno de los sólidos escoceses era nada más que un

fraude montado por alguien con aceptables conocimientos de geometría de sólidos pero

sin demasiada idea de la arqueología del neolítico tardío. El propio Critchlow, con el

tiempo, reconoció que en los materiales que él trató no había ningún icosaedro, con lo

cual buena parte del relato megalítico estalla en pedazos mientras que un pequeño grupo

de expertos que se excedieron en su ingenuidad (Atiyah, Sutcliffe, posiblemente Har-

gittai y con seguridad Kappraff) ha quedado expuesto a la condena pública, debiendo

dar la cara por información que ellos no originaron, que se difundió más de lo prudente

y que ninguna de esas autoridades en la materia quedó en condiciones de avalar (cf.

Baez 2009).39

Figura 5.d – Petrosfera de Towie en Aberdeenshire, fechada entre 3200 y 2500 aC.

Expuesta en el National Museum of Scotland. Basada en Sir John Evans (1897: 421) – Imagen en el dominio público.

39

El caso de Jay Kappraff es particularmente delicado y –hasta yo diría– doloroso. Las causas a las que

adhería Kappraff (puedo apreciarlo) han sido siempre nobles, pero su credulidad se pasó de la raya y em-

barró las fundaciones y proyectos editoriales para los que trabajaba, llegando a agradecer en un mismo

párrafo a científicos inobjetables (como el geómetra de excelencia Harold Coxeter) al lado de figuras que

se saben oscurantistas, como el neopitagórico Ernest G. McClain (Kappraff 1991; 1992; 2002). Respecto

del fiasco de los sólidos platónicos del neolítico escocés no he sabido que Kappraff se haya sumado al

mea culpa rubricado por el propio responsable de la engañifa. Kappraff escribe brillantemente y admiro

varios de sus trabajos pero –dadas las circunstancias– ahora reviso todo lo que dice.antes de poner las

manos en el fuego.

114

El asunto reviste cierta gravedad. Ceteris paribus, que falte un icosaedro de piedra en la

Escocia neolítica equivale a que falten tres o cuatro de las 17 isometrías del plano en la

Alhambra, no sé si me explico. El caso escocés, para hacerlo breve, configura uno de

los escándalos magnos que jalonan esta región de la vida académica en la que gracias a

contingencias como éstas podemos encontrar cualquier cosa excepto aburrimiento. Si

hay por aquí algo así como un fraude es en todo caso una bribonada exquisita, envidia-

ble, un timo para entendidos que trasunta alguna clase de raro talento: ¿a qué genio

ignorado de la arqueogeometría se le ocurre falsificar un icosaedro?

La información errónea sobre este caso se propagó incluso a la versión castellana del

excelente artículo sobre sólidos platónicos en Wikipedia, al cual he optado por dejarlo

sin retoques en su formato digital, pero no sin copiar y pegar el párrafo incriminatorio

como pieza de evidencia antes que a alguien con un obsceno sentido de la justicia se le

ocurra corregirlo:

Con exactitud, no se sabe en qué momento llegaron a conocerse los poliedros en la anti-

güedad. Los arqueólogos han hallado unas bolas labradas en piedra en Escocia (2000 a. C.)

con formas de cubo, dodecaedro, icosaedro, tetraedro y octaedro […], al igual se ha hallado

en Pádova (Italia 500 a. C.), un dodecaedro etrusco que probablemente era usado como

juguete o decoración [...]" [Flórez 2011: 9]. Los sólidos regulares neolíticos se encuentran

en Ashmolean Museum de Oxford y fueron datados como de un período ubicado 2.000

años antes de nuestra era (Wikipedia, “Sólidos Platónicos”, versión al 17/12/2019).

Como consecuencia de la visceral repugnancia de los arqueólogos profesionales hacia la

popular numerología neolítica y megalítica de Gran Bretaña, el tratamiento de los sóli-

dos platónicos escoceses en la literatura seria del Reino Unido fue siempre lacónico,

esporádico e insuficiente. La crítica definitiva de la hipótesis de los sólidos platónicos

de la edad de piedra es la del arqueólogo David Robert Lloyd (2012), profesor emérito

del Trinity College de Dublin. No está mal, ciertamente, pero no me ha hecho reir tanto

como el bribón que (una noche, apostaría) pegó las bandas blancas en cinco piedras de

Escocia, sacó una foto y la publicó en un libro que se vendió como pan caliente.

Figura 5.11 – Primera teselación aperiódica de Penrose. Nótese que los prototiles (es decir, los

componentes) tienen 4 formas distintas: estrellas, medias estrellas, pentágonos y rombos. Compárese con los de la figura 5.8.

Nótese que ninguno de esos motivos es arquimedeano – Según Marjorie Senechal (1995: 171)

115

Acordemos que, cualquiera haya sido el lío que se armó en torno suyo, las verdaderas

piedras pulidas británicas son objetos geométricos notables y muchas veces extraordina-

rios (cf. fig. 5.d), aunque su uso y significado sólo pueda ser objeto de conjetura; pero

me consta que hay artefactos similares por todas partes, en Tierra del Fuego sin ir más

lejos, a los que es muy difícil organizar en series, conjuntos o sistemas ordenados. Estas

idas, vueltas y falsificaciones hacen que complejidades de las auténticas etnogeometrías

tanto o más creativas que la representación de sólidos deban ser vistas de ahora en más

con una desconfianza que no merecen. Por algo es que en los primeros capítulos de este

libro (p. 24 y ss.) tomamos la decisión de dejar al margen las peregrinas hipótesis ema-

nadas de la tradición de la Geometría Sagrada y de otros vuelos parecidos de la imagi-

nación.

Ninguna descripción de los métodos matemáticos de las formas más complejas del arte

islámico quedaría completa sin considerar la enigmática historia de los muqarnas y del

gigantesco proyecto editorial dedicado a esas y otras geometrías islámicas (van den

Hoeven y van der Veen 2010; Harmsen 2006; Necipoğlu y Bailey 2005, etc. [35 volú-

menes a la fecha]; Takahashi 1973; Krömker 2007; Post, Keene y van der Veen 2009).

Los muqarnas fueron introducidos a la bibliografía de Occidente (con el nombre extinto

de “arcos de estalactitas”) por Owen Jones, célebre autor del legendario The grammar of

ornament (2016 [1856]), en una saga de trabajos publicados en la vorágine del deslum-

bramiento de los ingleses por el arte islámico de la Alhambra y de otros monumentos

descriptos por los viajeros de los años tempranos de la era victoriana (Goury, Jones y de

Garangos 1842-1845; A. M. Johnson 2016; Varela Braga 2017).

Figura 5.12 – Muqarna de Qubba Imam al-Dawr en Iraq, destruido por ISIS en 2014.

Imágenes publicadas por ArchNet (https://archnet.org/sites/3838).

Podría decirse que los muqarnas son a los volúmenes colgantes de arcos, arquitrabes y

cúpulas lo que los embaldosados islámicos estándar son a las paredes y a los pisos deco-

rados con simetrías. Geométricamente, los muqarnas son una clase entre muchas otras

de simetrías tridimensionales. Su combinatoria crece correlativamente a su dimensiona-

lidad. La simetría se caracteriza por periodicidad en tres dimensiones. Lo que era el

116

número siete para la repetición en una dirección y el 17 para la repetición en dos dimen-

siones, eso es 230 para la repetición en tres. Esto significa que hay 230 posibilidades

distintas (no más, pero tampoco menos) para construir una estructura tridimensional que

sea periódica en las tres direcciones del espacio (Hahn 2002). Todavía no hay un inven-

tario, empero, sobre la abundancia y localización relativa (en tiempo y espacio) de tese-

laciones periódicas y aperiódicas, pero la cifra que se ha encontrado en cristalografía es

exactamente la misma que se ha encontrado para el número de Adinkras entre los

Ashanti de Ghana y para los diseños de los tokapus incaicos (fig. 7.6, 7.7 y 9.10, 9.11 y

9.11b).40

No estoy sugiriendo que esto sea obra de una conexión oculta o se deba a la

actuación de un arquetipo jungiano, pero no estaría de más preguntarse por qué es que la

combinatoria implicada en fenómenos tan diversos ronda en las proximidades de un

mismo orden de magnitud, un orden que bien podría descubrirse un día de estos como

un emergente necesario (a un cierto nivel de análisis) de algún espacio de fases de los

códigos o de la geometría de cristales, signaturas y muqarnas, entre otros sistemas

sígnicos de la etno- y la arqueogeometría.

Figura 5.13 – Simetrías en los patrones islámicos (I). Según Jay Bonner (2017: fig. 54)

Los muqarnas también se han definido como una articulación rítmica del espacio. A las

simetrías del plano los geómetras islámicos agregaron una dimensión adicional, llevan-

do las artes geométricas a un grado de complejidad tal que en Occidente no hay todavía

quien haya sistematizado sus matemáticas. No ha nacido aun en esta parte del mundo (y

40

Los tokapus se investigarán en el capítulo 7, los adinkras de la cultura Ashanti y de la teoría de cuerdas

en el capítulo 9.

117

es improbable que nazca en el corto plazo) un Roger Penrose de los muqarnas tridimen-

sionales o de las piedras pulidas del neolítico británico que sea capaz de operar su magia

sin recurrir a instrumentos digitales. Los geómetras ya no son en este lado del mundo lo

que eran en la época de Euclides, de Arquímedes o de Kepler. En Occidente los opera-

dores que más se aproximan a tales artífices son autómatas generadores de Mandelboxes

hipercomplejos que solamente viven y son posibles en el mundo virtual; o bien son pie-

zas de software de diseño asistido en las que, muy lejos del modelado genuino, los ele-

mentos se construyen manualmente pieza por pieza, empleando el método de ensayo y

error que nuestro antropólogo materialista de cabecera Marvin Harris [1927-2001] lla-

maba con una frase expresiva: “tíralo contra la pared para ver si se pega”.

Figura 5.14 – Simetrías en los patrones islámicos (II).

Según Bonner (2017: fig. 55).

Siguiendo a Jones, los muqarnas se conocen popularmente como las “estalactitas” del

arte que cuelga de los techos de mezquitas, templos y edificios musulmanes. En árabe y

118

en persa se los llama muqarnas (مقرنص‎ y مقرنس‎ respectivamente), en Irán Ahoopāy (persa:

‎) y en España mucárabe. Se estima que el estilo puede rastrearse hasta mediadosآهوپای

del siglo décimo tanto en el noreste de Irán como en el centro del Maghreb, así como en

regiones de la Mesopotamia. Los orígenes exactos de los muqarnas se ignoran, pero se

supone que las peregrinaciones, el comercio y las conquistas jugaron su parte en el

fermento transcultural que condujo a ellas

El primer ejemplo concreto de un domo en estilo de muqarna pasa por ser Qubba Imam

al-Dawr en Iraq, completado en el año 1090. Infortunadamente, el templo shiíta, uno de

los últimos seis existentes, fue reportado como destruido por ISIS en octubre de 2014;

aunque los muqarnas son relativamente frágiles, el templo duró prácticamente mil años

con sus ornamentos intactos sin ninguna clase de mantenimiento.

Algunas imágenes de muqarnas geométricos de dicho templo son reminiscentes de frac-

tales y atractores extraños (cf. fig. 5.12). A pesar de estas pérdidas y de muchas otras

carentes de sentido (ya que no hay representaciones humanas en esas artes, tan sólo

imágenes geométricas) hoy se conservan miles de construcciones que incluyen un

número crecido de muqarnas en todo el mundo. Muchas de ellas se encuentran en

estado crítico y requieren operaciones de restauración o de conservación preventiva que

están impulsando la creación de tecnologías específicas, comenzando por su registro

fotográfico en 3D.

Figura 5.15 – Cuasicristal de Penrose. Según Matin Arik (2015).

A fines del siglo XI los muqarnas se habían expandido por todo el mundo islámico des-

de España hasta la India, en donde la arquitectura musulmana se fusionó con los estilos

moghules, hindúes, buddhistas y jainas. A pesar de la reconocida fractalidad de este

rasgo estilístico, ni Ron Eglash ni Kirti Trivedi se han ocupado de los muqarnas en

África Occiental o en India. Según las detalladas bases de datos de Shiro Takahashi, en

esas regiones sobresalen los muqarnas de la mezquita de Daragamba en Ghana y de

119

Dalaba Fougoumba en Guinea, así como los de las mezquitas moghules de Agra, Delhi,

Lucknow y Madhya Pradesh. De todas maneras, los análisis de dimensión fractal en la

arquitectura islámica en general y en los muqarnas en particular son hasta el día de hoy

sumamente escasos. Conozco (confieso) uno solo (Abdelsalam e Ibrahim 2019).

Es curioso que ni Kirti Trivedi ni los miembros de su escuela utilicen esa categoría

descriptiva en su análisis de ostensibles muqarnas visiblemente fractales existentes en la

India y Pakistán y relevados en la hoy obsoleta base de datos de Takahashi. Los análisis

de dimension fractal del perfil de los templos indios han sido, por el contrario, nutridos,

aunque prevalece una metodología ad hoc que mezcla iteraciones a escalas cambiantes

con estimaciones de segmentos áureos en series casi invariablemente breves, de tres o

cuatro términos cuando mucho; igual que ha sucedido tantas veces en otros campos, en

la academia sigue sin haber criterios homogéneos sobre lo que puede y lo que no puede

ser tipificado como fractal (Rian, Park y Ahn 2007; Ostwald y Tucker 2017a; 2017b;

Ostwald y Vaughan 2016; Dutta y Adane 2018). Aunque la galería de imágenes que se

está reuniendo constituye uno de los repositorios visualmente más impactantes de la

etnogeometría, este espacio de las prácticas todavía no ha inspirado investigaciones que

operen con el rigor que el tema demanda.

Algunos textos más o menos recientes en el estudio de las teselaciones islámicas han

acometido un esfuerzo de sistematización importante vinculando, por ejemplo, dichos

embaldosados con los tipos de simetrías en las guardas, los planos y las rosetas, abar-

cando incluso la noción kleiniana de grupo (Abas y Salman 2007). En este último estu-

dio se encuentra además una clasificación representativa de los grupos de simetría co-

rrespondientes un gran número de ejemplares, pero el trabajo sigue siendo incompleto

en muchos sentidos. Abas y Salman no suministran indicaciones sobre el origen y la

cronología de cada uno de los ejemplares clasificados, entresacados de varias coleccio-

nes. Tampoco proporcionan mucha información sobre la presencia de los grupos simé-

tricos a través del tiempo o en determinados lugares y períodos de la historia. Unos po-

cos ejemplares relevados puede que procedan de muqarnas, pero este último estilo

(igual que el mocárabe) no es objeto de distinción.

Es apenas fragmentario y ocasional el tratamiento de los estilos musulmanes en el impe-

rio Otomano, o entre los Safávidas de Persia, los Moghules de India y los musulmanes

de Indonesia, archipiélago en el que hay más gente del Islām que en cualquier otra na-

ción del mundo (después de la India) pero que ni siquiera figura en los nutridos índices

del libro. No obstante el predicamento que tienen en Occidente, Bonner considera que

las variedades Otomanas, Safávidas y Moghules son mis bien crepusculares y derivati-

vas, habiendo experimentado un giro desde la geometría hacia una ornamentación floral

que –es mi interpretación– los connoisseurs más exquisitos consideran una especie de

entartete Kunst en las fronteras del kitsch. Se perdió entonces en esos contextos la fres-

cura de la creatividad geométrica, forzada allí a la copia mecánica de ornamentos his-

tóricos meramente bonitos pero sin valor agregado. Es triste notificarse que (por poner

un caso) las geometrías florales de los mármoles del Taj Mahal o de los embaldosados

120

que nos deslumbran a los turistas en Samarcanda o Estambul (y que en Occidente

creeríamos las más sublimes de cuantas han habido) están atrapadas en esa categoría y

que haberlas escogido como lo más bello puede que no sea más que un testimonio de la

vulgaridad en que se ha precipitado nuestro gusto geométrico.

No se mencionan los muqarnas en otra publicación importante en el género, como lo es

Geommetric symmetry in patterns and tilings de C. E. Horne (2002), un libro de The

Textile Institute de la Universidad de Leeds, en el cual se logra vincular la problemática

de las isometrías simétricas con los embaldosados, la teoría de grupos, la teoría textil y

la cristalografía con una orientación sobre todo práctica. Tampoco hay referencias al

Islām o a la Alhambra. Hay en el texto amplísima provisión de tablas, cuadros y dia-

gramas de flujo para ayudar en la clasificación y un enfoque conceptualmente distinto

que lo destaca como herramienta pedagógica.

Tampoco se mencionan los muqarnas en el excelente Islamic geometric patterns de Jay

Bonner (2017). El libro cuenta además con un brillante prólogo del ahora Sir Roger

Penrose y con la colaboración general de Craig Kaplan en la realización del modelado.

Las ilustraciones en color permiten demás una esclarecedora y compacta muestra de los

grupos de simetría tal como se manifestaron en el Islām. Único de este libro es el trata-

miento de las particularidades estilísticas de las dinastías islámicas, una por una, com-

prendiendo Omeyas (642-750), Abásidas (750-1258), Tulúnidas (868-905), Omeyas de

al-Andalus (756-929), Samánidas (819-999), Búyidas (945-1055), Ghaznávidas (863-

1187), Karkhánidas (840-1212), Grandes Seléucidas (1038-1194), Ghuridas (1148-

1215), Ildégidas (1136-1225), Artúquidas (1102-1409), Zángidas (1127-1250), Fatími-

das (909-1171), Ayyúbidas (1171-1260), Jorésmitas (1077-1307) y Mamelucos de

Egipto (1250-1517), detallando además el devenir estilístico de los musulmanes en las

regiones occidentales y en la región mongol y la adopción de patrones geométricos islá-

micos por parte de culturas no-musulmanas. Es apenas fragmentario y ocasional el trata-

miento de los estilos musulmanes en el imperio Otomano, o entre los Safávidas de Per-

sia, los Moghules de India y los musulmanes de Indonesia, archipiélago en el que hay

más musulmanes que en cualquier otra nación del mundo pero que ni siquiera figura en

los nutridos índices del libro. No obstante el predicamento que tienen en Occidente,

Bonner considera que las variedades Otomanas, Safávidas y Moghules son más bien

crepusculares y derivativas, habiendo experimentado un giro desde la geometría hacia la

ornamentación floral. Se perdió entonces en esos contextos la creatividad geométrica,

restringida a la copia mecánica de ornamentos históricos. Es nefando notificarse que las

geometrías florales del Taj Mahal, que en Occidente creeríamos las más sublimes de

cuantas han habido, se encuentran en esa categoría.

El elemento de juicio fundamental a nuestros fines tiene que ver con el hecho de que en

muy distintos contextos históricos es perfectamente posible que un estilo geométrico

experimente una regresión o una parálisis conservadora y que no avance un solo paso en

la dirección esperada, que siempre queremos que sea la que va desde lo más simple a lo

más complejo, de lo más lejano a lo más próximo, de la miseria a la plenitud.

121

Por eso ocurre que el error de diagnóstico más común de las manifestaciones geomé-

tricas más inquietantes e inclasificables de la alteridad (como ya nos ha pasado con las

esculturas afro para turistas, con las artesanías seudo-celtas, con el caldero de Gundes-

trup, con los sólidos pre-platónicos escoceses o con las canciones tejidas de los Shipibo)

ocurre cuando otorgamos mayor valor a lo que no vale tanto, cuando caemos en la tram-

pa de los juicios sesgados o cuando dejamos de ser sensibles a la información que

cuenta o (como decía Gregory Bateson) a las diferencias que hacen una diferencia.

122

6 - Hitos de la etnogeometría (4): Paulus Gerdes y la política de la representación geométrica

The use of images in mathematics certainly stands

completely against the ideology of the 1960s and

'70s, when the sciences were sharply classified

according to whether images are or are not impor-

tant. A German-born friend of mine, a great biolo-

gist and philosopher, went so far as to theorise that

progress in science consists in eliminating pictures

as much as possible. Mathematics was perfect be-

cause it had completely banished pictures… even

from elementary textbooks. I put the pictures back.

This was received in a very hostile fashion by most

of my colleagues. Since then, the opposition to pic-

tures has weakened, simply because they have been

so extraordinarily fruitful and because humans are

continually changing.

Benoît Mandelbrot en entrevista con

Hans Ulrich Obrist (2008)

Es importante recuperar el fondo del registro histórico en el que Paulus [Pierre Joseph]

Gerdes [1952-2014] inició su trayectoria como uno de los etnogeómetras más destaca-

dos de todos los tiempos abrazando una perspectiva más pedagógica que antropológica

y más orientada a la pedagogía de los oprimidos y a sus vías de emancipación que hacia

el mero registro documental de la minucia plástica o del detalle etnográfico (Gerdes

2014 [1983]; 1985). En sus últimos años, Gerdes seguía firmando su correspondencia

con la expresión “¡A luta continua!”, inspirada en el programa del Frente de Liberación

de Mozambique [FRELIMO] en el que participó en algun momento el ya mencionado

Marvin Harris, con quien Gerdes alcanzó a cruzarse algunas veces y a quien citó en

alguna que otra ocasión (Gerdes 1994b: 20; Harris 1987; Powell 2015).

En esta línea política se encuentra el trabajo de Gerdes que trata de los manuscritos filo-

sóficos de Karl Marx sobre el cálculo diferencial (Gerdes 2014 [1983]). Se lo considera

un texto esencial para comprender la estructura algorítmica de la dialéctica y la ne-

gación de la negación, así como los conceptos de la dinámica y lo infinitesimal. En los

prolegómenos de la segunda edición del libro Gerdes se pregunta si realmente existe

alguna relación entre el pensamiento de Marx y la etnomatemática. Buscando la res-

puesta a esa pregunta él encuentra que le ha resultado orientador el libro de Arthur Po-

well y Marilyn Frankenstein Ethnomathematics: Challenging Ehnocentrism in Mathe-

matical Education (1997). En la sección sobre las interrelaciones entre la cultura y el

conocimiento matemático ellos incluyen el artículo de Dirk Struik [1894-2000] titulado

“Marx and Mathematics”, cuyo original se había escrito cuatro años antes que Gerdes

naciera (Struik 1948; 1997).41

En su introducción al paper de Struik (profesor emérito

41

Arthur Powell, editor senior del libro en que se publicó el artículo de Struik escrito medio siglo antes

fue, incidentalmente, el sensitivo autor del obituario de Paulus Gerdes (Powell 2015).

123

del MIT) los editores dicen que Marx trató de comprender el cálculo diferencial en el

marco de una praxis cultural, como descripción conceptual y matemática de la dinámi-

ca, el movimiento y el cambio, en el marco de otra construcción cultural (la dialéctica)

que era parte de la perspectiva filosófica e ideológica de un grupo cultural identificable

en una época combativa como pocas (Powell & Frankenstein 1997: 124). Es el mismo

Dirk Struik treinta años más tarde y con 104 años a cuestas quien atribuye a Gerdes

haber merecido por parte de Donald Crowe la primera mención de la palabra etno-geo-

metría, entronizándolo así como su fundador. Gerdes titula su nuevo libro echando

mano a esa denominación (Gerdes 2013 [2003]). El volumen consiste en una selección

de artículos tempranos sobre el tema, sometidos a una minuciosa lectura crítica.

Si bien Gerdes moderó su retórica izquierdista con el correr de los años, nunca se vio

que traicionara los ideales que había abrazado en su juventud, ni que adoptara otro prin-

cipio que el de la más estricta igualdad intelectual a través de las culturas, ni que se de-

jara tentar por la saturación semántica que impone, por ejemplo, el ala más complacien-

te con la new age del pos-estructuralismo o por las retóricas desempoderadoras que se

afianzaron, una tras otras, en las modas que atravesaron la antropología de Brasil, el

lugar, junto o al lado de África, donde más habríamos necesitado disponer de una antro-

pología dotada de ánimo combativo y pasión científica como la que él dispensó hasta el

prematuro fin de sus días.

Figura 6.1 – Movimiento de un animal-Lunda pentominó según una serie de Fibonacci

[1 – 2 – 3 – 5 – …]. Basado en Paulus Gerdes (2007d: 105).

Las contribuciones de Gerdes a la etnogeometría son innumerables, mucho más nume-

rosas que las de cualquier otro autor del mismo género y de una calidad y originalidad

124

constante. Nadie sacó tanto jugo como él de lo que hasta entonces había sido un juego

matemático como esos que Martin Gardner desarrollaba en su sección epónima de

Scientific American (lo que en el mundo hispanohablante fue Investigación y Ciencia).

Me refiero a los poliominós, “inventados” en la década de 1980 por el matemático

Solomon Gollomb [1932-2016] autor del alguna vez afamado Polyominoes: Puzzles,

Patterns, Problems, and Patterns (1994 [1965]). Ese acto de invención se remontaría

según el propio Gollomb a una charla que él impartió en el Harvard Mathematics Club

en 1953; nadie que haya estado leyendo este libro desde el principio y que tenga alguna

idea de la historia transcultural de los juegos de tablero, sin embargo, puede creer que

una criatura geométrica semejante podría haber sido engendrada ex nihilo por un occi-

dental norteamericano del siglo XX, uno de los infinitos patentadores compulsivos que

poblaban esa nación en esa época.

Con el paso de los años Solomon se enteró que los pentominós ya existían antes de su

epifanía de 1953 (aunque con otros nombres) y que, para colmo, ni siquiera eran norte-

americanos. Un juego basado en pentominós había sido publicado en 1907 en los Can-

terbury Puzzles por el célebre inventor de juegos de ingenio Henry Ernest Dudeney

(1958 [1907]: 119-121). La observación de que con los cinco cuadrados de los pento-

minós sólo se pueden armar 12 combinaciones distintivas en el juego japonés del Go se

atribuye también a un antiguo maestro de ese juego que Golomb se abstiene de nom-

brar. Una revista británica de juegos, Fairy Chess Review, había publicado una extensa

literatura sobre el asunto en los años 1930s y 1940s bajo el rótulo no de poliominós sino

de “problemas de disección”. En geometría, un problema de disección consiste en par-

ticionar una figura geométrica (un politopo o una pelota, por ejemplo) en piezas más

pequeñas que pueden ser reacomodadas para formar otra figura. La bibliografía sobre

disección es amplia e interesante, pero se echa de menos un tratamiento comparativo

que consigne ejemplos en etnogeometría (Grünbaum y Shepard 1987, secc. 2.6; Hilbert

1999 [1902]: cap. iv).

Figura 6.2 – 12 combinaciones posibles en los pentominós.

Los poliominós vienen en distintas cardinalidades. Como se veía venir, los conjuntos de

una sola pieza se llaman monominós; los de dos, dominós; los de tres, trominós; los de

cuatro, tetraminós, los de 5, pentominós y así sucesivamente; ellos soportan 1, 1, 2, 5 y

12 combinaciones posibles, respectivamente. Gerdes abordó las conexiones entre las

combinatorias de diversos poliominós muchas veces en su vida, desarrollando más am-

pliamente el tema en el libro Lunda Geometry: Mirror curves, designs, knots, polyomi-

noes, patterns, symmetries (Gerdes 2007d [1996]). El libro (que he consultado en su se-

gunda edición) es esporádicamente agudo pero un tanto desorientador por su omisión de

125

imágenes fotográficas de los objetos geométricos en su contexto y por la sobreabundan-

cia de dibujos del propio Gerdes de los que no se sabe si son diagramas Chokwe o Lun-

da reales o extensiones personales de la geometría nativa. Tampoco se sabe si los ani-

males Lunda que él reporta y que veremos de aquí a poco están sacados de la imaginería

Chokwe o si son criaturas diseñadas en la alta civilización como las tortugas del Logo

de Seymour Papert. Por lo demás, el vínculo que Gerdes construye entre las figuras

Lunda, los morfismos simétricos y la fractalidad son verdaderos chispazos de genio

analítico.

El hecho es que los Chokwe, un pueblo de la región Lunda en África, hacen de todo con

los poliominós en general y con los pentaminós en particular. Hay un juego con alguna

reminiscencia del pac-man en el que un animal Lunda (como los llama Gerdes), un

compuesto “flexible” de cinco cuadrados, avanza por una especie de tablero girando la

cabeza y doblando. El movimiento genera un movimiento que (como se observa en la

figura 6.1) genera secuencias que una vez más van formando una serie de Fibonacci, a

la que Gerdes identifica en el África fractal tres años antes que Eglash hablara de ella en

ese contexto.42

Figura 6.3 – Cestería Bora de Perú. Ejemplar y esquema geométrico.

Según Paulus Gerdes (2013 [2007]: 51-52).

La serie de Fibonacci (que aparece con frecuencia en contextos fractales donde también

se manifiestan el segmento áureo y otras proporciones características) es una secuencia

en la que cada número es la suma de los dos números anteriores. Gerdes no pierde oca-

sión de vincular esa famosa serie a una ideación maghrebí bien conocida, pues es bien

sabido que Fibonacci mismo se educó en el Maghreb y que allí conoció en el dominio

público, diríamos, la serie a la que todos llaman con su nombre:

42

Gerdes había identificado muchas instancias de fractalidad en África antes que se publicara el libro

magno de Ron Eglash (1999). Véase por ejemplo Gerdes (1995; 2007d [1996]: 66-68, 175).

126

As Fibonacci says himself this Italian scholar was trained when very young in Bougile (in

today's Algeria, p. g.) one of the Maghrebian scientific poles of the 12th century and later he

reproduced ~ in his Liber Abbaci [1202] ~ certain aspects of the Maghrebian mathematical

tradition (Djebbar 1995, 25). Probably he learnt about the 'Fibonacci' sequence when he

was in North Africa (Gerdes 2007d [1996]: 106).

Lo que muy pocos denotan saber es que Leonardo de Pisa, “Fibonacci” [1170-1250] fue

no sólo el creador de la serie epónima sino el principal introductor en Europa de la

numeración arábiga (o más bien india) en detrimento de los números romanos, los

cuales ofrecieron resistencia durante siglos al amparo de decretos reales, bulas, agre-

siones y hasta linchamientos según una historia que Gheverghese Joseph ha contado

como nadie lo hizo antes o después, aunque recientemente le ha surgido una enconada

oposición de sello anti-etno montada, tal parece, con recursos de fundamentalistas

europeos de Canadá que se autodefinen como pos-multiculturalistas y blanden consig-

nas tales como “Mathematics is essentially a European accomplishment” (Joseph 2011:

466-467; Devlin 2017 versus Raju 2007; Duchesne 2017). Ni duda cabe que la geo-

metría que estamos estudiando en este trabajo sugiere un caso muy distinto.

.Figura 6.4 – Decoración simétrica de la casa de un jefe Bamileke en Camerún. Basado en Gerdes (2007c: 11) – Basado a su vez en Enrico Guidoni (1987: 127).

En la obra de Gerdes la cestería ocupa un lugar descollante: el autor aporta, por empe-

zar, una nomenclatura para los tejidos básicos que habría que aplicar de aquí en más a

los ejemplares de todas partes del mundo. Merecen mención los estudios adecuadamen-

te contextualizados sobre los Bora de la Amazonia peruana por su presentación sistemá-

tica de las técnicas de construcción geométrica (Gerdes 2003-2004; 2013 [2007]). En el

primero de esos estudios Gerdes analiza las técnicas peculiares de un estilo de cestas de

borde circular y fondo entrecruzado con variaciones que presentan cuadrados concéntri-

cos dentados y establece un rico tejido comparativo con estudios de otros estilos en

otras culturas.

127

Gerdes no era de los que reclamaban falsas precedencias históricas. Él consideraba que

los primeros estudios de Brasil en los que se analizaban las posibles razones de la apa-

rición de esos cuadrados concéntricos en la cestería probablemente hayan sido los de

Max Schmidt [1874-1950] que son aquellos en los que se definió el concepto de cuadri-

látero de entrecruzamiento [Geflechtsviereck]; también se habló en ellos de las propie-

dades matemáticas de esas morfologías y se estudió la trasposición de patrones de entre-

cruzamiento para otros contextos de ornamentación (cf. Schmidt 1904: 1926; 1905: 327,

330-406). Autor bastante olvidado hoy en día, Schmidt fue a juicio de Gerdes un im-

portante precursor de la etnomatemática con una honda experiencia de trabajo de campo

y una aguda intuición de los problemas de la geometría. Su contribución –pensaba

Gerdes– debería ser mejor conocida; por mi parte he localizado sus libros esenciales en

The Internet Archive y consignado los datos en la bibliografía. Hasta el año pasado no

guardaba mayores esperanzas de que sus aportes a la etnogeometría fueran recuperados

alguna vez, pero recientemente Diego Villar y Federico Bossert (del CONICET) han in-

cluido esta referencia al trabajo de Schmidt (1926: 195) en su documentada biografía en

línea:

[Karl von den] Steinen [1855-1929] había realizado un notable trabajo comparativo sobre

los diseños ornamentales recogidos en el alto Xingu, en el cual la repetición de patrones

gráficos sugería una codificación figurativa de objetos naturales. Schmidt iba a relativizar

esta idea en su estudio sobre las técnicas de trenzado: sería la propia técnica, y no plantas o

animales esquemáticos, lo que figuraban los ornamentos xinguanos (Schmidt 1942;

Schaden 1955: 1161-1162). En efecto, al analizar conjuntamente las técnicas de cestería,

hilado y grabado documentadas por Steinen y [Theodor] Koch-Grünberg [1872-1924],

postulaba que motivos gráficos como el zigzag, el rombo o el escalonamiento se deben

fundamentalmente a los condicionamientos técnicos, que luego, en una segunda instancia,

impactan en la vida mental de la gente: “Los patrones geométricos de algunas formas de

cestería –los escalonamientos, las líneas de zigzag, el rombo con un punto o una pequeña

cruz o diamante en el centro– se deben enteramente al método de manufactura; son

solamente un resultado de la manera en la cual se trenza” (Villar y Bossert 2019: 17/51).

Dado que la cita pone en foco un tema esencial de la cestería, el grabado y el hilado en

todo el mundo etnográfico, es lamentable que Villar y Bossert desmerezcan la elabora-

ción de Schmidt con estos comentarios particularistas convencionales:

En su análisis del grafismo xinguano [Schmidt] agrega: “Hasta relativamente poco tiempo

atrás la mayoría de los etnólogos creían que los patrones geométricos eran dibujos

figurativos decorados y retocados, que los rombos representaban peces (peces mereschu en

el alto Xingu), y que los triángulos representaban murciélagos pendientes, o bien los

pequeños triángulos de fibra usados por las mujeres (llamados uluri) del alto Xingu. Para

apoyar esta idea se desplegaban series que pretendían demostrar el orden de desarrollo, y se

creía encontrar una corroboración adicional en los nombres dados por los nativos a la

ornamentación geométrica. Ya hemos visto que no pueden deducirse semejantes inferencias

de series tan arbitrariamente seleccionadas; y el hecho de que las formas más comunes de

los patrones geométricos en cuestión se encuentran distribuidas en casi todo el mundo

prueba que los nombres nativos nada tienen que ver con el origen de las mismas” (Schmidt

1926: 196). Fuera de la hipótesis de que estas representaciones no son signo de un sentido

artístico naïve sino una suerte de proto-escritura pictográfica (Schmidt 1926: 155), resulta

llamativo que aquí se desmerezcan las interpretaciones nativas en detrimento de

128

argumentos comparativos formales y abstractos como los difusionistas, que tanto había

fustigado (Villar y Bossert, loc. cit.: 47/51, nota 76).

Vale la pena señalar que los argumentos de Schmidt nada tienen que ver con la difusión

histórico-cultural de los estilos de representación sino que se refieren a la uniformidad

de las técnicas de cestería y trenzado a través de las culturas y de las ontologías de re-

presentación, hecho que sería especioso negar. Hans-Georg Gadamer (1999 [1975]: vol.

1, 646) decía que forma parte de la estructura especial del enderezamiento de una idea

torcida el que se la tenga que torcer en dirección contraria. El argumento de Schmidt en

contra de la supremacía de los significados particulares es sin duda un acto de fuerte en-

derezamiento en el sentido de establecer por primera vez (cuarenta años antes que Ger-

des) que no es en el plano semántico local donde radica la precondición de la técnica,

sino la técnica geométrica la cual impone globalmente por lo menos algunas posibilida-

des articulatorias y algunos constreñimientos materiales a las formas de expresión,

explicando además la similitud de las formas “en casi todo el mundo”. La geometría no

había merecido atención antes de Schmidt más que como detalle supletorio de las pro-

piedades de las cosas; después de él dejar la geometría al margen seguramente costará

un poco más.

Si de cestería se trata, la obra maestra de Gerdes en ese registro acaso es Fazer Cestos e

Geometria na Cultura Makhuwa do Nordeste de Moçambique (Gerdes 2007a) donde el

autor proporciona una efectiva visión de conjunto de las técnicas globulares. El estudio

también investiga la relación entre los objetos construidos con esa tecnología y las pro-

piedades estructurales de ciertos materiales, en particular aleaciones de metales y deri-

vados del carbono (cf. también Gerdes 1999b).

En sus obras más tardías Gerdes (2007) utiliza criterios de simetría para poner en claro

el interplay entre las pautas culturales y las posibilidades técnicas y matemáticas en ces-

tería en general y en cesterías africanas en particular. Otra contribución estimulante es la

noción de “música” (más exactamente, de “ritmo”) que se presenta en diversas técnicas

de entretejido que surgen cuando se practica una cestería de twilling en la que las fibras

que van en una dirección pasan por debajo o por encima de otras fibras que van en otro

sentido. Para señalar el twilling se emplea una notación tal que 2/2 indica un tejido

“sobre dos, bajo dos”, 3/3 denota “sobre tres, bajo tres”, etc. Dice Gerdes que entre las

cesteras Tonga en Izambene, Mozambique, la música o canción [ndzimo] surge cuando

el patrón en zigzag cambia de dirección. Algunas de estas ideas llegan hasta un punto

que parece ser promisorio: es lamentable, de todos modos, que Gerdes no haya seguido

esta línea de razonamiento analógico y sinestésico hasta las últimas consecuencias.

Las contribuciones de Gerdes a la comprensión de las simetrías en diversos contextos

son comparables a las que se hicieron desde los estudios de las teselaciones o embaldo-

sados, acaso las únicas estructuras simétricas recurrentes de la etnogeometría que Ger-

des nunca abordó de plano. Con las simetrías Gerdes estaba en su medio; no diré que

fue él quien las puso en valor, pues los valores estéticos de unas cuantas de las simetrías

del mundo no requieren de la conmiseración de ningún influencer occidental para esta-

blecerse. No pocas de esas geometrías son estremecedoras desde el vamos aun cuando

129

no tengan ningún contenido semántico que comunicar: véase por ejemplo la vibrante

simetría de la figura 6.4, que Gerdes mostró en su arrolladora y vertiginosa compilación

de cestería africana sin necesidad de agregar ningún comentario.

Esta es una ocasión adecuada para examinar morfismos entre distintos regímenes de

representación, tal como sucedió en la India tamil cuando Gift Siromoney [1932-1988]

estableció un vínculo entre las gramáticas chomskyanas y las imágenes dibujadas por

las mujeres en las puertas de sus casas, o cuando Przemysław Prusinkiewicz y Jim Ha-

nan (1986; 1998) encontraron que los kolaṁ eran virtualmente isomorfos a la música de

rāga practicada en la misma región del sur de la India, tal como podremos comprobar un

par de capítulos más adelante (cf. Reynoso 2006; 2008a).

Una solución probable a los problemas que plantean estas analogías tal vez provenga de

la teoría de grupos que algunos han encontrado concomitante al círculo de quintas en la

teoría armónica de la música de Occidente. En esta coyuntura es verdaderamente signi-

ficativo que Dmitry Tymoczko, el musicólogo que ha introducido la investigación mo-

délica de avanzada en la analítica musical (y el primero en 130 años en colar un artículo

de musicología en la revista Sience), haya reconocido que un estudio de Paulus Gerdes

sobre variantes estratégicas en la confección de cestería en Mozambique le inspiró ideas

sobre la aplicabilidad de la teoría de grupos y la noción de orbifolds a la armonía y al

contrapunto, las cuales pudieron de ese modo inspeccionarse simultáneamente por pri-

mera vez en la musicología contemporánea en una geometría de la música de incues-

tionable originalidad y robustez (Gerdes 2004; Tymoczko 2011; 2012). Reintegrando

las teorías etic con las prácticas emic como Eglash no había sabido hacerlo y modulando

su modelo geométrico de conocimiento implícito casi como si fuera una paráfrasis

consonante con la postura del libro que se está leyendo expresa Tymoczko:

I believe that geometrical models of voice leading can help us systematize the implicit

contrapuntal knowledge of previous composers, formed during thousands of hours of im-

provisation, yet conceptualized only crudely by contemporary theoretical standards. Like

the basketweaver’s implicit knowledge of symmetry groups, this is genuine, embodied

knowledge, even if it may have been articulated in an unfamiliar and occasionally untheo-

retical way (Tymoczko 2012: 153).

Con recursos conceptuales de este calibre (y con los avances tecnológicos que están hoy

al alcance de la mano) es posible que se comiencen a estudiar de una vez por todas y sin

dogmatismos ni excesos metafóricos los isomorfismos entre variados regímenes visua-

les, sonoros, arquitectónicos y lingüísticos de la representación. Hoy en día se ha con-

solidado una geometría de la música que raya como uno de los modelos más potentes

que han habido en décadas en el campo de la antropología y la sociología musical, arti-

culado conforme a la inspiración que Tymoczko encuentra en la descripción estructura-

da de la variedad de técnicas de pescadores africanos. Todavía no hemos explorado a

fondo esa geometría aunque su potencialidad parece algo más que promisoria (Ty-

moczko 2006; 2010; 2011; 2012; 2013; Taimina 2009; Toussaint 2005; 2013). Aunque

resta mucho por explorar se ha tornado evidente que una geometría es una idea dema-

siado valiosa como para agotarse en la plasmación de imágenes y acabar muriendo allí.

130

Es significativo que Tymoczko, siguiendo a Gerdes, hable de “tejedores de cestas” en

su referencia a la cestería. Paralelamente, Kenneth Snelson, uno de los promotores de la

“tensión flotante” y eterno rival de Westminster Fuller, ha establecido relaciones seme-

jantes entre todas esas técnicas, definiendo al tejido como “la madre de la tensegridad”,

concepto del que hablaremos de aquí a un par de capítulos (págs. 162 y ss.). Como

cereza de la torta, Daina Taimina (2009) ha escrito una colosal apología de la técnica

del crochet en la cual vincula ingeniosamente esa técnica de tejido con la geometría no

euclideana, el plano hiperbólico, la teoría de grupos, la simetría, la fractalidad y los em-

baldosados islámicos, que es lo que ahora seguimos interpelando desde otros ángulos.

131

7 - Hitos de la etnogeometría (5): Nitüs, nudos, figuras de hilo, tokapus y grafos lineales.

I read […] that geometry is the art of making no

mistakes in long calculations. I think that this is an

underestimation of geometry. Our brain has two

halves: one is responsible for the multiplication of

polynomials and languages, and the other half is

responsible for orientation of figures in space and

all the things important in real life. Mathematics is

geometry when you have to use both halves.

Vladimir Arnol'd según Shiu Hong Lui (1997: 438)

Un des principaux délassements d'Euler était la

musique, et en la cultivant il y apporta tout son

esprit géométrique; […] il accordait à ses recher-

ches profondes, il composa son Essai d'une nouvelle

théorie de la musique, publié en 1739; ouvrage

rempli d'idées neuves ou présentées sous un nou-

veau point de vue, mais qui n’eut pas un grand

succès, apparemment par la seule raison qu’il ren-

ferme trop de géométrie pour le musicien et trop de

musique pour le géomètre.

Nicolas Fuss (1783)

Cuando Marcia Ascher [1935-2013] se ocupó de dar el puntapié inicial al análisis de

grafos de líneas continuas y de grafos regulares consideró que lo suyo era una contribu-

ción a las etnomatemáticas, perdiendo la oportunidad de hablar con mayor precisión de

etno-geometría o más exactamente de etno-topología, ocurrencia esta última que propu-

siera hace mucho el viejo patriarca de la antropología inglesa Edmund Leach [1910-

1989] sin despertar entonces mayores ecos, sin hacer uso de diagramas o grafos topoló-

gicos o geométricos, sin hablar de ello nunca más en su vida, mezclando algunas de las

mejores y de las peores ocurrencias que le hayan venido a la cabeza y sin tener (apues-

to) ideas demasiado claras y comprobadamente fructuosas a esos respectos (Leach 1971

[1961]: 7, 8, 12, 18-19, 23, 26; Ascher 1988).

Como sucede con frecuencia en la interdisciplina, Asher nunca nombró a Leach; la

inspiración inicial le vino de los escritos de André Sainte-Laguë [1882-1950], un mate-

mático dedicado a la comprensión de la ideas del creador de la teoría de grafos en Occi-

dente, Leonhard Euler [1707-1783], cuyo texto clásico –incidentalmente– Ascher tam-

poco menciona en sus bibliografías y al que estoy persuadido que ella no había leído

con detenimiento en el contexto de aquellos trabajos seminales.43

Esas ideas de Sainte-

43

Cada tanto me invade la sensación de que Paulus Gerdes tampoco leyó la obra de Euler o, para el caso,

la literatura técnica básica sobre teoría de grafos. Él dice que “O conceito de ‘monolinearidade’ não é o

mesmo que o conceito de ‘tracejabilidade’ ou o de ‘grafo de Euler’, utilizado na Teoria de Grafos. Ao

tracejar um grafo permite-se que dois segmentos da linha se toquem. Em contrapartida, ao desenhar um

lusona dois segmentos não são permitidos a se tocarem mas eles podem intersectar-se” (Gerdes 2012

132

Laguë, de Ascher y sobre todo de Euler merecen empero un tratamiento detallado, para

el cual viene bien recuperar fragmentos de mi estudio de tesis sobre el análisis de redes

sociales, una práctica derivada del álgebra que vertebra y subyace a buena parte de la

teoría de grafos. Hace más de diez años decía yo en esa disertación:

Pasando por algunos hitos preliminares de fuerte impacto, como el famoso “problema de

los cuatro colores” propuesto por Francis Guthrie [1831-1899] en 1852, la historia de la

teoría de las redes sociales se remonta a los orígenes de la teoría de grafos en matemáticas,

creada hacia 1736 por el suizo Leonhard Euler [1707-1783]. Este matemático prodigioso,

uno de los escritores más prolíficos de la historia, inventó de la noche a la mañana la teoría

de grafos al resolver el famoso problema de los siete puentes sobre el río Pregel en Königs-

berg, una ciudad […] que en algún momento se renombró Kaliningrado.

El problema consistía en averiguar si se puede pasar por los siete puentes sin cruzar más de

una vez por cada uno de ellos. Lo que hizo Euler en su planteamiento fue como lo que acos-

tumbraba hacer el antropólogo Clifford Geertz sólo que al revés: en lugar de ahondar el

problema en sus más ínfimos matices de significado (como imponen los modelos de la des-

cripción densa y del conocimiento local) lo despojó de todo cuanto fuese inesencial al razo-

namiento ulterior; en vez de subrayar su peculiaridad, lo vació de lo contingentemente es-

pecífico y lo generalizó. Para ello eliminó de cuajo toda información irrelevante al cálculo

de la solución, dejando sólo las masas de tierra representadas por un punto, vértice o nodo,

y los puentes mismos concebidos como líneas, aristas, bordes o vínculos. La orientación y

longitud de los trazos tampoco fueron tomados en consideración. Integrando a un razona-

miento casi algebraico nada más que la paridad o imparidad de los grados, ni siquiera el

número de nodos o de conexiones formó parte del planteo [porque el tamaño del grafo,

créase o no, es irrelevante]. El grafo abstraído por él es lo que hoy se conoce como un mul-

tigrafo, un grafo que admite más de una arista por vértice. […]

Aunque no utilizó esas palabras precisas, Euler advirtió que la solución del problema debe-

ría considerar la paridad o imparidad del grado de los nodos, esto es, del número de aristas

que inciden en ellos. Así como se llama grafo euleriano a secas a un ciclo que atraviesa

cada línea del grafo exactamente una vez, se llama grafo hamiltoniano a un ciclo que pasa

exactamente una vez por cada punto. […]. Algunos especialistas en etnomatemática afir-

man haber encontrado grafos eulerianos (a veces más específicamente grafos planares

gaussianos 4-regulares) en los diseños sona de los Chokwe de Angola o en los dibujos en

arena Malekula de la isla de Vanuatu, pero no han ahondado en los detalles de los mecanis-

mos cognitivos involucrados (Ascher 1988; Gerdes 2006; Demaine y otros 2007 según

Reynoso 2011a: 28).

Tornando a Marcia Ascher, quien fue la primera que desarrolló el costado etno- de la

problemática, ella reconoce que Sainte-Laguë implicó (sin decirlo abiertamente) que la

noción del trazado de ciclos y circuitos eulerianos con una sola línea continua no sólo

ha sido un dominio conceptual característico de las matemáticas de Occidente sino que

podría existir o haber existido en la cultura folk y en sociedades no occidentales formali-

zando una instancia particular de la idea de trayectoria, circuito o recorrido sujeto a con-

diciones (Sainte-Laguë 1926: 12). En rigor, Sainte-Laguë (famoso en su momento de

[2008]: 32 n. 1). No sé de dónde Gerdes sacó semejante idea, pero las definiciones que la pueblan distan

de ser exactas: un grafo en el que las aristas no se cruzan no es un grafo euleriano sino un grafo planar.

No todos los grafos planares poseen paths eulerianos. Euler fue por ciertamente el creador reconocido de

la teoría de grafos, pero hasta donde conozco jamás empleó dicha terminología. Mejores definiciones de

grafos eulerianos se encuentran en MathWorld.

133

gloria por la demostración formal –equivocadísima– de que las abejas eran incapaces de

volar) no pasa de una referencia a las volutas de la caligrafía de la firma de Mahoma, sin

llegar a una generalización que involucre a la cultura folk o a la totalidad de las culturas

otras.

Figura 7.1 – Grafos Malekula según Haddon y Deacon (1934). Los números indican el orden de flujo del camino por el grafo.

La primera parte del ensayo de Ascher sobre los grafos en la cultura se ocupa de los gra-

fos lineales de los Malekula, quienes viven en Oceanía en los lugares que antes se lla-

maban Nuevas Hébridas y que hoy son el archipiélago que integra la República de Va-

nuatu. Los grafos habían sido estudiados por el mismísimo Alfred Cort Haddon (1936)

y por A. B. Deacon (1934). Lo notable del caso es que los Malekula se imponían hacer

lo mismo con esos grafos que lo que los habitantes de Königsberg procuraban lograr,

esto es, determinar si había o no inscripto en ellos un ciclo o un circuito euleriano:

Está, sin embargo, la cuestión de llegar a la Tierra de los Muertos. De acuerdo con los Ma-

lekula, cuando un hombre muere, para llegar a la Tierra de los Muertos el fantasma debe

pasar por donde un ogro parecido a una araña le traza una figura en la arena. Él debe trazar

toda la figura sin levantar su dedo y sin ir para atrás y, si es posible, terminar en el punto en

que empezó. Si no puede superar el desafío, no puede seguir para la Tierra de los Muertos

(Ascher 1988: 207).

De acuerdo con las anotaciones de Deacon, cada diseño se considera un laberinto único

que los nativos deben recorrer con el dedo fluídamente, sin cometer ningún error y dis-

curriendo en el orden adecuado. Las figuras sobre las que se hacen los trazos son efíme-

ras, dibujadas en la arena, y no se les atribuye valor estético alguno: son geométricas

pero no son arte ni pretenden serlo. Ciertos diseños (todos los cuales tienen nombre) se

derivan de la religión o la mitología del lugar; otros son diseños puramente seculares y

134

recreativos. La mayoría representa pájaros, animales, plantas o lugares. Los malekulen-

ses más viejos podían dibujar 30 ó 40 dibujos consecutivos sin titubear; muchos de los

dibujos eran extraordinariamente difíciles y requerían un pasmoso dominio de la sime-

tría y un pulso infalible, como el de un cazador. No había casi improvisación en el dibu-

jo, tal parece. Los diseños se llaman nitüs o nitüs na-ana en Seniang y rolu en Lavarat.

Nitüs deriva del verbo tüs, que significa “él dibuja” o “él pinta”, el mismo que los na-

tivos misionalizados usan para designar la escritura de los europeos según Jacques

Derrida. Éste se habría hecho un festín por esta equivalencia y por el hecho de que esta

“escritura” nativa no tenía mucho que ver con la notación del lenguaje hablado sino con

alguna clase de analogía geométrica en la que a él, pese a haber nacido en el Maghreb

de Fibonacci y a su vocación catacrética, nunca se le ocurrió pensar (Derrida 1971

[1967]).44

Figura 7.1b – Mito de creación de los Chokwe de Angola. El curso del sol (‘o’, izquierda), la luna (´’, derecha), el hombre (abajo) y Dios (arriba) – Según Claudia Zaslavsky (1979: 109)

Los africanos han llamado la atención por sus geometrías fractales, pero hay muchas o-

tras geometrías tanto o más sorprendentes. En su extraordinario texto fundacional Africa

counts, Claudia Zaslavsky reproduce un dibujo lineal de los Chokwe de Angola que

representa el mito cosmogónico de Jokwe. Es lamentable que Zaslavsky se distraiga en

la reproducción del mito y en la semblanza interpretativa de los signos y que no subraye

el hecho de que el diseño lineal (fig. 7.1b) ha sido dibujado sin interrumpir el trazo co-

menzando por la flecha arriba a la derecha. Dado que grafos similares a los oceánicos, a

los indios y a los angoleños se presentan en lugares del mundo no conectados entre sí ni

44

Queda en el terreno de lo contrafáctico pensar lo que habría sido el emprendimiento pos-estructuralista

si Derrida hubiera elegido una (etno)geometría como alternativa al logos estructuralista en lugar de una

inconvincente metáfora como la que escogió y que se refiere no a una práctica como la escritura en arena

o la escritura en el cuerpo sino a la gramatología, la ciencia de la escritura (un logos más, después de to-

do). Lo que le faltó a Derrida para dar un salto abductivo más radical ha sido (como diría Hilbert) no tanto

rigor lógico como imaginación en el sentido geométrico de la palabra. Derrida creía que la escritura ha si-

do universal y que es lógica y ontológicamente anterior al lenguaje. La falla es cuádruple y culmina con

una aparatosa manifestación de un error de tipificación logica. Lo cierto es que: (1) nadie ha registrado ja-

más un grupo humano carente de lenguaje, o que hable un lenguaje rudimentario; (2) tampoco hay, que se

sepa, sociedades en las que no exista alguna práctica geométrica; (3) no hay forma de construir conoci-

miento a partir de axiomas de esta naturaleza que no se hunda en el terreno de la conjetura; y (4) si los

ejemplos que Derrida proporciona sobre la universalidad de la escritura son ya dudosos, la universalidad

de la gramatología (que es lo que debería demostrarse) no cuenta con una sola prueba en su haber.

135

con factores sociales o culturales en común, es probable que la explicación “cultural” no

sea la más acertada. Los detalles mitográficos específicos y divergentes bien podrían

constituir una distracción que nos aleje de la casi universalidad del flujo reticular im-

plicado (cf. Siegeltuch s/f; Ingold 2007).

Quien más trabajó los grafos eulerianos y euclideanos derivados de la etnografía de

Deacon y Haddon y de la etnomatemática de Ascher fue, por lejos, Paulus Gerdes,

quien los abordó en un número inusitado de sus publicaciones en términos mucho más

geométricos y simétricos que combinatorios o topológicos, que era como Ascher los

contemplaba primariamente.

Figura 7.2 – Grafos lineales simétricos egipcios según Flinders Petrie (1930).

Basado en Gerdes (Geometría Sona, vol. 3).

Una de las mejores sistematizaciones de los grafos en arena y sus análogos es un breve

y tardío artículo de Erik Demaine, Martin Demaine, Perouz Taslakian y el geómetra del

ritmo Godfried Toussaint titulado “Dibujos en arena y grafos Gaussianos” (2007). Una

de las manifestaciones de esta modalidad geométrica consistente en trazar líneas en

torno a puntos es el pulli kolaṁ del sur de la India, descripto suscintamente por Demai-

ne y otros. Hemos tratado largamente sobre las geometrías de kolaṁ, pulli kolaṁ, ran-

goli y otros grafismos en un número de trabajos. Hay un largo capítulo sobre kolaṁ y

gramáticas recursivas en mi libro sobre Complejidad y Caos: Una exploración antropo-

lógica (2006: cap. §5.2.5), ampliado por otro referido al Diseño y análisis de la ciudad

compleja (2010d: cap. §4); hay también una presentación con múltiples estudios de

casos y archivos anexos en los cursos sobre algoritmos de complejidad en la cultura que

se encuentran en este vínculo; está disponible, por último, una monografía específica en

el artículo sobre Diseño artístico y arquitectónico con gramáticas complejas (Reynoso

2008a), en el que se estudia también la síntesis de músicas y motivos rítmicos basada en

sistemas de Lindenmayer con aplicación a los kolaṁ de la región Karnática que se ana-

lizarán desde otros ángulos en el capítulo siguiente.

En el tercer volumen de su estudio sobre la geometria de los Sona Paulus Gerdes

(2014d) ilustra con grafos lineales simétricos egipcios que son prácticamente iguales a

los diseños que él había encontrado en Angola y que no difieren tampoco de los grafos

Malekula ilustrados de Maria Ascher. Algunos de los dibujos reproducidos por Gerdes

proceden de ejemplares de las antiguas colecciones del egiptólogo y pionero de la meto-

dología sistemática [Sir] William Matthew Flinders Petrie [1853-1942] cuya extensa bi-

136

bliografía el musicólogo Gerhard Kubik, extrañamente, conocía al dedillo (fig. 7.2).

Escribe Kubik:

Paulus Gerdes ha desarrollado varios algoritmos geométricos para construir algunas fami-

lias de dibujos Sona. Uno de esos algoritmos utiliza el algoritmo de Euclides para computar

el máximo común divisor de dos números naturales. Resulta interesante que el algoritmo

euclideano no sólo genera dibujos tradicionales en el arte visual, sino también ritmos tradi-

cionales en la música (Gerdes 2014d: 126; Gerdes 1999a; Toussaint 2005).

Hay un área inmensa que la etnogeometría comparte con la etnotopología y que se re-

fiere a grafos y dibujos sona, kolaṁ o afines de variados tipos descriptos en distintas

épocas por una variedad de autores (Petrie, Haddon, Deacon, Ascher, Gerdes) que tuvo

que esperar que los topólogos matemáticos elaboraran las nomenclaturas y tipología de

la teoría de nudos, una rama de la topología que hoy es una disciplina reconocida con

sus congresos, asociaciones, surveys y grupos de investigación específicos (Bozhüyük

1993; Adams 1994; Murasagi 1996; Manturov 2004; Menasco y Thistletwaite 2004).

Los nudos de la topología formal toman su inspiración de viejas técnicas estilizadas de

anudamiento presentes en una multitud de culturas desde tiempos prehistóricos. Aunque

el registro arqueológico es incompleto debido al carácter perecedero de los materiales,

hay referencias escritas a nudos en China, en Tibet y en Japón desde muy antiguo, amén

de un repositorio sobredimensionado referido al knotwork de celtas y otros pueblos que

ya hemos entrevisto brevemente (pág. 102 más arriba). Tras algunos esfuerzos pioneros

en el siglo XIII, la teoría de nudos arranca en Occidente en el siglo XIX con Carl Frie-

drich Gauss [1777-1855]; con no pocos altibajos, la teoría renace con ímpetu a comien-

zos del siglo XXI y ejerce alto impacto en la topología aplicada en ámbitos tan disímiles

como el electromagnetismo, la mecánica cuántica y el estudio del DNA superenrollado.

Figura 7.3 – Construcción de laberinto en moneda cretense de Knossos (ca. 400 aC).

Método de rotación de secciones diagonales. Según Fenyvesi, Jablan y Radović (2013: 364)

Es recién en la segunda década del siglo que corre que la teoría de nudos se instala en la

etnogeometría por obra de autores heterodoxos como Slavik Jablan, Louis Kauffman,

Jay Kappraff y Ljiljana Radović (Kappraff, Radović y Jablan 2016). Lugar especial

merece el empeño de l@s millenials finlandes@s Kristóf Fenyvesi y Tuuli Lähdesmäki

(2013) por vincular las teorías de nudos con las teorías del laberinto con los meandros,

los frisos de la simetría y la matemática visual. Especialistas de ese grupo han aportado

137

sin hacer mucha alharaca una de las pocas demostraciones existentes del método de

construcción de un laberinto mediante un procedimiento de selección de áreas cuadran-

gulares en diagonal bien conocido por los profesionales contemporáneos, quienes du-

rante un tiempo creyeron honestamente –bajo la influencia de Vladimir I. Arnol’d– que

ellos habían inventado esas y otras técnicas parecidas de permutación y enumeración

(Arnol’d 1988; Phillips 1992; Siegeltuvh 2018; ver fig. 7.3).

Lo más impactante que ha revelado el estudio matemático de laberintos arqueológicos e

históricos dispersos por el mundo es que el número de laberintos unicursales simétricos

y bien diseñados admite un número inesperadamente bajo de soluciones posibles. Tal

parece que ningún topólogo actual puede descubrir opciones que no hayan sido encon-

tradas antes en algún lugar. Analizando el caso romano dice Anthony Phillips:

Devising a unicursal maze to fill out an area in an interesting and symmetrical way is a

topological problem as well as an aesthetic problem. Given constraints on size and overall

organization, there is only a small number of topologically distinct solutions; this has

allowed our mathematical close reading of Roman mosaic mazes, an analysis of which

could probably be extended to the rich corpus of mazes in Medieval manuscripts, archi-

tecture and works of art. Each of the solutions that occur was first discovered by someone,

somewhere; a fascinating element of the study of ancient mazes is the contact with these

ingenious, unsung topologists of the past (Phillips 1992: 329).

Hay una extensa literatura sobre laberintos arqueológicos en América Latina pero no

han habido hasta hoy estudios sistemáticos de sus geometrías (v. gr. Aschero 1973).

Figura 7.4 – Tokapu – Imagen de Wikimedia Commons en el dominio público.

Contrástese con lámina de adinkras de Ghana en el British Museum, pág. 163 más abajo.

Ningún texto sobre las etnogeometrías puede dejar al margen las figuras de cuerdas que

se componen con las manos en sociedades de todo género dispersas en todos los con-

tinentes habitados. Un buen número de entre los antropólogos más tempranos se ocupó

138

de describir los juegos de cuerdas conocidos en distintas sociedades, un rasgo cultural

que posee una distribución amplísima y que podría haber inspirado un desarrollo meto-

dológico imponente tanto en la descripción como en el plano comparativo. Los más per-

severantes entre los antropólogos que han trabajado con figuras de cuerdas han sido

Franz Boas (1888), Alfred Cort Haddon y W. H. R. Rivers (1902), Julia Pavlovna Petro-

va-Averkieva [1907-1980] (1992), Caroline Augusta Furness Jayne [1873-1909]

(1906), Kathleen Haddon (1912), Raúl Martínez-Crovetto (1970), Honor Maude (1971),

Noble (1980), Ana Guevara (2011), Judy McKinty (2011), José Braunstein (2017a;

2017b; 2017c), Eric Vandendriessche (2007; 2014a; 2014b; 2015) y Rodrigo Montani

(2018), entre muchos otros. Entre estos trabajos se encuentran –sobre todo al comienzo

de la serie– un puñado de obras maestras de la etnografía. Recientemente he dado con

un raro ensayo del reverendo Jonathan Barlow Gee (2014) albergado en un sitio de Web

aun más extraño llamado the Pythagorean Order of Death (dedicado a restaurar la de-

mocracia Atlante) en el que postula una relación no del todo descabellada (geométrica-

mente hablando) entre los juegos de cuerdas simétricos, los adinkra de la teoría de su-

percuerdas y los adinkra de los Ashanti de Ghana que revisaremos en el capítulo §9.

Hay muchos textos más, por supuesto, redondeando el millar. La bibliografía técnica

que se encuentra en el portal de pgadey.com (y que es copia de otra que realizó Tom

Storer) incluye una amplia sección de unos cien trabajos sobre figuras de hilo “de inte-

rés matemático” entre los que destacan los del recordado matemático iraní Alí Reza

Amir-Moez [1917-2007] (1965; 1968; 1979; 1984; Amir-Moez y Hamilton 1974; 1975-

1976). La bibliografía originaria que preparó Storer para el ISFA está actualizada hasta

el 2017. En ella se identifican unos cuantos estudios de interés entre los cuales se desta-

ca uno del bien conocido investigador independiente Martin Probert (2014) titulado

“String figures are not Knots” el cual estoy procurando conseguir a la fecha (febrero de

2020). Hay otro gran repositorio que cubre de 1978 hasta 1993 en la página del Bulletin

of the String Figures Association.

La bibliografía sobre las figuras de cuerdas es inmensa y está parejamente distribuida a

través de todo el mundo etnográfico (cf. Richard Ratajczak, Mike Garofalo). El acopio

de información contextual es por cierto impresionante y en Argentina ha habido por lo

menos un especialista (José Braunstein) que se ha convertido en referente global hasta

el día de hoy aunque por comprensibles razones de anonimato y marginalidad no tiene

un solo texto en línea. No obstante ese acopio, el uso de la herramienta geométrica y to-

pológica capaz de convertir la descripción etnográfica en una comparación de las etno-

geometrías implicadas está recién en sus preliminares y se encuentra apenas esbozado

en un manual reciente del antropólogo especializado en cultura material de la Université

Paris Diderot Eric Vandendriessche (2015) quien, en apariencia, desconocía en ese mo-

mento las objeciones de Martin Probert a la formalización de las figuras de hilo por la

vía de la teoría de nudos. Escribe Vandendriessche:

With the concept of heart-sequence and its formalization, we have seen that analysing

string figures corpora through an accurate mathematical observer’s tool helps to raise hypo-

theses about how the actors created string figure algorithms. These algorithms are mathe-

matically difficult both to describe and to characterize. Further research will be necessary to

139

get a fully satisfactory formalization. Storer introduced other formal approaches that would

be worth developing: the regular projections and linear-sequences, in particular. The latter

approaches were inspired by Knot Theory (Murasugi 1996; Livingston 1993). In mathema-

tics, a “knot” is defined as a closed curve (without crossing-points) in 3-dimensional space.

And indeed, at first glance, a knot does seem to be a mathematical object with a close rela-

tion to string figures. For more than a century, mathematicians have tried to find mathema-

tical tools to characterize “knots”. The point is to search what they have called “invariants”

(polynomials, matrices, . . . ), that can be calculated for each knot, aiming to differentiate

them—i.e. to be able to determine whether or not two given knots can be obtained from one

another by continuous deformation of the curve (isotopic knots). No ideal invariant of knots

has been found so far, and this issue remains open (Vandendriessche 2015: 355).

Aun cuando existen homologías obvias entre los laberintos malekula, los mapas sona,

los pulli kolaṁ y las figuras de cuerdas de buena parte del mundo etnográfico, no se han

desarrollado teorías o algoritmos coordinados capaces de sistematizar la metodología o

de unificar las nomenclaturas a través de los casos como ha sido el caso de (por ejem-

plo) la geometría fractal o las isometrías del plano. Tampoco hay una identificación cla-

ra de las prácticas de las figuras de hilo con la antropología del arte o con la elicitación

de materiales etnográficos para la antropología en general. Incluso en las asociaciones

que se dedican de lleno a ellas (y por más que las contribuciones académicas sean allí

apreciadas) estas se vinculan se vinculan más bien a juegos o al uso identitario del cuer-

po; lo que más abunda en el mercado es por ende la literatura de autoayuda de tipo do it

yourself y la literatura pasatista, destino que también afectó a las geometrías de polio-

minós que hemos revisado más arriba (pág. 124 y ss.).

El abrumador volumen de información contextual relativa ya sea a cada una de las so-

ciedades en que aparece la práctica (o a cada una de las ontologías en la que las socieda-

des se inscriben) deja sin explicar la palpable universalidad y la virtual similitud de las

geometrías de las figuras de nudos a través de las culturas. No es inocente, en este senti-

do, que las prácticas geométricas se hayan descripto como juegos. A pesar de las revo-

luciones que ha sufrido la idea de juego en la era digital, el campo está minado con las

viejas teorías del Homo ludens de Johann Huizinga (1980 [1944]), con las concepciones

de René Guénon o incluso de Roger Caillois (2001 [1961]: 59) y con otras teorías arcai-

cas consagradas al empequeñecimiento de lo exótico y a la exotización de lo banal y

que establecen, una y otra vez (como rezaba una nota periodística de Joyce Cohen

[2000] publicada en el New York Times), que los juegos de cuerdas son “algo más que

juegos de niños”, que los juegos de niños contemporáneos, los rituales serios y las etno-

geometrías lúdicas o no de la edad de piedra (o de los “contemporáneos primitivos”)

son prácticamente instancias de la misma clase de trivialidad y que las geometrías del

juego (y por ende las geometrías latu sensu) son incluso anteriores a la cultura, tanto

más cuanto más extrañas se presenten: la misma clase de argumentos cripto- o seudo-

evolucionarios cuya puesta en abismo he procurado escenificar en este libro.

La razón para arremeter contra esa especie discursiva ha sido simplemente porque sus

argumentos pertenecen a una modalidad hermenéutica que bien puede haber puesto

sobre el tapete o viralizado información cualitativa invalorable, pero que no ha logrado

avanzar un ápice en explicarnos cómo es que culturas que cultivan semánticas tan pecu-

140

liares y divergentes coinciden en unas pocas formes fixes de sintaxis geométrica, cuya

combinatoria (en tanto grupo de transformación de las formas) es descriptible (como en

una gramática) mediante en un número todavía más pequeño de factores, operaciones

elementales y criterios de gramaticalidad que gozan de muy pocos grados de libertad

por infinita que parezca ser la productividad de su combinatoria.

Ejemplo de ello es la “sucesión de operaciones” y gestos procedimentales que definen el

kaninikula en Trobriand y que no es otra cosa que una serie o secuencia lineal o ramifi-

cada de algoritmos, traducible de un sistema a otro y codificada décadas o siglos antes

que en Occidente comenzáramos a pensar en grupos de transformación (cf. Vanden-

driessche 2014b). La observación de Vandendriessche (2015: 48) respecto de que” “un

estudio etnolingüístico comparativo de los términos técnicos relativos a la práctica de

las figuras de cuerda en diferentes sociedades podría ser entonces una vía promisoria de

identificar y analizar los distintos modos de la conceptualización vernácula de estas

prácticas” nos deja con la sensación de que tal organización comparativa de las reglas

del juego sigue siendo una tarea pendiente de la etnogeometría cognitiva.

Pensándolo bien, tal vez sea un golpe de suerte que la etnografía (en el sentido de des-

cripción de las etnometodologías, diría Garfinkel) haya optado por describir estas prác-

ticas como juegos, dado que el factor definitorio de los juegos (mal que le pese a Lud-

wig Wittgenstein) es que están sujetos a reglas explícitas o implícitas, fijas o cambian-

tes, públicas o privadas pero reglas al fin. Me tienta decir, llegado a este punto, que no

estaría mal redefinir una etnogeometría como el conjunto politético de las reglas del

juego que definen las prácticas de la producción imaginaria en una cultura en un mo-

mento histórico, en una episteme, ecuménicamente o (si así les place) en un orden social

determinado.

Un fragmento singular de la bibliografía sobre los juegos de hilo relaciona a éstos con

una especie de cognición situada, como si las geometrías fuesen una especie de repo-

sitorio dinámico de la memoria cultural. Ana Guevara (2011) de la EHESS lo ha traba-

jado hondamente en el entorno mapuche; el antropólogo italiano Carlo Severi ha desa-

rrollado el tema desde un punto de vista que muestra afinidades con el proyecto del

perspectivismo amazónico (Severi 2006; 2009; 2012; 2014; Severi y Garou 2013). Se-

veri toma como precedente estudios referidos a los sistemas de khipus en el Perú y otros

trabajos más geométricos en su empeño, como los de Tom Cummins (1994) referidos al

tokapu. Aquél es tributario de los densos análisis etnomatemáticos de Ascher y Ascher

(1981); éste se encuentra inserto en un estimulante libro imbuido del ethos justiciero de

la Edad de Oro del movimiento decolonialista sobre formas geométricas de “escritura” o

“heráldica” precolombina (Hill Boone y Mignolo 1994).

A la hora de las definiciones un tokapu, tokapo o t’oqapu es un conjunto de cuadrados

con decoración geométrica polícroma que aparece en textiles bordados o en tejidos y

también pintados en vasijas, mayormente en keros ceremoniales de la época Inka y en

piezas llamadas llautos, chumpis y uncus de cumbi. No poc@s investigador@s aseguran

que se trata de un sistema de escritura; entre ellos se encuentran Victoria de la Jara

[1917-2000], Thomas Barthel, William Burns Glynn, Jaime Salcedo Salcedo, Mariusz

141

Ziólkowski, Mary Frame, Gail Silverman, Margarita Gentile y Antonio Huillca Huallpa,

quienes han identificado los signos o glifos alternativamente con palabras en quichua o

en otra lengua o con logogramas independientes de lenguaje, nombres propios, nom-

bres+números, textos complejos, personajes, dígitos de un sistema decimal, términos de

parentesco, símbolos heráldicos de prestigio o unidades de sentido ideogramáticas.

Salvo por su intenso colorido, el eventual enmarcado y la cuadratura geométrica de los

tokapu los signos que integran el conjunto tienen un cierto aire de familia con los curvi-

líneos adinkra de los Ashanti de Ghana que revisaré en el capítulo siguiente. Dado el

fracaso de los desciframientos divergentes de los tokapu y dado también el vacío meto-

dológico y la falta de resultados tangibles que han aportado las alternativas semioló-

gicas del decolonialismo en la tesitura de Elizabeth Hill Boone y Walter Mignolo (1994:

199, 203-204, 208, 215 n35, 216 n48) o de Heather Allen y Andrew Reynolds (2018) en

el último cuarto de siglo, intuyo que las formas más adecuadas de interrogar el modo de

significación propio de este género geométrico debería inspirarse en las teorías emic

multivocales, mnemotécnicas y metafóricas que están operativas en los adinkra de Gha-

na y en sus sucesores los adinkra de la teoría supersimétrica de nuestra vanguardia cien-

tífica (cf. Ascher y Ascher 1981; Zuidema 1991; Arthur 1999-2001; Gates 2008; 2009;

2012; Danzy 2009; Rimpsey 2013; Osuwu 2019; ver pág. 163 y ss.).

En este ámbito hay cuantiosas interpretaciones variopintas de la geometría de los toka-

pu, muchas de ellas arrogándose la hazaña de su desciframiento y deslizándose por ende

(igual que sucede en la vasta literatura sobre los khipus) más hacia lo criptográfico, lo

analógico y lo especulativo que hacia lo geométrico, lo abstracto y lo sistemático. La

bibliografía compilada en sitios consagrados específicamente a esa geometría enigmá-

tica (en tocapu.org, por ejemplo) se aproxima ya a los varios centenares de textos, inclu-

yendo fuentes monumentales y epigráficas. No obstante, y debido sin duda al oligopolio

que los enfoques pos-estructurales y deconstruccionistas han instaurado en este campo

(y con una sola excepción), todavía está faltando aunque más no sea una descripción

sistemática de sus geometrías y de los grupos de transformación a las que ellas perte-

necen (cf. Arellano 1999; Eeckhout y Danis 2004; Martínez Armijo 2005; Rojas Silva

2008; Gentile 2010; Cummins 2011; Pasztory 2010; Silverman 2011; 2015).

La única indagación estrictamente geométrica de los tokapu que conozco es la de Mary

Frame (2007) titulada “Lo que Guaman Poma nos muestra, pero no nos dice sobre Tu-

kapu”, que acaso sea la más atinada interpelación de objetos etnogeométricos desde el

punto de las geometrías del plano en el sentido de Washburn y Crowe y, al mismo

tiempo, la más escrupulosa y brillante exégesis de la obra de Guaman Poma de Ayala

[1535-1616] (cf. Guaman Poma de Ayala 1980 [1615]).

Apéndice necesario de este capítulo sobre grafos, nudos, líneas y formas intersticiales

de la etnogeometría es, por ende, la reproducción de una sola página al azar del texto

clásico del arqueólogo Flinders Petrie Decorative patterns of the Ancient World (1930),

un tratado que debería servirnos (1) como recordatorio de la inabarcable y desordenada

multiplicidad de los patrones y motivos geométricos del mundo antiguo, (2) como testi-

monio de una nomenclatura analítica decimonónica que se dilapida (igual que en los

142

usos antropológicos de hoy en día) en una secuencia amorfa de etiquetas reminiscentes

de las que se estilaban en tiempos del coleccionismo victoriano45

y (3) como adverten-

cia precautoria que (visto el poco progreso que ha habido en un siglo que llega hasta

hoy y que ya pinta demasiado largo) nos proporcione a los que procuramos leer entre

líneas un indicador mínimo del trabajo de taxonomía, análisis, comparación y sistema-

tización que todavía nos queda por emprender. Admito que es relativamente injusto

acentuar los rasgos arcaicos de la sistematización de Petrie olvidando que él ha sido

quien mejor anticipó con conmutaciones operadas sobre sus láminas dibujadas a mano

las mejores técnicas de seriación de la arqueología y el análisis espectral del álgebra de

matrices que hoy se usan en el análisis avanzado de redes sociales y en la tecnología de

Big Data (cf. Reynoso 2019d: fig. 4.1.1).

Es así, sin embargo, como se presentan las cosas: autores que han sido inspiradores de

las más eficientes heurísticas científicas se manifiestan pedestres cuando les toca afron-

tar búsquedas que se dirían parecidas. Multiplicando perspectivas y ejemplos, la repro-

ducción de las viñetas de Flinders Petrie ha sido complementada aquí por una de las

muchas láminas existentes en torno de los tokapus perteneciente a la afamada colección

de Dumbarton Oaks y por una genuina tabla periódica del sistema de tokapus según

Peter Eeckhout y Nathalie Danis (2004) (figs. 7.5 a 7.7).

45

Cito textualmente: Arabescos, Rosetones, Radiados, Manchas, Puntos, Giros, Skirls (?), Bolas, Cruces,

Surcos, Pasos, Geometrías, Laberintos, Ondas, Festones, Líneas y Puntos celtas, Trenza angular, Mean-

dros, Grecas. Un zoológico de formas, cabalmente, que se anticipa una vez más a la clasificación de Jorge

Luis Borges que comenté en la pág. 63. Inluso en el área del arte rupestre, donde las formas y las orga-

nizaciones elementales son recurrentes en el tiempo y en el espacio, no hay una acabada taxonomía

claramente organizada de los elementos y las formas. Aunque se han hecho algunos avances en materia

de articulación tipológica y jerárquica de las formas, la nomenclatura está alborotada y todavía prevalecen

las listas de lavandería. La propuesta más abarcativa ha sido probablemente la de la disertación de

doctorado de Karen Nissen (1982), un cabal “diccionario” de elementos de diseño presentes en el arte

rupestre que se puede aplicar a otros soportes físicos y a otras ontologías culturales.

143

Figura 7.5 – Patrones de Diseños geométricos de la clase de Trenzados Angulares.

Basado en Flinders Petrie (1930: lám. xlvi). Compárense con el knotwork “celta” de la fig. 5.6 (pág. 101 más arriba).

144

Figura 7.6 – Tokapu – Materiales de Tocapu.org.

Robert Woods Bliss Collection, Dumbarton Oaks Research Library and Collection (Washington DC, USA) - Number: B-518.

145

Figura 7.7 – Tokapu según Peter Eeckhout y Nathalie Danis (2004). Túnica #11. Museum of Fine Arts, Boston (Stone-Miller 1992: 181).

Los motivos registrados por Guamán Poma son unos 36 en contraste con unos 230 reconocidos por estos autores en muestras más exhaustivas (cf. Danis 2001).

146

8 – Hitos de la etnogeometría (6): Geometrías recursivas – Revisitando los Sistemas de Lindenmayer

In philosophizing the Greeks made as much use as

possible of mathematics. The Indians, curiously, fai-

led to do this, curiously because they were good ma-

thematicians. Instead, they made as much use as

possible of grammatical theory and argument.

Daniel H. Ingalls (1954: 4)

A lo largo de los años y desde diferentes perspectivas me he ocupado de una rara geo-

metría recursiva que, cuando se la mira desde cierto ángulo, se revela como la forma de

modelado más inherentemente multicultural y de trayectoria más prolongada que ha

existido a través del registro ecuménico. Me refiero concretamente a los llamados siste-

mas-L o sistemas de [Aristide] Lindenmayer [1925-1989], los cuales fueron en su ori-

gen una contribución insólita al modelado de las formas (geométricas) de las plantas

mediante gramáticas recursivas derivadas de la lingüística chomskyana en general y en

particular de la “jerarquía de la complejidad” que Chomsky presentó al mundo aquel 11

de setiembre de 1956 en el que un puñado de jóvenes talentos (Chomsky, George

Miller, Herbert Simon) decidieron inaugurar en una conferencia histórica en el MIT

nada menos que la ciencia cognitiva y (por el lado de Simon) la Inteligencia Artificial.

El nudo de la cuestión radica en que una misma gramática puede componer no sólo fra-

ses de una lengua (frases de cualesquiera lenguas, de hecho, y hasta textos y poemas)

sino que es capaz de generar también formas representativas de vegetales, lo cual impli-

ca además que un lenguaje recursivo ideado por un botánico como herramienta geo-

métrica para dibujar vegetales (y para el caso cualquier picture language) puede ser

adaptado al diseño de virtualmente cualquier forma compleja bi-, tri- o tetra-dimensio-

nal de la naturaleza o de la cultura, así como de estructuras geométricas que se mani-

fiestan no sólo en el espacio sino también en el tiempo, tales como ritmos, danzas, hete-

rotopías, heterocronías, cronotopos, estructuras ritmanalíticas e incluso músicas del

mundo (cf. Prusinkiewicz, Krithivasan y Vijayanarayana 1989; Reynoso 2019a: cap.

§5.3).46

Este nudo creativo esconde sin embargo una faceta oscura: los etnomatemáticos y los

arquitectos que utilizan herramientas digitales de avanzada saben que pueblos antiguos

de la región tamil, del sudeste asiático y de otros lugares alejados y mal conocidos do-

minaban geometrías de extraordinaria complejidad que por los caminos más indirectos

(pero absolutamente innegables) han impactado y siguen impactando en la computación

contemporánea. Lo que se ignora todavía (más allá de ciertas intuiciones que apuntan

46

Sobre los modelos gramaticales, generativos y transformacionales de la música y sus implicancias

“visuales” y “geométricas” el texto de referencia es A generative Theory of Tonal Music de Fred Lerdahl

y Ray Jackendoff (1983: esp. 13, 36, 39-43, 58-59, 116, 189, 219, 239, 302, 303, 302-307, 338). Sobre las

relaciones entre el arte del kolaṁ y el ritmanálisis de Henri Lefebvre (2004 [1992]) véase Laine (2009;

2013), un texto al cual volveremos hacia el final de este capítulo.

147

para el lado de las geometrías sinestésicas de la música y el ritmo, y más allá también de

los significados rituales y simbólicos que se reportan rutinariamente en las etnografías)

es de qué manera –cognitiva y geométricamente hablando– se conceptualizan, se apren-

den y se enseñan esas prácticas en las culturas, sean éstas ágrafas o informáticas. Algo,

sin embargo, hemos logrado averiguar.

He perdido la cuenta de la cantidad de veces en las que me he ocupado de los sistemas-

L en distintas inflexiones de mi vida académica. La primera vez fue en Complejidad y

Caos: Una exploración antropológica (2015 [2006]), un texto en el que puse el acento

en la naturaleza recursiva y fractal de dichos sistemas; la siguiente vez fue en un paper

distribuido en mis seminarios de posgrado en Colombia, México, Perú y España y titu-

lado Diseño artístico y arquitectónico con gramáticas complejas (2008); en la tercera

oportunidad, en el libro Análisis y Diseño de la Ciudad Compleja: Perspectivas desde

la Antropología Urbana (2010c), desarrollé una de las coberturas más amplias sobre el

tema entre las que hoy se consiguen en lengua castellana. En Árboles y redes: Crítica

del pensamiento rizomático (2013: cap. §2), una cuarta vuelta de tuerca, me concentré

en refutar todos y cada uno de los estereotipos deleuzianos sobre los modelos lingüísti-

cos de Chomsky, demostrando que todas las geometrías imaginables y otras más que

nos cuesta imaginar pueden ser construidas tanto de maneras “rizomáticas” como en ba-

se a algoritmos recursivos, arbolados y gramaticales, poniendo en claro que los modelos

arbóreos no son lo mismo que las “lógicas binarias” y que ni éstas ni aquéllos han sido

urdidos en Occidente ni son criaturas de la modernidad cientificista. Por el otro lado, ni

Occidente ni la Modernidad (recordémoslo una vez más) han sido particularmente des-

collantes en las prácticas más creativas de la geometría compleja.

En el estudio que se está leyendo no me he ocupado ni me ocuparé de los desarrollos

teóricos aplicados al objeto lingüístico o de la adecuación de los instrumentos recursi-

vos para dar cuenta del lenguaje natural aunque sí echaré una mirada sobre un par de

elementos de juicio colaterales pero fundantes. En la década de 1950, Chomsky (1959)

introdujo cuatro tipos de lenguajes formales, clasificados según las formas de produc-

ción permitidas por sus gramáticas. Su taxonomía, que jugó un papel esencial en la

gestación de la ciencia cognitiva y en la clarificación del campo de los lenguajes de pro-

gramación de computadoras, se ha instalado en la historia como la Jerarquía Choms-

kyana de la Complejidad (o Jerarquía de Chomsky-Schützenberger).47

Chomsky no in-

ventó los elementos de la jerarquía, pero sí los articuló muy claramente en un conjunto

47

Tanto en computación como en lingüística suele ignorarse que el desarrollo de los lenguajes formales,

la teoría de autómatas, los programas compiladores y los intérpretes de lenguajes de programación han

dependido sobremanera de las elaboraciones de Chomsky, más allá del carácter polémico que podrían

tener otras ideas del mismo autor en el campo lingüístico, tales como el postulado de la naturaleza innata

de las gramáticas o la afirmacion de que el lenguaje cambia pero no evoluciona. Igual que sucedió en bio-

logía molecular a partir de la importación desde la lingüística del concepto de código genético, el influjo

de una ciencia humana y semiblanda sobre otras más duras y formales ha catalizado un conocimiento de

alta originalidad y fuerte impacto. El mismo patrón de relaciones disciplinares se ha manifestado en otras

oportunidades: por más que el pasaje de la metáfora al modelo sea un valor que aprecio particularmente, a

quien mencione un modelo importante de las ciencias formales del último medio siglo será fácil replicarle

especificando cuál ha sido la metáfora de las humanidades que formuló con anterioridad las preguntas que

lo gestaron, que le es conceptualmente análoga o que permite comprenderlo mejor.

148

sistemático, redefiniendo el contexto y los alcances de la lingüística computacional y de

los modelos gramaticales latu sensu. La teoría matemática de autómatas había sido

creada más bien por Alan Turing [1912-1954], veinte años antes, al analizar formal-

mente el problema de la no-detención [Entscheidungsproblem], al cual no es imperioso

tratar aquí (Turing 1936).

Esta es una de esas ocasiones en las que encarezco leer el original del texto que todos

conocemos como “los tres modelos del lenguaje”, modelos que, como hemos visto,

acaban mutando en los cuatro autómatas de la teoría clásica que devino la base de la

cual se deriva la idea de programar dispositivos tales como computadoras de propósito

general no mediante tuercas, tornillos, cables, circuitos, resortes y engranajes sino me-

diante lenguajes formales, esto es decir: no como incumbencia del cálculo numérico y la

ingeniería, sino como parte del amplio muestrario de problemas que la lingüística se

empeñó en plantear, resolver y probar algorítmicamente.

Como quiera que sea, he procurado compendiar la jerarquía chomskyana en una lista

que ocupa los cuatro párrafos siguientes. En esa lista las letras mayúsculas representan

símbolos no terminales que pueden ser expandidos, las minúsculas son símbolos termi-

nales y las letras griegas son signos arbitrarios que pueden ser terminales o no. Cada

elemento de la jerarquía comprende a los elementos anteriores. La jerarquía está com-

puesta por:

1) Gramáticas regulares o lineales a derecha (Tipo 3). Incluyen sólo reglas de estruc-

tura de frase o de re-escritura de tipo Ab, o AbC. Corresponden a los lenguajes

y conjuntos que pueden ser tratados por autómatas de estado finito. Estos autómatas

no tienen memoria. Reconocen o generan lenguajes regulares. Fueron concebidos a

principios de la década de 1950 en parte por finalidades prácticas (el diseño de cir-

cuitos lógicos secuenciales) y en parte por razones especulativas (modelar la circui-

tería de la actividad neuronal humana). La equivalencia entre los autómatas finitos y

los lenguajes regulares fue establecida por Stephen Kleene (1956). La expresión

“lenguaje regular” se reconoce imprecisa y tiempo atrás se trató de sustituirla por o-

tras (“lenguaje reconocible”, “lenguaje racional”), pero la idea no prosperó. Es co-

mún distinguir entre autómatas finitos deterministas y no deterministas; los primeros

sólo pueden transicionar hacia uno y sólo un estado; los segundos pueden transicio-

nar hacia más de uno. Los de la variedad no determinista no tratan ningún lenguaje

que no sea tratable por los deterministas, pero son susceptibles de “programarse” en

un lenguaje de más alto nivel. Para describir lenguajes regulares se suele emplear

una rigurosa notación algebraica, las expresiones regulares (Hopcroft y otros 2001:

37-123). Lenguajes y expresiones regulares se asemejan a (y pueden ejemplificarse

mediante) los lenguajes de comando de computadora como (por ejemplo) el DOS.

Una forma gráfica de representar las gramáticas regulares es mediante diagramas de

estado o de transición que Chomsky tomó de la teoría matemática de la información

(Chomsky 2002 [1965]: 19, basado en Shannon y Weaver [1949: 15 y ss.]). Cada

celda de un autómata celular es un autómata finito. En Reynoso (2013: 44) docu-

mentamos que en Mil Mesetas Deleuze y Guattari (2006 [1980]: 22) definen el rizo-

ma como una red de autómatas finitos, aunque también demostramos que la defini-

ción es parcialmente aceptable en principio pero a nivel de detalle hace agua por

todas partes.

149

2) Gramáticas independientes de contexto (Tipo 2). Poseen reglas de tipo A, y por

lo tanto no tienen restricción en cuanto a la forma que pueden tomar las reglas de

producción de la derecha. Corresponden a los lenguajes y conjuntos que pueden ser

tratados por autómatas no deterministas de almacén o de pushdown (PDA). La for-

ma de las reglas se conoce como la forma normal de Chomsky o CNF. Estos autó-

matas tienen una memoria limitada y pueden, por ejemplo, llevar a cabo una compa-

ración. Reconocen o generan lenguajes independientes del contexto (IC). En estos

lenguajes las reglas de producción se establecen en función de los símbolos indivi-

duales, sin tener en cuenta cuáles son los símbolos vecinos o el contexto en el que se

encuentra. Las reglas de producción consisten en: (1) una cabeza, que vendría a ser

la variable que se define en cada producción; (2) un símbolo de producción, usual-

mente ‘’; y (3) un cuerpo de cero o más terminales y variables. A la izquierda del

símbolo de producción puede haber solamente una cabeza. Los lenguajes IC poseen

una notación recursiva característica; un ejemplo de ellos es la notación de DTD del

lenguaje XML o las reglas de los sistemas-L de tipo D0L. Los autómatas de alma-

cén que pueden procesar estos lenguajes son una extensión de los autómatas finitos

no deterministas a los cuales se les ha agregado una pila o stack que se puede leer,

“empujar” o manipular solamente desde el tope de la pila, en modo last-in-first-out

[LIFO], lo cual implica que el último en llegar es el primero en salir. También se

puede expresar lo mismo como first-in-last-out [FILO] dependiendo de la operación

en el stack; la cabeza del stack ejecuta de hecho dos clases de operaciones: push

(agregar un símbolo arriba de la pila) y pop (leer y remover el primer símbolo de la

pila). La pila opera como una especie de memoria de tamaño indefinido, pero li-

mitada en cada operación al último símbolo que se trató. Una vez más, hay PDA

deterministas y no deterministas. Las gramáticas correspondientes a los lenguajes IC

se pueden especificar mediante un diagrama arbolado, árbol de derivación o árbol de

barrido [ parse tree].

Figura 8.1 – Autómata/gramática de almacén y lenguaje independiente de contexto. Corresponde a las reglas de re-escritura o sustitución de tipo O→SN+SV; SN→D+N; SV→V+SN.

Diseñado por el autor con el programa TreeForm.

3) Gramáticas sensibles al contexto (Tipo 1). Pueden tener reglas de forma A,

donde no es un elemento vacío. Corresponden a los lenguajes y conjuntos que

pueden ser tratados por autómatas ligados linealmente. Poseen una memoria auxiliar

semi-infinita, limitada a la longitud de la cadena de entrada. Reconocen o generan

lenguajes sensibles al contexto. En estos lenguajes una regla de producción se aplica

150

a un símbolo sólo si el símbolo tiene ciertos símbolos vecinos. Los autómatas liga-

dos linealmente son por definición no deterministas (Linz 2001: 292).

4) Gramáticas irrestrictas (Tipo 0). Son idénticas a las anteriores, excepto por el hecho

que puede ser nulo. Corresponden a los lenguajes y conjuntos susceptibles de ser

tratados por máquinas de Turing. Éstas poseen memoria irrestricta y pueden efectuar

cualquier computación. Reconocen o generan lenguajes recursivamente enumera-

bles, también llamados parcialmente decidibles por razones más complicadas que lo

que es menester explicar ahora. Aunque a los lingüistas y psicolingüistas les intere-

san más bien los dispositivos de capacidad más limitada, hablar de máquinas de Tu-

ring involucra un asunto mucho más complejo que el que atañe a las otras clases de

autómatas. Concebir esta clase de máquinas implica preguntar qué lenguajes pueden

ser definidos por y para una computadora, lo cual equivale a establecer qué es lo que

las computadoras pueden hacer en absoluto: como se verá en seguida, reconocer las

cadenas que constituyen un lenguaje en tanto tales es una forma de expresar la reso-

lución de problemas; la expresión “resolver un problema” es, por ende, un sustituto

razonable de la descripción de las capacidades de las computadoras (Hopcroft y o-

tros: 307; Levelt 2008: 95).

Del modelo de Noam Chomsky es importante explorar tanto las ideas que le precedie-

ron como las que surgieron después como consecuencia del peso de uno de los autores

más influyentes y citados del siglo XX y de lo que va de este milenio. Lo que le prece-

dió fue una gramática articulada en locaciones exóticas que en Occidente se mantuvo en

un segundo plano hasta que resurgió vigorosamente ya en la segunda década del siglo

XXI con los multitudinarios congresos International Symposia of Sanskrit Computatio-

nal Linguistics dedicados a perspectivas computacionales deivadas de la lingüística

modelada hace 2500 años por el indio Dakṣiputra Pāṇini, cuyos Proceedings han sido

editados por Springer desde 2007 hasta la fecha (Goyal 2019).

Pāṇini [ पाणिणि ] fue, en efecto, el autor de un tratado articulado en formato de sūtra

[सतर], una especie de colección de aforismos inenarrablemente compactos que confor-

man un texto que se pensó cinco o seis siglos antes de Cristo y casi veintiseis o vein-

tisiete siglos antes de Chomsky (Pāṇini 1962; cf. Cardona y otr@s 2009). Pāṇini encap-

suló sus aforismos en un libro titulado Aṣṭādhyāyī [“los ocho miembros”], el cual pasa

por ser el texto de lingüística más antiguo que existe aunque su autor, quien quiera que

haya sido, se refiere a lingüistas anteriores que el tiempo se encargó de borrar de la me-

moria científica. Lo que vino después de la jerarquía de Chomsky ha sido, por un lado,

la sistematización de Aristide Lindenmayer y por el otro la epifanía etnogeomética del

matemático tamil Gift Siromoney (cf. pág. 129 más arriba). El nudo de acontecimientos

y relaciones interteoréticas que se estuvo armando en todos estos siglos y en las últimas

décadas es tan complejo y asimétrico que nos veremos en la necesidad de avanzar por

partes.

La referencia inicial de Chomsky a las reglas generativas de Pāṇini se encuentra en sus

Aspectos de la Teoría de la Sintaxis y reza así:

The idea that a language is based on a system of rules determining the interpretation of its

infinitely many sentences is by no means novel. Well over a century ago, it was expressed

with reasonable clarity by Wilhelm von Humboldt in his famous but rarely studied intro-

duction to general linguistics […]. His view that a language "makes infinite use of finite

151

means" and that its grammar must describe the processes that make this possible is,

furthermore, an outgrowth of a persistent concern within rationalistic philosophy of langua-

ge and mind, with this "creative" aspect of language use […]. What is more, it seems that

even Pāṇini 's grammar can be interpreted as a fragment of such a "generative grammar", in

essentially the contemporary sense of this term (Chomsky 1969 [1965]: v).

Aunque eso es todo lo que escribió al respecto, antes y después de Chomsky Pāṇini e-

jerció una poderosa aunque soterrada influencia en la lingüística científica de práctica-

mente todo el mundo. Ferdinand de Saussure [1857-1913], fundador indiscutido de la

lingüística científica y él mismo destacado sanskritista en su juventud, conocía al de-

dillo la obra de Pāṇini. En su extenso ensayo sobre De l'emploi du génitif absolu en

sanscrit (que fue su tesis de doctorado presentada a la Facultad de Filosofia de la Uni-

versidad de Leipzig) Saussure (1881: 4, 5, 7, 12, 14, 27-28, 58, 60, 78) la cita abierta-

mente como una influencia capital en su marco de referencia. Para quienes son aficio-

nados al despedazamiento de hipótesis conspirativas, a la deconstrucción de fake news y

a las refutaciones de leyendas, sin embargo, hay que decir que recientemente por lo me-

nos un lingüista destacado se atrevió a afirmar sobre evidencia firme que la influencia

de Pāṇini sobre la lingüística en general y sobre Saussure en particular ha sido mons-

truosamente exagerada (Cardona 2000). Lo notable del caso es que Cardona, si le he

entendido bien, asevera que la lingüística pāṇiniana ha ido más lejos, ha procedido más

sistemáticamente y ha calado más hondo que la de sus epígonos. No estoy lejos de

prestar acuerdo a estas ideas.

Figura 8.2 – Kolaṁ de la provincia de Madras según H. Gnana Durai (1929: 78, lám. E)

En lo que hace a Leonard Bloomfield, al padre de la lingüística conductista, éste descri-

bió la obra de Pāṇini como “uno de los grandes monumentos de la inteligencia humana”

152

(Bloomfield 1929: 274; citado por Staal 1965: 72; Rogers 1987). Es manifiesta la in-

fluencia del lingüista indio sobre Language, la obra mayor del conductista Bloomfield

(1933); téngase en cuenta además que Bloomfield escogió un método casi axiomático

para la escritura de ese libro, perteneciente a un género que no es del todo ajeno a la

idea de sūtra. Frits Staal (1965) dedicó un artículo entero a examinar el impacto de las

reglas sensibles al contexto en el tratado de Pāṇini, una forma regular que es central en

las reglas de los sistemas-L y que en el otro lado del mundo se operaba (y se opera to-

davía) en las geometrías prácticas de las mujeres tamiles y se exploraba en las obras

teóricas sánskritas y tamiles un par de milenios antes que los intelectuales y los cienti-

ficos de Occidente comenzáramos a ocuparnos de esas algorítmicas.

La cosa está tan clara que Peter Zilahy Ingerman (1967), especialista técnico de la RCA,

propuso que se reconociera a Pāṇini como el inventor de la forma normal de Backus-

Naur (BNF), a la que propuso llamar en adelante Pāṇini-Backus Form. El BNF, inciden-

talmente, no es sino la notación más rica y precisa que se ha consensuado para la des-

cripción de lenguajes de programación mediante una gramática independiente de con-

texto como la que prevalece en la mayor parte del Aṣṭādhyāyī. Przemysław Prusinkie-

wicz y Jim Hanan (1998: 4, fig. 1.2) describieron la adecuación de cláusulas pāṇinianas

para la especificación de estas reglas en términos de sistemas-L.

Figura 8.2b – Correspondencia entre clases chomskyanas y clases de sistemas-L.

Según Prusinkiewicz y Lindenmayer (2004: 3, fig. 1,2).

La relación última de la lingüística chomskyana contemporánea con algo tan peculiar

como la más antigua lingüística del sánskrito no deja de ser polémica. En esta coyuntura

es de gran interés el reciente artículo del brasilero (radicado en Praga) Leonardo Valver-

de (2015), quien compara la configuración de las reglas de Chomsky con la estructura

de los sūtra de Pāṇini, concluyendo que las mayores similitudes se presentan no tanto en

relación a las ideas vertidas en Aspectos de la Teoría de la Sintaxis sino con referencia a

las categorías desarrolladas en el programa minimalista chomskyano de Principios y

Parámetros. Valverde concluye acertadamente (aunque en un inglés un poco raro) que

What Chomsky calls Principles and Parameters model is exactly what Pāṇini calls Sāmānya

(general) and Viśeṣa (particular) and all his grammar is delineated with them. If Chomsky

153

had studied the Aṣṭādhyāyī in 1965, maybe he could advance his theory and avoid some

mistakes the theory has (loc. cit.).

Los “errores” chomskyanos están claramente identificados en las referencias que pro-

porciona Valverde y que giran en torno de la idea de que el modelo de Pāṇini es mucho

más que una gramática generativa de reglas de sustitución correspondiente a una lengua

en particular. No encuentro testimonio creíble, por mi parte (y dudo que pueda compro-

barlo algún día), de que Chomsky haya leído verdaderamente el texto de Pāṇini, aunque

para esa fecha ya existía una adecuada traducción del clásico comentario Kāśikāvṛtti de

Jayāditya y Vāmana que algunos consideran “una cuarta gramática” independiente y

que por su entidad como modelo científico por derecho propio he puesto a disposición

del lector en la bibliografía como si fuera la fuente primordial (cf. Pāṇini 1962).

Ahora bien, lo notable del caso (y lo que mejor rima en el contexto de la influencia de

las geometrías étnicas sobre los saberes científicos de última generación que estamos

explorando en este trabajo) es que la afinidad no se limita a la relación entre dos gra-

máticas formales distanciadas en el tiempo, sino a la constatación (establecida por el ta-

lento geométrico de Siromoney) de que en la India del sur mujeres tamiles iletradas se

ponían de acuerdo en ejecutar los pasos de un algoritmo recursivo capaz de trazar las

figuras de un objeto fractal autoafín de altísima complejidad. Para tener sentido y con

arreglo a las hipótesis que vertebran el libro que se está leyendo, la historia completa

debe contemplar no sólo el camino que va de Pāṇini a Chomsky y luego el que va de

Chomsky a Lindenmayer o a Siromoney, sino el que se inicia como una práctica etno-

geométrica inmemorial (el kolaṁ o el algoritmo gráfico puro o templado que vertebre

las prácticas) y desemboca en los modelos computacionales de los dos últimos siglos.

Todo lo demás es episodio, epifenómeno, comentario (v. gr. Selvamony 2006).

A fin de cuentas, los kolaṁ aparecen en la literatura occidental bastante tarde. La pri-

mera referencia que conozco sobre ellos procede de un artículo del ignoto H. Gnana

Durai (1929) quien noventa años atrás los describía así:

On October 19th, 1927, Dr. [Alfred Cort] Haddon read a paper before the Cambridge

Anthropological Club on the late Mr. A. B. Deacon's investigations in Malekula, in which

he referred to and showed examples of the geometrical diagrams which Mr. Deacon had

discovered in that island.48

This at once recalled to my mind that analogous diagrams are

constructed every day among the Hindus of the Madras Presidency. I have no knowledge

on this subject regarding the other parts of India. I propose on my return to India to

investigate the subject in as great detail as possible and find out the real significance of

these patterns, of which I give a few illustrations.

Very early in the morning Hindu women and girls are busy sweeping the ground in front of

their houses, sprinkling water, or cowdung and water, to lay the dust. Then they proceed to

make patterns over the prepared ground, stooping down as they trace the designs with a

white powder (flour or ground quartz), which they take between the thumb and first finger.

De antigüedad discutida, los kolaṁ [ರಂಗೋಲ] de Tamil Nadu se conocen con el

nombre sánskrito de aripana [आरिपिा] en Bihar, como mandana [मााडिा] en Rajasthan,

48

Ya revisamos los aportes de Haddon y Deacon más arriba, en la pág. 130.

154

chowkpurana [छोवकपिािा] en Uttar Pradesh, alpana [আলপনা] en Bengala, muggu o

muggulu [telugu = ముగగు] en Andhra Pradesh, poovidal o pookalam [malayalam =

കോലം] en Kerala, rangavalli en Karnataka y rangoli [ರಂಗೋಲ] en Gujarat,

Kannada y Maharashtra. Tal como lo percibió Durai, el arte del kolaṁ guarda no pocas

afinidades con la pintura africana en arena (sona) estudiada por Paulus Gerdes en An-

gola y con el nitüs de Vanuatu, los diseños en nudo de los celtas, el mizuhiki [水引] y el

takara-musubi [菱 結び 紋] de Japón, el maedeub [매듭] de Corea, el panchang-jie [ 盤

長] de China, el ulzii-hee de Mongolia, etcétera. Especialistas en grafos eulerianos y

afines los han encontrado análogos al famoso problema del vendedor viajero [TSP]

(Demaine y otros 2007).

Figura 8.3 – Kolaṁ “Las Tobilleras de Kṛṣṇa” dibujado en el estilo redondeado de Madras.

49

Según Marcia Ascher (2002: 61).

El propio Siromoney fue un historiador ocasional del kolaṁ. Afirmaba que las fuentes

más antiguas sobre la práctica se remontan a los siglos XVI (Madurai Meenakshiammai

Kuram) y XVII (Thiru Kutraala Kuravanji). Estas referencias literarias incluyen algún

rudimento de preparación del terreno para la construcción de un kolaṁ y (tal como hoy

lo percibimos) muy poco más que eso. Lo que aclaran en materia de geometría propia-

mente dicha es prácticamente cero. En la traducción del primero (que he puesto a dispo-

sición del lector) llama la atención la referencia a una gitana que lee la suerte en las

palmas de las manos presentándola como la autora del diseño. El segundo texto es un

poema de Thirigudarasapa Kavirayar escrito en el siglo XVII.

49

La ciudad que hasta 1996 se llamaba Madras [மெடராஸ = meṭrās] ha recuperado hoy el nombre

de Chennai [செனனை]. El estado de Madras fue rebautizado como Tamil Nadu [தமிழ நாடு] en

1969. La lengua dominante en el estado de Tamil Nadu es el tamil, perteneciente al tronco drávida.

155

En otros artículos Siromoney (1978) decía que contrariamente a lo que se cree los ko-

laṁ no son muy antiguos, remontándose como mucho a unos 600 años, una fecha re-

ciente para él; unos pocos de entre los diseños del kolaṁ proceden de templos jainas y

buddhistas. Algunos ejemplares incluyen motivos y yantras de diseños tántricos mucho

más antiguos que eso. La escritora y activista Pupul Jayakar [1915-1997] y más

recientemente Renate Dohmen (2004: 8) sitúan el kolaṁ en continuidad con el arte

rupestre megalítico o con los sellos de las antiguas ciudades de Mohenjo-Daro y Ha-

rappa (Jayakar 1980: 121). El antropólogo inglés John Layard [1891-1974] intuía que

tanto el kolaṁ como los dibujos en arena de los Malekula se originaban en alguna an-

tigua civilización megalítica alguna vez asentada en el oriente o el sud-oriente asiático

(1937: 18). Otros especialistas son más conservadores o no se arriesgan a especificar fe-

chas u orígenes, como el antropólogo Lance Nelson de la SUNY en su disertación doc-

toral (1998).

Las relaciones entre las formulaciones lingüísticas expresadas en sūtra o en expresiones

formales y los sistemas regulares y prácticas del arte y la imaginería han sido estudiadas

en una colección de libros muy especiales que se planificó en el Indira Gandhi National

Centre for the Arts y se fue publicando con el título de Kalātattvakośa: A Lexicon of

Fundamental Concepts of the Indian Arts, una obra compilada por Kapila Vatsyayan y

Bettina Sharada Bäumer (1988: 137; 2003 [1992]: 1, 2, 277; 1996: 8-10; 2002: 71, 182,

247, 352; Baumer 2013). La serie se complementó con otras que se encuentran en curso

de publicación y que se denominan Kalāmūlaśāstra (algo así como “Textos Fundamen-

tales en las Artes”) y Kalāsamālocana. Hay otros estudios que abarcan todo el rango en-

tre las especulaciones y las hipótesis de trabajo en el tratamiento de esa relación (v. gr.

Timalsina 2013; Staal 1965; 1988; Seidenberg 1983; Briggs 1985; Kak 1987; Bhate y

Kak 1993; Filliozat 1995; Bronkhorst 2001) pero todavía no se ha publicado el docu-

mento definitivo, aunque la magnífica disertación de doctorado de Anand Mishra

(2019), acabada de escribir y disponible en línea, está muy cerca de encarnar ese ideal.

El problema que encuentro con la masiva bibliografía del Centro Indira Gandhi, con la

tradición derivada de Pāṇini y con la impresionante serie de Simposios Internacionales

de Lingüística Computacional del Sánskrito mencionados más arriba es que todo este

movimiento se centra en la India hindustánica, brahmánica, logocéntrica, apolínea, dis-

cursiva e indoeuropea del norte del subcontinente antes que en la India karnática, tántri-

ca, sensorial, voluptuosa, geométrica y dravidiana del sur, que es donde se han manifes-

tado las artes y las prácticas del kolaṁ y los estilos afines que hemos estado entre-

viendo.

El momento culminante en el que las ideas de Pāṇini y las de Chomsky se cruzan con

las intuiciones geométricas apenas desarrolladas de la antropología del arte es cuando el

ya mencionado Gift Siromoney descubre que los diseños de kolaṁ y de figuras afines

del sur de la India responden a las expresiones regulares y a las reglas generativas de la

gramática de estructura de frase. Créase o no, Siromoney nunca se refiere a Pāṇini,

como si a él, tamil y sureño, las lingüísticas computacionales del MIT le resultaran más

familiares que las formalizaciones lingüísticas del sánskrito brahmánico septentrional.

156

Insólitamente, Siromoney y su equipo aislaron tres tipos distintos de kolaṁ susceptibles

de engendrarse mediante otros tantos formalismos, a los que llamaron ‘kolaṁ de matriz

finita’, ‘kolaṁ de matriz regular’ y ‘kolaṁ de arreglo regular independiente del contex-

to’ (Siromoney, Siromoney y Krithivasan 1974). Las nomenclaturas le vienen a Siro-

money directamente de la jerarquía de la complejidad de Chomsky que hemos revisado

al comienzo de este capítulo.

Es importante señalar que en el momento en que plasmó su taxonomía Siromoney no

sabía de la existencia de la geometría fractal, ni de los sistemas-L, ni de las etnomate-

máticas. Con el tiempo, Marcia Ascher (2002) escribió un artículo titulado “The Kolaṁ

Tradition: A tradition of figure-drawing in Southern India expresses mathematical ideas

and has attracted the attention of computer science” en el que agradece a Rani Siromo-

ney y a Kamala Krithivasan y cita obras importantes de Gift, ya fallecido, mencionando

también la publicación pionera del mencionado H. Gnana Durai (1929) con la que los

kolaṁ ingresan en la literatura científica, y refiriéndose por último al aporte fundamen-

tal de Lindenmayer y Smith que hicieron posible la visualización de los objetos genera-

dos por los sistemas-L mediante gráficos de tortuga.

Figura 8.4 – Izq.: Kolaṁ de las Tobilleras de Kṛṣṇa.

Der.: Kolaṁ y rangoli diversos de Tamil Nadu con marcadores de puntos pulli. Diseñado por el autor como sistema-L mediante el programa Lyndyhop.

La semilla es –X—X y la regla de sustitución es XXFX—XFX.

Ha sido también Ascher quien subrayó la especificidad de las modalidades gráficas de

la escuela de Madras en contraste con los abruptos giros de tortuga a que fueron afectos

los botánicos. El grupo de Madras definió así siete movimientos de kolaṁ basados en la

descripción de sus movimientos que hacían las mujeres tamil. Algunos kolaṁ desta-

cados en el repertorio (como el llamado “Las Tobilleras de Kṛṣṇa”) requieren sólo tres

clases de movimientos de kolaṁ:

157

F: Avanzar mientras se dibuja una linea.

Ra: Avanzar mientras se hace un medio giro a la derecha.

R2: Avanzar mientras se hace un bucle entero a la derecha.

Una frase en un lenguaje que produzca las Tobilleras de Kṛṣṇa al modo de Madras co-

mienza con la cadena R1FR2FR2FR2FR1 a partir de la cual se aplican las siguientes re-

glas de re-escritura: R1R1FR2FR2 y R2R1FR2FR2FR2FR1 (fig. 8.3) Esta secuencia

algorítmica se puede contrastar con las reglas de re-escritura del mismo kolaṁ que desa-

rrollé en modo de sistema-L angular laboriosamente, en un trabajo que me insumió una

jornada completa de programación (fig. 8.4, izq.).

A veces los dibujos expuestos en la literatura difieren un poco. Así como hay escuelas

que alientan el desarrollo de métodos de dibujo curvilíneos confrontadas con otras co-

rrientes que se conforman con geometrías rectilíneas, así también hay fuertes discu-

siones en lo que respecta a las diversas tecnologías computacionales en tensión recí-

proca. Motivados por la necesidad de desarrollar métodos sintácticos de reconocimiento

de patrones y generación de formas los especialistas han creado lenguajes de imágenes

generados por gramáticas de vectores [array grammars] o aceptados por autómatas de

vectores o de arreglos [array automaton] utilizando extensiones basadas en esos forma-

lismos para superar ciertas limitaciones encontradas en las gramáticas independientes de

contexto y los correspondientes autómatas de almacén chomskyanos como los que des-

cribimos más arriba (Siromoney, Siromoney y Krithivasan 1974; cf. pág. 149).

Figura 8.5 – Cruces etíopes según Ron Eglash.

Ron no suministra el código en notación de Lindenmayer o en movimientos de tortuga.

Las referencias que procuran describir “el punto de vista del actor” en la literatura de la

escuela de Madras, en cambio, son en extremo ingenuas y sumarias. Si ha habido o no

un proceso de elicitación, entrevistas dialógicas con los actores y, en suma, la clase de

rutinas que se desenvuelven en los escenarios que los antropólogos denominamos tra-

bajo de campo, en la tradición tamil abordada por esta escuela todo ello queda sin docu-

mentar. Lo que más abunda son alusiones de terceras partes que rezan como sigue:

158

Experiments were conducted by Siromoney to find out how the kolaṁ practitioners store

such complicated patterns in their memory and retrieve them with ease while drawing the

kolaṁ. In the course of the study, it was found that kolaṁ practitioners remember, describe

and draw the designs in terms of "moves" such as "going forward", "taking a right turn",

"taking a u-turn to the right and so on reminiscent of the "interpretations" which are used in

computer graphics as sequences of commands which control a "turtle" (Nagata y Thambu-

raj 2006: 355).

Anil Menon, un autor indio de ficción especulativa con un PhD de la Syracuse Univer-

sity en ciencias de la computación ha expresado estas ideas más poéticamente. Dibujar

un kolaṁ es “pronunciar” una frase en un picture language. Cada kolaṁ es, correspon-

dientemente, una frase en un lenguaje gráfico. El más ilustre artista del kolaṁ de Oc-

cidente ha sido, probablemente, Jackson Pollock, quien reconocía la influencia de la

pintura en arena de los Navajo (Menon 2005). El más egregio gurú informático de

Oriente que se ocupó del kolaṁ sido, seguramente, Gift Siromoney.

El primer problema que encuentro en los relevamientos de Gift Siromoney y de la es-

cuela de Madras que le sucedió (aparte del empecinamiento en seguir usando el topóni-

mo de ‘Madras’ en vez del de ‘Tamil Nadu’ y en estar más pendiente de las palabras de

Chomsky que de la escritura de Pāṇini) es que la descripción de las movidas no contem-

pla el contexto recursivo en el que se aplica la regla, ni el número de recursiones que

debe realizarse, ni el momento en el que el ciclo debe detenerse; el segundo problema,

muy distinto y mucho más grave, es la falta de una instancia de trabajo de campo y de

investigación antropológica en la que se documente el punto de vista del actor. La es-

cuela de Madras ni siquiera se plantea que esta clase de indagaciones debería ser nece-

sariamente multi-, trans- o interdisciplinaria. Los sucesores de Siromoney, como anti-

cipé, llevarían el formalismo al límite, con la consecuencia de que la dimensión práctica

y corporal de las geometrías recursivas ha quedado sin investigar.

Aunque los antropólogos del arte angloparlantes que se ocuparon del arte de la India son

probablemente legión, no ha cuajado, a decir verdad, una literatura científica sobre las

artes del kolaṁ, del rangoli y afines que logre unir todos los cabos sueltos. El diseño

basado en sistemas-L ha merecido un rico tratamiento en el libro clásico de Ron Eglash,

aplicándose al análisis y diseño de peinados africanos y de cruces etíopes, acaso la apli-

cación fractal más convincente de toda la etnogeometría africanista (fig. 8.5). Sobre el

kolaṁ no se dice una palabra. Pero en la literatura centrada en gramáticas recursivas de

picture languages no hay mucho más que lo que ya hemos visto.

En un trabajo de Shogiro Nagata y Robinson Thamburaj (2006: 335-336) que pasó inad-

vertido en su época se indaga la analogía existente entre dibujar un kolaṁ basado en un

principio de navegación egocéntrica y operar con gráficos de tortuga como los que per-

miten articular los dibujos virtuales en el Logo de los sistemas-L. El volumen en el que

se publicó el trabajo se editó en homenaje al 75° aniversario de Gift Siromoney, por en-

tonces profesor emérito del Madras Christian College y contiene artículos de un tono

decididamente místico para nuestros parámetros evaluativos. La elaboración de Nagata

y Thamburaj, sin embargo, orientada a personas con discapacidades visuales, invitan a

considerar una secuencia de movimientos subjetiva o egocéntricamente concebidos

159

como cambio de coordenadas en un espacio de trayectorias táctiles o como una diná-

mica de posiciones cambiantes proyectadas en un tablero reticular en el que se dibujan

arcos y nodos:

Treating each kind of a move as a terminal sign, each Kambi kolaṁ represented a picture

cycle. A Kambi kolaṁ is a closed curve with or without loops represented in the form of

cycle, which is a string, joined at two ends. Each element of the string belongs to the set K

= {F, R(l), R(2), R(3), L(l), L(2), L(3)} where F stands for "move forward one unit", R(l)

represents a "half turn to the right", R(2) a "U-turn to the right," R(3) a "complete loop to

the right" and similarly L(l), L(2), and L(3) for turns to the left. These picture cycle

languages can be viewed and generated in several ways — (i) some of them may be

regarded as cycles in the graph theoretic sense — as a sequence of nodes and arcs, or (ii)

they may be converted into strings and generated by string grammars either Chomskyan or

Lindenmayer type, or (iii) as necklaces of terminal symbols. The terminal symbols may be

of different types — each symbol may have a graphic interpretation or represent simpler

turtle moves or chain code alphabet with coordinates specified or not or "kolaṁ moves"

(Nagata y Thamburaj 2006: 356).

El elemento de juicio que resulta clave en esta concepción es que existen muchas vías

alternativas de representar una misma serie de movimientos de acuerdo con el sistema

de coordenadas al que se otorgue prioridad.

Dos de las aplicaciones más impresionantes de los sistemas-L a la etno- y a la arqueo-

arquitectura, finalmente, son la reconstrucción virtual de los edificios puuc mayas alta-

mente ornamentados localizados en Xkipché, Yucatán (Müller y otros 2006) presentada

en el Séptimo Simposio Internacional de Realidad Virtual, Arqueología y Patrimonio

Cultural y las reconstrucciones de Pompeya desarrolladas por el equipo de CityEngine

en el ETH de Zürich antes que el producto fuera vendido a ESRI y perdido su estatuto

como tecnología alternativa. Han habido otras simulaciones de mayor eco en el público

mediático, tales como el modelo de Nueva York de 2259 armado para la película El

Quinto Elemento de Luc Besson o la escenografía de la ciudad eterna para la miniserie

Rome de la BBC propalada entre 2005 y 2007 (Rome Reborn 2.0, implementada por los

nerds del ETH en poco más que una noche de insomnio) y de la cual mentan las leyen-

das urbanas que quiso salir al cruce y que logró desmentir, insolentemente, la frase que

dice que “Roma no se hizo en un día”. En la actualidad el modelado de arquitecturas

arqueológicas y vernáculas utilizando esta metodología (que yo proponía sin demasiado

eco en tempranas ediciones de Computer Applications in Archaeology y en reuniones

de la Comisión IV de la UISPP) ha sido adoptada por un segmento significativo de la

comunidad arqueológica y –más lucrativamente– por la industria de efectos especiales

de la cinematografía del primer mundo (Reynoso 2008 versus Piccoli 2018a; 2018b).

La contribución más potente a las hipótesis que motivan este libro y la que mejor habla

del férreo vínculo entre las etnogeometrías y la ciencia contemporánea acaso haya sido

un aparentemente modesto artículo de la antropóloga Anna Laine (2013) de la Uni-

versidad de Dalarna en Suecia sobre la relación entre las gramáticas recursivas de los

kolaṁ y el ritmanálisis de Henri Lefebvre (2004 [1992]), una ténica que describí con

cierto detalle en mi libro reciente sobre las geometrías del poder (Reynoso 2019a). Lai-

ne entiende que los patrones del kolaṁ son materializaciones y corporizaciones del rit-

160

mo, concepción que cuadra con mi propia definición de la etnogeometría como práctica

regida por algoritmos culturalmente engranados en el cuerpo antes que codificados en

un modelo axiomático. Partiendo de esa misma concepción Laine ha sido capaz de pe-

netrar, creo yo, en la esencia de las lógicas generativas del kolaṁ, del rangoli y de otras

prácticas de generación de imágenes mediante la más límpida observación participante

y el más intenso compromiso con una perspectiva de género, alcanzando (a pesar de sus

aristas confictivas) una hondura que Alfred Gell y Tim Ingold o que incluso Gift y Rani

Siromoney (a quienes Laine nombra pero no oficializa en su bibliografía) no fueron ca-

paces de alumbrar. Correlato de esa contribución es una galería de imágenes, videos e

intervenciones que Laine ha puesto primorosamente en línea junto con su sustanciosa

disertación de doctorado (Laine 2009). Sobre la escuela de la dinastía Siromoney es-

cribe Anna Laine:

A group of scientists based in Chennai and led by Gift Siromoney, have during the last

three decades used the designs to develop picture languages able to identify certain families

of kolaṁ images (As[c]her 2002: 58). The initial use of formal language theory developed

into a particular matrix grammar. Based on the grammatical rules and mathematical

properties of the tradition, Siromoney’s group has constructed computer software which

mechanically reproduces kolaṁ designs (Narasimhan 2004: 88). Even if the categorisation

of types according to algorithmic counting does not have relevance in daily kolaṁ

performances, people are proud over the interest shown by natural scientists. In a less

praising manner, the computer scientist [Rangaswamy] Narasimhan argues that: “The ko-

laṁ practitioners themselves do not seem to be adept at innovating or even motivated to

innovate new patterns” (Narasimhan 2004: 98) (Laine 2009: 198).

El párrafo merece un par de observaciones. En primer lugar Ragaswamy Narasimhan

[1926-2007], uno los mayores exponentes de la inteligencia artificial en India, se opone

a la idea de que el diseño de kolaṁ aliente la diversidad y la innovación. Laine piensa,

por el contrario, que el aprendizaje de la confección de kolaṁ no es una servil imitación

y que hay algunas mujeres que ponen en tensión los límites, mientras que hay otras que

se conforman a las reglas establecidas.

Learning to make kolams can also be described as a rhythmical mode of becoming a

feminine being. Through the repetitive movements women learn, and come to embody, the

flow which is their morally correct way to interact with the rhythms of seasons and lives.

The difference generated through repetition is both conscious and unconscious in the

practice. Every time a woman repeats the performance, she tries to make the design

different. But the overall daily practice appears similar from last time. New rhythms are

incorporated through the different qualities of the new materials, without causing complete

disruption. However, some kolam makers seek to diversify the established social rhythms,

and have to be cautious of not becoming defined as disruptive (Laine 2009: 331)

En segundo lugar (y aunque la declaración de principios metodológicos por su parte es

mortecina y discreta) es evidente que Laine no considera importante el punto de vista de

los matemáticos y expertos en computación, a quienes considera “científicos de la natu-

raleza” pero presta particular atención a un conjunto de investigadores multidisciplina-

rios que han abordado las prácticas del kolaṁ como realización infográfica o como

práctica de género (Laine 2009: 8-9; Nagarajan 1998; 2007; 2019; Abraham y Chacko

2017).

161

Aun cuando subsisten numerosos problemas abiertos pero no resueltos, tanto los siste-

mas de visualización basados en sistemas de Lindenmayer como las prestaciones de rit-

manálisis constituyen óptimas referencias para cerrar el círculo del impacto de los for-

malismos derivados de la gramática de Pāṇini y de las técnicas recursivas del kolaṁ de

los pueblos tamiles del sur de la India sobre unas cuantas epistemologías analíticas más

productivas de las ciencias sociales y sobre algunas de las tecnologías de diseño arqueo-

geométrico y artístico más innovadoras de este siglo.

162

9 – Hitos de la etnogeometría (7): Etnocomputación en el límite – Adinkras, fullerenos, igluit & arquitectura vernácula

Las ciencias no tratan de explicar; a duras penas

procuran interpretar. Fundamentalmente, hacen mo-

delos. Por modelo se quiere decir una construcción

matemática que, con el agregado de ciertas interpre-

taciones verbales, describen los fenómenos obser-

vados. La justificación de tal construcción matemá-

tica es sola y precisamente que se espera que fun-

cione, esto es, que describa correctamente fenóme-

nos de un área razonablemente amplia. Además,

debe satisfacer ciertos criterios estéticos – esto es,

en relación con cuánto es lo que describe, debe ser

más bien simple.

John von Neumann (1995 [1955]: 628)

Mathematics provides a means for individuals to

explain and control complex situations of the natu-

ral and of the artificial environment and to commu-

nicate about those situations. On the other hand, ma-

thematics is a system of concepts, algorithms and

rules, embodied in us, in our thinking and doing; we

are subject to this system, it determines parts of our

identity.

Ronald Fischer (1993)

Figura 9.1 – Clasificación de adinkras en física – Basado en Sylvia Naples (2009: 61, 62).

Si usted busca información en la Web (en Wikipedia, pongamos) sobre una clase parti-

cular de glifos llamados ‘grafos adinkra’ los servicios de desambiguación podrían indi-

carle que el término se refiere a dos sistemas conceptuales diferentes. Por un lado están

163

los símbolos adinkra desarrollados por los Ashanti de Ghana y fluctuantemente redescu-

biertos y reolvidados por viajeros, exploradores, antropólogos y turistas desde por lo

menos 1817 (Bowdich 1819 ; 1821: lám. e/38-39 ; Rattray 1969 [1923]; 1927: 264-

266; figs. 9.2, 9.10 y 9.11 más abajo); por el otro se encontrarán los símbolos adinkra

utilizados como forma de representación de algunos de los conceptos más difíciles de

entender en las nuevas teorías avanzadas de la supersimetría –la supergravedad– prerre-

quisitos para comprender la teoría de cuerdas, el intento más poderoso de unificar la

gravedad con la mecánica cuántica a través de una igualmente compleja teoría de la

representación supersimétrica en la segunda década del siglo XXI (Fig. 9.1 y Naples

2009).

Figura 9.2 - Adinkras según Thomas Edward Bowdich [1791-1824] – British Museum, Af1818,1114.23. Nótese que en esta pieza antigua falta el importante símbolo Sankɔfa. En su lugar se encuentran otros

15, incluyendo Nsoromma (estrellas) y Dono Ntoasuo (tambores dono dobles) al lado de diversas cruces. Contrástese con panel textil de Tukapu peruano, pág. 137 más arriba.

Tanto en los adinkras folk como en los científicos lo primero que salta a la vista son sen-

dos conjuntos de elementos y de relaciones entre ellos, aplicaciones ambas de la ubicua

teoría de grafos utilizada ahora en funciones tanto representacionales como gramatoló-

gicas, comportándose en ambos casos, visiblemente, como grupos de transformación.

Ahora bien, un grupo no es tanto un conjunto de elementos como un conjunto de “ope-

radores”. La noción de un grupo de esta clase ya se usaba a principios de la década de

1830 en los trabajos de Évariste Galois [1811-1832], el precoz fundador de la teoría de

164

grupos, pero recién en 1840 el matemático británico Arthur Cayley [1821-1895] propor-

cionará una definición útil: un grupo (dice Cayley) se define mediante la ley de compo-

sición de sus miembros, un elemento de juicio que creo haber aclarado e ilustrado antro-

pológicamente en mi añosa crítica del abuso del concepto de grupo de transformación

en el análisis de los mitos propuesto por Claude Lévi-Strauss, crítica a la cual (excep-

tuando a Leopoldo Bartolomé) nadie entendió cuando la propuse pero a la que el tiempo

le ha dado la razón (cf. Reynoso 1990 ).

Aclaremos el punto para que la idea no se siga desgastando: dada la infinidad de los ele-

mentos semánticos básicos y la indeterminación de las relaciones mutuas no hay posibi-

lidad material de aplicar la teoría de grupos al análisis estructural del mito;50

dado el

carácter finito y sistemático de las operaciones sintácticas fundamentales no hay más

que teoría de grupos en la estructuración de las simetrías de la virtual totalidad de las

culturas otras (cf. Horne 2002). Vale la pena en este punto reproducir tres párrafos de

uno de mis primeros artículos de crítica antropológica escrito en 1986:

Para Lévi-Strauss los mitos, las variantes de los mitos, y en rigor toda la mitología que lo

ocupa, conforman lo que en matemática se denomina un "grupo de transformación". Ciertos

conjuntos míticos dentro suyo, además, se ordenan como si se trata de un tipo específico de

grupos llamados "grupos de Klein", incluyendo un tema, el contrario del tema y sus inversa

(1983: 586-587). En esta referencia a la alta matemática y en su apertura hacia términos

tales como "operadores" y "jerarquías", encuentra Lévi-Strauss el fundamento totalizador y

vertebrante de todo su análisis y el pretexto para presentar su estructuralismo como

mediador entre una antropología hasta allí disciplicente y el futuro modo de certidumbres

de la ciencia.

Ninguna de estas metáforas, por desdicha, puede sostenerse en pie, ni aun suponiendo que

las categorías lévi-straussianas cuya destrucción lógica hemos cumplimentado sean lo que

en realidad deberían ser. Veamos, por empezar, como se define, elementalmente, un grupo.

Un grupo puede ser finito o infiito: el sistema de los números enteros constituye el caso

más nítido de los grupos infinitos. Para que un sistema sea grupo, debe definirse un

conjunto de elementos con una operación, de manera tal que al efectuar una operación entre

los elementos, el resultado constituya un elemento del mismo grupo. Toda la matemática de

los grupos exige el mantenimiento de tres reglas. En primer lugar, el conjunto debe

contener un "elemento neutro", de modo tal que al efectuar una operación entre éste y

cualquier otro elemento, el resultado sea igual a dicho elemento. Para el conjunto de los

números enteros y la operación de suma, el elemento neutro es, naturalmente, el cero; para

ese mismo conjunto y la multiplicación, en cambio, el elemento neutro es el [número] "1".

La segunda regIa exige que para cada elemento del conjunto tiene que existir en el conjunto

su inverso respectivo, tal que la operación de un elemento por su inverso y luego la conmu-

tación de ésta sean iguales. Finalmente, la operación establecida debe ser asociativa.

Desde todo punta de vista, los mitos no forman un grupo de transformación, y ello por tres

motivos. En primer lugar, porque la obsesión opositiva de Lévi-Strauss no he previsto la

50

El hecho de que haya “más clases de cosas que cosas, aun cuando las cosas sean infinitas”, involucra un

constreñimiento para cualquier axiomática desde Georg Cantor [1845-1918] en más. Dado un mitema en

el plano sintagmático, entonces, no hay modo de asignarlo unívocamente a una sola clase paradigmática

en solo dominio semántico. El sintagma ‘carne’ no puede ser entonces imputado émicamente al paradig-

ma ‘naturaleza’, ni ‘atuendo’ clasificado automáticamente como ‘cultura’. El mismo Lévi-Strauss (como

lo ha señalado Dan Sperber) ha asignado, en distinta circunstancias, un mismo mitema a una colección de

clases distintas.

165

existencia de un elemento neutro, ni se puede imaginar uno. En segundo, porque la doble

oposición binaria, al no operar sobre un eje invariable, no restablece indefectiblemente un

elemento igual al originario. Y en tercer lugar (y esto es lo más definitorio) porque los

mitos, en tanto elementos de un grupo, no se constituyen solo mediante sucesivas

oposiciones binarias, sino que también y primordialmente se construyen sobre un eje

sintagmático, como secuencias lineales, mediante una operación no declarada en la

definición del grupo (Reynoso 1986).

Mientras que con anterioridad un grupo finito se entendía como un grupo de permuta-

ciones, Cayley probó que podía entenderse como un conjunto asociado a una operación

binaria que satisface ciertas reglas, prueba a partir de la cual se gestó la teoría de las re-

presentaciones, lo que permite tomar cualquier elemento del álgebra abstracta y mapear-

la sobre una estructura similar más familiar o mejor conocida. Un vistazo a la figura 9.2

complementada con una experiencia de modelado en el Adinka Grapher de Ron Eglash,

en Adinkramat de Gregory Landweber y en nLab Adinkra alcanza para comprender la

análoga composicionalidad de ambos grupos y el poder clarificador de los homorfismos

entre ellos (cf. Carter 2009: 159-192; Landweber 2010; cf. fig. 9.3b más abajo).

Figura 9.3 – Adinkra Nkɔnsɔnkɔnsɔ reflejado y rotado.

Según Nigel Langdon (1989: 178).

Lejos de mí pretender que a los etnogeómetras y a los antropólogos con inclinación cog-

nitiva les resulte sencillo incorporar el concepto de grupos de transformación más allá

de las simetrías que hemos revisado en el capítulo §4 (pág. 69 y ss). Quien se deje llevar

por las sonoridades didácticas embusteras y transgresoras de los “cuadrados mágicos”,

los “dessins d’enfants” (= dibujos infantiles), las cosmologías multifractales del “queso

suizo empaquetado” o las “curvas de Origami” que orbitan en torno a los conceptos

sígnicos pronto se verá decepcionado. Pese a estos artificios de denominación amigable

y falsa simplicidad, estas álgebras pueden llegar a ser (doy fe de ello) casi impenetrables

para el no iniciado; tal como lo he sufrido y lo sigo experimentando, su curva de apren-

dizaje se encuentra entre las más empinadas de todas las matemáticas (cf. Mureika y

Dyer 2005 versus Marcolli 2017). Lo que sí cabe recuperar de ambos conjuntos de ideas

es el uso de grafos como herramientas relacionales y la captación de importantes ana-

logías entre ambos sistemas de adinkras como primer paso para complementar nuestro

166

entendimiento de los grupos de transformación y para comprender cuan lejos estábamos

de dominar estos conceptos algebraicos cuando Lévi-Strauss (apañado por André Weil,

Jean Petitot y otros bourbakianos que simpatizaban con los matematismos cuasi lacania-

nos del proyecto estructuralista) fingía aplicarlos para la comprensión de la estructura de

los mitos. Los adinkras se han revelado imprescindibles en los niveles más encumbra-

dos y en las inflexiones más críticas de ambas ciencias, pero eso no significa que las

ideas vayan a resultar más transparentes de aquí en más para cualquiera que pase por ahí

llevado por una lectura casual; por el contrario, creo que el entrecruzamiento de ambos

sistemas adinkraicos nos servirá para ponderar el tejido relacional que atraviesa el con-

junto de las tranformaciones estructurales y que hace que todo conjunto de símbolos,

todo “alfabeto”, por facilitador que aparente ser, configure efectivamente un sistema.

Nadie que no haya asimilado las ideas de Ferdinand de Saussure hasta el tuétano puede

aspirar a comprender algo de todo esto.

Sumidos en el olvido los reportes de aventureros y traficantes victorianos y almacena-

dos en las reservas técnicas las piezas de museo, en la antropología, en la etnoeducación

y en la etnogeometría en general hubo un momento en que los adinkras africanos desa-

parecieron de la escena académica y se redescubrieron como objeto de estudio recién un

siglo más tarde. En African fractals, por ejemplo, Ron Eglash (1999) se ocupa por-

menorizadamente de las telas kente pero no trata en absoluto de los adinkras de los A-

kan de Ghana y de los Gyamen de Costa de Marfil excepto en lo que se refiere a las

curvas y espirales logarítmicas en las representaciones simbólicas pre-coloniales que

simbolizaban el crecimiento orgánico (cf. fig. 1.4 más arriba).

Figura 9.3b – Adinkra N=16 con 128 bosones y 128 fermiones.

Dibujado por Gregory Landweber (2010) con Adinkramat.

Cinco años más tarde, en Ethnomathematics and education in Africa, Paulus Gerdes

(2014b) se refiere a los adinkras tangencialmente, llamándolos por su nombre pero en

tres únicas ocasiones, comentando trabajos previos de Daud Sutton (1986: 240), de La-

belle Prusin (1986) y de Nigel Langdon (1989: 178). En este último trabajo Langdon

167

había documentado que la División de Educación de Maestros del Servicio de Educa-

ción de Ghana (Módulo 23) utiliza adinkras bien conocidos (como el Nkɔnsɔnkɔnsɔ)

para ilustrar nociones de simetría y rotación, una intuición que ilumina tanto las opera-

ciones básicas de los isomorfismos de la simetría en la cultura como los usos concep-

tuales de los adinkras en la física. En su referencia circunstancial al trabajo de Prussin

(una autora muy discutida, incidentalmente, por su asertividad y por su caprichosa ges-

tión de una evidencia plagada de sobreentendidos para adeptos) Gerdes solamente

asienta que los motivos de los estampados adinkra, “asociados con el Islām”, se utilizan

tanto en las telas como en la arquitectura (Gerdes 2014b: 196; Prussin 1986: 240; Bour-

dier 2009). En las varias ediciones de Africa counts (1991 [1979]) de Claudia Zaslavs-

ky, D. W. Crowe menciona al pasar a los ‘adinkira’ de los Ashanti equiparándolos a los

bokolanfini o bògòlanfini de los Bamana o Bambara de Mali pero sin agregar mucho

detalle al respecto.51

Es extraño que Ron Eglash (1997b; 1999) se expanda sobre el arte

adivinatorio de los Bamana pero no mencione esa clase de telas, algunos de cuyos ejem-

plares son manifiestamente fractales. Ni Gerdes ni Prussin ni Eglash ni nadie cuyos

trabajos haya leído ha siquiera identificado o descripto los sistemas glíficos islámicos

que estarían en la base de los adinkra africanos o de sus manifestaciones afines.

En antropología y en las ciencias sociales los adinkra recién recibirían tratamiento (es-

pectacularmente, a decir verdad) en el provocativo artículo de William Babbit, Michael

Lachney, Enoch Bulley y Ron Eglash (2015) en el cual, curiosamente, los autores no

toman nota de la existencia de los glifos adinkraicos de la teoría física ni tampoco de los

sistemas o “alfabetos” de símbolos descriptos por los antiguos exploradores europeos y

almacenados en los museos coloniales, en el British Museum más protagónicamente

que en cualquier otro, no todos los cuales califican como adinkras.

Esenciales respecto de los adinkra de la física son los textos de Babbitt, Eglash & al.

(2015), el de Erik Seeman (2010), el de Sylvester James Gates, Marcus T. Grisaro, Mar-

tin Roček y Warren Siegel (2001 [1983]) y los de Doran, Gates y otros (2008; 2018)

junto a por lo menos dos páginas que he editado profusamente en Wikipedia, en la se-

gunda de las cuales hasta los científicos más adustos reconocen sumariamente la prece-

dencia etnográfica de la idea, haciendo reaparecer las mismas formas de representación

que hemos visto en otros estudios a propósito de los mapas cognitivos y los sistemas

geográficos de posicionamiento y navegación que dieron lugar a los modernos GPS y

que aquí revisaremos un minuto antes de las conclusiones (cf. Reynoso 2010a y pág.

193 más abajo).

Sumando algunas referencias sustanciales de la física de vanguardia que a veces pare-

cerían situarse al borde de una abducción incontrolada –parecida a la que animó mis pa-

ralelismos juveniles entre Buddhismo Tántrico y Psicoanálisis Reichiano (Reynoso

1981)– vale la pena interpelar los isomorfismos emergentes entre los grafos que juegan

un papel tan esencial en la vida cultural de las nombradas sociedades africanas y los

51

Sobre esta tela de ornamentación geométrica que hoy se produce industrialmente véanse los estudios de

Imperato y Shamir (1970), Donne (1973), Rovine (1997), Toerien (2003) y Hilu y Hershey (2005).

168

grafos científicos homónimos sin los cuales las dinámicas implicadas en la teoría de la

supergravedad a duras penas podrían ser objeto de divulgación. Ambos grafismos son

fundamentales por cuanto proporcionan una comprensión de los códigos de información

y del cuadro de sus similitudes, contrastes y grados de libertad que no sería accesible

por medios no visuales. Urge llamar la atención sobre el hecho de que fueron los físicos

de avanzada (y no una gavilla de antropólogos excedidos de imaginación) los primeros

en desvelar los isomorfismos entre unos y otros adinkras. Debe señalarse que S. James

Gates (él mismo afroamericano, como se dice ahora) no ha sido un divulgador enrolado

en teorías extravagantes como la sincronicidad jungiana, el simbolismo iniciático de Re-

né Guénon o la tensegridad de Carlos Castaneda sino que tiene en su haber un nutrido

currículum de excelencia poco inclinado a dejar que el pensamiento se salga de cauce.

Como reza su hoja de vida virtual en la División de Investigación de la Universidad de

Maryland desde donde se accede a su Website personal y a su CV:

S. James Gates is Toll Professor of Physics and Director of the Center for String and Parti-

cle Theory at the University of Maryland in College Park. He serves on President Obama's

Council of Advisors on Science and Technology.

La especialización más reciente de este estricto contemporáneo mío se concentra en los

símbolos adinkra como representaciones razonablemente adecuadas de álgebras super-

simétricas. Aunque Gates procuraba hasta hace poco no verse atrapado en la tentación

especulativa de imaginar isomorfismos ocultos, ha llegado a formular lo siguiente:

La palabra ‘adinkra’ es de etimología Africana occidental, y originariamente se refería a

símbolos visuales creados por el pueblo Akan de Ghana y por los Gyamen de Costa de

Marfil para representar conceptos o aforismos. Sin embargo, los adinkras matemáticos que

estudiamos sólo se vinculan a esos símbolos africanos por su nombre. Aun así, debe reco-

nocerse que, al igual que sus antecesores, los adinkras matemáticos también representan

conceptos que son difíciles de expresar en palabras. Más enigmáticamente, puede que ellos

contengan incluso la intuición de algo más profundo, incluyendo la idea de que nuestro

universo podría ser una simulación de computadora [o un código fundante del campo de la

información], como en los films de Matrix (Gates 2010).

Llama la atención la cantidad de veces en que Gates (2008; 2009; 2010; 2012) establece

las relaciones entre los adinkras etnográfios y los supersimétricos desde los mismos títu-

los de sus ensayos. Al final del día los adinkra permiten transformar las álgebras com-

plejas en una especie de “juego” comparable a los juegos de cuerdas, al cubo de Rubik o

a cualquier otro juego que se le haya podido ocurrir a gente tan lúcida como Ludwig

Wittgenstein.

Antes del 2005 las álgebras supersimétricas por supuesto ya existían, pero las formas de

representar los conceptos, sus relaciones y sus transformaciones recíprocas no habían

cuajado aun en una formulación aceptada, o por lo menos útil a los fines de la comuni-

cación interdisciplinaria. A fines del siglo pasado e incluso a mediados de la primera

década de este siglo, los códigos de representación existentes, en otras palabras, no eran

los que se estaban necesitando. El estado de avance de esta región de la ciencia dejaba

mucho que desear. De este lado de la divisoria, nuestras disciplinas aburrían a las demás

dando por cerrado uno de los problemas capitales sin intentar resolverlo y repitiendo el

169

mantra de que estábamos experimentando nada menos que la crisis de la representación,

un lugar común que se repite como un mantra por poco que haya un vacío en el flujo de

la inspiración pero que nadie de cuarenta años a esta parte ha sabido precisar en qué

consiste y quién tiene la culpa de que suceda (v. gr. Ebert 1986; Noth 2003; Petersen

2014).

La ciencia clásica, cerrada sobre sí misma, no ayudaba demasiado. A principios de este

siglo no había por ejemplo mención de los adinkras etnográficos (ni tampoco de los

físico-teoréticos) en el espléndido Superspace (Gates y otros 2001). Apenas una década

más tarde la situación es otra (v.gr. Gates 2008; 2009; 2012; Mukhopadhay y Roth

2012); de todos modos, el ensayo que se está leyendo (y que estoy escribiendo desde

octubre de 2017) es el primero en toda la etnogeometría en que se hace hincapié en las

comunidades entre ambos sistemas de representación geométrica desde la perspectiva

de las ciencias sociales. Mi idea es que si han sido los científicos duros los que debieron

acercarse a objetos trabajados en las ciencias blandas como única opción a la mano, es

posible que todavía tengamos algo valioso que decir sobre sistemas cognitivos represen-

tacionales construidos como grupos de transformación y sobre objetos de estudio consti-

tutivamente geométricos a los que no hemos concedido todo el esfuerzo que su eluci-

dación merece. Antes había pasado exactamente lo mismo con nuestro concepto de re-

des sociales; tuvo que ser gente de la estirpe del matemático Albert-László Barabási

(2003) la que nos revelara, a la luz de la World Wide Web, que la vieja intuición que

habíamos tenido medio siglo atrás (inseparable de una constelación de otros conceptos

que también habían sido nuestros al principio)52

había sido una ocurrencia genial.

Figura 9.5 – Izq.: Carbono fullereno C60 – Modelo ejecutado por el autor en Group Explorer 2.2.

Der.: Pelota de sépak takráw de Malasia según Gerdes (2011b: 60). Leonardo dibujó figuras iguales a las del modelo (cf. R. A. Taylor 1928; Darvas 2007: 379)

52

El efecto de los pequeños mundos o los “seis grados de separación”, el efecto San Mateo, el attachment

preferencial, el efecto de las alas de mariposa y las distribuciones de Pareto, Zipf y Richardson, entre

otros (cf Reynoso 2011a).

170

Todavía está por elaborarse el tratamiento geométrico estricto del llamado alfabeto de

adinkra (figs. 9.10 y 9.11) en tanto sistema de transformaciones y contrastes entre sus

elementos más allá de las resonancias analógicas de su semántica y de sus constreñi-

mientos iconológicos. Imagino (aunque esto no es más que una hipótesis de trabajo dé-

bil y provisoria) que entre los elementos del conjunto median relaciones que maximizan

sus diferencias preservando la simplicidad componencial y la pregnancia y adecuación

mnemónica de las figuras individuales y, sobre todo denotando, connotando o sugirien-

do formas comunes en la percepción de la vida cotidiana y en la conceptualización ani-

dada en (o inherentes a) las prácticas sociales.

Figura 9.6 – Buckminster Fuller enseñando en el peculiar Black Mountain College, Carolina del Norte.

El domo que se muestra en la foto alterna patrones teselados con elementos penta y hexagonales, igual que los teselados de Kaplan (2002; 2009) o que las cestas de Gerdes (2011b: 60 y ss.).

Basado en Motro (2012: loc.cit.). Euclideanos, terraplanistas y aplanadores (como Mercator y Fiadone) abstenerse: esta alternancia es sólo posible en superficies o espacios de curvatura positiva.

Un conjunto de raros pensadores evolucionarios y neurocientíficos de Caltech en

California y Kanagawa en Japón con los que he dado hace ya algún tiempo (Mark

Changizi, Qiong Zhang, Hao Ye y Shinsuke Shimojo) ha alentado la aplicación de estas

pautas a la comprensión de alfabetos, repertorios glíficos y gramatológicos y colec-

ciones de diseños de funciones semiológicas equivalentes. La de ell@s es una conjetura

adaptativa que ordena un poco el zoológico de los diseños geométricos posibles y que

(considerando el tiempo que los antropólogos de la vanguardia humanista y pos-hu-

manista han perdido con la autopoiesis, las estructuras disipativas, la genidentidad y la

ecuación de Kurt Lewin, la fórmula canónica del mito, el segmento áureo, la fractalidad

mal entendida, el pensamiento complejo moriniano, las lecturas sensibilizadoras de la

teoría de catástrofes y otros espejismos seudoformales que por suerte están esfumándose

171

del cuadro de las modas contemporáneas) merece investigarse hasta que venga otro

modelo mejor que la suplante, lo cual ocurrirá ineluctablemente, seguramente pronto,

más temprano que tarde (cf. Changizi y Shimojo 2005; Changizi y otros 2006; Reynoso

2010b). El razonamiento fundamental en las exploraciones emprendidas por el equipo

de investigación de Changizi, tal como lo veo, es que el diseño de los elementos que

conforman un sistema gramatológico (sea éste alfabético, silábico o pictográfico) es

incumbencia de una geometría cognitiva que ha avanzado más en la última década que

en todo el siglo precedente pero a la que todavía le falta mucho para ponerse a la altura

de la idea.

En una línea de investigaciones semejante a la de Changizi y sus colegas, la Fundación

Bradshaw está impulsando a la fecha una serie de estudios sistemáticos concentrados en

la transición entre las más antiguas marcas geométricas del llamado arte paleolítico y

los primeros sistemas de escritura que he traído a colación en el capítulo introductorio

(cf. Moqaddam S/f; von Petzinger 2011; cf. pág. 31). Todos están, de hecho, embar-

cados en la búqueda de nuevos alfabetos y de nuevas claves y a veces les tientan los pla-

ceres de la presunción sin riesgos.

No todas las metáforas que desde nuestras disciplinas apuntan a ciencias durísimas co-

mo ésas que estuve revisando en los capítulos precedentes están destinadas a darnos

vergüenza en el mediano y largo plazo. Aun cuando buena parte de la literatura sobre

los adinkras, la tensegridad arquitectónica, los signos pre-gramatológicos o los fullere-

nos se sale frecuentemente de control, no caben dudas de la solidez de los fundamentos

geométricos de la práctica ni de su naturaleza y linaje transparentemente emic. En un

artículo titulado “Adinkra symbols” escribe nadie menos que Ron Eglash:

Uno de los aspectos más interesantes del diseño de Adinkra es cómo los símbolos incorpo-

ran elementos de geometría. Los estudiantes pueden disfrutar aprendiendo cómo pronunciar

las palabras Twi que representan cuatro posibles transformaciones geométricas: adane (ah-

DAWN-eh) significa "imagen invertida" o reflexión; ketowa (KET-wah) y keseye (ke-SEE-

yah) significan "más pequeño" y "más grande" y se relacionan con la dilatación, que puede

ser un cambio de tamaño en cualquier dirección; ntwaho (en-TWA-hoe) es la palabra para

"girar" o rotación; y twe (TWEE) es la palabra para "tirar de un objeto" que se relaciona con

la traslación (Eglash 2014).

Saber que los hablantes de Twi han asimilado la nomenclatura exacta que sirve de base

al análisis de simetrías basado en transformaciones isométricas es una noticia importan-

te, aunque deja a Ron Eglash descolocado en su oposición al enfoque etic que él (equi-

vocadamente) cree proveniente de una cristalografía que siempre dependió en realidad

de insumos multidisciplinarios, sin excluir a los que se originan en ciencias parecidas a

las nuestras (cf. Eglash 2001; 2006: 349 versus Fré 2018: 87-88).

El artículo de Eglash forma parte de un proyecto colectivo titulado Math is a verb y vie-

ne acompañado de una fina pieza de software (el Adinkra Grapher) para modelar grafos

adinkra que admite comparación con los diseñadores científicos de grafos adinkraicos

como nLab (iniciado en febrero de 2017). Eglash había nombrado los adinkra algunos

años antes pero demoró hasta el 2014 para componer una pieza de software, ignorando

(hasta hoy, según creo) que hay otros adinkra aparte de los que ocasionalmente mencio-

172

na la etnografía o la antropología del turismo (cf. Eglash 2010). Lo importante es que el

sistema de adinkras (aunque sus signos superan el máximo de tres trazos por unidad

establecido por Mark Changizi) se comporta como un grupo de tranformación que está

más al borde de constituir una escritura cabal que otros repertorios de símbolos geomé-

tricos conocidos como los glifos de la cultura del Indo en Harappa y Mohenjo Daro, los

signos rupestres de von Petzinger, los cientos de scripts y sistemas de picture writing

indígenas de los Estados Unidos recopilados por Garrick Mallery o la alguna vez famo-

sa “escritura” rongorongo de la Isla de Pascua (cf. Mallery 1888-1889; Mato 1987; Dzo-

bo 1992: 89-94; Willis 1998; Fianu 2007; Danzy 2009; Eglash 2010; 2014; Boateng

2011; 2014; Frimpong, Asinyo y Amankwaah 2013; Rimpsey 2013; Aboagyewaa Ntiri

y Mintah 2016; Adom 2016; Adom, Asante y Kquofi 2016; Kuwornu-Adjaottor,

Appiah y Nartey 2016; Aboagyewaa Ntiri y Kemevor 2018; Owusu 2019; Mobley S/f).

Lejos de ser una herencia intangible ya difunta, el sistema de adinkras en Ghana está

siempre generando símbolos nuevos para los artefactos de la tecnología y las innovacio-

nes del ambiente construido; los diseñadores de la generación Y han agregado símbolos

para Volkswagen (# 738-739) y para Toyota (#742-743), la televisión, el puente Sen-

chi/Adomi y la Mercedes-Benz (# 740-741). Una vez que se integra al sistema de adin-

kras, el símbolo de la Mercedes-Benz, por ejemplo, y que es el mismo que conocemos

todos, pasa a significar más bien ‘poder’ y ‘prestigio’ (cf. numeración de G. F. Kojo

Arthur 1991-2001: s/n°).

Los símbolos adinkra también se han extendido desde la década de 1960 a los cultos

cristianos de Ghana y de otros países (católicos, pentecostales o metodistas) a raíz de

sus incuestionables potenciales comunicativos. Se han documentado docenas de igle-

sias, templos y hasta catedrales africanas que exhiben adinkras en su arquitectura; unos

cuantos símbolos ( Gye Nyame, fihankra, mmusuyide, Nyame biribi wᴐ soro, funtumfu-

nafu, dεnkyεmfunafu)53

han sido incorporados recurrentemente al culto y a la arquitectu-

ra cristiana en Ghana desde hace ya medio siglo (Quarcoo 1968; Niedźwiedź 2012; Os-

som-Bata y Apaah 2018). También están comenzando a estudiarse las simetrías inheren-

tes y los modelos matemáticos característicos de estos sistemas simbólicos. Un artículo

escrito por (aparentemente) Abibitumi Kasa suministra la clasificación de todos los gru-

pos de simetrías rotacionales a los que pertenece el repertorio del libro de A. F. Kojo

Arthur Cloth as Metaphor, un texto particularmente difícil de conseguir que incluye el

detalle de nada menos que 719 simbolos adinkra, muchos de los cuales son variantes o

manifolds de otros, como bien cuadra a los miembros de grupos de transformación (Ar-

thur 1999-2001; Kasa 2010).

Es mi conjetura que si alguno de los científicos hoy involucrados en la supersimetría y

áreas conexas recibiera el Premio Nóbel, en el estado actual de la comunicación digital

la noticia sobre los adinkra etnográficos y el nuevo insight que se ganaría sobre lo que

Dan Sperber llamaba el simbolismo en general alcanzaría finalmente estado público en

53

No estaría de más que el lector busque cada uno de los nomencladores con algún navegador de la Web.

Comprobará, seguramente, que hay un universo de referencias adinkraicas allá afuera.

173

las primeras planas de los diarios del domingo o en los suplementos periodísticos de

divulgación científica. Ya se están avanzando pasos en esta dirección, instalando el te-

ma de los adinkras en física al filo de lo que parece degenerar en una nueva polémica

indecidible, si es que no en una forma nueva de charlatanería. Es notable que esto suce-

da en el lado “duro” de la división entre las ciencias, aunque esto no es más que lo que

cabría esperar.

De unos pocos años a esta parte, en efecto, corre el rumor de que el propio Sylvester

James Gates Jr ha encontrado código de computación de corrección de errores en el se-

no de la teoría de las supercuerdas, como si un universo ahora definitivamente holográ-

fico y virtual obedeciera a un diseño inteligente que incluye sofisticados módulos adap-

tativos de auto-control y auto-organización compleja.54

No hace falta más que un leve

empujón para que algún antropólogo exaltado añada a este rumor (que Gates mismo no

se ha esforzado en refutar) elementos que alimenten la hipótesis de que a través de su

sistema de adinkras los Ashanti poseían las claves profundas de la teoría del todo con-

temporánea, biología molecular y genómica incluidas.

Figura 9.7 – Construcción iterativa de un iglú según Graham Rowley (1938: 111). Las piezas son trapezoidales y se van acumulando en forma de espiral ascendente en giro contrario a las agujas del reloj sacando bloques del interior de la vivienda.

De una manera u otra, cabe recuperar la idea de que los diseños operados por actores

que alguna vez soportaron ser llamados primitivos o salvajes por una antropología que

se creía inteligente inspiraron numerosas ideas de la ciencia y la tecnología occidental;

esto es sin duda preferible a que nos aferremos a la doctrina inversa. Después de todo,

fue muy temprano en su trayectoria de investigación que Paulus Gerdes se decidió a

conectar (a) la geometría de una técnica peculiarmente africana de geometría usada en

el tejido de cestas con orificios pentagonales y hexagonales con (b) la geometría cris-

talizada de la molécula de carbono fullereno C60 y en su forma más abundante en la na-

turaleza, el buckminsterfullereno de 20 hexágonos y 12 pentágonos (Gerdes 1999a: 110-

125; 1999b; 2007: 70-76; fig. 9.5; Ladd 2014: 113). Ésta es precisamente la estructura

de una nueva forma estable del carbono descubierta en Occidente tan tarde como en

1985 por Robert F. Curl, Harold W. Koto y Richard E. Smalley, autores laureados con

el premio Nóbel de Física de 1996 por obra de este descubrimiento (Powell 2015: 31).

54

Hay un tropel de videos (algunos de ellos cabales largometrajes) que abonan esta hipótesis en

https://www.youtube.com/playlist?list=PLJ0S88eyUTlY2ETqJpQfCFPyxC4BF-uba.

174

En su artículo de referencia y en otras publicaciones próximas, los mencionados Curl,

Koto y Smalley observaron que el C60, visible en los espectrómetros de masa, tendría la

estructura molecular de un icosaedro truncado, oficiando como una especie de artefacto

de Kekulé que permitía pensar las ideas así representadas de una manera clara y simple.

El icosaedro es una figura volumétrica que posee 60 simetrías rotacionales. La posibili-

dad de existencia de tales moléculas estructuradas había sido predicha por el químico

computacional japonés Eiji Osawa (1970) en un apreciado artículo sobre superaromati-

cidad que después de casi medio siglo todavía circula entre los conocedores; pero fue-

ron aquellos tres los autores que confirmaron la conjetura y se llevaron el mérito. Antes

del fullereno, las dos únicas moléculas estables y cristalinas de carbono eran el grafito y

el diamante; después de él se han encontrado o sintetizado muchas más, cada cual con

su conjunto de propiedades físicas antes impensadas.

Una vez más, las relaciones entre la simetría de volúmenes, el diseño en cestería de

diversas partes del mundo, la arquitectura de los domos geodésicos y la representación

en química son tan concretas que los paralelismos, isomorfismos, correspondencias y

heurísticas latentes ciertamente producen vértigo. Una vez más fue también Paulus Ger-

des, en un olvidadísimo artículo temprano, quien descubrió una valiosa pauta que co-

necta y quien nos proporcionó las referencias primarias para un conjunto de hallazgos

de los que todavía no he podido tocar el fondo y que ahora paso a referir.

Gerdes destaca, adecuadamente, que el fullereno C60 posee el nombre que lo identifica

por referencia al arquitecto heterodoxo Richard Buckminster Fuller [1895-1983], inven-

tor del nombrado domo geodésico. En una de las muchas anotaciones biográficas sobre

Fuller que escribieran ya sea su hija, la etnógrafa de la danza Allegra Fuller Snyder, o su

yerno, Robert Snyder, se aprecian fotografías en la que no faltan modelos geodésicos

como los que adornan las páginas de los artículos de Gerdes sobre cestería e incluso una

pelota del popular deporte del sépak raga malayo o el sépak takráw del sudeste asiático

similar a la que se muestra más arriba en la figura 9.5. Esta figura pertenece a un tipo

que Buckminster parece haber usado como fuente de inspiración para su domo y para

las pelotas de fútbol que desde entonces se llaman bucky balls (Fuller y Applewhite

1975; Fuller 1981: 13; Edmonson 1987: 233; Di Carlo 2008; Motro 2012: fig. 4; Gerdes

1998; 2015 y figuras 9.5 y 9.6).55

Huelga decir que la pelota usada en el sepak –un deporte hoy masivo e integrado a las

olimpíadas regionales, pan-asiáticas e internacionales– es de una antigüedad considera-

ble aunque hoy por hoy difícil de calcular; según Fuller se remonta a tiempos precolom-

binos, aunque la documentación que aporta es más bien magra. Su origen seguramente

se encuentra en técnicas textiles y de cestería en contextos tribales que quizá no sean tan

55

Los domos geodésicos de Fuller lucen similares a la estructura del C60, lo cual es un poco confuso. Lo

que sucede es que los domos se construyen dividiendo los pentágonos y hexágonos en triángulos y defor-

mándolos un poco moviendo los vértices radialmente para coincidir con la superficie de una esfera. Véase

la definición oficial en las páginas de la R. Buckminster Fuller Collection en la Universidad de Stanford.

Sobre las pelotas que alternan hexágonos y pentágonos recomiendo consultar este notable portal.

175

arcaicos, adánicos y primordiales como Fuller pretende, pero que son muy anteriores a

la actual industria en la cual estos artefactos han ganado reconocimiento mediático.56

De hecho las cestas origámicas de este tipo abundan en culturas dispersas en todas par-

tes del mundo. Con su acostumbrada erudición Gerdes lo documenta así:

The same hexagonal basket-weaving technique has been used in several other regions of

Africa and the world […]. In Madagascar fish traps and transport baskets are made using it.

In Kenya it is used for making cooking plates, and among the Pygmies (Zaire) for carrying

baskets, as well as among various Amerindian peoples in Brazil (Ticuna, Omagua, [Pukó-

bye], etc.), Ecuador (Huarani), and Guyana (Yekuana). The Micmac-Algonkin Indians of

Canada use it for their large eastern snowshoes, as do Eskimos in Alaska. In Asia the use of

the hexagonal basket-weaving technique is well spread, from the Munda in India, the Kha-

Ko in Laos, to Malayasia, Indonesia, China, Japan, and the Philippines.

Artisans all over the world discovered that if they use this open hexagonal weave to produ-

ce a basket, they have to "curve" the faces at the basket's "corners." They found that this

can only be done by reducing the number of strands at the corners, and so they weave

corners with pentagonal holes […]. Figure 4 displays such a pentagonal hole surrounded by

five hexagonal holes. The extreme situation would be a "basket" consisting of pentagonal

holes only. This happens with the Malaysian "sepak raga" ball, which has twelve penta-

gonal holes (Gerdes 2003).

Hay muchas otras referencias en Gerdes (1997: 52-53; 2003: 22-23; 2010) y, natural-

mente, en la rica y atinente bibliografía que él recupera, a la que pocos de nosotros co-

nocíamos y a la que deberíamos darle una segunda oportunidad y consultarla de una

buena vez (cf. Faublée 1946: 28, 38; Grottanelli 1965: 8; Dunsmore 1983; Lane 1986;

Ranjan, Iyer y Pandya 1986; Turnbaugh y Turnbaugh 1986: 17, 19; Somje 1993: 96;

Meurant y Thompson 1995: 162).

En materia de estructura la pelota nombrada antes del último comentario es, incidental-

mente, un fullereno en plenitud. Entre los muchos textos antropológicos que le suminis-

traron ideas Gerdes también menciona uno del antropólogo alemán-colombiano Gerardo

Reichel Dolmatoff (o más exactamente Erasmus Reichel [1912-1994]), un autor que

algunos considerarán tristemente célebre y que volvió a la memoria colectiva hace unos

pocos años cuando en 2012 se reveló su filiación nazi y su militancia en las siniestras

SS (cf. Reynoso 2019b: Ap. §1). El ensayo etnográfico de Reichel es el titulado Bas-

ketry as Metaphor. Arts and Crafts of the Desana Indians of the Northwest Amazon, en

56

Por más que Buckminster Fuller (con su comitiva de hagiógrafos fervientes y detractores hostiles) pa-

rezca un personaje clonado del genoma de sabios como Lanza del Vasto, Gandalf o Rabindranath Tagore,

no hay que llamarse a engaño por las resonancias hippies, yuppies, góticas o new age de ciertas ideas su-

yas o de sus desarrollos en torno de la sinergética. Si vemos que por momentos sus razonamientos le lle-

van a hablar de entidades tales como (digamos) la tensegridad, recordemos que son las suyas (y no las del

antropólogo Carlos Castaneda) las ideas originales y que desde el inicio esas ideas se sustentan en un

cálculo ingenieril y en logros arquitectónicos de primera agua, de intrincados paralelismos con estructuras

presentes en el mundo etnográfico y de profunda influencia en la mejor arquitectura adaptativa del siglo

XXI (Eglash 1999 [ejemplos de triángulo de Sierpiński]; Motro 2003; 2012; Skelton y Oliveira 2009;

Zhang y Ohsaki 2015; Keats 2016). Jay Kappraff y otros en su misma línea consideran que Fuller ha sido

el fundador indiscutido de la Ciencia del Diseño (Loeb 2003; Kappraff en Fenyvesi y Lähdesmäki 2017:

vii). Excluyendo la contribución de Gerdes desde la etnomatemática, no conozco ningún autor encuadra-

do explícitamente en la antropología o la arqueología del arte que se haya ocupado de su obra alguna vez.

176

el cual no he sido capaz de percibir ninguno de los mensajes henchidos de conjeturas

que a veces se esconden entre las líneas de los estudios proclives a un simbolismo casi

oscurantista y sobresaturado de significación esotérica, una inclinación que impregna no

pocos de los escritos de Reichel pero de la que la obra de Gerdes está por completo

exenta (Reichel Dolmatoff 1985: esp. 77).

Figura 9.8 – Triángulo de Sierpiński en una casa de piedra en Mauritania (foto: Institute Fondamental

d’Afrique Noire, Dakar), triángulo de Yang Hui y detalle de la torre Eiffel. Basado en Ron Eglash (1999: 115) y en dos imágenes del Dominio Público.

Compárese con imágenes de Fabien Venna en este vínculo.

9.5, izq.). Como consecuencia del teorema de Leonhard Euler [1707-1783] sobre las

relaciones entre el número de vértices (V ), el número de aristas (A) y el número de

caras (C) en un poliedro convexo [V–A+F = 2], el número total de anillos pentagonales

en un fullereno (incluyendo las trampas para peces litenga de los artesanos Makhuwa de

Mozambique) debe ser siempre 12 (ver Malkevitch 2019).57

Las culturas, por salvajes que se las repute, se atienen a leyes de la forma geométrica de

las que apenas comenzamos a tener conciencia y que hacen tanto al efecto estético como

a la robustez y sostenibilidad física de los artefactos que ellas manejan. Algunas espe-

cies vivientes y unas cuantas de las culturas estudiadas por la etnogeometría contempo-

ránea y referidas en este libro se atienen a leyes vinculadas a la geometría fractal y a la

(bio)mecánica de la tensegridad (o a ambas a la vez) que a primera vista parecen violar

los principios cardinales de la mecánica, tales como la ley de Hooke, la ley del cuadra-

do-cubo de Galileo y la proporción de Poisson que nombro aquí desafiando al lector a

57

Recomiendo leer el artículo de Joe Malkevitch (2019) que hace referencia a éste, uno de mis teoremas

favoritos, conocido como “la fórmula de Euler” y vinculado en muchos sentidos al ulterior teorema de los

cuatro colores.

177

que investigue sus alcances. En un deslumbrante artículo sobre la nueva (bio)mecánica,

Stephen Levin (2006) demuestra espectacularmente que muchos seres vivientes violan

tales leyes de manera flagrante, manifestando capacidades extraordinarias de resiliencia,

auto-organización y sostenibilidad. En el curso de este libro hemos observado una y otra

vez que las culturas, incluso y sobre todo las de tecnología más engañosamente modes-

ta, llevan esa tenacidad mucho más hondo e incomparablemente más lejos. Un capítulo

entero de las ciencias y algoritmos de la complejidad que estoy estudiando y llevando a

la práctica desde hace 30 años (el algoritmo genético y otras metaheurísticas “inspiradas

en la naturaleza”) se sirven característicamente de las propiedades de optimización de

diversos procesos adaptativos naturales y culturales para los más diversos fines, geome-

trías visuales y musicales incluidas (cf. Reynoso 1991: 510-512; 2006; 2008b).

Por eso es que la presencia de los mismos patrones estables hexagonales ha sido regis-

trada en innumerables contextos y existen desde mucho antes de que el genio absoluto

de Euler descubriera por qué tenía que ser así:

Old cultural elements with a hexagonal form are found in geographical regions of the world

situated far from each other. For example, the Huarani (Ecuador), the Yekuana (Guyana),

and the Ticuna and Omagua Indians in northwestern Brazil make big carrying baskets with

hexagonal holes. The Pukóbye Indians in the northeast of Brazil interlace their headbands

hexagonally, just as the Micmac-Algonkin Indians of eastern Canada do with their snow-

shoes. In the northern coastal zones of Mozambique, one weaves hexagonally the fish trap

called lema and the carrying basket litenga. Cooking plates with hexagonal holes are plaited

in Kenya, as are ladles used in boiling fruits among the Desana Indians of the northwest

Amazon (see Somjee 1993: 96; Reichel-Dolmatoff 1985: 77).

In Madagascar, fish traps and transport baskets are woven hexagonally, just as the Mbuti

(Congo) plait their carrying baskets (see Faublée 1946: 28, 38; Meurant and Thompson

1995: 162). Hexagonally plaited baskets are also found among the Kha-ko in Laos (see

photo in Grottanelli 1965: 8), as well as in China, India, Japan, Malaysia, and the Philippi-

nes. On the island of Borneo (Indonesia), one meets hexagonally woven railings; and

among the Munda, in India, a bird trap is interlaced in the same way. Can we, perhaps, dis-

cover in the making of these woven objects one possible germ of the idea of a regular

hexagon? (Gerdes 2003: 23-24).

Igual que le sucedió en otras ocasiones, Gerdes se desmadra un poco cuando inserta una

insinuación etiológica evolucionaria que no estaba haciendo falta. Los Occidentales, de

hecho, dispusimos de la noción de hexágono regular durante dos mil quinientos años sin

que eso haya impactado en nuestras tecnologías para atrapar peces, hervir frutas, diseñar

raquetas o acarrear artefactos. De todas maneras, la inteligencia geométrica de las otras

culturas queda en perfecta evidencia, sin que los gaps lexicográficos o la falta de herra-

mientas formales parezcan haber significado algún detrimento.

No he sido capaz de encontrar muchas referencias equiparables a las suministradas por

Gerdes sobre la cestería precolombina de Argentina y Chile, pero dado que la técnica se

prolonga hasta el sur de Tierra del Fuego seguramente los materiales emergerán en

abundancia por poco que se busque, que es lo que aquí me limito a instar a que se haga.

Sólo planteando la pregunta adecuada (decía, según recuerdo, Hans-Georg Gadamer) se

178

encontrarán en los textos que se lean (o en los datos disponibles allá afuera) las res-

puestas que están haciendo falta.

Lo que está faltando en las elaboraciones científicas en torno de los fullerenos en parti-

cular y de las técnicas de cestería más o menos globulares es una concepción que lleve

las cartulinas con las que ilustraba sus casos Paulus Gerdes o el software ilustrador de

adinkras de Ron Eglash a una realización etnocomputacional más plena, como la que el

lector puede experimentar al jugar con grafos de Cayley y conjuntos algebraicos ya sea

con Jenn3D o con Group Explorer, en el camino a comprender mejor las representacio-

nes geométricas, los modelos y las metáforas, el nexo entre las propiedades, las funcio-

nes, los métodos constructivos, las formas y las dinámicas recursivas en las que las di-

versas geometrías están envueltas.

Otras estructuras geométricas que se encuentran en sociedades sin escritura y sin méto-

dos de cálculo explícitos son igual de sorprendentes. Un iglú, por ejemplo, es un com-

plejo domo teselado construido sin cálculos observables mediante bloques trapezoidales

irregulares que permanece en pie, contra toda probabilidad, porque sus fuerzas internas

están en equilibrio con sus cargas externas por más que la nieve que cae encima llegue a

sumar un peso mayúsculo. Para lograr ese equilibrio la forma del iglú es semi-parabó-

lica (no semi-circular como se cree) porque de ser otro el caso (y de no contar con re-

fuerzos especiales) la estructura colapsaría. Algunos sostienen que se trata más exacta-

mente de una forma catenoide parabólica de revolución con una relación óptima altura-

diámetro. Un profesional de la mecánica que entiende que el iglú es una forma suprema

de ingeniería geométrica lo explica de este modo:

The catenary, from the Latin for chain, is the shape assumed by a chain held only at the

ends. A modern example of a catenary in compression is the St. Louis Arch, Missouri,

USA. The equation for a catenary is derived in textbooks in engineering mechanics, and

may be written y = a(cosh x/a- 1) where y is the height to any point in the surface, x is the

horizontal distance to the same point, and a is a constant. The stresses in an inverted para-

boloid or catenoid are exclusively compressive; the latter has the additional advantage of

zero bending moment everywhere within the shell. Thus as the snow in a catenoid igloo

ages and undergoes compressive creep, the sides should not buckle (Handy 1973: 277).

Dado que los antropólogos y los geómetras de la academia no se han ocupado mucho

del asunto, debieron ser los ingenieros los que documentaran la dificultad del problema

y se asombraran por la rareza, la no-linealidad y el genio práctico manifiesto en su reso-

lución. Si se hubiera escogido otra forma de cúpula (esférica, por ejemplo, o hiperbóli-

ca) el iglú sería algo más inestable; con la opción elegida, por el contrario, se mantiene

sólidamente en pie durante todo el proceso de construcción, descargando toda la carga

en el piso. La mala noticia empero es que el estudioso que mejor lo describió pensara

que los Inuit habían llegado a semejante hazaña ingenieril “por ensayo y error”, que es

más o menos igual que decir que “encontraron” el resultado por un golpe de suerte.58

58

“The Eskimo igloo thus embraces a structural perfection arrived at by trial and error, without benefit

or prejudice from mathematical theory. The design process constitutes an evolutionary optimization for

design of domed masonry structures, matched but hardly surpassed by modern scientific engineering”

(Handy 1973: 280; el subrayado es mío). Entre paréntesis, los igluit no son genéricamente Inuit sino que

179

No cabe duda que unas cuantas de las prácticas geométricas tradicionales (“igualadas

pero no superadas” por la ingeniería científica) merecen una explicación mejor. Acaso

debamos reformular qué queremos decir cuando declaramos que tal o cual pueblo posee

una geometría que agota su potencialidad en una tecnología rudimentaria o que su geo-

metría empírica es un arte que carece del fundamento conceptual explícito requerido pa-

ra llevar un propósito a su realización. Los antropólogos intuimos que esto no es de nin-

guna manera así pero no estamos en capacidad de revertir la idea. Las inclinaciones teó-

ricas que hemos adoptado en las últimas décadas no nos han dejado en posición de en-

señar a quienes trabajan en otras especialidades nada que se refiera de manera produc-

tiva a la gestión del conocimiento en la cultura. La mayor parte del trabajo antropó-

logico sobre cultura material de un siglo para acá se ha evaporado a los efectos prácticos

y simplemente se ignora hasta qué punto hay otros casos comparables al de los iglulik

de los que se podría sacar algún provecho en la práctica ingenieril de todos los días. A

los fines prácticos, tanto las técnicas comparativas como el proyecto mayor de una an-

tropología aplicada han desaparecido del currículum profesional.

En los últimos tiempos ha surgido una iniciativa multidisciplinaria denominada arqui-

tectura vernácula cuyo foro se estableció tan temprano como en 1979 pero que recién

está asomándose a la arqueo- y la etnogeometría sin muchas garantías de que vaya a

perpetuarse; por el momento se está sacando bastante jugo a las tradiciones vernáculas

basada en construcciones en adobe, lo que parece ser el tema convocante. Pero si bien

ya se han acumulado lenta y capilarmente unos cuantos miles de contribuciones en pro-

ceedings de congresos, enciclopedias y atlas que cubren buena parte del mundo todavía

no ha avanzado mucho en el plano geométrico comparativo (Oliver 1997; Blier 2006;

Vellinga 2011; Buchli 2013; Correia, Carlos y Rocha 2013; Weber y Yannas 2013;

Jasper 2016 Halperin y Schwartz 2016; Prista 2017; Ara y Rashid 2017; Cristini y otr@s

2017; Roesler 2017). Fuera del campo de la fractalidad (al que ya henos revisado), la

arquitectura comparativa y la arquitectura vernácula rara vez se desarrollaron en térmi-

nos de geometría.

Figura 9.9 –– Izq.: Foto de László Moholy-Nagy de la Exposición Obmuju, incluyendo

sólo fueron construidos por esquimales del centro de Canadá (al este del Mackenzie) y de la región de

Thule en Groenlandia. La enorme mayoría de los esquimales nunca ha construido ni visto un iglú.

180

construcciones espaciales de Johansons. – Der.: SuperBall Tensegrity Robot de la NASA. Basado en Grix (2015).

Excepción a esta regla es el estudio sobre el domo del antropólogo de Princeton Earl

Baldwin-Smith [1888-1956], publicado póstumamente con dos décadas de demora pero

que había sido escrito hacia 1949, el año en que yo nací. Baldwin-Smith, figura pionera

de la antropología de la arquitectura, consideraba que el domo propiamente dicho era

una criatura del diseño formal que apareció muy temprano en la historia pero que re-

quería planificación profesional, codificación notacional, cálculo cuantitativo y trabajo

escrito. Las geometrías precursoras del domo (y en particular las que sustentaban las

técnicas constructivas de las tiendas tradicionales de los pueblos nómades) no fueron

objeto de tratamiento detallado. Escribía Baldwin-Smith:

What is revealing in this derivation is that even in English the idea of a "dome" began as a

house concept, just as in ancient Italy, Syria, India and Islam words for house, tent, or

primitive shelter, such as tegurium, kalubé, vihāra, and kubba, came to designate a dome or

domical structure. It is impossible within the limits of a study of the domical tradition in

Syria and Palestine to trace all the beginnings of domical shapes and domical ideas in the

different countries of antiquity and to note their parallels in the retarded primitive cultures

of Africa, Asia and the Americas. Instead, a series of already carefully investigated

postulates, which can at least be checked against the evidence for the origin of the domical

ideas of Syria, is advanced (Baldwin-Smith 1978: 5-6)

Amén de referirse insistentemente a las “culturas primitivas retardadas” de Africa, Asia

y América y a sus “crudos fetiches” (Op. cit.: vii, 6, 8, 62, 73) el libro de Baldwin fue

elaborado antes que Buckminster Fuller con sus domos geodésicos y sus pelotas com-

puestas por pentágonos y hexágonos ganara presencia (v. gr. Baldwin-Smith 1978).

Estructuras similares a las implicadas en la tensegridad, hoy llamadas sinergéticas o

recíprocas por arquitectos y artistas de las líneas new age de revistas como Leonardo y

Nexus, puntúan el camino atiborrado de isomofismos definiendo pautas que conectan

los hexágonos con figuras tales como las catenarias parabólicas y el triángulo de Sier-

piński. Ésta es una figura omnipresente en la arquitectura y en la ergología africana, a la

cual se reconoce por sus extraordinarias propiedades físicas, ejemplificadas recurrente-

mente señalando la similitud entre la estructura de la torre Eiffel y la el triángulo de re-

ferencia (cf. además Qi y otros 2014). Este triángulo, dicho sea de paso, no es otro que

el triángulo de Yang Hui, conocido por una ilustración de Zhu Shijie [1260-1320] fe-

chado en el año 1303 y bien conocido por Blaise Pascal [1623-1662].

Las propiedades de estas clases de figuras complejas son bien conocidas desde muy

temprano. Nadie menos que Benoît Mandelbrot, el forjador de la geometría fractal, vin-

cula los elementos antedichos con las estructuras de Buckminster Fuller pero incluyen-

do mención a tecnologías varios siglos anteriores, tanto más tenaces cuanto más anti-

guas:

My claim is that (well before Koch, Peano, and Sierpiński), the tower that Gustave Eiffel

built in Paris deliberately incorporates the idea of a fractal curve full of branch points.

However, the A's and the tower are not made up of solid beams, but of colossal trusses. A

truss is a rigid assemblage of interconnected submembers, which one cannot deform with-

out deforming at least one submember. Trusses can be made enormously lighter than cylin-

181

drical beams of identical strength. And Eiffel knew that trusses whose 'members' are them-

selves subtrusses are even lighter. See the right picture below [figura 9.8, arriba a la dere-

cha]. The fact that the key to strength lies in branch points, popularized by Buckminster

Fuller, was already known to the sophisticated designers of Gothic cathedrals. The farther

we go in applying this principle, the closer we get to a Sierpiński ideal! (Mandelbrot 1982

[1977]: 131-132).

Transcurrido casi medio siglo, se diría que hoy existe un número bastante alto de arqui-

tect@s y diseñador@s que se han habituado a pensar en modelos de biourbanismo y en

sistemas complejos adaptativos inspirados en morfologías de la tensegridad, en geome-

trías fractales y en variantes extremas pero sospechosamente mansas, desempoderadoras

y fáciles de entender de la dinámica no lineal y del caos. No desearía ahondar en este

tópico aquí y ahora pues, en honor a la verdad, algunas de las ideas alentadas en el inte-

rior de estos movimientos distan de persuadime. Incluso las mejores entre ellas comien-

zan a reiterarse, a copiarse mutuamente, a volcarse en favor de epistemologías de bolsi-

llo y a volverse tibias, letárgicas y formulaicas. Muchas de las instancias que en su mo-

mento parecieron las más frescas se están tornando rutinarias (cf. pág. 50 más arriba).

Pero no por eso he de omitir la referencia, pues si estos patrimonios conceptuales po-

seen algún asomo de universalidad tanto derecho tenemos a husmear en sus geometrías

alternativas todavía exploratorias como lo tuvimos ayer a sacar provecho del mundo

más convencional y a la larga dogmático de las axiomáticas derivadas de un Euclides

domesticado que nunca fue tan conservador y tan conceptualmente estrecho como lo

pintan sus propios adeptos.

Como siempre pasa con las ideas revolucionarias, la paternidad de la noción de tense-

gridad estará en discusión hasta el fin de los tiempos. Hoy se acepta casi sin discusión

que en el plano científico el principio de integridad tensional se le ocurrió antes que a

nadie al arquitecto David Georges Emmerich [1925-1996], un poco más tarde a Buck-

minster Fuller y finalmente al escultor Kenneth Snelson [1927-2016]. Emmerich (1967)

fue el primero en presentarlo con el nombre poco glamoroso de systèmes autotendants y

en dependencia del concepto muy francés de morphogenèse en los años de gloria de Re-

né Thom. Emmerich, Fuller y Snelson habían estado experimentando con ideas pare-

cidas en la década de 1950. Algunos años más tarde Fuller puso nombre a la invención

y Snelson construyó las primeras estructuras basadas en ese principio. La postura de es-

te último en las querellas subsiguientes ha sido en extremo beligerante, negando, por e-

jemplo, que la célebre estructura del domo geodésico en la Feria de Montréal de 1967,

la mítica “Biosfera”, fuera auténticamente un diseño de tensegridad. No había suficiente

capacidad ingenieril e informática en esa época, asegura. Aunque se ha conservado al

menos un puntilloso reporte de las discusiones, de las batallas de los egos y de los re-

gistros de patentes anotado por el español Valentín Gómez Jáuregui (1999), fuertemente

sesgado en favor de Snelson, la historia de los orígenes de la idea ha sido muy distinta a

como la cuentan las congregaciones científicas y seudocientíficas en confrontación

mutua. Por más que Snelson lo haya negado hasta el día de su muerte y que Gómez Jáu-

regui lo respalde, entiendo que ella ha sido más bien como se narra en el siguiente pá-

rrafo conclusivo.

182

Este capítulo estaría incompleto si no hiciéramos referencia a la obra mayormente des-

conocida del constructivista lituano Kārlis Johansons [1890-1929], alias Karl Ioganson,

miembro de la agrupación artística “Flor Verde” [Zaļā puķe] e inventor hacia 1921 de

las construcciones autotensiles que preceden por más de tres décadas a las obras inspira-

das en el movimiento de la tensegridad de Fuller, Snelson y Emmerich (Emmerich

1995; Gough 1998; Motro 2003: 7 y ss.; da Sousa Cruz 2013). No pocas de las obras del

primer período de Johansons son reminicentes de (y contemporáneas a) las pinturas

fractales de František Kupka que examinamos en el primer capítulo (fig. 1.1 y 1.6). Las

estructuras tensoriales de Johansons, por su parte, han inspirado la construcción del pu-

blicitado Superball Tensegrity Robot de la NASA, un aparato explorador con sorpren-

dente resistencia al impacto, locomoción adaptativa, integridad resiliente y amplia capa-

cidad exploratoria en terrenos accidentados (fig. 9.9, derecha). La sección izquierda de

esa figura muestra una foto tomada por László Moholy-Nagy [1895-1946] en la Expo-

sición del Colectivo Obmuju en Moscú en 1921 en la que Johansons y otros artistas

exhibieron obras e instalaciones constructivistas bastante antes que el género de la ins-

talación ganara reconocimiento.59

Moholy-Nagy fue un personaje instrumental en la

transición entre el constructivismo ruso y la prestigiosa escuela Bauhaus. La fotografía

que él tomó es uno de los pocos testimonios que quedan de las obras artísticas de

Johansons, un siglo anteriores a los artefactos tecnológicos que ellas anticipan (Moholy-

Nagy 1968 [1929]: 132). Como ha sido el caso con otras geometrías exploradas en este

libro, en un número crecido de inflexiones prácticas el arte de los pueblos y las

heterodoxias estéticas siempre han anticipado (y en ocasiones han inspirado explícita-

mente) los logros más destacados de la vanguardia estética y de la innovación científica.

59

Sobre Obmuju (“Sociedad de Jóvenes Artistas”) el mejor material es el artículo de Aleksandra Shats-

kikh, “A Brief History of Obmokhu”, en The Great Utopia: The Russian and Soviet Avant-Garde, 1915-

1932 (Guggenheim Museum 1992: 257-265). Algunas obras mostradas en la foto de Moholy-Nagy fueron

reconstruidas por el neo-constructivista Vycheslav Koleichuk [1941-2018] para la exhibición Great

Utopia de 1992-93 en el Guggenheim de Nueva York.

183

Figura 9.10 – Alfabeto de Adinkra (I):

Figura 9.11 – Alfabeto de Adinkra (II).

Compárese con la lista siguiente de los 230 cristales simétricos. Cada uno de los 230 elementos canónicos del catálogo de Adinkra

posee un homólogo en la lista del grupo de transformación.

184

Figura 9.11b – Lista de la estructura del grupo de los 230 cristales.

Ver original en este vínculo– Dibujado con VESTA. Compárese con los 230 diseños canónicos de tokapu de las figuras 7.4, 7.6 y 7.7.

185

Figura 9.10 - Templo de Surya en Modhera, 1026-1027 dC.

Estilo Maru-Gurhara - Construido por Bhindev I, atacado por Mahmud de Ghazna. Ubicado en Modhera, Gujarat, India. Véase galería en este vínculo.

Figura 9.11 – Mandelbox fractal – Generado en Ultrafractal

®

186

Figura 9.12 – The Mandelbox Temple – Disponible en http://digitalfreepen.com/mandelbox370/

187

10 – Tareas pendientes en etno- y arqueogeometría: A modo de conclusión

Confrontation:

You are mathematics educators, are you not? So let

us see if you are good at mathematics.

– Do you know how to construct a circle given its

circumference? – Do you know how to construct

angles that measure 90°, 60° or 45°, using only the

strips of paper I have distributed to you? – What is

the minimum number of strips of paper you need in

order to be able to plait a broader strip? – Can you

fold an equilateral triangle out of a square of paper?

– Do you know how to construct a regular hexagon

out of paper strips?

I gave you five minutes. Who solved all the pro-

blems? Nobody? How is that possible? Who solved

four problems? Nobody? Three of them? You

failed? Do you not have the necessary mathematical

abilities? No, that is not the reason; you need more

time, don't you? But you are mathematicians, are

you not?

You need more time to analyze these non-standard

problems. All right. But let me say to you that many

of our (illiterate) mozambican artisans know how to

solve these problems - (obviously "formulated" in

another way).

Paulus Gerdes (1986: 10)

Sucede con frecuencia que el hábito académico de circunscribir el conocimiento geo-

métrico al espacio del conocimiento puramente teórico, discursivo, formal o axiomático

impide a los especialistas de las ciencias empíricas conocer en profundidad el objeto

material que tienen entre manos, obstaculiza el acceso a los procesos inherentes a las

prácticas y a los modelos mentales o esquemas culturales que las impulsan y restringe el

armado de herramientas pedagógicas aptas para enseñar a terceras partes lo que los

actores de las culturas otras conocen sobre las formas posibles de hacer las cosas en ma-

teria de geometría. Esto sucede tanto en el plano de la construcción geométrica como en

el uso de los objetos geométricos como instrumentos culturales de cognición pública y

situada que permiten operar sobre factores, fenómenos, estructuras, memorias, agencias,

actos y universos de sentido que no se circunscriben necesariamente a la esfera de la

geometría y que van más allá del significado y de la función simbólica que cada uno de

tales objetos se supone que posee.

En este terreno, el epígrafe de Paulus Gerdes reproducido en el encabezamiento de este

capítulo conclusivo corona el torbellino de las dialécticas entre la teoría y la práctica,

lógicas o dialógicas que acaso constituyan la razón de ser de una posible antropología

etno- o arqueo-geométrica que (como en toda ciencia humana) demasiado a menudo ha

cedido a la tentación de utilizar lo que se cree saber sobre espacios culturales especí-

ficos (la cueva de Altamira o la Grecia de Euclides, por ejemplo) como vía regia para

188

llegar a lo que supuestamente pensamos todos los humanos, no sin antes enajenar a o-

tros del fruto de su trabajo para engrosar de manera unilateral, descontextualizadamente

y por la fuerza un “patrimonio de la humanidad” cada vez más mixtificado, vacío e

hipócrita.

De más está decir que las prácticas de diseño han planteado una ingente cantidad de

problemas epistemológicos frente a los cuales la antropología del arte, la etno- y la

arqueogeometría aportaron apenas unas pocas soluciones capaces de soportar la prueba

del tiempo. Cuando en El pensamiento salvaje Claude Lévi-Strauss (1964 [1962]) pos-

tuló la idea de la lógica de lo concreto no consideró esa lógica como el aparato percep-

tual, corporal y heurístico subyacente a una manifestación práctica, sino como una

forma de pensar propia de una razón alternativa que implicaba la sustitución de la

aborrecible concepción de Lucien Lévy-Bruhl por una mirada construida sobre funda-

mentos más sanos, sí, pero sumamente difusa, basada en artefactos displicentemente

definidos y durísima de probar en el sentido lógico, argumentativo y geométrico de la

palabra.60

Excepto gente como yo en sus raptos de nostalgia por el cientificismo softcore de los

60s, nadie llora hoy al estructuralismo en antropología del arte o a sus teorías epigonales

en arqueogeometría. Éstas por cierto todavía se mantienen vivas y motivadas aunque se

expresan en formatos cada vez más híbridos, adoptando expresiones cada vez más pro-

clives a retroceder frente al menor apremio y a negociar con formulaciones teóricas e

ideológicas hasta hace poco inadmisibles. No hay que hacerse ilusiones entonces: el

precipitoso agotamiento del núcleo duro de aquel (penúltimo) proyecto científico (el es-

tructuralismo) se ha debido más a sus propias cortedades, a las veleidades protagónicas

de sus gestores, a la floja comprensión de las herramientas duras y al surgimiento de

metodologías operativas no lineales y recursivas sin casi marca teórica que a la obra de

un pos-estructuralismo de la rive-gauche o del quartier conservador capaz de plantear

una alternativa empoderadora que valiese la pena.

Así estamos, pues. Por las limitaciones y blanduras que traje a colación en el curso de

este libro y por las pretensiones de universalidad salidas de quicio del estructuralismo es

que, sintomáticamente, percibimos ahora que los autores que participaron de ese aba-

nico de metodologías (incluyendo próceres como André Leroi-Gourhan, Merlin Donald

y tantos otros) aportaron un caudal de ideas que fueron enriquecedoras en su momento

pero que a la hora de las definiciones no lograron siquiera responder a las preguntas

fundamentales que ellos mismos formulaban, dejando a nuestras disciplinas y especiali-

60

Sobre la belleza, la dimensión estética, el sentido de descubrimiento, las epifanías, las retóricas, las tác-

ticas, las estrategias, las políticas y los efectos de eureka de la prueba matemática y geométrica a través

de las llamadas altas culturas de Oriente y Occidente véase Fetison (1978); Dragalin (1988); de Villiers

(1997); Benson (1999); Polster (2004); Hersh (2006); Raju (2007); Gold y Simons (2008); Havil (2010);

Chemla (2012) y Alexander (2019b). Aunque muchas de sus manifestaciones hayan sido difíciles de

entender para los profanos de otras disciplinas (y aunque en la práctica etno- y arqueogeométrica no

exista nada que se le asemeje), la prueba geométrica y matemática es, a mi entender, uno de los aspectos

más ricos y creativos de las ciencias formales precisamente por su carácter escético y disolvente. Frente a

estos desarrollos sorprende que sean las ciencias sociales en general y la antropología en particular las

que se precian de autocríticas y reflexivas.

189

zaciones el lastre de una infinidad de cabos sueltos y de una hipoteca intelectual que

todavía nos cuesta saldar.

En el presente libro, por contraste, intenté redefinir parte de esa lógica disyuntiva como

una pragmática del saber hacer, como una práctica sustentada en un logos necesaria-

mente tácito, silente, atomizado y polimorfo que admite ser explorado desde diversas

perspectivas (estéticas, cognitivas y materialistas inclusive) y que debería tolerar tam-

bién que deje unos cuantos aspectos en las sombras o que su plena elucidación quede a

veces en suspenso, dependiendo de las condiciones de cada caso y atendiendo al prin-

cipio del no free lunch theorem (Wolpert y Macready 1997) que nos ha ayudado a pres-

cindir de los dogmas del día en todas las disciplinas en las que muchos de nosotros he-

mos necesitado trabajar.

A fin de cuentas (y tal como le sucedió a Alan Turing con el Entscheidungsproblem)

demostrar que un problema inverso es indecidible, intratable o imposible de resolver en

tiempo polinómico es una bella y necesaria experiencia de demostración, mil veces pre-

ferible a una resolución ilusoria como las que estuvimos practicando todo el tiempo en

ciencias que se reconocen débiles de cara a la galería, pero que en el fondo actúan como

si las amparara una dureza mayor a la que en efecto poseen. Pido disculpas de antemano

por un razonamiento doblemente incrustado y recursivo que parece salido del manual de

estilo de Pierre Bourdieu, pero lo cierto es que no me parece razonable que las ciencias

formales se reconozcan plagadas de dilemas de intratabilidad, inconsistencia e incom-

pletitud y necesitadas de una multitud innumerable de métodos de prueba mientras las

sucesivas corrientes teóricas de nuestras ciencias del espíritu (operando en la burbuja de

una epistemología infalible a fuerza de haberse aclimatado a la no-sistematicidad del

objeto y a la blandura de un método no metódico que se cree privilegio de unas humani-

dades separadas de la ciencia en general) se comportan como si fueran aproblemáticas

y/o susceptibles de resolverse gratuitamente y de manera instantánea, cualquiera sea la

magnitud y la dificultad del problema que corresponda afrontar y la adecuación de las

herramientas de las que se dispone.

Quisiera creer que en el siglo XXI se ha tornado un poco más difícil sostener semejante

género de ideas. Ahora que la información está realmente en la punta de los dedos los

disimulos, las gratuidades, las piruetas retóricas y los abracadabras sofísticos no siempre

quedan impunes: como alguna vez ironizó un Lévi-Strauss circunstancialmente lumi-

noso a propósito de un psicoanálisis que unos cuantos petendían que fuera la clave de

todas las cosas, “una dialéctica que gana a todo trance siempre encuentra el modo de lle-

gar a la significancia” (1995 [1955]: 130).

Más importante que todo esto es que, al cabo de una inspección como la que aquí se ha

desarrollado, la lógica profundamente algorítmica del saber hacer se revela semejante a

la lógica del homomorfismo que obligó a que los modelos proposicionales más tortuo-

sos y las nociones más abstractas de las teorías más hiperdifíciles elaboradas por la es-

pecie humana en Occidente tuvieran que reformularse no ya en base a una escritura

simbólica axiomática (que en trámites como éstos siempre revela sus cortapisas, sus

sesgos y su insondable dificultad) sino también en términos del entramado visual, cor-

190

poral y material que científicos de las más variadas confesiones entrevieron (en un arre-

bato de ejemplar abducción batesoniana) en los modos de simbolización alternativos de

los adinkras de las culturas Ashanti de Ghana y de los tokapu y khipus de Perú; en las

pelotas indestructibles de los juegos malayos; en los dispositivos reticulares de pesca de

Mozambique; en los grafos heurísticos “eulerianos” de los Chowke, los Sona, los Bora

y los isleños de Malekula; en los triángulos de Sierpiński del sur del Sahara; en las

series de Fibonacci de las más diversas geometrías del ritmo y de las más enrevesadas

simetrías teselares; en las cestas globulares geodésicas de la América precolombina; en

la tensegridad de las tiendas de casi todos los pueblos nómades del viejo mundo; en los

nudos topológicos de los celtas; en las máscaras cuasi-simétricas de los fueguinos; en la

geometría aerodinámica perfecta de los boomerangs, de los arpones y de las puntas de

proyectil; en las curvaturas y catenarias de los igluit de Thule y del Mackenzie; en los

tejidos, tatuajes, esculturas y peinados fractales de África; en la fractalidad tridimen-

sional de la arquitectura del período gótico, del Islām y de los templos jainas e hindúes

de Monte Abu, Modhera y Khajuraho; en las tecnologías de sistemas geográficos de po-

sicionamiento (GPS), spatial network approach (SNA) y graph-based navigation (G-

BN) anticipadas por las geometrías de los sistemas de navegación de las culturas de

Oceanía que revisaremos en breve; en la cadena de innovaciones que ha ido sin esla-

bones perdidos desde los tejidos neolíticos hasta las tarjetas perforadas de Jacquard y la

clave histórica de la computación científica; en las simetrías minimalistas de trazos en

los huevos de avestruz de Diepkloof que anticipan la lógicas constructivas y las propie-

dades mnemónicas de los sistemas de escrituras entrevistos por Mark Changizi; en las

reglas recursivas de Pāṇini que impactan en el modelado de arquitecturas vernáculas del

programa CityEngine y de otros modelos de diseño virtual en estado de arte; en las 17

isometrías del plano embaldosadas en la Alhambra 800 años antes de los rayos X, de la

teoría cristalográfica de grupos y de la nanotecnología; en los patrones complejos de los

embaldosados y empaquetados que darían fundamento y marcarían en camino de técni-

cas espaciales de usos múltiples como los diagramas de Voronoi, los triángulos de De-

launay y los polígonos de Thiessen;61

en los cuasicristales aperiódicos de los muqarnas

de Irán, Uzbekistán y Turquía;en la arquitectura pos-fulleriana y cripto-fractal de Fabien

Vienne; o en la mayor complejidad atribuida ahora a los exogramas geométricos por en-

cima de las representaciones figurativas y en las prácticas recursivas del kolaṁ de la In-

dia drávida y aborigen que materializan formas de pensar, codificar y ejecutar que se sa-

ben comparables (como lo piensan pensadores de punta en las ciencias duras) a las que

son inherentes a las arquitecturas de representación de un fragmento crítico de la física

61

En mi libro en desarrollo sobre dilemas de la similitud, la diferencia y la comparación he desarrollado

algunos puntos referidos a la geometrización del espacio. Allí expreso que “[e]n este renglón son ejem-

plares los estudios de Geoffrey Edwards antes en la Université Laval, Sainte Foi, Canadá, y más tarde en

el CIRRIS comenzando por “The Voronoï Models and cultural space: Applications to the social sciences

and humanities”, presentado en la edición de 1993 de las conferencias COSIT (hoy por su 15ª serie),

donde se encuentran carradas de documentos de tesitura parecida que los antropólogos se han obstinado

en desconocer pero que es provechoso examinar. No menos importantes son otros trabajos de Edwards

como “A Voronoï based pivot representation of spatial concepts and its application to route descriptions

expressed in natural language” y “Towards the simulation of spatial mental images using the Voronoï

model” (cf. Reynoso 2019d: cap. §7).

191

teórica, la lingüística computacional y la programación extrema (cf. Okabe y otros 2000

[1992]; Faux y Gates 2005; Gates 2008; 2009; 2010; 2012; Doran y otros 2008; 2018).

No cabe asegurar que el catálogo politético precedente comprenda la mayor parte o la

porción más importante de la ciencia que nos involucra; es indudable, sin embargo, que

los elementos originados en la etnogeometría cubren e impregnan una buena proporción

de ella, incluyendo uno de los fragmentos mayores y más esenciales que la antropología

haya tenido entre manos junto con el que representan las redes sociales, concepto que

también se origina en la vertiente sociocultural de las ciencias.

A nuestros efectos, basta enumerar sólo ésas entre otras tantas manifestaciones cuyas

correlaciones y consecuencias en las ciencias duras propios y extraños juzgaron alguna

vez fantasiosas, imposibles o indigestadas de indigenismo militante o de voluntarismo

esotérico, y a las que solamente cabía oponer una misma clase de resistencia preventiva

salpicada de un rico repertorio de fraudes, malentendidos y escamoteos (no siempre etic

o positivistas)62

e impregnada de un estilo uniforme de suspicacia, apatía y sarcasmo

(no siempre en manos de la anticiencia o la derecha política).63

Ante tantas abundancias

conceptuales como las que hemos revisado en los capítulos precedentes no podemos se-

guir sosteniendo, entonces (como nos impulsan a hacer no pocos hermeneutas, posmo-

dernos, perspectivistas, decolonialistas y deleuzianos), que para asomarnos a la compre-

sión de los otros –a los cuales se quiere imaginar simples, ágrafos, prelógicos, deficita-

rios y emocionales– se requiere que renunciemos a la analiticidad y a la precisión con-

ceptual que sólo son laboriosamente posibles ante objetos sistemáticos y que aprenda-

mos, encima, a pensar más pequeño, más lento, más borroso y más débil.

No podemos seguir aceptando tampoco que en uno de los manifiestos más vigorosos de

lo que fue el movimiento interpretativo del siglo pasado se nos haya dicho que no sólo

no hemos podido imaginar ninguna solución a ningún problema sustantivo de la cultura

sino que todavía no sabemos –y que quizá no lleguemos a saber nunca– cómo es que los

símbolos simbolizan, sea porque no hemos sabido determinar cuál es el orden que los

rige o porque uno de los personajes que detentaron el mayor poder académico haya de-

cretado irresponsablemente, intoxicado de poder y de recursos financieros y sin sopesar

la fuerza de su influencia, que toda generalización es banal, que no hay ningún orden

allí afuera que valga la pena reportar y que lo que estuvimos haciendo todo el tiempo

nunca podrá ser ciencia en el sentido pleno de la palabra (Geertz 1973: 208).64

62

Canciones tejidas, geometrías sagradas, artes figurativas y capacidades simbólicas nacidas en la prehis-

toria europea y llevadas de allí al mundo, fractales holográficos, adinkras atlantes, icosaedros neolíticos...

63 Recordemos, por si hace falta, a John Bohannon y a su lata de gusanos, o a Linus Pauling y a sus cuasi-

científicos, a Branko Grünbaum y el nuevo traje del Emperador, a Christopher Hallpike y a su pobre valo-

ración de las cartografías ágrafas pre-conceptuales, a C. Loring Brace y su “ciencia pop” de los exogra-

mas geométricos de Merlin Donald, a los editores de la revista Science descalificando las teselaciones a-

periódicas en la cultura, a los que se han empeñado en afirmar en tiempos antiguos y (pos)modernos la

arianidad casi vikinga de los pueblos de Oceanía y a Richard Handy y las catenarias parabólicas Inuit a

las que este divulgador reconocía como tales pero conjeturaba encontradas por miserable casualidad.

64 Como escribía un Clifford Geertz crepuscular en Available light (2000: 135): “If you want a good rule-

of-thumb generalization from anthropology, I would suggest the following: Any sentence that begins «All

societies have . . .» is either baseless or banal”.

192

Si alguna postura ha caído por tierra a raíz de lo que hemos entrevisto en este libro esa

es aquella que sostiene que no han habido “estructuras”, “patrones” o “sistemas” a lo

largo y a lo ancho de las culturas, una idea que hemos visto pronunciada por Clifford

Geertz en el año 2000 y –más sorprendentemente– defendida por su colega Roy D’An-

drade [1931-2016] en su crónica del desarrollo de la antropología cognitiva, un texto en

el que hormiguean menciones a trabajos de Thomas Gladwin, Edwin Hutchins, Scott

Attran, Maurice Bloch y a otros excelsos exploradores de sistemas culturales imaginati-

vos y complejos que han desmentido cada una de las ideas a las que D’Andrade pudo

haber suscripto en esa tesitura. Escribía D’Andrade:

One of the things that both structuralism and symbolic/interpretive anthropology had as a

basic assumption was the idea that culture is a structure, or system – some kind of unified

thing. Geertz’s defense of this during the Culture Theory conference in 1980 was quite

passionate, although the printed text does not convey this very well. [...]. The various defi-

nitions of culture across the last hundred years have often stressed that culture is "a com-

plex whole", "integrated", "structured", "patterned", etc. This is an article of faith, since no

one ever offered an empirical demonstration of any culture’s structure. What could be

demonstrated was that any one piece of culture was very likely to be connected in some

way to some other piece. But a world in which everything is somehow related to something

else does not make a structure, or even a system, and certainly not "one ungainly whole"

(D'Andrade 1995: 249; el subrayado es mío).

Tampoco podemos continuar insistiendo en que los geómetras de Oceanía, del Islām o

de Amazonia no poseían acceso a su propia racionalidad, a las reglas que rigen sus ló-

gicas concretas o a sus propios metalenguajes de cobertura, pues tantos casos como los

que hemos documentado garantizan que a los efectos de la práctica tal acceso no estuvo

en realidad haciendo mucha falta. Hemos sido nosotros más bien los que necesitábamos

algo parecido a dicha fundamentación para persuadir a terceros que comenzábamos a

entender las prácticas del otro. Tal como hemos comprobado en cada uno de los ca-

pítulos precedentes y tal como llegó a intuirlo otra vez Lévi-Strauss (aunque de maneras

imprecisas), el abordaje de una porción importante de las etnogeometrías se ilumina

considerablemente cuando se realiza en base a lo que sabemos de la aritmética modular,

del álgebra abstracta, de la fractalidad, del análisis espectral, de los grupos de isometría,

de la teoría de nudos y –ahora– de la teoría de cuerdas (cf. Lévi-Strauss 1994 [1993]:

60-62; Kappraff en Fenyvesi y Lähdesmäki 2017: x). Son nuestros modelos cuando por

fin se consuman, se modulan y se ajustan, pasando de la conjetura a la prueba, los que

demuestran persuasivamente la sistematicidad de las prácticas culturales que (en otros

formatos y en otras lecturas) un segmento importante de nuestras ciencias duras y blan-

das adoptan como metodología y toman por objeto (por mal vista que haya llegado a ser

una palabra así).

En la actualidad estamos en condiciones de sintetizar en contados minutos algo que se

parece en múltiples respectos al objeto que estábamos analizando, independientemente

de que en su cultura de origen se lo haya construido de ésa o de otras formas o se lo

haya conceptualizado de maneras que nuestras metodologías no han atinado hasta ahora

poner en acción. La clave (si es que de ello se trata) radica menos en el análisis que des-

compone el fenómeno o en el discurso que nos habla de él o en los conceptos que per-

193

miten pensarlo que en los procesos de síntesis capaces de generar, de materializar o de

re-producir objetos, conductas e ideas presentes en muy distintos ámbitos empíricos pe-

ro que poseen contexturas geométricas equivalentes. La clave depende, en otras pala-

bras, de los modelos que re-producen (de múltiples maneras) los productos observables

de las diversas prácticas culturales. Éstas deberían tener precedencia frente a las teorías,

pues antes de que hubiera sistemas conceptuales (euclideanos o no) había un conjunto

de hechos geométricos materiales –capaces de colmar múltiples registros de datos– de

los que estos sistemas y otros constructos científicos alternativos debían dar cuenta.

Hay, por supuesto, prácticas de las que resultan productos que no se presentan como

objetos geométricos o que ni siquiera son de carácter visual, o que no se avienen a re-

presentaciones espaciales, diagramáticas, reticulares, iconográficas o topológicas. No

me imagino fácilmente cuáles podrían ser esos objetos y procesos tan elusivos e irrepre-

sentables; pero, en el peor de los casos, habrá que imaginar respecto de ellos cuáles po-

drían ser los modelos generativos y las metaheurísticas adecuadas que se les podrían

aplicar. Hay muchas otras ciencias por ahí, no hay mucho tiempo que perder y, como

decían Wolpert y Macready (1997), no hay almuerzo gratis.

Figura 10.1 – Izq.: Sistema Te Nohoanga de Polinesia (según Marianne George: fig. 6 del original).

Der.: Compás de estrellas micronesio (según Goodenough 1953, reprod. Gladwin 1970: 149). El primero se basa en 32 divisiones equidistantes, el segundo en 36 divisiones más exactas.

65

Para comprender cabalmente las prácticas inherentes a las geometrías de los otros pue-

blos (tanto ágrafos como alfabetizados) así como de los artistas marginales de nuestra

propia sociedad, quizá convenga abandonar la idea de que las prácticas rigurosas requie-

ren una formulación discursiva previa que esos otros no han podido o no han querido

65

Para una estimulante interpretación de estas “rosas de los vientos” que se presentan en regiones aparta-

das del mundo con casi exactamente las mismas 16, 32 ó 36 divisiones del compás véase el artículo del

antropólogo Charles Frake (1995) en el que se incluye una referencia a un poco conocido trabajo del más

desconocido aun Léopold de Saussure [1866-1925], sinólogo que fuera hermano menor de nuestro Fer-

dinand (cf. Saussure 1928).

194

lexicalizar e instituir como las normativas a las que obedecen, las teorías a las que se

aferran, las doctrinas a las que rinden culto o las nomenclaturas a las que se atienen. He-

mos comprobado aquí que sea cual fuere el mecanismo que gobierna las prácticas (el

cerebro, éste o aquél lóbulo, área o hemisferio de la masa encefálica, el sistema límbico,

el hipocampo, la amígdala, la memoria cultural, el cuerpo, la cognición situada o distri-

buida, la inteligencia emocional, los engramas o exogramas neuronales, la intuición fe-

menina, la interacción social, los schemata) ponerlo en marcha y mantenerlo bajo con-

trol en el ejercicio de una práctica dada no requiere invariablemente de un discurso pre-

ceptivo, de un modelo formal, de una escritura simbólica, de una guía de usuario o de

un lenguaje procedimental explícito. Es bastante grave no saber (como ya hemos dicho)

de qué manera es que los símbolos simbolizan o los significados llegan a significar;

pero mucho más grave es que se escoja como estrategia de investigación ignorar cómo

es que las prácticas logran realizar lo que realizan.

No debería sorprender tampoco que las habilidades prácticas de la alteridad no vengan

acompañadas de un metalenguaje emic que las describa o las explique a nuestra entera

satisfacción. Después de todo, nadie que no se haya entrenado en esos menesteres es ca-

paz de dar cuenta verbalmente de la estructura de la lengua que un@ mism@ habla, o

del lenguaje en el más amplio sentido, o del sistema de signos del cual su propia lengua

es una instancia entre otras. La mejor analogía que se me ocurre desplegar para la com-

prensión de la capacidad práctica geométrica en contraste con las metodologías regidas

por la razón pura de las lógicas inmateriales, del logocentrismo y de la teorización

simbólica o idealista se ejemplifica elegantemente con la geometría subyacente a los sis-

temas micronesios de navegación en general y al sistema Puluwat en particular.

He descripto uno de esos sistemas una generación atrás en mi primer trabajo sobre an-

tropología psicológica, De Edipo a la Máquina Cognitiva (Reynoso 1993: cap. §11.4,

247-251). Volví sobre el tema en la presentación más solicitada de mis cursos sobre ma-

pas cognitivos y luego, más recientemente, en un análisis preparado para el doctorado

en Estudios Territoriales de la Universidad de Caldas en Manizales sobre el estado de

avance de la cognición espacial en el siglo XXI.66

El libro que fue instrumental en mi

descripción del sistema etak de los Puluwat es East is a big bird: Navigation & logic in

Puluwat Atoll, la única obra globalmente conocida del antropólogo norteamericano

Thomas Gladwin (1970), autor de inmerecido bajo perfil que carece al día de hoy de

una página decente que trate de él en Wikipedia y que también se ha volatilizado de la

memoria episódica de la antropología de la corriente principal. Gladwin es, a mi juicio,

al lado de Edwin Hutchins, el Tesla de la antropología del conocimiento,

Me dispenso de describir el etak porque ya lo he hecho en aquellos textos y porque co-

rrería de nuevo el riesgo de que la lectura de mi resumen sustituya la consulta de las

fuentes y del libro de Gladwin en particular. Sólo diré que la descripción de Gladwin,

tan modesta y lánguida como por momentos luce, es la base innegable de la tecnología

66

Las presentaciones están disponibles en http://carlosreynoso.com.ar/ciencia-cognitiva-09-mapas-

cognitivos/ y en http://carlosreynoso.com.ar/espacio-memoria-y-territorio/, respectivamente.

195

de GPS y de los los actualísimos paradigmas de la Graph-Based Navigation y de la Spa-

tial Network Approach que han revitalizado la tecnología de punta de los GIS del tercer

milenio (Edward 2015; Finney 1986; Ascher 1995; Hage y Harary 2007; Maloney

2018). El fundamento del etak es una geometrización del espacio utilizando una isla de

referencia (que bien podría ser un punto imaginario, o incluso ser eventualmente un des-

tino) combinando esa geometrización con una orientación egocéntrica (en vez de ab-

soluta) y desarrollando una ingeniosa técnica de dead reckoning capaz de convertir la

ecuación de |tiempo x velocidad| en simplemente |distancia|, tal como aprendimos a ha-

cerlo en la escuela cuando éramos niños sin pensar cuál era la ecuación que aclaraba lo

que estábamos pensando y que nos permtiría desarrollar (universalmente, tal parece) el

cálculo que necesitábamos.

En este renglón, el impacto de la tecnología tradicional oceánica sobre nuestra tecnolo-

gía actual es apabullante. El primer GPS que se fabricó en California fue desarrollado

hacia 1983 por típicos programadores de garaje que no obstante su bohemia existencial

y su militancia en un modelo de vida nerd tuvieron la precaución de patentarlo, just in

case. Su marca de fábrica fue, precisamente, Etak®. El fundador de la empresa Etak Inc.

de Sunnyvale, California, en el corazón de Silicon Valley, fue Stanley K. Honey, inge-

niero y navegante todavía activo, quien (característicamente y como aplicando el prin-

cipio de res nullius o res derelictae que habilitó la ocupación de tierras “desiertas” y la

apropiación de territorios e ideas no reclamadas) se declaró inventor del algoritmo “tra-

dicional” [sic] que regulaba el comportamiento del aparato. El folleto en el que Honey

narra su experiencia (o la página dedicada al sistema Etak en Wikipedia) no menciona a

los Puluwat, ni a Micronesia, ni a las islas Carolinas ni –mucho menos– a Thomas Glad-

win o a su contribución maestra a la antropología del conocimiento (cf. Honey y Zavoli

1985). Eso sí, los organismos colegiados de la Asociación Americana de Antropología

ni siquiera plantaron querella ante esta abominación jurídica que habilitaba a que se tra-

tara a los antropólogos de todo el mundo y sobre todo a los nativos de la ecumene como

si literalmente no fueran nadie en materia de derechos de propiedad intelectual.

Mientras tanto, la página de Wikipedia referida a Honey, verdadera celebridad corpora-

tiva y personaje proto-yuppie de la navegación, sitúa el origen del etak en Polinesia y no

en Micronesia como es realmente el caso. No me consta tampoco que Honey haya he-

cho trabajo de campo en Puluwat o viajado allí más tarde para repartir sus regalías.

Aunque él se precia de haber inventado el algoritmo básico, su descripción del cálculo

de dead reckoning (‘reconocimiento deducido’, según algunos) es idéntica a la que se

describe en el caso del etak o del sistema pan-polinesio te nohoanga (cf. Gladwin 1970:

144-145, 147; George 2013 versus Honey y Zavolia 1985: 5-6).67

También se origina en

el texto de Gladwin la descripción del rasgo clave de la estrategia del etak después de la

geometrización dinámica del espacio y del dead reckoning y que no es otra que la que

67

Tal parece que “dead reckoning” (un término que carece de una razonable traducción al castellano) no

se deriva de “reconocimiento deducido” ni mucho menos. Hay una interesante discusión en The Straight

Dope. Allí se dice que la expresión figura en diccionarios del siglo XVII pero su primer uso técnico se

remonta (con su etimología usual) a Avigation de Bradley Jones (1939 [1931]: 366) un libro clásico sobre

las geometrías de la navegación aérea que se mantiene en línea y en formato digital hasta el día de hoy.

196

los relativistas lingüísticos mejor posicionados institucionalente desacreditan calificán-

dolo como sistema de referencia relativa o como modelo autocentrado o egocéntrico de

posicionamiento:

The Navigator has a graphic display which continuously shows a vehicle's position on a

map of the surrounding area […]. An arrowhead symbol in the center of the display repre-

sents the position of the vehicle and points up towards the top of the map, indicating the

direction the vehicle is heading. As the vehicle is driven, the map rotates and shifts about

the arrowhead accordingly (Honey 1985).

Esto es: en el espacio bidimensional contraintuitivo, ptolemaico, pre-copernicano y

anómalo al que se refiere el sistema Puluwat cuando se lo describe el navegante perma-

nece quieto y es el mundo entero el que se mueve en bloque, avanzando o girando en

torno, mucho más inelásticamente que en los gráficos de tortuga de Seymour Papert o

que en los modelos recursivos de Aristide Lindenmayer que hemos visto más arriba.

Figura 10.2 – Los 3 tipos de mapas de varillas de las islas Marshall:

(1) Mattang – (2) Redo – (3) Rebbelib. Según Henry Lyons (1928). Imágenes en el dominio público.

El sistema micronesio es triplemente egocéntrico: la tierra está en el centro del universo,

las estrellas salen por un lado y se ponen por el otro trazando franjas disciplinadamente

paralelas, y aun cuando se mueve el navegante está siempre en el centro del espacio que

representa un mundo aplanado, inelástico y sin curvaturas. En universos así no hay (o

no son relevantes) los puntos cardinales, salvo como curiosidad añadida tras el contacto

cultural: sólo hay adelante, atrás, derecha e izquierda y todos los ángulos intermedios,

todo eso relativo a un centro inmóvil que sin embargo sabemos que se mueve. Aquí sólo

se navega hacia adelante o hacia arriba (que es más o menos lo mismo) en un mundo

plano de pura geometría proyectiva en el que las categorías piagetianas no se sostienen.

Giramos y el modelo resetea, por así decirlo, lo que Einstein llamaba el sistema de coor-

denadas. Según la totalidad de las descripciones de la navegación oceánica y los esque-

mas que los informantes dibujan o trazan en la arena, ésa es la imagen que se hacen los

navegantes sin haber visto jamás la pantalla de un sistema de posicionamiento digital ni

adoptado un ápice de la teoría de la relatividad.

197

Lo notable del caso es que el sistema incluye una genuina “rosa de los vientos” que dis-

tingue 32 posiciones en el compás, el mismo número que se encuentra en la antigua for-

mulación árabe de la que se derivó nada menos que la brújula y que está en el mismo

orden de magnitud de la lógica geométrica propia de las cartas portulanas del siglo XII

(fig. 10.1; L. de Saussure 1928; Halpern 1986; Nicolai 2016). Recordemos que la brúju-

la china dividía el compás en 24 direcciones; en fecha incierta, pero durante la Edad

Media, fue que los 32 “puntos cardinales” se adoptaron en Occidente. En el medio de

ambos sistemas se sitúa el modelo árabe, que comparte 9 estrellas y 18 azimuths con el

de las islas Carolinas, coincidencia que ha desatado unas cuantas especulaciones históri-

cas (Halpern 1986). Aunque poco se sabe de sus pormenores históricos (y habida cuenta

de lo que hoy se conoce sobre el poblamiento de las islas del Pacífico), es seguro que el

sistema etak estableció sus instrumentos de resolución suficientemente alta siglos antes

que las cartas náuticas se conocieran en Europa o que las brújulas magnéticas llegaran a

Puluwat.

Dicho esto, diré que encuentro lamentable que tanto la etología como la psicología evo-

lutiva hayan creído durante tanto tiempo y continúen sosteniendo hasta el día de hoy

que el dead reckoning y las coordenadas egocéntricas de localización son características

de las formas más embrionarias, pre-humanas y pre-corticales de percepción y motrici-

dad para operar las cuales alcanza y sobra con un hipocampo como el de las aves, con

un sistema límbico como el de cualquier mamífero o con un no-cerebro pre-nervioso co-

mo el de los insectos. Premisas como ésas han permitido que A. S. Etienne y otros

(1998) se concentraran en el estudio del dead reckoning en una enciclopedia colectiva

dedicada al estado de arte de la representación espacial en los animales peor situados en

la jerarquía, mientras que Steven R. Fry y Rüdiger Wehner (2002) aseguraban que las

abejas almacenan hitos (landmarks) en un marco de referencia egocéntrico pertenecien-

te a la especie de orientación espacial peor calificada de todas las que existen.

Es verdad que los autores enrolados en las confesiones doctrinarias más diversas cum-

plen con el ritual de reconocer que tanto el sistema de orientación absoluto como el ego-

céntrico resultan por igual eficaces. El problema empieza empero cuando los psicólogos

de adscripción piagetiana (en la línea de C. R. Hallpike) desmerecen los logros intelec-

tuales de las otras culturas por encontrar que están articulados en torno a prestaciones

naturales y ontogenéticamente primitivas a las que los occidentales mayores de edad se

las ingeniaron para mantener a distancia. No es una hazaña intelectual notable –piensan

estos personajes– meramente re-producir lo que la naturaleza humana (o la humanidad

en estado de naturaleza) podría hacer por sí misma, como si la cultura no aportara nin-

gún valor agregado a lo que los meros instintos naturales pre-cableados e innatos permi-

ten lograr (v. gr. Pinker 2002). Comparto no pocas ideas con la psicología y la antropo-

logía evolucionaria, empezando por su cataclísmica impugnación de cualquier forma de

relativismo. Pero fue por prejuicios irreflexivos como aquéllos (que animalizaban al

“hombre primitivo”) que la tecnología occidental demoró la invención de los sistemas

de posicionamiento hasta casi acabado el siglo XX; y fue por la propia inanidad de esta

forma de pensar que dicha “invención” no ha sido, ni de lejos, el milagro etiológico, la

epifanía o el acto de creación conceptual que pretende la nueva mayoría moral del cien-

198

tificismo conservador, el cual sigue pretendiendo que esa tecnología la inventó tal o cual

programador californiano en los años ochenta.

Todavía está por escribirse el estudio de los sistemas oceánicos de navegación en térmi-

nos de sus poderosas geometrías inherentes. Pese a que el etak es claramente un modelo

heteróclito de geometría proyectiva, la palabra ‘geometría’ no parece ni una sola vez en

el libro de Gladwin. Aunque la bibliografía contemporánea de temas náuticos alcanza la

cifra de los cientos o miles de monografías, disertaciones y ponencias, en ella se ha con-

cedido muy poco espacio a las descripciones de otros sistemas e instrumentos de nave-

gación, tales como las de los mapas de varillas y conchas de las islas Marianas, la del

sistema polinesio Te Nohanga Te Matangi (George 2013), o los poco conocidos siste-

mas de Anuta y Tikopia entrevistos por el navegante David Henry Lewis (1994 [1972]).

La bibliografía antropológica sobre las cabales geo-metrías de los sistemas oceánicos de

navegación es extensa pero en su mayor parte se encuentra tan abandonada en el labe-

rinto de la disciplina como el libro de Gladwin lo estuvo hasta hoy (cf. Sarfert 1911;

Damm y Sarfert 1935; Hornell 1936; Burrows y Spiro 1957; Davenport 1960; Golson

1963; Lewis 1964; Alkire 1965; 1970; Gunn 1970; Riesenberg 1972; Freedman 1980;

Goodenough y Thomas 1986; Turnbull 1993; 2003; Frake 1995).

En cuanto a la navegación basada en grafos, ella remite incuestionablemente a las prác-

ticas de movimiento a través de grafos eulerianos descriptos en nuestro capítulo sobre

nitus y otro grafos lineales (cf. págs. 131 y ss. más arriba). No es casual que la docu-

mentación originaria sobre estos grafos como recursos etno-geométricos o etno-topo-

lógicos, el libro magno de Marcia Ascher (1988), se refiera a una cultura insular (los

Malekula) cuya forma más saliente de transporte (y cuya escena más recurrente en la

mitología y la narrativa oral) es la navegación a través de los océanos. Ascher volvió a

tratar el tema de las cartas de varillas específicas de las islas Marshall en un trabajo

ulterior en el que no menciona los conceptos de grafo o de flujos en grafos, concentrán-

dose más bien en la geometría esquemática, abstracta y simétrica de los mapas de tipo

mattang y en los criterios representacionales de las cartas meddo y rebbelith. Éstas se

refieren a áreas concretas más pequeñas o más grandes, respectivamente; encarnan es-

pacios análogos a los espacios de la navegación real, aunque cuando se navega las car-

tas de varillas (arquetipo de cognición situada) ya han sido memorizadas y asimiladas

por el cuerpo –se diría– y no es por tanto necesario cargarlas a bordo (Hines 1952;

Ascher 1995; Davenport 1960; 1964; fig. 10.2).

Dado que tampoco es casual que la consulta de cualesquiera datos en la red de redes se

lleve a cabo mediante browsers de los que se piensa que son herramientas de navega-

ción, no estaría de más detenerse unos minutos más en esta temática. Podría decirse, en

puridad, que la virtualidad en la que moran esos artefactos es líquida y navegable, a tal

extremo que Graph-Based Navigation es el nombre contemporáneo que desde la segun-

da década de este siglo joven reciben estas técnicas situadas en la vanguardia de la tec-

nología pero que capitaliza saberes ancestrales respecto de flujos, corrientes, circulacio-

nes y trayectorias que en algunos contextos han sido modelados utilizando avatares de

nitus, mapas de conchas y varillas, diagramas en la arena u otros artefactos culturales

199

(cf. Rodríguez y Godoy 2006; Hage, Harary y James 1986). Es sólo a la luz de las tec-

nologías computacionales avanzadas que se puede comenzar a comprender el potencial

de los mapas de varillas y otras formas análogas –frecuentemente reticulares– de repre-

sentación geométrica de desplazamientos por el espacio (Romm 2015; Kaeppler 2008).

La tecnología de G-BN se combina con otra similar cuyo nombre provisorio es el de

Spatial Network Approach. Ambas variantes son conspicuas en las multitudinarias con-

ferencias GIScience que se vienen reproduciendo desde 2001 y que ya van por su déci-

ma edición en una seguidilla publicada indefectiblemente por Springer en la serie Lec-

ture Notes on Computer Science, la que en estos días está completando sus primeros

cinco mil volúmenes. Es en estas series editoriales de autoría científica colectiva (y no

en las de Routledge, atascadas en una pequeña y recurrente literatura antifundacional de

los noventa consagradas al culto a personalidades intelectuales que han sido partícipes

necesarios de un vaciamiento metodológico que sus desabridas alusiones a fractales, es-

pacios hiperbólicos, gramatologías y multiplicidades no alcanzan a disimular) donde el

lector con necesidades de apertura transdisciplinaria y actualización científica debería

empezar a buscar.

Figura 10.3 – Diseños geométricos de fachada y dintel de la cultura Abelam, Sepik Oriental, Nueva Guinea, según Craig y otros (2010: 74). Recolectada por R. D. Mackay, ca. 1970.

Papua New Guinea National Museum and Art Gallery. Comparar con figura 1.3 más arriba.

200

A fin de completar esta sección del capítulo conclusivo con la misma secuencia de in-

comprensión doméstica inicial y epifanía transdisciplinaria subsiguiente que ha ritmado

la narrativa de cada uno de los hitos ya revisados se me ocurre oportuno citar las conclu-

siones de mi admirado Edwin Hutchins (él mismo –igual que Gladwin– un exiliado de

la disciplina tardíamente reconocido) en su apología de la navegación micronesia como

uno de los mayores logros sistemáticos de la etnogeometría. Oponiéndose a un estudio

de Kjell Åkerblom de rigor aparente pero por completo basado en información de se-

gunda mano escribe Hutchins:

Failure to take the utility of alien mental models seriously cheats us out of important in-

sights. Åkerblom (1968) ends his discussion of Polynesian and Micronesian navigation

with the following passage:

Polynesians and Micronesians accomplished their voyages, not thanks to, but in

spite of their navigational methods. We must admire them for their daring, their

enterprise and their first rate seamanship [p. 156].

I hope this chapter succeeds in laying such notions as Åkerblom’s to rest. In fact, it seems

more likely to me that we who have studied Pacific navigation have accomplished what

understanding we have, not thanks to, but in spite of our own cultural belief systems (1983:

224).

Habiéndonos acercado a la comprensión de los modelos oceánicos gracias al trabajo de

una antropología operando en las márgenes, en estado de gracia y en su mejor momento

ahora sabemos que los micronesios, en fin, no necesitaron un Euclides que formulara

los teoremas de la navegación sin instrumentos, o que escribiera el catecismo de su es-

trategia de redes espaciales en base a una pomposa notación simbólica a imagen y seme-

janza de la que se despliega en las paráfrasis académicas de los ni siquiera bien leídos

Elementos de Euclides. De alguna manera, los navegantes occidentales advirtieron la

eficacia práctica del etak y llamaron con ese nombre al primer aparato moderno de geo-

posicionamiento sin presuponer que no iba a funcionar porque la cultura Puluwat se

inscribía en una esfera ontológica distinta, que era lo que podría augurar que sucedería

la geometría dependiente de una perspectiva como la que podría proponer (pongamos)

un antropólogo relativista, desigualador y exotista como Philippe Descola.

En este sentido, llamar etak a ese aparato revolucionario fue exactamente lo mismo que

denominar adinkras a los alfabetos simbólicos de la supergravedad o que buscar cuasi-

cristales o anillos de carbono nuevos en base a las geometrías de los grupos aperiódicos

de los embaldosados islámicos. Si algo hemos aprendido en este proceso fue que en vir-

tud de sus etnometodologías complejas y de sus bricolajes adaptativos los etnogeóme-

tras del resto del mundo pudieron lograr lo que lograron independientemente y/o mucho

antes que nosotros, y que en la adopción intercultural de las geometrías artísticas, cientí-

ficas o espaciales una misma lógica y una misma estructura narrativa en el contexto de

justificación atraviesan el campo de principio a fin y asoman en cada uno de los casos

que jalonan el registro.

Lejos del bien intencionado, respetuoso y atendible postulado de David Turnbull (1993;

1997) de que toda ciencia es conocimiento local, entiendo que lo que hay es más bien

201

una sola ciencia global híbrida, politética y convergente susceptible de desarrollarse de

muy diversas maneras, por poco que entendamos que el criterio maestro de cientificidad

es la realización práctica sostenible, a la cual sería sano situar de una vez por todas al

lado o por encima de los requisitos convencionales, pre-gödelianos, adventicios y abs-

tractos de consistencia lógica, completitud y valor de verdad (cf. Serres 2017: x).

Si al filo de la finalización de uno de los trabajos más laboriosos que he emprendido se

me permitiera expresar una petición, pediría que entre los que estamos eternamente en

contienda recíproca (que somos casi todos) podamos encontrar alguna vez algún punto

decisivo de consenso entre las muchas desavenencias formal o ideológicamente indeci-

dibles que siguen agitando el aire de las ciencias. Las refriegas más sustanciales y ur-

gentes que se han desarrollado en el seno de la etnogeometría no han presenciado mu-

chos casos en los que tal género de acuerdos tuvieran lugar. Intuyo que la solución a

este dilema no finca en un enésimo corte del nudo gordiano, ni en una táctica escéptica

de tierra arrasada, ni en una tercera posición a negociar entre posturas distanciadas por

fuertes asimetrías de poder, sino en una atención renovada y reflexiva hacia el valor, la

arquitectura conceptual y la sistematicidad de las prácticas, tal que las formulaciones

teóricas a propósito de éstas que fiscalicemos más duramente sean primeramente

aquéllas que nos seducen más. No es éste, empero, el temperamento que prevalece en el

mercado teórico.

La literatura etno- y arqueogeométrica no ha sido, sin embargo, de las más armónicas.

La conflictividad sigue siendo el ethos dominante, por ejemplo, en la disputa de Ron

Eglash contra el cientificismo y la extradisciplinariedad de la cristalografía, o en la que-

rella entre los que piensan que no hay fractales fuera de África y los que sostienen lo

contrario, o en la pelea nunca resuelta entre el bando de Emil Makovicky y el de Lu y

Steinhardt (que acaba siendo también el bando de Sir Roger Penrose) a propósito de si

existe o no verdadera aperiodicidad en el embaldosado islámico, o en la imputación que

realizan Diego Villar y Federico Bossert acusando a Max Schmidt de desmerecer la vi-

sión de los nativos para concentrarse en una geometría solamente formal, o en la prédica

de Howard Morphy, Morgan Perkins, Jane Schneider y Herschel Chipp contra el

axiomatismo geométrico descontextualizado de ¡Franz Boas!, o en la disputa entre los

que alegan (como C. R. Hallpike, Edward R. Tregear, Abraham Fornander, Augustus H.

Keane y el supremacista blanco portorriqueño con infatuaciones de canadiense Ricardo

Duchesne) que las altas geometrías que posibilitaron la navegación oceánica son prerro-

gativa de los dolicocéfalos rubios y quienes sabemos que la historia es muy otra,68

o

68

Sobre las hipótesis que aseveran que los polinesios, los micronesios y los maoríes son pueblos pertene-

cientes a la raza “aria” y que la ciencia ha sido y sigue siendo, consecuentemente, una empresa puramente

“europea” véanse Fornander (1880), Tregear (1885), Keane (1896) y Duchesne (2017) posicionados a fa-

vor versus Herman (2014) y yo mismo en minoría pero rabiosamente en contra. En la tabla periódica de

aquel género alguna vez tan popular y revivido ahora por los más vehementes de los supremacistas blan-

cos sólo estaría faltando una tesis que se atreviera a identificar a los melanesios como pueblos “arios”. El

colmo sería. Creo no onstante que si no se ha propuesto una idea encuadrada en semejante oxímoron no

ha sido por su ostensible contrasentido, sino porque no se ha sabido encontrar en los saberes prácticos

melanesios nada que a juicio de los estudiosos implicados en esa clase de ideas haya valido la pena al

extremo de obligarlos a pensar en su posible arianidad.

202

entre la visión del kolaṁ como posición política y corporal de Anna Laine y Anil

Menon en disputa con el formalismo gramatical de Gift y Rani Siromoney, o en el ritual

de evitación que Genevieve von Petzinger ejecuta contra la analogía gramatológica de

Christopher Tilley o la geometría sígnica de Garrick Mallery, Richard Daly, Robert

Bednarik o Herbert Kuhn, o o entre los que creen que las canciones tejidas de los Shipi-

bo son el sonido que emana de sus geometrías tortuosamente simétricas cuando se al-

canza un estado alterado de conciencia (ayahuasca mediante) y los que piensan que todo

es un engaño para bobos, un buen negocio para un conciliábulo de oportunistas ins-

talados en la consola de mandos de la industria cultural o un metarrelato psicodélico

demasiado fluorescente para ser auténtico.

En lo que a América Latina respecta, y aparte de la eterna brega entre los humanistas

simbólicos y los científicos evolucionarios y del trabajo inmenso que resta hacer en ma-

teria de sistematización y armado de los datos de referencia, la etno- y la arqueogeome-

tría mantienen una cifra desmesurada de deudas pendientes. Entre las más importantes

de ellas se cuentan:

(1) la plena adopción de protocolos nomenclatorios para la clasificación de las simetrías

precolombinas, históricas y contemporáneas de todo el continente como primer paso

para articular una geometría descriptivamente rigurosa y auténticamente comparativa;

(2) la adopción de herramientas de modelado que resultan indispensables habida cuenta

del estancamiento de las viejas retóricas de siempre en el ámbito de los pomposamente

llamados métodos cualitativos;

(3) la complementación de los metarrelatos relativistas y perspectivistas engranados en

el giro-ontológico que acentúan la diferenciación cultural a caballo de las últimas modas

neo-shamánicas (v. gr. González 2016) por descripciones de orden geométrico que no

silencien las similitudes que se encuentren y que no repriman la posibilidad de univer-

sales del conocimiento y de la geometría misma;

(4) el tratamiento cabalmente geométrico de las técnicas de cestería en general y las de

la cestería amazónica y fueguina en particular (o de las geometrías textiles en general y

de las andino-amazónicas en especial) como otros tantos espacios y contextos en los que

América Latina llegue a estar en condiciones (como el Islām lo ha estado y África lo si-

gue estando) de plantar sus artes geométricas en los primeros planos del mapa del

mundo;

(5) el estudio, demorado desde los primeros contactos “científicos” en el siglo XIX, de

los ostensibles patrones geométricos presentes en la pintura corporal del extremo sur del

continente americano, en los que se manifiesta la actuación de un código conmutativo

minimalista: pocos “motivos”, pocas variables de orientación, pocas opciones de escala,

pero un potencial combinatorio prácticamente infinito (cf. figs. 2.1, 10.4 y 10.5).

(6) la búsqueda y negociación de estrategias de salida de la situación de “artes para

turistas” y de invenciones culturales sub-valoradas e indulgentes en que se encuentran

muchas de las prácticas geométricas en el mercado artístico y artesanal de la globaliza-

ción;

203

(7) el vínculo entre la etno-geometría con las teorías de estado de arte que se encuentran

abocadas al estudio de la geometría del pensamiento, a la cognición situada y a la bús-

queda de las primitivas geométricas de la percepción, la lógica, la escritura, el ritmo, el

lenguaje y el dominio (neuro)cognitivo que cuadre, ligando lo particular y lo general de

maneras más estimulantes y abiertas a la comparación que las que hemos estado ensa-

yando hasta ahora (cf. Evans y Chilton 2010; Mix, Smith y Gasser 2010; de Hevia,

Girelli y Cassia 2012; Tenbrink y otros 2013; Chilton 2014; Hohol 2019).

También hay una amplia colección de estudios de casos con otras aspiraciones en mente

que han resultado reveladores y que ofrecen un sinnúmero de probables hipótesis de

trabajo. Al lado del caso latinoamericano el caso de Nueva Guinea debería ser mejor co-

nocido, aunque no sea más que por la grosera injusticia de su postergación. Actualmente

se cree que Melanesia se pobló hace por lo menos 35.000 ó 40.000 años mientras que

los micronesios y polinesios cruzaron raudamente Melanesia procedentes del sudeste

asiático, de la costa de China y de Taiwán (con consecuencias mayormente biológicas)

hace sólo unos 5.000 años, asentándose más tarde en sus territorios actuales (Hauser-

Schäublin 1996; Kayser y otros 2000; Friedlaender 2007).

Figura 10.4 – Pintura corporal en ceremonia de iniciación Selk’nam.

Foto de Martin Gusinde, ca. 1923, s/referencia. Compárese con figura 2.1 y 10.5.

Por tales motivos, ediciones futuras de este libro incluirán referencias a las notables

antropogeometrías simétricas y fractales de Trobriand y Nueva Guinea que aquí sólo

puedo muestrear muy sucintamente y de las que sólo diré que de haber sido conocidas

en Europa hacia 1905 o 1906 podrían haber cumplido el mismo papel frente al arte que

el que jugaron las máscaras Fang descubiertas por Henri Matisse, André Derain y

Maurice de Vlaminck y que pocos meses después (reza la leyenda) inspiraron el período

204

primitivista de Picasso que desembocó en la invención del cubismo y que definió de una

vez y para siempre nada menos que la esencia del arte moderno (Errington 1994; Cohen

2017).

Comenzado a edificar tras medio siglo de inexplicable silencio desde sus primeras ma-

nifestaciones artísticas, este relato se construyó escalonada y recurrentemente desde ha-

ce 70 años con las contribuciones canónicas de Tristan Tzara (1951), Douglas Fraser

(1957), Jean Laude (1968), Serge Guilbaut (1983), William Rubin (1984), Jacques

Kerchache (1994), Sieglinde Lemke (1998), Larry Shiner (2001: 269-274), Jean-Louis

Paudrat (2004), Susan Vogel (2007), Suzanne Preston Blier (2014) y Christian Weikop

(2014), entre otr@s que están clamando por su relectura. Nótese que en esta narrativa la

geometría no constituye una preocupación primordial; tampoco es central la disyunción

entre figuración y abstracción geométrica. Aun entre los más entusiastas en favor del

primitivismo, el género etnográfico no ha calado como prestador de información con-

textual, ni siquiera en su variedad “experimental” posmoderna.

Figura 10.5 – Izq.: Colocación de cueros de chulengos para armar un Kai – Según Echeverría Baleta

(1991, Lám. 2) – Basado en Lothrop (1929: fig.6, pág. 15). – Repr. Siegeltuch (2018: 5) Der.: Escher, “Symmetry Work 67”. Galería de M. C. Escher.

Ambas imágenes ilustran casos de simetría planar de tipo p2 [Coxeter-Moses p211]. Vainshtein (1994 [1981]: 158) asigna la figura al grupo de anti-simetría pg’.

El nombre del creador del concepto de primitivismo y primer director del largamente

difunto Museum of Primitive Art de Nueva York (Robert Goldwater [1907-1973]) fue

asimismo olvidado o agraviado por los responsables de las principales crónicas primiti-

vistas de la historia del arte y de la antropología que fueron las que ganaron las primeras

planas. En un artículo sobre el primitivismo que en nuestra disciplina pasa por ser defi-

nitivo, el antropólogo posmoderno Fred Myers (2006) equivocó la referencia al nombre

de la primera edición del libro de Goldwater y le atribuyó ideas sobre el infantilismo

como rasgo propio del arte primitivo que Goldwater se encontraba lejos de sostener (cf.

Goldwater 1938). Myers también hizo suya la idea gastadísima de que las artes primi-

tivas pasaron de los museos etnográficos a los museos de arte, una fórmula que se repite

paper de por medio como si fuera la primera vez que se pronuncia y de la que medio

205

mundo se arroga la paternidad.69

Otro antropólogo también posmoderno, James Clifford

(1995 [1986]), cuya obra más tachonada por artículos sobre antropología del arte tuve

oportunidad de traducir hace ya un cuarto de siglo, apenas si menciona por referencia

interpósita el nombre de Goldwater, a quien se da el lujo de excluir de su bibliografía.

La antropología del arte, concomitantemente (incluyendo la obra de Clifford), casi no

fue tenida en cuenta en la codificación del canon primitivista que armaron los críticos de

arte. Muchos antropólogos creen que la obra de Clifford ha sido seminal en este mo-

mento de cambio cultural generalizado y que la disciplina está poniendo los puntos so-

bre las íes; fuera de ella, sin embargo, no han sido muchos los influencers del mundillo

intelectual que han leído sus obras constitutivamente fugaces y que han averiguado a

través suyo –como se dice en el primer mundo– what is anthropology all about.

Hay quienes entienden que el arte africano y el arte oceánico, aun cuando sean casi con-

temporáneos nuestros, son también de algún modo arquetipos de lo primitivo. Conviene

sin embargo estar alerta frente a la imprecisión terminológica, la vaguedad argumen-

tativa y los errores de hecho que priman entre los intelectuales contemporáneos cuando

de antropología y arqueología se trata. Este sindrome afecta incluso a unos cuantos

pensadores de bien ganado prestigio que se han doctorado en antropología pero que han

cursado pregrado en otras disciplinas, tal como sucede típicamente en la academia de

Francia y de Brasil. Las mismas observaciones caben a la totalidad de los codificadores

del primitivismo en historia del arte a los que hicimos referencia un par de párrafos

atrás. Cuando entre estos intelectuales se habla de primitivismo oceánico no es inusual

que se piense más en pintura o en escultura naturalista que en todas las demás formas

del arte y más en Matisse, Gauguin y Tahiti que en el arte nativo de Melanesia o de

Nueva Guinea. Excepto en la Rockefeller Wing del Metropolitan Museum de Nueva

York (donde fue a parar la excepcional colección del antiguo New York Museum of

Primitive Art que había dirigido Goldwater), el “arte negro” de los conocedores no

incluye ni el arte de Nueva Guinea ni el de Melanesia, dos conjuntos entre los que

abundan desarrollos geométricos de excepción pero de los que nadie en toda la antro-

pología del arte (Gell incluido) se ha ocupado todavía con el grado de rigor requerido.

Ahora bien, Nueva Guinea –sostendré en próximas ediciones– posee entre trecientas y

quinientas artes comparables al de las máscaras Fang, además de una estética explícita

elaboradísima y una arquitectura monumental en madera que en África no se ha conser-

69

Respecto del primitivismo en el ámbito Iberoamericano, véase Muñoz Torreblanca (2009); sobre el arte

primitivo como “arte sin reglas, de libertad plástica infinita” o como manifestación que se presenta idénti-

camente entre los niños, los artistas amateurs, los deficientes mentales, los campesinos, los pobres y los

primitivos véanse Roger Fry (1920) como promotor de esta clase de ideas y Larry Shiner (2001) como

unos de sus críticos más equilibrados. Fry ha sido pintor y crítico de arte; Larry Shiner es profesor de His-

toria del Arte y Filosofía: aunque el tema es antropológico por donde se lo mire, la antropología del arte

no ha tenido casi participación en estas contiendas. Contrariamente a lo que se ha echado a rodar, la histo-

ria del arte no necesitó el auxilio de la antropología posmoderna para corregir los sesgos racistas y discri-

minatorios de la crítica de arte moderna y de la antropología colonial o defenestrar la concepción anti-

geométrica que consideraba al neolítico como una degradación a partir de la Edad de Oro figurativa del

Paleolítico; ya en la década de 1930 (décadas antes de Leroi-Gourhan) Robert Goldwater, en un libro que

suena contemporáneo y cuya lectura recomiendo contrastar con la de Clifford y Myers, había puesto las

cosas en su lugar (v. gr. Dawkins 1880: 305 versus Goldwater 1938: 15-18).

206

vado o se ha plasmado en piedra, barro, metal u otros soportes (Hauser-Schäublin

1996). Ni hablar, por cierto, de los formidables y variados sistemas papuas de numera-

ción, capaces de desmontar de un solo golpe los embustes de los perspectivistas que han

sostenido –sin tomar noticia de las etnomatemáticas básicas– que “no hay sistemas de

números discretos” en las ontologías de Amazonia o de Nueva Guinea, y que la nume-

ración discreta (o el sistema binario, o el modus ponens) son peculiaridades exclusivas

del Occidente moderno, o que hay una congruencia relacional en los sistemas de escritu-

ra de Occidente y las grandes civilizaciones que las arqueo- y las etnogeometrías han

desconocido.

Las geometrías de las que aquí nos hemos ocupado son también capaces de poner en

evidencia los juicios al borde del disparate de Clifford Geertz y de Roy D’Andrade

cuando les daba por proclamar que “no hay sistemas” o (peor) “no hay patrones” en la

antropología o en la cultura humana; y puede que esos patrones sistemáticos nos sirvan

(por último) para estimularnos a revisar las banalidades geométricas y epistemológicas

que encierra la noción de “persona fractal” fraguada por Roy Wagner, adoptada por Ma-

rilyn Strathern y aplaudida acríticamente por Viveiros de Castro, Bruno Latour, Alfred

Gell y Danièle Dehouve (ver fig. 10.3 más arriba y 3.15 más arriba todavía; cf. Geertz

2002; Wagner 1991; Gell 1998; Dehouve 2015; 2017 versus Van Baaren 1968; Hut-

chins 1980; 1995; Smidt 1999; Layton 2003; Bowden 2004; Winter 2007; Morphy

2009; Craig y otros 2010; Owens 2015; Owens y otros 2018: esp. 304-308; Reynoso

2019b).

En el caso fueguino (y al igual que en otras ocasiones ha sucedido con tasmanios, aus-

tralianos, negritos, melanesios, pigmeos, pigmoides, bosquimanos, andamaneses y otras

de esas etnias a las que Ehrenreich o Grosse agrupaban entre los Urvölker [“pueblos pri-

mordiales], a las que Murdock clasificaban como pertenecientes al grado cero de la civi-

lización y a las que a Deleuze o a Lévi-Strauss les motivaba situar entre los salvajes por

antonomasia) hemos tenido ocasión de poner en tela de juicio el hábito antropológico –

nunca abandonado por completo– de pretender que las geometrías refinadas se corres-

ponden con altos niveles de desarrollo y que a los pueblos que viven en la simplicidad

sólo les cuadran ejercicios a veces bellos a la vista, es cierto, pero incapaces de inspirar

ideas de gran calado que influyan en la ciencia o en la cultura contemporánea.

Lo primero a cuestionar sería, desde ya, la disyunción binaria de lo simple y lo com-

plejo, aun cuando se refiera a cosas tan mensurables y observables como la tecnología o

la cultura material. En el caso fueguino y patagónico estas sociedades que Charles Dar-

win (1909 [1839]: cap. x) consideraba próximas a la animalidad exhiben varias destre-

zas artísticas y potencialidades manuales o corporales de notable confección e indiscuti-

ble excelencia sea cual fuere el criterio técnico, algorítmico o estético que el lector guste

estipular. Artes que parecen estar constituidas por elementos simples (puntos y man-

chas, líneas o franjas) revelan composiciones de rica articulación y de combinatoria ina-

gotable, tal como comprobaremos más abajo a propósito de la pintura corporal, cuyos

motivos aparecen replicados en pinturas rupestres descubiertas en el presente siglo

207

(González Calderón y otr@s 2014; Muñoz y otr@s 2017). Otro caso a cuento son las

geometrías de las cestas y de los quillangos.

El caso de los quillangos [o kai ajnun, en Tehuelche] nos pone frente a una de las tecno-

logías de trabajo y diseño geométrico del cuero más elaboradas del mundo (ver fig. 2.3).

Los kai se confeccionaban con pieles de chulengos o guanacos muy jóvenes sobados y

cosidos con nervios de choique o con la vena del cogote de un guanaco adulto. Tal

paree que la calidad de la costura era extraordinaria. Las mujeres ponían las mantas a

contraluz para controlar que no quedaran pequeños huecos entre las partes. Algunos

ejemplares de costura muy precisa se usaban para transportar agua.70

Una vez cosidos,

los quillangos se pintaban con pigmentos diversos como se muestra en las imágenes,

prevalentemente con diseños geométricos rectilíneos dispuestos en patrones que todavía

resta clasificar y que son similares a los que se encuentran en las pinturas rupestres de la

región. Hay minuciosas descripciones de esta tecnología en la literatura con abundante

información contextual y con sólidas aproximaciones a las técnicas de trabajo en cuero;

pero no hay ni una sola elaboración analítica de las simetrías implicadas utilizando no-

menclaturas sistemáticas, de modo que sólo citaré la bibliografía que incluya materiales

gráficos para que el lector se haga una idea de los patrones geométricos existentes, mu-

chos de ellos englobados en lo que Oswald Menghin llamó históricamente “estilo de

grecas” (Lothrop 1931; 2001 [1929]: fig. 8, 9, 12, 14, 15, Pl. lxv, lxvi; Menghin 1952;

1957; Echeverría Baleta 1991: lám. 8-43; Fernández C. 1997: esp. Fig. 2, 6-10, 15-19,

22, 24, 26; Caviglia 2002: 59-63 y láms. i-iv).71

Algunos patrones geométricos de extra-

ordinaria concepción quedan escondidos bajo la pintura, pero no por ello son menos no-

tables; de la inmensa cantidad de ejemplares reproducidos en la literatura escogí el que

he incluido en la figura 10.5, en la cual he contrapuesto la imagen que muestra la colo-

cación en embaldosado periódico de los cueros de chulengo con una pintura sólo un

poco más complicada del reconocidamente genial M. C. Escher.

A lo largo de este libro he documentado tres casos de pintura corporal entre los aboríge-

nes de Tierra del Fuego que en oportunidad de su estudio científico tampoco fueron, a

70

Vicente Fiadone, comunicación personal (2020).

71 La mayoría de los diseños compuestos pertenecientes al “estilo de grecas” y a otros patrones identifica-

dos como “geométricos” pertenecen a algunas de las siete simetrías de frisos reconocidas (p111 – p1a1 –

p1m1 – pm11 – p112 – pma2 – pmm2 ) en frecuencias y distibuciones que falta determinar. En lo que a Pata-

gonia concierne las isometrías presentes en ejemplares que se dicen pertenecientes a esos estilos están to-

davía pendientes de clasificación. La discusión sobre estos estilos geométricos en Patagonia es una de las

más ricas, complejas e interesantes que atraviesan la arqueogeometría y también una de las más necesita-

das de actualización. Concedo a Jorge Fernández C. (1997: 245, fig 26) del CONICET-INAPL haber des-

cubierto (antes que yo lo re-descubriera) que los cueros de quillangos se acomodan según el mismo pa-

trón que se presenta en los teselados de Escher. Fernández, no obstante, no utiliza la nomenclatura de las

isometrías del plano ni hace referencia a los embaldosados islámicos y pre-islámicos que inspiraron a

Escher. Él considera además que estos motivos geométricos ornamentales son demasiado “evoluciona-

dos” y “complejos” para un pueblo cazador-recolector, una expresión extraña en boca de un antropólogo

contemporáneo. Sin pretender intervenir en una polémica tan fructuosa debo decir que la naturaleza

exógena de los motivos escherianos en Patagonia y el vehículo de transporte que llevó esos motivos a los

quillangos (haya sido textil, lítico o cerámico) no afecta a los argumentos desarrollados en este trabajo en

tanto ellos sean –como sin duda lo son– anteriores a los embaldosados de Escher e independientes de las

teselaciones islámicas y arábigo-andaluzas.

208

mi juicio, objeto de tratamiento geométrico adecuado (cf. Gusinde 1920a; 1920b; 1922;

1924; 1951; 1982 [1931]; 1986 [1937]; Fiore 2001: 2005; 2009; 2014b; 2016; Palma

Behnke 2010: cap. iv). Los autores implicados en la descipción de estas artes corporales

a lo largo de un siglo han proporcionado información contextual rica y sensitiva pero no

han logrado precisar y poner en foco la escala adecuada en la que se manifiestan las

alternativas de composición. Esta combinatoria clama por un enfoque basado en grupos

de transformación en el interior de un sistema en el que la unidad no sea ya el “motivo”

sino la totalidad de la parte visible del cuerpo. Además de la distinción entre la cabeza

(o la máscara) y el grueso del cuerpo hasta las rodillas o los tobillos es conspicua la

presencia de un eje vertical de espejado, de conmutación o de negación actuante en

diversos contextos.

10.5 – Pintura corporal Selknam para la ceremonia de iniciación Hain.

Armado con fotografías de Martin Gusinde, 1923. Comparar con figs. 2.1 y 10.4. Contrariando a Lévi-Strauss, hay variedad de máscaras simétricas en una sociedad no jerárquica.

El patrimonio documentado clama por una mejor articulación. A pesar de lo incompleto

y contingente de la muestra, se percibe que en un medio cultural puede haber varios

sistemas diferenciados y posiblemente un macrosistema global contrastante con otros en

otras sociedades. En cada uno de tales sistemas y supersistemas compuestos por conjun-

tos mínimamente redundantes, parecería no haber dos ejemplares con la misma dis-

209

tribución de patrones sea por decisión cultural, por insuficiencia de la muestra o por me-

ra sobreabundancia de la combinatoria. Cualquiera sea el motivo de esta organización

de alternativas, un ejemplar no es inteligible más que en el contraste de sus patrones con

los patrones de todos los demás ejemplares “gramaticalmente correctos” de cada siste-

ma o de cada unidad cultural (véanse figs. 2.1, 10.4 y 10.5). Lo primero para definir

cada sistema es por ende resignarse a emprender un inventario lo más exhaustivo posi-

ble de conjuntos y superconjuntos estilísticos; este inventario nunca se ha llevado a cabo

y que probablemente ya sea tarde para materializarlo de manera óptima, pero mientras

más completo sea servirá mejor al propósito heurístico de corregir los modelos de sínte-

sis que seamos capaces de elaborar.

Figura 10.6 – Izq.: Motivos incisos en huevos de avestruz, Diepkloof, Sudáfrica, 109 ka a 8 ka.

Patrones de líneas curvas (6), líneas paralelas (10), motivo de bandas cruzadas ortogonales(1-3, 5-9, 11-15, 17-19, 21-23, 25-26) y oblicuas (4, 20, 24).

(Basado en Texier y otr@s (2013: 3411, fig. 7). Der.: Motivos incisos en huevos de choique y ñandú de Patagonia, Argentina –

Fechados ca. 4 ka a 1 ka. - Según Fiore y Borella (2010: 280, Tabla 1). Comparar con signos pre-escriturales de las figs. 2.4 y 2.5.

A diferencia de lo que es el caso con los adinkra de Ghana, con los embaldosados islá-

micos, con los pentominós, con los grupos cristalográficos, con las 17 simetrías de Es-

cher o de la Alhambra o con la geometría de los acordes (para sintetizar los cuales con-

tamos con el Adinkra Grapher de Ron Eglash, con el Taprats de Craig Kaplan, con el

PentoPlus de Harmut Brown, con VESTA de Momia e Izumi, con EscherWebSketch de

EPFL o con ChordGeometries 1.1 de Dmitri Tymoczko) en el estudio de la pintura cor-

poral fueguina no contamos todavía con tales recursos de modelado (cf. King y Schatt-

schneider 1997). La arqueóloga argentina Dánae Fiore, en particular, ha practicado una

210

descomposición parcial de los motivos presentes (puntos, círculos, guiones, líneas, fran-

jas) y de las combinaciones básicas de los motivos pero sin definir patrones de más alto

nivel de organización, sin identificar constreñimientos combinatorios y parámetros de

orientación, sin subrayar que las variantes de escala en el tamaño de los puntos y en el

grosor de las líneas parecen ser solamente dos y sin reconocer el eje vertical en formato

de línea o de franja que define ya sea un espejado total o parcial, una transformación

nula o una conmutación. Su trabajo analítico es ciertamente único y empeñoso. La me-

jor elaboración analítica, por lejos, es la que se despliega en su disertación doctoral

sobre el particular (Fiore 2001), pero la versión disponible en University College Lon-

don omite las fotografías, por lo que resulta poco útil si es que el lector se propone em-

prender el trabajo relacional y comparativo que está faltando.

Como consecuencia de una epistemología que continúa creyendo en las virtudes de un

análisis de componentes disjuntos sin síntesis ulterior, en esta metodología no se acierta

a comprender la lógica de la relación entre estilos en el interior de la cultura ni el poten-

cial comparativo intra o intercultural que debe caracterizar una operación descriptiva.

Frente a esto, el modelado es, en último análisis, bastante más que una vía de escape. En

caso que se pueda consumar un modelo se podría establecer de qué manera las trans-

formaciones involucradas en un estilo permiten identificar denominadores comunes con

otros sistemas geométricos basados en grupos de transformación, tales como los adinkra

de Ghana, los tokapu del Perú, los embaldosados islámicos, los poliominós de Gerdes,

las teselaciones escherizadas o las isometrías de Washburn y Crowe.

El hecho es que la metodología analítica desplegada por Fiore opera en términos analó-

gicos tradicionales. Es así que la autora alega que ciertos patrones son marcadores de

diferencia social, de función, de género o de contexto cultural pero no presta atención a

otros isomorfismos y patterns más expresivos y menos dependientes de información eli-

citada según criterios cambiantes y ajenos al sistema. Cuando ella nos dice, por ejem-

plo, que los colores usados en la pintura corporal son regularmente sólo tres (blanco, ne-

gro, rojo) no acierta a investigar tampoco en cuántos otros casos se da la misma situa-

ción y en qué medida esas opciones tienen que ver con los focos cromáticos definidos

en las lenguas Selknam, Yamana y Alakaluf, son universales de la cultura material o

son contingentes a los pigmentos disponibles en sus respectivos territorios.72

El análisis

estilístico del arte corporal fueguino y magallánico (focalizada hasta ahora en motivos y

diseños, más que en patterns, espacios y conjuntos) tampoco habilita a construir o a

interrogar sistemas en el sentido saussureano y relacional de la palabra, en el que un

signo es todo aquello que los demás signos no son y en el que ningún elemento significa

nada concreto ni se asocia a ningún contexto u objeto circunscripto.

Situación parecida se da en el estudio de Fiore y Borella sobre las simetrías grabadas

sobre huevos de Rheidae [Rhea americana = ñandú y Pterocnemia pennata = choique]

recuperados de la costa norte del golfo de San Matías en Río Negro, estudio en el que la

72

Como bien se sabe a partir de los trabajos de Brent Berlin y Paul Kay (1969: 52-63) cuando en un

inventario léxico hay tres términos para los colores básicos los colores preferidos a través de las culturas

son prevalentemente ésos.

211

noción de simetría tampoco se usa en el sentido técnico que hoy tiene en arqueogeo-

metría y en el que las nomenclaturas de las isometrías de frisos, planos y rosetas no se

tienen en cuenta (Fiore y Borella 2010 versus Washburn y Crowe 1988; 2004; fig. 10.6,

derecha). Tampoco hay referencias a trabajos similares realizados en Diepkloof (Wes-

tern Cape, Sudáfrica) por el equipo de Pierre-Jean Texier y otr@s (2010; 2013) sobre

huevos de avestruz que se remontan a fechas tan tempranas como 108 ka; en ellos se

han encontrado diseños geométricos incisos, más de la mitad de los cuales se asemejan

bastante o se atienen a configuraciones isométricas idénticas a las de Patagonia pero a

más de 5 mil km y 105 ka de distancia (d’Errico y otr@s 2005; Rigaud y otr@s 2006;

Henshilwood y d’Errico 2011: cap. §4; véase fig. 10.6, izquierda). No hay al parecer

triángulos o hileras de triángulos en los huevos africanos de Diepkloof; pero tampoco

los hay en la pintura corporal de Tierra del Fuego, donde la orientación de las líneas y la

escala del espesor de los elementos sólo exhibe dos grados de libertad. En relación con

el vínculo entre los motivos de estas artes con los diseños característicos de las pre-es-

crituras europeas cantábricas y del Danubio, llama la atención que en ambos casos se

enumeren exactamente los mismos trazos elementales con casi las mismas nomenclatu-

ras:

V, chevron, zigzag, M, meander, net, bi-line, triline, lozenge, circle, triangle, egg,

checkerboard, spiral, hook, axe, comb, whirls, four-corner designs, life-column, hourglass

shape, bird’s claw, breast, vulva, uterus, phallus, ship, lunar shapes, flowers and other

vegetable shapes … (Bergen y Harrod 1996: 20).

En el estado en que se encuentra el campo, en fin, tampoco es posible interpelar la po-

sición relativa que el body painting geométrico en el extremo sur de la América indí-

gena ocupa en el conjunto de las artes del cuerpo que se trabajaron en los inicios biza-

rros de la antropología argentina de tono fascista y que setenta años después han resur-

gido con fuerza inédita (y como marcas tribales urbanas muchas veces estigmatizadas)

en la cultura urbana global, acompañadas de una literatura mayormente inscripta en (o

favorablemente inclinada hacia) los estudios culturales (cf. Dembo e Imbelloni 1938;

Vale y Juno 1989; Gell 1993; Camphausen 1997; Rosenblatt 1997; Atkinson y Young

2001; Fenske 2007, esp. cap. iv; Sanders y Vail 2008; Krutak y Deter-Wolf 2017; cf.

Reynoso 2009).

En la vida urbana y global contemporánea el tatuaje permanente es la alteración corpo-

ral más común. Tatuarse en estas décadas del nuevo milenio no es (valga la expresión)

una decisión cosmética o algo que sólo ocurre en otras latitudes o entre presos, sicarios,

cazadores de ballenas y miembros de las maras, la ‘ndragheta o la yakuza. Las personas

tatuadas hoy son millones y exhiben un fuerte sentido de pertenencia. Igual que sucedía

con los ejemplos africanistas que tratamos al principio de este libro, no es casual que es-

te último fenómeno sea visto por partidarios y detractores como una búsqueda identi-

taria, un “retorno a lo tribal” y una reivindicación de “lo primitivo” en el seno de la so-

ciedad (pos)moderna. No es casual tampoco que en el tratamiento libresco o periodís-

tico de esta nueva oleada de primitivización se deje la antropología de lado una vez más.

212

La perspectiva prevalente en la actualidad sobre las alteraciones de las geometrías del

cuerpo acarrea una inversión de las posturas dominantes en el origen de la literatura

comparativa en el siglo XVII, plasmadas en el mero título del libro del filósofo natural

baconiano John Bulwer [1606-1656] y que es un programa moral en sí mismo: Anthro-

pometamorphosis: man transform'd: or, The artificiall changling, historically presen-

ted, in the mad and cruel gallantry, foolish bravery, ridiculous beauty, filthy finenesse,

and loathsome loveliness of most nations, fashioning and altering their bodies from the

mould intended by nature; with figures of those transformations. To which artificial and

affected deformations are added, all the native and national monstrosities that have

appeared to disfigure the humane fabrick. With a vindication of the regular beauty and

honesty of nature, and an Appendix of the Pedigree of the English Gallant (Bulwer

1653 [1650]; cf. Montserrat 1998). Es dudoso que el rechazo de Bulwer hacia la altera-

ción cultural de los moldes geométricos propios de la naturaleza convoque hoy gente

dispuesta a defenderlo.

Pero tatuarse no es tampoco, en las actuales circunstancias, una cuestión zanjada. Indi-

ferentes ante la perspicua ligereza de su aparato analítico, desconocedores de los reposi-

torios antropológicos sobre las técnicas del cuerpo que nos vienen desde Marcel Mauss

(1934) e inclinados hacia pragmáticas y estéticas vinculadas al ya declinante movimien-

to de los estudios culturales de los años noventa, no todos los exotismos promovidos por

el movimiento neo-primitivista (vueltos a impulsar por el decolonialismo de los mille-

nials actuales) podrían soportar una crítica atinente a la autenticidad alcanzada por sus

búsquedas o a la coherencia y sinceridad de sus posturas multiculturales, más atareadas

en reimaginar estereotípicamente el pensamiento de unos Otros abstractos que en apren-

der de las prácticas concretas, en comprenderlas de manera sistemática o en expandir

exponencialmente el repertorio de las formas de expresión disponibles. En tales condi-

ciones no se puede excluir que la adopción de un signo impropio por parte de un grupo

social degenere en hipérbole, enaltezca creencias que valen poco u ofenda a otras de

más alto valor, incurra en actos de ultraje o sufra los efectos de la re-semantización, co-

mo sucedió con el alguna vez auspicioso adinkra de la svastika, incluido en alguna que

otra colección adinkraica, en el tapiz de Thomas Bowdich en el Museo Británico y en la

iglesia tallada en roca de Lalibela en Etiopía pero prolijamente censurada en otros docu-

mentos posteriores a la caída del Tercer Reich (cf. Polakoff 1980; véanse figs. 2.5 [pre-

escritura de Vinča] y 9.2).

La antropología ha estudiado las más diversas facetas del body art y de la modificación

intencional del cuerpo humano desde sus primeros días y es seguro que tiene algo que

decir sobre el particular (cf. A. Dingwall 1931; Rubin 1988; Gell 1993; Atkinson 2001;

Schildkrout 2004; Hertz 2008; Tiesler 2014). El repositorio acumulado en más de un si-

glo alcanza hoy proporciones gigantescas. Gran parte de los estilos de inscripción en el

cuerpo estudiados por la antropología resultan ser geométricos. Sus léxicos de cobertura

también lo son, aunque en el tiempo transcurrido desde la época de Bulwer y Dembo la

terminología ha ido cambiando; por empezar ya no se habla de deformación sino de

shaping, configuración, reconfiguración, alteración, modificación, transformación. Lo

familiar y lo diferente se distribuye de formas que no coinciden con las distancias cultu-

213

rales. Las formas extremas de la escarificación en nuestra sociedad se han tornado de

hecho tan radicales como las que pudieron haberse practicado en otras culturas y en o-

tros tiempos. En este sentido, el recientemente fallecido Fakir Musafar [1930-2018],

gurú supremo del movimiento primitivista, ha ido tan lejos como cualquier shamán.

Los juicios de valor han transado con las contingencias y con los poderes que ocasionan

estas metamorfosis; lo que antes era condena moral ahora tiende a ser hoy encomio; lo

que antes se reprobaba como native and national monstrosity ahora (aunque a regaña-

dientes y no sin resistencias) se tolera como costumbre local o habitus civilizatorio; lo

que antes se categorizaba como man transform’d ha adquirido una pátina inclusiva de

perspectiva de género que a los ojos de algun@s ha acabado por conferirle plena legiti-

midad. El desarrollo teórico y metodológico de la antropología, empero, no ha acom-

pañado al refinamiento del debate étnico y político en la arena pública.

No obstante el cambio de óptica, muchos de los repositorios muestreados por la antro-

pología comprenden diseños que serían de un alto impacto pero que no fueron bien co-

municados y que duermen en bibliotecas virtuales que pretenden embolsar una exorbi-

tancia por la compra de cada artículo. A la sombra de unos estudios culturales pro-

verbialmente incapaces de producir alguna innovación metodológica o de entregar un

mínimo de capacidad operativa, la elaboración teórica de la antropología y sus ciencias

tributarias en este espacio del conocimiento se está moviendo con exasperante lentitud.

La obra maestra en este rincón de la disciplina sigue siendo Wrapping in Images:

Tattooing in Polynesia de Alfred Gell (1993), un texto sobrevalorado escrito como con

culpa que habría ansiado apostar a la transgresión pero que en su obediencia intelectua-

lizada a la ortodoxia pos-estructuralista rara vez levanta cabeza más allá del más ordi-

nario sentido común. Aun cuando la antropología se supone que todavía ejerce magiste-

rio en el concierto de las disciplinas, nadie ajeno a la profesión parece haberse inte-

resado en ese libro, como si allá afuera no se necesitaran mediadores que vuelvan a re-

petir frases consabidas de Wilhelm Reich, Didier Anzieu y Michel Foucault o como si

la contradicción de utilizar simultáneamente conceptos pos-sociales de Marilyn Stra-

thern y la machacona idea de “lo social” que adereza el texto a razón de seis o siete

veces por página fuera demasiado evidente.

Considerando la vaguedad de las descripciones, el oportunismo de los compromisos, la

dependencia de las modas teóricas de la década que va marcando los rumbos de la

literatura explicativa y la propensión de los investigadores de la vertiente técnica y tec-

nológica a mantener escondidos sus materiales primarios, sus procedimientos de prueba

y el código fuente de sus herramientas, dado todo eso, decía, la realización del trabajo

sistemático en nuestra disciplina en materia de artes geométricas del cuerpo se presenta

cada vez más inviable a menos que las reglas del juego estén dispuestas a cambiar.

De todas maneras, una vez que se atemperen las actuales propensiones a envolver las

artes del cuerpo en actitudes de espíritu de rebaño y moda conformista entre quienes las

practican y en juegos de palabras posfundacionales e ínfulas pioneras entre quienes las

investigan, visualizo un tiempo en el que las geometrías fueguinas ejecutadas sobre el

cuerpo se agreguen a los diseños fractales, a los diseños mehndi en henna, a los irezumi

214

hiperreales y a los nudos pictos o celtas tatuados o pintados en el cuerpo como signos de

unidad y diferencia y como invitación a no visualizar lo ajeno como divergencia o resi-

duo exótico de nuestro pasado distante, sino como modelo alternativo para el presente o

como anuncio inspirador de un futuro posible. Cualesquiera hayan sido los retrocesos y

las flaquezas de las teorías a las que nos hayamos apegado, hoy podemos ver esos dise-

ños como marcas de las tribus urbanas contemporáneas que aspiran (como decía Ches-

terton)73

a un distinto uso de la diversidad y que al hacerlo nos abren puertas a una

apreciación más rica, completa y sistemática de sus manifestaciones: algo que ha sido

desde siempre, con todas sus vicisitudes, uno de los proyectos capitales de la etnogeo-

metría.

Frente a aquellos prejuicios acendrados que continúan poniendo el acento en la simpleza

y baja numerosidad de los constituyentes en detrimento de la riqueza de las transfor-

maciones y frente a nuestras metodologías geométricamente débiles que se aferran a los

árboles sin ver los bosques, el objetivo primario del libro que aquí transita sus últimas

palabras ha sido establecer la idea de que poner en duda la existencia de una geometría

compleja, empoderadora e imaginativa en el seno de culturas que albergan ontologías

inconmensurables que nada pueden enseñarnos en el plano científico y en la reorienta-

ción creativa de la vida social es una línea de argumentación a la que no deberíamos

prestar crédito nunca más.

73

Y como repetía Clifford Geertz sin saber que la fórmula, particularmente citable, no estaba vacante. Cf.

Chesterton (1920) versus Geertz (1985).

215

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Crystalograph:

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https://digital.csic.es/handle/10261/159165 – Arpones.

https://digital.csic.es/handle/10261/159204 – Punzones.

https://digital.csic.es/handle/10261/159173 – Cestos.

https://digital.csic.es/handle/10261/159168 – Bolsas.

https://digital.csic.es/handle/10261/159196?mode=full – Máscaras.

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Field Museum – Hopewell Collection:

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TED Conference – Ron Eglash:

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https://www.ted.com/talks/ron_eglash_on_african_fractals.

TED Blogs – Javier Vilalta:

https://blog.ted.com/architecture-infused-with-fractals-ron-eglash-and-xavier-vilalta/.

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Temple Modhera, India:

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Terra de Somis II – František Kupka – Los orígenes del arte abstracto:

http://terradesomnis.blogspot.com/2010/09/frantisek-kupka-los-origenes-del-arte.html.

Tessellation – Documento sobre teselaciones en Wikipedia, intervenido por el autor:

https://en.wikipedia.org/wiki/Tessellation.

The arts of memory – En torno de los artefactos mnemónicos de Carlo Severi:

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The Bridges Archive:

http://archive.bridgesmathart.org/

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Theodore Pavlopoulos – Fractals and Frantisek Kupka’s “Amorpha”

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Tilings Encyclopedia:

http://tilings.math.uni-bielefeld.de/

Tilingsearch:

http://www.tilingsearch.org/index1.htm

Tocapu – Artículo de Wikipedia intervenido por el autor (no existe versión en inglés):

https://es.wikipedia.org/wiki/Tocapu

Tocapu.org – Analysis of Prehispanic Cultural Signs database:

http://tocapu.org/objects/object.php?o=1

http://tocapu.org/literature/

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Tom Gidden – Exploring [3D]Lyapunov space.

https://www.flickr.com/photos/_gid/albums/72157627179038189.

West African Wisdom: Adinkra Symbols & Meanings:

www.adinkra.org/htmls/adinkra_bibliography.htm#arthur

World Museum, Liverpool – Sección de máscaras y esculturas:

http://www.liverpoolmuseums.org.uk/wml/collections/ethnology/africa/african-

sculpture/index.aspx.

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Software orientado a la etnogeometría:

Todas estos programas se pueden ejecutar interactivamente desde este mismo documen-

to y son multiplataforma. Algunas requieren una adecuada instalación de Java.

Adinkra Grapher (Ron Eglash): Geometry and Computational thinking from West Africa:

https://csdt.rpi.edu/culture/legacy/african/adinkra/index.html.

Adinkra Grapher en Adinkra Home:

https://www.kentecloth.net/kente-cloth-adinkra-symbols-meaning/.

Arabeske – Simetrías – Versión 2.2.1:

http://carlosreynoso.com.ar/archivos/varios/arabeske/ara-2.1.1.jar

Bob – Penrose tilings generator and explorer:

http://www.stephencollins.net/penrose/.

Carlos Reynoso – Planilla de descripción de software de complejidad:

http://carlosreynoso.com.ar/download/14473/

Celtic Knot Thingy – Douglas Zongker software – Requiere tcl/tk y ghost script:

https://isotropic.org/celticknot/howto/.

Craft Design Online – Penrose tiling:

https://craftdesignonline.com/penrose/

Culturally Situated Design Tools – Fractales africanos por Ron Eglash:

https://csdt.rpi.edu/ - Versión actual

https://csdt.rpi.edu/applications/9/run - Cornrow curves (peinados fractales)

https://csdt.rpi.edu/applications/29/run - Mangbetu

https://csdt.rpi.edu/culture/legacy/african/African_Fractals/culture11.html - Cruces

https://csdt.rpi.edu/culture/africanfractals/simulator.html - Fractales africanos diversos

https://csdt.rpi.edu/culture/africanfractals/architecture.html - Fractales en arquitectura

https://csdt.rpi.edu/culture/africanfractals/science.html - Fractales en ciencia

Escher Web Sketch:

http://carlosreynoso.com.ar/archivos/varios/escher/escher.jar

Fractal grower – Programa interactivo de Sistemas-L:

http://carlosreynoso.com.ar/archivos/programas/fractalgrower/FractalGrower-2010-

03.jar

Group Explorer 2.2:

http://groupexplorer.sourceforge.net/

Jenn3D ©2008 Fritz Obermeyer – Grafos de Cayley dibujados con el algoritmo Todd-Coxeter:

http://jenn3d.org/

KnotsBag 2.1.0 – Para Mac, Linux y Windows (cuesta 28 U$S):

http://www.hypatiasoft.fr/Folder_KnotsBag/Pages_HTML/KnotsBag_A.html

Knotter – Interactive design of Celtic Knots:

https://sourceforge.net/projects/knotter/ - https://knotter.mattbas.org/Knotter

L-Systems Turtle Graphics:

http://www.kevs3d.co.uk/dev/lsystems/

Lyndyhop para Java:

https://sourceforge.net/projects/lyndyhop/.

287

nLab Adinkra – Software para diseñar representaciones adinkraicas:

https://ncatlab.org/nlab/show/adinkra

Penrose Tilings Online Generator:

https://misc.0o0o.org/penrose/.

https://misc.0o0o.org/penrose/gallery.html.

QuasiCrystal generator – QuasiG v. 1.04:

https://condellpark.com/kd/quasig.htm.

String Figure Analyzer Software:

http://www.isfa.org/software.htm

Symmetries of Frieze Pattern: © Jan Abas & Garteh Evans, University of Wales, Bangor:

http://carlosreynoso.com.ar/archivos/varios/frieze.swf

Taprats – Versión original © Craig Kaplan:

http://carlosreynoso.com.ar/archivos/varios/taprats-ejecutable/taprats.jar

Taprats – Diseño de embaldosados en estrella de Craig Kaplan (mutiplataforma):

https://sourceforge.net/projects/taprats/ - http://taprats.sourceforge.net/

Tilemaker – Qatar Foundation International:

https://tilemaker.teachalmasdar.com/create/

https://tilemaker.teachalmasdar.com/learn/

https://tilemaker.teachalmasdar.com/gallery/

Tim Hutton – Embaldosados en el plano hiperbólico:

http://timhutton.github.io/hyperplay/index_sliders.html

Ultrafractal – Versión 6:

https://www.ultrafractal.com/.

VESTA – Visualization for Electronic and Structural Analysis, v. 3, enero 2020:

http://jp-minerals.org/vesta/en/