estudio y diseÑo de estructuras tensegrÍticasoa.upm.es/56681/1/tfg_teresa_garcia_albertos.pdf ·...

ESTUDIO Y

DISEÑO DE

ESTRUCTURAS

TENSEGRÍTICAS

TRABAJO FIN DE GRADO PARA

LA OBTENTICÓN DEL TÍTULO DE

GRADUADO EN INGENIERÍAEN

TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES

Septiembre 2019

Teresa García Albertos

DIRECTORA DEL TRABAJO FIN DE GRADO:

Manuel Laso Carbajo

Escuela Tecnica Superior de Ingenieros Industriales UPM

Teresa Garcıa Albertos. 2


“No luches contra las fuerzas; usalas.”-Richard Buckminster Fuller



AgradecimientosGracias al Dr Manuel Laso Carbajo director de este Trabajo Fin de Gra-do por su colaboracion y ayuda a lo largo de la elaboracion del proyecto.

Como un movimiento a la deriva, todas las personas que se han cruzadoa lo largo de estos 4 anos han influenciado en su medida a que haya llegadohasta aquı. Gracias tanto a la gente de dentro como de fuera de la escuela, alos que se han ido uniendo en el camino y a los que han venido para quedarse.Gracias a mi pequena familia de metalurgicos por hacer mas cuesta abajoy acogedor este final de carrera. Gracias a mis familiares y en especial a mipadre, por su paciencia y sin quien gran parte de este trabajo no hubiera sidoposible.

Cierro esta etapa orgullosa de lo conseguido y agradecida por todo el apoyoincondicional recibido.



Sobre el trabajoTodas las figuras que se presentan en este trabajo que han sido construidasson de elaboracion propia y su realizacion ha servido para mayor entendi-miento del comportamiento de este tipo de estructuras.



Indice

1. Introduccion 161.1. Orıgenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2. Tipos de tensegridades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.1. Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.2. Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3. Construcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2. Fundamento teorico 282.1. El equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2. Construccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.1. Form Finding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. Metodologıa 353.1. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2. Programacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.1. FORTRAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.2. ParaView . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3. Validacion del programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3.1. 2 barras y 1 cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3.2. Prisma basico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.3. Piramide tensegrıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4. Resultados 624.1. Dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2. Evolucion del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3. Fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4. Montaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5. Valoracion de impactos y de aspectos de responsabilidad le-gal, etica y profesional relacionados 77

6. Conclusiones 79

7. Planificacion temporal 81

8. Presupuesto 87



Indice de figuras

1. Gleichgewicht Konstruktion[1] . . . . . . . . . . . . . . . . . 162. Esquema Gleichgewicht Konstruktion[1] . . . . . . . . . . . . 163. Fuerzas en un vertice [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184. Fuerzas sobre toda la estructura [1] . . . . . . . . . . . . . . . 185. Diseno del 3-Strut-T-Prism [6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196. simplex con base octogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197. Simplex con base de 9 lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208. Simplex con base de 10 lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209. Realizacion torre tensegrıtica 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2010. Esquema torre tensegrıtica 1 [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011. Realizacion torre tensegrıtica 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112. Esquema torre tensegrıtica 2 [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113. Modelos de poliedros [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2214. Poliedro tensegrıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2315. Kurilpa Bridge [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2416. Georgia Dome [10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2517. Seccion del estadio Georgia Dome [11] . . . . . . . . . . . . . 2518. Esquema de los cables y barras del estadio Georgia Dome [11] 2519. Estadio Wanda Metropolitano [12] . . . . . . . . . . . . . . . 2620. Esquema de la cubierta del Wanda Metropolitano [13] . . . . . 2621. Cubierta del estadio Ciudad de la Plata [14] . . . . . . . . . . 2622. Equilibrio de fuerzas sobre un punto [1] . . . . . . . . . . . . . 2823. Ejemplo de colapso de una viga por pandeo [15] . . . . . . . . 3024. Ejemplo de viga sometida a flexion [16] . . . . . . . . . . . . . 3125. Perspectiva exterior de la iglesia de la Colonia Guell de Antoni

Gaudı [17] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3226. Archivo .vtk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4527. Parametros ParaView . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4628. 2 barras 1 cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4829. Iteracion 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5030. Iteracion 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5031. Iteracion 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5132. Dimensiones del simplex [19] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5233. Planta de la estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5434. Construccion del Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5435. Planta de la estructura simulada . . . . . . . . . . . . . . . . . 5436. Planta de la estructura construida . . . . . . . . . . . . . . . . 5437. Evolucion de la partıcula 4 desde la iteracion 1 a la 200 . . . . 55



38. Evolucion de la partıcula 1 desde la iteracion 1 a la 200 . . . . 5539. Variante 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5740. Variante 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5941. Variante 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6142. Evolucion de la partıcula 1 hasta la iteracion 200 . . . . . . . 6443. Evolucion de la partıcula 4 hasta la iteracion 200 . . . . . . . 6544. Evolucion de la partıcula 8 hasta la iteracion 200 . . . . . . . 6645. Sistema en la iteracion 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6646. Sistema en la iteracion 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6647. Fuerzas en la iteracion 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6748. Sistema en la iteracion 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6749. Sistema en la iteracion 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6750. Fuerzas en la iteracion 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6851. Sistema en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6852. Sistema en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6853. Montaje con cuerdas elasticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7354. Montaje con sedal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7455. Estructura real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7456. Estructura simulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7457. Estructura real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7558. Estructura simulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7559. Dedicacion en horas de cada mes . . . . . . . . . . . . . . . . 8260. Parte 1 diagrama Gantt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8361. Parte 2 diagrama Gantt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8462. Parte 3 diagrama Gantt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8563. Distribucion del presupuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87



Indice de cuadros

1. Uniones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512. Dimensiones del Simplex 3-T-Strut . . . . . . . . . . . . . . . 533. Dimensiones del Simplex 3-T-Strut construido . . . . . . . . . 544. Uniones destensadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625. Uniones tensadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626. Tipo de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62



ResumenEste trabajo puede dividirse en distintas partes: primero se realizo un es-tudio previo del significado de tensegridad y que conlleva la construccion deeste tipo de estructuras.

Una vez entendidos los principios basicos, se paso a la realizacion de es-tructuras ya existentes para un mejor conocimiento de las mismas y paraadquirir la habilidad suficiente en su montaje para la parte final de este tra-bajo.

En el campo de la programacion la primera idea fue la utilizacion de progra-mas de simulacion, sin embargo para una mayor compresion del problema ydel funcionamiento y comportamiento de estas estructuras, se paso a la es-critura de un programa en el lenguaje de programacion de FORTRAN. Esteprograma esta basado en un sencillo algoritmo que se explicara mas adelan-te y que pretende ajustarse de una manera sencilla a la realidad. A partirde este programa se obtendran datos facilmente visualizables en ParaViewpara poder observar la evolucion de estas estructuras a lo largo del tiempomientras estan presentes un conjunto de fueras. Este programa pasara a servalidado y comprobar si los datos que este programa aporta coinciden conlos que se pueden observar en las estructuras construidas manualmente alprincipio.

Una vez comprobado y demostrado que dicho programa es valido, se pa-sara a la fase de diseno en la cual se creara una figura tensegrıtica a partirde las bases de conocimiento adquiridas a lo largo de todo el proceso de estetrabajo. Hallada una estructura estable, finalmente se procedera a su cons-truccion y verificacion de que efectivamente, dicha estructura es valida.



1. Introduccion

1.1. Orıgenes

Richard Buckminster Fuller, David Georges Emmerich y Kenneth D. Snel-son. Estos tres hombres han sido considerados los inventores de la tensegridadsi bien la primera estructura considerada como tensegrıtica fue construida porKarl Ioganson. Se trata del “Gleichgewicht Konstruktion”

Figura 1: Gleichgewicht Konstruk-tion[1]

Figura 2: Esquema GleichgewichtKonstruktion[1]

El tirante era utilizado para cambiar la configuracion de los puntos peromanteniendo el equilibrio.

Entre los tres autores comentados no se llego a ningun acuerdo sobre ladefinicion de tensegridad, dando cada uno su propia definicion.

Richard Buckminster Fuller:“la tensegridad es un sistema estructuralconstituido por elementos de compresion discontinuos conectados porelementos de tension continuos. Debido a la forma en que se distribuyenlas fuerzas constituye una estructura estable que es capaz de reaccionare interactuar de manera dinamica”[2].

David Georges Emmerich: basandose en la estructura de Ioganson des-cribio este tipo de estructuras como redes auto-pretensadas.



Kenneth D. Snelson: alumno de Fuller investigo sobre lo que llamaba“componentes solidos fijados entre sı en el espacio y sustentados unocon el otro unicamente por medio de miembros en traccion.” [3]

Mencion aparte al matematico espanol Miguel de Guzman el cual definioel principio de tensegridad de una manera mas general que los autores previosdiciendo: “Consideremos una configuracion geometrica constituida por unnumero finito de puntos y por unos cuantos segmentos que unen esos puntos.Una estructura de tensegridadconsiste en asignar vectores a los puntos, enlas direcciones de los segmentos que concurren en ellos de forma que

La resultante en cada punto es nula

Para cada segmento, la suma de los vectores asignados a sus extremoses cero” [4]



1.2. Tipos de tensegridades

1.2.1. Simplex

La estructura tensegrıtica simplex mas basica es el denominado “3-strut-T-prism” y consta de 6 vertices los cuales son unidos por 3 barras sometidas acompresion y sujetadas por 9 cables traccionados. A cada vertice deben llegar3 cables y 1 barra para ser estable. Los esfuerzos de traccion y compresionson tan elevados que el peso de las barras y cables se vuelve despreciable.

Figura 3: Fuerzas en un vertice [5]Figura 4: Fuerzas sobre toda la estruc-tura [1]

En un 3-Strut-T-prism la base se trata de un triangulo equilatero quese encuentra dentro de una circunferencia. La estructura completa podrıainscribirse dentro de un cilindro.



Figura 5: Diseno del 3-Strut-T-Prism [6]

Es posible realizar variando los lados del polıgono de la base y de laparte superior diversas construcciones. Hay que tener en cuenta que en estasconstrucciones siguen llegando tres cables y una barra independientementede la geometrıa de la base.

Figura 6: simplex con base octogonal



Figura 7: Simplex con base de 9 lados Figura 8: Simplex con base de 10 lados

Acoplando varias estructuras base en equilibrio independiente, se puedeformar torres con celulas tensegrıticas autoestables siendo su conjunto igual-mente estable con todas las caracterısticas de estas construcciones.

Figura 9: Realizacion torre tensegrıti-ca 1

Figura 10: Esquema torre tensegrıtica1 [7]



Otra posibilidad de torre tensegrıtica parte del mismo simplex pero anadien-do un tensor mas a cada vertice. Este tipo de torres son mas estables que lasanteriores puesto que los pisos de simplex se ensablan al simplex inferior conun mayor numero de tensores:

Figura 11: Realizacion torre tensegrıti-ca 2

Figura 12: Esquema torre tensegrıtica2 [8]



1.2.2. Poliedros

Otro tipo de construcciones tensegrıticas son los poliedros. Estas estruc-turas se caracterizan por estar inscritas dentro de una esfera y sus fuerzasapuntar al centro de la misma. consiguiendo el equilibrio de la misma maneraque en el apartado anterior, gracias a la sujecion de las cuerdas. Este puntocentral que es el que consigue dar estabilidad al sistema, solo aparece si seconsigue que el poliedro sea regular. De ahı la importancia de la simetrıa eneste tipo de construcciones. Si no existe simetrıa, el problema de la cancela-cion de las fuerzas en los vertices se complica pudiendo llegar a convertir ala estructura en irrealizable.La figura basica es el octaedro, si bien se puede ir subdividiendo esta geo-metrıa hasta conseguir poliedros de un mayor numero de caras.

Figura 13: Modelos de poliedros [7]

Una vez construidos y gracias a ser autoestables, pueden ser posiciona-dos sobre cualquiera de sus caras y seguir siendo estable. Por tanto no estanobligadas a permanecer en una posicion determinada lo cual es una ventajaen cuanto al tema del diseno. Esto puede observarse en las imagenes a con-tinuacion que muestran un poliedro tensegrıtico. En este caso se trata deloctaedro tensegrıtico.



Figura 14: Poliedro tensegrıtico



1.3. Construcciones

Las caracterısticas y ventajas que se comentaran mas adelante en estetrabajo, justifican la aplicacion de este tipo de estructuras en todo lo rela-cionado con puentes, cubiertas o simplemente construcciones ornamentales.A continuacion se hara un breve resumen de las mas importantes.

Kurilpa Bridge: localizado en Brisbane, Australia e inaugurado en 2009fue el primer diseno estructural tensegrıtico para un puente de tal ta-mano. El sistema tensegrıtico de barras a compresion y cables que esta-bilizan lateralmente el puente, provee rigidez a la torsion sin proyectarexcesiva sombra sobre los transeuntes. La extructura consta de una ex-tension de 410 metros con una luz maxima de 120 metros. La alturalibre sobre el rıo alcanza los 11 metros.

Figura 15: Kurilpa Bridge [9]

Georgia Dome: antiguo estadio de los Atlanta Falcons fue demolido en2017. En el ano de su inauguracion, 1992 era la cubierta mas grandejamas construida mediante el diseno tensegrıtico. Consistıa en un ovaloexterno que se unıa mediante 26 cables a un aro central comprimido.Esta idea se repetia escalonadamente hasta llegar a la parte mas alta dela construccion. Este diseno tensegrıtico permitıa una mayor absorcionde las vibraciones e impactos provocados por el viento.



Figura 16: Georgia Dome [10]

Figura 17: Seccion del estadio GeorgiaDome [11]

Figura 18: Esquema de los cables y ba-rras del estadio Georgia Dome [11]

Wanda Metropolitano: el actual estadio del Atletico de Madrid inau-gurado en 2017 presenta una cubierta con diseno tensegrıtico. Estacompuesta por dos anillos, uno exterior trabajando a compresion uni-do mediante cables radiales a un aro traccionado. Entre estos cablesse situan unas laminas de vidrio que gracias al diseno tensegrıtico apa-rentemente estan flotando sobre el campo de juego. Esta cubierta tieneunas dimensiones de 286 metros en el sentido norte-sur y de 248 me-tros en direccion este-oeste totalmente compuesta por la tipologıa deestructura tensada. En la imagen abajo a la derecha se ven represen-tados en rojo los componentes comprimidos y en azul los elementostraccionados.



Figura 19: Estadio Wanda Metropoli-tano [12]

Figura 20: Esquema de la cubierta delWanda Metropolitano [13]

Estadio Ciudad de La Plata: inaugurado en 2003 situado en BuenosAires, Argentina. La cubierta de este estadio cubre una superficie de29.000 m2 basandose igualmente en el diseno tensegrıtico de autoten-sion entre barras y cables. Al igual que en el caso de las dos cubiertasmencionadas anteriormente, en esta, se trata de un gran aro perimetraldel cual parten cables que quedan unidos a una estructura central quepermite la sustentecion de la estructura.

Figura 21: Cubierta del estadio Ciudad de la Plata [14]

Cabe destacar que la ligereza de este tipo de estructuras, unida a la absorcionde vibraciones e impactos externos hace a los disenos tensegrıticos una granalternativa a la hora de la realizacion de cubiertas como se acaba de obser-var. Ademas, el aspecto flotante de este tipo de construcciones debido a loscables de pequena seccion en comparacion con la superficie a cubrir, permite



una mayor luminosidad a los estadios que poseen estas cubiertas ademas deaportarles un rasgo distintivo en cuanto al diseno.



2. Fundamento teorico

2.1. El equilibrio

Las estructuras tensegrıticas se caracterizan por el equilibrio entre laspartes sometidas a traccion y las partes sometidas a compresion. Al estartrabajando puramente a traccion o a compresion en todo el elemento, no seencuentran esfuerzos mixtos como podrıan ser solicitaciones a flexion.

Un rasgo importante de estas construcciones se encuentra en que los compo-nentes sometidos a compresion solo pueden ser unidos mediante elementostraccionados. Dos partes comprimidas no pueden estar unidas. Esto lo queofrece es un aspecto visual en el cual parece que los elementos a compresionestan flotando dentro de una red traccionada. Aprovechando que debido a lanaturaleza de los cables o cuerdas y a que estos son elementos que solo pue-den trabajar a traccion, todos los componentes traccionados en estos disenosse tratan de cuerdas o cables. De tal manera que los elementos traccionadossujetan a los elementos comprimidos que se tratan de barras incrementandoası el aspecto de ligereza y la impresion de que las barras se encuentran flo-tando gracias al equlibrio.

En estas estructuras el equilibrio es estable por sı mismo. Por tanto como sepuede observar en la imagen a continuacion, cada punto tiene que estar enequilibrio de fuerzas:

Figura 22: Equilibrio de fuerzas sobre un punto [1]

Y para que este en equilibrio entonces:

~Fij1 + ~Fij2 + ~Fij3 = ~0

El sistema es capaz de recuperar su posicion original de equilibrio pese ala aparicion de perturbaciones externas. Esto confiere a las estructuras muyaptas para situaciones de vibraciones y cargas dinamicas. Siendo aptas paraareas susceptibles de seismos o cualquier movimiento del terreno.



Responden de manera global a este tipo de cargas. Al perturbar un compo-nente es la estructura entera la que absorbe el esfuerzo para volver a alcanzarla posicion de equilibrio. Una ventaja derivada de esta caracterıstica es queno existen puntos de debilidad local en estas construcciones. Con un correctodiseno es posible el empleo de materiales de una forma mas economica y ren-table para conseguir grandes valores de resistencia minimizando la cantidadde material y reduciendo de esta manera los costes de fabricacion.

Las estructuras tensegrıticas se caracterizan por su ligereza en comparacioncon otro tipo de estructuras con unas caracterısticas de resistencia similares.Tambien puede decirse que presentan una resistencia muy superior a otras es-tructuras con un peso similar. Ensamblando modulos tensegrıticos basicos sepuede llegar a hacer estructuras de gran tamano que respondan a mayores so-licitaciones como torres o conglomerados compuestos por figuras elementales.

Este tipo de estructuras son estables gracias al tensado de las cuerdas. Portanto, aumentando este estado tensional mediante un pretensado se puedeconseguir una mayor capacidad de resistencia a esfuerzos.

Los elementos sometidos a compresion son de escasa longitud. Al tener unacorta longitud, este tipo de componentes presentan una baja esbeltez:

λ = αL

√A

Im

Siendo:

α: factor que depende de la sujeccion de la viga.

L: longitud de la viga.

A: seccion de la viga.

Im: momento de inercia de la viga.

Esto repercute de manera favorable a que estas estructuras no son sus-ceptibles a colapsar debido al pandeo.

Fcritica = π2EA

λ

Donde:

Fcritica: se trata de la carga maxima que es capaz de soportar la vigaantes de verse sometida a pandeo.



E: modulo de Young. Depende de la naturaleza del material de la viga.

A: seccion de la viga.

λ: esbeltez de la viga.

Como puede comprobarse, a menor longitud, menor esbeltez y por tantouna mayor carga crıtica a pandeo lo cual es una caracterıstica favorable a lahora del diseno.

Figura 23: Ejemplo de colapso de una viga por pandeo [15]

Para que se produzca fallo por flexion en las vigas, es necesario que existauna lınea media en el elemento que lo divida entre zona comprimida y zonatraccionada. Sin embargo, en este tipo de estructuras las vigas unicamenteestan sometidas a contraccion. Esto significa que en las estructuras tensegrıti-cas las vigas no sufren flexion y por tanto no pueden colapsar debido a esteesfuerzo. En la figura 2 se puede observar una Viga en la cual se representade manera discontınua la lınea media. Por encima de ella la viga esta traba-jando a compresion mientras que la zona inferior se encuentra traccionada,situacion imposible en este tipo de estructuras.



Figura 24: Ejemplo de viga sometida a flexion [16]



2.2. Construccion

Para la obtencion de este tipo de estructuras es necesario seguir tres pasos.

Form-Finding consiste en determinar el estado de equilibrio de la es-tructura y sus tensiones.

Obtenido el resultado geometrico se pasa al estudio de los esfuerzos ylas tensiones.

Dimensionar los elementos de la estructura

2.2.1. Form Finding

Los metodos basados en el form finding empezaron a utilizarse como unnuevo instrumento de diseno a finales del siglo XIX y comienzos del siglo XX.El form finding se basa en procedimientos empıricos que utilizan la autoorga-nizacion de sistemas materiales sometidos a distintas cargas externas hastallegar al equilibrio. Con este metodo, se busca descubrir las formas estructu-rales mas eficaces y eficientes a a hora de realizar una determinada funcion.El arquitecto A. Gaudı fue el primero en realizar el diseno de sus construccio-nes mediante este tipo de experimentos de find forming, consiguiendo formasoptimas para resistir las fuerzas gravitatorias.

Figura 25: Perspectiva exterior de la iglesia de la Colonia Guell de AntoniGaudı [17]



Frei Otto fue un arquitecto que dedico gran parte de su vida profesional alanalisis de los procesos de autogeneracion y reorganizacion de los procesos na-turales. Esto le condujo a desarrollar varios metodos de form finding. Llevo acabo numerosos experimentos con vistas a reproducir formas que encontrabaen la naturaleza. Entre estos experimentos destacan los que realizo con pelıcu-las de jabon para generar disenos que utilizo para elaborar tensoestructurasde membranas y redes de cables pretensados con areas mınimas similares alas tensegridades que se comentan en este trabajo. Ademas realizo experi-mentos de membranas que tensaba con aire o distintos fluidos y estructurascolgantes que alcanzaban el equilibrio gracias a la traccion generada por elpropio peso de las mismas.

Hoy en dıa es posible alcanzar resultados similares a estos experimentos sintener que realizar la parte empırica de los mismos ahorrando ası en tiempoy dinero. Existen diversos metodos para la realizacion del Form Finding. Eneste apartado seran comentarios varias posibilidades.

Estos metodos en concreto han sido sacados del artıculo “Review of Form-Finding Methods for Tensegrity Structures” escrito por A.G Tibert y S. Pe-llegrino del departamento de mecanica del Royal Institute of Technology deEstocolmo, Suecia.

Metodos cinematicos. Consiste en determinar la geometrıa de la estruc-tura maximizando la longitud de las barras manteniendo con un valor cons-tante la longitud de las cuerdas. Dentro de los metodos cinematicos hay a suvez tres posibilidades.

Aproximacion analıtica

Optimizacion no-lineal.

Metodo iterativo pseudodinamico.

Metodos estaticos. En ellos se determina el equilibrio de una topologıadada, se estudian la situacion de todos sus elementos y nodos. Al igual que enlos metodos cinematicos, para la realizacion de los metodos estaticos existendiversas opciones.

Calculando las fuerzas y comprobando el equilibrio de sus nodos. Estetipo de ecuaciones son lineales y su estudio es mas sencillo.

Considerando las fuerzas que llegan a los nodos como fuerzas de atra-cion y repulsion, minimizar la energıa del sistema.



Simplificar la estructura en celulas simetricas en equilibrio.



3. Metodologıa

3.1. Algoritmo

Como ha sido mencionado en el apartado de Construccion, el primer pa-so para la realizacion de estas estructuras es el Find Forming. Para ello, separtira de una situacion cercana a la del equilibrio que sea capaz de evolucio-nar hasta la configuracion estable deseada. Por tanto, va a ser utilizado unmetodo de Form Finding estatico. Concretamente se va a utilizar el metodode minimizacion de la energıa.

Se va a considerar un sistema de partıculas las cuales seran los nodos dela futura estructura. Todos los nodos seran considerados de masa unidad.Cada partıcula se vera sometida a un conjunto de fuerzas:

Gravedad: fuerza uniforme con valor 9′8m/s2 actuara en el eje z paratodas las partıculas.

Fuerza debida a las barras: en el caso de que al nodo llegue una barra, secalculara la distancia entre los nodos correspondientes a los extremos dela barra. Una barra puede trabajar tanto a compresion como a traccion.Sin embargo, en este tipo de estructuras lo correcto es que unicamentetrabajen a compresion. La fuerza a la que la barra sometera a los nodosextremos dependera de la elongacion a la que este sometida la misma,es decir, a la diferencia entre la longitud real de la barra y la distanciareal a la que se encuentren los extremos.

Fb = Kb(Lbarra − Lcalculada)4

Para que la fuerza sea de forma vectorial, se multiplicara por el vectordirector correspondiente a la direccion entre los nodos extremos:

~Fb = Kb(Lbarra − Lcalculada)4~n

Kb se trata de una constante que depede de la naturaleza del materialde la barra. Tiene que ser de un valor elevado ya que representa larigidez de la misma. Sus unidades son kg/s2m3

Fuerza debida a las cuerdas: las cuerdas son unos componentes estruc-turales que debido a su naturaleza unicamente pueden trabajar a com-presion. Se calculara la distancia entre los nodos correspondientes a losextremos de la cuerda y en el caso de ser menor o igual a la longitudde la cuerda, esta se encontrara destensada, no presentara trabajo y al



nodo no llegara fuerzas debido a este componente. Si la distancia entrelos nodos es superior al de la longitud real de la cuerda, esta estaratensada y la fuerza a la que se verıan sometidos los nodos extremossera:

Fc = Kc(Lcalculada− Lcuerda)Al igual que en el caso de la fuerza debida a las barras, es necesaria lafuerza en forma vectorial y por tanto tambien sera necesario multiplicarla expresion anterior por el correspondiente vector director:

~Fc = Kc(Lcalculada− Lcuerda)~n

Kc se trata de una constante que depende de la naturaleza del ma-terial del cable. Cuanto mas elevado sea correspondera a un materialmas rıgido y por tanto seran cuerdas menos elasticas. Sus unidades demedida son kg/s2

Fuerza de viscosidad: fuerza de rozamiento que depende de la viscosidadel ambiente en el que se ve sumergida la estructura:

Fv = η~v

Finalmente todo el conjunto de fuerzas al que se ven sometidos los nodos es:

~F = ~Fb + ~Fc + ~Fv

Aplicando la 2o Ley de Newton

N∑k=1

~Fk = m~a

Siendo k cada fuerzas de las mencionadas anteriormente. Asumiendo la ace-leracion nula, este sumatorio se hace cero y por tanto:

~0 = ~Fb + ~Fc + ~Fv

Sustituyendo la Fv se tiene

η~v = ~Fb + ~Fc

dr

dt=

1

η(~Fb + ~Fc)

Sustituyendo la definicion de derivada si limt→0

4r4t

=1

η(~Fb + ~Fc)→4r =

4tη

(~Fb + ~Fc)



En la iteracion n, el sistema se encontrara en el instante tn = n4t.En la iteracion n+1 el sistema se encontrara en el instante tn+1 = (n+ 1)4t.Por lo que

~rn+1 = ~rn +4~rn

En cuanto a las ventajas de este sencillo algoritmo y por las cuales ha sidoel elegido se encuentran:

Se trata de un algoritmo rapido con calculos sencillos y por tanto querequieren de una pequena cantidad de memoria a utilizar.

Permite variar todo lo que se quiera el paso 4t.

Reproduce de una manera aceptable el comportamiento real.

Sencillo y facil de programar.

Concretamente este algoritmo se ha basado en el algoritmo predictor co-rrector de Velvet el cual se corresponde a:

r(t+ δt) = r(t) + δtv(t+1

2δt)

v(t+1

2δt) = v(t− 1

2δt) + δta(t)

[18]

Existen dos tipos de partıculas o nodos. Por un lado las fijas que son aque-llas que se encuentran ancladas a alguna superficie. Esta superficie puede serel suelo o cualquier otra superficie estatica. Estas partıculas aunque puedansoportar fuerzas, no presentan movimiento al encontrarse fijas y por tanto suvelocidad es nula. Por otro lado se tienen las partıculas no fijas, estas partıcu-las son capaces de moverse y presentar por tanto velocidad hasta el momentoen el que encuentran la posicion de equilibrio. Cuando las partıculas no fijasalcanzan el equilibrio, el sumatorio de fuerzas que actua sobre las mismas esnulo y por tanto su velocidad tambien.

Para evitar la posibilidad de que la estructura atraviese el suelo, se ha con-siderado que en el momento en el que una partıcula que no debiera tocarel suelo lo hace, esta pasa a ser una partıcula fija y finaliza su movimien-to evitanto que vaya a coordenadas negativas del eje z. Esta consideracionpara el calculo de movimiento de una partıcula que en realidad no esta fijaaunque sea considerada como tal, conlleva que el calculo de todas las fuerzas



del sistema deja de ser el que corresponde al sistema real. Sin embargo estono tiene importancia ya que al tocar el suelo una partıcula que no debiera,significa que la estructura no es estable y por tanto no se obtendrıa ningunresultado valido de ella mas alla de que esa configuracion no corresponde conuna posible estructura tensegrıtica.



3.2. Programacion

3.2.1. FORTRAN

Se ha realizado un programa mediante el lenguaje de programacion orien-tado al calculo numerico FORTRAN el cual nos va a permitir obtener archivospara posteriormente poder ser visualizados. Este programa se basa en la re-peticion de dos subrutinas el numero de veces indicado por el usuario. Estassubrutinas se corresponden al algoritmo comentado en el apartado anterior.

Primeramente se realizara una lectura de las variables de entrada que ne-cesita el programa para su ejecucion. Estas variables son:

Paso: corresponde a la variacion temporal que hay entre iteraciones.

Longitudes de las cuerdas: se debe dar el valor de todas los elementosconsiderados como cuerdas que se van a emplear.

Longitudes de las barras: al igual que las cuerdas, cada barra debe teneruna longitud concreta.

Constante de la barra: se trata del factor que multiplica a la elogacionde la barra a la cuerta y es utilizado para el calculo de la fuerza a la quela barra esta sometida. Al ser un valor que depende de la naturalezadel material, se considerara que la constante de la barra es la mismapara todas las barras independientemente de su longitud.

Constante del cable: factor que multiplica a la elongacion de la cuerda.Al igual que en el caso de las barras, al ser un valor que depende dela naturaleza del material, sera tomado como el mismo para todas lascuerdas.

Viscosidad.

Gravedad.

Coordenadas inicales de todos los puntos.

Matriz de partıculas unidas: como se ha comentado, en este estudiose ha modelizado el sistema de barras y cuerdas por un sistema departıculas las cuales se ven sometidas a fuerzas de atraccion-repulsiondependiendo de si lo que llegan a las mismas son cuerdas o barras.

Esta matriz tiene las mismas filas y columnas que numero de partıculas.



Cada fila corresponde a una partıcula. Dependiendo de cuantos elemen-tos de union(cuerdas o barras) lleguen a este vertice, se ira rellenandocada fila con la posicion del extremo de cada elemento de union. Esdecir el componente de la matriz unionesij representara la union de lapartıcula i con la partıcula unionesij. El ındice j representa el numerode union al que corresponde. Si el valor de unionesij es nulo, significaraque no existe ninguna union. Ası, teniendo por ejemplo una matriz

uniones =

2 0 01 3 02 0 0

Al ser una matriz 3x3 significa que en este sistema solo hay 3 partıculas.Representarıa:

• uniones11 = 2. La primera union con la que se encuentra la partıcu-la i en este caso la partıcula 1 es cin la partıcula unionesij, en estecaso la 2.

• uniones12 y uniones13 = 0. No existen mas uniones para la pri-mera partıcula.

• uniones21 = 1. La primera union de la partıcula 2 se realiza conla partıcula 1.

• uniones22 = 3. La segunda union de la partıcula 2 se realiza conla partıcula 3.

• uniones23 = 0. No hay mas uniones con la partıcula 2.

• uniones31 = 2. La primera union de la partıcula 3 es con la partıcu-la 2.

• uniones32 y uniones33 = 0. No hay mas uniones con la partıcula3.

Matriz de tipo de uniones: una vez conocidas entre que puntos tenemoselementos de union, es necesario leer una matriz en la cual se encuentrenrepresentadas las naturalezas de estas uniones. Dependiendo del cadavalor la union puede ser:

• tipoij = 1: la union entre la partıcula i y la j se realiza medianteuna cuerda.

• tipoij = 2: la union entre la partıcula i y la j se realiza medianteuna barra.



• tipoij = 0: no existe union entre la partıcula i y la j.

Para la elaboracion de esta matriz se necesita una matriz vacıa dedimensiones nparticulas x nparticulas. Siguiendo con el ejemplo anterior:

tipo =

0 0 00 0 00 0 0

Utilizando la matriz de uniones rellenamos la matriz de tipo sabiendoque huecos son nulos y cuales no.

tipo =

0 x 0x 0 x0 x 0

A continuacion se sustituye la x por el tipo de union correspondiente.

tipo =

0 1 01 0 20 2 0

Lo cual representarıa que entre la partıcula 1 y la partıcula 2 se encuen-tra una cuerda y que entre la partıcula 2 y la partıcula 3 se encuentrauna barra.

Partıculas fijas: se trata de un vector cuyos componentes solo puedentener el valor 0 o 1. Si el un componente tiene el valor 0 significa quela partıcula numerada con dicho ındice no es una partıcula fija. Porotro lado, si tiene el valor de 1, significa que la partıcula esta fija. Queuna partıcula este fija conlleva que aunque esta union esta soportan-do esfuerzos, su movimiento esta impedido. La posicion a la que lapartıcula esta fijada es a su posicion inicial por lo que que una partıcu-la se encuentre fija no significa que este anclada exclusivamente al suelo.

Continuando con el ejemplo. Al tener 3 partıculas, este vector tendradimension 3x1. Si la unica partıcula fija es, por ejemplo la particula3,este vector tendra la forma:

fijas =

001



Todas estas variables deben estar escritas en un fichero .dat para que elprograma sea capaz de interpretarlo.

En cada iteracion el programa genera dos tipos de archivos de salida. Por unlado genera archivos con extension .vtk para poder ser leıdos y visualizadosposteriormente mediante ParaView y por otro lado genera archivos .out. Ca-da tipo de archivo sera guardado en carpetas independientes para su mejormanejo.

Los archivos .vtk tienen un formato concreto para poder ser ejecutadoscorrectamente por ParaView y su interpretacion puede ser mas complicadapor parte del usuario, los archivos .out son los que describen en cada iteracionla situacion de todo el sistema de una forma mas sencilla.

En los archivos .out se realizara primeramente una copia de las condicio-nes iniciales del sistema para saber en todo momento como ha evolucionadoel sistema. Se senalizara el numero de iteracion correspondiente y el tiempoque ha estado corriendo el programa. A continuacion se iran grabando losdatos de posiciones de todos los puntos junto con sus velocidades y fuerzastotales a las que se ven sometidos. Las fuerzas totales tambien se puedenestudiar dividiendolas entre las fuerzas que ejercen las barras a cada puntoy las fuerzas que ejercen las cuerdas a los mismos. Ası como las elongacionesde todos los elementos de union.

Como ya se ha comentado, en cada iteracion el programa realizara dossubrutinas:

Subrutina de Fuerzas: se necesitaran como valores de entrada tanto lasposiciones de todas las partıculas como las propiedades de cada ele-mento. En esta subrutina se comprobaran las elongaciones de todas lasbarras y cuerdas. Si la elongacion de las cuerdas es positiva, significaraque la cuerda esta tensada y por lo tanto genera esfuerzos sobre susnodos correspondientes. Si la elongacion de la barra es negativa, esteelemento se encontrara comprimido y por tanto ejerciendo esfuerzossobre sus nodos extremos. Las barras por su naturaleza tambien pue-den trabajar a traccion, sin embargo en estas estructuras unicamenteestaran sometidas a compresion. Se realiza el sumatorio en cada nodode todas las fuerzas debidas a los elementos que llegan al mismo y se leanade la fuerza que ejerce la gravedad segun el eje z. Una vez obtenidaslas fuerzas es posible obtener la velocidad de cada partıcula como se



comento en el apartado de Fundamento Teorico.

Subrutina de Movimiento: se necesitaran como valores de entrada lasposiciones de las partıculas ası como el paso temporal y la velocidad decada nodo calculada previamente en la subrutina de Fuerzas. Mediantela expresion:

rnueva = rprevia +4tv

La nueva posicion sera el parametro de entrada en la proxima iteracionpara la subrutina de fuerzas y ası sucesivamente hasta completar elnumero de iteraciones requerido.



3.2.2. ParaView

Una vez hayan sido realizadas todas las iteraciones, se habran obtenidoun archivo .vtk para cada posicion intermedia. Todos estos archivos estanguardados en la carpeta vtk que sera abierta por el programa ParaView, elcual sera el encargado de la visualizacion de los resultados.



Figura 26: Archivo .vtk

En ParaView se interpretaran este tipo de archivos de la siguiente manera:

Numero de puntos con su extension. A continuacion se escriben lastres componentes de cada punto en orden. En estos archivos el primercomponente por defecto es el 0 por tanto el numero de puntos ira desde



el punto0 hasta puntoparticulas−1

Numero de lıneas. El primer valor es entre cuantos puntos se realiza lalınea. Los dos puntos siguientes son entre que puntos se dibuja.

Tipo de las lıneas. Siguiendo el orden en el cual se han identificado laslıneas, se les da un valor. En este trabajo el 1 representa las cuerdas yse coloreara segun el color azul y el 2 representara a las barras y serande color rojo.

Vectores tanto fuerzas en cada punto segun sus tres coordenadas comolos vectores que representan las fuerzas igualmente segun sus tres ejes.

Para la mejor comprension de los resultados, el programa ParaView nospermite incluir elementos geometricos que ayuden como referencia a la evo-lucion del sistema. Se ha elegido incluir un plano que sera correspondiente alplano del suelo para que el estudio de la simulacion sea mas sencillo. Ademasse han incluido dos tipos de filtros. Por un lado un filtro Tube para represen-tar cada lınea segun el TIPO correspondiente y un filtro tipo Glyph el cualpermite la visualizacion de las fuerzas y velocidades en forma de flecha.

Figura 27: Parametros ParaView



3.3. Validacion del programa

El programa va a ser la base sobre la cual se van a ir probando distintasgeometrıas para comprobar su estabilidad. Por ello es esencial asegurarsede que responde correctamente a la realidad. Para ello se han realizado lasimulacion de distintas estructuras que se sabe cual es su evolucion, ya seaporque no son estables y acaban en el suelo o porque son estructuras quehan sido comprobadas su estabilidad previamente por otros autores. Se hanrealizado las siguientes comprobaciones:

3.3.1. 2 barras y 1 cuerda

Esta composicion es claramente intestable. Para comprobar que el pro-grama es valido, se introducen la posicion inicial de los cuatro puntos:

R1x = −0,010R1y = 0,500R1z = 0,856

R2x = 0,000R2y = 0,000R2z = 0,000

R3x = −0,500R3y = 0,500R3z = 0,856

R4x = −0,500R4y = 1,000R4z = 0,000

Es necesaria la matriz de uniones y la de tipo de uniones:

uniones =

2 3 0 01 0 0 01 4 0 03 0 0 0

tipo =

0 2 1 02 0 0 01 0 0 20 0 2 0

Tambien hay que indicar los puntos que se encuentran fijos al suelo queson los que no presentan velocidad aunque sı fuerzas. Estos puntos son losextremos de las barras apoyados sobre el suelo:

fijas =

0101



Figura 28: 2 barras 1 cuerda

Como se ha comentado, esta situacion no es estable y deberıa caer alsuelo. Por tanto se hace correr al programa con estos valores iniciales y secomprueba que ocurre.



3.3.2. Prisma basico

En el ejemplo anterior se ha validado una situacion en la cual no se llegaa una situacion de equilibrio estable si no que todo acaba en el suelo. Acontinuacion se va a evaluar un caso que se ha comprobado que es establey que ha sido construida. Es el caso del prisma basico de base triangular.Primeramente se ha construido con cables que son elasticos. Esto es debido aque al principio no se sabe donde van a acabar exactamente cada punto. Loscables elasticos permiten en una primera aproximacion dejar a los verticesun ligero movimiento libre para que solos lleguen a la posicion de equilibrio.Una vez construida la figura se mide la situacion de todos los vertices y secomprueba la longitud concreta de todas las barras y cuerdas.

R1x = 0,058R1y = −0,024R1z = 0,357

R2x = −0,008R2y = 0,062R2z = 0,357

R3x = −0,050R3y = −0,038R3z = 0,357

R4x = 0,100R4y = 0,000R4z = 0,000

R5x = −0,050R5y = 0,087R5z = 0,000

R6x = −0,050R6y = −0,087R6z = 0,000

Al igual que en el caso anterior es necesaria la matriz de uniones y la detipo de uniones:

uniones =

2 3 4 6 0 01 3 5 4 0 01 2 6 5 0 01 2 5 6 0 02 3 4 6 0 01 3 4 5 0 0

tipo =

0 1 1 1 0 21 0 1 2 1 01 1 0 0 2 11 2 0 0 1 10 1 2 1 0 12 0 1 1 1 0

Este tipo de estructura es estable independientemente de si sus puntos de

la base estan fijos a la base o no, por tanto en este caso el vector correspon-



diente a los puntos fijos es:

fijas =

000000

Una vez inicializados todos estos parametros en el programa, se pone a

correr un numero determinado de iteraciones. A continuacion se observan losresultados en el ParaView. Aquı pueden observarse los pasos 1, 500 y el 1000

Figura 29: Iteracion 1 Figura 30: Iteracion 500



Punto 1 2 3 4 5 61 Sin union Cuerda 1 Cuerda 2 Cuerda 3 Sin union Barra 12 Cuerda 1 Sin union Cuerda 4 Barra 2 Cuerda 5 Sin union3 Cuerda 2 Cuerda 4 Sin union Sin union Barra 3 Cuerda 64 Cuerda 3 Barra 2 Sin union Sin union Cuerda 7 Cuerda 85 Sin union Cuerda 5 Barra 3 Cuerda 7 Sin union Cuerda 96 Barra 1 Sin union Cuerda 6 Cuerda 8 Cuerda 9 Sin union

Cuadro 1: Uniones

Figura 31: Iteracion 1000

Puede observarse que en la primera iteracion la altura de la figura es con-siderablemente menor que la del resto de iteraciones, esto es debido a que lascondiciones iniciales que han sido implementadas, corresponden a un estadotensional que somete a las barras a una compresion excesiva. Esto lo quehace es que para alcanzar el equilibrio, minimizando la energıa interna, lafigura tiende a expandirse hacia arriba. Sin embargo, entre la iteracion 500y la 1000 practicamente no se ve diferencia. Es debido a que se ha llegado ala posicion estable de equilibrio.

Con las medidas obtenidas por el programa se intenta realizar la mismaconstruccion esta vez sin que los cables sean elasticos para ver si es posible.Finalmente se comprueban los valores obtenidos empıricamente con los quese obtendrıan segun la teorıa.



Demostracion Esta demostracion ha sido sacada del artıculo .A practicalguide to tensegrity design.escrito por Robert William Burkhardt Jr de launiversidad de Cambridge, EEUU. Se utilizara un metodo de Form Findingestatico. El triangulo de la base se se encuentra en una circunferencia que pasapor los tres vertices. Como condiciones iniciales del problema se consideraranconstantes el radio de esta circunferencia, r, la longitud de las barras s ytambien se considerara que toda la estructura es simetrica. Al haber fijado elradio de la circunferencia, tambien se han fijado los cables horizontales. Lasvariables son la altura final de la estructura y el angulo girado del triangulosuperior con respecto al triangulo de la base. Con estos datos, el objetivo delproblema consiste en minimizar la longitud de las cuerdas verticales.

Figura 32: Dimensiones del simplex [19]

l = longitud de la cuerda vertical.

h = altura final de la estructura.

r = radio de la circunferencia.

s = longitud de la barra

ϑ = angulo girado.



Puntos z radio ϑ1 0 r 02 0 r 2π

3

3 0 r -2π3

4 h r ϑ5 h r ϑ+ 2π

3

6 h r ϑ− 2π3

Cuadro 2: Dimensiones del Simplex 3-T-Strut

Para alcanzar la expresion a minimizar, hay que pasar por la formula de lalongitud de una cuerda sobre un cilindro:

l2 = (4z)2 + 2r2 − 2r2 cos(4ϑ)

En este caso 4z es la altura de la estructura, es decir, h. Por tanto, variandoh y ϑ, hay que minimizar la expresion

l2 = h2 + 2r2 − 2r2 cos(2π

3− ϑ)

El valor 2π3

se debe a que es un triangulo equilatero. Por otro lado se sabeque la longitud de las barras es constante y corresponde a:

s2 = h2 + 2r2 − 2r2 cos(ϑ)

Sustituyendo obtenemos una expresion a minimizar que unicamente dependede la variable ϑ

s2 + 2r2 cos(ϑ)− 2r2 cos(2π

3− ϑ)

Desarrollando se llega a la conclusion de los valores recogidos en el Cuadro2 representado arriba.

Comprobando los resultados obtenidos experimentalmente con los teori-cos y viendo que concuerdan se da por valido el programa.



Puntos z radio ϑ1 0 4cm 02 0 4cm 2π

3

3 0 4cm -2π3

4 14cm 4cm -π6

5 14cm 4cm π2

6 14cm 4cm −5π6

Cuadro 3: Dimensiones del Simplex 3-T-Strut construido

Figura 33: Planta de la estructura Figura 34: Construccion del Simplex

Para el calculo de los angulos se ha considerado el angulo 0 al punto 1

Figura 35: Planta de la estructura si-mulada

Figura 36: Planta de la estructuraconstruida



Figura 37: Evolucion de la partıcula 4 desde la iteracion 1 a la 200

Figura 38: Evolucion de la partıcula 1 desde la iteracion 1 a la 200

Tanto en la figura 37 como en la 38 se puede observar como se le da unaposicion inicial a las partıculas y ellas son capaces de alcanzar una posicionfinal de equilibrio. Esto se puede comprobar en las graficas viendo comollegan a un valor estable.



3.3.3. Piramide tensegrıtica

Diseno Para llegar a esta figura se partio como base del prima basico men-cionado en el apartado anterior. Y se fueron realizando diveros cambios ycomprobando con el programa la estabilidad de cada caso hasta llegar a lacomposicion final.

Variante 1. Primero se eliminaron las cuerdas verticales manteniendoen la misma posicion inicial todos los puntos.

R1x = 0,058R1y = −0,024R1z = 0,357

R2x = −0,008R2y = 0,062R2z = 0,357

R3x = −0,050R3y = −0,038R3z = 0,357

R4x = 0,100R4y = 0,000R4z = 0,000

R5x = −0,050R5y = 0,087R5z = 0,000

R6x = −0,050R6y = −0,087R6z = 0,000

uniones =

2 3 6 0 0 01 3 4 0 0 01 2 5 0 0 02 5 6 0 0 03 4 6 0 0 01 4 5 0 0 0

tipo =

0 1 1 0 0 21 0 1 2 0 01 1 0 0 2 00 2 0 0 1 10 0 2 1 0 12 0 0 1 1 0

fijas =

000000



Figura 39: Variante 1

El problema en esta figura es similar al caso de dos barras y una cuerda.Se produce un momento torsor debido a que no hay ninguna fuerza detraccion vertical que compense a la compresion que se ven sometidaslas barras. Esto globalmente hace que la figura gire y acabe en el suelo.

Variante 2. A continuacion se fijaron las barras al suelo, esto permitioeliminar las cuerdas horizontales que unıan los puntos de la base delprima. Ademas, se hizo que el triangulo de la base fuera mas grande queel triangulo superior. Esto se hizo para que aunque las barras siguierantrabajando a compresion, la componente vertical de esta fuerza fueramenor y minimizar ası el momento torsor comentado anteriormente.Como se dijo, este momento es debido a que la fuerza de compresionde las barras en el eje z no se ve compensada con ninguna fuerza ensentido contrario en el mismo eje. Por tanto se opto a volver a utilizarlas cuerdas verticales eliminadas en el paso anterior.

R1x = 0,074R1y = 0,036R1z = 0,758

R2x = −0,068R2y = 0,046R2z = 0,758

R3x = −0,006R3y = −0,082R3z = 0,758

R4x = 0,800R4y = 0,000R4z = 0,000



R5x = −0,400R5y = 0,693R5z = 0,000

R6x = −0,050R6y = −0,693R6z = 0,000

uniones =

2 3 4 5 0 01 3 5 6 0 01 2 6 4 0 01 3 0 0 0 01 2 0 0 0 02 3 0 0 0 0

tipo =

0 1 1 1 2 01 0 1 0 1 21 1 0 2 0 11 0 2 0 0 02 1 0 0 0 00 2 1 0 0 0

fijas =

000111




El problema de esta situacion es que mientras que las cuerdas verticalestensadas compensan las fuerzas a las que se ven sometidas las barras,no hay nigun elemento que tense las cuerdas superiores si las cuerdassuperiores no estan tensadas no hay ninguna fuerza que fuerce a lasbarras a levantarse de la base y esto trae consigo que toda la estructuracolapse.

Variante 3. Como se ha comentado, el problema es que las cuerdashorizontales superiores no estan tensadas. Para solventar este problema,se incluyo otra barra, esta vez en posicion completamente vertical ysituada en el centro para que la estructura mantuviera la simetrıa yhacer mas facil el problema de la compensacion de fuerzas. Para sujetaresta barra, se atiranto con las cuerdas que en un principio estabancolocadas de manera horizontal. Este paso soluciona dos problemas.Por un lado permite que la barra central no caiga y por otro lado tensalas cuerdas que no sufrıan tension ninguna y hacıan al sistema colapsar.

R1x = 0,150R1y = 0,000R1z = 0,000

R2x = −0,075R2y = 0,129R2z = 0,000

R3x = −0,075R3y = 0,129R3z = 0,000

R4x = 0,070R4y = 0,000R4z = 0,095

R5x = −0,050R5y = 0,065R5z = 0,095



R6x = −0,050R6y = −0,065R6z = 0,095

R7x = 0,000R7y = 0,000R7z = 0,000

R8x = 0,000R8y = 0,000R8z = 0,150

uniones =

4 5 0 0 0 0 0 05 6 0 0 0 0 0 06 4 0 0 0 0 0 01 8 3 0 0 0 0 02 8 1 0 0 0 0 03 8 2 0 0 0 0 08 0 0 0 0 0 0 07 0 0 0 0 0 0 0

tipo =

0 0 0 1 2 0 0 00 0 0 0 1 2 0 00 0 0 0 2 1 0 01 0 2 0 0 0 0 12 1 0 0 0 0 0 10 2 1 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 2 0

fijas =

00011100




Esta disposicion de elementos se comprobo estable.



4. Resultados

4.1. Dimensiones

Partıamos de una estructura cuyos elementos de union tenıan las siguien-tes medidas:

Puntos 1 2 3 4 5 6 7 81 Sin union Sin union Sin union Cable 0.115m Barra 0.19m Sin union Sin union Sin union2 Sin union Sin union Sin union Sin union Cable 0.115m Barra 0.19m Sin union Sin union3 Sin union Sin union Sin union Sin union Barra 0.19m Cable 0.115m Sin union Sin union4 Cable 0.115m Sin union Barra 0.19m Sin union Sin union Sin union Sin union Cable 0.08m5 Barra 0.19m Cable 0.115m Sin union Sin union Sin union Sin union Sin union Cable 0.08m6 Sin union Barra 0.19m Cable 0.115m Sin union Sin union Sin union Sin union Cable 0.08m7 Sin union Sin union Sin union Sin union Sin union Sin union Sin union Barra 0.151m8 Sin union Sin union Sin union Sin union Sin union Sin union Barra 0.151 Sin union

Cuadro 4: Uniones destensadas

Finalmente las medidas de los elementos de la estructutra en la ultimaiteracion quedan:

Puntos 1 2 3 4 5 6 7 81 Sin union Sin union Sin union Cable 0.133m Barra 0.189m Sin union Sin union Sin union2 Sin union Sin union Sin union Sin union Cable 0.133m Barra 0.189m Sin union Sin union3 Sin union Sin union Sin union Sin union Barra 0.189m Cable 0.133m Sin union Sin union4 Cable 0.133m Sin union Barra 0.189m Sin union Sin union Sin union Sin union Cable 0.081m5 Barra 0.189m Cable 0.133m Sin union Sin union Sin union Sin union Sin union Cable 0.081m6 Sin union Barra 0.189m Cable 0.133m Sin union Sin union Sin union Sin union Cable 0.081m7 Sin union Sin union Sin union Sin union Sin union Sin union Sin union Barra 0.149m8 Sin union Sin union Sin union Sin union Sin union Sin union Barra 0.149 Sin union

Cuadro 5: Uniones tensadas

Por lo que cada elemento estarıa trabajando:

Puntos 1 2 3 4 5 6 7 81 Sin union Sin union Sin union Traccion Compresion Sin union Sin union Sin union2 Sin union Sin union Sin union Sin union Traccion Compresion Sin union Sin union3 Sin union Sin union Sin union Sin union Compresion Traccion Sin union Sin union4 Traccion Sin union Compresion Sin union Sin union Sin union Sin union Traccion5 Compresion Traccion Sin union Sin union Sin union Sin union Sin union Traccion6 Sin union Compresion Traccion Sin union Sin union Sin union Sin union Traccion7 Sin union Sin union Sin union Sin union Sin union Sin union Sin union Compresion8 Sin union Sin union Sin union Sin union Sin union Sin union Compresion Sin union

Cuadro 6: Tipo de tensiones



Estos datos obtenidos son factibles acorde con la naturaleza de este tipode estructuras y cada tipo de elemento. Era necesario que las barras traba-jaran a compresion y los cables a traccion.



4.2. Evolucion del sistema

Para comprobar la estabilidad de la estructura se van mirar la evolucionde las posiciones de tres puntos de la estructura:

Punto 1: se trata de un punto fijo. Por su naturaleza aunque soportefuerzas, no presenta movimiento, por tanto, que la posicion se mantengaconstante tiene sentido.

Figura 42: Evolucion de la partıcula 1 hasta la iteracion 200

Punto 4: se trata de un punto movil. Teoricamente estos puntos acabancon velocidad nula por el equilibrio de fuerzas. El estudio de la partıculaha concluido en la iteracion 200 que es cuando se percibe la tendenciadel punto a alcanzar una posicion fija. Sin embargo, aun tiene un ligeromovimiento. Por ello, aun presenta cierta velocidad sobre ella aunqueal final se anularara.




Punto 8: se trata de un punto movil el cual esta sujeto gracias a lostirantes que parten de los puntos 4, 5, 6. El equilibrio entre estos ti-rantes hace que se anulen las fuerzas de los mismos sobre el punto 8,por tanto, sobre el solo ejerce fuerza la gravedad. Esto explica que elunico movimiento que presente este punto sea sobre el eje z y tienda acomprimir la barra.




Para comprobar la evolucion en conjunto del sistema se visualizara me-diante ParaView. A continuacion se han incluido las etapas de la evolucionmas representativas:

Iteracion 1

Figura 45: Sistema en la iteracion 1 Figura 46: Sistema en la iteracion 1



Figura 47: Fuerzas en la iteracion 1

Puede observarse como la estructura comienza con los cables (repre-sentados en azul) destensados mientras que las barras (representadasen rojo) aparecen trabajando a compresion.

Iteracion 100

Figura 48: Sistema en la iteracion 100 Figura 49: Sistema en la iteracion 100



Figura 50: Fuerzas en la iteracion 100

Puede observarse como ahora sobre los puntos, las cuerdas tambienejercen fuerza porque ya aparecen tensadas. Estas fuerzas tienden agirar la estructura como se ve en la imagen de la planta de la estructura.La existencia de fuerzas sobre los puntos no fijos representa que laestructura aun no ha alcanzado el equilibrio.

Estructura en equlibrio

Figura 51: Sistema en equilibrio Figura 52: Sistema en equilibrio



Estas imagenes representan la estructura en la iteracion 200. Puedecomprobarse que no hay cambio significativo entre la iteracion 100 yesta, por tanto se conseidera que la estructura esta en equilibrio o muyproximo a el y se concluyen las iteraciones por no obtener mejorassignifcativas.

Una vez comprobado que el programa es valido y que la estructura esestable, se realizara la comprobacion de las fuerzas de los elementos y serealizara finalmente el montaje de la estructura.



4.3. Fuerzas

Como se ha mencionado en el apartado anterior, al principio las cuerdasse encuentran destensadas y acaban en un estado de traccion que es el quesostiene a la estructura en equilibrio. A continuacion se ven reflejados los va-lores de tension de las 4 barras y 6 cuerdas de la estructura cuando esta llegaal equilibrio. Estas fuerzas son las unicas necesarias a la hora de construir eldiseno.

Todos los valores de estas fuerzas estan referenciados respecto al origen decoordenadas global de la estructura. Esto justifica que aunque la estructu-ra sea simetrica, no todos los componentes presenten las mismas tensiones.Si la referencia fuera tomada localmente en cada elemento, esta simetrıa defuerzas serıa mas evidente.

Barra 1. Desde el punto 1 al punto 4.

Fx = −1,052N Fy = 0,310N Fz = 0,547N

Barra 2. Desde el punto 2 al punto 5

Fx = 0,155N Fy = −0,875N Fz = 0,488N


Fx = 0,419N Fy = 0,384N Fz = 0,291N


Fx = 0N Fy = 0N Fz = −10,29N



Cuerda 1. Desde el punto 1 al punto 5

Fx = −2524,62N Fy = −370,36N Fz = 2180,78N


Fx = 1433,65N Fy = −1873,21N Fz = 1966,01N


Fx = 818,40N Fy = 2647,03N Fz = 2579,48N


Fx = −13,97N Fy = 4,13N Fz = 14,67N


Fx = 4,58N Fy = −16,82N Fz = 22,48N


Fx = 17,46N Fy = 13,29N Fz = 22,01N

Puede comprobarse como las tensiones a las que se ven sometidas las cuerdasson mucho mayores que las tensiones de compresion a las que se ven sometidaslas barras. Este rasgo es el fundamental y es por el cual se dice que en este tipode estructuras es la tension de las cuerdas las que permiten el equilibrio. Estaelevada tension justifica la hipotesis realizada al principio de este trabajo porla cual se decıa que los pesos de las barras y cuerdas iban a ser despreciadosen comparacion con el resto de las fuerzas que se ponen de manifiesto.



4.4. Montaje

Para su montaje se ha utilizado una base sobre la que se han ido colocandoel resto de elementos:

Tres barras de seccion cuadrada. Cada base presenta una argolla en unextremo y un anclaje para su union con la base en el otro. Estas barrasson de

Barra de seccion circular. Presentara un enganche en solo un extremo.Esta barra no necesita anclaje adicional pues no ira fija a la base.

Sedal de diametro 0.30 mm lo cual corresponde a una resistencia en kgde 5.8.

Sobre la base se realizan marcas en las coordenadas a las que deben ir lospuntos fijos. Las coordenadas implementadas en el programa fueron:

Punto 1: Rx = 0,8m Ry = 0m

Punto 2: Rx = −0,4m Ry = 0,69m

Punto 3: Rx = −0,4m Ry = −0,69m

Igualmente todas las medidas de barras y cuerdas son las finales obtenidasen el programa

Tres barras de 19cm

Barra de 15cm

Tres cuerdas de 11.5 cm

Tres cuerdas de 0.8cm



Figura 53: Montaje con cuerdas elasticas

Como se ha visto, las tensiones a las que se ven sometidas las cuerdasson muy elevadas. Por ello, para facilitar el montaje, primero se realizara concuerdas elasticas. Esto hara mas sencillo alcanzar las posiciones de equilibrio.

A continuacion se le anadieron los hilos de sedal de la longitud calculaday se procedio a retirar las uniones elasticas. Al eliminar las uniones elasticas,toda la tension recae sobre el sedal que se tensa y mantiene en equilibrio ala estructura.



Figura 54: Montaje con sedal

Finalmente se comprobara la similitud de la estructura construida con lavisualizacion obtenida en ParaView

Figura 55: Estructura real Figura 56: Estructura simulada



Figura 57: Estructura real Figura 58: Estructura simulada



5. Valoracion de impactos y de aspectos de

responsabilidad legal, etica y profesional

relacionados

En este apartado, se va a incluir una valoracion de los impactos de esteproyecto y se mencionaran algunos aspectos de responsabilidad legal, etica yprofesional.

El estudio en este tipo de estructuras tiene un importante impacto profe-sional en cuanto a que se tratan de una variante estructural que se encuentraa la vanguardia y que constituyen una clara evolucion con respecto a lasestructuras convencionales. El empleo de estos disenos en construcciones degran tamano es de utilidad a la hora de ahorrar en materiales lo que conllevaun destacable ahorro economico ademas de aportar esteticamente una apa-riencia mas impactante.

En el ambito etico, una disminucion en el empleo de materiales afecta demanera directa convirtiendo a estas estructuras en una buena opcion a lahora de conseguir un diseno mas sostenible mediante el mınimo consumode recursos. Por otro lado, al conseguir espacios mas diafanos debido a lapequena seccion de las vigas que componen estas construcciones, permitenconseguir espacios que aprovechen mejor la luz natural repercutiendo ası enun menor consumo de electricidad.

Socialmente tambien tienen repercusion ya que mediante estas estructuraspueden generarse todo tipo de edificios civiles aprovechables por la pobla-cion.



6. Conclusiones

Este trabajo ha servido para ampliar y aplicar mi conocimiento en dosvertientes: por un lado en el ambito de la arquitectura y la evolucion de dis-tintas corrientes referentes a la construccion y por otro lado las matematicasy todo lo relacionado a lenguajes de programacion que han sido empleados.

Las conclusiones sacadas desde el punto de vista estructural y arquitectonicose basan en que los estudios y las lıneas de investigacion actuales estan en-focadas en unos disenos mas sostenibles y economicos. Se intentan elaborarconstrucciones que se mimeticen lo maximo posible con la naturaleza siguien-do sus formas y valorando todos los materiales que se ponen en practica. Estochoca con tendencias pasadas basadas en la ostentosidad y muestra de podermediante la construccion de estructuras masivas.

En cuanto a las matematicas y la programacion cabe destacar lo ligadasque estan las matematicas con la ingenierıa y en particular con todo el cam-po de las estructuras. Esto queda demostrado en que a lo largo de todo eltrabajo se han ido haciendo referencia de manera indistintiva al trabajo rea-lizado tanto por matematicos como ingenieros en muchos casos trabajandojuntos.



7. Planificacion temporal

Este trabajo se comenzo en el mes de diciembre de 2018 y se termino enjulio de 2019 aunque la defensa del mismo no fue realizada hasta septiembrede 2019.

El ritmo de trabajo a lo largo de los meses comentados no ha sido cons-tante debido a la carga de trabajo variable a lo largo de el curso por partedel resto de asignaturas ası como la realizacion de los examenes finales dejunio. Ademas, al principio tuvo lugar una formacion con los programas uti-lizados. Ademas que como se ha comentado, primeramente la idea no erautilizar FORTRAN si no utilizar el programa de simulacion ANSYS lo cualtambien requerio tiempo. Por otro lado, la toma de contacto con este tipo deestructuras y como realizar su montaje tambien requirio bastante tiempo alcomienzo de este trabajo.

Una vez asentadas las bases de la programacion y del montaje, tuvo lugar lafase de programacion como tal. Despues de la creacion del programa se pasoa su utilizacion para el diseno de la estructura final. Finalmente se paso almontaje de la misma

Durante los meses de verano, la carga de trabajo empleada en este TFGpudo ser mayor. La diferencias de tiempo empleado a lo largo de los mesespuede observarse en el histograma que abajo se representa.



Figura 59: Dedicacion en horas de cada mes

Una vez asentadas las bases de la programacion y del montaje, tuvo lugarla fase de programacion como tal. Despues de la creacion del programa sepaso a su utilizacion para el diseno de la estructura final. Finalmente se pasoal montaje de la misma Todos estos pasos son los que se ven reflejados en eldiagrama de GANTT que acontinuacion queda adjuntado.



Figura 60: Parte 1 diagrama Gantt



8. Presupuesto

A continuacion se va a desarrollar el presupuesto de este proyecto de ma-nera aproximada. Para ello se tendran en cuenta las horas de trabajo humanotanto del alumno como del tutor. El coste de las horas del alumno han sidovaloradas en 15 euros la hora mientras que las del tutor han sido consideradasde 45 euros la hora. El tiempo empleado por el tutor queda justificado porel numero de tutorıas requeridas para este proyecto ası como su implicacionen el mismo. En cuanto a los bienes materiales empleados se realizara unaestimacion del consumo electrico empleado en base a las horas requeridas enel proyecto y a los materiales de construccion a la hora del montaje de lasestructuras. El consumo medio de un ordenador es de 0,04 euros la hora. Encuanto a los materiales empleados para la construccion, han sido empleados:sedales, cuerdas de distintos tipos de elasticidad, bases de constrachapado,listones de madera y varios tipos de adhesivos. Estos materiales asciendena un valor entorno a los 30 euros aproximadamente. Al haber realizado eltrabajo desde un ordenador portatil, tambien se tendra en cuenta el valor deamortizacion del mismo.

El modelo de ordenador portatil es un ASUS serie K541U cuyo precio esde 600 euros. Se ha considerado para estos calculos que se trata de unaamortizacion lineal en 4 anos.

Todos estos costes se ven reflejados en la tabla acontinuacion dando un valorfinal de 5823, 56 euros.

Figura 63: Distribucion del presupuesto



Referencias

[1] D. Orden Tensegridades: arte en equilibrio Universidad de Alcala

[2] B. Fuller Synergetics Fuller, 1975b, 700.011

[3] K.D. Snelson Kenneth Snelson New York, USA, 2004-2008

[4] M. de Guzman y D. Orden Finding tensegrity structures: Geometricand symbolic approaches

[5] EADIC Estructura Tensegrity 11 marzo, 2014

[6] https://es.wikipedia.org/wiki/Tensegridad

[7] Javier Romero Soluciones Estructurales con Mallas de Aspension Se-villa, julio 2015

[8] Aleman Arquitectos Guatemala, julio 2016

[9] Arquitectura+acero Kurilpa Bridge

[10] Stadiums of pro football Georgia Dome

[11] Gerardo Castro y Matthys P. Levy Proceedings of the Eighth Con-ference of Computing in Civil Engineering and Georgraphic InformationSystems Symposium Dallas, TX, junio 1992

[12] Inarquia Los nuevos estadios de futbol comprometidos con el desarrollosostenible Abril, 2019

[13] Ter La increible estructura del estadio del Atletico de Madrid Mayo,2018

[14] https://bafilm.gba.gob.ar/locaciones/estadio-unico-ciudad-la-plata/

[15] SkyCiv Column Buckling: How to check id a column is buckling

[16] Beltran Puma Teorıa de diseno por flexion Junio, 2015

[17] Archivo wikipedia

[18] M.P.Allen y D. J. Tildesley Computer Simulation of Liquids OxfordUniversity Press, 1987

[19] Robert William Burkhardt Jr A Practical Guide to TensegrityDesign Cambridge, MA 02142-0021



[20] A. G. Tibert y S. Pellegrino Review of Form- Finding Methods forTensegrity Structures Department of Mechanics, Royal Institute of Tech-nology SE-100 44 Stockholm, Sweden

[21] Jesus Ildefonso Dıaz Armazones de cables y barras: de la esculturaa la celula pasando por las matematicas Madrid, 12 de febrero de 2011

[22] Robert E. Skelton Dynamics and Control of Aerospace Systems

[23] Valentın Gomez Jauregui Tensegridad, estructuras de compresionflotante


estudio y diseÑo de estructuras tensegrÍticasoa.upm.es/56681/1/tfg_teresa_garcia_albertos.pdf ·...

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