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Capıtulo 2

Estudio del equilibrio

En este capıtulo comenzamos el estudio de los solidos deformable centrando-nos en las ecuaciones de equilibrio. Estas derivan de la aplicacion a un sis-tema continuo de las ecuaciones de Newton y de Euler y se expresan deforma mas sencilla mediante ecuaciones en derivadas parciales. Ademas, pa-ra poder extender el concepto de fuerza a un medio continuo se definira latension mecanica, idea fundamental que introdujo Cauchy en el siglo XIXy que basica en la mecanica de medios continuos.

2.1. El modelo del solido deformable

La materia no es contiua. Si empleamos un microscopio de suficiente re-solucion podremos apreciar como esta se compone de multitud de atomosseparados entre sı, los cuales a su vez estan formados por un nucleo dimi-nuto y nubes de electrones lejanos a estos. Esta observacion es valida paracualquier tipo de cuerpo: solido, lıquido o gaseoso. El estudio basado en pri-meros principios consiste en estudiar la fısica de estas partıculas y permiteconocer todas las propiedades de los cuerpos ... en teorıa. Sin embargo, estal la complejidad de estas ecuaciones que para obtener resultados, mas omenos precisos, resulta imprescindible emplear modelos.

En mecanica, que es la disciplina que nos concierne, existe el modelode “partıcula” que Galileo y Newton, entre otros, introdujeron. Segun es-te modelo, la dinamica de solidos puede estudiarse considerando que estosson puntos dotados de masa. Un modelo de complejidad mayor es el de“solido rıgido”, que incorpora detalles sobre la distribucion de la masa y laorientacion de los cuerpos [2, 1].

Los dos modelos indicados no describen ni la deformabilidad de los cuer-pos, ni la posibilidad de rotura/fallo, ni las diferencias entre distintos mate-riales, ni los efectos de la temperatura sobre los cuerpos... Para incorporartodos estos aspectos se formula un modelo mas complejo, llamado el modelode “solido deformable”, que sigue siendo imperfecto e inexacto, pero cuya

21

22 Mecanica de solidos, I. Romero

precision a la hora de reproducir lo que ocurre con los solidos reales es muchomayor que la de la partıcula o el solido rıgido.

Dentro de todos los aspectos que se pueden estudiar de los solidos de-formables, este capıtulo se centra en el estudio de los efectos de las fuerzassobre los mismos, y de como se manifiesta el equilibrio, y como se expresamatematicamente.

Para describir por tanto un solido deformable, comenzamos definiendoeste como una region ⌦ ⇢ R3, con contorno � formados por un conjuntocontinuo de puntos que debido a la accion de fuerzas exteriores y/o tempe-ratura pueden adoptar formas distintas a la original.

2.2. Fuerzas que actuan sobre los solidos deforma-bles

Como la mecanica trata de las fuerzas y su efecto sobre los cuerpos, elprimer paso para describir en que consiste el solido deformable consiste endelimitar que fuerzas vamos a considerar y cuales no.

En el caso de la partıcula, las unicas fuerzas que se admiten son lasfuerzas puntuales. En el modelo del solido rıgido, ademas de las primeras, seadminten pares de fuerzas. En el modelo de solido deformable no se admiteninguna de las dos anteriores y sin embargo se permiten dos nuevos tiposde fuerzas llamadas fuerzas volumetricas y fuerzas de superficie.

2.2.1. Fuerzas volumetricas

Las fuerzas volumetricas son fuerzas que actuan sobre cada diferencial devolumen del cuerpo, o equivalentemente, sobre cada diferencial de masa. Elejemplo clasico es el de la fuerza de la gravedad, que actua sobre cada elemen-to diferencial de volumen “tirando” de el “hacia abajo”. Matematicamente,las fuerzas volumetricas se describen con un campo vectorial f : ⌦ ! R3 deforma que sobre el diferencial de volumen en el punto P 2 ⌦ actua una fuerzadiferencial f dV . La resultante, por tanto, de todas las fuerzas volumetricasque actuan sobre un cuerpo es

R

v

=

Z

⌦

f(P ) dV , (2.1)

o en componentes en una base cartesiana B = {i, j, z},8<

:

Rvx

Rvy

Rvz

9=

; =

Z

⌦

8<

:

f

x

(P )f

y

(P )f

z

(P )

9=

; dV . (2.2)

Capıtulo 2. Estudio del equilibrio 23

2.2.2. Fuerzas de superficie o de contacto

Las fuerzas de superficie, tambien llamadas fuerzas de contacto, son fuer-zas aplicadas sobre el cuerpo a traves de su contorno � . Matematicamentese expresan como un campo vectorial t : � ! R3 definido sobre el contornode fuerzas por unidad de superficie. Sobre un diferencial de area sobre elpunto P 2 � actua una fuerza total de valor t dA y, por tanto, la resultantede todas las fuerzas de superficie actuando sobre un cuerpo es:

R

s

=

Z

�t(P ) dA ,

o en componentes en una base cartesiana

8<

:

Rsx

Rsy

Rsz

9=

; =

Z

�

8<

:

t

x

(P )t

y

(P )t

z

(P )

9=

; dA .

En mecanica, se denomina tension a la fuerza aplicada sobre la unidad dearea. A diferencia de la presion, la tension tiene direccion y sentido.

Observaciones:

a) Los solidos deformables no admiten fuerzas ni pares puntuales.

b) Las fuerzas volumetricas tienen dimensiones de F/L3 y las de superfice,de F/L2.

c) Las fuerzas de superficie se pueden descomponer en su componentenormal y tangencial a la superficie del cuerpo. Si consideramos unpunto P 2 � , y la normal a � en dicho punto que indicamos como n,podemos calcular

t

kn = (t · n)n , t

?n = t� t

kn . (2.3)

Es comun estudiar solidos deformables sujetos en una parte de su con-torno que denominaremos �

u

, de forma que � = �u

[�t

con �u

\�t

= ;. Enel contorno �

u

es solido deformable tiene sus desplazamientos impedidos ypara ello la sustentacion ejerce unas fuerzas de superficie de valor desconoci-do a priori que se encargan de satisfacer dicha restriccion. Por el contrario, obien �

t

es una superficie libre o bien hay fuerzas de superficie conocidas, detal manera que los desplazamientos de sus puntos son desconocidos cuandose plantea el problema (ver 2.1).

La resultante de la fuerzas de superficie sobre �u

se llama la reaccionsobre el cuerpo y se diferencia de la resultante de las fuerzas de superficieen que estas ultimas se conocen a priori y las primeras sin embargo tomanel valor necesario para mantener la restriccion de desplazamientos.


⌦

�u

�t

fv

fs

Figura 2.1: El modelo de cuerpo deformable

2.3. Fuerzas internas en un cuerpo deformable

El concepto de fuerza interna es central para el estudio de cuerpos defor-mables y es nuevo, en el sentido de que no existe en los modelos de partıculascon masa o en el de cuerpos rıgidos.

Cuando se estudia un cuerpo deformable sometido a fuerzas externasse deduce que, aunque no se puedan medir, deben de existir fuerzas en elinterior del mismo. Estas no se pueden medir porque para ello habrıa quepartir el cuerpo, creando una nueva superficie externa y por tanto dejarıande ser fuerzas internas. Pero, sin duda deben de existir para mantener lacohesion entre sus partıculas y para transmitir las fuerzas aplicadas desdeel exterior, en la superficie o en el interior.

Para comprender este nuevo concepto, consideramos un cuerpo defor-mable y una superficie S en su interior que divide el cuerpo en dos partesdisjuntas denominadas ⌦+ y ⌦�. Cuando sometemos a todo el cuerpo a fuer-zas externas (volumetricas o de superficie) tambien aparecen fuerzas entrelas dos partes que se transmiten entre ellas. Estas fuerzas no se controlandesde el exterior, no son fuerzas aplicadas, sino que aparecen en todos loscuerpos deformables, por su propia naturaleza y son el unico tipo de interac-cion mecanica entre ambas1. Las fuerzas que se transmiten en esta superficie,por unidad de area, reciben el nombre de tensiones, y dependen, en general,del punto del solido que se investigue y de la superficie S que se considere.Se definen por tanto:

Definicion 2.3.1. El vector tension t en un punto P del solido ⌦, cuandoeste se corta imaginariamente con una superficie S, es el vector de fuerzas

1Esta aproximacion de hecho ignora el efecto de fuerzas volumetricas entre ambas

partes, que en la naturaleza son muy debiles.


Pt

tku

t?u

n

Figura 2.2: El vector tension en un punto del interior de un cuerpo y ladescomposicion en sus componentes normal y tangencial.

por unidad de superficie que el resto del cuerpo realiza sobre este punto ysuperficie.

Como el vector tension esta siempre definido sobre una superficie denormal n, se definen su proyeccion sobre la normal tn y sobre la superficiemisma t

? de la manera estandar:

t

kn = (t · n)n , t

?n = t� tn . (2.4)

Se definen las componentes intrınsecas de la tension definida sobreuna superficie de normal n como

�n

= t · n , |⌧ | = |t?n | =p

|t|2 � �2

n

. (2.5)

Notese que la componente normal �n

tiene signo, pues es una proyeccion,pero que la componente tangencial |⌧ | siempre es positiva, o nula porque esla norma de un vector.

En principio, el vector t de tension en un cuerpo depende del punto Psobre el que se evalue y de la superficie que haya cortado (imaginariamente)dicho cuerpo. Con objeto de simplificar las ecuaciones de la mecanica desolidos deformables Cauchy propuso la siguiente condicion, que ha pasadoha llamarse el principio de Cauchy : el vector t en un punto P 2 ⌦ quepertenece a una superficie interna solo depende de P y de la normal n adicha superficie en P , matematicamente:

t = t(P,n) . (2.6)

No hace muchos anos se demostro que esta hipotesis no es necesaria, sinoque se puede demostrar que ası ocurre siempre, y este resultado se conocecomo el teorema de Noll, su descubridor.


Figura 2.3: Augustin-Louis Cauchy (1789–1857)

2.4. El tensor de tensiones

El resultado fundamental del analisis del equilibrio en cuerpos deforma-bles se debe al propio Cauchy y se conoce como el teorema de Cauchy ,pues tiene demostracion.

Teorema 2.4.1 (Teorema de Cauchy). En un cuerpo deformable en equili-brio existe un campo de tensores � = �(P ) tal que el campo de tensiones yel de fuerzas de superficie se pueden expresar como

t(P,n) = �(P )Tn , Si P 2 ⌦

t(P ) = �(P )Tn , Si P 2 �t

(2.7)

El tensor � se conoce como el tensor de tensiones.

La razon por la que este resultado es tan importante es que simplifica ladependencia funcional de la tension t en cualquier punto interior del cuerpoy sobre cualquier superficie. De ser una dependencia no lineal t = t(P,n),esta pasa a ser lineal en la normal n y esto tiene unas consecuencias enormes,no solo desde el punto de vista de calculo, sino tambien en la obtencion delas ecuaciones de equilibrio.

En una base cualquiera B = {e1

, e2

, e3

}, y en particular en la base carte-siana B

c

= {i, j,k}, el teorema de Cauchy se puede expresar en componentes

8<

:

t1

t2

t3

9=

;B

=

2

4�11

�21

�31

�12

�22

�32

�13

�23

�33

3

5

B

8<

:

n1

n2

n3

9=

;B

,

8<

:

tx

ty

tz

9=

;Bc

=

2

4�xx

�yx

�zx

�xy

�yy

�zy

�xz

�yz

�zz

3

5

Bc

8<

:

nx

ny

nz

9=

;Bc

.

(2.8)


Aunque la expresion del tensor de tensiones cambia segun la base, la ex-presion (2.7) es valida en cualquier sistema de coordenadas. Esta formula esuna expresion intrınseca, ya que el teorema de Cauchy no hace referencia aningun observador ni sistema de coordenadas.

Observaciones:

a) Las dimensiones del tensor de tensiones son de F/L2. Habitualmenteen ingenierıa se emplean los MPa.

b) El tensor de tensiones admite la siguiente descomposicion:

� = �p1+ s , siendo p = �1

3tr(�), s = � + p1 . (2.9)

El escalar p es la presion asociada al tensor � y s es la tension desvia-dora.

c) Cuando conocemos el campo de tensores �, conocemos todo el estadotensional del cuerpo, incluyendo las tensiones en el contorno.

d) El campo de tensiones es unico.

e) Cuando el campo de tensores no depende del punto, sino que es cons-tante, se dice que el estado tensional es homogeneo.

Demostracion. La demostracion del teorema de Cauchy emplea los argu-mentos propuestos por el mismo Cauchy, usando el llamado “tetrahedro deCauchy”.

Sea un tetraedro diferencial recto centrado en el punto P 2 ⌦, con unode sus vertices coincidente con el centro de un sistema de coordenadas debase B = {e

1

, e2

, e3

}. La cara opuesta al origen del sistema de coordenadastiene area dA y normal n = n

1

e

1

+n2

e

2

+n3

e

3

. Las otras tres caras tienenareas

dA1

= n1

dA , dA2

= n2

dA , dA3

= n3

dA . (2.10)

Llamando t a la tension sobre el area dA y t

1

, t2

, t3

a las tensiones sobrelas otras tres caras se tiene que

t = t(P,n), t

1

= t(P,�e

1

), t

2

= t(P,�e

2

), t

3

= t(P,�e

3

), (2.11)

y por tanto el equilibrio de fuerzas se expresa como:

t(P,n) dA+ t(P,�e

1

)n1

dA+ t(P,�e

2

)n2

dA+ t(P,�e

3

)n3

dA

+f(P ) dV = 0

.(2.12)


Como las fuerzas volumetricas multiplican a un infinitesimo de orden supe-rior, estas se pueden despreciar en la suma anterior. Para continuar, toma-mos el lımite en la ecuacion anterior cuando n ! e

1

para obtener

t(P, e1

) = �t(P,�e

1

) . (2.13)

Como este resultado es valido para cualquier base y vector e

1

se concluyeque

t(P,n) = �t(P,�n) , (2.14)

resultado conocido como el corolario de Cauchy . Utilizando este resul-tado en la ecuacion (2.12) obtenemos

t(P,n) = t(P, e1

)n1

+ t(P, e2

)n2

+ t(P, e3

)n3

. (2.15)

Esta relacion expresa que la dependencia del vector t en la normal n eslineal y por lo tanto existe un tensor que denominamos �T tal que

t(P,n) = �

T (P )n , (2.16)

y cuya expresion, a partir de la relacion (2.15), ha de ser

�

T (P ) = t(P, e1

)⌦ e

1

+ t(P, e2

)⌦ e

2

+ t(P, e3

)⌦ e

3

. (2.17)

Si la normal n coincide con una normal a la superfice exterior del cuerpoconcluimos que

t(P ) = �

T (P )n . (2.18)

x

y

z

x

y

z

Figura 2.4: Paralelepıpedo del ejemplo 2.4.2

. Ejemplo 2.4.2. El paralelepıpedo de la figura 2.4 esta sometido a unestado tensional que, en el sistema cartesiano indicado (con unidades demetros), se representa con la matriz

[�] =

2

4xy y2 xzy2 xz + yz 0xz 0 z2

3

5 MPa . (2.19)


Calcular la tension normal y tangencial sobre el plano de la derecha (quepasa por los tres vertices del paralelepıpedo) en su punto medio (DatosLx

= 4 m, Ly

= 5 m, Lz

= 3 m).Consideramos tres vertices del paralelepıpedo por los que pasa el plano

de la figura de la derecha. Sus vectores de posicion son r

A

= 4i, rB

= 5j yr

C

= 3k. El vector unitario normal al plano de la figura es

n =(r

B

� r

A

)⇥ (rC

� r

A

)

|(rB

� r

A

)⇥ (rC

� r

A

)| =1p769

(15i+ 12j + 20k) . (2.20)

El punto medio de la cara inclinada del tetraedro irregular es es P ⌘ (43

, 53

, 1)m y la tension en P sobre el plano es:

{t(P,n)} =

2

420

9

25/425

9

4

3

25

9

3 04

3

0 1

3

5 1p769

8<

:

151220

9=

; =1p769

8<

:

280/323340

9=

; MPa .

(2.21)Las componentes intrınsecas de este vector son:

�n

= t(P,n) · n = 4,07 MPa , |⌧ | =p|t|2 � �2

n

= 2,16 MPa . (2.22)

/

2.4.1. Interpretacion fısica de las componentes del tensor detensiones

Cada una de las componentes de � en una base tiene un significado espe-cial y en ingenierıa reciben nombres que hacen referencia a su direccion, comoveremos a continuacion. Si escogemos una base cualquiera B = {e

1

, e2

, e3

},el vector tension en un punto P 2 ⌦ que actua sobre una superfice de nor-mal e

i

que pasa por dicho punto es ti

= �

T

e

i

. La tension normal a estasuperficie es por tanto

�ii

= t

i

· ei

(2.23)

(no hay una suma en los subındices repetidos) y las tensiones tangencia-les o cortantes a esta superficie son por tanto

�ij

= e

j

· �T

e

i

con i 6= j . (2.24)

En general, la componente �ij

es el valor de la tension que actua sobre unasuperficie de normal e

i

, en direccion e

j

, y cuando i 6= j, a veces se empleala notacion ⌧

ij

= �ij

.Lo anterior aplica tambien a las componentes de � en la base cartesiana

Bc

= {i, j,k}. En esta tenemos las tres tensiones normales

�xx

= i · �T

i , �yy

= j · �T

j , �zz

= k · �T

k , (2.25)


j

k

i

P

S

N

EO

D

A

t(S,�k)

t(N,k)

t(E,j)

t(O,�j)

t(D, i)

t(A,�i)

P

S

N

EO

D

A

�yy

(E)

⌧yz

(E)

⌧yx

(E)

�yy

(O)

⌧yz

(O)

⌧yx

(O)

�zz

(N)

⌧zy

(N)

⌧zx

(N)

�zz

(S)

⌧zy

(S)

⌧zx

(S)

Figura 2.5: Vectores tension y sus componentes sobre un cubo diferencial(se omiten las componentes de los vectores sobre los puntos A y D).


y las tensiones tangenciales

⌧xy

= �xy

= j ·�T

i , ⌧xz

= �xz

= k ·�T

i , ⌧yx

= �yx

= j ·�T

i , . . .(2.26)

En la figura 2.5 se pueden apreciar algunas de las componentes del tensorde tension sobre un cubo diferencial

2.5. Ecuaciones de equilibrio

En esta seccion se obtienen las ecuaciones que expresan que un cuerpodeformable esta en equilibrio.

2.5.1. Principio fundamental

De la misma manera que Newton establecion en su segunda ley las con-diciones necesarias y suficientes para el equilibrio de una partıcula, y queluego se extienden al caso de los solidos rıgidos anadiendo la condicion delequilibrio de momentos, existen un principio fundamental que generaliza losdos anteriores al caso de los cuerpos deformables. Como tal principio no esdemostrable, pero es fundamental pues en el se basa el estudio del equilibriode solidos, fluidos y estructuras deformables.

El principio fundamental de la estatica de los cuerpos deforma-bles establece que toda region R contenida o igual a un cuerpo deformable⌦ esta en equilibrio estatico. De forma matematica:

Z

Rf dV +

Z

@R\�t dA+

Z

@R\�t dA = 0 , para toda R ✓ ⌦ (2.27)

Mas aun, para que el equilibrio estatico sea completo, el momento resul-tante de todas las fuerzas que actuan sobre R tambien ha de ser nulo, asıpues, para un sistema de referencia arbitrario, podemos escribir:Z

Rr⇥ f dV +

Z

@R\�r⇥ t dA+

Z

@R\�r⇥ t dA = 0 , para toda R ✓ ⌦

(2.28)siendo r el vector de posicion de los puntos en R.

Las expresiones (2.27) y (2.28) tienen forma integral y su forma diferen-cial es mucho mas util por lo que la obtenemos a continuacion.

2.5.2. Equilibrio de fuerzas

Empleando el principio de Cauchy, las dos integrales de superficie de laexpresion (2.27) se pueden escribir como:

Z

@R\�t dA+

Z

@R\�t dA =

Z

@R�

T

n dA . (2.29)


Empleando el teorema de la divergencia sobre la region R, esta integral desuperficie se puede expresar como:

Z

@R�

T

n dA =

Z

Rdiv�T dV . (2.30)

Sustituyendo este resultado en la expresion (2.27), se obtiene

Z

R

�div�T + f

�dV = 0 . (2.31)

Pero esta ultima expresion es valida para cualquier region R del cuerpo, yeso unicamente es posible si el integrando es identicamente cero en todopunto, es decir

div�T + f = 0 . (2.32)

2.5.3. Equilibrio de momentos

La expresion diferencial correspondiente a la ecuacion (2.28) del equi-librio de momentos se obtiene utilizando el principio de Cauchy para laevaluacion de las fuerzas de superficie:

Z

Rr ⇥ f dV +

Z

@Rr ⇥ (�T

n) dA = 0 . (2.33)

Usando la identidad (2.32) en la primera integral y utilizando el resultadodel Problema 1.9 en la segunda, se obtiene

Z

Rr⇥ (� div�T ) dV +

Z

Raxial[�a] dV +

Z

Rr⇥ (div�T ) dV = 0 , (2.34)

siendo axial[] el operador que calcula el vector axial asociado al tensor an-tisimetrico �

a. Cancelando los terminos con las divergencias resulta

Z

Raxial[�a] dV = 0 , (2.35)

y como este resultado ha de ser valido para cualquier region R, concluimosque el integrando se anula y por tanto la parte hemisimetrica de � ha de sercero, es decir, � es un tensor simetrico. Resumiendo, las dos ecuaciones deequilibrio de los cuerpos deformables se pueden escribir de forma diferencialcomo

div� + f = 0 , � = �

T . (2.36)


2.6. Tensiones principales y direcciones principa-les de tension

A partir del estado tensional de un cuerpo � = �(P ) podemos calcularel vector tension t(P,n) que actua sobre cada unidad de superficie en elpunto P con normal n. La direccion del vector tension no se conoce a priori,y dependiendo del estado tensional, puede ser cualquiera.

En particular, surge el interrogante de si, dado la tension en un pun-to �(P ), se puede cortar el cuerpo por una superficie tal que el vector ten-sion t(P,n) resulta tener la misma direccion que la normal n. Para resolveresta cuestion, planteamos matematicamente:

�(P )n = �n . (2.37)

La cuestion planteada es equivalente a encontrar los autovectores del ten-sor �, que por ser simetrico, siempre son ortonormales. Los autovaloresasociados seran reales siempre. Los valores propios de � se conocen comolas tensiones principales y los autovectores como las direcciones prin-cipales de tension.

Los tres autovectores son ortonormales y forman una base Bp

= {vI

,vII

,vIII

}denominada la base principal de tension en el punto P . Las tensiones prin-cipales se suelen indicar como �

I

,�II

,�III

y, por convenio, salvo que se indiquelo contrario se escogeran siempre de forma que

�I

� �II

� �III

. (2.38)

La base principal diagonaliza el tensor de tensiones. En otras palabras, lamatriz asociada a � en la base B

p

es diagonal de la forma

[�]Bp

=

2

4�I

0 00 �

II

00 0 �

III

3

5

Bp

. (2.39)

Las tensiones principales y las direcciones principales de tension son, engeneral, distintas en cada punto de un cuerpo deformable. Solo si el estadotensional es homogeneo todas ellas seran las mismas en todo el cuerpo.Proporcionan informacion muy util para comprender el estado tensional enun punto, y no tiene sentido hablar de las tensiones principales de un cuerpoo de sus direcciones principales de tension.

Observaciones:

a) Cuando dos tensiones principales son identicas se dice que el tensorde tensiones es cilındrico. En este caso hay un direccion principal,la asociada a la tension principal distinta, y un plano de direccionesprincipales. Dos vectores unitarios cualesquiera, ortogonales entre sı,forman, junto con la primera direccion principal, la base principal detensiones.


2 4 6 8sn

-1

1

2

3

4

5†t§

2 4 6 8sn

-1

1

2

3

4

5†t§

2 4 6 8sn

-1

1

2

3

4

5†t§

2 4 6 8sn

-1

1

2

3

4

5†t§

Figura 2.6: Representacion grafica de puntos sobre el diagrama de Mohrobtenidos por muestreo aleatorio de normales (10, 100, 1000 y 10000 puntos).

b) Si las tres tensiones principales son iguales, se dice que el tensor detensiones es esferico. Cualquier vector es una direccion principal detension y cualquier base es una base principal.

2.7. Representacion grafica de un tensor de ten-siones

Como un tensor (simetrico) es un objeto difıcil de interpretar se hanpropuesto varias representaciones graficas que proporcionan algo de infor-macion sobre el mismo y permite una evaluacion cualitativa sus propiedades.La representacion mas util en mecanica de solidos es el llamado diagramade Mohr que representa graficamente en un diagrama cartesiano todos losposibles valores de las componentes intrınsecas de tension asociadas al ten-sor de tensiones en un punto. En realidad, se puede emplear el diagramade Mohr para representar graficamente las propiedades de cualquier tensorsimetrico, por ejemplo, el tensor de inercia.

La forma de construir el diagrama de Mohr serıa la siguiente. Dadoun tensor simetrico �, escogemos un vector unitario cualquiera n

1

. El vec-tor tension cuando el cuerpo se corta con una superficie de normal n(1) es

t

(1) = �n

(1), cuyas tensiones intrınsecas son �(1)

n

y |⌧ |(1). En un diagrama

cartesiano se puede dibujar el punto de coordenadas (�(1)

n

, |⌧ |(1)). Si ahora


�n

|⌧ |

�I�II�III

CI

CII

CIII

Figura 2.7: Diagrama de Mohr de un estado tensional.

escogemos un vector unitario distinto n

(2) podemos, por el mismo razona-

miento, calcular las tensiones intrınsecas �(2)

n

y |⌧ |(2) y dibujarlas tambien

en el mismo diagrama cartesiano sobre el punto de coordenadas (�(2)

n

, |⌧ |(2)).Este proceso se puede repetir indefinidamente seleccionando siempre vecto-res unitarios y marcando en el diagrama cartesiano las tensiones intrınsecasresultantes. El resultado de este proceso se puede apreciar en la secuenciade figuras 2.6, cuyo lımite es una superficie acotada por tres cırculos comolos dibujados en la figura 2.7.

La demostracion de que la superficie de posibles componentes intrınsecases la indicada en la figura 2.7 es la siguiente. En primer lugar, como |⌧ | esno negativo, la superficie ha de estar siempre en la parte por encima del ejede abcisas. Ademas, como �

n

y |⌧ | son funciones continuas de � y de n, lasuperficie ha de ser conexa. Mas aun, como hay tres tensiones principalesunicamente, la superficie intersecta el eje de abcisas unicamente en trespuntos, (�

i

, 0), i = I, II, III.Para continuar, expresamos el tensor � en su base principal y escogemos

vectores normales n que, tambien expresados en la base principal, son dela forma n = cos↵ v

I

+ cos� v

II

+ cos � v

III

. Los angulos ↵,�, � son losformados por n y cada una de las direcciones principales. El vector tensionexpresado en esta base es t = �

I

cos↵ v

I

+ �II

cos� v

II

+ �III

cos � vIII

y portanto sus componentes intrınsecas son de la forma:

�n

=

8<

:

�I

cos↵�II

cos��III

cos �

9=

; ·8<

:

cos↵cos�cos �

9=

; = �I

cos2 ↵+ �II

cos2 � + �III

cos2 � ,

|⌧ |2 = �I

2 cos2 ↵(1� cos2 ↵) + �II

2 cos2 �(1� cos2 �) + �III

2 cos2 �(1� cos2 �)

= �I

2 cos2 ↵ sin2 ↵+ �II

2 cos2 � sin2 � + �III

2 cos2 � sin2 �,(2.40)


�I

�II

�III

tA

✓

|⌧| m

ax

�n

|⌧ |

Figura 2.8: Representacion grafica del estado tensional sobre un plano.

con la restriccion 1 = cos2 ↵ + cos2 � + cos2 �. Si eliminamos cos � de larestriccion, podemos interpretar (2.40) como la ecuacion parametrica de unasuperficie en el plano.

Para continuar definimos ↵ 2 [0,⇡/2] el angulo que satisface cos ↵ =| cos↵| y analogamente � y �, limitandones a partir de ahora a estudiarel diagrama de Mohr para vectores normales unitarios de la forma n =cos ↵ v

I

+ cos � v

II

+ cos � v

III

. Si estudiamos el caso lımite, por ejemplo,� = ⇡/2, es decir el lugar geometrico en el plano (�

n

, |⌧ |) correspondiente aaquellos planos de normal perpendicular a v

III

, obtenemos a partir de (2.40)que

cos2 � = sin2 ↵ (2.41)

y, por tanto,

�n

= �I

cos2 ↵+ �II

sin2 ↵ =�I

2(cos2 ↵+ 1� sin2 ↵) +

�II

2(sin2 ↵+ 1� cos2 ↵)

=�I

+ �II

2+

�I

� �II

2cos 2↵,

|⌧ |2 = �I

� �II

2sin 2↵.

(2.42)Interpretamos que una parte del contorno de la superficie que buscamos esun arco de circunferencia centrado en (�I+�

II

2

, 0) y con radio �

I

��

II

2

. Estasemicircunferencia la denominamos C

III

, el lugar geometrico de los compo-nentes intrınsecas de tension en planos cuya normal es perpendicular a v

III

.Repitiendo el mismo argumento, pero escogiendo planos cuyas normales seanperpendiculares a v

I

y a v

II

obtenemos que el contorno de la region admisi-ble es la union de C

III

con otras dos semicircunferencias que llamamos CI

yCII

cuyas propiedades son analogas a las de CIII

. Estas tres circunferenciasestan indicadas en la figura 2.7.

De esta construccion se sigue que dado el diagrama de Mohr correspon-diente al estado tensional en un punto, y considerando un plano que corta


al solido pasando por dicho punto y con normal n = cos ↵vI

+ cos �vII

+cos �v

III

, las componentes intrınsecas del vector tension se representan el elplano (�

n

, |⌧ |) en un punto que debe de estar dentro de la superficie delimi-tada por C

I

, CII

y CIII

.

Mas aun, el diagrama de Mohr permite la construccion inversa, aunqueesta no la demostramos. Dado un punto A dentro de la region comprendi-da entre las tres circunferencias de Mohr, es posible determinar de formagrafica el valor de ↵, �, �, los angulos que forman la normal al plano cuyascomponentes intrınsecas se corresponden con el punto A. En la figura 2.9 seindica la construccion geometrica.

Observaciones:

a) El diagrama de Mohr no permite distinguir las componentes intrınsecasde los vectores tension correspondientes a normales que forman angulosmayores de ⇡/2 con los ejes principales. En terminos geometricos, cadapunto del diagrama de Mohr representa las componentes intrınsecasde tension en ocho planos, cuyas normales son

n = (± cos ↵,± cos �,± cos �). (2.43)

Dado un punto del diagrama, tan solo podemos determinar grafica-mente el valor de los tres angulos ↵, �, �, pero no el valor preciso delos signos en la normal.

b) El diagrama de Mohr de un estado tensional cilındrico es simplementeuna semicircunferencia que corta al eje horizontal en �

I

,�III

. Si el es-tado tensional es esferico, el diagrama de Mohr degenera en un puntosobre el eje horinzontal de coordenada �

I

= �II

= �III

.

c) Los estados tensiones de planos cuya normal es perpendicular la direc-cion principal v

I

se corresponden con los puntos de CI

(analogamente,para C

II

y CIII

).

d) La mayor tension cortante |⌧ |max

en un punto se corresponde con elradio de la mayor circunferencia de Mohr r

II

= (�III

� �I

)/2. Ver lafigura 2.8.

e) El modulo del vector t correspondiente a un plano cuya representacionen el diagrama de Mohr es el punto A, el la distancia del centro decoordenadas a dicho punto (ver figura 2.8). Ademas, el angulo queforma el vector t y la normal al plano es ✓.


�n

|⌧ |

�I�II�III

CI

CII

CIII

A

�II+�III2

b↵b↵

�n

|⌧ |

�I�II�III

CI

CII

CIII

A

�I+�III2

b�b�

�n

|⌧ |

�I�II�III

CI

CII

CIII

A

�I+�II2

b�b�

Figura 2.9: Obtencion grafica de los angulos ↵, �, � en el diagrama de Mohr


. Ejemplo 2.7.1. El estado tensional en un punto de un solido deformabletiene una expresion matricial respecto al sistema de coordadas x, y, z que es

[�] =

2

4�1 �p

3 0�p

3 1 00 0 1

3

5 MPa .

Se pide:

a) Determinar las tensiones principales y dibujar el diagrama de Mohrdel estado tensional.

b) Calcular la tension tangencial maxima en el punto e indicar el anguloque forma la normal del plano correspondiente con los tres ejes prin-cipales de tension.

c) Calcular el angulo que forma el eje x con cada una de las direccionesprincipales de tension.

1) Los autovalores de � son las raıces del polinomio caracterıstico

(1� �) ((�1� �)(1� �)� 3) = 0,

es decir �I

= 2 MPa, �II

= 1 MPa, �III

= �2 MPa.2) La tension tangencial maxima es el radio del cırculo de Mohr mayor, es

decir ⌧max

= 2 MPa. En la figura se calculan graficamente los angulos de lanormal al plano con mayor tension tangencial respecto de los ejes principales(↵ = 45o,� = 90o, � = 45o).

�n

(MPa)

|⌧ | (MPa)

-2 21

⌧max

= 2

↵ = 45� = 45

� = 90

3) El eje x es normal al un plano sobre el cual actua una tension normal�n

= �x

= �1 MPa y una tension tangencial de modulo |⌧ | = |⌧xy

| = p3

MPa. Dibujando este punto sobre el diagrama de Mohr encontramos losangulos que forma el eje x con las direcciones principales (↵ = 60o,� =90o, � = 30o). /


�n (MPa)

|⌧ | (MPa)

-2 21

↵ = 60� = 30

� = 90

Problemas

2.1. Razonar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) Las tensiones principales en un punto de un solido son �I

= 8 MPa,�II

= 0 MPa, �III

= �5 MPa. ¿Hay algun plano tal que la tensionnormal y tangencial en el mismo valgan �

n

= 2 MPa y ⌧ = 3 MPa?¿y cuando �

n

= 5 MPa y ⌧ = 1 MPa?

b) Un solido posee un estado tensional esferico con �I

= �II

= �III

= p.Su diagrama de Mohr corresponde a tres cırculos identicos de centroen el origen y radio p.

c) Un solido deformable cuyo tensor de tensiones sea el mismo en todopunto no puede estar sometido a ninguna fuerza volumetrica.

d) Si tomamos g = 10 m/s2,

1 MPa = 1kp/cm2

e) La unica fuerza volumetrica que puede actuar sobre un cuerpo es elpeso.

2.2. Un solido deformable en equilibrio se encuentra sometido a un campo detensiones cuya expresion matricial, en un sistema cartesiano de coordenadases:

[�] =

2

43x2 2xy

p2y2

⌧yx

x2 (y2 + x2)⌧zx

⌧zy

(z2 + xz)

3

5

a) ¿Cuanto valen �x

, ⌧zx

y ⌧zy

?

b) ¿Cuales son las dimensiones de ?

c) ¿Cual es el campo de fuerzas volumetricas que actua sobre el cuerpo?


d) ¿Cual es la tension que se aplica desde el exterior en un punto dela superficie (x, y, z) = (1, 1, 2) m en el que la normal tiene valorn = 1p

13

(2i+ 3j). ¿Cuales son sus componentes intrınsecas?

e) Encuentra las tensiones principales en el punto (x, y, z) = (1, 0, 1) msi = 2 · 106 N/m4.

2.3. Comprueba que en los siguientes casos el estado tensional propuestoverifica las ecuaciones de equilibrio en el interior y en el contorno del cuerpo.

a) Un solido deformable sometido a presion exterior uniforme de valor ptiene tensor de tensiones � = �pI, siendo I el tensor unidad.

b) Un cilindro cuyo eje de revolucion coincide con k se encuentra sometidoa una presion p en sus caras planas y a presion q en su superficielateral tiene un estado tensional cuya expresion matricial en el sistemacartesiano es:

[�]xyz

=

2

4�q 0 00 �q 00 0 �p

3

5

c)

F3

F3

F2

F2

F1

F1

b

a

c

x

y

z

Un paralelepıpedo como el de lafigura tiene lados de dimensio-nes a, b y c. Este cuerpo se en-cuentra sometido a tensiones nor-males sobre sus caras uniforme-mente repartidas cuyas resultan-tes son, como indica la figura,F

1

,F2

,F3

. El estado tensionaldel cuerpo es:

[�] =

2

4F1bc

0 00 F2

ac

00 0 F3

ab

3

5

2.4. Un cuerpo deformable esta sometido a un estado tensional homogeneocuya representacion matricial en un sistema cartesiano de coordenadas es:

[�] =

2

45/2 �p

3/2 0�p

3/2 3/2 00 0 �3

3

5 MPa .

a) Dibujar el diagrama de Mohr correspondiente al estado tensional.

Si cortamos el cuerpo con un plano de vector normal n tal que elvector tension t actuando sobre dicho plano solo tenga componentetangencial:


b) Calcular el modulo de todos los posibles vectores t.

c) Indicar los angulos que forman, en cada caso, n con la segunda direc-cion principal.

2.5. Un cilindro deformable de longitud L y radio a esta sujeto por unextremo y sometido a la accion de una fuerza F normal a su superficie librey repartida uniformemente sobre ella.

Figura 2.10: Problema 2.5.

Sabiendo que el cilindro esta en equilibrio, postular una expresion parael tensor de tensiones y comprobar que verifica las ecuaciones de equilibrioen el interior y el en contorno. Ademas, encontrar el valor del vector ten-sion actuando en los siguientes puntos y planos, indicando sus componentesnormal y tangencial:

a) Punto A = Lj, normal n = j.

b) Punto B = L

2

j, normal n = j.

c) Punto B, normal n = i.

d) Punto B, normal n =p2

2

(j + k).

2.6. Si las tensiones principales en un punto de un solido elastico valen 30,10 y -10 MPa respectivamente, se pide:

a) Hallar el modulo del vector tension para la direccion en la que aparez-ca ⌧

max

.

b) Hallar las componentes intrınsecas de la tension en la direccion queforma 30o con la direccion principal 1 y 60o con la direccion principal 2.

2.7. Un solido deformable de volumen V se encuentra en equilibrio, sumer-gido en un fluido de peso especıfico � y sometido a fuerzas de volumen.


z

V



El estado tensional del cuerpo se expresa, en el sistema de coordenadasde la figura, con una matriz de expresion:

[�] =

2

4��z 0 00 ��z 00 0 ��z

3

5 = ��z [I] .

a) Encontrar el valor del campo de fuerzas volumetricas actuando sobreel cuerpo.

b) Comprobar que cada punto de la superficie del cuerpo esta sometidoa la accion de la presion hidrostatica y que esta no tiene componentetangencial.

c) Encontrar el valor de la resultante de las fuerzas ejercidas por el fluidosobre el cuerpo, demostrando que es el vector opuesto al peso delvolumen desplazado, es decir, el principio de Arquımedes.

2.8. Un paralelepıpedo deformable tiene las dimensiones en metros que seindican en la figura. El cuerpo esta sujeto en el plano x = 0 y sometido auna fuerza axial F en direccion del eje x, aplicada uniformemente sobre lacara x = 1 m. Cuando se aplica una fuerza, el cuerpo se parte por el planox + y = 0, 5. Para repararlo se emplea un pegamento que resiste tensionesnormales y tangenciales maximas de valor:

�max

= 40 KPa , ⌧max

= 80 KPa .


a) Postula la expresion matricial del tensor de tensiones �(x, y, z) (no esnecesario verificar que cumple las ecuaciones de equilibrio).

b) Calcula las componentes intrınsecas de tension sobre el plano x+ y =0, 5.

c) ¿Cual es el valor de la fuerza maxima que puede resistir el cuerporeparado suponiendo que la zona mas debil del mismo es la superficiepegada?

Figura 2.13: Problema 2.9

2.9. El solido deformable de la figura 2.9 se encuentra sometido a un estadotensional �(x, y, z) del cual se sabe que

�zz

= �yy

= �xz

= �yz

= 0 ,

�xx

= y(2 + (1� x)) MPa ,(2.44)

y que la tension �xy

no depende de la variable z. Las caras del cuerpoperpendiculares a los ejes y y z estan libres de tensiones y el cuerpo no estasometido a ninguna fuerza volumetrica.

a) Demuestra que �xy

= 1

2

(y2 � 0,152).

b) Dibuja el diagrama de Mohr del estado tensional en el punto (x, y, z) =(0, 0, 0). (nota: cotas en metros. El sistema de coordenadas esta situadoen en centro de la cara menor y sus ejes son paralelos a las aristas delsolido)

2.10. Las tensiones principales en un punto son 2, 5 y 7 MPa, respecti-vamente. Identifica graficamente la tension cortante maxima y mınima (envalor absoluto) de aquellos planos en los que:

a) La tension normal es 6 MPa.

b) La tension tiene modulo 6 MPa.


c) La tension normal es el doble de la tension tangencial.

d) El angulo que forma su normal con el eje principal primero es de 30o.

2.11. El paralelepıpedo de la figura esta sometido a un campo de tensionescuya representacion matricial en el sistema indicado es:

[�] =

2

4x2 zy2 z2

zy2 x 0z2 0 xz

3

5 MPa .


Si las dimensiones de la figura son metros,

a) Calcular la fuerza que se ejerce sobre la cara x = 1 m del solido.

b) Calcular la fuerza volumetrica total que se realiza sobre el cuerpo.

c) ¿En que punto de la cara x = 1 m aparece la mayor tension tangencial?

2.12. Un cuerpo deformable ocupa un volumen V y esta sometido a unestado tensional que, referido a una base cartesiana, es de la forma

[�(x, y, z)] = K

2

4x2y yz2 �2xyz � z3/3yz2 �y3/3 y2z

�2xyz � z3/3 y2z 0

3

5 ,

siendo K una constante con dimensiones de F/L5. Comprobar que la re-sultante de todas las fuerzas que actuan sobre el contorno del cuerpo esnula.

2.13. Un punto de un cuerpo deformable esta sometido a un estado tensionalcuyo diagrama de Mohr se muestra en la figura. Sobre este diagrama se indicaun punto que se corresponde con las componentes intrınsecas de tensionsobre un plano de normal n.

a) Determina graficamente el valor de ↵, �, �.


-10 0 10 20 30 40 �n (MPa)

|⌧ | (MPa)

⇡/6


-10 0 10 20 30 40 �n (MPa)

|⌧ | (MPa)


b) Calcula el vector tension t sobre dicho plano.

c) Indica que angulo forma t con n.

2.14. Un punto de un cuerpo deformable esta sometido a un estado tensionalcuyo diagrama de Mohr se muestra en la figura. Indica sobre la figura:

a) De todos las tensiones correspondientes a planos con ↵ = 30o, la quetiene mayor modulo.

b) De todos las tensiones que forman 45o con su plano correspondiente,la que tiene menor tension tangencial.

c) De todas las tensiones correspondientes a planos con � = 60o, la quetiene un plano con mayor �.

Bibliografıa 47

2.15. La tension octaedrica tangencial ⌧o

en un punto se define con la tensiontangencial |⌧ | sobre cualquiera de los planos que forman el mismo angulosobre las tres direcciones principales (cos2 ↵ = cos2 � = cos2 � = 1

3

). De-muestra

a) ⌧2o

=1

9

�(�

I

� �II

)2 + (�II

� �III

)2 + (�III

� �I

)2�

b) ⌧2o

=1

9

�2I2

1

� 6I2

�,

siendo I1

, I2

los dos invariantes principales primeros del tensor de tensiones.

2.16. El tensor de tensiones tiene por expresion matricial en un punto:

[�] =

2

4�11

2 12 0 21 2 0

3

5 MPa

Determina el valor de �11

de forma que haya alguna normal cuyo planocorrespondiente este libre de tensiones.

2.17. Considera un punto de un solido cuyas tensiones principales sean�I

= 7 MPa, �II

= 3 MPa, �III

= �1 MPa. Escribe un programa que generevectores unitarios aleatorios y determine, para cada uno de ellos �

n

y |⌧ |.Despues dibuja estos valores en un diagrama cartesiano con �

n

en el eje deabcisas y |⌧ | en el eje de ordenadas. Comprueba que los punto ocupan unaregion del plano que se corresponde con el diagrama de Mohr del estadotensional.

2.18. Un cuerpo de densidad ⇢ esta girando con velocidad angular ! alre-dedor de un eje fijo. Comprobar que el tensor de tensiones debe ser de laforma

�(x) = �

o

� ⇢ |!|24

x⌦ x,

siendo �

o

un tensor con divergencia nula.

Bibliografıa

[1] V I Arnold. Mathematical methods of classical mechanics. 1989.

[2] H Goldstein. Classical Mechanics. 1980.

estudio del equilibrio -...

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