estudio de mecanismos de amortiguación de vibracion mecanica

ESTUDIO DE MECANISMOS DE AMORTIGUACIN DEVIBRACIONES MECNICAS MEDIANTE EL USO DE

PARTCULAS DISIPATIVAS

TESIS PRESENTADA A LAUNIVERSIDAD TECNOLGICA NACIONAL

PARA OBTENER EL GRADO DE DOCTOR EN INGENIERA

CON LA MENCIN ENSAYOS ESTRUCTURALESEN LA FACULTAD REGIONAL DELTA

Tesista: MARTN SNCHEZDirector: LUIS A. PUGNALONI

SEPTIEMBRE 2012

Este trabajo de tesis es presentado para obtener el grado de Doctor en

Ingeniera con la Mencin Ensayos Estructurales de la Universidad

Tecnolgica Nacional Facultad Regional Delta. El trabajo de

investigacin fue realizado en el Departamento de Ingeniera Mecnica

de la Facultad Regional La Plata de la Universidad Tecnolgica Nacional

y el Instituto de Fsica de Lquidos y Sistemas Biolgicos dependiente

del Consejo Nacional de Investigaciones Cientficas y Tcnicas y de la

Universidad Nacional de La Plata.

3

A Cecilia e Isabella

5

TABLA DE CONTENIDOS

Dedicatoria 5

Resumen 11

Agradecimientos 13

Smbolos y notaciones 22

1. Introduccin 231.1. Antecedentes y fundamentacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.1.1. Amortiguacin de vibraciones mecnicas . . . . . . . . . . . . 23

1.1.2. Los amortiguadores de impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.1.3. Amortiguacin granular: El amortiguador de partculas . . . . . 30

1.2. Alcances y objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.3. Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2. Marco terico y de simulacin 392.1. Presentacin de los modelos estudiados . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.1. Sistema de referencia con un grado de libertad . . . . . . . . . 39

2.1.2. Amortiguador de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.3. Amortiguador de impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2. El mtodo de elementos discretos - DEM . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.1. Orgenes y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.2. Marco terico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.3. Interaccin macroscpica de partculas . . . . . . . . . . . . . 50

2.3. Deteccin de colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3.1. Algoritmo de cuadricula (Lattice) . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4. Implementacin de rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.1. Cuaterniones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.5. Resumen de la aplicacin del DEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7

TABLA DE CONTENIDOS

2.6. Anlisis de las energas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.7. Sumario y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3. Amortiguacin granular ptima 633.1. Comportamiento del amortiguador granular . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1.1. Parmetros de simulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1.2. Anlisis del amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2. Corrimiento de la frecuencia de resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.2.1. Anlisis de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73


4. Anlisis no lineal del amortiguador de partculas 814.1. Anlisis no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.1.1. Anlisis lineal de seales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.1.2. Reconstruccin del espacio de fases . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.1.3. Mapa de Poincar y exponentes de Lyapunov . . . . . . . . . . 86

4.2. Resultados numricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.2.1. Comportamiento peridico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2.2. Regin de transicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2.3. Comportamiento catico: Zona I . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2.4. Amortiguamiento ptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2.5. Comportamiento catico: Zona II . . . . . . . . . . . . . . . . 94


5. Respuesta universal del amortiguador de partculas 995.1. Modelo de simulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.2. Colapso inelstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.3.1. Efecto de la interaccin entre partculas . . . . . . . . . . . . . 102

5.3.2. Origen de la respuesta universal . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.3.3. Lmite de la respuesta universal . . . . . . . . . . . . . . . . . 106


6. Conclusiones y trabajos futuros 1116.1. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.1.1. Excitacin no armnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.1.2. Fragmentacin de partculas y granos de distintas formas . . . . 113

6.1.3. Amortiguadores con polvos finos . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.1.4. Control del caos - Ampliacin de la amortiguacin ptima . . . 114

8

TABLA DE CONTENIDOS

6.1.5. Amortiguadores de partculas activos . . . . . . . . . . . . . . 114

Bibliografa 115

Apndices 122

A. Software de simulacin basado en DEM: Amortiguador de partculas 123

B. Software de simulacin hbrido DEM - Dinmica de colisiones: Amortigua-dor de impacto 153

C. Implementacin de rotaciones 161

9

RESUMEN

La presente tesis estudia el comportamiento de los amortiguadores de vibracionesmecnicas formados por partculas disipativas. Se estudia, a travs de simulaciones me-diante el mtodo de elementos discretos, la eficiencia de un amortiguador compuestopor un receptculo prismtico que contiene partculas esfricas que interactan mediantefuerzas disipativas (colisiones inelsticas y friccin). El amortiguador est acoplado a unsistema primario sometido a vibraciones forzadas con excitacin armnica. Se estudiala respuesta del sistema en funcin del tamao del recinto de contencin y del nmeroy tipo de partculas. Se analizan varias configuraciones para determinar el efecto de lageometra del receptculo.

Los resultados obtenidos muestran que, contrariamente a lo que se ha discutido enestudios previos de otros autores, la inclusin de un amortiguador granular produce uncorrimiento no montono de la frecuencia de resonancia del sistema si se lo estudiacomo funcin de la altura del recinto. Este corrimiento es debido al efecto combinadodel tiempo de vuelo y la fase entre el momento de impacto de las partculas contra lacavidad y el movimiento de excitacin. Se muestra que la frecuencia de resonancia parael recinto prismtico ptimo (aquel que produce la mxima atenuacin de la vibracinen resonancia) no esta influenciada por las partculas y mantiene la frecuencia natural desistema masa-resorte-amortiguador viscoso original. Un anlisis de la dinmica no linealde la capa de granos muestra el paso de estados con movimientos regulares a caticos atravs de una transicin al caos por cuasi-periodicidad. En particular, en las cercanas dela frecuencia de resonancia, la cama granular encuentra una ventana de periodicidad queproduce la mejor eficiencia de amortiguamiento.

Finalmente, a travs del concepto de colapso inelstico de los materiales granularesdensos, se explica el comportamiento universal del amortiguador ptimo. Independien-temente de las caractersticas disipativas de los granos, el disipador produce la mismaatenuacin de la respuesta del sistema si se utilizan gran cantidad de partculas. Estosresultados brindan informacin crucial para el diseo de estos dispositivos, con el fin delograr el bajo mantenimiento que hace a los amortiguadores granulares particularmenteadecuados para ambientes hostiles.

11

AGRADECIMIENTOS

Han pasado ms de 5 aos desde que comenc con mi primer curso de postgrado, seest terminando este largo y sinuoso camino y es momento de agradecer a todas las per-sonas que de distintas maneras me apoyaron, muchos siguen hasta hoy dndome fuerzaspara continuar.

En primer lugar a Luis, mi director de tesis, por todo el tiempo dedicado en ayudarme,aconsejarme y guiarme. Gracias por haber estado ah siempre, por haber bancado muchasveces mi impaciencia y apuro y ensearme que a pesar de todo la ciencia nunca sedetiene. He aprendido y logrado mucho en estos aos de trabajo conjunto pero sobretodas las cosas he obtenido un amigo.

Quisiera agradecer tambin a Manuel Carlevaro, por ayudarme cuando lo necesite,darme fuerza para seguir adelante y por las lindas figuras programadas en Python.Adems a Diego Maza por su ayuda en el mbito no lineal, muchas gracias por lascharlas durante tu estada en La Plata y los chats y emails que mantuvimos.

A Gustavo Rosenthal por las largas y tendidas discusiones sobre vibraciones mec-nicas entre otros muchos temas, algunos bien mecnicos y otros no tanto, gracias porhacerme ver siempre la parte prctica de la teora.

Agradezco al IFLy y al departamento de Ingeniera Mecnica de la UTN por dar-me lugar donde poder realizar las investigaciones que estn plasmadas en esta tesis. Porsupuesto a Vctor Sacchetto, muchas gracias por su apoyo continuo dentro del departa-mento y por su entusiasmo e incentivo para que termine este trabajo.

A mis viejos, por ensearme e incentivarme siempre a estudiar y progresar en la vida,gracias por todo lo que me dieron y me dan diariamente. Por ltimo, aunque no por esomenos importante, quisiera agradecer a mis amores, Isabella y Cecilia, sin ustedes nopodra haber llegado nunca hasta ac. Gracias por ensearme da a da que la ingenierano es lo nico ni mucho menos lo mas importante.

Muchas gracias a todos por todo.

13

LISTA DE FIGURAS

1.1. Modelo esquemtico de un amortiguador de impacto. . . . . . . . . . . 28

1.2. Modelo esquemtico de un amortiguador de partculas. . . . . . . . . . 31

2.1. Sistema de un grado de libertad sin amortiguacin granular. . . . . . . . 40

2.2. Sistema de un grado de libertad con amortiguamiento granular. . . . . . 44

2.3. Instantneas de una simulacin del amortiguador de partculas. . . . . . 44

2.4. Sistema de un grado de libertad con amortiguamiento granular simplifi-cado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.5. Modelo de contacto de dos partculas esfricas. . . . . . . . . . . . . . 50

2.6. Esquema bidimensional del algoritmo de cuadrcula para detectar con-tactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1. Respuesta en frecuencia del sistema con amortiguacin granular paradiferentes tamaos de recinto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2. Amplitud y energa disipada en resonancia del sistema en funcin deltamao del recinto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3. Variacin en frecuencia de las energas de disipacin para Lz = 0.11 my N = 500. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.4. Movimiento del sistema con N = 500 y Lz = 0.11 m para distintasfrecuencias de excitacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.5. Ajuste de la Ec. (2.1.21) por el mtodo de mnimos cuadrados para elsistema con N = 250 y Lz = 0.042 m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.6. Respuesta en frecuencia del sistema con amortiguacin granular paradiferentes alturas Lz del recinto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.7. Amortiguamiento efectivo Cef en relacin al amortiguamiento estructu-ral viscoso C como funcin de Lz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.8. Masa efectiva como funcin de Lz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.9. Desplazamiento y fuerza de las partculas contra el recinto para diferen-tes valores de Lz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

15

LISTA DE FIGURAS

4.1. Respuesta en frecuencia del sistema con detalles de la dinmica no linealde la cama granular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2. Respuesta de la cama granular a las frecuencias de excitacin f = 5.5Hz y f = 7.5 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.3. Respuesta de la cama granular a las frecuencias de excitacin f = 8.0Hz y f = 10.0 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.4. Respuesta de la cama granular a las frecuencias de excitacin f = 10.5Hz, f = 11.0 Hz y f = 13.0 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.5. Respuesta de la cama granular a la frecuencia de excitacin f = 14.5 Hz. 944.6. Respuesta de la cama granular a la frecuencia de excitacin f = 21.0 Hz. 954.7. Reconstruccin del espacio de fases para distintas frecuencias de excita-

cin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.1. Ejemplo de colapso inelstico. Distancia a una pared de dos partculasinelsticas que se mueven sobre una lnea recta. . . . . . . . . . . . . . 101

5.2. Respuesta en frecuencia de un amortiguador de partculas ptimo y N =250 partculas con diferentes parmetros de la interaccin. . . . . . . . 103

5.3. Respuesta en frecuencia para un sistema con N = 250 partculas y dis-tintos materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.4. Amplitud Zres en resonancia como funcin de la disipacin normal ytangencial para diferente nmero N de granos. . . . . . . . . . . . . . . 107

5.5. Energa disipada por ciclo a la frecuencia de resonancia como una fun-cin de la disipacin normal y tangencial. . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.1. Respuesta en frecuencia para N = 1 y 250 con Lz = 0.11 m. . . . . . . 112

C.1. Rotaciones que definen a los ngulos de Euler. . . . . . . . . . . . . . . 163

16

LISTA DE TABLAS

3.1. Caractersticas materiales y parmetros de la simulacin usados en laSeccin 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2. Distintas configuraciones usadas en la Seccin 3.1 variando el numeroN de partculas y su tamao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3. Caractersticas materiales y parmetros de la simulacin usados en laSeccin 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.1. Caractersticas materiales y parmetros de la simulacin usados en elCaptulo 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

17

SMBOLOS Y NOTACIONES

Producto escalar entre vectores

Producto vectorial entre vectores

DEM Mtodo de Elementos Discretos

FRF Funcin de Respuesta en Frecuencia

MEL Mximo Exponente de Lyapunov

~ri Vector posicin de la partcula i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ m ]

~ri Vector velocidad de la partcula i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ ms1 ]

~ri Vector aceleracin de la partcula i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ ms2 ]

~i Vector posicin angular de la partcula i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ rad ]

~i Vector velocidad angular de la partcula i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ rads1 ]

~i Vector aceleracin angular de la partcula i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ rads2 ]

; ; Angulo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ rad ]

~qi Vector orientacin a travs de cuaterniones i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ - ]

z(t) Respuesta temporal del sistema primario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ m ]

Z Amplitud mxima en estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ m ]

Zres Amplitud del sistema primario a la frecuencia de resonancia . . . . . . . . . . . . . . [ m ]

Etcol Energa disipada total por colisiones inelsticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ J ]

Etfric Energa disipada total por friccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ J ]

Etct Energa cintica total de traslacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ J ]

19


Etcr Energa cintica total de rotacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ J ]

Etp Energa potencial total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ J ]

Ete Energa elstica total en el contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ J ]

d Dimensin del atractor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ - ]

m Dimensin de inmersin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ - ]

M Masa del sistema primario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ kg ]

Mef Masa efectiva del sistema primario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ kg ]

K Constante de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ Nm1 ]

C Coeficiente de amortiguamiento viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ Nsm1 ]

Cc Amortiguamiento critico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ Nsm1 ]

Relacin de amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ - ]

Lx;Ly;Lz Dimensiones del recinto de contencin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ m ]

Densidad del material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ Kgm3 ]

u(t) Excitacin de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ m ]

U Amplitud del movimiento de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ m ]

Frecuencia de excitacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ rads1 ]

0 Frecuencia natural del sistema no amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ rads1 ]

N Nmero de partculas en el sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ - ]

Ri Radio de la partcula i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ m ]

Rmin Radio de las partcula ms pequea en la simulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ m ]

Rmax Radio de las partcula ms grande en la simulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ m ]

R Radio efectivo de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ m ]

mp Masa total de partculas en el amortiguador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ kg ]

mi Masa de la partcula i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ kg ]

I Tensor de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ kgm2 ]

20


Ii Momento de inercia de partcula i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ kgm2 ]

~L Momento cintico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ Kgm2s1 ]

i Coeficiente de Poisson de la partcula i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ - ]

Coeficiente de friccin de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ - ]

e Coeficiente de restitucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ - ]

n Amortiguamiento normal visco-elstico de contacto . . . . . . . . . . . . [ kgm1/2s1 ]

s Amortiguamiento tangencial de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ kgm1/2s1 ]

d Coeficiente de friccin dinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ - ]

E Modulo de elasticidad efectivo de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ Nm2 ]

Ei Modulo de elasticidad de la partcula i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ Nm2 ]

kn Rigidez normal de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ Nm3/2 ]

ij Penetracin entre las partculas i y j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ m ]

~nij Vector unitario normal. Colisin entre partcula i y j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ - ]

nxij;nyij;n

zij Componentes del vector normal unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ - ]

~sij Vector unitario tangencial. Colisin entre partcula i y j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ - ]

sxij; syij; s

zij Componentes del vector tangencial unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ - ]

~n Velocidad relativa normal de impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ ms1 ]

~t Velocidad relativa tangencial de impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ ms1 ]

~s Velocidad de corte en el contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ ms1 ]

~relij Velocidad relativa de impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ ms1 ]

t Paso de tiempo de integracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ s ]

gn Nmero de celdas para buscar vecinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ - ]

gk Constante de red. Celdas para deteccin de colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ m ]

Kx;Ky;Kz Nmero de celdas en las distintas direcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ - ]

F zgranular Fuerza granular generada sobre el sistema primario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ N ]

21


Fi Fuerza aplicada sobre la partcula i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ N ]

~Fn Fuerza normal de impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ N ]

~Fs Fuerza tangencial de impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ N ]

Mi Torque aplicado sobre la partcula i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ Nm ]

Ss Sistema de referencia espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ - ]

Sb Sistema de referencia fijo a la partcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ - ]

Sf Sistema de referencia inercial fijo a la partcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ - ]

[A] Matriz de transformacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ - ]

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CAPTULO

UNO

INTRODUCCIN

Esta seccin pretende dar una breve descripcin de los mtodos tradicionales deamortiguacin y control de vibraciones mecnicas. Informacin ms detallada se pue-de encontrar en los libros de Harris [1], De Silva [2], Inman [3] y Braun [4].

Por otro lado, se presenta un resumen del estado del arte de los amortiguadores deimpacto y de partculas disipativas. Finalmente, se exponen los objetivos principales deltrabajo de tesis y la estructura de la misma en las dos ltimas secciones del captulo.

1.1. Antecedentes y fundamentacin

1.1.1. Amortiguacin de vibraciones mecnicas

La amortiguacin es el fenmeno por el cual la energa mecnica se disipa en lossistemas dinmicos. Esta disipacin es generalmente por conversin a energa trmica.El amortiguamiento de un elemento estructural en un sistema mecnico es una medidade la tasa de energa disipada por ciclo de deformacin. En igualdad de condiciones tc-nicas, cuanto mayor es la disipacin de energa menor ser la probabilidad de grandesamplitudes de vibracin o altas radiaciones de ruido. Esta reduccin logra disminuir lasfallas de los elementos sometidos a vibraciones por causa de tensiones elevadas debidasa las deformaciones cclicas (fatiga de materiales). Al estudiar el amortiguamiento, esnecesario considerar las distintas configuraciones de los elementos mecnicos o de ma-teriales con el fin de lograr disipar una cantidad de energa suficiente para reducir lasvibraciones o el ruido no deseado.

Existen varios tipos de amortiguamiento intrnsecamente presentes en los sistemasmecnicos. Si el nivel de amortiguacin disponible en estos mecanismos no es adecuadopara el buen funcionamiento del sistema, entonces se pueden agregar dispositivos ex-ternos de amortiguacin durante el diseo original o en modificaciones posteriores aldiseo. Tres mecanismos principales de amortiguamiento son importantes en el estudio

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CAPTULO 1. INTRODUCCIN

de los sistemas mecnicos [2]. Ellos son:

Amortiguamiento interno.

Amortiguamiento estructural (En juntas e interfaces).

Amortiguamiento por fluidos (Interaccin fluido - estructura).

El amortiguamiento interno (amortiguamiento material) es el resultado de la disi-pacin de energa en el material del sistema debido a varios procesos microscpicos ymacroscpicos. Estos mecanismos disipan la energa vibracional en forma de calor. Cadauno se asocia con la reconstruccin interna atmica o molecular de la microestructura.Slo uno o dos mecanismos pueden ser dominantes para un material especfico (metales,aleaciones, compuestos intermetlicos, etc.) bajo condiciones especficas, es decir, paradeterminados rangos de frecuencia y temperatura. La mayora de los metales y aleacionesestructurales tienen pequea amortiguacin interna bajo la mayora de las condicionesoperativas.

Un mecanismo comnmente conocido como amortiguacin visco-elstica est pre-sente en muchos elastmeros y materiales vtreos amorfos [1]. La amortiguacin se debea la relajacin y la recuperacin de las cadenas moleculares despus de la deformacin.Una de las caractersticas nicas de los materiales visco-elsticos, es que sus propieda-des se ven influidas por muchos parmetros tales como frecuencia, temperatura, velo-cidad de deformacin, pre-carga esttica, fluencia y relajacin, envejecimiento y otrosefectos irreversibles. Los efectos ms importantes, al considerar estos materiales para laamortiguacin de vibraciones mecnicas, son las variaciones de las propiedades con lafrecuencia y la temperatura [4]. En la prctica, un material visco-elstico tpico es selec-cionado en el diseo basndose en grficos de temperatura vs factor de amortiguacin yfrecuencia vs factor de amortiguacin. Bsicamente, el factor de amortiguacin es con-siderado como una funcin de la frecuencia de excitacin y de la temperatura. Debido ala fuerte dependencia de las propiedades con la temperatura, estos tipos de materiales nopueden ser utilizados generalmente en aplicaciones en ambientes hostiles (altas y bajastemperaturas). Los materiales visco-elsticos con frecuencia se aaden a las estructurasmetlicas (que normalmente tienen muy baja amortiguacin) y dispositivos para aumen-tar la cantidad de amortiguamiento del sistema.

La amortiguacin estructural es debida a la disipacin de energa mecnica resultantede los movimientos relativos entre los componentes de una estructura que tiene puntos decontacto comn, a travs de la friccin o de los impactos en las juntas. Es decir, debidoa la disipacin en componentes tales como articulaciones o soportes. La disipacin deenerga depende de las caractersticas particulares del sistema mecnico, por lo tanto,es muy difcil establecer un modelo que represente perfectamente el amortiguamientoestructural. As, como regla general, el modelo de friccin de Coulomb y el coeficiente

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1.1. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIN

de restitucin de dos componentes en contacto, son normalmente usados para describirla energa disipada en este tipo de amortiguamiento.

Finalmente, el amortiguamiento por fluidos se debe a la disipacin de energa me-cnica resultante de las fuerzas de arrastre y de las interacciones dinmicas asociadascuando un sistema mecnico o algn componente del mismo se mueven dentro de unfluido.

Cuando el amortiguamiento intrnseco del sistema vibrante es inadecuado para lafuncin deseada, entonces es necesaria la aplicacin de un tratamiento especfico decontrol de vibraciones que puede proveer los siguientes beneficios [1]:

Control de la amplitud de la vibracin en resonancia. La amortiguacin se puedeutilizar para el control de vibraciones excesivas de resonancia que pueden causaraltas tensiones, dando lugar a fallas prematuras. Se debe utilizar en conjuncin conotras medidas de control adecuadas para lograr una solucin satisfactoria. Para vi-braciones aleatorias, no es posible modificar el sistema y disear para mantenerlos esfuerzos aleatorios dentro de lmites aceptables sin asegurarse de que la amor-tiguacin en cada modo sea por lo menos superior a un mnimo valor especificado.En estos casos, los diseos estructurales han evolucionado hacia procedimientossemi-empricos, pero los niveles de amortiguacin son factores de control y debenser aumentados en caso de encontrarlos demasiado bajos.

Control de ruido. La amortiguacin es muy til para el control de las emisiones deruido de las superficies vibrantes, o el control de la transmisin de ruido a travs deuna superficie vibrante. El ruido debido a estructuras vibrantes (baja frecuencia)no se reduce por absorcin, sino por la disminucin de la amplitud de la vibracin.

Aceptacin de producto. La amortiguacin puede, frecuentemente, contribuir a laaceptacin del producto, no slo por la reduccin del exceso de ruido o vibraciny la ausencia de una resonancia en el rango de frecuencias de operacin, sinotambin por la sensacin subjetiva de los clientes en base a la confortabilidad deutilizacin de un producto determinado.

Mantenimiento simplificado. Una consecuencia til de la reduccin de la fatiga delos materiales inducida por resonancia con mayor amortiguacin, o por otros me-dios, puede ser la reduccin de los costos totales de mantenimiento. La reduccindel tiempo y costo de mantenimiento es fundamental en equipos funcionado encondiciones operativas difciles o donde los tiempos de parada deben ser reduci-dos al mnimo (por ejemplo, plantas nucleares y aplicaciones aeroespaciales).

En el aislamiento de vibraciones, la fuente de la vibracin es aislada del sistema deinters, o el dispositivo est protegido de las vibraciones en su soporte de unin. A dife-rencia del aislador de vibraciones, un absorbedor de vibraciones consiste en un sistema

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secundario (normalmente masa-resorte-amortiguador) que se aade al dispositivo pri-mario para protegerlo de las vibraciones. As, seleccionando adecuadamente la masa, larigidez y/o la amortiguacin, la vibracin del sistema primario se puede minimizar [3].

Tres tipos generales de sistemas de control de vibraciones pueden ser agregados alos sistemas mecnicos, ya sea como aisladores o absorbedores, con el fin de lograrla energa de disipacin necesaria [5]. Dependiendo de la cantidad de energa externarequerida para realizar su funcin, se pueden clasificar en [6]:

Control pasivo.

Control semi-activo.

Control activo.

Un control pasivo est formado de un elemento elstico (rigidez) y un disipador deenerga (amortiguador) ya sea para absorber la energa vibratoria o para aislar la ruta detransmisin de la vibracin. En general, estos tipos de sistema de control constan de unaregin de frecuencias de trabajo de mayor sensibilidad. El control pasivo de vibracionestiene limitaciones significativas en aplicaciones donde existen perturbaciones de bandaancha de naturaleza altamente aleatorias. Con el fin de compensar estas limitaciones, lossistemas activos de control de las vibraciones son de gran utilidad. Con una fuerza activaadicional como parte del absorbedor, los sistemas activos son controlados con diferentesalgoritmos para lograr una mejor respuesta a las perturbaciones del sistema primario [7].

Finalmente, los sistemas semi-activos (o adaptativos) son una combinacin entre eltratamiento activo y pasivo de vibraciones, los cuales intentan reducir la cantidad deenerga externa necesaria en el absorbedor para alcanzar las caractersticas de funciona-miento deseadas del sistema primario. Un ejemplo de estos sistemas es la utilizacin defluidos magneto-reolgicos en amortiguadores de vibraciones mecnicas. La variacinde las caractersticas del fluido a travs de flujos magnticos permite lograr variacionesen la respuesta del sistema primario.

En conclusin, en el diseo de un sistema de control de vibraciones a menudo ocu-rre que el mismo deba operar sobre un rango de carga y de frecuencia de banda ancha.Una nica solucin de rigidez y/o amortiguacin es casi imposible de obtener para lo-grar la respuesta deseada. Si las caractersticas de la respuesta no se pueden obtener, unsistema de control de vibraciones activo puede proporcionar una alternativa atractiva pa-ra determinados problemas. Sin embargo, los sistemas activos requieren de algoritmoscomplejos de control, adems de introducir inestabilidad inducida por el mismo, lo quelos limita en muchas aplicaciones industriales. Adems, el mantenimiento del mismorequiere de mayor esfuerzo.

La inclusin de cualquier dispositivo amortiguador genera un corrimiento en la fre-cuencia natural del sistema primario vibrante, debido al aumento de la cantidad de amor-

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tiguamiento. Por otro lado, los sistemas pasivos son a menudo influenciados por un fen-meno conocido como desafinacin (detuning). Cuando el sistema pasivo se deteriora,sus parmetros estructurales pueden desfasarse de los nominales de diseo, produciendoque la amortiguacin de las vibraciones se convierta en ineficaz para la frecuencia quefue diseada. Este fenmeno puede ser debido tambin a un cambio en la frecuencia deexcitacin o en la naturaleza de la perturbacin con el tiempo.

Para solventar estos problemas de diseo u operacin, los sistemas adaptativos lo-gran una integracin efectiva entre los sistemas de control activos con dispositivos pasi-vos ajustables. Para ello, los generadores de la fuerza activa se sustituyen por sistemasvariables modulados tales como amortiguacin o rigidez variables [8]. Estos componen-tes variables se denominan parmetros ajustables del sistema, que se retroalimentana travs de un control de ajuste. Estos sistemas son de mucho inters debido a su bajorequerimiento de energa y costo.

1.1.2. Los amortiguadores de impacto

Un amortiguador de impacto es un dispositivo de absorcin de vibraciones (con-trol pasivo) que consta de una masa auxiliar encerrada en un recinto de contencin (verFig. 1.1). El contenedor se puede montar directamente a la estructura del sistema prima-rio o puede ser diseado como parte integral del mismo. La amortiguacin se consigue atravs de las colisiones inelsticas entre la masa auxiliar y las paredes del recipiente.

Principalmente, debido a su bajo costo, diseo sencillo y prestaciones de amortigua-cin eficiente en una amplia gama de frecuencia y aceleracin [9, 10], los amortiguadoresde impacto son preferidos, en muchas aplicaciones, sobre los tradicionales dispositivosde control pasivo. Adems, los amortiguadores de impacto son robustos (mantenimientosimplificado) y pueden funcionar en entornos hostiles, dnde los mtodos tradicionalesde amortiguacin fallan.

Una de las primeras aplicaciones de estos amortiguadores fue el control de la fatigay las vibraciones de estructuras aeronuticas [11]. En este modelo se asume que tienenlugar dos impactos por ciclo de excitacin, y el mximo amortiguamiento se producecuando estos impactos ocurren en contrafase con el movimiento del sistema primario.

Muchas investigaciones se han llevado a cabo desde la primera aplicacin. En 1956Grubin [12] encuentra que la mejor eficiencia de amortiguacin se produce en resonan-cia. A su vez, Sadek et al. [13, 14] examinaron los efectos de la gravedad sobre amorti-guadores de impacto y encontraron que el mejor desempeo se logra en condiciones degravedad cero, es decir, cuando el sistema se excita en una direccin perpendicular a lagravedad. Los amortiguadores son ms eficientes cuando dos impactos simtricos e igua-les ocurren en cada ciclo de excitacin. La gravedad causa desigualdad en la magnitudde los impactos, degradando la eficiencia del sistema.

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Figura 1.1: Modelo esquemtico de un amortiguador de impacto.

Bapat y Sankar [10] utilizaron un amortiguador de impacto montado sobre una vigay estudiaron la respuesta libre del sistema. Los experimentos mostraron un decaimientolineal de la amplitud de la vibracin seguido por un decaimiento exponencial despusde una disminucin considerable de la amplitud de las vibraciones. El decaimiento li-neal corresponde a la amortiguacin debida al amortiguador de impacto, mientras que lacada exponencial corresponde a la amortiguacin inherente de la viga. Estos resultadosmuestran tambin que el amortiguador de impacto deja de funcionar cuando las ampli-tudes de la vibracin caen bajo cierto nivel. A su vez, ensayos con excitacin armnicaexterna revelaron la existencia de un tamao ptimo del espacio libre o gap (espaciodejado entre el techo del recinto y la masa auxiliar), como funcin de la amplitud y lafrecuencia de excitacin.

Recientemente, Duncan et al. [15] presentan resultados de simulaciones numricassobre el desempeo de la amortiguacin de los amortiguadores de impacto sometidos avibracin vertical sobre una amplia gama de frecuencias y amplitudes de excitacin. Asu vez, ellos varan la relacin de masa entre el recinto y la masa auxiliar, el gap, el coe-ficiente de restitucin y el amortiguamiento intrnseco estructural del sistema primario.En sus investigaciones encuentran que para muy baja y muy alta amplitud de excitacin,el efecto obtenido es similar al que se obtiene si la masa auxiliar se une solidariamente alrecinto de contencin (solo el amortiguamiento intrnseco del sistema primario es eficazen este caso). Por otro lado, el mximo amortiguamiento de impacto se obtiene cuando,en resonancia del sistema primario, la masa auxiliar llega a golpear el techo del recinto.En este trabajo se demostr que, a frecuencias cercanas a la resonancia, la gravedad dejade tener un papel importante en la amortiguacin de impacto.

A pesar de su sencillo diseo, la dinmica de los amortiguadores de impacto pue-

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de ser muy compleja. Las trayectorias de la masa auxiliar y del recinto de contencinson continuas, pero no suaves debido a los impactos. Las trayectorias tambin puedenpresentar mltiples soluciones estables y de punto fijo, orbitas peridicas y bifurcacioneslocales para determinadas combinaciones de los parmetros del sistema [16]. Dependien-do de las propiedades materiales y geomtricas de la masa auxiliar, de los parmetros deexcitacin (tipo de excitacin, frecuencia, amplitud, etc.) y de la forma y dimensionesdel recinto de contencin, el sistema puede tener un comportamiento regular o catico.Numerosas investigaciones se ha realizado en este aspecto, en osciladores de impacto,teniendo en cuenta el coeficiente de restitucin para modelar las colisiones entre la masaauxiliar y la estructura vibrante.

Shaw y Holmes [17] realizaron un anlisis terico de la dinmica interna de estos sis-temas y mostraron la gran complejidad de la misma. Su modelo considera un osciladorno lineal excitado por una fuerza armnica en vibracin horizontal, suponiendo impac-tos simtricos, dos por periodos de excitacin. En particular, el anlisis permiti mostrarla existencia de soluciones caticas (soluciones con dependencia sensible a condicionesiniciales). Si bien los estudios son vlidos para vibraciones horizontales, y muchos re-sultados fueron validados cualitativamente en otros trabajos, la suposicin de tiemposiguales entre impactos (impactos simtricos) no es del todo vlida cuando la fuerza degravedad tiene influencia sobre el sistema (vibracin vertical).

Tufillaro et al. [18] han hecho uso del modelo de la bola que rebota (bouncing ballmodel), que comprende a una pelota que rebota verticalmente sobre una mesa de masainfinita, la cual esta excitada por un desplazamiento armnico en la direccin vertical.El anlisis mostr que la pelota presenta una ruta al caos por duplicacin del periodocuando la amplitud de la vibracin se incrementa gradualmente. Experimentalmente seconfirmaron las bifurcaciones predichas en el modelo terico. Si bien el modelo no tieneen cuenta el techo de un recinto, como en el caso de los amortiguadores de impacto, estees un punto inicial para estudiar la dinmica compleja del amortiguador.

Despus de la aparicin de los primeros usos de los amortiguadores de impacto, estosdispositivos de control pasivo de vibraciones han sido ampliamente utilizados para mu-chas aplicaciones tecnolgicas. Algunas de estas incluyen alas delta [19] y herramientasde perforacin [20]. Duffy et al. [21] utilizaron un amortiguador de impacto para reducirlas vibraciones y los problemas causados por la fatiga, tales como grietas o incluso fallascatastrficas, en alabes de rotor de turbomaquinas. A su vez, Skipor y Bain [22] usaronun amortiguador de impacto en una prensa de impresin para reducir las rayas queson causadas por la vibracin flexional de la imagen que es trasladada por los cilindrosde impresin. En general, todas las aplicaciones muestran una muy buena eficiencia deamortiguacin con mnimo incremento de la masa del sistema, adems de la mantencinde la rigidez estructural y el mnimo tiempo de mantenimiento.

En conclusin, los amortiguadores de impacto son eficientes para la amortiguacin

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de vibraciones mecnicas, pero deben ser ajustados para lograr la mejor eficiencia auna frecuencia y amplitud especfica de excitacin. Se ha demostrado [11] la extremasensibilidad de los mismos a cambios en las condiciones de funcionamiento o de losparmetros de diseo y por lo tanto es difcil utilizar este tipo de control pasivo paraaplicaciones donde la excitacin tenga un gran ancho de banda o donde las condicionesoperativas varen con el tiempo.

Otros problemas reportados [23, 24] incluyen altos niveles de ruido y desgaste delas superficies de contacto debido, principalmente, a las grandes fuerzas de colisin. Eldesgaste de las superficies de contacto puede causar cambios en los parmetros de fun-cionamiento que pueden reducir drsticamente la eficiencia del amortiguador de impacto.

1.1.3. Amortiguacin granular: El amortiguador de partculas

Una partcula slida se ha utilizado normalmente como elemento de impacto. Sinembargo, como se explica en la seccin precedente, la gran fuerza de choque puedeproducir elevados niveles de ruido y degradacin de las superficies en contacto. Sato et al.[25] han mostrado que estos problemas pueden ser reducidos por medio de la utilizacinde materia granular en lugar de una nica partcula solida dentro de la cavidad. Estossistemas se denominan amortiguadores de partculas o amortiguadores granulares.

Los amortiguadores de partculas (ver Fig. 1.2) han sido objeto de varios estudiosanalticos y experimentales. Araki et al. [26] investigaron las caractersticas de los amor-tiguadores de impacto con materiales granulares con un solo grado de libertad. El sistemaestudiado fue sometido a una fuerza sinusoidal externa.

Papalou y Masri [27] han estudiado la amortiguacin granular en un sistema hori-zontal vibrante bajo excitacin aleatoria. Ellos investigaron la relacin de masa (masade los granos dividida por la masa del sistema primario) y tamao de las partculas, lasdimensiones de la cavidad y el rendimiento de la amortiguacin del sistema. En los expe-rimentos montaron un amortiguador de partculas en un sistema de un grado de libertadequivalente, en donde las dimensiones del amortiguador se podan variar por soportesajustables. Los autores sealan que el efecto de las dimensiones del recinto parece serimportante cuando la relacin de masas entre las partculas y el sistema primario es alta.Tambin informan que, si la amplitud de oscilacin es pequea, una relacin de masasbaja puede ser beneficiosa. Los mismos autores [28] tambin han estudiado el com-portamiento del amortiguador de partculas bajo la accin de una excitacin sinusoidal.Han demostrado que los amortiguadores de partculas, incluso con una relacin de masapequea, pueden ser muy eficaces en la atenuacin de vibraciones en sistemas con pe-queos amortiguamientos estructurales. En el trabajo se presenta un mtodo aproximadopara estimar la respuesta de una estructura excitada armnicamente con un amortiguadorde partculas. Adems, encuentran que la sensibilidad al gap es menor cuando se usan

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partculas ms pequeas. Desafortunadamente con partculas pequeas la eficiencia delamortiguador estudiado es menor.

Friend y Kinra [29] analizaron la vibracin libre de una viga con un desplazamientoinicial dado. Para esto utilizaron datos empricos para encontrar un coeficiente efectivode restitucin de la colisin del piso y techo del recinto con el conjunto de granos, conel fin de predecir el comportamiento de la viga con diferentes condiciones iniciales. Estees un buen ejemplo del modelado de la cama granular a travs de un sistema de unanica partcula con propiedades de impacto efectivas. El coeficiente de amortiguamientoequivalente fue calculado sumando la energa total disipada en los impactos y dividiendopor la mxima energa cintica en el sistema.

Figura 1.2: Modelo esquemtico de un amortiguador de partculas.

Si bien desde mediados de la dcada del 80 los amortiguadores de partculas han sidopropuestos y estudiados como alternativas a los tradicionales dispositivos de amortigua-cin en ambientes hostiles, las investigaciones necesarias no han sido suficientes, dadoque la mayora de los trabajos se han basado en el anlisis de sistemas equivalentes deuna sola partcula.

Cempel y Lotz [30] experimentaron con ocho tipos diferentes de amortiguadores departculas. En sus investigaciones no slo incluyeron partculas libres en el recinto delamortiguador, sino tambin partculas contenidas dentro de bolsas de plstico, cajas demetal y cajas de plstico que eran incorporadas en el interior de la cavidad del amor-tiguador. Ellos encontraron que el amortiguamiento es eficaz cuando las partculas secolocan en una bolsa de plstico duro que es luego insertada dentro del recinto, la cualproporciona un coeficiente de restitucin efectivo cercano a cero. A su vez, este dispo-sitivo genera poco ruido en su funcionamiento. El mayor factor de amortiguamiento fueencontrado con el uso de partculas dentro de una caja de metal insertada en el recinto

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del amortiguador. Sin embargo, la alta eficiencia fue acompaada por un alto nivel deruido y una gran sensibilidad al tamao del gap. La respuesta de la bolsa de plstico durofue en gran medida insensible al tamao del gap. En este trabajo se mostr que existeuna zona muerta, dependiente de la aceleracin del movimiento del sistema primario,donde el amortiguamiento granular deja de existir.

Saluea et al. [31] utilizaron simulaciones numricas para investigar las propiedadesdisipativas de los materiales granulares sometidos a vibraciones verticales. Ellos modela-ron las tres fases o regmenes de amortiguamiento que aparecen cuando un gran nmerode pequeas partculas son excitadas en un recipiente. Estos autores identifican tres esta-dos de la cama granular. El estado solido se produce cuando las partculas se muevenjuntas; el movimiento relativo entre las misma es bajo. En este estado, el amortigua-miento granular llega a su mximo. El estado fluido se caracteriza por la formacin depatrones de conveccin granular. Finalmente, el estado gaseoso se corresponde con elmovimiento catico y descorrelacionado de las partculas individualmente.

Chen et al. [32] usaron simulaciones a travs del mtodo de elementos discretos(DEM - por sus siglas en ingls) para encontrar la importancia relativa de la friccin.Los autores muestran que con partculas muy pequeas la mayor energa es disipada atravs de la friccin, pero a medida que aumenta el tamao de las partculas la disipacinde energa a travs de impactos se hace ms importante.

Saeki [33] utiliz la misma tcnica de simulacin para estudiar el comportamientode un sistema de un grado de libertad sometido a vibraciones armnicas horizontalesprovisto de un amortiguador de partculas. A travs de un sistema experimental realizla validacin de los resultados de simulacin. El autor muestra que la relacin de masa,el tamao de las partculas y las dimensiones del recipiente tienen gran influencia enla eficacia de la amortiguacin granular. Posteriormente [34] extendi estos estudios asistemas con varios amortiguadores de partculas similares acoplados en paralelo sobrela estructura vibrante.

Por otro lado, resultados en sistemas de mltiples grados de libertad demuestran queel primer modo de vibracin puede ser efectivamente controlado por un amortiguadorde partculas bien diseado. Sin embargo, los modos ms altos son afectados por otrosparmetros (por ejemplo, el lugar de excitacin primaria) [35]. Los autores de este tra-bajo concluyen que debido al cambio en la respuesta modal de la estructura, es decir, alcambio en el movimiento en la zona donde se encuentra el amortiguador de partculas,la eficiencia de amortiguacin en los distintos modos puede variar.

Inspirados en simulaciones numricas y resultados experimentales, Fang y Tang [36]desarrollaron un modelo analtico, basado en la teora de flujos muti-fsicos, que puedepredecir la eficiencia de un amortiguador de partculas. El modelo puede evaluar cuanti-tativamente la disipacin de energa del amortiguamiento granular.

El comportamiento de amortiguadores de partculas formados por un recinto con

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geometra cilndrica ha sido estudiado por Liu et al. [37]. En este trabajo se ha demostra-do que la amortiguacin depende en gran medida del nivel de respuesta. Un proceso deatascamiento-deslizamiento (stick-slip) se observ a partir de las funciones de respuestaen frecuencias (FRF) medidas en los experimentos a diferentes niveles de respuesta. Esteproceso revela que la energa es disipada principalmente por la friccin entre las partcu-las y entre las partculas y las paredes del recinto. Los investigadores tambin presentanun modelo de amortiguamiento viscoso equivalente para caracterizar el comportamientono lineal de los amortiguadores granulares.

Por otro lado, Wong y Rongong [38] intentaron controlar el comportamiento no li-neal, con el fin de asegurar que el amortiguador opere en una zona de alta amortiguacin.Los autores muestran que esto puede lograrse mediante la modificacin del estado gra-nular dentro del recinto. Una gran variedad de formas para lograr este objetivo fueronconsideradas, las cuales incluyeron la aplicacin de campos magnticos, el aumento dela presin del aire contenido (bolsas de aire) o la insercin de gomas en el espacio libre.

Bai et al. [39] han estudiado, a travs de simulaciones numricas por el DEM, dostipos distintos de amortiguadores de partculas. Por un lado, partculas metlicas o cer-micas, en una cavidad sujeta al sistema vibrante primario y por otro lado un amortiguadorque consiste en un pistn de empuje que se mueve dentro de una cama de partculas co-nectado directamente a la estructura vibrante . Ellos han estudiado las distintas formasde disipacin de energa y han mostrado en qu momentos y bajo qu condiciones ladisipacin de energa encuentra el mximo en sus sistemas.

Para el amortiguador de tipo pistn, Bai et al. muestran que la energa se disipa prin-cipalmente cuando el pistn baja insertndose en la cama de granos (en medio ciclo delmovimiento). Adems encuentran que la transferencia de energa es localizada, es decir,slo las partculas que estn directamente en contacto con el pistn estn involucradasen la transferencia de energa. Por otro lado, para el tipo convencional de amortiguador(recinto con partculas granulares), la energa se transfiere cuando las partculas chocancontra el piso y/o contra el techo de la caja.

Continuando con las investigaciones sobre el nuevo diseo de pistn propuesto, losmismos autores [40] realizan un estudio experimental y de simulacin numrica paraanalizar el comportamiento del amortiguador cuando se varan las propiedades del mate-rial, el tamao de las partculas, la geometra del dispositivo, y el nivel de excitacin. Enel artculo se muestra que la eficiencia de amortiguacin es altamente dependiente delcoeficiente de friccin de los granos, mientras que el coeficiente de restitucin no tieneuna influencia importante en el comportamiento. Este es el primer trabajo publicado estu-diando un modelo alternativo de amortiguacin granular y las simulaciones presentadasfueron comparadas y validadas experimentalmente.

Yang [41, 42] realiz varios anlisis experimentales detallados de los amortiguadoresde partculas donde investig el efecto de la amplitud, la frecuencia de excitacin, el

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tamao del gap, el tamao de las partculas y la relacin de masas sobre la eficiencia dela amortiguacin granular. En este trabajo se obtuvieron curvas maestras para el diseode amortiguadores.

Marhadi y Kinra [43] demostraron experimentalmente que el amortiguamiento gra-nular es insensible al tipo de material cuando se utilizan granos y sensible cuando seutilizan polvos. Los resultados experimentales presentados indican que un modelo avan-zado de un amortiguador de partculas debe considerar el tamao y el nmero de granoscomo parmetros independientes y eliminar la restriccin de que todas las partculas semuevan como una sola masa densa de material.

Recientemente, Bannerman et al. [44] han estudiado experimentalmente el compor-tamiento de los amortiguadores de partculas en micro gravedad. Para esto, utilizaronun avin Airbus A300 modificado para llevar a cabo vuelos parablicos donde en cadadescenso se logra una condicin de gravedad cero (0.000.05 g). Sus resultados demues-tran, por comparacin con simulaciones numricas en donde el coeficiente de friccin esconsiderado nulo, que la disipacin por friccin en micro gravedad no es tan importantecomo en los sistemas influenciados por el campo gravitatorio. Los experimentos se ajus-tan perfectamente a los datos simulados y se presenta una ecuacin para optimizar el gapy lograr la mejor eficiencia de amortiguacin granular.

Por otro lado, Lu et al. [45] realizaron un estudio paramtrico por simulacin deamortiguadores de partculas con poca cantidad de granos (entre 1 y 128). Los resulta-dos obtenidos muestran distintas caractersticas de comportamiento ante la variacin deparmetros cuando el nmero de partculas en el recinto es bajo.

Teniendo en cuenta la gran cantidad de posibles aplicaciones en mquinas rotantes,resulta importante estudiar estos sistemas con la accin de altas cargas centrfugas. Eneste contexto, muy pocos trabajos fueron publicados. Por ejemplo Bhatti y Yanrong [46]presentaron un modelo simplificado y demostraron que si bien bajo cargas laterales ladependencia de la eficiencia del sistema es elevada en relacin al tipo y tamao del re-cinto, bajo la accin de cargas centrfugas esta dependencia es muy dbil. Por otro lado,Els [47] presenta un estudio detallado, basado en DEM y experimentacin, de una vigaen voladizo sometida a fuerzas centrfugas provista de un amortiguador de partculas ensu extremo libre. El autor concluye que existen dos zonas, una de mayor capacidad deamortiguacin y una de menor capacidad de amortiguacin. Estas zonas dependen dela relacin entre el pico de aceleracin de la vibracin y la carga centrfuga aplicada.Adems, el mecanismo de disipacin por friccin es predominante y la relacin longi-tud/dimetro del receptculo y el tamao de las partculas tienen gran influencia en elcomportamiento del sistema.

El rango de aplicacin de los amortiguadores de partculas es muy amplio. Panos-sian [48] ha realizado agujeros en la entrada de oxgeno lquido del motor principal deun transbordador espacial. En dicha zona, las altas amplitudes de vibracin producan

34


la formacin de grietas. Fueron perforados y llenados parcialmente con partculas me-tlicas de diferentes tamaos y materiales cuatro agujeros de 1 mm. Prcticamente nose modifica el diseo de la entrada de oxgeno y se logr un aumento del 25 % en laamortiguacin. Esta aplicacin demuestra la gran eficacia del amortiguador de partculasen condiciones hostiles de funcionamiento.

Li et al. [49] utilizan amortiguacin granular para reducir las vibraciones de unaturbobomba. El comportamiento de la amortiguacin es analizado a travs de un coefi-ciente de amortiguamiento estructural equivalente. Los resultados numricos muestranque el amortiguador puede reducir la vibracin de la turbobomba de manera significa-tiva, y tiene muy pocos efectos sobre las caractersticas dinmicas de la misma. Por suparte, Ehrgott et al. [50] aplican el mtodo de elementos finitos para cuantificar el amor-tiguamiento por partculas disipativas en turbobombas de alta potencia para suministrode combustible a los motores de cohetes. Fue utilizado un modelo armnico de simetraaxial para estimar el aumento de amortiguamiento modal que se produce mediante laadicin de partculas en la cavidad de un sello.

Una aplicacin particular de los amortiguadores de partculas se basa en su capaci-dad para reducir el ruido. Xu et al. [51] utilizaron esta tcnica para reducir el ruido deuna maquina contadora de billetes de escritorio. Con la amortiguacin granular lograronuna reduccin de 6 dBA y la aceptacin del producto para funcionar en un ambiente deoficina. Panossian [52] intercal partculas granulares entre dos lminas de cobre utili-zadas para atenuar el ruido e inform que la atenuacin acstica alcanz 5 dB en bajasfrecuencias y 27 dB en altas frecuencias.

En general, los amortiguadores de impacto y de partculas se han utilizado en unaamplia variedad de otras aplicaciones. Estas incluyen, antenas [53], sealizaciones [54],tecnologa de vehculos [55], dispositivos en la industria del petrleo [56] y medicina[57].

Muchos trabajos se han realizado sobre el comportamiento general de los amortigua-dores de partculas, un sumario de las principales conclusiones se detalla a continuacin:

Existe una aceleracin del sistema primario mnima, debajo de dicha aceleracinel amortiguador de partculas deja de ser eficaz.

Los amortiguadores de partculas sometidos a excitaciones armnicas cuentan conuna altura ptima del recinto para la cual se logra la mejor eficiencia de amorti-guacin.

El punto de mayor amortiguacin se logra cuando las partculas colisionan en con-trafase con el recinto de contencin y la velocidad relativa se maximiza. En estecaso, se dan dos impactos por periodo de excitacin.

35


El recinto de contencin ptimo depende del nmero de partculas y del tamaode las mismas.

El mecanismo de mayor disipacin (friccin o colisiones inelsticas), dependerdel tamao y nmero de partculas en el recinto de contencin.

Al insertar partculas en una estructura vibrante, la frecuencia natural del sistemase mover desde una frecuencia mxima (sin las partculas) hasta una mnima (conlas partculas) conforme se reduce el gap.

En frecuencias de excitacin cercanas a la resonancia, la aceleracin de la gravedaddeja de influenciar al sistema granular.

Con un diseo adecuado del dispositivo es posible obtener una atenuacin eficientedel primer modo de vibracin, sin embargo es necesario considerar las condicionesexternas (por ejemplo, posicin de excitacin externa) y no solo el diseo paraamortiguar modos elevados.

Existen 3 estados de movimiento granular. En el estado solido se produce la amor-tiguacin ms eficiente.

1.2. Alcances y objetivos

La eficiencia del amortiguador de partculas depende de muchos parmetros del sis-tema tales como dimensiones y forma del recinto; cantidad, forma, tamao y materialde las partculas; frecuencia y amplitud de excitacin; entre otros. Adems, debido a lasfuerzas de interaccin entre las partculas (colisiones inelsticas y friccin) el comporta-miento muestra un gran nivel de no linealidad y complejidad. Aunque muchos esfuerzostericos y experimentales se hayan realizado en los ltimos 20 aos, muchos resultadosde esos estudios estn estrechamente vinculados a las condiciones particulares elegidaspara el sistema en estudio.

El mecanismo de amortiguamiento granular involucra la cooperacin del movimientode todas las partculas dentro del recipiente de contencin. No se ha investigado an condetalle la eficiencia de dicho mecanismo en los distintos tipos de dispositivos, as comosus semejanzas, sus diferencias y las ventajas de unos con respecto a otros.

Los objetivos principales de las investigaciones de esta tesis son:

Analizar de manera exhaustiva el comportamiento de los amortiguadores de vi-

braciones mecnicas compuestos de partculas disipativas a travs de un estudio

sistemtico, mediante tcnicas computacionales, de los siguientes parmetros in-

tervinientes: tamao de las partculas, densidad, coeficiente de restitucin, coefi-

ciente de friccin y tamao del recinto.

36

1.3. ESTRUCTURA DE LA TESIS

Explicar, de manera detallada los distintos fenmenos que se presentan en la inter-

accin cooperativa de las partculas granulares disipativas y que tienen influencia

en el comportamiento de la amortiguacin de vibraciones.

A travs del anlisis exhaustivo de las caractersticas propias de los amortigua-

dores de partculas disipativas, presentar consideraciones ms detalladas de los

mecanismos de disipacin para el diseo y anlisis de estos dispositivos.

1.3. Estructura de la tesis

En el Captulo 2 se presentan los distintos modelos de simulacin utilizados pararealizar las investigaciones. Los tres modelos usados son analizados en detalle y se des-criben los distintos mtodos utilizados para la resolucin numrica de las ecuacionesdiferenciales que rigen su movimiento. Para los sistemas con amortiguacin granular,se presenta el DEM en conjunto con los algoritmos de bsqueda de colisiones y los es-quemas de fuerzas de interaccin macroscpicos aplicables para cada caso. A su vez, sepresenta una descripcin general sobre procedimientos libres de singularidad para resol-ver numricamente las rotaciones de las partculas en la ltima seccin de este captulo.

En el Captulo 3 se estudian los parmetros intervinientes para lograr una eficienciaptima de amortiguacin. Se analiza la influencia de distintos factores como el nmerode partculas y las dimensiones de la caja y se presenta una metodologa para obtener elgap ptimo sobre la base de la masa efectiva del sistema de partculas. A su vez, sedescriben corrimientos no montonos de la frecuencia natural del sistema como funcindel gap y se analizan sus consecuencias para el diseo de estos amortiguadores.

El comportamiento no lineal interno del amortiguador ptimo se presenta en el Ca-ptulo 4. Teniendo en cuenta el anlisis lineal de seales, la reconstruccin del espaciode fase, el anlisis de las secciones de Poincar y la determinacin de los mximos ex-ponentes de Lyapunov, se caracteriza el movimiento del sistema granular en el interiordel recinto para un amplio rango de frecuencias. Se encuentran movimientos regulares ycaticos de la cama granular y se analiza la influencia de los mismos en la amortiguacin.

El Captulo 5 est dedicado a estudiar los mecanismos de disipacin presentes enlos amortiguadores de partculas. Estudiando las interacciones macroscpicas entre losgranos y entre los granos y las paredes del recinto de contencin se encuentra un com-portamiento universal del amortiguador frente a las propiedades materiales. Se presentanlas zonas de aplicacin del comportamiento universal y un modelo simple, de una ni-ca partcula con restitucin cero, que permite disear/analizar los amortiguadores en elpunto ptimo de funcionamiento.

Finalmente, en el Captulo 6 se presentan las conclusiones y las lneas futuras deinvestigacin.

37

CAPTULO

DOS

MARCO TERICO Y DE SIMULACIN

Todas las investigaciones sobre el comportamiento cuantitativo y cualitativo de losamortiguadores de partculas disipativas en este trabajo se han realizado a travs de tc-nicas computacionales. Se han implementado distintos modelos numricos con el fin decaracterizar al amortiguamiento granular en funcin de distintos parmetros del sistema.

En las siguientes secciones se presentan los modelos implementados y los algoritmosy mtodos usados para estudiar su comportamiento mecnico.

2.1. Presentacin de los modelos estudiados

En esta seccin se describirn los tres modelos utilizados en esta tesis para estudiar elamortiguamiento granular. En la Seccin 2.1.1 se presenta un modelo de referencia quecarece de amortiguador granular y consiste simplemente en un sistema masa - resorte- amortiguador viscoso. Dicho sistema servir de base para realizar estudios compara-tivos y para evaluar la eficiencia cuando al modelo se le incorpora un amortiguador departculas.

En la Seccin 2.1.2 se presenta un modelo que adiciona al sistema de referencia unamortiguador de partculas. En este modelo el movimiento de los granos o partculasdentro de una cavidad se calcula usando el DEM.

Finalmente, en la Seccin 2.1.3 se presenta un modelo simplificado, donde la camagranular es simulada por una nica partcula. En este sistema, las colisiones se modelana travs de un coeficiente de restitucin efectivo e.

2.1.1. Sistema de referencia con un grado de libertad

Antes de presentar los modelos de amortiguador granular usados en esta tesis debe-mos presentar el sistema bsico de un grado de libertad que nos servir de referencia. Elmismo es un sistema vibrante, formado de una masa M , un resorte con rigidez K y un

39

CAPTULO 2. MARCO TERICO Y DE SIMULACIN

amortiguador viscoso con coeficiente de amortiguacin C, que se encuentra excitado porla base con un movimiento armnico (ver Fig. 2.1) . Este modelo cuenta con solucinanaltica [58]. Si bien la deduccin se encuentra en muchos libros de texto, se presenta acontinuacin por completitud.

Se considera que el sistema es excitado con un movimiento armnico de tipo:

u(t) = Ucos(t). (2.1.1)

donde U es la amplitud del movimiento de base y la frecuencia de excitacin.

Figura 2.1: Sistema de un grado de libertad sin amortiguacin granular. Aqu, z(t) es larespuesta del sistema,M es la masa del mismo,K la rigidez del resorte yC el coeficientede amortiguamiento viscoso. El sistema se encuentra excitado armnicamente por la basecon un movimiento u(t).

Al ser un sistema de un nico grado de libertad, conocer el movimiento z(t) de lamasa, permite describir completamente el comportamiento del sistema. As, planteandola segunda ley de Newton, la ecuacin diferencial que describe el comportamiento delsistema ser:

Mz(t) + Cz(t) +Kz(t) = Cu(t) +Ku(t). (2.1.2)

El movimiento del sistema estar compuesto por una respuesta transitoria, la cualdesaparecer con el tiempo, ms una solucin estacionaria. Es decir, z(t) = zh(t) +zp(t), donde zh(t) es la solucin homognea y zp(t) la solucin particular de la ecuacindiferencial inhomognea (2.1.2) con coeficientes constantes .

Haciendo el segundo miembro de la Ec. (2.1.2) igual a cero, la ecuacin diferencialhomognea ser:

Mz(t) + Cz(t) +Kz(t) = 0. (2.1.3)

Si se asume una solucin del tipo z(t) = Aest, donde A y s son constantes indeter-

40

2.1. PRESENTACIN DE LOS MODELOS ESTUDIADOS

minadas, la ecuacin caracterstica del sistema vendr dada por:

Ms2 + Cs+K = 0, (2.1.4)

cuyas races sern:

s1,2 =C C2 4MK

2M= C

2M(

C

2M

)2 KM. (2.1.5)

Si se define = CCc

como la relacin de amortiguamiento, donde Cc = 2M

KM

es

el amortiguamiento crtico del sistema y 0 =K/M la frecuencia natural del sistema

no amortiguado, se tiene:

s1,2 =(

2 1

)0. (2.1.6)

Debido a que en los sistemas de inters para este trabajo 1, con lo cual (2 1)es negativo, las races de la ecuacin caracterstica sern imaginarias:

s1,2 =( i

1 2

)0 = C

2M iK

M(C

2M

)2. (2.1.7)

Estas races dan dos soluciones para la Ec. (2.1.3) homognea del sistema:

zh1 (t) = A1es1t; zh2 (t) = A2e

s2t. (2.1.8)

As, la solucin general de la ecuacin homognea (2.1.3) estar dada por:

zh(t) = zh1 (t) + zh2 (t) = A1e

s1t + A2es2t, (2.1.9)

y la solucin del sistema libre, sin excitacin de base, ser:

zh(t) = A1e

( C

2M+i

KM( C2M )

2)t+ A2e

( C

2Mi

KM( C2M )

2)t, (2.1.10)

zh(t) = Z0e C

2Mtcos

KM(C

2M

)2 0

, (2.1.11)donde (A1;A2) [o de forma equivalente (Z0;0)] son constantes que deben ser obtenidasa partir de las condiciones iniciales que se imponen sobre la posicin z(t = 0) y lavelocidad z(t = 0).

Obtenida la solucin homognea, la solucin particular se desarrolla a continuacin.

41


Introduciendo la Ec. (2.1.1) en la Ec. (2.1.2), la ecuacin diferencial que rige el sistemapuede ser expresada de la siguiente manera:

Mz(t) + Cz(t) +Kz(t) = CUsen (t) +KUcos (t) . (2.1.12)

Con lo cual se obtienen dos trminos no homogneos. Por lo tanto, es posible encontrardos soluciones particulares separadas para la ecuacin diferencial (una por cada trmino)y as la solucin particular total ser zp(t) = zp1(t) + z

p2(t). Las ecuaciones para cada

trmino inhomogneo se pueden escribir de la siguiente manera:

Mz(t) + Cz(t) +Kz(t) = KUcos (t) , (2.1.13)

Mz(t) + Cz(t) +Kz(t) = CUsen (t) . (2.1.14)

Considerando que la solucin de la Ec. (2.1.13) es de la forma:

zp1(t) = Z1cos (t 1) , (2.1.15)

donde Z1 y 1 son constantes a determinar, y remplazando la solucin (2.1.15) en la Ec.(2.1.13), con el uso de identidades trigonomtricas, se obtiene:

zp1(t) =KUcos(t)

(K M2)2 + (C)2 . (2.1.16)

De la misma manera, una solucin posible para la Ec. (2.1.14) es de la forma:

zp2(t) = Z2sen (t 2) , (2.1.17)

donde tambin Z2 y 2 son constantes a determinar. Remplazando la Ec. (2.1.17) en laEc. (2.1.14) se obtiene:

zp2(t) = UCsen(t)

(K M2)2 + (C)2 . (2.1.18)

La solucin particular zp(t) completa del sistema estar dada por:

zp(t) =KUcos(t)

(K M2)2 + (C)2 UCsen(t)

(K M2)2 + (C)2 . (2.1.19)

Finalmente, la solucin completa del sistema, ser la suma de la Ec. (2.1.11) y la Ec.

42


(2.1.19). As:

z(t) = zh(t) + zp(t) = Z0e C

2Mtcos

KM(C

2M

)2 0

++

KUcos(t)(K M2)2 + (C)2

UCsen(t)(K M2)2 + (C)2 . (2.1.20)

Dado que la respuesta transitoria decae con el tiempo [ver primer trmino de la Ec.(2.1.20)], la amplitud mxima de oscilacin en rgimen estacionario ser:

Z = U

K2 + (C)2

(K M2)2 + (C)2 . (2.1.21)

La Ec. (2.1.21) ser utilizada como FRF de referencia con el fin de lograr compa-raciones con el sistema provisto de un amortiguador de partculas y para ajustar curvasdonde sea necesario obtener amortiguamientos efectivos.

2.1.2. Amortiguador de partculas

Se ha considerado un modelo de un grado de libertad, mostrado en la Fig. 2.2, so-metido a un movimiento de base armnico. La Fig. 2.3 muestra varias instantneas deuna de las simulaciones realizadas usando el DEM que se describe en la Seccin 2.2. Elsistema primario (sin considerar las partculas en el recinto) consta de masa M , rigidezK y amortiguamiento estructural viscoso C. El campo gravitacional g = 9.8ms2 esconsiderado en la direccin negativa sobre el eje vertical.

A dicho sistema se le ha aadido un amortiguador de partculas disipativas. Las par-tculas se han modelado esfricas y cuentan con una masa totalmp.N partculas de radioRi son colocadas en el interior de un recinto de contencin, donde las dimensiones estndadas por (Lx Ly Lz). Al igual que en el modelo de la seccin precedente, la exci-tacin de base es u(t) = Ucos(t). Distintas caractersticas materiales de las partculasy parmetros de la simulacin se usarn a lo largo de este trabajo. En cada seccin seespecificarn los valores correspondientes. Antes de iniciar el movimiento de la base,las partculas se depositan en el fondo del recipiente. La colocacin de las mismas, en elfondo del recinto, se realiza dejando caer a las partculas desde posiciones iniciales en unarreglo regular del tipo cbico centrado en las caras (FCC por sus sigas en ingls) [59].

La ecuacin diferencial para el sistema total (sistema primario ms amortiguadorgranular) es:

Mz(t) + Cz(t) +Kz(t) = Cu(t) +Ku(t) + F zgranular, (2.1.22)

43


x

Figura 2.2: Sistema de un grado de libertad con amortiguamiento granular. Los smbolosson equivalentes a los de la Fig. 2.1. mp es la masa total de las partculas en la cavidad.Lz es la altura del recinto de contencin y Lx el ancho del mismo.

donde z(t) es medido desde la posicin de equilibrio esttico y F zgranular es la fuerza totalejercida por las partculas sobre las paredes del recinto en la direccin vertical z. En cadapaso de tiempo t de la simulacin, F zgranular es calculada a partir de las interaccionesmacroscpicas de contacto entre el recipiente y las partculas en su interior. Si bien laspartculas ejercen fuerzas en todas las direcciones al contactar las paredes del recinto (losgranos se mueven libremente en el espacio tridimensional del recinto de contencin),slo la contribucin en la direccin vertical es insertada en el sistema de un grado delibertad considerado por la Ec. (2.1.22).

Figura 2.3: Instantneas de una simulacin del amortiguador de partculas.

44


Detalles de la implementacin del mtodo numrico usado, como as tambin delclculo de las fuerzas de interaccin, de las energas de disipacin y de la resolucin finalde la Ec. (2.1.22) se presenta en la Seccin 2.2. Las secciones principales del cdigo declculo desarrollado en lenguaje C se presenta, en forma detallada, en el Apndice A.

2.1.3. Amortiguador de impacto

Finalmente, se ha implementado un tercer modelo con el fin de simplificar el clculode los amortiguadores de partculas en posibles aplicaciones. En este sistema se consi-dera que una partcula nica puede simular, bajo ciertas condiciones y en forma efectiva,el comportamiento de toda la cama granular. El modelo planteado se representa esque-mticamente en la Fig. 2.4.

Figura 2.4: Sistema de un grado de libertad con amortiguamiento granular simplificado.Los smbolos son equivalentes a los de la Fig. 2.1. mp es la masa de la partcula en lacavidad y Lz es la altura del recinto de contencin.

Al igual que en el modelo del amortiguador de partculas (ver Seccin 2.1.2), elsistema se encuentra sometido a un movimiento de base u(t) = Ucos(t). Dado que sepretende modelar en forma efectiva toda la cama granular, tal como lo plantean Friendy Kinra [29], se usa un coeficiente efectivo de restitucin e para la partcula nica. Elmismo caracteriza los impactos entre el recinto de contencin y la partcula. El sistemaprimario y el amortiguador estn sometidos a la aceleracin de la gravedad g = 9.8ms2

en direccin vertical negativa.

Para calcular las posiciones, velocidades y aceleraciones de la caja y de la partculase utiliz un algoritmo hbrido DEM - Dinmica de colisiones [60]. Como se ver en laSeccin 2.2, el DEM requiere del clculo de las fuerzas de interaccin entre los cuerposque colisionan para establecer las aceleraciones correspondientes despus del impacto.En este modelo hbrido no se resuelven las fuerzas, si no que se establecen directamente

45


las velocidades despus de la colisin teniendo en cuenta la ley de conservacin de lacantidad de movimiento y la definicin del coeficiente de restitucin.

El coeficiente de restitucin para la colisin entre la partcula y el recinto, se definecomo:

e = (v+p v+z )

(vp vz ), (2.1.23)

donde vp y v+p son las velocidades de la partcula antes y despus del impacto y v

z y v

+z

las velocidades del recinto de contencin antes y despus del choque respectivamente.

Aplicando la ley de conservacin del momento lineal,

Mv+z +mpv+p = Mv

z +mpv

p , (2.1.24)

y la definicin (2.1.23), las velocidades despus del impacto resultan ser:

v+z =

(1 e (mp

M

))vz +

mpM

(1 + e) vp(1 + mp

M

) , (2.1.25)v+p =

(1 e) vz +(mpM e) vp(

1 + mpM

) . (2.1.26)Durante los periodos de tiempo en los cuales la partcula se encuentra en vuelo, el

movimiento del sistema primario es equivalente al movimiento del sistema de referencia(ver Seccin 2.1.1). Por otro lado, cuando la partcula permanece en contacto con el pisoo el techo del recinto, el movimiento del sistema primario es equivalente al del sistemade referencia pero con una masa efectiva Mef = M +mp.

La simulacin se resuelve a trozos de la siguiente manera:

(a) Durante los periodos de tiempo en los cuales la partcula se encuentra en vuelo o encontacto continuo con el recinto, el movimiento se resuelve mediante DEM con lasiguiente ecuacin:

Mef z(t) + Cz(t) +Kz(t) = Cu(t) +Ku(t), (2.1.27)

dondeMef = M cuando la partcula se encuentra en el aire yMef = M+mp cuandola misma est en contacto con el sistema primario. Por lo tanto, la aceleracin de lapartcula ser igual a la aceleracin de la gravedad cuando la misma se encuentre envuelo e igual a la aceleracin de la estructura primaria cuando est en contacto conel contenedor.

(b) Cuando z cae por debajo de g, estando la partcula en contacto con el piso delrecinto, el grano perder contacto con el recipiente. De la misma manera, si z superag, estando la partcula en contacto con el techo del recinto, nuevamente el grano

46

2.2. EL MTODO DE ELEMENTOS DISCRETOS - DEM

perder contacto con el sistema primario. En ambos casos, su aceleracin pasar aser igual a la de la gravedad (ap = g).

(c) Finalmente, cuando la partcula se encuentra en vuelo y se produce una colisin conel recinto, se calculan las velocidades despus del impacto segn las Ecs. (2.1.25)y (2.1.26). En este punto se define si el grano se mantendr en contacto o si saldrdespedido en funcin de las aceleraciones y se retoma el clculo con la Ec. 2.1.27con la Mef correspondiente.

El cdigo de clculo, desarrollado en MatLab R se presenta, en forma detallada, en elApndice B.

2.2. El mtodo de elementos discretos - DEM

2.2.1. Orgenes y aplicaciones

El DEM consiste en un esquema numrico que permite calcular rotaciones y despla-zamientos finitos de cuerpos rgidos (avanzando a intervalos cortos de tiempo t)1, dondeocurren, a medida que progresa el ciclo de clculo, la prdida y formacin de contactosentre los cuerpos (partculas). As, es posible el clculo de las posiciones, velocidades yaceleraciones, tanto de traslacin como de rotacin, de las partculas instante a instante.Es entonces posible con esta informacin calcular los intercambios de energas en juegodentro del sistema en estudio. Dicho mtodo es particularmente adecuado para modelarmateriales granulares. Esta tcnica es en esencia la misma que se usa en simulaciones desistemas moleculares y que es conocida con el nombre de Dinmica Molecular.

Cundall y Strack [62] originaron el concepto del DEM y lo aplicaron para modelarel comportamiento de suelos bajo condiciones de cargas dinmicas. Desde su inicio, estatcnica se ha adaptado para modelar una variedad de sistemas fsicos.

Desde el punto de vista industrial, la simulacin de partculas con el DEM ofrece laoportunidad de comprender mejor la dinmica fundamental de los flujos en los sistemascompuestos de materia granular. A travs de este tipo de simulaciones se pueden realizarestudios que permitan un mejor diseo de equipos para almacenamiento y transporte demedios granulares, tales como silos, cintas transportadoras, mescladoras, molinos, entreotras.

En las ltimas dcadas, el DEM ha crecido en popularidad y se ha utilizado parael estudio de numerosos problemas [63]. As por ejemplo, Venugopal y Rajamani [64]estudiaron a travs de esta metodologa el proceso de carga de molinos, donde la comple-ja dinmica es un problema difcil de encarar terica y experimentalmente. Por su parte,

1t es tpicamente ts/100, donde ts es el tiempo de duracin de una colisin [61].

47


Cleary [65] presenta distintos estudios de procesos industriales (separacin de partculas,transporte de mezclas y excavacin) modelados a partir del DEM.

Finalmente, desde el punto de vista de la amortiguacin granular que aqu nos intere-sa, existen varios trabajos utilizando este mtodo (ver por ejemplo las Refs. [34, 39, 66]).

2.2.2. Marco terico

El algoritmo clsico introducido por Cundall y Strack [62] consta de dos fases. En laprimera fase, las fuerzas de interaccin se calculan cuando dos elementos discretos (dospartculas o una pared y una partcula) se penetran ligeramente entre s. Si bien, no pareceapropiado que dos partculas se penetren, desde el punto de vista fsico, esta penetracinrepresenta la deformacin relativa de las capas superficiales del material de las partculas.La interaccin macroscpica entre las partculas1 blandas, que se penetran entre si, sebasa en modelos semi-empricos que se presentan en la Seccin 2.2.3.

En la segunda etapa del DEM, para obtener el movimiento debido a las fuerzas cal-culadas en la primera fase, se utiliza la segunda ley de Newton. Esta es integrada conrespecto al tiempo para calcular las nuevas velocidades y nuevas posiciones de cada par-tcula. El proceso se repite, avanzando en pequeos pasos de tiempo t, hasta construiruna trayectoria de cada partcula tan larga como sea necesario para el estudio en cuestin.

La segunda ley de Newton es aplicada a las coordenadas del centro de masa y a losngulos de Euler (que definen la orientacin) de cada partcula individual i:

~ri =~Fimi

+ g, (2.2.1)

~i =~MiIi, (2.2.2)

donde ~ri y ~i son el vector posicin y orientacin de la partcula i respectivamente.La fuerza ~Fi y el torque ~Mi resultantes, que actan sobre la partcula i de masa mi ymomento de inercia Ii, estarn dados por la suma de las interacciones de los pares departculas (interaccin de la partcula i con cada partcula j en contacto con ella)2:

~Fi =N

j=1,j 6=i~Fij,

~Mi =N

j=1,j 6=i~Mij, (2.2.3)

1En todos los casos, las simulaciones se han realizado con partculas esfricas en 3D. Adems, con elfin de mejorar la eficiencia de las simulaciones, las paredes del reciento de contencin se han modeladotambin con esferas de radio extremadamente grande; lo cual asegura que las paredes sean prcticamenteplanas a la escala de las partculas que estn dentro del amortiguador.

2Si bien Ii es un tensor, se ha utilizado en todas las simulaciones partculas esfricas y por lo tanto enla Ec. 2.2.2 dicho momento de inercia es un escalar.

48


donde ~Fij y ~Mij son la fuerza y el torque entre cada par i, j, respectivamente.Por lo tanto, si las fuerzas ~Fij y los torques ~Mij de las partculas se dan en funcin

de las coordenadas de las mismas (~ri, ~i) y (~rj , ~j) y sus derivadas temporales, las ecua-ciones de movimiento [Ec. (2.2.1) y Ec. (2.2.2)] pueden ser integradas numricamente.Las leyes de la interaccin son especficas del modelo de grano, y para el caso analizadoen esta tesis se describirn en la Seccin 2.2.3.

En sntesis, para realizar un paso de tiempo t de la simulacin se debe:

Calcular las fuerzas y los torques aplicados a las partculas segn las Ec. (2.2.3) yla Seccin 2.2.3.

Integrar las ecuaciones del movimiento [Ec. (2.2.1) y Ec. (2.2.2)].1

Extraer los datos de las nuevas posiciones (y orientaciones), velocidades y acele-raciones.

Al igual que un problema clsico de la mecnica del continuo, es necesaria la in-troduccin de condiciones iniciales y de contorno. Se debe describir el comportamientode las partculas en el lmite de la zona de simulacin y especificar las coordenadas yvelocidades iniciales de cada partcula.

Para resolver la integracin numrica de la Ec. (2.2.1) y de la Ec. (2.2.2) [incluyendoa la Ec. (2.1.22)] se ha implementado el algoritmo del Verlet con Velocidades (verpor ejemplo la Ref. [67]). Esto es, planteadas las condiciones de contorno e iniciales, ycalculadas las nuevas aceleraciones de acuerdo con la interaccin macroscpica de laspartculas, se actualizan las posiciones2 de acuerdo con la siguiente expresin:

~ri(t+ t) = ~ri(t) + t~ri(t) +t2

2~ri(t). (2.2.4)

Las velocidades sern actualizadas de acuerdo con:

~ri(t+ t) = ~ri(t) +t

2

[~ri(t) + ~ri(t+ t)

]. (2.2.5)

La Ec. (2.2.5) debe ser aplicada en dos partes. En primer lugar, cuando se conocela aceleracin ~ri(t) y posteriormente, al obtener la nueva aceleracin ~ri(t + t) en elsiguiente instante de tiempo.

1Para el modelo del amortiguador granular, la sumatoria de fuerzas ejercidas por las partculasF zgranular, sobre las paredes del recinto de contencin en la direccin vertical, es insertada en la Ec.(2.1.22). Esta ecuacin tambin es integrada numricamente con el fin de obtener la nueva posicin delsistema primario de un grado de libertad.

2Dada la complejidad de la actualizacin de las orientaciones para simulaciones en 3D, se dedica unapartado completo para su descripcin (ver Seccin 2.4).

49


2.2.3. Interaccin macroscpica de partculas

Dos partculas i y j esfricas se encuentran en contacto cuando:

ij = Ri +Rj |~ri ~rj| > 0, (2.2.6)

donde Ri y Rj son los radios de las partculas i y j respectivamente. Cuando dos part-culas colisionan, una pequea penetracin produce una fuerza repulsiva en la direccinnormal ~nij y una fuerza de friccin en la direccin tangencial ~sij .

Las fuerzas de interaccin, entre dos cuerpos al impactar pueden ser calculadas apartir de relaciones basadas en la mecnica de contacto [68]. La Fig. 2.5 muestra unesquema representativo de dos esferas en el momento de la colisin.

Figura 2.5: Modelo de contacto de dos partculas esfricas. ~r1 y ~r2 son los vectoresposicin, R1 y R2 los radios y 1 y 2 las velocidades angulares de las partculas quecolisionan. Al momento del impacto la penetracin es ij y la velocidad relativa es ~rel12 .

Fuerza de interaccin normal

La ley de fuerza normal, que se ha utilizado en este trabajo, se basa en la teora decontacto de Hertz, la cual ha sido modificada por Kuwabara-Kono (ver Refs. [61, 69,70]). Este esquema asegura que el coeficiente de restitucin e decrezca con el aumentode la velocidad de impacto, lo cual es consistente con experimentos.

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Al producirse la colisin entre dos partculas esfricas, se produce una fuerza en ladireccin normal ~nij de impacto:

~nij = (~ri ~rj) / |~ri ~rj| . (2.2.7)

El modulo de dicha fuerza Fn, estar dada por:

Fn = kn3/2ij nnij, (2.2.8)

donde

estudio de mecanismos de amortiguación de vibracion mecanica

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